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RICARDO GASPAR MECÂNICA DOS MATERIAIS Notas de aula da disciplina Resistência dos Materiais ministrada pelo Prof. Leandro Mouta Trautwein ao curso de Engenharia Civil do Centro Universitário Nove de Julho. São Paulo 2005

Resistência dos materiais mecânica dos materiais

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  • 1. RICARDO GASPAR MECNICA DOS MATERIAIS Notas de aula da disciplina Resistncia dos Materiais ministrada pelo Prof. Leandro Mouta Trautwein ao curso de Engenharia Civil do Centro Universitrio Nove de Julho. So Paulo 2005
  • 2. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar SUMRIO 1 MECNICA _____________________________________________________________________ 1 1.1 Introduo ____________________________________________________________________ 1 1.2 Conceitos Fundamentais _________________________________________________________ 2 1.3 Sistema Internacional de Unidades_________________________________________________ 2 1.4 Trigonometria__________________________________________________________________ 4 1.5 Alfabeto Grego _________________________________________________________________ 6 2 ESTTICA ______________________________________________________________________ 7 2.1 Foras no plano ________________________________________________________________ 7 2.2 Equilbrio de um ponto material ___________________________________________________ 7 2.3 Resultante de uma fora _________________________________________________________ 8 2.4 Momento de uma fora _________________________________________________________ 14 2.4.1 Momento de um sistema de foras coplanares _____________________________________ 14 2.4.2 Teorema de Varignon ________________________________________________________ 14 2.4.3 Momento de um binrio ______________________________________________________ 15 2.4.4 Equilbrio de corpos rgidos ___________________________________________________ 18 2.5 Apoios _______________________________________________________________________ 19 2.6 Tipos de Estruturas ____________________________________________________________ 20 2.6.1 Estruturas hipostticas _______________________________________________________ 20 2.6.2 Estruturas isostticas_________________________________________________________ 20 2.6.3 Estruturas hiperestticas______________________________________________________ 20 3 TRELIAS _____________________________________________________________________ 21 3.1 Definio ____________________________________________________________________ 21 3.2 Mtodo do equilbrio dos ns_____________________________________________________ 22 4 TENSES E DEFORMAES_____________________________________________________ 28 4.1 Introduo ___________________________________________________________________ 28 4.2 Diagrama tenso-deformao ____________________________________________________ 29 4.3 Tenso admissvel______________________________________________________________ 30 4.4 Lei de Hooke__________________________________________________________________ 30 4.4.1 Coeficiente de Poisson________________________________________________________ 32 4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke __________________________________________________ 32 4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas ___________________________________________ 35 4.6 Tenses iniciais e Tenses Trmicas _______________________________________________ 38 4.7 Tenso de cisalhamento_________________________________________________________ 41 5 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE FIGURAS PLANAS _________________________ 44 5.1 rea_________________________________________________________________________ 44 5.2 Momento Esttico______________________________________________________________ 45 5.3 Centro de Gravidade____________________________________________________________ 46 5.4 Momento de Inrcia ____________________________________________________________ 50 5.5 Translao de eixos ____________________________________________________________ 51 5.6 Mdulo Resistente _____________________________________________________________ 53 5.7 Raio de Girao _______________________________________________________________ 54 6 ESFOROS SOLICITANTES______________________________________________________ 57 6.1 Introduo ___________________________________________________________________ 57 6.2 Classificao dos esforos solicitantes _____________________________________________ 57 6.3 Conveno de sinais____________________________________________________________ 58 7 VIGAS _________________________________________________________________________ 60 7.1 Introduo ___________________________________________________________________ 60 7.2 Tipos de cargas________________________________________________________________ 60 7.2.1 Cargas distribudas __________________________________________________________ 60 7.3 Apoios ou vnculos _____________________________________________________________ 61 7.4 Equaes diferenciais de equilbrio________________________________________________ 75 8 TENSES E DEFORMAES NA FLEXO _________________________________________ 85 8.1 Hipteses admitidas ____________________________________________________________ 85 8.2 Tenses normais na flexo ______________________________________________________ 86 8.3 Tenses de cisalhamento na flexo ________________________________________________ 92 9 DEFORMAES NAS VIGAS _____________________________________________________ 97 BIBLIOGRAFIA ____________________________________________________________________ 104
  • 3. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar LISTA DE SMBOLOS letras maisculas A rea E mdulo de elasticidade F fora I momento de inrcia L comprimento M momento, momento fletor Ms momento esttico N fora normal P carga concentrada R resultante de foras, esforo resistente S esforo solicitante V fora cortante letras minsculas a acelerao b largura g acelerao da gravidade h dimenso, altura l comprimento m metro, massa max mximo min mnimo q carga distribuda s segundo v deslocamento vertical x distncia da linha neutra ao ponto de maior encurtamento na seo transversal de uma pea fletida letras gregas , ngulo, coeficiente deslocamento dimetro deformao especfica f coeficiente de majorao das aes tenso normal tenso normal admissvel tenso tangencial tenso tangencial admissvel coeficiente de Poisson ndices adm admissvel c compresso f ao t trao, transversal w alma das vigas max mximo min mnimo
  • 4. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 1 MECNICA DOS MATERIAIS 1 MECNICA 1.1 Introduo A Mecnica uma cincia fsica aplicada que trata dos estudos das foras e dos movimentos. A Mecnica descreve e prediz as condies de repouso ou movimento de corpos sob a ao de foras. A finalidade da Mecnica explicar e prever fenmenos fsicos, fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicaes da Engenharia. A Mecnica subdividida em trs grandes ramos: Mecnica dos Corpos Rgidos, Mecnica dos Corpos Deformveis e Mecnica dos Fludos, como indicado abaixo. Esttica Mecnica dos corpos rgidos Cinemtica Dinmica Mecnica Mecnica dos corpos deformveis Resistncia dos Materiais Fludos incompressveis lquidos Mecnica dos fludos Fludos compressveis gases Mecnica dos corpos rgidos: subdividida em Esttica, Cinemtica e Dinmica. A Esttica se refere aos corpos em repouso e estuda as foras em equilbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na Esttica, os corpos analisados so considerados rgidos, conseqentemente, os resultados obtidos independem das propriedades do material. A Cinemtica estuda os movimentos em si e as leis que os regem: movimento uniforme mvel percorrendo espaos iguais em tempos iguais para quaisquer trechos de trajetria; movimento uniformemente variado a velocidade do mvel varia de valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento ser uniformemente acelerado; se houver decrscimo, o movimento ser uniformemente retardado; movimentos de rotao. A Dinmica estuda a relao entre o movimento e a causa que o produz (fora).
  • 5. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 2 Mecnica dos corpos deformveis: as estruturas e as mquinas nunca so absolutamente rgidas, deformando-se sob a ao das cargas a que esto submetidas. Estas deformaes so geralmente pequenas e no alteram apreciavelmente as condies de equilbrio ou de movimento da estrutura considerada. No entanto, essas deformaes tero importncia quando houver riscos de ruptura do material. A Mecnica dos corpos deformveis estudada pela Resistncia dos Materiais, Mecnica dos Materiais ou Mecnica dos Slidos, como tambm so conhecidas. O estudo dos corpos deformveis resume-se na determinao da resistncia mecnica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais. Mecnica dos fludos: A Mecnica dos Fludos subdividida no estudo dos fluidos incompressveis (lquidos) e fluidos compressveis (gases). Uma importante subdiviso do estudo de fluidos incompressveis a hidrulica. 1.2 Conceitos Fundamentais Os conceitos fundamentais da Mecnica baseiam-se na Mecnica Newtonia: espao: o conceito de espao associado noo de posio de um ponto material, o qual pode ser definido por trs comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de referncia, ou de origem, segundo trs direes dadas. Estes comprimentos so conhecidos como as coordenadas do ponto; tempo: para se definir um evento no suficiente definir sua posio no espao. O tempo ou instante em que o evento ocorre tambm deve ser dado; fora: a fora representa a ao de um corpo sobre outro; a causa que tende a produzir movimento ou a modific-lo. A fora caracterizada pelo seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido; uma fora representada por um vetor; 1.3 Sistema Internacional de Unidades O Sistema Internacional de Unidades (SI) subdividido em unidades bsicas e unidades derivadas. As unidades bsicas so: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades derivadas so, entre outras, fora, trabalho, presso, etc... As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as trs unidades bsicas escolhidas so independentes dos locais onde so feitas as medies. A fora medida em Newton (N) que definido como a fora que imprime a acelerao de 1 m/s2 massa de 1 kg. A partir da Equao F=m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg 1 m/s2 . As medidas estticas de foras so efetuadas por meio de instrumentos chamados dinammetros.
  • 6. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 3 O peso de um corpo tambm uma fora e expresso em Newton (N). Da Equao P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitao) segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg = (1 kg)(9,81 m/s2 ) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 a acelerao da gravidade. A presso medida no SI em Pascal (Pa) que definido como a presso exercida por uma fora de 1 Newton uniformemente distribuda sobre uma superfcie plana de 1 metro quadrado de rea, perpendicular direo da fora 2 / mNPa = . Pascal tambm unidade de tenses normais (compresso ou trao) ou tenses tangenciais (cisalhamento). Mltiplos e submltiplos Nome Smbolo fator pelo qual a unidade multiplicada exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000 mega M 106 = 1 000 000 quilo k 103 = 1 000 hecto h 102 = 100 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001 micro 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 Converso de Unidades A unidade equivalente a 1MPa 1 N/mm2 1 MPa 1 x 106 N/m2 1 GPa 1 x 109 N/m2 1 m 100 cm 1 cm 0,01 m 1 kgf 9,81 N 1 kgf 2,20 lb 1 polegada (ou 1") 2,54 cm 1 m2 10000 cm2 Exemplo de converso de medidas de presso: 422 10 == cm N m N Pa 1010 1010 242 6 2 6 = = = cm kN cm N m N MPa 2 2 42 9 2 9 10 10 1010 cm kN cm N m N GPa = = =
  • 7. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 4 1.4 Trigonometria Para o estudo da Mecnica necessitam-se dos conceitos fundamentais da trigonometria. A palavra trigonometria significa medida dos trs ngulos de um tringulo e determina um ramo da matemtica que estuda as relaes entre as medidas dos lados e dos ngulos de um tringulo. Crculo e Funes Trigonomtricas EFsen = OF=cos ABtg = DCg =cot OB=sec OCec =cos 1== ROE Tringulo retngulo No tringulo retngulo, os catetos so os lados que formam o ngulo de 90. A hipotenusa o lado oposto ao ngulo de 90 e determinada pela relao: 222 cba += . Relaes trigonomtricas a c hipotenusa opostocateto sen == a b hipotenusa adjacentecateto ==cos b c adjacentecateto opostocateto tg == b a adjacentecateto hipotenusa ==sec b c arctg= a c arcsen= a b arccos= bC a A B c tringulo retngulo Relao fundamental da trigonometria: 1cossen 22 =+ xx Razes Trigonomtricas Especiais 30 45 60 Seno 2 1 2 2 2 3 Cosseno 2 3 2 2 2 1 Tangente 3 3 1 3
  • 8. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 5 Exemplos 1. Calcule o valor de c da figura 20 30 c sen = 202 1 c = 202 =c mc 10= 2. Determine o valor de b da figura 20 30cos b = 202 3 b = 3202 =b mb 310= b 20 m 30 c 3. Calcule o valor de a da figura 222 34 +=a 22 34 +=a ma 5= 4. Determine o valor do ngulo da figura 4 3 arctg= 87,36= 4 m a 3 m Tringulo qualquer Lei dos senos: R C c B b A a 2 sensensen === Lei dos cossenos Abccba cos2222 += Baccab cos2222 += Cabbac cos2222 +=
  • 9. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 6 1.5 Alfabeto Grego Os problemas usuais em engenharia so definidos por formulaes matemticas, as quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. , pois, necessrio, seu conhecimento para as prticas comuns da Engenharia. Alfabeto Grego Smbolo Nome Maiscula Minscula Alfa Beta Gama Delta psilon Zeta Eta Teta Iota Capa Lambda Mi Ni Csi micron Pi R Sigma Thau Upsilon Phi Chi Psi Omega
  • 10. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 7 2 ESTTICA 2.1 Foras no plano A Fora representa a ao de um corpo sobre o outro e caracterizada pelo seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido. A intensidade de uma fora expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direo de uma fora definida por sua linha de ao, ou seja, a reta ao longo da qual a fora atua, sendo caracterizada pelo ngulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 1 abaixo. F F Figura 2.1 O sentido da fora indicado por uma seta (vetor). Denomina-se Grupo de foras, o conjunto de foras aplicadas em um nico ponto de um corpo. Sistema de foras o conjunto de foras aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. 2.2 Equilbrio de um ponto material Ponto material uma pequena poro de matria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espao. Quando a resultante de todas as foras que atuam sobre um ponto material nula, este ponto est em equilbrio. Este princpio conseqncia da primeira lei de Newton: se a fora resultante que atua sobre um ponto material zero, este ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento). Para exprimir algebricamente as condies de equilbrio de um ponto material, escreve-se: 0== RF onde: F = fora R = resultante das foras
  • 11. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 8 A representao grfica de todas as foras que atuam em um ponto material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, como indica a figura ao lado. F3 F2 A F4 F1 Figura 2.2 Exemplo: verificar se o sistema de foras indicado est em equilbrio As condies necessrias e suficientes para o equilbrio so: 0= xF 03020003010001500 == sensenFx 010005001500 == xF ok 0= yF 086630cos100030cos2000 == yF 08668661732 == yF ok xA F = 1500N1 F = 1000N3 F = 866N2 30 y F = 2000N4 30 Resposta: O sistema de foras est em equilbrio 2.3 Resultante de uma fora Constata-se experimentalmente que duas foras P e Q que atuam sobre um ponto material podem ser substitudas por uma nica fora R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto material. Essa fora chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de um grupo de foras a fora que, atuando sozinha, produz ao idntica produzida pelo grupo ou sistema de foras. A resultante pode ser determinada por solues grficas ou analticas. a) Solues grficas: quando um ponto material est em equilbrio sob a ao de mais de trs foras o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polgono de foras, como indicado nas figuras abaixo. Regra do paralelogramo Q A P A P Q R R
  • 12. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 9 Regra do Tringulo A Q A R=P+Q P Q P R=P+Q Composio de foras R=F1+F2-F3 F3 R=F1+F2 F1 F1 R=F1+F2+F3 F2 F3 F3 F2 F3 Decomposio de foras F Fx y x y F b) Solues analticas: os mtodos analticos utilizam a trigonometria e as equaes de equilbrio. Exemplos Determinar a Resultante das duas foras P e Q agem sobre o parafuso A. Q=60 N 25 20A P=40 N
  • 13. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 10 a. Solues grficas 35.0 R=98 N A 20 25 P=40 N Q=60 N R=98 N Q=60 N A P=40 N 35.0 Regra do paralelogramo Regra do tringulo b. Soluo analtica: trigonometria Clculo da fora resultante: Lei dos cossenos: BPQQPR cos2222 += 155cos604024060 222 +=R NR 7,97= Clculo do ngulo Lei dos senos R senB Q senA = 7,97 155 60 sensenA = 25,0=senA 15=A 20+= A 352015 =+= A R Q=60 N P=40 N B 155 C Sabendo-se que o parafuso est fixo, portanto em equilbrio, existem foras de reao que equilibram as foras Q e P. Este princpio explicado pela terceira lei de Newton: A toda ao corresponde uma reao, com a mesma intensidade, mesma direo e sentido contrrio. Portanto, o parafuso est reagindo por uma fora de mesma intensidade da resultante de P e Q, mas em sentido contrrio. A fora de reao pode ser decomposta em duas foras Fx e Fy, que so suas projees sobre os eixos (x e y). NFx 8035cos7,97 == NsenFy 56357,97 == A R=97,7 N 35 Fx=80 N 20 Fy=56 N R=97,7 N P=40 N 25 Q=60 N 35.0
  • 14. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 11 Verificao do equilbrio do ponto A Para que o ponto A esteja em equilbrio necessrio que a somatria de todas as foras que agem no ponto A sejam nulas, ou seja: 0 1 == n i nF y Q=60 N Fy=56 N x 25 20A Fx=80 N P=40 N = 0xF =+= 08020cos4045cos60xF 00 = ok = 0yF =+= 05620404560 sensenFy 00 = ok Um caso particular da terceira lei de Newton a lei da gravitao que trata da atrao da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfcie. A fora de atrao exercida pela Terra sobre o ponto material definida como o seu peso (P). a intensidade do peso P de um ponto material de massa m expresso como. gmP = onde g=9,81 m/s2 a acelerao da gravidade. 2. Determinar as foras nos cabos. gmP = ( )2 /81,9)(75 smkgP = NP 736= 3050 A 75 kg C B 736 N 80 60 ACT 40 TAB soluo grfica: desenho do polgono de foras. 80 736 4060 sensen T sen T ACAB == TAB = 647 N e TAC = 480 N
  • 15. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 12 50 30 A 736 N TAB ACT soluo analtica: equaes de equilbrio. 0= xF 050cos30cos = ABAC TT 30cos 50cos = AB AC T T (1) 0= yF 07363050 =+ senTsenT ACAB Substituindo TAC pela relao (1), tem-se 73630 30cos 50cos 50 = + sen T senT AB AB TAB = 647 N e TAC = 480 N Exerccios 1. Determinar a fora F e o ngulo . A AT =2,5 kN BT = 2,5 kN F y x 5020 C 20 B50 F Respostas: F=2,85 kN e = 74,7 2. Determinar as foras nos cabos x y 60 20 AT TB P m=50 kg A 60 20 B Respostas: TA = 761,3 N e TB = 381 N 3. Determinar a resultante do sistema de foras indicado e o seu ngulo de inclinao em relao ao eixo x. 70 F = 15 N3 F = 10 N1 x50 F = 20 N2
  • 16. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 13 Roteiro: a. Determinar inicialmente a resultante entre as foras F1 e F2 e seu respectivo ngulo (12) em relao ao eixo x. Chamar a resultante de R12; b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R123 (R123 a resultante entre R12 e F3); c. Finalmente, determinar o ngulo (123) de R123 em relao ao eixo x. Respostas: R123 = 32,19 N e 123 = 61,46 4. Determinar o valor da fora F. a) y x 159,65 N 300 N 20 60 F b) x F 60 346,41 N 30 200 N y Resp. F = 314,41 N Resp. F = 400 N c) F y x 45 45 141,42 N 141,42 N d) y x F30 60 45 250 N 120 N 91,9 N Resp. F = 200 N Resp. F = 255,45 N e) 329,36 N 100 N 100 N F 60 70 45 x y f) 65 61 kg 45 F 450 N Resp. F = 321,74 N Resp. F=268,95 N
  • 17. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 14 2.4 Momento de uma fora Define-se Momento como a tendncia de uma fora F fazer girar um corpo rgido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do mdulo de F e da distncia de F em ao eixo fixo. Considere-se uma fora F que atua em um corpo rgido fixo no ponto 0, como indicado na figura. A fora F representada por um vetor que define seu mdulo, direo e sentido. O vetor d a distncia perpendicular de 0 linha de ao de F. 0 A d M0 F Define-se o momento escalar do vetor F em relao a 0, como sendo dFM =0 onde: M0= momento escalar do vetor F em relao ao ponto 0 0 = plo ou centro de momento d= distncia perpendicular de 0 linha de ao de F, tambm chamada de brao de alavanca O momento M0 sempre perpendicular ao plano que contm o ponto 0. O sentido de M0 definido pelo sentido de rotao imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a fora F tender a girar o corpo no sentido anti-horrio e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horrio. M-M+ No SI, onde a fora expressa em newtons (N) e a distncia em metros (m). Portanto, o momento expresso em newtons metros (N m). 2.4.1 Momento de um sistema de foras coplanares Chama-se Momento de um sistema de foras coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em relao ao ponto 0, soma algbrica dos Momentos de cada fora em relao ao mesmo ponto 0. 0 A A F F 3 1 1 2 A2 b1 b2 b3 F3 = = n i FS i MM 1 0,0, 2.4.2 Teorema de Varignon Seja R a resultante do sistema de foras S. O Momento da resultante de um sistema de foras em relao a um ponto igual ao momento do sistema ou seja, a soma algbrica dos Momentos de todas as foras componentes em relao ao mesmo ponto O. = == n i FSR i MMM 1 0,0,0,
  • 18. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 15 2.4.3 Momento de um binrio Duas foras F e F que tenham o mesmo mdulo, linhas de ao paralelas e sentidos opostos formam um binrio. A soma das componentes das duas foras em qualquer direo zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas foras em relao a um dado ponto no zero. Apesar de as duas foras no transladarem o corpo no qual atuam, tendem a faz-lo girar. b 1-F 2A A1 F1 Exemplos 1. Uma fora de 450 N aplicada no ponto A como ilustrado na figura. Determinar: a) o momento da fora em relao a D; b) a menor fora aplicada em D que ocasiona o mesmo momento em relao a D; c) o mdulo e o sentido da fora vertical que, aplicada em C, produz o mesmo momento em relao a D; d) a menor fora que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relao a D. B 30 A D 225mm 225mm C 125mm 300mm 450 N 30 B 197.3mm 225mm C225mm 52.6 D 125mm 300mm 37.4325 30 22.6 A 450 N Soluo a) brao de alavanca 197,3 mm Momento M=Fb M=450197,3= 88785 N.mm ou M= 88,8 N.m B 30 A 225mm 375 mm 225mm C 53.1 36.9 125mm D 300mm 450 N b) Para se obter a menor fora aplicada em B que ocasiona o mesmo momento em relao a D, deve-se utilizar o maior brao de alavanca, ou seja: 375300225 22 =+=b mm b M F = 8,236 375,0 8,88 ==F N c) b M F = 7,394 225,0 8,88 ==F N
  • 19. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 16 d) A menor fora que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relao a D aquela cujo brao de alavanca o maior possvel, ou seja: 2,318225225 22 =+=b mm b M F = 279 3182,0 8,88 ==F N 30 318,2 m m 225mm C225mm D 125mm 300mm B A 450 N 2. A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo dimetro. Determinar as foras horizontais e verticais atuantes nos rebites. Como os rebites so iguais, as cargas e as reaes verticais em cada rebite tambm so iguais: RAV= RBV= 30002= 1500 N. O rebite A est sendo puxado para a direita, portanto, possuir uma reao horizontal para a esquerda; O rebite B est sendo empurrado para a esquerda, portanto, possuir uma reao horizontal para a direita. Determinao dos esforos horizontais: = 0AM RBH200=3000600 = 9000 N RAH= RBH=9000 N B RBV ARAH RAV RBH 200mm 600mm 3000 N 3. Determinar o Momento em A devido ao binrio de foras ilustrado na figura MA= Fb MA= 5000,12 = 60 N.m 300mm 120mm F1=500 N F2=500 N A 30 B
  • 20. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 17 4. Substituir o binrio da figura por uma fora F vertical aplicada no ponto B. F1=F2= 500 N MA= Fb b M F = 400 15,0 60 ==F N 300mm 150mm A M =60N.m 120mm A 30 F=400 N B 5. Substituir o binrio e a fora F ilustrados na figura por uma nica fora F=400 N, aplicada no ponto C da alavanca. Determinar a distncia do eixo ao ponto de aplicao desta fora. MA= (4000,15) + (2000,12) = 84 N.m F M d = 21,0 400 84 ==d m = 210 mm 420 60cos 210 ==AC mm 300mm 120mm A M 200 N 200 N d=210mm 150mm A 30 F=400 N AC B C 5. Determinar a intensidade da fora F para que atue no parafuso o torque (momento) de 40 N.m. 217 23cos 200 ==a mm = 0,217 m MA= Fb b M F = 1,184 217,0 40 ==F N 6. Um grifo utilizado para rosquear um tubo de 20 mm a uma luva, como mostra a figura. Determinar a intensidade da fora F exercida pelo grifo no tubo, quando a fora aplicada no aperto for 40 N. = 0AM 40 180 = F 30 240 30 18040 = =F N
  • 21. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 18 2.4.4 Equilbrio de corpos rgidos Um corpo rgido est em equilbrio quando todas as foras externas que atuam sobre ele formam um sistema de foras equivalente a zero, isto , quando todas as foras externas podem ser reduzidas a uma fora nula e a um binrio nulo. 0=F 00=M As expresses acima definem as equaes fundamentais de Esttica. Decompondo cada fora e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se as condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido no espao: x 0 y z 0= xF 0= yF 0= zF 0= xM 0= yM 0= zM Equilbrio ou em duas dimenses As condies de equilbrio de um corpo rgido simplificam-se consideravelmente no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, tem-se: x 0 y 0=zF 0== yx MM 0MM z= para cada uma das foras aplicadas ao corpo rgido, ento as seis equaes de equilbrio no espao reduzem-se a: 0= xF 0= yF 0= AM onde A um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas trs equaes podem ser resolvidas para um mximo de trs incgnitas. O equilbrio em duas dimenses tambm conhecido como equilbrio no plano.
  • 22. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 19 2.5 Apoios Para o estudo do equilbrio dos corpos rgidos no bastam conhecer somente as foras externas que agem sobre ele, mas tambm necessrio conhecer como este corpo rgido est apoiado. Apoios ou vnculos so elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificao: Apoio mvel ou Impede movimento na direo normal (perpendicular) ao plano do apoio; Permite movimento na direo paralela ao plano do apoio; Permite rotao. Apoio fixo Impede movimento na direo normal ao plano do apoio; Impede movimento na direo paralela ao plano do apoio; Permite rotao. Engastamento Impede movimento na direo normal ao plano do apoio; Impede movimento na direo paralela ao plano do apoio; Impede rotao.
  • 23. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 20 2.6 Tipos de Estruturas As estruturas so classificadas em funo do nmero de reaes de apoio ou vnculos que possuem. Cada reao constitui uma incgnita a ser determinada. Para as estruturas planas, a Esttica fornece trs equaes fundamentais: 0= xF 0= yF 0= AM 2.6.1 Estruturas hipostticas Estruturas hipostticas so aquelas cujo nmero de reaes de apoio ou vnculos inferior ao nmero de equaes fornecidas pelas condies de equilbrio da Esttica. A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura hiposttica. As incgnitas so duas: RA e RB. Esta estrutura no possui restrio a movimentos horizontais. L P A RB B R A 2.6.2 Estruturas isostticas Estruturas isostticas so aquelas cujo nmero de reaes de apoio ou vnculos igual ao nmero de equaes fornecidas pelas condies de equilbrio da Esttica. No exemplo da estrutura da figura, as incgnitas so trs: RA, RB e HA. Esta estrutura est fixa; suas incgnitas podem ser resolvidas somente pelas equaes fundamentais da Esttica. RA A HA L P RB B 2.6.3 Estruturas hiperestticas Estruturas hiperestticas so aquelas cujo nmero de reaes de apoio ou vnculos superior ao nmero de equaes fornecidas pelas condies de equilbrio da Esttica. Um tipo de estrutura hiperesttica esta ilustrado na figura ao lado. As incgnitas so quatro: RA, RB, HA e MA. As equaes fundamentais da Esttica no so suficientes para resolver as equaes de equilbrio. So necessrias outras condies relativas ao comportamento da estrutura, como, p. ex., a sua deformabilidade para determinar todas as incgnitas. RA RB HA A AM L P B
  • 24. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 21 3 TRELIAS 3.1 Definio Trelia toda estrutura constituda de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto de encontro das barras chamado n da trelia. Os esforos externos so aplicados unicamente nos ns. Denomina-se trelia plana, quando todas as barras de uma trelia esto em um mesmo plano. Para se calcular uma trelia deve-se: a) determinar as reaes de apoio; b) determinar as foras nas barras. A condio para que uma trelia de malhas triangulares seja isosttica : vbn +=2 onde: b= nmero de barras n= nmero de ns v= nmero de reaes de apoio Adota-se como conveno de sinais: barras tracionadas: positivo setas saindo do n barras comprimidas: negativo setas entrando no n Os esforos nas barras das trelias podem ser resolvidos por mtodos grficos e analticos. Um dos vrios processos analticos usuais o Mtodo do Equilbrio dos Ns, abaixo exemplificado.
  • 25. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 22 3.2 Mtodo do equilbrio dos ns Inicialmente devem-se identificar os ns e verificar os tipos de reaes de apoio. No caso da trelia da figura, no n A tem-se um apoio mvel e no n B, um apoio fixo. Como os apoios mveis restringem somente deslocamentos os perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reao vertical RA. Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reao vertical RB e uma reao horizontal HE. C RA A F 2 m B 50 kN 100 kN D 2 m RE E 2 m HE 50 kN Verificar se a trelia uma estrutura isosttica barras b = 9 ns n = 6 reaes v = 3 vbn +=2 Concluso: 3962 += a trelia uma estrutura isosttica Clculo do ngulo de inclinao das barras 45 2 2 === adjacentecateto opostocateto arctg a) Clculo das reaes de apoio Equao de equilbrio das foras na horizontal: 0= HF concluso: HE = 0 Equao de equilbrio das foras na vertical: 0= VF 05010050 =+ EA RR 200=+ EA RR kN (1) Equao de equilbrio de momentos: Como a estrutura est em equilbrio, a somatria dos momentos em relao a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o n A como referncia, tem-se 0= AM 021004504 = ER 4 400 =ER 100=ER kN Substituindo o valor de RE na equao (1), tem-se: 200100 =+AR kN logo 100=AR kN b) Clculo das foras nas barras Iniciar a resoluo pelo n que tiver no mximo duas foras incgnitas. As foras devem estar tracionando o n (seta saindo). Como no se sabe a priori se as foras nas barras so de trao ou de compresso, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor
  • 26. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 23 determinado for negativo, significa que a barra est comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado. N A A RA N2 N1 0= HF 02 =N 0= VF 01100 =+ N 1001 =N kN N B B 100 45 N4 50 N3 0= HF 045cos43 =+ NN 503 =N kN 0= VF 045450100 = senN 7,704 =N kN N C N550 100 N6 C 0= HF 0550 =+ N 505 =N kN 0= VF 06100 =+ N 1006 =N kN N D 45 50 50 N7 N8 D 0= HF 045cos750 = N 7,707 =N kN 0= VF 0457,70850 =++ senN 1008 =N kN N E 100 100 E N9 0= HF 09 =N N F Verificao 45 45 100 70,770,7 0,0 0,0 F 0= HF 045cos7,7045cos7,70 =+ 0 = 0 ok 0= VF 0457,70457,70100 =++ sensen 0 = 0 ok
  • 27. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 24 Como a trelia simtrica, com carregamentos simtricos, os resultados das foras que agem nos ns D e E so iguais s dos ns B e A, respectivamente. Portanto, no h necessidade de se calcular as foras nos ns D e E. Resultados NAB= -100 kN compresso NAF= 0 NBC= -50 kN compresso NBF= +70,7 kN trao NCF= -100 kN compresso NCD= -50 kN compresso NDF= +70,7 kN trao NDE= -100 kN compresso NFE= 0 kN C RA A F 2 m B 50 kN 100 kN D 2 m RE E 2 m HE 50 kN 2. Calcular as foras em cada barra da trelia mo francesa da figura. 1.0m C 2.0 m 40 kN AHA 1.0m E 2.0 m D 20 kN RB HB B Clculo dos ngulos de inclinao das barras 43,63 1 2 === arctg 56,26 2 1 === arctg a) Clculo das reaes de apoio 0= HF 40=+ BA HH kN 0= VF 020 =+BR 20=BR kN 0= BM 01402402 =+ AH 60=AH kN 20=BH kN
  • 28. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 25 b) Clculo das foras nas barras N B N2 N1 63.4 20 kN 20 kN B 0= HF 022 =+ senN 4,222 =N kN 0= VF 0cos2120 =+ NN 101 =N kN N A 60 N3 100 26.6 A N4 10 0= HF 0346 =++ senNN 04,2246 =+ senN 404 =N kN 0= VF 0cos310 =+ N 4,223 =N kN N E 40 N6 E N5 0= HF 406 =N kN 0= VF 05 =N kN N D 26.6 N7 40 D 20 0= VF 0720 =+ senN 7,447 =N kN 0= HF 0cos7,4440 =+ sen 0 = 0 ok N C 22,4 44,7 0,0 22,4 26.6 40C 0= HF 0cos7,4440cos4,22cos4,22 =+ =0 kN 0= VF 07,444,224,22 = sensensen 10+10-20 =0 ok
  • 29. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 26 Resultados NAB= +10 kN trao NAC= -22,4 kN compresso NBC= +40 kN trao NBC= +22,4 kN trao NCE= 0 NCD= +44,7 kN trao NED= +40 kN trao 1.0m C 2.0 m 40 kN AHA 1.0m E 2.0 m D 20 kN RB HB B Exerccios 1. Determine a fora em cada barras das trelias ilustradas. Indique se cada barra est tracionada ou comprimida. 1. FAB = 8 kN C FAC = 10 kN T FBC = 8,545 kN T C 1.2m A 9000 N 2.4m 0.9m B A 400mm B C 500mm 375mm 1200 N 2. FAB = 3 900 N T FAC = 4 500 N C FBC = 3600 N C 3. FAB = FDE = FBG = FDI = 0; FAF = FCH = FEJ = 400 N C; FBC = FCD = 800 N C; FBF = FDJ = 849 N C; FBH = FDH = 283 N T; FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T a a a a B C D E G H I J 400 N 400 N 400 N 400 N F a A 400 N
  • 30. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 27 2,7m 9000 N F 3,6m E 2,7m DC 9000 N BA 4. FAB = 9 kN; FAC = 0; FBC = 11,25 kN C FBD = 6,75 kN T; FCD = 18 kN T FCE = 6,75 kN C; FDE = 22,50 kN C FDF = 20,25 kN T 5. FAB = FDE = 8 kN C FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C FBF = FDH = FCG = 4 kN T a a aa 30 30 30 30 G C F H 4 kN4 kN A E DB FD E 3,6 m 3,6 m 100 kN A 1,5 m 1,5 m 1,5 m B C 6. FAB = 130 kN T FAD = 100 kN T FAE = 130 kN C FBC = 173,5 kN T FBE = 50 kN T FBF = 52,05 kN C FCF = 33,35 kN T FDE = 0 FEF= 1120 kN C
  • 31. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 28 4 TENSES E DEFORMAES 4.1 Introduo Os conceitos de tenso e deformao podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismtica (barra de eixo reto e de seo constante em todo o comprimento). Considere-se uma barra prismtica carregada nas extremidades por foras axiais P (foras que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou trao na barra. Sob ao dessas foras originam-se esforos internos no interior da barra. Para o estudo desses esforos internos, considere-se um corte imaginrio na seo mm, normal a seu eixo. Removendo-se por exemplo a parte direita do corpo, os esforos internos na seo considerada (m-m) transformam-se em esforos externos. Supe-se que estes esforos estejam distribudos uniformemente sobre toda a seo transversal. m m L P P P Figura 4.1. Para que no se altere o equilbrio, estes esforos devem ser equivalentes resultante, tambm axial, de intensidade P. Quando estas foras so distribudas perpendiculares e uniformemente sobre toda a seo transversal, recebem o nome de tenso normal, sendo comumente designada pela letra grega (sigma). Pode-se ver facilmente que a tenso normal, em qualquer parte da seo transversal obtida dividindo-se o valor da fora P pela rea da seo transversal, ou seja, A P = (1) A tenso tem a mesma unidade de presso, que, no Sistema Internacional de Unidades o Pascal (Pa) corresponde carga de 1N atuando sobre uma superfcie de 1m2 , ou seja, Pa = N/m2 . Como a unidade Pascal muito pequena, costuma-se utilizar com freqncia seus mltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa106 ), GPa = kN/mm2 = (Pa109 ), etc. Em outros Sistemas de Unidades, a tenso ainda pode-se ser expressa em quilograma fora por centmetro quadrado (kgf/cm2 ), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc. Quando a barra alongada pela fora P, como indica a Figura 4.1, a tenso resultante uma tenso de trao; se as foras tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, tem-se tenso de compresso.
  • 32. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 29 A condio necessria para validar a Equao (1) que a tenso seja uniforme em toda a seo transversal da barra. O alongamento total de uma barra submetida a uma fora axial designado pela letra grega (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado deformao especfica, representado pela letra grega (epsilon), dado pela seguinte equao: L = (2) onde: = deformao especfica = alongamento ou encurtamento L = comprimento total da barra. Note-se que a deformao uma quantidade adimensional. de uso corrente no meio tcnico representar a deformao por uma frao percentual (%) multiplicando-se o valor da deformao especfica por 102 ou mesmo at () multiplicando-se por 103 . 4.2 Diagrama tenso-deformao As relaes entre tenses e deformaes para um determinado material so encontradas por meio de ensaios de trao. Nestes ensaios so medidos os alongamentos , correspondentes aos acrscimos de carga axial P, que se aplicarem barra, at a ruptura do corpo-de-prova. Obtm-se as tenses dividindo as foras pela rea da seo transversal da barra e as deformaes especficas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformao medida. Deste modo obtm-se um diagrama tenso-deformao do material em estudo. Na Figura 4.2 ilustra-se um diagrama tenso-deformao tpico do ao. regio elstica regio plstica C 0 L p P r A p e escoamento B P r ED Tenso A P = Deformao L = r = tenso de ruptura e = tenso de escoamento p = tenso limite de proporcionalidade Figura 4.2. Diagrama tenso-deformao do ao Regio elstica: de 0 at A as tenses so diretamente proporcionais s deformaes; o material obedece a Lei de Hooke e o diagrama linear. 0 ponto A chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a
  • 33. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 30 proporcionalidade. Da em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta 0A, at que em B comea o chamado escoamento. O escoamento caracteriza-se por um aumento considervel da deformao com pequeno aumento da fora de trao. No ponto B inicia-se a regio plstica. O ponto C o final do escoamento o material comea a oferecer resistncia adicional ao aumento de carga, atingindo o valor mximo ou tenso mxima no ponto D, denominado limite mximo de resistncia. Alm deste ponto, maiores deformaes so acompanhadas por redues da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama. A presena de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande deformao plstica uma caracterstica do ao, que o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aos quanto as ligas de alumnio podem sofrer grandes deformaes antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformaes, antes da ruptura, so classificados de materiais dcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, lato, nquel, etc, tambm possuem comportamento dctil. Por outro lado, os materiais frgeis ou quebradios so aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cermica, gesso, entre outros. 4.3 Tenso admissvel Para certificar-se de que a estrutura projetada no corra risco de runa, levando em conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecises na construo e possveis desconhecimentos de algumas variveis na anlise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurana (f), majorando-se a carga calculada. Outra forma de aplicao do coeficiente de segurana utilizar uma tenso admissvel ( ou adm ), reduzindo a tenso calculada (calc), dividindo-a por um coeficiente de segurana. A tenso admissvel normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na regio de deformao elstica do material. Assim, f calc adm == (3) 4.4 Lei de Hooke Os diagramas tenso-deformao ilustram o comportamento de vrios materiais, quando carregados por trao. Quando um corpo-de-prova do material descarregado, isto , quando a carga gradualmente diminuda at zero, a deformao sofrida durante o carregamento desaparecer parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar forma original denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente forma original, diz-se que o material perfeitamente elstico; mas se o retorno no for total, o material parcialmente elstico. Neste ltimo caso, a deformao que permanece depois da retirada da carga denominada deformao permanente.
  • 34. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 31 A relao linear da funo tenso-deformao foi apresentada por Robert HOOKE em 1678 e conhecida por LEI DE HOOKE, definida como: E= (4) onde = tenso normal E = mdulo de elasticidade do material = deformao especfica O Mdulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do diagrama tenso-deformao e diferente para cada material. A lei de HOOKE valida para a fase elstica dos materiais. Por este motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitaes sobre o material, vale a superposio de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitao sobre o material e depois som-los. Alguns valores de E so mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, o valor do Mdulo de Elasticidade sob compresso ou sob trao so iguais. Tabela 4.1 Propriedades mecnicas tpicas de alguns materiais Material Peso especfico (kN/m3 ) Mdulo de Elasticidade (GPa) Ao 78,5 200 a 210 Alumnio 26,9 70 a 80 Bronze 83,2 98 Cobre 88,8 120 Ferro fundido 77,7 100 Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12 Quando a barra carregada por trao simples, a tenso axial AP /= e a deformao especfica L/ = . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, tem-se a seguinte expresso para o alongamento da barra: EA PL = (5) Esta equao mostra que o alongamento de uma barra linearmente elstica diretamente proporcional carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao mdulo de elasticidade e rea da seo transversal. O produto EA conhecido como rigidez axial da barra.
  • 35. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 32 4.4.1 Coeficiente de Poisson Quando uma barra tracionada, o alongamento axial acompanhado por uma contrao lateral, isto , a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra essas deformaes. P P P P Figura 4.3. Deformaes longitudinal e lateral nas barras A relao entre as deformaes transversal e longitudinal constante dentro da regio elstica, e conhecida como relao ou coeficiente de Poisson (v); definido como: allongitudindeformao lateraldeformao = (6) Esse coeficiente assim conhecido em razo do famoso matemtico francs S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elsticas em todas as direes, denominados isotrpicos, Poisson achou 0,25. Experincias com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direo escolhida, no ponto considerado, ento denominado, material istropico. Se o material no possuir qualquer espcie de simetria elstica, ento denominado material anisotrpico. Um exemplo de material anisotrpico a madeira pois, na direo de suas fibras a madeira mais resistente. 4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicvel a exemplos simples de solicitao axial. Se forem consideradas as deformaes longitudinal (L) e transversal (t), tem-se, respectivamente: E L = e E Lt == (7) No caso mais geral, no qual um elemento do material solicitado por trs tenses normais x, y e z, perpendiculares entre si, s quais correspondem respectivamente s deformaes x, y e z, a Lei de HOOKE se escreve:
  • 36. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 33 ( )[ ]zyxx E += 1 . ( )[ ]xzyy E += 1 (8) ( )[ ]yxzz E += 1 . A lei de HOOKE vlida para materiais homogneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ) em todos os pontos. Exemplos 1. Determinar a tenso de trao e a deformao especfica de uma barra prismtica de comprimento L=5,0m, seo transversal circular com dimetro =5cm e Mdulo de Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma fora axial de trao P=30 kN. L= 5 m P P=30 kN 4 2 =A 6,19 4 52 = = A cm2 A P = 53,1 6,19 30 == kN/cm2 ou 15,3 MPa EA PL = 0382,0 6,19000.20 50030 = = cm L = 0000764,0 500 0382,0 == ou 1000 = 0,0764 () 2. A barra da figura constituda de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seo transversal com rea A=10cm2 ; trecho BC=200cm e seo transversal com rea A=15cm2 e trecho CD=200cm e seo transversal com rea A=18cm2 solicitada pelo sistema de foras indicado na Figura. Determinar as tenses e as deformaes em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2 . 300 cm 30kN A 150kN 200 cm200 cm B C 50kN D 170kN y x z
  • 37. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 34 Trecho A-B 300 cm 150kN A 170kN 50kN 30kN B R=150kN A P = 15 10 150 == kN/cm2 EA PL = 214,0 10000.21 300150 = = cm L = 713,01000 300 214,0 == () Trecho B-C 30kNR=120kN 150kN 200 cm B C 50kN 170kN R=120kN A P = 8 15 120 == kN/cm2 EA PL = 076,0 15000.21 200120 = = cm L = 38,01000 200 076,0 == () Trecho C-D 30kNR=170kN 150kN 200 cm 50kN C D 170kN A P = 44,9 18 170 == kN/cm2 EA PL = 0899,0 18000.21 200170 = = cm L = 45,01000 200 0899,0 == () Alongamento total 38,00899,0076,0214,0 =++= cm
  • 38. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 35 4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas Nos exemplos anteriores, as foras que atuavam nas barras da estrutura podiam ser calculadas pelas equaes da Esttica. Tais estruturas so denominadas estaticamente determinadas. H casos, porm, em que as equaes de equilbrio fornecidas pela Esttica no so suficientes para a determinao de todas as aes e reaes de uma estrutura. Para essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as foras e a reaes s podero ser calculadas se as deformaes forem levadas em conta. Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada ilustrado na Figura 4.4. Ra A A Ra (c) A B Rb B C P (a) (b) B L b a C P Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada A barra est carregada por uma fora P no ponto C e as extremidades AB da barra esto presas em suportes rgidos. As reaes Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, porm suas intensidades no podem ser calculadas apenas pelas equaes da Esttica. A nica equao fornecida pelo equilbrio esttico PRR ba =+ (9) a qual contm ambas as reaes desconhecidas (2 incgnitas), sendo, portanto, insuficiente para seu clculo com uma nica equao. H necessidade, portanto, de uma segunda equao, que considere as deformaes da barra. Para a considerao da deformao na barra, deve-se analisar o efeito de cada fora sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, ento, o efeito da carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento (para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido carga P, dado por: EA Pb P =
  • 39. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 36 Em seguida, analisa-se o efeito da reao Ra deslocando do ponto A, ilustrado na Figura 4.4c. Note-se que se est analisando o efeito da reao Ra com a extremidade A da barra livre. O deslocamento (para cima) dado por: EA LRa R = Ora, como a extremidade A da barra fixa, o deslocamento final (), neste ponto, resultante da ao simultnea das foras P e Ra, nulo. Logo, 0= PR RP = , ou seja, EA LR EA Pb a = . Logo, L Pb Ra = . Substituindo o Ra na equao (9), tem-se: PR L Pa b =+ L Pa PRb = L PbPL Rb = L bLP Rb )( = L Pa Rb = Exemplos 1. Uma barra constituda de dois trechos rigidamente presa nas extremidades. Determinar as reaes R1 e R2 quando se aplica uma fora P. Dados: E=21.000 kN/cm2 ; AAB=5cm2 ; ABC=7,5cm2 ; P= 60 kN Soluo Equao de equilbrio PRR =+ 21 (1) Equao de compatibilidade das deformaes: BCAB = (2) Nota: As cargas P/2 provocaro um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no trecho BC, de valores exatamente iguais. lembrando que EA PL = , tem-se 5,7 5,1 5 2 21 = E R E R 21 2,04,0 RR = 4,0 2,0 2 1 R R = 21 5,0 RR = substituindo em (1) 6021 =+ RR 605,0 22 =+ RR 605,1 2 =R 402 =R kN mas, 60401 =+R logo 201 =R kN. 2 cm 1,5 cm P/2P/2 A B C R2 R1
  • 40. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 37 2. dado um cilindro de ao de 5cm de dimetro no interior de um tudo de cobre de 8cm de dimetro externo, com dimenses indicadas na Figura. Aplicando-se uma fora de P=400 kN, qual a parcela de carga no cilindro de ao e qual a parcela de carga no cilindro de cobre? Dados: Eao=21.000 kN/cm2 ; Ecobre=12.000 kN/cm2 63,19 4 52 = = aoA cm2 aototalcobrecobre AAA = , 63,30 4 5 4 8 22 = = cobreA cm2 400=+ aocobre PP kN (1) 25,0+= cobreao (2) lembrando que EA PL = , tem-se 25,0 63,30000.12 300 63,19000.21 25,300 + = cobreao PP 25,0000817,0000728,0 += cobreao PP 300cm 5 cm 8 cm cilindro de cobre P=400 kN cilindro de ao 0,25cm posio final placa rgida 000728,0 25,0000817,0 + = cobre ao P P substituindo em (1), tem-se, 400 000728,0 25,0000817,0 = + + cobre cobre P P kN 400 000728,0 25,0 000728,0 000817,0 =++ cobre cobre P P kN 4004066,3431223,1 =++ cobrecobre PP 66,26=cobreP kN substituindo em (1), tem-se: 34,37366,26400 ==aoP kN Exerccios 1. Em uma mquina usa-se uma barra prismtica de 10m de comprimento, comprimida por uma fora de 500 kN. Sabendo-se que a tenso no deve exceder a 140 kN/cm2 e o encurtamento no deve exceder a 3mm, pede-se determinar o dimetro da barra. E=21.000 kN/cm2 . Resposta: =10cm 2. Uma barra prismtica est submetida trao axial. A rea da seo transversal 2cm2 e o seu comprimento 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento =0,714285cm quando submetida fora de trao 60kN, pede-se determinar o mdulo de elasticidade do material. Resposta: E=21.000 kN/cm2 . 3. Uma barra cilndrica de 38mm de dimetro e 20cm de comprimento sofre a ao de uma fora de compresso de 200kN. Sabendo-se que o mdulo de elasticidade da barra E=9.000 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, =0,3, determinar o aumento de dimetro da barra. Resposta: t=0,00223cm.
  • 41. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 38 4. A barra rgida AB articulada em A, suspensa em B por um fio e apia-se em C em um suporte de ferro. So dados: comprimento do fio: 1,7m; rea da seo transversal do fio: 5cm2 ; mdulo de elasticidade do fio E=21.000 kN/cm2 ; comprimento do suporte: 2m; rea do suporte: 15cm2 ; mdulo de elasticidade do suporte E=10.000 kN/cm2 . Determinar as foras no fio, no suporte e na articulao. Respostas: Fora no fio: 50kN Fora no suporte: 25kN Fora na articulao: 25kN B 1.70m2.0m 2.0 m1.0 m2.0 m P=100 kN CA B Pf PCPA A C P=100 kN 4.6 Tenses iniciais e Tenses Trmicas Quando uma estrutura estaticamente determinada, a variao uniforme da temperatura em todo seu comprimento no acarreta nenhuma tenso, pois a estrutura capaz de se expandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variao de temperatura em estruturas fixas, estaticamente indeterminadas, produz tenses em seus elementos, denominadas tenses trmicas. Esta concluso pode ser observada pela comparao entre uma barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas extremidades, como mostrado na Figura 4.5. R (c) R B A (a) R B L A (b) B T A T Figura 4.5. Barra fixa nas extremidades, submetida a aumento de temperatura Na barra da Figura 4.5b, a variao uniforme de temperatura sobre toda a barra causar o alongamento:
  • 42. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 39 TL= (10) onde: = coeficiente de dilatao trmica L = comprimento T = variao de temperatura (C) Como este alongamento pode ocorrer livremente, no surgir nenhuma tenso na barra. Na Tabela 4.2 esto indicados coeficientes de dilatao trmica de alguns materiais. Tabela 4.2 Valores Tpicos do coeficiente de dilatao trmica Material Coeficiente de dilatao trmica (10-6 C-1 ) Ao 11,7 Alumnio 21,4 a 23,9 Magnsio 26,1 Cobre 16,7 Concreto 7,2 a 12,6 No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5, quando h aumento de temperatura, a barra no pode alongar-se, surgindo, como conseqncia, uma fora de compresso que pode ser calculada pelo mtodo descrito no item precedente. Para a barra engastada da Figura 4.5a, v-se que, se a extremidade A for liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acrscimo de temperatura, ser o mesmo deslocamento para baixo, decorrente da ao da fora R, ou seja, RL/EA. Igualando esses dois deslocamentos vm: TEAR = (11) Depois de se obter R, pode-se calcular a tenso e a deformao especfica da barra pelas expresses: TE A R == e T E == Deste exemplo, conclui-se que a variao de temperatura produz tenses em sistemas estaticamente indeterminados, ainda que no se tenha a ao de foras externas. Exemplo Uma barra prismtica, rigidamente presa nas extremidades submetida a um aumento de temperatura de 20C, ao mesmo tempo em que recebe uma carga P=30 kN. Determinar as reaes de apoio. Dados: A= 1,5 cm2 ; E=20.000 kN/cm2 ; =11,710-6 C-1 ; T= +20C Soluo: a) determinao das reaes RA e RB, devido ao aumento de temperatura TEAR = BA C P=30 kN 250 cm100 cm
  • 43. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 40 BA R'A =7,02 R'B =7,02 kN 02,720107,115,1000.20 6 == R kN BA RRR == b) ao se aplicar a carga P= 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrer um alongamento exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto, BCAC = . Assim, EA R EA R BA 250100 = BA RR = 5,2 fazendo o equilbrio de foras, tem-se: PRR AB =+ mas BA RR = 5,2 , logo, 305,2 =+ BB RR 305,3 =BR 57,8=BR kN Portanto, 43,21=AR kN R''B =8,57 kNR''B =21,43 A P=30 kN B Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elstico, vale a superposio de efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P: AAA RRR += 41,1443,2102,7 =+=AR kN BBB RRR += 59,1557,802,7 =+=BR kN Exerccio 1. A um tubo de ao se aplica uma carga axial de 200 kN por meio de uma placa rgida. A rea da seo transversal do cilindro de ao 20cm2 . Determinar o acrscimo de temperatura T para o qual a carga externa seja equilibrada pelos esforos que aparecem nos cilindros de ao e cobre. Dados: Eao=21.000 kN/cm2 ; ao=11,710-6 C-1 Resposta: T = 40,7C. 50cm tubo de ao P=200 kN
  • 44. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 41 4.7 Tenso de cisalhamento Denomina-se fora cortante (V), a componente de uma fora, contida no plano da seo transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. A fora cortante uma fora que atua no prprio plano da seo transversal. A outra componente a fora normal. resultante fora normal barra engastada L P fora tangencial V R Figura 4.6 A fora cortante d lugar, em cada um dos pontos da seo, ao aparecimento de uma tenso tangencial, denominada tenso de cisalhamento, designada pela letra grega . Admitindo-se distribuio uniforme da tenso de cisalhamento na seo transversal de rea A, tem-se, em cada ponto da seo: A V = (12) A tenso de cisalhamento, como a tenso normal, tem tambm a mesma unidade de presso a qual, no Sistema Internacional o pascal (Pa). Exemplo Considere-se o parafuso de 12,5 mm de dimetro, da junta da Figura abaixo. A fora P igual a 15 kN. Admitida a distribuio uniforme das tenses de cisalhamento, qual o valor dessas tenses, em qualquer uma das sees transversais mn ou pq? P nm A qp B P C m p n m p q V B V n q Soluo Supe-se que a fora P solicite igualmente as duas sees transversais. Nessas condies, a fora que atua em cada plano : 15/2=7,50 kN, sobre a seo de rea 1,252 /4 = 1,23 cm2 . Portanto, A V = 1,6 23,1 5,7 == kN/cm2
  • 45. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 42 Exerccios 1. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de ao, como se indica na figura, Se o dimetro do rebite 19mm e a carga P = 30 kN, qual a tenso de cisalhamento no rebite? Resposta:= 10,6 kN/cm2 . P 19mm P=30 kN 2. A barra AB perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura de +25C. Determinar as tenses atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura de 50C. Dados: E=200GPa e =1210-6 /C. Respostas: AC = 240 MPa; CB = 120 MPa 3. Determine a deformao da barra de ao sob a ao das cargas indicadas. Dado: E=210 GPa Resposta: =2,7510-3 m = 2,75mm 4. A barra (1) da figura de ao, possui A1=400mm2 de rea de seo transversal e seu comprimento L1= 800mm. Determinar para a barra (1): a) carga axial atuante (F1) b) tenso normal atuante (1) c) o alongamento (L1) d) a deformao longitudinal (1) e) a deformao transversal (t1) Dados: Eao=210 GPa; =0,3 Respostas: a) F1=6,125 kN; b) 1=15,3MPa c) L1=5810-6 m; d) 1=0,0000725; e) t1=-0,000022
  • 46. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 43 5. A barra rgida BDE suspensa por duas hastes AB e CD. A haste AB de alumnio (Eal=70GPa) com rea de seo transversal de 500mm2 ; a haste CD de ao (Eao=200GPa) com rea de seo transversal de 600mm2 . Para a fora de 30kN determine. a) deslocamento de B; b) deslocamento de D; c) deslocamento de E. Respostas: a) B=0,514mm; b) D=0,300mm; c) E=1,928mm 6. A viga da figura est apoiada n ponto A por meio de um pino com 12,5mm de dimetro e sustentada no ponto B por meio de um cabo de ao com 4mm de dimetro. Ao se aplicar uma carga P no ponto C, o cabo sofre um alongamento de 0,2cm. Determinar a carga P e a tenso de cisalhamento no ponto do suporte A. Desprezar o peso prprio da barra. Dado: ao=2000 kgf/cm2 . Respostas: P = 377kgf A = 102,4 kgf/cm2 . A 4 m P 2 m C B 2m
  • 47. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 44 5 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE FIGURAS PLANAS O dimensionamento e a verificao da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tenses, as quais se distribuem ao longo das sees transversais de um corpo. Da vem a necessidade de se conhecer claramente as caractersticas ou propriedades das figuras geomtricas que formam essas sees transversais. A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seo transversal constante, chamada barra prismtica. O lado da barra que contm o comprimento (L) e a altura (h) chamado de seo longitudinal e o que contm a largura (b) e a altura (h) chamado de seo transversal. h b L seo longitudinal h L seo transversal b h Figura 5.1 Barra prismtica As principais propriedades geomtricas de figuras planas so: rea (A) Momento de Inrcia (I) Momento esttico (M) Mdulo de resistncia (W) Centro de gravidade (CG) Raio de girao (i) 5.1 rea A rea de uma figura plana a superfcie limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a rea pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposio de formas geomtricas de rea conhecida (retngulos, tringulos, etc). A unidade de rea [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). A rea utilizada para a determinao das tenses normais (trao e compresso) e das tenses de transversais ou de corte.
  • 48. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 45 5.2 Momento Esttico Analogamente definio de momento de uma fora em relao a um eixo qualquer, defini-se Momento Esttico (M) de um elemento de superfcie como o produto da rea do elemento pela distncia que o separa de um eixo de referncia. dAyM x = e dAxM y = x y x y dA Momento Esttico de uma superfcie plana definido como a somatria de todos os momentos estticos dos elementos de superfcie que formam a superfcie total. = A x ydAM e = A y xdAM A x y x y dA A unidade do Momento Esttico rea [L] [L]2 = [L]3 . O Momento Esttico utilizado para a determinao das tenses transversais que ocorrem em uma pea submetida flexo. O Momento Esttico de uma superfcie composta por vrias figuras conhecidas a somatria dos Momentos Estticos de cada figura. Exemplo: determinar o Momento Esttico das figuras abaixo A 3CGy 3A A 1 1CG 2CGy 3CG y 2CG 2 1CG x xxxx CGx CGx CGx MMMM AyM AyM AyM ,3,2,1 33,3 22,2 11,1 ++= = = = Elemento vazado 1 2 xxx MMM ,2,1 =
  • 49. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 46 5.3 Centro de Gravidade Se um corpo for dividido em partculas mnimas, estas ficam sujeitas ao da gravidade, isto , em todas estas partculas est aplicada uma fora vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas foras verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. Mesmo mudando a posio do corpo aplicando-lhe uma rotao, ele permanecer sempre sujeito ao da gravidade. Isto significa que as foras verticais giraro em relao ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas foras paralelas, qualquer que seja a posio do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG). Portanto, atrao exercida pela Terra sobre um corpo rgido pode ser representada por uma nica fora P. Esta fora, chamada peso do corpo, aplicada no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da superfcie. O centro de gravidade de uma superfcie plana , por definio, o ponto de coordenadas: CG y x CG x y CG == A y CG dAx AA M x 1 == A x CG dAy AA M y 1 onde: xCG = distncia do CG da figura at o eixo y escolhido arbitrariamente; yCG = distncia do CG da figura at o eixo x escolhido arbitrariamente; Mx = momento esttico da figura em relao ao eixo x; My = momento esttico da figura em relao ao eixo y; A = rea da Figura. Centro de gravidade de reas compostas por vrias figuras O centro de gravidade de uma superfcie composta por vrias figuras, expresso por: x 1Ax 1 y1 yn y x n A n = = = n i i n i ii CG A xA x 1 1 = = = n i i n i ii CG A yA y 1 1
  • 50. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 47 Centro de gravidade de algumas figuras planas retngulo h b CG y CGx x y CG 2 b xCG = 2 h yCG = tringulo h y CG x CGy x CG b 3 b xCG = 3 h yCG = crculo x CG y 0=CGx 0=CGy Semicrculo CG 3 r r ___4R 3 4r yCG = de crculo ___4R 3 r CG 3 ___4R 3 4r xCG = 3 4r yCG = trapzio h CG y 2 h 1 x ba bah h + + = 2 3 1 ba bah h + + = 2 3 2
  • 51. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 48 Exemplos 1. Determinar o centro de gravidade CG do retngulo em relao ao eixo x que passa pela sua base. rea do retngulo hbA = O Momento Esttico do retngulo em relao ao eixo x somatria do produto de cada elemento de rea dA pela sua distncia em relao ao eixo x. dy h b dA x Momento Esttico dybdA = == h A x dybydAyM 0 2 0 22 2 0 2 = = bhbyb M h x 2 2 hb M x = Centro de Gravidade 2 2 2 h hb hb A M y x CG = == 2 h yCG = 2. Determinar o CG da Figura. (medidas em centmetros) ( ) ( ) ( ) 2 321 84 3446158 cmA A AAAA = = = 2 2 4 3262 15 1 2 3 yCG 2 x 3 =3,5 1 =7,5CGy y=10 2CG ( ) ( ) ( ) 3 ,3,2,1 3 33,3 3 22,2 3 11,1 61842240900 42435,3 2404610 9001585,7 cmMMMM cmAyM cmAyM cmAyM xxxx CGx CGx CGx === === === === cm cm cm A M y x CG 36,7 84 618 2 3 ===
  • 52. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 49 3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada.12 x CG8 3 3 2 1 39 5,69 ( ) ( ) 2 21 2 2 2 1 87 933 96812 cmAAA cmA cmA == == == 3 ,2,1 3 ,2 3 ,1 495 81339 5761286 cmMMM cmM cmM xxx x x == == == cm cm cm A M y x CG 69,5 87 576 2 3 === 4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centmetro). x y 3 3 6 4 2 3 4 5,15 A Figura hachurada pode ser o resultado de um retangulo (126) cm do qual foram retirados um tringulo e um semicrculo. rea da figura ( ) ( )[ ] ( ) 2 22 72,53 72,565,0635,0612 cmA cmrA AAAA SCTR = == = Momento Esttico 3 , 2163612 cmM xR == 3 , 36635,04 cmM xT == 32 , 37,32 3 24 625,0 cmM xSC = = 3 ,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx == Coordenada yCG do centro de gravidade A M y x CG = cmyCG 6,2 72,56 63,147 ==
  • 53. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 50 Analogamente, determina-se a coordenada xCG. x y 6 3 3 4 2 1 8 6 3 ,,, 3 2 , 3 , 3 , 73,372 26,50 2 2 8 9 2 63 1 4326126 cmMMMM cmM cmM cmM ySCyTyRy ySC yT yR == = = = = == Coordenada xCG do centro de gravidade A M x y CG = cmxCG 57,6 72,56 73,372 == 5.4 Momento de Inrcia O momento de inrcia de uma superfcie plana em relao a um eixo de referncia definido como sendo a integral de rea dos produtos dos elementos de rea que compem a superfcie pelas suas respectivas distncias ao eixo de referncia, elevadas ao quadrado. A x y x y dA = = A y A x dAxI dAyI 2 2 A unidade do momento de inrcia [L]2 [L]2 =[L]4 . O momento de inrcia uma caracterstica geomtrica importantssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numricos, a resistncia da pea. Quanto maior for o momento de inrcia da seo transversal de uma pea, maior a sua resistncia.
  • 54. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 51 Propriedade: O momento de inrcia total de uma superfcie a somatria dos momentos de inrcia das figuras que a compe. xxxx IIII ,3,2,1 ++= A 3 CG 3 A CG A CG 1 2 2 1 Exemplo Determinar o momento de inrcia da superfcie hachurada em relao ao eixo x que passa pelo CG. (medidas em centmetros) 3 8 44 66 x CG 12 3 hb I CGx = ( )33 83128 12 1 =CGxI 4 024.1 cmI CGx = 5.5 Translao de eixos O momento de inrcia de uma superfcie em relao a um eixo qualquer igual ao momento de inrcia em relao ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da rea (A) pelo quadrado da distncia que separa os dois eixos. 2 CGxx yAII CG += 2 CGyy xAII CG += onde: y y x CG CG CG x y CG CG x Ix = momento de inrcia da figura em relao ao eixo x. Iy= momento de inrcia da figura em relao ao eixo x. CGxI = momento de inrcia da figura em relao ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. CGyI = momento de inrcia da figura em relao ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. CGx = distncia do eixo y at o eixo CGy . CGy = distncia do eixo x at o eixo CGx .
  • 55. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 52 O momento de inrcia utilizado para a determinao das tenses normais a que esto sujeitas as peas submetidas flexo. As formulaes acima podem ser expressas em funo do momento esttico: AyM x = 222 AyM x = 2 2 2 A M y x = A M II x xx CG 2 += 2 CGxx yAII CG += A A M II x xx CG += 2 2 A M II x xxCG 2 = Exemplo: Determinar o momento de inrcia do retngulo em relao aos seguintes eixos: a) x, passando pela base inferior. b) CGx , passando pelo CG. a) x h b dy dA=b.dy = A x dAyI 2 == h h x yb bdyyI 0 0 3 2 3 3 3 hb Ix = b) h/2 -h/2 x b CG h/2 +h/2 dAyI A xCG = 2 2 2 32 2 2 3 h h h h x hb bdyyI CG == = 33 223 hhb I CGx += 883 33 hhb I CGx 128 2 3 33 hbhb I CGx ==
  • 56. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 53 Utilizando a formulao de mudana de eixos x CG h/2 h h/2 CG x b Momento de inrcia do retngulo em relao ao seu CG 12 3 , hb I CGx = 2 CGxx yAII CG += 23 212 + = h bh hb Ix 12 3 412 3333 bhbhhbhb Ix + = + = 312 4 33 hb I hb I xx = = 5.6 Mdulo Resistente Define-se mdulo resistente de uma superfcie plana em relao aos eixos que contm o CG como sendo a razo entre o momento de inrcia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distncia mxima entre o eixo e a extremidade da seo estudada. x ysup yinf x esq x dir CG y maxy I W CG x = maxx I W CG y = onde: ICG = momento de inrcia da pea em relao ao CG da figura x, y = distncia entre o eixo do CG da figura e a extremidade da pea. A unidade do mdulo resistente [ ] [ ] [ ]3 4 L L L = . O mdulo resistente utilizado para o dimensionamento de peas submetidas flexo. Para o retngulo, tem-se: h/2 b CG h/2 12 3 hb Ix = hbA = 6 2 12 2 12 23 3 hb h hb h hb Wx = = =
  • 57. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 54 5.7 Raio de Girao Define-se raio de girao como sendo a raiz quadrada da relao entre o momento de inrcia e a rea da superfcie. A unidade do raio de girao o comprimento. O raio de girao utilizado para o estudo da flambagem. A I i = cm cm cm =2 4 Caractersticas Geomtricas de algumas figuras conhecidas Figura Momento de Inrcia Momento Resistente Raio de Girao Quadrado h h CG 12 4 h Ix = 6 3 h Wx = 12 h ix = Retngulo b CG h CGx 12 3 bh I CGx = 6 2 hb Wx = 12 h ix = Tringulo CG b h x CG 36 3 bh I CGx = 12 2 hb Wx = 6 2 = h ix Crculo D CG x CG 64 4 d I CGx = 32 3 D Wx = 4 D ix = Crculo vazado CG D d CG x ( ) 64 44 dD I CGx = ( ) 32 33 dD Wx = 22 4 1 dDix +=
  • 58. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 55 Exemplo A figura representa a seo transversal de uma viga T. Para a figura, determinar: a) o centro de gravidade; b) o momento de inrcia em relao ao eixo x; c) os mdulos Resistentes superior e inferior; d) o raio de girao. (medidas em centmetros) x 2 5 1 3 2 CG 3 x CG y y sup inf 32 Para facilitar a determinao das propriedades geomtricas de figuras compostas, convm montar a seguinte tabela: Figura b (cm) h (cm) yCG (cm) A (cm2 ) Mx (cm3 ) ICGi (cm4 ) Ixi (cm4 ) 1 3 2 6 6 36 2 218 2 2 7 3,5 4 49 57,17 228,67 3 3 2 6 6 36 2 218 26 121 664,67 Centro de gravidade (CG) cm A M y x CG 65,4 26 121 === Como o eixo de referncia passa pela base da figura, ento yinf=4,65cm e ysup=2,35cm. Na coluna ICGi (cm4 ) foi determinado o momento de inrcia de cada figura, passando pelo respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retngulos, utilizou-se a expresso 12/3 hbIx = . Em seguida, deve-se proceder translao destes momentos de inrcia para eixo x de referncia para determinar a sua somatria. A translao de eixos feita por meio da expresso: AyII CGx += 2 Obtido o momento de inrcia total em relao ao eixo x, deve-se agora proceder translao para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte expresso: A M II x xCG 2 = 26 121 67,664 2 =CGI O momento de inrcia da figura em relao ao seu centro de gravidade 4 55,101 cmICG = Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 3 sup sup, 21,43 35,2 55,101 cm y I W CG x === 3 inf inf, 84,21 65,4 55,101 cm y I W CG x === Finalmente, determina-se o raio de girao. A I i CG x = cmix 98,1 26 55,101 ==
  • 59. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 56 Exerccios: Determinar as caractersticas geomtricas das figuras abaixo: a) rea; b) centro de gravidade (xCG , yCG); c) momento de inrcia em relao ao eixo x; c) momento de inrcia em relao ao eixo x; d) mdulo resistente superior e inferior; e) raio de girao. x 1 1 4 medidas em centmetros 1 8 y Respostas: A = 16 cm2 yCG = 4 cm Ix,CG = 141,33 cm4 Wsup = 35,33 cm3 Winf = 35,33 cm3 i = 2,97 cm xmedidas em centmetros 523 3 32 y Respostas: A = 86 cm2 yCG = 5,105 cm Ix,CG = 683,73 cm4 Wsup = 139,67 cm3 Winf = 133,94 cm3 i = 2,82 cm x1 10 2 14 y medidas em centmetros Respostas: A = 25 cm2 yCG = 1,7 cm Ix,CG = 56,08 cm4 Wsup = 16,99 cm3 Winf = 32,99 cm3 i = 1,50 cm x 1 2,5 2,51 1 y 6 medidas em centmetros Respostas: A = 18 cm2 yCG =4,0 cm Ix,CG = 166 cm4 Wsup = Winf =41,5 cm3 i = 3,04 cm y 1,2 3,6 1,2 6 1,2 medidas em centmetros x Respostas: A = 18,72 cm2 yCG = 3,0 cm Ix,CG = 43,72 cm4 Wsup = Winf = 14,57 cm3 i = 1,53 cm x medidas em centmetros y 11 1,5 3,5 1,21,23,6 8 Respostas: A = 23,2 cm2 yCG = 4 cm Ix,CG = 179,06 cm4 Wsup = 44,76 cm3 Winf = 44,76 cm3 i = 2,78 cm
  • 60. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 57 6 ESFOROS SOLICITANTES 6.1 Introduo Os corpos slidos no so rgidos e indeformveis. A experincia mostra que, quando submetidos a foras externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de dimenses. Os esforos internos que tendem a resistir s foras externas so chamados esforos solicitantes. Se as foras externas produzirem tenses abaixo do limite de elasticidade do material do corpo slido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimenses originais. Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformao chama-se, ento, elstica. Se as foras, porm, passarem de um determinado valor, de modo que, ao cessarem, o corpo no volta mais forma primitiva, mantendo-se permanentemente deformado, diz- se que o corpo foi solicitado alm do limite de elasticidade. Se as foras aumentarem ainda mais, as deformaes permanentes aumentam rapidamente at provocarem ruptura do corpo. A fora que provoca ruptura do corpo serve para medir sua solidez, ou seja, sua resistncia ruptura. Ao se dimensionar uma pea deve-se no s evitar a sua ruptura, como tambm evitar deformaes permanentes, ou seja, ao cessar a fora externa, as deformaes devem tambm cessar. Surge ento a necessidade de um estudo mais profundo dos esforos a que esto submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e econmico. 6.2 Classificao dos esforos solicitantes Os esforos solicitantes so classificados em: Fora Normal (N) Fora Normal a componente da fora que age perpendicular seo transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicao da fora, produz esforos de trao. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de aplicao da fora, produz esforos de compresso. As foras normais so equilibradas por esforos internos resistente e se manifestam sob a forma de tenses normais (fora por unidade de rea), representadas pela letra grega (Sigma), que sero de trao ou de compresso segundo a fora normal N seja de trao ou compresso.
  • 61. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 58 Fora Cortante (V) Fora Cortante componente da fora, contida no plano da seo transversal que tende a deslizar uma poro do corpo em relao outra, provocando corte (deslizamento da seo em seu plano). As tenses desenvolvidas internamente que opem resistncia s foras cortantes so denominadas tenses de cisalhamento ou tenses tangenciais (fora por unidade de rea), representadas pela letra grega (Thau). Momento Fletor (M) Um corpo submetido a esforos de flexo, quando solicitado por foras que tendem a dobr-lo, fleti-lo ou mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contm o eixo longitudinal, ou seja, perpendicular seo transversal. Momento de Toro (T) A componente do binrio de foras que tende a girar a seo transversal em torno de eixo longitudinal chamado Momento de Toro. 6.3 Conveno de sinais Obtidos os valores de N, V, M e T, podem-se traar, em escala conveniente, os diagramas de cada esforo solicitante, tambm denominados linhas de estado. Fora normal (N) trao (+) compresso (-) Fora cortante (V) S P Fora P tendendo girar a barra no sentido horrio em relao seo S: positivo (+) S P Fora P tendendo girar a barra no sentido anti-horrio em relao seo S: negativo (-)
  • 62. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 59 Momentos fletores (M) Momento Fletor: o momento fletor considerado positivo, quando as cargas atuantes na pea tracionam suas fibras inferiores e, negativo, quando as cargas atuantes na pea tracionam suas fibras superiores. OBS: no confundir Momento Fletor com Momento aplicado aos corpos rgidos, cuja conveno de sinais tende a girar no sentido horrio ( ) tende a girar no sentido anti-horrio ( + ) Momentos de Toro(T) Momento de Toro considerado positivo quando tende a girar a seo transversal em torno de seu eixo longitudinal no sentido anti-horrio e, negativo, quando tende a gira no sentido horrio. Regras para o traado dos diagramas de esforos solicitantes 1. Nos pontos da barra em que a fora paralela ao eixo longitudinal, o diagrama de esforos normais apresenta um ressalto de mesma intensidade da fora. 2. Nos pontos da viga onde h fora concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o diagrama de esforos cortantes apresenta um ressalto de mesma intensidade da fora concentrada. 3. Nos pontos da viga onde atua um momento externo, o diagrama de momento fletor apresenta um ressalto de mesma intensidade do momento externo. 4. Nos pontos do diagrama onde o esforo cortante nulo, o diagrama de momento fletor apresenta um ponto de mximo. 5. Nos pontos da barra onde h fora concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso. 6. As funes carregamento, esforo cortante e momento fletor, como se ver mais adiante, esto relacionadas por meio da seguinte equao diferencial de segunda ordem: q dx dV dx Md ==2 2 . Em outras palavras, a rea da figura do diagrama de fora cortante o valor da do momento fletor.
  • 63. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 60 7 VIGAS 7.1 Introduo Vigas so elementos de barras, submetidas a cargas transversais em relao a seu eixo e destinadas a vencer vo. As cargas podem ser classificadas em relao rea em que so aplicadas em concentradas e distribudas. As cargas concentradas so aquelas cuja superfcie de contato com o corpo que lhe resiste desprezvel comparada com a rea do corpo. As cargas distribudas so aquelas aplicadas ao longo de um comprimento ou sobre uma superfcie, podendo ser uniforme ou no uniforme. VO (L) P Fig. 7.1 Viga simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada no meio do vo 7.2 Tipos de cargas 7.2.1 Cargas distribudas As cargas distribudas sobre vigas so cargas por unidade de comprimento. Estas cargas, uniformes ou variveis, podem ser representadas por uma carga concentrada equivalente (R), cujo valor corresponde rea formada pela figura que representa a carga distribuda e aplicada em seu centro de gravidade (CG). Carga uniformemente distribuda carga por unidade de comprimento (tf/m, kgf/m, kN/m) R = carga equivalente, definida como R=q.a (rea do retngulo) O ponto de aplicao da carga equivalente o centro de gravidade do retngulo, ou seja, 2 a x = R q x a
  • 64. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 61 Carga distribuda varivel a. Triangular O valor da carga equivalente a rea da tringulo, ou seja, 2 .aq R = e aplicada no centro de gravidade: centro de gravidade: 3 .2 ' a x = e 3 '' a x = R q x x" a b. Trapezoidal O valor da carga equivalente a rea do trapzio, ou seja, a qp R + = 2 e aplicada no centro de gravidade qp qpa x + + = 2 3 x a p q R 7.3 Apoios ou vnculos Apoios ou vnculos so elementos que restringem movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificao: Apoio mvel ou Impede movimento na direo normal (perpendicular) ao plano do apoio; Permite movimento na direo paralela ao plano do apoio; Permite rotao. Apoio fixo Impede movimento na direo normal ao plano do apoio; Impede movimento na direo paralela ao plano do apoio; Permite rotao. Engastamento Impede movimento na direo normal ao plano do apoio; Impede movimento na direo paralela ao plano do apoio; Impede rotao.
  • 65. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 62 EXEMPLOS 1. Viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada. S2S1 _ Pb / L Pba / L + L ba RA A RA A C + P Pb / L (V) Pa / L (M) HB RB = Pa / L B P x a) Clculo das reaes L Pa RBaPLRBM PRBRAPRBRAF HBHBF A V H ==+= =+=+= === 0..0 00 000 ( ) L aLP RA L PaPL RA L Pa PRAP L Pa RA = ===+ L Pb RAbaLmas == b) Clculo dos esforos solicitantes (internos) Seo S1 entre A e C ax 0 (foras esquerda) Fora cortante: RAV +=1 x M1 0 0 Momento fletor x L bP xRAM . . .1 =+= a L Pba
  • 66. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 63 Seo S2 entre C e B Lxa (foras esquerda) Fora cortante: P l Pb PRAV =+=2 ( ) L Pa L LbP L PLPb V = = =2 Momento fletor: ( )axPxRAM += .2 ( ) ( ) 0, . :,/.2 =++++ =+= aLbpLabcomoRAPL L LPb setemLxppaPxx L Pb M Obs.: O sinal de xRA.+ positivo porque traciona a face inferior da viga e o sinal de ( )axP negativo porque traciona a face superior da viga, em relao seo S. Quando 2 L ba == tem-se 42 PL M P RBRA mx === 2. Viga simplesmente apoiada, submetida a carga distribuda RB = qL/2RA = qL/2 0 qL/2 0 L / 2 ++ + 2 qL /8 -qL/2 ---- M (kN.m) V (kN) L/2 S A x L/2 L HB = 0 q (kN/m) carga equivalente R = q . L B
  • 67. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 64 a) Clculo das reaes 2 . 2 . 0 2 ...0 .0.0 00 Lq RA Lq RB L LqLRBM LqRBRALqRBRAF HBF A V H ===+= =+=+= == b) Clculo dos esforos solicitantes Seo S (foras esquerda) x V 0 2 qL L 2 qL Fora cortante xq Lq V xqRAV . 2 . . += += equao do primeiro grau 2 L 0 Obs.: Quando a fora cortante for mnima, o momento fletor mximo. Portanto, deve-se igualar a zero a equao da fora cortante para determinar o local do diagrama onde o momento fletor mximo. Assim, 22 . .0. 2 . L x Lq xqxq Lq V ==== Momento fletor x M 0 0 4 L 32 3 2 qL 2 L 32 2 qL carga equivalente q . x A x x / 2 S q RA 2 . . 2 . 2 ... 2 xq x Lq M x xqxRAM = = L 0 Obs.: A rea da figura do diagrama de fora cortante o valor momento fletor pois, como se ver mais adiante, V dx dM = . Ento, do lado esquerdo do diagrama, tem-se: +q.L/2 L/2 8 . 2 1 . 2 . 2 . 2 LqLLq M == Analogamente, do lado direito: 8 . 2 1 . 2 . 2 . 2 LqLLq M == O mesmo raciocnio pode ser feito no primeiro exemplo.
  • 68. Mecnica dos Materiais Ricardo Gaspar 65 3. Viga em balano submetida a carga concentrada na extremidade livre PMA RA HA A L S B x a. Clculo das reaes === == PRAPRAF HAF V H 00 00 b. Clculo dos esforos solicitantes Seo S Fora cortante: A fora P tende a cortar a viga na seo S no sentido horrio (+) PV += Notar que a fora cortante V constante, portanto, no depende de x. x M 0 0 Momento fletor Seo S xPM = L PL Diagrama de esforos solicitantes O momento fletor negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equao que define o momento fletor linear e depende de x. A medida distncia x inicia-se na extremidade livre da viga. A B