AULA 04 – PROBABILIDADES

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RESOLUÇÃO COMENTADA

1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) Sair o número 3. Solução. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(E) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a

probabilidade procurada será igual a P(A) = 16

b) Sair um número par. Solução. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade

procurada será P(A) = 3 16 2=

c) Sair um múltiplo de 3.

Solução. O evento A = {3, 6} com 2 elementos. Logo a probabilidade será P(A) = 2 16 3=

2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: a) Sair a soma 8 Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares

ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente

que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou

6. O mesmo ocorrendo com j.

As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Portanto, o

evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade será igual a

P(A) = 536

b) Sair a soma 12. Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a

probabilidade procurada será igual a P(A) = 136

3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: a) Sair bola azul.

Solução. 6 3( ) 0,30 30%

20 10P A = = = =

b) Sair bola vermelha.

Solução. 10 1( ) 0,50 50%

20 2P A = = = =

c) Sair bola amarela.

Solução. 4 1( ) 0,20 20%

20 5P A = = = =

4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? Solução. Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou

seja, nosso espaço amostral. Teremos:

n(E) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.

n(E) = n(J) + N(P) – N(J U P) + 800

n(E) = 5000 + 4000 – 1200 + 800

n(E) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada será igual a:

P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.

Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma

pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os

jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).

5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). Solução. Lembrando a fórmula: ( ) ( ). ( / )P V B P V P B V∩ = , temos:

5( )

7P V = (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha

na primeira, ficaram 6 bolas na urna. Calculamos, então 2 1( / )

6 3P B V = =

Substituindo na fórmula temos: 5 1 5( ) ( ). ( / ) .

7 3 21P V B P V P B V∩ = = =

b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. Solução. Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como:

5 2 10( ) ( ). ( ) .

7 7 49P V B P V P B∩ = = =

6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma dama? Solução. O espaço amostral possui 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e

duas cartas). O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas,

paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é: 4 1( )

52 13P D = =

7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam: * Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta.

1ª possibilidade: a bola transferida é verde.

Probabilidade de que a bola transferida seja verde: 4 2( )

6 3P V = = (4 bolas

verdes em 6).

Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que

a bola transferida é de cor VERDE, será igual a: 4( / ')

5P V V = (a segunda caixa

possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,

portanto, 4 bolas verdes em 5).

Pela regra da probabilidade condicional, vem:

2 4 8( ') ( ). ( / ') .

3 5 15P V V P V P V V∩ = = =

2ª possibilidade: a bola transferida é preta.

Probabilidade de que a bola transferida seja preta: 2 1( )

6 3P P = = (2 bolas

pretas e 4 verdes). Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola

transferida é de cor PRETA, será igual a: 3( / )

5P V P = (2ª caixa = 1 bola preta +

3 bolas verdes + 1 bola preta).

Daí, vem: 1 3 1( ) ( ). ( / ) .

3 5 5P V P P P P V P∩ = = =

Finalmente vem:

8 1 8 3 11[( ') ( )] ( ') ( )

15 5 15 15 15P V V V P P V V P V P∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = + = + =

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8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é:

a) 1875

b) 1945

c) 1948

d) 18´

45

e) 1975

9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.

Solução. Podemos selecionar 3 parafusos dentre 50 de 350

50!19600

3!47!C = =

formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de 35

5!1

3!2!C = = formas.

Logo, 10( ) 0,05%

19600P D = ≅

10) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha? Solução. Como não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas na urna. Os eventos são independentes. Veja a tabela.

1ª retirada 2ª retirada 3ª retirada preta preta vermelha 10 9 8

total 18 17 16

Logo 10 9 8 720 5( ) ( ). ( ). ( ) . . 14,7%

18 17 16 4896 34P P P V P P P P P V∩ ∩ = = = = ≅

11) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha? Solução. Repare que esse problema difere do anterior, pois não supõe uma

composição de resultados. Se a pergunta fosse: “Qual a probabilidade de a

primeira ser preta e segunda ser vermelha?”, a solução seria:

4 5 20 5( ) ( ). ( ) .

9 8 72 18P P V P P P V∩ = = = = No entanto, o evento “primeira preta” não

é calculado. Ocorreu com certeza. Logo não interfere em nada no segundo.

Logo 5( )

8P V =

12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarela.

Solução. A probabilidade de sortear o cartão AV (duas cores) é 1( )

3P AV = Uma

vez sorteado esse cartão, queremos que o juiz veja a face vermelha 1( )

2P V =

Logo a probabilidade de ocorrerem essas duas situações é:

1 1 1( ) ( ). ( / ) .

3 2 6P AV V P AV P V AV∩ = = =

13. (FUVEST-SP) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta a urna. Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas? Solução: 1 verde, 1 azul, 1 branca n(E) = 3.3.3 = 27 A: Saírem 3 cores diferentes. n(A) = 3.2.1 = 6

6 2P(A) =

27 9=

14. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5? n(E) = 36 A: A soma dos resultados é 4. A={(1;3),(2;2),(3;1)}

n(A) = 3 3P(A) =

36

B: A soma dos resultados é 5. B={(1;4),(2;3),(4;1),(3;2)}

n(B) = 4 4P(B) =

36

3 4 7P(AUB) =

36 36 36+ =

15. (VUNESP-SP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-se que a primeira é um ás? n(E) = 12

3Como a 1ª é um às, então resta 3 cartas de ases P =

11

16. (EEM-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de: a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar?

( )( )( )( )( )( )( )( )( ){ }

n(E) = 36A: o produto seja ímpar.

A= 1;1 1;3 1;5 3;1 3;3 3;5 5;1 5;3 5;5

9 1n(A) = 9 P =

36 4=

b) serem obtidos números cujo produto seja par?

( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ){ }

n(E) = 36A: o produto seja par.

A= 1;2 1;4 1;6 2;1 2;2 2;3 ... 5;2 ... 6;6

27 3n(B) = 27 P =

36 4=

17. (CESCEA-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento retirada de uma bola. Considere os eventos: A: “a bola retirada possui um número múltiplo de 2.” B: “a bola retirada possui um número múltiplo de 5.” Determine a probabilidade do evento A ∪ B.

{ }

n(E) = 20A: A bola retirada possui um número múltiplo de 2.

A= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 28, 20

10n(A) = 10 P(A) =

20

B: A bola retirada possui um número múltiplo de 5.B = {5, 10, 15, 20}n(B) = 4

P(B)4

= 20

2A B = {10, 20} n(A B) = 2 P(A B) =

2010 4 2 12 3

P(A B) = 20 20 20 20 5

+ − = =

Solução. a) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(V) e sorteou

vermelha na segunda caixa: P(V/V’) = 3 3 9.

8 6 48=

b) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(B) e sorteou

vermelha na segunda caixa: P(V/B) = 5 2 10.

8 6 48=

Finalize somando os resultados: 9 10 1948 48 48

+ = Letra C.

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18. (CESGRANRIO) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 6.

( )( )( )( )( ){ }

n(E) = 36A: A soma seja 6.

A= 1;5 2;4 3;3 4;2 5;1

5n(A) = 5 P(A) =

36

19. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de apenas uma das escolhidas estar queimada?

12,3n(E) = C = 220A: Um das lâmpadas estar queimada.n(A)= C4,1.C8,2 = 4.28 = 112

112 28P(A) =

220 55=

20. (VUNESP-SP) Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100.

( )( )( ) ( ){ }100,2n(E) = C = 4950

n(A)= 1;99 2;98 48;52 ... 49;51

n(A)=4949

P(A) = 4950

21. (MACK-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo.

E={1,2,3,5,6,10,15,30}n(E) = 8A: O número é par.A={2,6,10,30}

4n(A)= 4 P(A) =

8

B: O número é primo.B={2,3,5}

3n(B) = 3 P(B) =

8

1A B = {2} n(A B) = 1 P(A B) =

84 3 1 3

P(A B)= 8 8 8 4+ − =

22. (OSEC-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas e 3 vermelhas e 5 azuis, é? n(E) = 12A: Sair bola branca.n(A) = 4

4 1P(A) =

12 3=

23. (FGV-SP) Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7?

n 1a = a +(n-1).r994 = 7 +(n-1).7n = 142

142 71( )

1000 500P A = =

24. (PUC-PR) De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto. Qual a probabilidade de que ambos sejam selecionados? 25. (UFBA) Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela seja perfeita? A: Peças perfeitas.

A: Peças defeituosas.

P(A) + P(A) = 1

P(A) = 1 - P(A)6 17

P(A) = 1 - P(A) = 40 20

⇒

26. (FUVEST-SP) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando-se 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiado?

15,5

13,3

n(E) = C = 3003n(A) = C = 286

286 2P(A) = simplificando por 143 P(A) =

3003 21⇒

27. (FUVEST-SP) Escolhidos ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, determine a probabilidade de que ele seja primo. E = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}n(E) 12A: O número escolhido é primo.A = {2,3,5}

3 1n(A) = 3 P(A) =

12 4=

28. (FUVEST-SP) Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é? . n(E)= 15A: sai bola azul.

3n(A) = 3 P(A) =

3 2 5 115 P(A B) = 15 15 15 3

B: sair bola amarela.2

n(B) = 2 P(B) = 15

+ = =