Resolução do manual 12 asa (Matemática)

GUIA DOPROFESSOR

MATEMÁTICA 12

MATEMÁTICA A | 12.º ANO

Luzia GomesDaniela Raposo

GUIA DOPROFESSOR

MATEMÁTICA 12

MATEMÁTICA A | 12.º ANO

Luzia GomesDaniela Raposoo

Introdução.............................................................................................................. 5

Apresentação do projeto Matemática 12 ................................................. 7

Proposta de planificação ................................................................................. 8

Propostas de resolução dos exercícios do manual ............................... 13

Tema I – Probabilidades e combinatória ....................................................... 14

Unidade 1 – Conceitos probabilísticos ......................................................... 14

Unidade 2 – Operações com acontecimentos............................................. 15

Unidade 4 – Definição clássica de probabilidade ....................................... 16

Unidade 5 – Definição axiomática de probabilidade .................................. 18

Unidade 6 – Probabilidade condicionada e independência........................ 20

Unidade 7 – Distribuição de frequências relativas e distribuição

de probabilidades .................................................................... 23

Unidade 8 – Modelo normal. Histograma versus função densidade......... 26

Aprende fazendo ...................................................................................... 27

Unidade 9 – Análise combinatória .............................................................. 43

Unidade 10 – Triângulo de Pascal e binómio de Newton ........................... 45

Unidade 11 – Modelo binomial ..................................................................... 47

Aprende fazendo ...................................................................................... 47

Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II................................................ 56

Unidade 1 – Função exponencial da base superior a 1 ................................ 56

Unidade 2 – Função logarítmica de base superior a 1 ................................ 60

Aprende fazendo ...................................................................................... 73

Unidade 3 – Teoria dos limites .................................................................... 86

Unidade 4 – Continuidade ........................................................................... 91

Unidade 5 – Assíntotas do gráfico de uma função .................................... 95

Aprende fazendo ...................................................................................... 101

Unidade 6 – Derivadas ................................................................................. 117

Unidade 7 – Aplicações das derivadas ........................................................ 126

Aprende fazendo ...................................................................................... 142

Tema III – Trigonometria e números complexos........................................... 161

Unidade 1 – Revisões sobre trigonometria ................................................. 161

Unidade 2 – Funções trigonométricas ........................................................ 165

Unidade 3 – Fórmulas trigonométricas: seno, cosseno e tangente da

soma de dois ângulos ............................................................. 168

Unidade 4 – Estudo intuitivo de ................................................ 169

Unidade 5 – Derivadas das funções trigonométricas: seno, cosseno

e tangente ............................................................................... 170

Unidade 6 – Estudo de funções trigonométricas....................................... 173

Aprende fazendo ...................................................................................... 175

Unidade 7 – Números complexos................................................................ 185

Unidade 8 – Números complexos na forma algébrica ............................... 186

Unidade 9 – Representação trigonométrica de um número complexo .... 190

Unidade 10 – Domínios planos e condições em variável complexa ........... 198

Aprende fazendo ...................................................................................... 202

limsen

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xx→

ÍNDICE

Introdução

O projeto Matemática 12 resulta da nossa experiência de sala de aula, do contacto com osalunos, colegas e pais.

Desta nossa experiência como professoras nasceu a convicção de que o aluno tem de seragente ativo no seu processo de aprendizagem. Pensamos que a Matemática se “aprende fa-zendo”; pensamos que tem de haver uma componente prática muito forte que complemente aparte teórica; tem de haver uma orientação muito clara, e costumamos dizer “o exercício certona altura certa”. Além disso, e tendo em conta as características do ensino atual, temos de sercapazes de chegar ao aluno com mais dificuldades, fazer com que o aluno médio vá mais longee estimular o aluno bom. Em resumo, procurámos seguir o lema: “Matemática para todos”.

As Autoras

5Introdução | Matemática 12

Apresentação do projeto Matemática 12

O projeto Matemática 12 contempla os seguintes componentes:

Para o Aluno

– Manual (3 volumes)– Caderno de Testes– Manual Multimédia– www.matematica12.asa.pt

Para o Professor

– Manual (Edição do Professor) – 3 volumes– Guia do Professor– – www.matematica12.asa.pt

Manual (Edição do Aluno e Edição do Professor)

O Manual – Edição do Aluno – encontra-se estruturado da seguinte forma:– A rubrica “Precisas mesmo de saber…” permite, sempre que necessário, recuperar pré-

-requisitos essenciais à compreensão dos conteúdos da unidade que se irá iniciar.– Com as tarefas de introdução pretende-se, sempre que possível, mostrar aplicações signi-

ficativas para a matéria em estudo. Cada unidade começa, sempre que oportuno, com umproblema cuja solução aborda conceitos a desenvolver.

– Ao longo do Manual, na margem, apresentam-se exercícios propostos que acompanhamos conteúdos abordados, tendo em vista a sua consolidação.

– A rubrica “Esquematizando/ Resumindo”, com pequenas sínteses intercalares, é uma pre-sença constante ao longo de todo o Manual.

– A rubrica “Erro Típico”, que constitui um alerta para erros frequentemente cometidos pelosalunos, apresenta exemplos de respostas corretas e incorretas.

– Vasto conjunto de exercícios/problemas na rubrica “Aprende fazendo”; estes exercícios en-contram-se organizados por cores, que caracterizam o grau de dificuldade/exigência dosmesmos. Foi ainda uma constante preocupação a inclusão de itens de seleção (escolhamúltipla) e itens de construção que incluem resolução de problemas, desenvolvimento deraciocínios demonstrativos, uso obrigatório de calculadora gráfica e composição, sendo estesitens de presença comum em todos os Exames Nacionais dos últimos anos. Assim, ao longodo Manual surgem exercícios resolvidos que envolvem o uso da calculadora gráfica (TI-84,TI-nspire e Casio fx-9860GII SD).

– Sempre que oportuno, incluíram-se, na margem, as rubricas “Notas”, “Observações”, “Re-corda” e “Atenção”.

– A rubrica “Contextualização histórica” e/ou “Curiosidades”, com informação sobre históriade conceitos matemáticos e/ou referências a matemáticos.

Na edição do manual do professor encontrará informação exclusiva: soluções de todos osexercícios junto dos respetivos enunciados e remissões para todos os recursos multimédia exis-tentes em .

Relativamente à ordem pela qual elaborámos as unidades temáticas, seguimos as orientaçõesdo programa, com exceção das unidades Continuidade e Assíntotas, que apresentamos por estaordem.

7Apresentação do projeto | Matemática 12

Caderno de Testes

Contempla 7 testes cumulativos (cada um com uma duração previsível de 90 minutos) e 2testes globais.

Cada teste é ainda acompanhado de proposta de resolução, de critérios específicos de classi-ficação, estimulando a autoavaliação do aluno, e ainda de alguns exemplos de respostas corretas,incorretas e das respetivas cotações.

Guia do Professor

Contém a resolução completa e detalhada de todos os exercícios do Manual.

A plataforma possibilita a fácil exploração do projeto Matemática 12, atravésda utilização das novas tecnologias em sala de aula. Trata-se de uma ferramenta inovadora quepermite:

• a projeção e exploração das páginas do manual em sala de aula;

• o acesso a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados com o manual: � 15 animações – abordam de forma interativa os diversos conteúdos, possibilitando uma

avaliação do aluno através de atividades de consolidação. � 35 aplicações realizadas em GeoGebra – exploram de forma dinâmica diferentes con-

teúdos dos três temas abordados, facilitando a aprendizagem. � 46 testes interativos – banco de testes interativos, personalizáveis e organizados pelas

diversas unidades do manual. � links Internet – endereços para páginas na Internet de apoio às matérias, de forma a

complementar os conteúdos destacados no Matemática 12.

• a avaliação dos alunos: � utilização de testes predefinidos ou criação de novos a partir de uma base de cerca de

300 questões; � impressão de testes para distribuição; � envio, online, de testes para os alunos, com a correção automática; � relatórios de avaliação detalhados que permitem um acompanhamento do progresso

dos alunos.

• a troca de mensagens e a partilha de recursos com os alunos.

Proposta de planificação

Segue-se uma sugestão de gestão temporal do programa.

As indicações metodológicas referem-se apenas aos exercícios propostos na margem lateraldo Manual. O professor poderá fazer uma gestão dos exercícios da rubrica “ Aprende fazendo” deacordo com as suas necessidades, atendendo ao tipo de alunos que tem e ao tempo disponível.

Matemática 12 | Guia do Professor8


UnidadeAulas de 90 min

Sugestões metodológicas

1. Conceitos probabilísticos 1 – Explorar as páginas 12 a 15 do Manual.– Explorar a tarefa da página 10.– Resolver os exercícios propostos 1 a 9.

2. Operações com acontecimen-tos

2 – Explorar as páginas 16 a 19 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 10 a 16.

3. Definição frequencista de pro-babilidade

1 – Explorar as páginas 20 e 21 do Manual.– O professor pode explorar jogos ou utilizar a

calculadora para encontrar valores experi-mentais para a probabilidade de aconteci-mentos que estão a ser estudados.

4. Definição clássica de probabi-lidade

4 – Explorar as páginas 22 a 31 do Manual.– Explorar a tarefa da página 22.– Resolver os exercícios propostos 17 a 36.

5. Definição axiomática de pro-babilidade


6. Probabilidade condicionada eindependência


7. Distribuição de frequências re -lativas e distribuição de pro -babilidades


8. Modelo normal. Histogra maversus função densidade


9. Análise combinatória 7 – Explorar as páginas 104 a 125 do Manual.– Explorar a tarefa da página 104.– Resolver os exercícios propostos 81 a 113.– Sugerir a resolução do Teste nº 1 do Caderno

de Testes.

10. Triângulo de Pascal e binó-mio de Newton

3 – Explorar as páginas 126 a 133 do Manual.– Explorar a tarefa da página 126.– Resolver os exercícios propostos 114 a 120.– Explorar a tarefa da página 132.– Resolver os exercícios propostos 121 a 125.

11. Distribuição binomial 2 – Explorar as páginas 134 a 137 do Manual.– Explorar a tarefa da página 134.– Resolver os exercícios propostos 126 e 127.– Sugerir a resolução do Teste nº 2 do Caderno

de Testes.

Tema I – Probabilidades e combinatória


Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II



1. Função exponencial de basesuperior a 1

3 – Explorar as páginas 8 a 23 do Manual.– Explorar as tarefas da página 6.– Resolver os exercícios propostos 1 a 11.

2. Função logarítmica de basesuperior a 1 4

– Explorar as páginas 24 a 53 do Manual.– Explorar a tarefa da página 24.– Resolver os exercícios propostos 12 a 40.

3. Limites 4 – Explorar as páginas 66 a 89 do Manual.– Explorar as tarefas da página 66.– Resolver os exercícios propostos 41 a 61.– Sugerir a resolução do Teste nº 3 do Caderno

de Testes.

4. Continuidade 3 – Explorar as páginas 90 a 105 do Manual.– Explorar a tarefa da página 90.– Resolver os exercícios popostos 62 a 76.

5. Assíntotas do gráfico de umafunção

4 – Explorar as páginas 106 a 117 do Manual.– Explorar a tarefa da página 106.– Resolver os exercícios propostos 77 a 85.– Sugerir a resolução do Teste nº 4 do Caderno

de Testes.

6. Derivadas 6 – Explorar as páginas 134 a 161 do Manual.– Explorar a tarefa da página 134.– Resolver os exercícios propostos 86 a 96.– Explorar a tarefa da página 150.– Resolver os exercícios propostos 97 a 111.

7. Aplicações das derivadas 6 – Explorar as páginas 162 a 191 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 112 a 132.– Sugerir a resolução do Teste nº 5 do Caderno

de Testes


Tema III – Trigonometria e números complexos



1. Funções trigonométricas 6 – Explorar as páginas 6 a 31 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 1 a 25.

3. Fórmulas trigonométricas: se -no, cosseno e tangente da so -ma de dois ângulos


4. Estudo intuitivo de1 – Explorar as páginas 36 a 39 do Manual.

– Resolver os exercícios propostos 30 a 33.

5. Derivadas das funções trigo-nométricas: seno, cosseno etangente

3 – Explorar as páginas 40 a 57 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 34 a 40.– Sugerir a resolução do Teste nº 6 do Caderno

de Testes.

7. Números complexos 1 – Explorar as páginas 66 a 68 do Manual.– Resolver o exercício proposto 43.

8. Números complexos na formaalgébrica

4– Explorar as páginas 69 a 87 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 44 a 62.

9. Representação de um númerocomplexo

5 – Explorar as páginas 88 a 113 do Manual.– Resolver os exercícios propostos 63 a 85.– Sugerir a Resolução doTeste nº 7 do Caderno

de Testes.

10. Domínios planos e condiçõesem variável complexa

3 – Explorar as páginas 114 a 122 do manual.– Resolver os exercícios propostos 86 a 95.– Sugerir a resolução dos Testes Globais 1 e 2.

limsen

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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

DOS EXERCÍCIOS DO MANUAL

Tema I – Probabilidades ecombinatória

Página 10

1.

Assim, na vez seguinte é mais provável que saia umberlinde branco.

2. Nada se pode concluir.

3. É igualmente provável que seja quer o Porto quer oBenfica, dado que a moeda é equilibrada.

Unidade 1 – Conceitos probabilísticos

Página 12

4. Ω = {1, 2, 3, 4}

5.a) Ω = {0, 1, 2, 3}b) Ω = {verde, azul, rosa, amarelo, branco, laranja, ver-

melho}

6.a) N: “sair face nacional” E: “sair face europeia”

Ω = {(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6), (E, 1), (E, 2), (E, 3), (E, 4), (E, 5), (E, 6)}

b) F: “ser a favor”C: “ser contra”Ω = {(F, F, F), (F, F, C), (F, C, F), (F, C, C), (C, F, F), (C, F, C), (C, C, F), (C, C, C)}

7. A: “ganha o jogador A” B: “ganha o jogador B” Ω = {AA, ABB, ABAA, ABABB, ABABAA, ABABABB,

ABABABAA, ABABABABA, ABABABABB, BB, BAA,BABB, BABAA, BABABB, BABABAA, BABABABB,BABABABAB, BABABABAA}

#Ω = 18

8. N: "sair face nacional" E: "sair face europeia"

a) Ω = {(N, N), (N, E), (E, N), (E, E)}b)b1) Por exemplo, A: "sair face nacional nos dois lança-

mentos".A = {(N, N)}

b2) Seja B: "sair faces diferentes nos dois lançamen-tos". B = ((N, E), (E, N)}

b3) Por exemplo, C: "sair um ás". C = Ø

Constituição inicial da caixa

15 berlindes azuis

15 berlindes brancos

30 berrlindes no total

⎫

⎬⎪

⎭⎪

Constituição da caixaapós a primeira extração

5 berlindes azuis

10 berlindes brancos

15 berllindes no total

⎫

⎬⎪

⎭⎪


Moeda DadoResultados possíveis

N

123456

(N, 1)(N, 2)(N, 3)(N, 4)(N, 5)(N, 6)

E

123456

(E, 1)(E, 2)(E, 3)(E, 4)(E, 5)(E, 6)

1.a pessoa 2.a pessoa 3.a pessoaResultadospossíveis

FF

C

FCFC

(F, F, F)(F, F, C)(F, C, F)(F, C, C)(C, F, F)(C, F, C)(C, C, F)(C, C, C)

CF

C

FCFC

AA

BA

B

A

BA

B

A

BA

B

A

BA

B

BA

B

A

BA

B

A

BA

B

A

BA

B

A

B

1.o

jogo2.o

jogo3.o

jogo4.o

jogo5.o

jogo6.o

jogo7.o

jogo8.o

jogo9.o

jogo

1.o lançamento 2.o lançamentoResultados possíveis

NN (N, N)

E (N, E)

EN (E, N)

E (E, E)

b4) Seja D: "sair pelo menos uma face europeia ou umaface nacional". D = Ω

c)c1) {(E, N), (N, E)}c2) {(E, N), (N, E), (E, E)}c3) {(N, N)}c4) {(N, N), (E, E)}d) P(Ω) = { Ø, {(N, N)}, {(N, E)}, {(E, N)}, {(E, E)}, {(N, N),

(N, E)}, {(N, N), (E, N)}, {(N,N), (E, E)}, {(N, E), (E, N)},{(N, E), (E, E)}, {(E, N), (E, E)}, {(N, N), (N, E), (E, N)},{(N, N), (N, E), (E, E)}, {(N, N), (E, N), (E, E)}, {(E, N),(N, E), (E, E)}, Ω}

9.

a) Ω = {(F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M), (M, F, F),(M, F, M), (M, M, F), (M, M, M)}

b)b1) Por exemplo, A: "os três filhos serem rapazes".

A = {(M, M, M)}b2) Por exemplo, B: "ter pelo menos dois rapazes".

B = {(M, M, F), (M, F, M), (F, M, M), (M, M, M)}b3) C: "ter pelo menos um rapaz ou uma rapariga"

C = Ωc)c1) {(F, M, M), (M, F, M), (M, M, F)}c2) {(F, M, M), (M, F, M), (M, M, F), (F, F, M), (F, M, F),

(M, F, F), (F, F, F)}c3) {(M, M, M), (F, M, M), (M, F, M), (M, M, F), (F, F, M),

(F, M, F), (M, F, F)}c4) {(F, F, M), (F, M, F), (M, F, F), (F, F, F)}c5) {(M, M, M)}

Unidade 2 – Operações comacontecimentos

Página 16

10.a) N: "sair face nacional"

E: "sair face europeia"Ω = {N, E}P(Ω) = {Ø, {N}, {E}, {N, E}}

b) Ω = {S, N, T}P(Ω) = {Ø, {S}, {N}, {T}, {S, N}, {S, T}, {N, T}, {S, N, T}}

11.a)a1) Por exemplo, A: "sair o ás de copas".a2) Por exemplo, B: "sair um ás".a3) Por exemplo, C: "sair um treze".a4) Por exemplo, D: "sair uma carta preta ou vermelha".b)b1) R ∪ E: "sair um rei ou uma carta de espadas"b2) R ∩ E: "sair o rei de espadas"c) O acontecimento "sair um rei" é incompatível com

o acontecimento "sair uma dama".

12.a) A ∪ B = {0, 1, 3, 5, 7, 8}b) A ∩ B = {1, 7}c) √A = {2, 3, 4, 5, 6}d) A\B = {0, 8}e) B\A = {3, 5}

13. Opção (C)

14. I. A afirmação é verdadeira. Se dois acontecimentos

A e B de uma mesma experiência aleatória são con-trários, então A ∩ B = Ø e A ∪ B = Ω. Assim, comoA ∩ B = Ø, então A e B são incompatíveis.

II. A afirmação é falsa. Vejamos o seguinte contra exem -plo: Ω = {1, 2, 3, 4}, A = {1} e B = {3, 4}, A ∩ B = Ø, ouseja, A e B são incompatíveis, porém, A ∪ B ≠ Ω,logo A e B não são contrários.

15.a) A ∪ B: "sair soma par ou soma superior ou igual a 7"b) A ∩ B: "sair soma 8 ou 10 ou 12"c) A ∩ √B: "sair soma 2 ou 4 ou 6"d) √A ∩ B: "sair soma 7 ou 9 ou 11"e) √A ∩ √B: "sair soma 3 ou 5"f) √A ∪ B: "sair soma ímpar ou soma superior ou igual a 7"

16.a) A ∩ (B ∪ √A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ √A)

= (A ∩ B) ∪ Ø = A ∩ B

b) B A B B A B

B A B

B

( ) ( )

( )

(

∪ ∩ = ∩ ∩

= ∩ ∪

= ) ( )

( )

∩ ∪ ∩

= ∩ ∪ ∅

= ∩

=

A B B

B A

B A

A ∩∩ B

15Tema I | Matemática 12

1.o filho 2.o filho 3.o filhoResultadospossíveis

FF

M

FMFM

(F, F, F)(F, F, M)(F, M, F)(F, M, M)(M, F, F)(M, F, M)(M, M, F)(M, M, M)

MF

M

FMFM


c)

d)

e)

Unidade 4 – Definição clássica deprobabilidade

Página 22

17. Vejamos as possibilidades que existem para asoma ser 12:

6 + 5 + 1 = 12 → 6 maneiras possíveis 6 + 4 + 2 = 12 → 6 maneiras possíveis 6 + 3 + 3 = 12 → 3 maneiras possíveis 5 + 5 + 2 = 12 → 3 maneiras possíveis 5 + 4 + 3 = 12 → 6 maneiras possíveis 4 + 4 + 4 = 12 → 1 maneira possível

Existem, assim, 25 maneiras diferentes de obtersoma 12.

18.a) P("a face voltada para cima ser vermelha")

= =

b) P("a face voltada para cima não ser vermelha")= P("a face voltada para cima é azul ou verde")

= =

19.a) P("ser um número primo") =

b) P("ser um número múltiplo de 3 e par”) =

20.

a) P("as pontuações obtidas são iguais") = =

b) P("nenhuma pontuação é 2") =

c) P("pelo menos uma pontuação é 3") =

d) P("nenhuma pontuação é 2 e ambas as pontuações

são iguais") =

e) P("nenhuma pontuação é 2 ou ambas as pontuações

são iguais") =

21. # Ω = 100 C: "ver o Preço certo em euros" # C = 46 M: "ver o Quem quer ser milionário" # M = 52 # (C ∩ M) = 20

Opção (A)

22. # Ω = 116 C: "especializar-se em Cardiologia" # C = 56 P: "especializar-se em Pediatria" # P = 50 R: "especializar-se em Reumatologia" # R = 46 # (C ∩ P ∩ R) = 10 # (C ∩ P) = 18 # (C ∩ R) = 16 # (P ∩ R) = 22 # (√P ∩ √R ∩ √C) = 116 – (32 + 20 + 18 + 8 + 10 + 12 +

+ 6) = 10

56 – 8 – 10 – 6 = 3250 – 8 – 10 – 12 = 2046 – 6 – 10 – 12 = 18

A A B A A B A A B

A

( ) ( ) ( )

(

= =

= =

= =

) ( ) ( )

\

A A B A B

A B A B

820

25

1220

35

49 1

9

( ) ( ) ( )

(

B C A B B C A B

B

=

= CC A B

B C A B C

) ( )

[( ) ] [( ) = ]

[ ( )] [ ( )]

((

B

A B C B B C

A

=

= ) ) [( ) ]

(( ) =

B C B B C

A B C)) ( )

(( ) )

(

=

=

C

A B C

A BB C)

( ) ( ) ( ) ( )

(

A B A B A B A B

A

=

= ) ( )

[ ( )] [ (

B A B

A A B B A B= ))]

[( ) ] [( ) ]

( )

=

=

A A B A B B

B [ ( )]

( ) = = =

A B B

A

13

394

959

29

59

C

26 20 32

22

M

Ω

C32 8

6

20

18

1012

10

P

R

Ω

1.a vez 2.a vez Resultados possíveis

1123

(1, 1)(1, 2)(1, 3)

2123

(2, 1)(2, 2)(2, 3)

3123

(3, 1)(3, 2)(3, 3)

# (C ∩ √M) = 46 – 20 = 26# (M ∩ √C) = 52 – 20 = 32# (√C∩ √M) =100 – 26 – 20 – 32 =22

P(√C ∩ √M) = =

§ P(√C ∩ √M) = 22%

# (√C ∩ √M)# Ω

1150

a) A probabilidade pedida é =

b) A probabilidade pedida é = =

c) A probabilidade pedida é =

= =

23.

a) P("exatamente uma das pontuações obtidas ser 6")

= =

b) P("pelo menos uma das pontuações obtidas ser 6")

=

c) P("nenhuma das pontuações obtidas ser 6") =

d)

P("o produto dos números obtidos ser 8") = =

e) P("o produto dos números saídos ser um número

ímpar") = =

f)

P("a soma dos números obtidos ser um número pri-

mo") = =

g) P("a soma dos números obtidos ser 13") = 0h) P("o número máximo obtido ser maior ou igual a 3")

= =

24.

a) P("extrair dois botões verdes") =

b) P("extrair um botão verde e um botão azul, por esta

ordem") =

c) P("extrair dois botões de cor diferente") =

25. C: “comer canja” L: “comer sopa de legumes” P: “comer pescada” F: “comer frango” T: “comer tofu” A: “comer ananás” M: “comer mousse”

a) 12 menús possíveisb) P("comer frango") = =

10116

558

32 + 20 + 18116

3558

70116

6 + 8 + 10 + 12116

3611618

299

29

1036

518

1136

2536

236

118

936

14

512

1536

89

3236

925

625

1225

13

412


1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

× 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

2.a extração

V1 V2 V3 A1 A2

1.aex

traç

ão

V1 (V1, V1) (V1, V2) (V1, V3) (V1, A1) (V1, A2)

V2 (V2, V1) (V2, V2) (V2, V3) (V2, A1) (V2, A2)

V3 (V3, V1) (V3, V2) (V3, V3) (V3, A1) (V3, A2)

A1 (A1, V1) (A1, V2) (A1, V3) (A1, A1) (A1, A2)

A2 (A2, V1) (A2, V2) (A2, V3) (A2, A1) (A2, A2)

Sopa Prato SobremesaEmentas possíveis

C

PA (C, P, A)

M (C, P, M)

FA (C, F, A)

M (C, F, M)

TA (C, T, A)

M (C, T, M)

L

PA (L, P, A)

M (L, P, M)

FA (L, F, A)

M (L, F, M)

TA (L, T, A)

M (L, T, M)

26. DC: “dama de copas” DO: “dama de ouros” RE: “rei de espadas”

P("a Mariana extrair duas vezes o rei") =

27. Presid. Secret. 12 × 11 = 132 maneiras diferentes

28.

= 510 = 9 765 625 chaves possíveis

29.

2 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (1 × 1 × 1 × 1 × 1) = 240 manei-ras diferentes

30.a) L1 L2 L3__ __ __

3 × 2 × 1 = 6 modos distintos

b) P1 P2 P3__ __ __5 × 4 × 3 = 60 modos diferentes

31. √2 × √1 × → Lugares da frente

√3 × √2 × √1 → Lugares de trás

2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 maneiras diferentes

32. V_ A__ V_ A__ V_ A__ ou A__ V_ A__ V_ A__ V_ 5 × 10 × 5 × 10 × 5 × 10 + 10 × 5 × 10 × 5 × 10 × 5 = 125 000 + 125 000 = 250 000 códigos

33. 8_ 8_ 8_

(1 × 1 × 1 × 3) × 4 = 12 códigos diferentes

34. _4__ __ __ __ ou 4__ __ __ __

3 × 9 × 8 × 7 + 1 × 5 × 8 × 7 = 1512 + 280 = 1792 números

35.

a) 2__ __ __ __ ou_2__ __ __ __

1 × 6 × 8 × 7 + 7 × 9 × 8 × 7 = 3864 números

b) 2__ 4__ __ __ ou 2__ _4__ __ __ ou

_2__ __ __ __

1 × 1 × 7 × 7 + 1 × 3 × 7 × 7 + 4 × 7 × 7 × 7 = 1568 númerosComo se contabilizou o caso 2_ 4_ 0_ 0_, temos que o reti-rar: 1568 – 1 = 1567

c) 2__ __ __ __ ou _2__ __ __ __

1 × 4 × 5 × 4 + 4 × 6 × 5 × 4 = 560 números

36.

copas espadas ou copas espadas12 × 1 × 13 + 13 × 1 × 12

ou copas espadas× 13 × 2 × 13 = 650

Unidade 5 – Definição axiomática deprobabilidadePágina 3237. √52 × √51 = 2652 casos possíveis √R √R ou R √R ou √R √R √48 × √4 + √4 × √48 + √48 × √47 = = 2640 casos favoráveis

P("ambas as cartas não serem reis") = =

38. √10 × √9 = 90 casos possíveis √B √B √7 × √6 = 42 casos favoráveis P("sair pelo menos uma bola branca") = 1 – P("não sair nenhuma bola branca")

= 1 – = =

19

8 + 8 + 8 + x < 27§ x < 27 – 24§ x < 3

0_ou1

ou2

reiouros

ou paus

220221

26402652

reicopas

reiespadas

815

4890

4290


1.a extração 2.a extração

DC

DC

DO

RE

DO

DC

DO

RE

RE

DC

DO

RE

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

5 × 4 × 3 × 2 × 1

1 × 1 × 1 × 1 × 1

Raparigas

Rapazes

5 casais

5 rapazes

5 raparigas

39. P(√A) = 3x, logo P(A) = 1 – 3x. Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B),

ou seja, 9x = 1 – 3x + – 3x

§ 9x + 6x =

§ 15x = § x = § x = 0,1

40. P({®, ™}) + P({™, }) =

§ P({®}) + P({™}) + P({™}) + P({}) =

{®}, {™}, {} são acontecimentos disjuntos dois adois:

§ P({®}) + P({™}) + P({}) + P({™}) = § P({®, ™, }) + P({™}) =

§ 1 + P({™}) = § P({™}) =

41. a) Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer de um

mesmo espaço de resultados, então:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)Como P(A ∩ B) ≥ 0, então P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).A proposição é verdadeira.

b) A proposição é falsa.Consideremos o espaço de resultados Ω = {1, 2, 3, 4},A = {2, 3} e B = {3, 4} e os resultados elementaressão equiprováveis.Tem-se que P(A) = P(B) = 0,5 ou seja 1 – P(A) = P(B)e A e B não são acontecimentos contrários já que A ∩ B = {3} ≠ ∅ e A ∪ B = {2, 3, 4} ≠ Ω.

c) A proposição é falsa. Consideremos o mesmo con-traexemplo da alínea anterior.

42. P(A ∪ B ∪ C) = P[(A ∪ B) ∪ C} = P(A ∪ B) + P(C) – P[(A ∪ B) ∩ C] = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – [P(A ∩ C) +

+ P(B ∩ C) – P[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)] = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) +

+ P(A ∩ B ∩ C) c.q.d.

43. Como P( √A) = , então P(A) = .

a) Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B),

ou seja, = + P(B) –

§ P(B) = – + § P(B) =

b) P(A ∩ √B) = P(A) – P(A ∩ B) = – =

c) P(√A ∪ √B) = P(√A√ √∩√ √B) = 1 – P(A ∩ B) = 1 – =

44. R: "o Real Madrid ganha" E: "há um empate" B: "o Barcelona ganha" P(R) = 2 × P(E) e P(E) = 3 × P(B)

a) Designemos P(B) por x. Como R, E e B são aconte-cimentos disjuntos dois a dois e R ∪ E ∪ B = Ω vemque: P(R) + P(E) + P(B) = 1§ 2 P(E) + 3 P(B) + P(B) = 1§ 6 P(B) + 3 P(B) + P(B) = 1§ 6x + 3x + x = 1 § 10x = 1 § x = 0,1 Assim, P(R) = 0,6.

b) P(E) = = 0,3

P(B) = 0,1

45. P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6}) = 1

§ P({1}) + + + + + = 1

§ P({1}) = 1 – – § P({1}) =

a) P("sair número par") = P({2}) + P({4}) + P({6})

= + + =

b) P("sair face 1 ou 6") = P({1}) + P({6})

= + = =

46.

a)

b)

32

32

330

76

76

76

767

616

edddfdddg

58

38

78

38

14

12

34

14

38

78

18

14

38

34

14

0,62

14

16

16

16

16

112

23

14

712

14

16

16

13

412

14

112

1 – (P B A

P B A P B A

P B

)

( ) ( )

( )

∩

= ∩ = ∪

= + ( ) – ( )

( ) ( ) – [ ( ) –

P A P B A

P B P A P B P

∩

= + (( )]

( ) ( ) – ( ) ( )

B A

P B P A P B P A B

∩

= + + ∩

= PP A P A B( ) ( ) + ∩ c.q.d.

P A P A B P A P A B

P A

( (

(

) ( ) ) ( )

)

+ ∩ = + ∪

= + ) ) – ( )

) – )

P A P B P A B

P A P A

( (

( 1 (

+ ∩

= + ++ ∩

= + ∩ =

) – ( )

) ( )

P B P A B

P B P A B

(

( 1 – PP B P A B

P B P A B

(

( c.q

) ( )

) ( )

+ ∩

= + ∪ ..d.


Unidade 6 – Probabilidade condicionada eindependência

Página 38

47. Sejam os acontecimentos: R: "ser rapariga" H: "ter hábitos de estudo"

Então, P(H|R) = = .

Opção (C)

48. Para a soma dos números obtidos ser 6, só podeter ocorrido um dos seguintes casos:

(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)__ Assim, a probabilidade de ter saído o mesmo

número nos dois dados, sabendo que a soma dos

números saído foi 6, é de .

49.

a) P(√A|B) = =

= – = 1 – P(A|B) c. q. d.

b) [P((A ∪ C)|B)] =

=

=

= + –

= P(A|B) + P(C|B) – P[(A ∩ C)|B] c. q. d.

50. Sabe-se que P(A|B) = .

Assim: 0,25 = § P(B) = § P(B) = 0,4

Temos também que:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Logo, 0,8 = P(A) + 0,4 – 0,1 § P(A) = 0,5. Assim, P(√A) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5. Como P(A) = P(√A), temos que A e √A são aconteci-

mentos equiprováveis.

51. No contexto do problema, P(Y|X) significa "proba-bilidade de a pessoa escolhida ser do sexo femini-no, sabendo que a carta retirada foi uma copa".

Ora, se a carta retirada foi uma copa, escolhe-seuma pessoa da turma A, onde existem 15 rapari-gas, num total de 25 alunos.

Assim, e segundo a regra de Laplace, num espaçode resultados com um número finito de elementose cujos resultados elementares são equiprováveis,a probabilidade de um acontecimento é dada peloquociente entre o número de casos favoráveis aesse acontecimento (neste caso 15) e o número decasos possíveis (neste caso 25). A probabilidade

pedida é, então, , ou seja, .

52. Sejam os acontecimentos: A: "haver um assalto" B: "o alarme tocar" Sabe-se que: • P(A) = 0,1 • P(T|A) = 0,95 • P(T|√A) = 0,03 Assim: P(T|A) = 0,95

§ = 0,95

§ P(T ∩ A) = 0,95 × 0,1 § P(T ∩ A) = 0,095

P(T|√A) = 0,03

§ = 0,03

§ P(T ∩ √A) = 0,03 × 0,9 § P(T ∩ √A) = 0,027

a) P(T) = P(T ∩ A) + P (T ∩ √A) = 0,122

b) P(√A|T) = = =

53. Sejam os acontecimentos: J: "ser habitante jovem" F: "ser favorável ao projeto" Do enunciado, tem-se que: • P(F|J) = 0,7 • P(F|√J) = 0,4 • P(J) = 0,45 Assim: P(F|J) = 0,7

§ = 0,7

§ P(F ∩ J) = 0,7 × 0,45 § P(F ∩ J) = 0,315

4370

8601400

15

P(A ∩ B)P(B)

0,1P(B)

0,10,25

1525

35

P(√A ∩ B)P(B)

P(B) – P(A ∩ B)P(B)

P(B)P(B)

P(A ∩ B)P(B)

P[(A ∪ C) ∩ B]P(B)

P[(A ∩ B) ∪ (C ∩ B)]P(B)

P(A ∩ B) + P(C ∩ B) – P[(A ∩ B) ∩ (C ∩ B)]P(B)

P(A ∩ B)P(B)

P(C ∩ B)P(B)

P[(A ∩ C) ∩ B]P(B)

P(T ∩ A)P(A)

P(T ∩ √A)P(√A)

27122

0,0270,122

P(√A ∩ T)P(T)

P(F ∩ J)P(J)

T √T Total

A 0,095 0,1

√A 0,027 0,9

Total 0,122 1


P(F|√J) = 0,4

§ = 0,4

§ P(F ∩ √J) = 0,4 × 0,55 § P(F ∩ √J) = 0,22

a) P(F) = P(F ∩ J) + P (F ∩ √J) = 0,315 + 0,22 = 0,535

b) P(J|F) = = ) 0,59

54. Sejam os acontecimentos: M: "ser rapaz" F: "ser rapariga" D: "ser estudante de Direito" E: "ser estudante de Engenharia" A: "ser estudante de Arquitetura" Sabe-se que:

• P(M) =

• P(A) =

• P(F|A) = 80% • P(E|M) = 50% • P(D ∩ M) = P(D ∩ F) Assim: P(F|A) = 80%

§ = 0,8

§ P(F ∩ A) = 0,8 ×

§ P(F ∩ A) =

P(E|M) = 50%

§ =

§ P(E ∩ M) = ×

§ P(E ∩ M) =

• P(A ∩ M) = – =

• P(D ∩ M) = – – =

• P(D ∩ F) =

• P(D) = + =

• P(E) = 1 – – =

• P(F ∩ E) = – =

Pelos cálculos anteriores:

a) P(E) =

b) P(D|F) = = = =

c) Sabe-se que a probabilidade de ser estudante de

Engenharia rapaz é de .

Como estão presentes 10 rapazes de Engenharia,

então = , onde n é o número total de estudan-

tes presentes. Assim, n = 60. Como a probabilidadede ser uma estudante de Arquitetura rapariga é de

, estão presentes na atuação

× 60 = 24 raparigas de Arquitetura.

55. Sejam os acontecimentos: S: "saber a resposta certa" A: "acertar na resposta" Sabe-se que: • P(S) = 0,4 • P(A|S) = 1 • P(A|√S) = 0,5 • P(√A|√S) = 0,5

Assim: P(S|A) = = = =

1312

P(F ∩ A)P(A)

P(E ∩ M)P(M)

12

25

1212

13

16

12

25

110

13

110

16

115

115

115

115

215

1130

215

12

15

16

1130

P(F ∩ √J)P(√J)

0,3150,535

P(J ∩ F)P(F)

1130

110

3302

3

115P(D ∩ F)

P(F)

P M E( ) =1

6

16

10n

2

5

2

5 ( ) P F A =

25

S A → P(S ∩ A) = 0,4

A → P(√S ∩ A) = 0,6 × 0,5 = 0,3√S √A → P(√S ∩ √A) = 0,6 × 0,5 = 0,3

1

0,5

0,5

0,4

0,6

47

0,40,7

0,40,4 + 0,3

P(S ∩ A)P(A)


D E A Total

M1

1516

110

13

F1

1515

25

23

Total2

151130

12

1

F √F Total

J 0,315 0,45

√J 0,22 0,55

Total 0,535 1

56.a) P(A|B) = 0,6

§ = 0,6

§ = 0,6

§ P(A ∩ B) = 0,18b) P(B|A) = 0,5

§ = 0,5

§ = 0,5

§ P(A) = 0,36P(√A) = 1 – P(A) = 1 – 0,36 = 0,64

c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 0,36 + 0,3 – 0,18 = 0,48

d) P(√A|B) = =

= = 0,4

57.

a)

b)

58.

a) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = × =

b) P(√A ∩ √B ∩ √C) = P(√A) × P(√B) × P(√C) = × ×

= =

59. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Para A e B serem independentes tem que aconte-

cer P(A ∩ B) = P(A) × P(B): Assim:

0,8 = k + (k + 0,1) – k × (k + 0,1) § 0,8 = 2 k + 0,1 – k2 – 0,1 k § k2 – 1,9 k + 0,7 = 0

§ k = › k =

Como > 1, k só pode admitir o valor .

60. Se A e B são acontecimentos independentes, então P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Se A e B fossem acontecimentos disjuntos (A ∩ B = Ø)teríamos:

0 = P(A) × P(B) § P(A) = 0 › P(B) = 0 § A = Ø › B = Ø, o que contraria as condições

do enunciado. Logo, A e B não são disjuntos.61. Sejam os acontecimentos: V: "a pessoa vê o anúncio" C: "a pessoa compra o jogo" Sabe-se que: • P(√V) = 0,35 • P(C) = 0,45 • P(√V ∩ √C) = 0,2 Assim:

a) P(C|V) = = =

A probabilidade pedida é de, aproximadamente, 46%.b) • P(V ∩ C) = 0,30

• P(V) = 0,65• P(C) = 0,45P(V) × P(C) = 0,2925Como P(V ∩ C) ≠ P(V) × P(C), tem-se que V e C nãosão acontecimentos independentes.

62.

A e B são acontecimentos independentes, logo:

63. P(√A ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) A e B são acontecimentos independentes, logo: = P(B) – P(A) × P(B) = P(B) (1 – P(A)) = P(B) × P(√A). Como P(√A ∩ B) = P(√A) × P(B), prova-se que √A e B

são acontecimentos independentes.

P A B P A

P B

P A B P A

P B

( ) – ( )

( )

( ) – ( )

( )

∩=

∪

– ( ) – ( )

( )

– ( ) –

=∪

=

1

1

P A B P A

P BP A P(( ) ( ) – ( )

( )

( ) ( )

B P A B P A

P BP A P A

+ ∩

= – + – P A B P B

P BP A B

P B

P

( ) ( )

( )

( )

( ) –

∩

=∩ (( )

( ) ( | ) –

B

P BP A B= 1 c. q. d.

P A B P A B P B P A B P B( | ) – ( | ) ( ) ( | ) ( – ( )× = × 1 ))

( )

( ) ( ) ( ) – (=

∩× = ∩ =

P A B

P BP B P A B P1 AA B

P A B

)

( )

∩

= ∪1 – c. q. d.

14

13

112

34

23

4296

78

716

12

75

75

0,3 – 0,180,3

P(B) – P(A ∩ B)P(B)

P(√A ∩ B)P(B)

12

P(A ∩ B)P(B)

P(A ∩ B)0,3

P(B ∩ A)P(A)0,18P(A)

613

0,300,65

P(C ∩ V)P(V)

P A B P A P B

P A P B P A

( ) ( ) ( )

( ) ( ) – (

∪ + ×

= + ∩∩ + × ) ( – ( )) ( – ( )) B P A P B1 1

= + ( ) (P A P B)) – ( ) ( ) – ( ) – ( )

( )

P A P B P B P A

P A

× + +

+

1

( ) × =P B 1 c. q. d.


C √C Total

V 0,30 0,35 0,65

√V 0,15 0,20 0,35

Total 0,45 0,55 1

Unidade 7 – Distribuição de frequênciasrelativas e distribuição de probabilidades

Página 5664.a) Por exemplo, variável aleatória X – “soma da pon-

tuação obtida em cada dado”; variável aleatória Y –”produto da pontuação obtida em cada dado”.

b) Por exemplo, variável aleatória X – “número de vezesque se obteve face nacional”; variável aleatória Y –“número de vezes que se obteve face europeia”.

65.a) X: "maior número de pintas no lançamento dos dois

dados"

Tabela de distribuição de probabilidades de X:

b) Y: "valor absoluto da diferença do número de pintasno lançamento dos dois dados"

Tabela de distribuição de probabilidades de Y:

c) Z: "diferença entre a menor e a maior pontuação, ouzero se as pontuações forem iguais"

Tabela de distribuição de probabilidades de Z:

d) W: "máximo divisor comum das duas pontuações"

Tabela de distribuição de probabilidades de W:

66.a) P(X = xi) = 1

P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1

§ + + a + = 1 § a =

b) P(Y = –1) + P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 1§ 0,5 + 0,26 + a2 + a = 1§ a2 + a – 0,24 = 0

§ a = › a = –

Como P(Y = 2) = a, a só pode tomar valores positivos

ou nulos. Assim, a = .

i

k

= 1

∑

14

16

14

13

65

15

15


1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 2 3 4 5 6

3 3 3 3 4 5 6

4 4 4 4 4 5 6

5 5 5 5 5 5 6

6 6 6 6 6 6 6

xi 1 2 3 4 5 6

P(X = xi)1

361

125

367

3614

1136

1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1

6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6

1 0 –1 –2 –3 –4 –5

2 –1 0 –1 –2 –3 –4

3 –2 –1 0 –1 –2 –3

4 –3 –2 –1 0 –1 –2

5 –4 –3 –2 –1 0 –1

6 –5 –4 –3 –2 –1 0

yi 0 1 2 3 4 5

P(Y = yi)16

518

29

16

19

118

P(Y = 0) = =

P(Y = 1) = =

P(Y = 2) = =

P(Y = 3) = =

P(Y = 4) = =

P(Y = 5) = =

636

16

1036

518

836

29

636

16

436

19

236

118

P(W = 1) =

P(W = 2) =

P(W = 3) =

P(W = 4) =

P(W = 5) =

P(W = 6) =

23367

363

361

361

361

36

P(X = 1) =

P(X = 2) = =

P(X = 3) =

P(X = 4) =

P(X = 5) = =

P(X = 6) =

1363

361

125

367

369

3614

1136

P(Z = 0) = =

P(Z = –1) = =

P(Z = –2) = =

P(Z = –3) = =

P(Z = –4) = =

P(Z = –5) = =

636

16

1036

518

836

29

636

16

436

19

236

118

zi –5 –4 –3 –2 –1 0

P(Z = zi)1

1819

16

29

518

16

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 2

3 1 1 3 1 1 3

4 1 2 1 4 1 2

5 1 1 1 1 5 1

6 1 2 3 2 1 6

wi 1 2 3 4 5 6

P(W = wi)2336

736

336

136

136

136

67.a) Seja a = P(X = 1).

P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + + P(X = 6) = 1§ a + 2a + 3a + 4a + 5a + 6a = 1§ 21a = 1

§ a =

Assim, P(X = 1) =

P(X = 2) =

P(X = 3) =

P(X = 4) =

P(X = 5) =

P(X = 6) =


Representação gráfica:

Representação gráfica:

68. Seja P(Z = 1) = a. P(Z = 1) + P(Z = 2) + P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5) +

+ P(Z = 6) = 1

§ a + a + a + a + a + a = 1

§ + + + + + =

§ 147a = 60 § a =

§ a =

Assim:

P(Z = 1) = ; P(Z = 2) = × = ;

P(Z = 3) = × = ; P(Z = 4) = × = ;

P(Z = 5) = × = ; P(Z = 6) = × =

Tabela de distribuição de probabilidades de Z:

69. Seja X a variável aleatória que representa a quantiaretirada em euros:

Número de casos possíveis:

× = 6 casos

Número de casos favoráveis: • Para soma 0,7 €: (0,2; 0,5) e (0,5; 0,2), logo

P(X = 0,7) = = .

121

1212

213

214215

21621

F X

X

X

X

( )

=

<

<

<

0 1

1

212

3

213

se

se 1

se 2

66

214

10

215

15

21

se 3

se 4

se 5

<

<

<

X

X

X

6

1 6se X

b)

16

15

14

13

12

6060

10a60

12a60

15a60

20a60

30a60

60a60

6014720

49

1049

2049

12

2049

549

2049

14

20147

2049

13

P(X = xi)

xi1

121

221

321

421

521

621

2 3 4 5 6

F(x)

x10

121

321

621

1021

1521

1

2 3 4 5 6

10147

2049

16

449

2049

15

2.a extração2

1.a extração3

13

26


xi 1 2 3 4 5 6

P(X = xi)1

212

213

21421

521

621

zi 1 2 3 4 5 6

P(Z = zi)2049

1049

20147

549

449

10147

• Para soma 1,2 €: (0,2; 1) e (1; 0,2), logo

P(X = 1,2) = = .

• Para soma 1,5 €: (0,5; 1) e (1; 0,5), logo

P(X = 1,5) = = .


70. Seja R o acontecimento "sair rei" e Y a variávelaleatória que representa o número total de cartasretiradas:

Assim, a variável aleatória Y assume os valores 1,2, 3, 4 e 5, e:

P(Y = 1) = =

P(Y = 2) = × =

P(Y = 3) = × × =

P(Y = 4) = × × × =

=

P(Y = 5) = × × × × + × × ×

× × = =

Tabela de distribuição de probabilidades de Y:

71. a)

Assim, a variável aleatória Y assume os valores 0,1, 2, 3, 4 e 6, e:Y = 0 corresponde ao caso (0, 0), logo:

P(Y = 0) = × =

Y = 1 corresponde aos casos (1, 0) e (0, 1), logo:

P(Y = 1) = × + × =

Y = 2 corresponde ao caso (1, 1), logo:

P(Y = 2) = × =


P(Y = 3) = × + × =


P(Y = 4) = × + × =

Y = 6 corresponde ao caso (3, 3), logo:

P(Y = 6) = × =

Assim, a tabela de distribuição de probabilidades de Y é:

b) A probabilidade de um aparelho deste tipo, cada vezque é utilizado, produzir uma descarga de 1 volt

é de , logo em 360 utilizações espera-se que

× 360 = 120 vezes tal aconteça.

72.

a)

13

26

13

26

113

452

16221

451

4852

3765525

450

4751

4852

415 1046 497 400

449

4650

4751

485251 888812 175

448

4549

4650

4751

4852

4448

4549

583 740812 175

224 156 160311 875 200

14

12

12

13

12

13

13

12

19

13

13

16

16

12

12

16

19

16

13

13

16

136

16

16

13

13

4852

4751

4650

p

p

i ii

ii

i

–2 0,15 (–1) 0,25 0 0,3 1 0,05

2 0,2 3 0,05 0,05

– 0,05

–2 – 0,05 0,15 –1 – 0,05 0,25

0 – 0,05 0,3 1 – 0,05 0,05

2 – 0,05 0,2 3 – 0,05 0,05

1,47 (2 c.d.)

1

6

2

1

6

2 2

2 2

2 2

x

x

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= ×

= × + × + × + × +

+ × + × =

= ×

= × + × +

+ × + × +

+ × + ×

=

=


xi 0,7 1,2 1,5

P(X = xi)13

13

13

452

4852

R

√R

451

4751

R

√R

450

4650

R

√R

449

4549

R

√R

448

4448

R

√R

Y = 1

Y = 2

Y = 3

Y = 4

Y = 5

Y = 5

1.a ext. 2.a ext. 3.a ext. 4.a ext. 5.a ext.

yi 1 2 3 4 5

P(Y = yi)1

1316

221376

552551 888812 175

583 740812 175

Aparelho 2Aparelho 1

0 1 3

0 0 1 3

1 1 2 4

3 3 4 6

yi 0 1 2 3 4 6

P(Y = yi)14

13

19

16

19

136

b) a + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,2 = 1 § a = 0,2

73. μ = 2a + 3b a + b = 1 = 2a + 3 (1 – a) § b = 1 – a = 2a + 3 – 3a = 3 – a Opção (C)

74. Seja M o acontecimento "sair o rebuçado de mo -ran go" e X a variável aleatória "número de rebuça-dos de mentol que a Vitória come"

Assim, a variável aleatória X assume os valores 0,1, 2, 3 e 4, e:


75. Com recurso à calculadora:

μ = 7 σ ≈ 2,42

Unidade 8 – Modelo normal. Histogramaversus função densidade

Página 76

76. X1 ~ N (a, b) X2 ~ N (c, d) Como os gráficos são simétricos relativamente à

mesma reta, tem-se que a = c; e como a curva querepresenta a variável X2 é mais achatada, tem-seque, o seu desvio-padrão é maior, isto é, b < d.

Opção (B)

77. X1 ~ N (a, b) X2 ~ N (c, d) Como os gráficos são igualmente achatados,

temos que b = d; e como a curva que representa avariável X2 atinge o seu máximo num ponto maisà direita do que a curva X2, tem-se que o seu valormédio é maior, isto é, c > a.

Opção (D)

, ,

= ×( )= × + × +

=

xi i

i

p1

5

1 0 2 2 0 3 3 , ,

, ,

–

× + × +

+ × =

=

0 2 4 0 1

5 0 2 2 8

xi

,

– , ,

2 8

1 2 8 0 2 2

2

1

5

2

( ) ×

= ( ) × +

=ii

p

–– , ,

– , , –

2 8 0 3

3 2 8 0 2 4 2

2

2

( ) × +

+ ( ) × + ,, ,

– , , ,

8 0 1

5 2 8 0 2 1 4

2

2

( ) × +

+ ( ) × =

P X

P X

P X

( )

( )

(

= =

= = × =

=

01

5

14

5

1

4

1

5

2))

( )

= × × =

= = × ×

4

5

3

4

1

3

1

5

34

5

3

4P X

22

3

1

2

1

5

44

5

3

4

2

3

1

2

( )

× =

= = × × × ×P X 111

5 =


15

45

M

√M

14

34

M

√M

13

23

M

√M

12

12

M

√M1

M

X = 0

X = 1

X = 2

X = 3

X = 4

1.a extração 2.a extração 3.a extração 4.a extração

xi 0 1 2 3 4

P(X = xi)15

15

15

15

15

List 1 List 2

21

36

32

36

43

36

54

36

65

36

76

36

85

36

94

36

103

36

112

36

121

36

78. X ~ N (100, 10)

a)

P(X < 100) = 0,5

b)

P(80 < X < 100) = = 0,47725

c)

P(X ≥ 120) = = 0,02275

500 × 0,02 275 = 11,375 Em 500 indivíduos, espera-se que haja 11 diabéti-cos.

79. X ~ N (8, 3)

a)

P(2 < X < 14) ≈ 0,9545

b)

P(X < 11) = 0,5 + = 0,84135

c)

P(11 < X < 14) = 0,5 – 0,34135 – 0,02275 = 0,1359

80. X ~ N (161,3; 4,6) Com recurso à calculadora:

a) P(155 < X < 165) ≈ 0,704

b) P(X > 170) ≈ 0,029

c) P(X > a) = 0,1a = 167 cm

100

1009080

0,95452

100 110 120

1 – 0,95452

852 11 14

852 11 14

0,68272

852 11 14


= 0,022751 – 0,9545

2= 0,34135

0,68272

Aprende fazendo

Páginas 84 a 103

1. A = {2, 4, 6} B = {2, 3, 5} A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} √A√ √∪√ √B = {1} Opção (B)

2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) § P(A ∪ B) = 0,6 + 0,6 – P(A ∩ B) § P(A ∪ B) = 1,2 – P(A ∩ B) Sabe-se que P(A ∪ B) ≤ 1, logo P(A ∩ B) > 0 e

assim A ∩ B ≠ ∅, logo A e B são acontecimentoscompatíveis.

Opção (C)

3. X__ __ __ __ __ __ __

1 × 6! × 2 = 1440

número de maneiras de sentar a rapariga mais alta numa das2 extremidades

Opção (D)

4. Considere-se os acontecimentos: M: “ser funcionário mulher” F: “ser funcionário fumador” N.o de funcionários que são mulheres e fumadores

Pretende-se P(M|F) = = 0,375 = 37,5%

N.o total de funcionários fumadores

Opção (A)

5. Pretende-se determinar o valor de P(X|Y), ou seja,a probabilidade de, ao escolher um aluno ao acaso,ser escolhida uma rapariga, sabendo que o alunoé da turma B. Ora, na turma B há 12 alunos, sendo

8 raparigas; assim, tem-se que P(X|Y) = = .

Opção (D)

6. Como A e B são acontecimentos independentes,P(A|B) = P(A). Logo, P(A|B) = 0,3.

Opção (C)

7. Sendo P(A) ≤ P(B), P(A ∩ B) ≤ P(A). Assim, de todas as opções apresentadas, o único

valor que P(A ∩ B) pode tomar é 0,3. Opção (D)

3080

812

23

edfdg

8. Sendo P(A) ≤ P(B), P(A ∪ B) ≥ P(B).

Assim, de todas as opções apresentadas, o único

valor que P(A ∪ B) pode tomar é 0,8.

Opção (A)

9. Por definição de acontecimentos incompatíveis

(A ∩ B = ∅), sabe-se que se ocorre A, não pode

ocorrer B.

Assim, a afirmação necessariamente verdadeira é

a (B).

Opção (B)

10. Número de casos possíveis: 5 × 5 = 25

Número de casos favoráveis: 5

Probabilidade pretendida: =

Opção (C)

11. P(A|B) = = =

Cálculo auxiliar:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

0,9 = 0,6 + P(B) – 0,1

§ P(B) = 0,4

Opção (C)

12. No contexto da situação descrita P(√B|A) significa

“a probabilidade de não sair bola com número

ímpar na segunda extração, sabendo que saiu bola

azul na primeira extração. Ora, se saiu bola azul na

primeira extração quer dizer que saiu bola com

número par. Assim, e como não houve reposição,

restam no saco 5 bolas, sendo 3 ímpares (verme-

lhas) e 2 pares (azuis). Logo, P(√B|A) = .

Opção (C)

13. Se P(X ≤ 1) = P(X = 4), então:

P(X = 0) + P(X = 1) = P(X = 4)

§ + 2a = a +

§ a = –

§ a =

e P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) +

+ P(X = 4) = 1

§ + 2 × + + b + + = 1

§ b =

Opção (A)

14. Seja X a variável aleatória que representa o com -

primento, em centímetros, de uma certa espécie

de catos.

X ~ N (75, 10)

P(A) = P(X > 75) = 0,5

P(B) = P(65 < X < 85) ≈ 0,6827

P(C) = P(70 < X < 85)

Observa-se que P(C) < 0,6827.

Opção (D)

15. Sendo que X segue uma distribuição normal de

valor médio 5, para se ter P(X < k) = 20%, k terá de

ser um valor inferior a 5. Assim, dos valores apre-

sentados, k só pode ser 3.

Opção (B)

16. Seja X a variável aleatória que representa o peso,

em gramas, de uma certa qualidade de peras de

um pomar. Sabemos que:

X ~ N (100, σ) e P(90 < x < 110) = 0,9545.

Sabemos também que se X ~ N(μ, σ), então

P(μ – 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0,9545 logo, neste caso:

Opção (A)

17. Seja X a variável aleatória que representa o nível

obtido:

15

525

14

0,10,4

P(A ∩ B)P(B)

25

16

112

112

161

12

16

112

15

112

112

310

75

0,5

75

0,6827

65 85

7565 8570

efg

efg

100 – 2σ = 90100 + 2σ = 110

§ σ = 5σ = 5

x = × + × + × +110

2402

40

2403

50

2404

,

× +

+ × =

= ×

100

240

540

2403 5

10

240s ( – , ) ( – , )

1 3 540

2402 3 5

4

2 2+ × + … +

+00

2405 3 5 1 08 22 ( – , ) , ( ) ≈ c.d.


Assim, P(∫x – s < X < ∫x + s)

= P(3,5 – 1,08 < X < 3,5 + 1,08)

= P(2,42 < X < 4,58)

= P(X = 3) + P(X = 4)

= +

= 0,625 = 62,5%

Opção (A)

18. Seja Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 6), (2, 1), …,

(6, 6)}

#Ω = 36

X: “no dado D aparece um 1”

X = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}

P(X) = =

Y: “a soma dos dois números é igual a 7”

Y = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}

P(Y) = =

Z: “os dois números são iguais”

Z = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

P(Z) = =

X ∩ Y = {(1, 6)}

P(X ∩ Y) =

P(X) × P(Y) = × =

Como P(X ∩ Y) =) P(X) × P(Y), X e Y são aconteci-

mentos independentes.

A opção (A) é falsa.

X ∩ Z = {(1, 1)}

P(X ∩ Z) =

P(X) × P(Z) = × =

Como P(X ∩ Z) = P(X) × P(Z), X e Z são aconteci-

mentos independentes.

A opção (B) é verdadeira.

Y ∩ Z = ∅, logo Y e Z são acontecimentos in com -

patíveis e não são independentes.

P(Y ∩ Z) = 0

P(Y) × P(Z) = × =

As opções (C) e (D) são falsas.

Opção (B)

19. Num conjunto de 6 pessoas, considere-se os acon-

tecimentos:

A: “pelo menos duas pessoas pertencerem aomesmo signo”

Assim: ∫A: “nenhuma pertencer ao mesmo signo” P(A) = 1 – P(∫A)

= 1 –

= 1 –

=

Opção (C)

20. A probabilidade pedida será o quociente entre aárea da estrela e a área do hexágono.

• Determinação da área do hexágono (A1):

• Determinação da área da estrela (A2):

Assim, a probabilidade pedida é:

Opção (A)

100240

50240

16

636

16

636

16

636

136

136

16

16

136

136

16

16

136

16

16

12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 712 × 12 × 12 × 12 × 12 × 123851728

13431728

Ap

aptl

l l1

2

2

6

2

3

2

3 3

2 = × = × =

l

3 3

4

3 3

2

1

20 5 50

2

2

, %l

l

= = =

A A A

l l

l

2 1

2 2

2

6

3 3

26

3

8

12 3

–

–

=

= ×

=

Δ

88

6 3

8

6 3

8

3 3

4

2

2 2

–

l

l l= =

(× 4)

A

l l

lΔ

=

×

=

3

222

3

82


Cálculo auxiliar:Determinação da área de cada triângulosombreado:

21. Seja X a variável aleatória que representa as clas-sificações obtidas a nível nacional no Exame deMatemática. Como X segue uma distribuição nor-mal de valor médio 130, então a curva normal quelhe está associada é da forma:

Tem-se que P(X ≤ 130) = 50% e P(X ≥ 130) = 50%. Sendo P(a ≤ X ≤ b) = 65%, todas as opções apre-

sentadas são excluídas, à exceção da opção (D).Observe-se que:

• Opção (A), P(130 ≤ X < 155) < 50%

• Opção (B), P(110 ≤ X ≤ 130) < 50%

• Opção (C), P(140 ≤ X ≤ 160) < 50%

Opção (D)

22.a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,

17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44,45, 46, 47, 48, 49, 50}

b)

Ω = { (N, N, N, N), (N, N, N, E), (N, N, E, N), (N, N, E, E),(N, E, N, N), (N, E, N, E), (N, E, E, N), (N, E, E, E), (E, N, N, N), (E, N, N, E), (E, N, E, N), (E, N, E, E), (E, E, N, N), (E, E, N, E), (E, E, E, N), (E, E, E, E) }

c) Ω = {0, 1, 2, 3, 4}d) Ω = �e) A: “sentar a Ana” B: “sentar a Berta” C: “sentar o Carlos”

Ω = { (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B),(C, B, A) }

23. B: “a equipa vencedora ser o Brasil” E: “a equipa vencedora ser a Espanha” H: “a equipa vencedora ser a Holanda” P: “a equipa vencedora ser Portugal”a) Ω = {B, E, H, P}b) “A equipa vencedora ser a China” → acontecimen-

to impossível “A equipa vencedora ser Portugal” → aconteci-

mento elementar “A equipa vencedora ser europeia” → aconteci-

mento composto “A equipa vencedora ser europeia ou de língua por-

tuguesa” → acontecimento certo.c) P(Ω) = { ∅, {B}, {E}, {H}, {P}, {B, E}, {B, H}, {B, P},

{E, H}, {E, P}, {H, P}, {B, E, H}, {B, E, P}, {B, H, P},{E, H, P}, {B, E, H, P} }

24. A = {1, 2, 5} B = {2, 4, 6}a) A ∩ Bb) ∫A∫ ∫∪∫ ∫B ou ∫A ∩ ∫Bc) A\Bd) B\A

25.a) Ω = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),

(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3),(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1),(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

130

130 155

130110

130 140 160

1.o lugar 2.o lugar 3.o lugar Resultados possíveis

AB C (A, B, C)

C B (A, C, B)

BA C (B, A, C)

C A (B, C, A)

CA B (C, A, B)

B A (C, B, A)

1.a moeda 2.a moeda

N

NN

N (N, N, N, N)E (N, N, N, E)

EN (N, N, E, N)E (N, N, E, E)

EN

N (N, E, N, N)E (N, E, N, E)

EN (N, E, E, N)E (N, E, E, E)

E

NN

N (E, N, N, N)E (E, N, N, E)

EN (E, N, E, N)E (E, N, E, E)

EN

N (E, E, N, N)E (E, E, N, E)

EN (E, E, E, N)E (E, E, E, E)


3a moeda 4.a moedaResultadospossíveis

b) A = { (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) }

B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2),

(3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6),

(6, 1), (6, 3), (6, 5) }

b1) A ∩ B = A = { (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) }

b2) A ∪ B = B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),

(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4),

(5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5) }

b3) B\A = { (1, 2), (1, 6), (2, 1), (2, 5), (3, 4), (3, 6), (4, 3),

(4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5) }

b4) A\B = ∅

26.

a) Ω = { (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1),

(2, 1, 0) }

b) A = { (1, 0, 2), (2, 0, 1), (2, 1, 0) }

B = { (0, 2, 1), (1, 2, 0), (2, 1, 0) }

C = { (0, 1, 2), (0, 2, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 0) }

b1) A ∩ B = { (2, 1, 0) }

b2) A ∩ C = { (2, 0, 1), (2, 1, 0) }

b3) A ∪ B = { (0, 2, 1), (1, 2, 0), (1, 0, 2), (2, 0, 1), (2, 1, 0) }

b4) ∫B ∪ ∫C = { (0, 1, 2), (1, 2, 0), (1, 0, 2), (2, 0, 1) }

b5) ∫B∫ ∫∪∫ ∫C = { (1, 0, 2) }

b6) B\C = { (1, 2, 0) }

b7) C\B = { (0, 1, 2), (2, 0, 1) }

27.

a) P(“sair uma figura”) = =

b) P(“sair vermelha ou espadas”) = =

c) P(“sair preta e figura”) = =

d) P(“sair rei ou ás”) = =

e) P(“sair nem paus nem figura”) =

f) P(“sair preta e não ás”) = =

28. A: “ser português”

B: “ser homem”

• P(A) = 0,6

• P(B) = 0,36

• P(A ∩ B) = 0,15

P(∫A ∩ ∫B) = 0,19

29.

a) P(A ∩ B) =

b) P(A ∪ B) = =

c) P(∫B) = =

d) P(A \ B) = =

e) P(∫A \ ∫B) =

30.

a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ ∫B) = A ∩ (B ∪ ∫B)

= A ∩ Ω

= A c.q.d.

b) (∫A∫ ∫∪ ∫∫ ∫B) ∪ ∫B = (∫A ∩ B) ∪ ∫B

= (∫A ∪ ∫B) ∩ (B ∪ ∫B)

= (∫A ∪ ∫B) ∩ Ω

= ∫A ∪ ∫B= ∫A∫ ∫∩∫ ∫B c.q.d.

c)

31. P(A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = P(A) × P(A) = (P(A))2

Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então

P(A ∪ B) = P(A) + P(A) – P(A) × P(A), pois A e B são

acontecimentos equiprováveis e independentes.

§ P(A ∪ B) = 2 P(A) – [P(A)]2

§ P(A ∪ B) = P(A) [2 – P(A)] c.q.d.

310

1240

34

3040

320

640

15

840

2140

920

1840

A

0,45 0,15 0,21

0,19

B

Ω

732

34

2432

12

1632

14

832

932

( ) ( ) =( ) ( )

=[(

A B B A A B B A

A

) ) (( ) )]

=[ ( )]

B B A B A

A B B [ ( )]

=( ) ( )

= (

B A A

A A B

A )

=

\ c.q.d.=

B

A B

A B


1.a extr. 2.a extr. 3.a extr. Resultados possíveis

01 2 (0, 1, 2)

2 1 (0, 2, 1)

10 2 (1, 0, 2)

2 0 (1, 2, 0)

20 1 (2, 0, 1)

1 0 (2, 1, 0)


32.

a) Sejam os acontecimentos:

M: “o doente melhorou”

A: “o doente utilizou medicamento em creme”

B: “o doente utilizou medicamento em comprimido”

a1) P(M) = =

a2) P(∫M|A) = =

a3) P(B|M) = =

33. Sejam os acontecimentos:

B: “comprar o hambúrguer com bebida”

F: “comprar o hambúrguer com batata frita”

Do enunciado, temos que:

• P(B ∩ F) = 40%

• P(∫B ∩ ∫F) = 15%

• P(B) = 65%

Assim:

a) P(B ∩ ∫F) = 25%

P(∫B ∩ F) = 20%

A Maria tem razão. De facto, a probabilidade de um

cliente comprar o hambúrguer com bebida e sem

batata frita (25%) é maior do que a probabilidade

de um cliente comprar o hambúrguer com batata

frita e sem bebida (20%).

b) Pretende-se determinar P(F|B):

P(F|B) = = =

c) P(B) = 0,65

P(F) = 0,60

P(B ∩ F) = 0,40

P(B) × P(F) = 0,65 × 0,60 = 0,39

Como P(B ∩ F) ≠ P(B) × P(F), os acontecimentos

B: “comprar hambúrguer com bebida” e F: “com-

prar hambúrguer com batata frita” não são acon-

tecimentos independentes.

34. No contexto da situação descrita, P(B|A) significa“a probabilidade de a segunda ficha retirada serímpar, sabendo que a primeira ficha retirada foipar”.

Assim, o número de casos possíveis é igual a 9pois, após se ter retirado uma ficha da caixa, estaé de novo introduzida na caixa.

O número de casos favoráveis é igual a 5, pois exis-tem na caixa 5 fichas com um número ímpar (1, 3,5, 7 e 9), que continuam na caixa após a primeiraextração.

Segundo a regra de Laplace, num espaço de resul-tados com um número finito de elementos e cujosresultados elementares são equiprováveis, a pro-babilidade de um acontecimento é dado pelo quo-ciente entre o número de casos favoráveis a esseacontecimento e o número de casos possíveis; por-

tanto, a probabilidade pedida é .

35. No contexto da situação descrita, P(B|L) significa“a probabilidade de o segundo bombom retiradoser de chocolate branco, sabendo que o primeirobombom retirado foi de chocolate de leite”. Ora,

P(B|L) = significa que, no momento da segunda

extração, encontravam-se na caixa tantos bom-bons de chocolate branco, como de chocolate deleite, ou seja, 15 bombons de cada – já que o pri-meiro bombom retirado e comido foi de chocolatede leite – restam na caixa todos os bombons dechocolate branco existentes inicialmente (15) e amesma quantidade de bombons de chocolate deleite.

Conclui-se, assim, que inicialmente existiam nacaixa 16 bombons de chocolate de leite.

36. Sabe-se que: • P(A) = 0,4 • P(A ∪ B) = 0,7 • A e B acontecimentos independentes, logo

P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Assim: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 0,7 = 0,4 + P(B) – P(A) × P(B) § 0,3 = P(B) – 0,4 × P(B) § 0,6 P(B) = 0,3

§ P(B) =

§ P(B) =

3350

66100

725

1450

511

3066

813

0,400,65

P(F ∩ B)P(B)

59

12

0,30,6

12

M ∫M Total

A 36 14 50

B 30 20 50

Total 66 34 100

F ∫F Total

B 40% 25% 65%

∫B 20% 15% 35%

Total 60% 40% 100%


37. Sejam os acontecimentos: T: “Tomás passar no exame” M: “Malaquias passar no exame” P(T) = 0,6 e P(M) = 0,8 Dispondo os dados num diagrama de árvore:

Assim:a) P(∫T ∩ ∫M) = 0,08b) P(∫T ∩ M) = 0,32c) P(T ∩ ∫M) + P(∫T ∩ M) = 0,12 + 0,32 = 0,44

38. P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1

k + 3 k + k2 + k2 + = 1

§ 2 k2 + 4 k – = 1

§

§ k = ⁄ k = –

Como, por exemplo, P(X = 1) = k, k terá de ser umvalor compreendido entre 0 e 1.

Assim, k = .

39. X – variável aleatória que representa o número defaces nacionais obtidas no lançamento de umamoeda equilibrada duas vezes.

X assume os valores 0, 1 e 2 e:

P(X = 0) = =

P(X = 1) = × 2 = ½

P(X = 2) = = ¼

Distribuição de probabilidades da variável X:

40. Sabendo que X assume os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5,tem-se que:

• P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0,116

• P(X ≤ 1) = 0,428 § P(X = 0) + P(X = 1) = 0,428 § 0,116 + P(X = 1) = 0,428 § P(X = 1) = 0,312

• P(X ≤ 2) = 0,765 § P(X ≤ 1) + P(X = 2) = 0,765 § 0,428 + P(X = 2) = 0,765 § P(X = 2) = 0,337

• P(X ≤ 3) = 0,946 § P(X ≤ 2) + P(X = 3) = 0,946 § 0,765 + P(X = 3) = 0,946 § P(X = 3) = 0,181

• P(X ≤ 4) = 0,995 § P(X ≤ 3) + P(X = 4) = 0,995 § 0,946 + P(X = 4) = 0,995 § P(X = 4) = 0,049

• P(X ≤ 5) = 1 § P(X ≤ 4) + P(X = 5) = 1 § 0,995 + P(X = 5) = 1 § P(X = 5) = 0,005

Assim, a tabela de distribuição de probabilidadesde X é:

41. X – “número de ovos partidos numa caixa”a) E(X) = 0 × 0,80 + 1 × 0,14 + 2 × 0,03 + 3 × 0,02 +

+ 4 × 0,01 + 5 × 0 + 6 × 0 = 0,3 V(X) = (0 – 0,3)2 × 0,8 + (1 – 0,3)2 × 0,14 +

+ (2 – 0,3)2 × 0,03 + (3 – 0,3)2 × 0,02 + + (4 – 0,3)2 × 0,01 + 0 + 0 = 0,51

b) Y – “número de ovos não partidos numa caixa”

Observe-se que: P(Y = 0) = P(X = 6) P(Y = 1) = P(X = 5) P(Y = 2) = P(X = 4) P(Y = 3) = P(X = 3) P(Y = 4) = P(X = 2) P(Y = 5) = P(X = 1) P(Y = 6) = P(X = 0) E(Y) = 0 + 0 + 2 × 0,01 + 3 × 0,02 + 4 × 0,03 +

+ 5 × 0,14 + 6 × 0,8 = 5,7 V(Y) = 0 + 0 + (2 – 5,7)2 × 0,01 + (3 – 5,7)2 × 0,02 +

+ (4 – 5,7)2 × 0,03 + (5 – 5,7)2 × 0,14 + + (6 – 5,7)2 × 0,8 = 0,51

1532

1732

k – – –

=

± × ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

×

4 4 4 217

32

2 2

2

178

18

18

14

1 × 12 × 2

12

1 × 12 × 2

14

1 × 12 × 2

xi 0 1 2 3 4 5

P(X = xi) 0,116 0,312 0,337 0,181 0,049 0,005

yi 0 1 2 3 4 5 6

P(Y = yi) 0 0 0,01 0,02 0,03 0,14 0,80

M → P(T ∩ M) = 0,6 × 0,8 = 0,48

∫M → P(T ∩ ∫M) = 0,6 × 0,2 = 0,12

M → P(∫T ∩ M) = 0,4 × 0,8 = 0,32

∫M → P(∫T ∩ ∫M) = 0,4 × 0,2 = 0,08

T

∫T

0,8

0,2

0,8

0,2

0,6

0,4

xi 0 1 2

P(X = xi)14

12

14

c) Observa-se que E(Y) = 6 – E(X) e V(Y) = V(X). A distribuição de probabilidades da variável Y é

simétrica da distribuição de probabilidades davariável X em relação à reta da equação X = 3.

42. μ = 1,20 σ = 0,30 Sendo X ~ N (1,20; 0,30) tem-se que:a) P(0,9 < X < 1,5) ≈ 0,6827

b) P(X > 0,9) ≈ 1 –

= 0,84135

c)c1) P(X > 1,20) = 0,5, logo em 400 plantas, espera-se

que metade, isto é, 200 plantas meçam mais de1,20 m.

c2) P(1,20 < X < 1,80) = 0,5 – = 0,47725

logo, em 400 plantas, espera-se que 191 plantasmeçam entre 1,20 m e 1,80 m.

43.a) x = 1500 – (312 + 409 + 501) = 1500 – 1222 = 278 Pela Lei dos Grandes Números, a frequência rela-

tiva do acontecimento “sair face 4 na face voltadapara baixo”, quando o número de repetições daexperiência é suficientemente grande é uma boaaproximação do valor da probabilidade do aconte-cimento em causa.

P(“sair o número 4 na face voltada para baixo”)

= =

b) Aumentaria o número de repetições da experiência.

44. Número de casos possíveis: 64 = 1296 Número de casos favoráveis: 54 = 625

P(“nunca sair o número 1”) =

Número de casos possíveis: 64 = 1296 Número de casos favoráveis: 6 × 5 × 4 × 3 = 360

P(“saírem números todos diferentes”) = =

Como > , concluímos que é mais prová-

vel nunca sair o número 1 do que saírem números

todos diferentes.

45. R: “ter praticado rapel”

S: “ter praticado slide”

P(∫R) = 0,55 P(R) = 0,45

P(∫S) = 0,68 P(S) = 0,32

P(R ∩ S) = 0,14

P(R\S) = 0,45 – 0,14 = 0,31

P(S\R) = 0,32 – 0,14 = 0,18

P(∫R ∩ ∫S) = 1 – 0,31 – 0,14 – 0,18 = 0,37

46. 2 azuis

3 brancos

1 castanho

6 no total

a) Número de casos possíveis: 6 × 5 = 30

Número de casos favoráveis:

B B

∫3 × ∫2 = 6

P(“os dois cartões extraídos serem brancos”)

= =

b) Número de casos favoráveis:

B ∫B ou ∫B B

∫3 × ∫3 + ∫3 × ∫3 = 18

P(“um dos cartões saídos ser branco”) = =

c) Número de casos favoráveis:

B ∫B ou ∫B B ou B B

∫3 × ∫3 + ∫3 × ∫3 + ∫3 × ∫2 = 24

P(“pelo menos um dos cartões ser branco”)

= =

d) Número de casos favoráveis:

A A ou B B

∫2 × ∫1 + ∫3 × ∫2 = 8

P(“os dois cartões serem da mesma cor”) = =

e) Número de casos favoráveis:

∫C ∫C ∫5 × ∫4 = 20

P(“nenhum dos cartões ser castanho”) = =

1 – 0,68272

0,9 1,501,20{ {- 0,3 + 0,3

0,9 1,20

1,20 1,50 1,80

1 – 0,95452

139750

2781500

6251296

518

3601296

3601296

6251296

R

0,31 0,14 0,18

S

15

630

35

1830

45

2430

415

830

23

2030


47. Número de casos possíveis:

∫5∫2 × ∫5∫1 = 2652

a) Número de casos favoráveis:A R ou R A∫4 × ∫4 + ∫4 × ∫4 = 32

P(“sair um ás e um rei, por qualquer ordem”)

= =

b) Número de casos favoráveis: C C ∫1∫3 × ∫1∫2 = 156

P(“saírem ambos de copas”) = =

c) Número de casos favoráveis:

C ∫C ou ∫C C ou C C∫1∫3 × ∫3∫9 + ∫3∫9 × ∫1∫3 + ∫1∫3 × ∫1∫2 = 1170

P(“sair pelo menos uma carta de copas”)

= =

d) Número de casos favoráveis:

∫C ∫C

∫3∫9 × ∫3∫8 = 1482

P(“não sair copas”) = =

48.a) Número de casos possíveis:

∫1∫2 × ∫1∫2 × ∫1∫2 = 1728Número de casos favoráveis:

∫1∫2 × ∫1 × ∫1 = 12 P(“terem nascido todas no mesmo mês”)

= =

b) Número de casos possíveis:


∫1∫2 × ∫1∫1 × ∫1∫0 = 1320 P(“terem nascido todas em meses diferentes”)

= =

c) Número de casos possíveis:


M M D

(∫1∫2 × ∫1 × ∫1∫1) × 3 = 396 P(“terem nascido duas e só duas no mesmo mês”)

= =

49. P(A) = 0,4 P(A ∪ B) = 0,5a) P(A ∩ B) = 0 Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então

0,5 = 0,4 + P(B) – 0 § P(B) = 0,1.b) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0,4 × P(B) Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então

0,5 = 0,4 + P(B) – 0,4 P(B) § 0,1 = 0,6 P(B)

§ P(B) =

c) P(A|B) = 0,1 § P(A ∩ B) = 0,1 × P(B) Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então

0,5 = 0,4 + P(B) – 0,1 P(B) § 0,1 = 0,9 P(B)

§ P(B) =

50. P(∫A|∫B) × P(∫B) – P(∫A)

= × P(∫B) – P(∫A), P(∫B) ≠ 0

= P(∫A ∩ ∫B) – P(∫A) = P(∫A∫ ∫∪∫ ∫B) – [1 – P(A)] = 1 – P(A ∪ B) – 1 + P(A) = 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)] – 1 + P(A)

= P(A ∩ B) – P(B) c.q.d.

51.

52.a)

8663

322652

117

1562652

1534

11702652

1934

14822652

1144

121728

5572

13201728

1148

3961728

16

19

P(∫A ∩ ∫B)P(∫B)

= + + – ( ) – ( ) ( ) – ( )1 1P A P B P A B P A

P A P B

P B AP B A

P A

( ) ( )

( | ) ( )

( )

=

+ = +

=

1 1

PP A P A B

P AP A P A P A

( ) ( )

( )

( ) ( ) – (

+

=+ )

( )

( ) ( ) – ( )

( ),

B

P AP A P B P A B

P A=

+poiis

c.q.d.

( ) ( )

( )

( )

P A P B

P A B

P A

=

=

P A P B A P BP B A

P AP A( ) ( | ) ( )

( )

( ) ( ) × + = × ++

= +

=

( ), ( )

( ) ( )

( ) –

P B P A

P B A P B

P B

0

( ) – ( )

– ( )

(

P A B P B

P A B

P A

+

=

=

1

1

)

( )

B

P A B= c.q.d.


b) P(A ∩ B) ≥ 1 – P(∫A) – P(∫B) § P(A ∩ B) ≥ 1 – [1 – P(A)] – [1 – (P(B)] § P(A ∩ B) ≥ 1/ – 1/ + P(A) – 1 + P(B) § P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) – 1 § 1 ≥ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) § 1 ≥ P(A ∪ B) § P(A ∪ B) ≤ 1 Proposição verdadeira pela axiomática de proba-

bilidades de Kolmogorov.

c)

53.

54. Sejam os acontecimentos: F: “ser do sexo feminino” M: “ser do sexo masculino” E: “ser candidato ao primeiro emprego” Do enunciado, temos que: • P(F) = 0,7 • P(E) = 0,6 • P(M|E) = 0,25 Então, podemos concluir que: P(M|E) = 0,25

§ = 0,25

§ = 0,25

§ P(M ∩ E) = 0,15

Organizando os dados numa tabela, temos:

Pretende-se saber P(F|E).

Assim, P(F|E) = = = 0,75.

55. Sejam os acontecimentos: A: “Ana embrulha o presente” B: “Berta embrulha o presente” C: “Carolina embrulha o presente” T: “o presente ter o preço” Do enunciado, temos que: • P(A) = 0,3 • P(T|A) = 0,03 • P(B) = 0,2 • P(T|B) = 0,08 • P(C) = 0,5 • P(T|C) = 0,05 Donde, podemos concluir que:

P(T|A) =

§ 0,03 =

§ P(T ∩ A) = 0,009

P(T|B) =

§ 0,08 =

§ P(T ∩ B) = 0,016

P(T|C) =

§ 0,05 =

§ P(T ∩ C) = 0,025 Organizando os dados numa tabela:

a) P(T) = P(T ∩ A) + P(T ∩ B) + P(T ∩ C) = 0,05b) Pretende-se determinar P(B|T):

P(B|T) = = = 0,32

P A BP A B

P BP B

P A B

P

( | ) ( )

( ) , ( )

( )

=

=

0

(( )

– ( )

( )

– [ ( ) ( )

BP A B

P BP A P B

=

=+

1

1 –– ( )]

( )

– ( ) – ( ) (

P A B

P BP A P B P A

=+1 BB

P BP B P A P A B

P B

)

( )

( ) – ( ) ( )

( )

=+

= +1PP A B P A

P B

( ) – ( )

( ) c.q.d.

X Y P X Y

P X P Y P

( )

[ ( ) ( )] (

= =

+ ×

§ 0

XX X Y

P X P YP X X

| ( ))

[ ( ) ( )] [ (

= + ×YY

P X Y

P X P YP X

P X

)]

( )

[ ( ) ( ) ] ( )

( )

( )

= + ×1

++ ( ),

( )

( )

( )

P Y

X X Y

X Y

2

1

2

pois

pois e

( )

são incompatíveis

c.q.d.= P X

P(M ∩ E)P(E)

P(M ∩ E)0,6

0,450,6

P(F ∩ E)P(E)

P(T ∩ A)P(A)

P(T ∩ A)0,3

P(T ∩ B)P(B)

P(T ∩ B)0,2

P(T ∩ C)P(C)

P(T ∩ C)0,5

A B C Total

T 0,009 0,016 0,025 0,05

∫T

Total 0,3 0,2 0,5 1

0,0160,05

P(B ∩ T)P(T)


F M Total

E 0,45 0,15 0,6

√E 0,25 0,15 0,4

Total 0,7 0,3 1

c) P(T) = 0,05 P(B) = 0,2 P(T ∩ B) = 0,016 P(T) × P(B) = 0,05 × 0,2 = 0,01 Como P(T∩B) ≠ P(T) ×P(B), conclui-se que os acon-

tecimentos T: “o presente embrulhado ter preço” eB: “o presente ser embrulhado pela Carolina” nãosão acontecimentos independentes.

d) P(T) = 0,05 P(C) = 0,5 P(T ∩ C) = 0,025 P(T) × P(C) = 0,05 × 0,5 = 0,025 Como P(T ∩ C) = P(T) × P(C), conclui-se que os

acontecimentos T: “o presente embrulhado terpreço” e C: “o presente ser embrulhado pela Caro-lina” são acontecimentos independentes.

56. Através dos dados do enunciado:

a) P(V|C1) =

b) P(V|C2) =

c) P(V) = P(V ∩ C1) + P(V ∩ C2) = + =

d) P(C1|V) = = =

e) P(C2|B) = = =

f) P(C1|B) = = =

57. Através dos dados do enunciado:

a) P(C1) =

b) P(F) = P(F ∩ C1) + P(F ∩ C2) + P(F ∩ C3)

= + 0 + =

c) P(C3|F) = = =

58. No contexto da situação descrita, P(B|∫A) significa “aprobabilidade de sair um rebuçado de morango,sabendo que não saiu face par no lançamento dodado tetraédrico”. Ora, se não saiu face par, significaque não saiu face 4 e, logo, retira-se, ao acaso, umrebuçado do saco 2. No saco 2 existem 15 rebuça-dos, sendo 4 de morango.

Como segundo a regra de Laplace, num espaço deresultados com um número finito de elementos ecujos resultados elementares são equiprováveis,a probabilidade de um acontecimento é dado peloquociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento (neste caso 4) e o númerode casos possíveis (neste caso 15), temos que

P(B| ∫A) = . Assim, dos três amigos, quem tem

razão é o José.

59. Consideremos os acontecimentos: T1: “Tobias escolher o café Central” T2: “Tobias escolher o café Convívio” T3: “Tobias escolher o café da Esquina”

Sabemos que P(T1) = , P(T2) = P(T3) e que

P(T1) + P(T2) + P(T3) = 1, logo:

+ P(T2) + P(T2) = 1

§ P(T2) = § P(T2) = e P(T3) =

3513

715

16

310

9147

15

310P(C1 ∩ V)

P(V)

588

15

13P(C2 ∩ B)

P(B)

388

15

15P(C1 ∩ B)

P(B)

13

12

16

13

131

2

16P(C3 ∩ F)

P(F)

415

59

59

29

29

15

92

–


B → P(C1 ∩ B) = × =

V → P(C1 ∩ V) = × =

B → P(C2 ∩ B) = × =

V → P(C2 ∩ V) = × =

12

25

15

12

35

310

12

23

13

12

13

16

C1

C2

25

12

12

3523

13

F → P(C1 ∩ F) =

V → P(C1 ∩ V) = 0F → P(C2 ∩ F) = 0

V → P(C2 ∩ V) =

F → P(C3 ∩ F) =

V → P(C3 ∩ V) =

13

131616

C1

C2

C3

0

13

13

1

1

0

12

12

Cálculo auxiliar:P(B) = P(B ∩ C1) + P(B ∩ C2)

= + =15

13

815

M1: “Malaquias escolher o café Central” M2: “Malaquias escolher o café Convívio” M3: “Malaquias escolher o café da Esquina”

Sabemos que P(M2) = , P(M1) = P(M3) e que

P(M1) + P(M2) + P(M3) = 1, logo:

P(M1) + + P(M1) = 1

§ P(M1) =

§ P(M1) = e P(M3) =

J1: “Jeremias escolher o café Central” J2: “Jeremias escolher o café Convívio” J3: “Jeremias escolher o café da Esquina”

Sabemos que P(J1) = P(J2) = P(J3) = .

a) P(T1 ∩ M1 ∩ J1) = P(T1) × P(M1) × P(J1)

= × ×

=

b) P(T1 ∩ M1 ∩ J1) + P(T2 ∩ M2 ∩ J2) + P(T3 ∩ M3 ∩ J3)

= + × × + × ×

= + +

=

c) Seja A o acontecimento “no máximo dois amigosencontram-se no mesmo café”, então ∫A é o acon-tecimento “todos os amigos se encontram no mes-mo café”.

Assim: P(A) = 1 – P(∫A)

= 1 – (determinado na alínea anterior)

=

60. Sejam os acontecimentos: X: “tomar o analgésico X” Y: “tomar o analgésico Y” A: “sentir-se agoniado” Do enunciado, sabe-se que:

• P(X) =

• P(A|X) = 0,8

• P(Y) =

• P(A|Y) = 0,1

Dispondo os dados num diagrama em árvore:

• P(X|A) = = =

• P(Y|A) = = =

Observe-se que, P(X|A) > P(Y|A), ou seja, sa bendoque, de manhã, quando acorda, a Andreia se sentebastante agoniada, é mais provável ter tomado oanalgésico X.

61. Considera os acontecimentos: N: “sair face nacional” E: “sair face europeia” Seja X a variável aleatória que representa o núme-

ro de face nacionais obtidas. X assume os valores 0, 1, 2, 3 e 4.

P(X = 0) = × × × = (E, E, E, E)

P(X = 1) = × × × × × 4 = =

(N, E, E, E), (E, N, E, E), (E, E, N, E), (E, E, E, N)

P(X = 2) = × × × × 6 = =

(E, E, N, N), (N, N, E, E), (N, E, E, N), (E, N, N, E), (N, E, N, E), (E, N, E, N)

P(X = 3) = × × × × 4 = =

(N, N, N, E), (N, E, N, N), (N, N, E, N), (E, N, N, N)

P(X = 4) = × × × = (N, N, N, N)

Tabela de distribuição de probabilidades da variá-vel X:

17

171

1

72

–

37

37

13

13

37

595

63

13

37

29

13

17

29

563

263

2189

56323

189

23189

166189

14

34

811

0,20,275

P(X ∩ A)P(A)

311

0,0750,275

P(Y ∩ A)P(A)

116

12

12

12

12

14

416

12

12

12

12

12

38

616

12

12

12

12

14

416

12

12

12

12

116

12

12

12

12

A → P(X ∩ A) = × 0,8 = 0,2

∫A → P(X ∩ ∫A) = × 0,2 = 0,05

A → P(Y ∩ A) = × 0,1 = 0,075

∫A → P(Y ∩ ∫A) = × 0,9 = 0,675

1414

3434

Y

X

0,8

14

34

0,2

0,1

0,9

xi 0 1 2 3 4

P(X = xi)1

1614

38

14

116


Cálculo auxiliar:P(A) = P(X ∩ A) + P(Y ∩ A) = 0,2 + 0,075 = 0,275

62. P(X = 40) = P(X > 40)

§ 2a – = P(X = 50) § 2a – = a

§ a =

P(X ≤ 10) = 3 P(X = 50)

§ P(X = 0) + P(X = 10) = 3 ×

§ + b = § b =

§ b =

P(X = 0) + P(X = 10) + P(X = 20) + P(X = 30) + + P(X = 40) + P(X = 50) = 1

+ + c + + 2 × – + = 1

§ c =

63. X – “pontuação obtida”a)

b)b1) Y – “soma das pontuações obtidas em dois lança-

mentos do dado”

P(Y = 2) =

P(Y = 3) = =

P(Y = 4) = =

P(Y = 5) = =

P(Y = 6) = =

b2) Com recurso à calculadora: E(Y) ≈ 4,67 σY ≈ 1, 05409 Logo, V(Y) = σY

2 ≈ 1,11

64. Seja X a variável aleatória que representa o tempoque um mecânico demora a substituir num carroas pastilhas dos travões.

X ~N (90, 5)a)

P(X < 85) ≈ = 0,15865, ou seja,

P(X < 85) ≈ 16%b)

P(X > 105) ≈ = 0,00135, ou seja,

P(X > 105) ≈ 0,135%c)

P(95 < X < 100) ≈ 0,5 – –

= 0,1359, ou seja, P(95 < X < 100) ≈ 13,59%

65.a) 1 2 3 4 ∫8 × ∫8 × ∫8 × ∫8 = 84 = 4096

b) 1 2 3 4 ∫8 × ∫8 × ∫8 × ∫1 = 83 = 512

c) 1 2 3 4 ∫8 × ∫7 × ∫6 × ∫5 = 8A4 = 1680

66. Número de casos possíveis: M1 M2 M3 M4 M5

∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 = 55 = 3125

112

112

112

112

212

312

112

16

112

112

112

14

16

112

13

μ

σ

–

= × + × + × =

=

11

62

1

33

1

2

7

3

17

3

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × +

2 2

1

62

7

3

1

33

7

3 – –

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

= ≈

2

1

2

5

90 745

,

136

19

436

518

1036

13

1236

14

936

85 90 95

1 – 0,68272

90 95 100 105

1 – 0,99732

90 95 100

1 – 0,95452

0,68272


xi 1 2 3

P(X = xi)16

13

12

yi 2 3 4 5 6

P(Y = yi)1

3619

518

13

14

2.o

1.o1 2 2 3 3 3

1 2 3 3 4 4 4

2 3 4 4 5 5 5

2 3 4 4 5 5 5

3 4 5 5 6 6 6

3 4 5 5 6 6 6

3 4 5 5 6 6 6

Número de casos favoráveis: M1 M2 M3 M4 M5

∫5 × ∫4 × ∫3 × ∫2 × ∫1 = 120

P(“ficarem todos em hotéis distintos”) = =

67. Número de casos possíveis: 510 = 9 765 625 Número de casos favoráveis: 5 P(“saírem todos na mesma paragem”)

= = =

68. |0_____| |0_____| |0_____| |0_____| |0_____| Caixa 1 Caixa 2 Caixa 3 Caixa 4 Caixa 5 Começamos por colocar uma bola em cada uma

das caixas. Restam-nos 2 bolas para colocar nascaixas. As duas bolas podem ficar juntas na mes-ma caixa (5 possibilidades) ou ficarem se pa radas(5C2 = 10 possibilidades). Ou seja, existem 15maneiras diferentes de colocar as bolas.

69. 58 = 390 625

70. Número de casos possíveis: x y z ∫6 × ∫6 × ∫6 = 216a) Número de casos favoráveis: 1 ∫6 × ∫6 × ∫1 = 36 P(“o ponto P pertencer ao plano z = 1”) =b) Número de casos favoráveis: ∫6 × ∫6 × ∫1 = 36 P(“o ponto P pertencer ao plano y = z”) =c) Número de casos favoráveis: ∫3 × ∫6 × ∫6 = 108 P(“o ponto P pertencer ao semiplano x ≤ 3”) =

71. M: “a Vitória apaixonar-se por rapazes morenos” D: “a Vitória apaixonar-se por rapazes desportistas” P(M) = 0,6 P(D) = 0,7 P(∫M ∩ ∫D) = 0,25a) P((M ∩ ∫D) ∪ (D ∩ ∫M)) = P(M ∩ ∫D) + P(D ∩ ∫M) pois (M ∩ ∫D) e (D ∩ ∫M) são acontecimentos disjun-

tos. = P(M) – P(M ∩ D) + P(D) – P(D ∩ M)

P(M ∪ D) = P(M) + P(D) – P(M ∩ D)Então:

0,75 = 0,6 + 0,7 – P(M ∩ D) § P(M ∩ D) = 1,3 – 0,75 § P(M ∩ D) = 0,55 Continuando o cálculo de P[(M ∩ ∫D) ∪ (D ∩ ∫M)]: P(M) – P(M ∩ D) + P(D) – P(D ∩ M) = 0,6 – 0,55 + 0,7 – 0,55 = 1,3 – 1,1 = 0,2

b) P(M|∫D) = = = =

72. A: “a carta extraída ser ás” O: “a carta extraída ser de ouros” P(A) = 0,2 P(O) = 0,6 P(∫A ∩ ∫O) = 0,3a) P(∫A ∩ ∫O) = 0,3 § P(∫A∫ ∫∪∫ ∫O) = 0,3 § 1 – P(A ∪ O) = 0,3 § 1 – 0,3 = P(A ∪ O) § P(A ∪ O) = 0,7 Sabemos que: P(A ∪ O) = P(A) + P(O) – P(A ∩ O) 0,7 = 0,2 + 0,6 – P(A ∩ O) § P(A ∩ O) = 0,8 – 0,7 § P(A ∩ O) = 0,1 Dado que P(A ∩ O) ≠ 0, concluímos que A ∩ O: “a

carta extraída ser o ás de ouros” é um aconteci-mento possível. Tal só pode acontecer se o ás deouros estiver no baralho.

b) P(“ser extraído o ás de ouros”) = 0,1

Logo, é o número de cartas do

baralho incompleto.

c) é o número de cartas de ouros

deste baralho incompleto.

73. P(∫A|B) – P(∫B) × P(∫A|B) = P(∫A|B) [1 – P(∫B)] = P(∫A|B) × P(B)

= × P(B), P(B) ≠ 0

= P(∫A ∩ B) = P(∫A ∪∫ ∫B) = 1 – P(A ∪ ∫B) = 1 – P(∫B ∪ A) c.q.d.

74.a) P(B ∩ ∫C) = P(B) – P(B ∩ C) = P(B) – P(B) × P(C),

pois B e C são acontecimentos indepen-dentes.= P(B) [1 – P(C)] = P(B) × P(∫∫C)

Logo, B e ∫C são acontecimentos independentes.

24625

1203124

11 953 125

159

5510

16

16

12

16

530

0,050,3

P(M ∩ ∫D)P(∫D)

1

10

110 = =

nn§

6

10 106 = =

x x§

P(∫A ∩ B)P(B)


Cálculo auxiliar:P(∫M ∩ ∫D) = 0,25 § P(∫M∫ ∫∪∫ D) = 0,25 § 1 – P(M ∪ D) – 0,25 § 0,75 = P(M ∪ D)

b)

pois [(A ∩ B) ∩ C]

e [(A ∩ B) ∩ ∫C] são acontecimentos disjuntos

75. A afirmação é falsa. Se A, B e C são acontecimentos independentes

então P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B) × P(C).

Vejamos o seguinte exemplo: Quatro cartões estão marcados com a, b, c e abc

e colocam-se dentro de uma caixa. Tira-se, ao aca-so, um cartão. Então, Ω = {a, b, c, abc}.

Considera os acontecimentos: A = {a, abc} B = {b, abc} C = {c, abc}

Tem-se que:

• P(A) =

• P(B) =

• P(C) =

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

= ×

= P.V.

P(B ∩ C) = P(B) × P(C)

= ×

= P.V.

Contudo: P(A ∩ B ∩ C) = P({abc}) =

P(A) × P(B) × P(C) = × × = ou seja,

P(A ∩ B ∩ C) ≠ P(A) × P(B) × P(C), isto é, A, B e Cnão são independentes.

76. Sejam os acontecimentos: A: “o bolo é fornecido pela empresa A” B: “o bolo é fornecido pela empresa B” i: “o bolo apresenta peso significativamente in fe -

rior ao estabelecido” • P(A) = 3 P(B) • P(i|A) = 0,1 • P(i|B) = 0,15

Pretende-se determinar P(A|i):

P(A|i) = = =

= ) 0,667

Assim, P(A|i) ) 67%.

77. Sejam os acontecimentos: V: “ser dado viciado” S: “sair um num lançamento do dado”

P(S|V) =

P(S|∫V) =

P A B C P C P A B C P C( |( )) ( ) ( |( )) ( )

∩ × + ∩ ×

=PP A B C

P B CP C

P A B[ ( )]

( ) ( )

[ ( ∩ ∩

∩× +

∩ ∩ )]

( ) ( )

[ ( )]

( )

C

P B CP C

P A B C

P B

∩×

=∩ ∩

× PP C( )

poisB e Csão

independentes

� ��

× PP CP A B C

P B P C

B C

( ) [ ( )]

( ) ( )+

∩ ∩

×

Se e sãão independentes,então e também são ind

B Ceependentes.

� ��

×

=∩ ∩

( )

[( ) ]

(

P C

P A B C

P BB

P A B C

P BP A B C

)

[( ) ]

( )

[( ) ]

+∩ ∩

=∩ ∩ + PP A B C

P B

[( ) ]

( )

∩ ∩

P A B C P A

[(( ) ) ((=

∩ ∩ ∪ ) )]

( ),

∩ ∩B C

P B

[( ) ( )]

(=

∩ ∩ ∪P A B C C

P BBP A B

P BP A B

P BP A

)

[( ) ]

( )

( )

( ) ( |

=∩ ∩ Ω

=∩

= BB) c.q.d.

121212

12

12

14

14

14

12

12

14

14

14

14

18

12

12

12

0,0750,1125

0,0750,075 + 0,0375

P(A ∩ i)P(i)

23

1216


i → P(A ∩ i) = × 0,1 = 0,075

∫i

i → P(B ∩ i) = × 0,15 = 0,0375

∫i

34

14

B

A

0,1

34

14

0,9

0,15

0,85

Cálculo auxiliar:P(A) + P(B) = 1 § 3 P(B) + P(B) = 1

§ 4 P(B) = 1

§ P(B) =14

Assim:

Pretende-se:

78. Sejam os acontecimentos: C: “Maria escrever a carta” S: “não se perder a carta nos correios” E: “o carteiro entregar a carta”

Seja ainda R o acontecimento: “a Rosa recebe acarta”. Pretende-se P(∫C|∫R).

Assim:

79. Face obtida no lançamento do dado: 1 fi X = 2 2 fi X = 1 3 fi X = 6 4 fi X = 2 5 fi X = 10 6 fi X = 3 Como o dado é equilibrado, obtém-se a seguinte

distribuição de probabilidades:

80.

81. No caso do projeto A:

E(X) = 95 000

No projeto B:

No projeto B: E(Y) = 115 000 Sendo que E(Y) > E(X), o diretor financeiro deve

aconselhar como sendo o mais vantajoso o pro-jeto B.

82. X – variável aleatória que representa o tempo queo Tiago demora nos correios.

X ~ N(6; 1,3)

E Z

P Z P Z P Z

( ) ,

( ) ( ) ( )

=

= + = + = +

4 9

2 3 4 PP Z P Z

P Z

( ) ( )

( )

= + = +

+ = =

5 6

7 1

§ , , , 2 0 05 3 0 25 4 5 6 0 1× + × + + + × +a b , ,

, , ,

7 0 3 4 9

0 05 0 25 0 1

× =

+ + + + +a b 00 3 1

4 5 1 35

0 3

,

,

,

=

+ =

+ =§

a b

a b

+ =

=

( , – ) ,

, – §

4 0 3 5 1 35

0 3

b b

a b

+ =

, – ,

________________§

1 2 4 5 1 35b b

=

=

=

§

§

,

, – ,

,

b

a

a

0 15

0 3 0 15

0 115

0 15ba b

, . .

==De facto,

xi 150 000 250 000 –100 000

P(X = xi) 0,5 0,2 0,3

yi 100 000 200 000 –50 000

P(Y = yi) 0,6 0,3 0,1

P V S SP V S S

P S S|

1 2

1 2

1 2

( )( ) = ( )( )

=

1

81

8

1

72

1

85

36

9

10+

= =

P C RP C R

P R( | )

( )

( )

= =

+ +

2

1072

1000

8

100

22

10

2

1044

125

25

44 = =

xi 1 2 3 6 10

P(X = xi)16

26

16

16

16


V

∫V

S112

12

12

12

16

56

12

12

∫S1

12

12

S1

16

56

∫S1

16

56

810

210

C

∫C

910

110

S

∫S

910

110

E

∫E

→P(∫C) =2

10

→P(C ∩ ∫S) = × =8

101

108

100

P(C ∩ S ∩ ∫E)

= × × =8

109

101

1072

1000

←

S P V S S2 1 2

1

2

1

2

1

2

1

8= × × =

( )

S P V S S2 1 2

1

2

1

6

1

6

1

72= × × =

( )

∫S2

S2

∫S2

∫S2

S2

∫S2

Pretende-se determinar k tal que: P(X ≤ k) ≥ 0,9545. Através da calculadora e da opção Inv Norm obte-

mos k ≈ 8,20 minutos.

Unidade 9 – Análise combinatória

Página 104

81. 26A’3 = 263 = 17 576

82. 2 + 2A’2 + 2A’3 + 2A’4 = 2 + 22 + 23 + 24 = 30sequências

83. 4A’5 = 45 = 1024 maneiras

84.

a)

b)

c)

85. 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)! § 12 n! + 5(n + 1) × n! = (n + 2) × (n + 1) × n! § 12 + 5(n + 1) = (n + 2) (n + 1) § 12 + 5n + 5 = n2 + 2n + n + 2 § n2 + 3n – 5n + 2 – 5 – 12 = 0 § n2 – 2n – 15 = 0

§ n =

§ n =

§ n = 5 ⁄ n = –3 Como n ≥ 0, então n = 5.

86.

a)

b)

c)

87.

a) 12 × 11 × 10 × 9 = =

b) 2014 × 2013 × 2012 =

= =

c) (n + 2) × (n + 1) × n =

=

d) n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × (n – 4)

= =

e) n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – p + 1)

=

=

88. 26A3 = 15 600

89. 12A2 = 132

90. Número de casos possíveis: 8! = 40 320


5 × 4 × 6! = 14 400

P = =

91. 6A4 = 360

92.

10

7

10 9 8 7

7720

!

!

!

! =

× × ×=

2013

2012

2013 2012

20122013

!

!

!

! =

×=

20 18

17

20

17

18

17

20 19! !

!

!

!

!

!

+= + =

× × 118 17

17

18 17

176840 18 6

!

!

!

!

×+

+×

= + = 8858

2 4 4 15

2

– (– )± ×

2 ± 82

n

n

n n

nn

!

( – )!

( – )!

( – )!

1

1

1=

×=

( – )!

( )!

( – )!

( ) ( )

n

n

n

n n

1

2

1

2 1+=

+ + nn n

n n n n n

( – )!

( )

1

1

3 2

1

32 3 2=

+ +=

+ ++ 2n

( )! ( – )!

!

( ) !

!

( –n n

n

n n

n

n+ +=

++

1 1 1 )!

( – )!

1

1

11 12

n n

nn

n n

n= + + =

+ +

12!8!

12 × 11 × 10 × 9 × 8!8!

2014!2011!

2014 × 2013 × 2012 × 2011!2011!

(n + 2) (n + 1) n(n – 1)!(n – 1)!

(n + 2)!(n – 1)!

n!(n – 5)!

n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5)!(n – 5)!

n(n – 1) (n – 2) × … × (n – p + 1) × (n – p)!(n – p)!

n!(n – p)!

14 40040 320

514

A A A

nn

nn

nn

n n n n

n

n n n n

n

n n n

n

n n n n n n

n n

n n n n n

n n n

§

§

§

§

3

3 !

( – 3)! 5

( – 1)!( – 4)!

( – 2)!( – 4)!

3 ( – 1)( – 2) ( – 3)!

( – 3)!

5 ( – 1) ( – 2) ( – 3) ( – 4)!

( – 4)!

( – 2) ( – 3) ( – 4)!

( – 4)!

3 ( – 1) ( – 2) 5 [( – 1) ( – 2) ( – 3)

( – 2) ( – 3)]

3 ( – 1) 5 ( – 1) ( – 3) 5 ( – 3)

3 – 1

3 – 2

2( )× = +

× = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

×

= +⎡

⎣⎢⎢

+⎤

⎦⎥⎥

= +

+

= +


Como n – 2 ≥ 2 § n ≥ 4, vem que n = 6.

93.

a) 8A4 = 1680

b) 8! = 40 320

94. (∫4 × ∫3 × ∫2 × ∫1 × ∫4) × 5 ×

× (∫2 × ∫1 × ∫3 × ∫2 × ∫1) × 5C2

= 4! × 4 × 5 × 2! × 3! × 5C2 = 57 600

95.

a) 4! = 24

b) 6! = 720

96.

a) 3! = 6

b) 5! = 120

c) (n – 1)!

97.

6! – 2 × 5! = 480

98. 6! × 4! × 5 = 6! × 5! = 86 400

99.

a) 12! = 479 001 600

b) 6! × 4! × 4! = 414 720

c) 6! × 4! × 2! × 3! = 207 360

100. 5C3 = 10

101. 40C10 = 847 660 528

102. 6C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 31

103. 2C1 × 8C4 × 6C4 × 5C2 = 21 000

104. N.o de casos possíveis: 52C13 × 39C13 × 26C13 ×

× 13C13

N.o de casos favoráveis: 39C13 × 39C13 × 26C13 ×

× 13C13

P = ≈ 0,01

105.a) 4C2 – 4 = 2b) 5C2 – 5 = 5c) nC2 – n

106. 8C3 = 56 planos

107. Pretende-se saber quantos números da forma__9_ __ __ __ existem, com os algarismos todosdiferentes (escolhidos de entre os algarismos de1 a 9) e tal que a soma dos seus quatro algaris-mos seja par. Ora, para que a soma dos quatroalgarismos seja par é necessário que a soma dostrês últimos seja ímpar. Para que a soma destestrês algarismos seja ímpar, dois casos se podemdar: ou são todos ímpares, ou dois deles sãopares e o outro é ímpar.

No primeiro caso, temos de escolher ordenadamentetrês de quatro algarismos ímpares (1, 3, 5 e 7), o quepode ser feito de 4A3 maneiras diferentes.

No segundo caso, temos de começar por escolhera posição do algarismo ímpar, o que pode ser feitode 3 maneiras diferentes. Para cada uma destas,existem 4 maneiras de escolher esse algarismoímpar (1, 3, 5 ou 7). Para cada posição do algarismoímpar e para cada valor deste, existem 4A2 manei-ras diferentes de escolher ordenadamente dois dequatro algarismos pares (2, 4, 6 e 8). Assim, nestesegundo caso, existem 3 × 4 × 4A2 números dife-rentes, nas condições requeridas.

Logo, o número pedido é 3 × 4 × 4A2 + 4A3.

108. 20 sardinhas abaixo do tamanho permitido 30 sardinhas com o tamanho permitido 50 no total Seja X: “número de sardinhas com tamanho abai -

xo do permitido”

P(X = 0) = = =

n n n n n n

n n n n n n

n n

n n

n n

§

§

§

§

§

3 – 3 5 ( – – 3 3) 5 – 15

3 – 5 – 3 5 15 – 5 0

–2 12 0

(–2 12) 0

0 6

2 2

2 2

2

= + +

+ + =

+ =

+ =

= ∨ =

39C1352C13

29140

406019 600

30C350C3


P(X = 1) = = =

P(X = 2) = = =

P(X = 3) = = =

109.

a) = 6300

b) = 151 200

c) = 83 160

110. 5 peças vermelhas 7 peças pretas 12 peças no total

N.o de casos favoráveis: 3 × 8C1 × 7C7 = 24 N.o de casos possíveis: 12C5 × 7C7 = 792

P = = =

111.

a) P = = =

b) P = =

c) P = = =

d) P =

=

112.

Como n + 1 ≥ 4 § n ≥ 3, então, vem que n = 5.

113.

Como n ≥ 2, então n = 13. Existem 13 sabores na loja.

Unidade 10 – Triângulo de Pascal ebinómio de Newton

Página 126

114.a) 10C7 = 120 caminhosb) 4C2 × 6C1 = 36 caminhos

115. O segundo elemento é 10, logo n = 10. Assim, osexto elemento dessa linha é 10C5.

Opção (A)

116.a) 20C5 = 20Cm

§ m = 20 – 5 v m = 5 § m = 15 v m = 5

570019 600

20C2 × 30C150C3

114019 600

20C350C3

10!4! 4!

10!2! 3! 2!

11!5! 2! 2!

V V V V

133

24792

3 × 8C112C5

154 145

482 598 760

4C4 × 48C152C5

103 7762 598 960

4C2 × 48C352C5

14959996

388 7002 598 960

26C4 × 26C152C5

4C2 × 48C3 + 4C3 × 48C2 + 4C4 × 48C152C5

108 3362 598 960

57196

57980

87196

870019 600

20C1 × 30C250C3

n nA P C

n

n

( )!

( – )!

+ = ×

+=

1

4 4 2

3

21

3

3§

224

2 2

1 1

! !

! ( – )!

( ) ( – )

× ×

+

n

n

n n n§

(( – ) ( – )!

( – )! !

(

n n

n

n n

2 3

3

3

44= × ×

× – ) ( – )!

( – )!

( ) ( – )

1 2

2

1 1

n

n

n n n§ + (( – ) ! ( – )

( ) (

n n n

n n

2 3 3 1

1

= × × ×

+§ – )

– – –

– –

2 18

2 18 02

2

=

=§

§

n n

n n 220 0

1 1 4 20

21 9

2

– (– )

=

=± ×

=±

§

§

n

n

§§ –n n= ∨ =5 4

nCn

n

n n n

278

2 278

1

!

! ( – )!

( – ) (

= =§

§ – )!

( – )!

– –

2

2156

156 02

n

n n

n

=

=§

§ ==± ×

=±

=

– (– )

1 1 4 156

21 25

213

§

§

n

n –∨ =n 12


xi 0 1 2 3

P(X = xi)29

14087

19657

19657

980

b) 30Cm + 2 = 30C2m + 4

§ 2 m + 4 = 30 – (m + 2) v m + 2 = 2 m + 4 § 2 m + 4 = 30 – m – 2 v m – 2 m = 4 – 2 § 3 m = 24 v –m = 2 § m = 8 v m = –2

117.a) 100C4 + 100C5 = mC5 § m = 101b) 2m + 2C10 + 2m + 2C11 = 27C11

§ 2 m + 2 = 26 § m = 12

118.a) Se a linha tem 21 elementos, n = 20. Então, o terceiro elemento dessa linha é 20C2 = 190.b) O quinto elemento da linha anterior é 19C4 = 3876.c) O maior elemento dessa linha é o elemento cen-

tral: 20C10 = 184 756d) A soma de todos os elementos dessa linha é

220 = 1 048 576

119. Os elementos 2013C0, 2013C1, 2013C2, 2013C3 e2013C4 são menores que 2013C5 e atendendo àsimetria de cada linha do triângulo de Pascal,temos que existem 10 elementos nestas condi-ções.

Opção (D)

120. Podem ser feitos cocktails com 2, 3, 4, 5, … ou 12bebidas diferentes; assim temos que, o nú me rode cocktails é:

12C2 + 12C3 + 12C4 + 12C5 + 12C6 + … + 12C12

= 212 – 12C0 – 12C1

= 4096 – 1 – 12 = 4083

121.a) (a + 2 b)5

= 5C0 a5 × (2b)0 + 5C1 a4 (2b)1 + 5C2 a3 (2b)2 ++ 5C3 a2 (2b)3 + 5C4 a1 (2b)4 + 5C5 a0 (2b)5

= 1 × a5 × 1 + 5 a4 × 2 b + 10 a3 × 4 b2 + 10 a2 ×× 8 b3 + 5 a × 16 b4 + 1 × 1 × 32 b5

= a5 + 10 a4 b + 40 a3 b2 + 80 a2 b3 + 80 a b4 + 32 b5

b) (√∫x – 2)6

= 6C0 (√∫x)6 × (–2)0 + 6C1 (√∫x)5 × (–2)1 + 6C2 (√∫x)4 ×× (–2)2 + 6C3 (√∫x)3 × (–2)3 + 6C4 (√∫x)2 × (–2)4 ++ 6C5 (√∫x)1 × (–2)5 + 6C6 (√∫x)0 × (–2)6

= 1 × x3 × 1 + 6 × x2 √∫x × (–2) + 15 x2 × 4 + 20 x√∫x ×× (–8) + 15x × 16 + 6 √∫x × (–32) + 1 × 1 × 64

= x3 – 12 x2 √∫x + 60 x2 – 160 x √∫x + 240 x – – 192 √∫x + 64

122.

a)

b)

O coeficiente é .

c)

d) 14C0 + 14C1 + 14C2 + … + 14C14 = 214 = 16 384

123. Os termos do desenvolvimento desão da forma:

Para ser termo independente de x tem de se veri-ficar:

6 – p = 0

§ p = 4 Assim, o termo independente de x é:

124. Os termos do desenvolvimento desão de forma:

T C4

14

3

211

322

1123 364

2 =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × = × ×

x x227

2457

51222 = x

14

4

210

420

1023 1001

281C ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × = × ×

x x

=

81 081

102420x

81 0811024

Termo central

= ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

=

14

7

27

7

23

3432

Cx

× ×

=

=

x

x

14

7

14

22187

7 505 784

128938 2223

1614 x

xx

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

212

1212

12

12

2C

C

p

pp

p

p

–

–

xx

x

( ) ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ( ) ×1

2

–

–

2

2126

1

2

126

p

p

p

pp p

p

C

C

x

x x

x

–= × ×

=

3

2 2p

p×

32

12

4

12 44

44

4

2495

2C

–

xx

xx

( ) ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = × × = 7920

15 2

9

xx +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

9

9

2

9

9

15

1

C

C

p

pp

p p

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × ( )

= + ×

–

–

xx

x

–

5

5

5

2

9 2 9

9

p p

p

p p p

p

p

C

C

×

= × ×

= × ×

+

x

xx33 9p –



Para ser termo independente de x, tem de se veri-

ficar:

3 p – 9 = 0 § p = 3

Assim, o termo independente de x é:

125. Observe-se que nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn cor res -

pon de ao desenvolvimento do binómio (a + b)n,

onde a = 1 e b = 1:

nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn

= nC0 × 1n × 10 + nC1 × 1n – 1 × 11 +

+ nC2 × 1n – 2 × 12 + … + nCn × 10 × 1n

= (1 + 1)n

= 2n c.q.d.

Unidade 11 – Modelo binomial

Página 134

126. Seja X a variável aleatória que representa o

número de chocolates que se estragam antes de

expirar o prazo de validade.

X ~ B(80; 0,01)

a) P(X = 2) = 80C2 × (0,01)2 × (0,99)78

≈ 0,144

b) P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

= (0,99)80 + 80C1 × (0,01)1 × (0,99)79 + 80C2 ×

(0,01)2 × (0,99)78 + 80C3 × (0,01)3 × (0,99)77

≈ 0,991

127. X: “número de questões corretas”

a)

b)

Aprende fazendo

Páginas 138 a 1501. i i ∫1∫0 × ∫5 × ∫5 × ∫1∫0 = 2500 códigos Opção (C)

2. 5 Não 5 Cons. Cons. ∫1 × ∫9 × ∫1∫0 × ∫1∫0 × ∫1∫8 × ∫1∫8 = 291 600 matrículas Opção (D)

3. 15C6 é o número de maneiras de escolher os 6compartimentos, dos 15, para colocar os 6 refri-gerantes que são iguais entre si.

Opção (A)

4. O segundo elemento é 13, logo n = 13. Assim, osexto elemento dessa linha é 13C5.

Opção (A)

5. O penúltimo elemento é 2012. Assim, n = 2012,logo o décimo elemento dessa linha é 2012C9.

Opção (C)

6. A soma de todos os elementos da linha n do triân-gulo de Pascal é dada por 2n.

Assim, 2n = 16 § n = 4, ou seja, a linha tem 5 ele-mentos.

Opção (B)

7. 2012C300 + 2012C301 = 2013C301

Opção (C)

8. Termo central = 10C5 × x5 × (–2)5

= 252 × x5 × (–32) = –8064 x5

Opção (A)

9. Acontecimento S: “A e B não estarem juntas”, ouseja, estarem separadas.

P(S) = 1 – P(∫S) = 1 – = Opção (C)

10. P = =

Opção (A)

9

3

9 3

23

6

3

15

841

5

C

–

xx

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × ( )

= × × × xx6

10 500

=

X B ~ , 81

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P X C( )

,

= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≈

41

4

3

40 087

8

4

4 4

P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )≥ = = + = + =6 6 7 8

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟8

6

6 2

8

7

7

1

4

3

4

1

4C C ×× +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≈

,

3

4

1

40 004

8

8

8

C

� �� A B

2! 6! 7× ×

34

2! × 7!8!

29

8C510C5

11. Número de casos possíveis: 1 000 000


P_ P_ P_ I_ I_ I_ 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 6C3

Assim, P = =

Opção (D)

12. A linha tem 50 elementos, logo n = 49.

Assim, o vigésimo elemento da linha seguinte é 50C19.

Opção (B)

13. Se a soma do primeiro, segundo, penúltimo e últi-mo elemento de uma linha é 40, então:

1 + n + n + 1 = 40 § 2n = 38 § n = 19

Assim, o terceiro elemento da linha anterior é 18C2 = 153.

Opção (A)

14. A linha tem 31 elementos, logo n = 30.

Então, o maior valor dessa linha corresponde aoelemento central. Assim, k = 30C15.

Opção (C)

15. Seja X a variável aleatória que representa o númerode vezes que sai face amarela em 5 lançamentos.

Então:

Opção (B)

16. Número de casos possíveis: 9!

__ __ __ __ __ __ __ __ __

Como os homens não podem estar juntos necessi-tamos de 2 mulheres que funcionam como separa-dores. Logo, dos nove lugares disponíveis, retira-mos dois para colocar as mulheres “separadoras”.Assim, restam-nos 7 lugares para os 3 homens.

Número de casos favoráveis: 7C3 × 3! × 6!

P =

Opção (A)

17. Número de casos possíveis: ∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 × ∫5 = 55 = 3125 Número de casos favoráveis: ∫5 × ∫1 × ∫1 × ∫4 × ∫3 × 5C3 = 600

Assim, a probabilidade pretendida é =

Opção (C)

18. 2310Ω 2 1155 Ω 3 385 Ω 5 77 Ω 7 11 Ω 11 1 Ω

2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 O número de divisores de 2310 é, assim, o número

de subconjuntos que se podem formar com os ele-mentos do conjunto {2, 3, 5, 7, 11}. Assim:

5C0 + 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 25 = 32 Opção (B)

19. Se um dos termos do desenvolvimento de (2π + 5)n é288 000π8, então esse termo é da formanC8 × (2π)8 × 5n – 8. Assim:

Das opções apresentadas: – Se n = 8, 8C8 × 58 – 8 = 1 ≠ 1125 – Se n = 9, 9C8 × 59 – 8 = 40 ≠ 1125 – Se n = 10, 10C8 × 510 – 8 = 1125 – Se n = 11, 11C8 × 511 – 8 = 20 625 ≠ 1125 Opção (C)

20. Os três últimos elementos da linha são 45, 10 e 1;logo, os três primeiros elementos dessa linha são1, 10 e 45; assim, n = 10.

Então, a soma dos 3 primeiros elementos da linhaanterior (n = 9) é 9C0 + 9C1 + 9C2 = 46.

Opção (B)

21.a) 4 × 4 = 16 maneiras distintasb) 4 × 3 = 12 maneiras distintas

516

312 5001 000 000

X B ~ , 51

6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P X C( ) ,= = ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈3

1

6

5

60 035

3

3 2

22

512

edfdg

Número demaneiras de

escolher orde-nadamente com

repetição 3números paresde entre 5 (0, 2,

4, 6 e 8).

edfdg


escolher orde-nadamente com

repetição 3números ímpa-res de entre 5(1, 3, 5, 7 e 9).

Número demaneiras diferen-

tes de escolheras três posições

de entre seis paracolocar os núme-

ros pares.


formar o grupode 3 amigos

que escolhemo mesmo res-

taurante.

edfdg

Número demaneiras dos

restantes ami-gos escolhe-rem 2 restau-

rantesdiferentes, dos4 ainda dispo-

níveis.

edfdg

Número demaneiras de 3amigos esco-

lherem o mes-mo restaurantede entre 5 pos-

síveis.

24125

6003125

n n

n

C

C

8

88 8

8

8 8

2 5 288 000

2

– π π

π

( ) × =

× ×§ ×× =

× =

–

–

5 288 000

5288 000

8 8

8

8

n

n nC

π

§2256

5 11258

8§ – n nC × =


22.a) ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫2∫6 = 456 976b) ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫2∫6 × ∫1∫0 × ∫1∫0 = 1 757 600

23. 30A8 = 235 989 936 000

24. 10C6 × 4C4 = 210

25. 3 × 5A5 = 3 × 5! = 360

26. 5 números e 2 estrelas Número de casos possíveis: 50C5 × 11C2

Número de casos favoráveis: 1 P(“ganhar o Euromilhões”)

= =

27. 16 raparigas 14 rapazes 30 no totala) Número de casos possíveis: 30C4

Número de casos favoráveis: 16C4

P(“todos os bilhetes serem para raparigas”)

= = =

b) Número de casos possíveis: 30C4 = 27 405 Número de casos favoráveis: 16C2 × 14C2 = 10 920 P(“dois bilhetes serem para raparigas e dois bilhe-

tes serem para rapazes”) = =

28.a) 28C5 = 98 280b) 28C5 – 18C5 = 89 712c) 10C5 = 252d) 1 × 9C2 × 18 = 648

29. Se a soma dos dois primeiros elementos é 36,então 1 + n = 36 § n = 35.

a) A linha tem 36 elementos.b) Como a linha tem 36 elementos existem dois ele-

mentos centrais iguais e que representam o maiorvalor dessa linha: 35C17 = 35C18 = 4 537 567 650

c) O quarto elemento da linha anterior é 34C3 = 5984d) 36C9 = 94 143 280

30.a) O desenvolvimento tem 11 (10 + 1) termos:

b)

c)

d) 10C0 + 10C1 + 10C2 + 10C3 + … + 10C10 = 210 = 1024

31. Seja X a variável aleatória que representa o núme-ro de vezes que sai face 2 no lançamento do dadoequilibrado 10 vezes.

a) Assim,

b)

c)

d)

32.

a) ou ou

∫5 + ∫5 × ∫5 + ∫5 × ∫5 × ∫5 = 155

b) ou ou

∫5 + ∫5 × ∫4 + ∫5 × ∫4 × ∫3 = 85

33.

a) ∫9 × ∫9 × ∫8 = 648

b) ∫9 × ∫8 × ∫7 = 504

c) ∫0 ∫0 ∫8 × ∫7 × ∫6 + (∫8 × ∫7 × ∫1) × 3 + (∫8 × ∫1 × ∫7) × 2 =

= 616

1116 531 800

150C5 × 11C2

52783

182027 405

16C430C4

104261

10 92027 405

T C3

10

2

82

8 81717

45 17= × ( ) ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = × × × x y x

y

x yx y

2

6 8 2

8 2

45 17

1 086 190 605

172

= ×

=

Termo médio = × ( ) ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

10

5

55

1717

25

C x y

22 1717

252

5 55

5

5 5

× ×

=

x y

x y

X B ~ , 101

6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P X C( ) ,= = ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈4

1

6

5

60 0510

4

4 6

44

P X C( ) = = ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛0

1

6

5

6

5

610

0

0 10

⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈

10

0 162 ,

P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )

≥ = = + = + =

=

8 8 9 10

100

8

8 2

10

9

9

1

6

5

6

1

6C C×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ××

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

5

6

1

6

5

6

1

10

10

10 0

C ≈≈ , 0 000 02

P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )

≤ = = + = + =

=

2 0 1 2

5

66

1

6

5

6

10

10

1

1 9

10⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + C C

22

2 8

1

6

5

60 775

×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≈

,

edfdg

Não incluinem o zeronem o dois.

edfdg

Inclui o dois enão inclui o

zero.

edfdg

Inclui o zero enão inclui o

dois.


34.a)

b)

c)

35.a) 20C15 = 15 504b) 1 × 1 × 18C13 = 8568c) 2 × 18C14 = 1 × 1× 18C13 = 14 688 d) 10C5 × 10C10 = 10C5 × 1 = 252

36. 5C4 × 30C21 + 5C3 × 30C22 + 5C2 × 30C23 = 150 423 000

37.a) 48 = 65 536

b)

38.a) 12C6 × 28C4 = 18 918 900b) 4C2 × 36C8 + 4C3 × 36C7 + 4C4 × 36C6 = 216 900 552c) 4C4 × 36C6 = 1 947 792

39.a) Número de casos possíveis: 125 = 248 832 Número de casos favoráveis: 12 P(“terem nascido todos no mesmo mês”)

= = =

b) Número de casos possíveis: 125 = 248 832 Número de casos favoráveis: 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 95 040 P(“terem nascido todos em meses diferentes”)

= =

c) Número de casos possíveis: 125 = 248 832 Número de casos favoráveis: 5C3 × 12 × 1 × 1 × 11 × 10 = 13 200 P(“três e só três terem nascido no mesmo mês”)

= =

40. X: “número de cartões verdes extraídos”

P(X = 0) = = =

P(X = 1) = = =

P(X = 2) = = =

41. X: “quantia, em cêntimos, correspondente às duasmoedas retiradas”

a) P(X = 20) = =

P(X = 30) = = =

P(X = 40) = = =

P(X = 60) = =

P(X = 70) = = =

P(X = 100) = =

b) μ = 20 × + 30 × + 40 × + 60 × + 70 ×

× + 100 × = ≈ 51,43

≈ 20,54 μ – σ ≈ 51,43 – 20,54 = 30,89 μ + σ ≈ 51,43 + 20,54 = 71,97 P(μ – σ < X < μ + σ) = P(X = 40) + P(X = 60) + P(X = 70)

= + + =

__ __ __ __ __ __

! ! � ��

3 3 2× × = 772

F F F

! ! ��

3 3 4 144× × =

C C C1 2 3

2 2 2 3

! ! ! ! × × × = 48

8

4

4 4

1

4

3

4

5670

65 536

283C ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

55

32 768

120 736

1124

12125

55144

95 040248 832

2755184

13 200248 832

512

1536

6C29C2

12

1836

6C1 × 3C19C2

112

336

3C29C2

121

2C27C2

27

621

2C1 × 3C17C2

17

321

3C27C2

421

2C1 × 2C17C2

27

621

3C1 × 2C17C2

121

2C27C2

421

17

27

121

108021

121

27

σ – – =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × +

⎛

⎝20

1080

21

1

2130

1080

21

2

⎜⎜⎞

⎠⎟ × +

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × +

2

2

2

7

401080

21

1

760

– –

–

1080

21

4

21

701080

21

2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × +

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × –

2

7100

1080

21

1

21

2

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

1321

27

421

17

xi 0 1 2

P(X = xi)5

1212

112

xi 20 30 40 60 70 100

P(X = xi)1

2127

17

421

27

121


42.a) Número de casos possíveis: 12C4 = 495 Número de casos favoráveis: 8C3 × 4C1 = 224

P(“retirar exatamente três cápsulas pretas”) = =

= 0,45b) 20C8 × 12A4 = 1 496 523 600c) Número de casos possíveis: 12! = 479 001 600 Número de casos favoráveis: 8! × 4! × 5 = 4 838 400 P(“as cápsulas pretas ficarem todas juntas”)

= =

43. 4 bolas pretas 3 bolas brancas 2 bolas vermelhas 1 bola dourada 10 no totala) Número de casos possíveis: 10C4 = 210 Número de casos favoráveis: 4C4 = 1

P(“serem todas da mesma cor”) =

b) Número de casos possíveis: 10C4 = 210 Número de casos favoráveis: 4C3 × 6 + 3C3 × 7 + 4C4 = 24 + 7 + 1 = 32 Exatamente 3 da mesma cor ou 4 da mesma cor 4C3 × 6 + 3C3 × 7 + 4C4

P(“pelo menos três bolas serem da mesma cor”)

= =

c) Número de casos possíveis: 4C3 × 6 + 3C3 × 7 = 31 Número de casos favoráveis: 3C3 × 7 = 7 P(“haver 3 bolas brancas sabendo que 3 e só 3 são

da mesma cor”) =

44. 9A4 é o número de maneiras distintas de escolherordenadamente as amigas a quem vai oferecer cadaum dos diferentes colares. Por cada uma destasmaneiras existem 5A3 modos distintos de escolherordenadamente as amigas a quem vai oferecer cadauma das diferentes pulseiras. Assim, 9A4 × 5A3 é onúmero de maneiras diferentes que a Patrícia temde presentear as amigas.

9C7 é o número de maneiras de escolher as 7 ami-gas de entre as 9 amigas que vão ser presentea-das. Por cada uma destas maneiras, existem 7A4

modos distintos de escolher ordenadamente as 4amigas de entre as 7 que vão receber cada um doscolares. Depois de escolhidas as 4 amigas que vãoreceber os colares, existem 3! maneiras diferentesde distribuir as 3 pulseiras pelas 3 amigas.

Ou seja, 9C7 × 7A4 × 3! é uma resposta correta.

45. 10 dadores do grupo O

6 dadores do grupo A

3 dadores do grupo B

1 dador do grupo AB

20 dadores no total

20C4 – 10C4 – 10C1 × 10C3

A resposta correta é a (II).

Se nos 4 dadores escolhidos, pelo menos dois são

do grupo O, então existem 3 possibilidades mutua-

mente exclusivas: exatamente 2 dadores do grupo O;

exatamente 3 dadores do grupo O e 4 dadores do

grupo O.

10C2 × 10C2 é o número de modos distintos de esco-

lher 2 dadores do grupo O e 2 dadores que não são

do grupo O; 10C3 × 10C1 é o número de maneiras

diferentes de escolher 3 dadores do grupo O e 1

dador que não é do grupo O; 10C4 é o número de

modos distintos de escolher 4 da do res do grupo O.

Assim, 10C2 × 10C2 + 10C3 × 10C1 + 10C4 é o número

de maneiras de escolher pelo menos dois dadores

do grupo O.

20C4 – 10C4 – 10C1 × 10C3 também seria uma res-

posta correta.

20C4 é o número de maneiras de escolher 4 dado-

res de entre os 20 sem quaisquer restrições. 10C4

é o número de maneiras de escolher 4 dadores que

não são do grupo O e 10C1 × 10C3 é o número de

modos de escolher um dador do grupo O e 3 que

não são do grupo O.

Se ao número de possibilidades de escolher quais-

quer 4 dadores retirarmos as possibilidades de não

ter nenhum dador do grupo O e exatamente um

dador do grupo O, obtemos as possibilidades de

obtermos pelo menos 2 dadores do grupo O.

46. P(“não escolher nenhum fora do prazo”)

= = =

47. P(“Rui ganhar prémio”) = 1 – =

48. A soma do primeiro, do segundo, do penúltimo e

do último elementos de uma linha do triângulo de

Pascal é 50. Então, 1 + n + n + 1 = 50 § 2n = 48

§ n = 24

a) A linha tem 25(24 + 1) elementos.

224495

199

4 838 4004 790 001 600

1210

16105

32210

731

4170

11 48019 600

42C350C3

88203

27C530C5


b) Os elementos da linha em questão são do tipo24Ck, k ∈ {0, 1, …, 24}

24C0 = 1 < 300 24C1 = 24 < 300 24C2 = 276 < 300 24C3 = 2024 > 300 Como, em cada linha do triângulo de Pascal, os

elementos equidistantes dos extremos são iguais,conclui-se que são 6 os elementos dessa linhamenores do que 300.

c) Número de casos possíveis: 25C2 = 300 Número de casos favoráveis: 12 (já que a linha

tem 25 elementos e os elementos equidistantesdos extremos são iguais, há 12 casos favoráveis aoacontecimento: “obter dois números iguais”.)

Assim, a probabilidade pretendida é = .

49. Com 1 comprimido podem fazer-se 9C1 soluçõesdistintas; com 2 comprimidos podem fazer-se 9C2

soluções distintas; e assim sucessivamente. Assim, no total, podem ser obtidas: 9C1 + 9C2 + 9C3 + 9C4 + 9C5 + 9C6 + 9C7 + 9C8 + 9C9

= 29 – 1 = 511 soluções distintas

50.

a)

b)

51. Se o desenvolvimento de tem 7 ter-

mos, então n = 6 e os três últimos termos são:

52. Os termos do desenvolvimento de sãoda forma:

a) Para obtermos o termo em x–3 terá que verificar-se

3 – p = – 3 § p = 4

Assim, o termo em x–3 é:

b) Para obtermos o termo independente, terá de veri-

ficar-se 3 – p = 0 § p = 2

Assim, o termo independente é:

125

12300

n

n

n

n

Cn

!

! ( – )!

!

! ( – )!

3 3 2 2� �� +

=33 2

1

3

1

3 1 3

+

=

=+

+

=

+

( )!

! ( – )!

n

n

C

C

n

n

( )!

( – )!

( ) ( – ) (

n

n

n n n n

+

=+

1

6 2

1 1 – )!

( – )!

( ) ( – )

2

6 2

1 1

6

n

n n n=

+

7

1

7

8

8

8

8

C C P

A

C p

A

A

p p p

p

p

p

p

–

!

+( ) ×=

×

=pp

p

A

A

A

p

p

p

! !

×

= =

8

8

81

31

– ab

n⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

T C ab

ab5

6

4

24

231

15 31

= ( ) ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = × × × –

44

2

4

6

6

5

15

45

31

6

–

=

= ( ) ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ×

a

b

T C ab

(– )

–

–

31

6 3

31

5

5

7

6

6

0

ab

a

b

T C ab

×

=

= ( ) ×⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = × × =

6

6 61 1

1 1

b b

xx3

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

16

6

6

6

1

2

6

1C

C

p

p p

p

–

xx

x

3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ×( )

–

–

–

–

p

p p

p

p

pC

3

1

3

6

6

31

2

6

×

= × ×

x

x x––

–

– –

p

p p

p p

p

C

C

= × ×

= ×

6

6

31

2

6

6

1

31

3

x

––

–

p

p

× x3

3

2

32

6

4

6 4 4

3

1

159

1

C

–

xx

x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= × ×xx

x

4

35

3= –

32

6

2

6 2 22

43

115

3C

–

xx

x⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = × ×

1

15

81

5

27

x2

= =


53. nC0 – nC1 + nC2 – nC3 + … + (–1)n nCn

= nC0 × 1n × (–1)0 + nC1 1n – 1 × (–1)1 ++ nC2 × 1n – 2 × (–1)2 + nC3 × 1n– 3 × (–1)3 + … ++ nCn × 10 × (–1)n = (1 + (–1))n = 0

54. Seja X a variável aleatória que representa o núme-ro de golos marcados pelo António em 12 rematesà baliza.

X ~ B(12; 0,25)a) P(X = 4) = 12C4 × (0,25)4 × (0,75)8 ≈ 0,1936, ou seja,

P(X = 4) ≈ 19,36%b) P(X ≤ 8) = 1 – P(X > 8) = 1 – [P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)] = 1 – 12C9 × (0,25)9 × (0,75)3 – 12C10 × (0,25)10 ×

× (0,75)2 – 12C11 × (0,25)11 × (0,75)1 – 12C12 ×× (0,25)12 × (0,75)0

≈ 0,9996 ou seja, P(X ≤ 8) ≈ 99,96%

55. – = 360

56. n! m! × (m + 1) = n! × (m + 1)!

57. ∫0 ∫9 × ∫1∫0 × ∫1∫0 × ∫1∫0 → número de 4 algarismos

∫0 ∫9 × ∫9 × ∫8 × ∫7 → números de 4 algarismos todos

distintos 9000 – 4536 = 4464 → números de 4 algarismos

que têm pelo menos 2 algarismos iguais.

58. 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8! = 40 320

59.a) 10C6 × 4C4 = 10C6 × 1 = 10C6 = 210

b) = = 126

c) = 945

60.

Como n ≥ 2, vem que n = 10. São 10 participantes.

61. Número de casos possíveis: 64 = 1296 Número de casos favoráveis: 6C4 = 15 P(“saírem quatro números por ordem estritamente

crescente”) = =

62.

X: “número de cartas extraídas”

P(X = 1) = =

P(X = 2) = × =

P(X = 3) = × × =

P(X = 4) = × × × + × ×

× ×

=

63. A resposta correta é a (I). 6C3 é o número de maneiras distintas de escolher

3 pontos quaisquer de entre 6. Para que os 3 pontos escolhidos definam um pla-

no, não podem ser os 3 colineares. Assim, pode-mos escolher 2 pontos da aresta [AC] e 1 ponto da

6!3! × 2!

7!3! 2!

10C5

2

10C5 × 5C5

210C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C2

5!

n C

n

nn

n

245

2 245

2

!

! ( – )!

!

( – )!

=

=

=

§

§ 990

1 2

290§

( – ) ( – )!

( – )!

n n n

n=

§

§

§

– – 90 = 0

= 1 ± 1 – 4 (–90)

2n n

n×

2

nn

n

n n

= 1 ± 361

= 1 ± 19

2

210

§

§ = ∨ == –9

5432

151296

113

452

16221

451

4852

3765525

450

4751

4852

4751

4852

449

4650

4751

4852

4549

4650

43245525


452

4852

R

√R

451

4751

R

√R

450

4650

R

√R

449

4549

R

√R

X = 1

X = 2

X = 3

X = 4

X = 4

xi 1 2 3 4

P(X = xi)1

1316

221376

552543245525

aresta [DF] ou escolher 2 pontos da aresta [DF] e1 ponto da aresta [AC].

3C2 é o número de maneiras diferentes de escolher2 vértices da aresta [AC]. E por cada uma destasmaneiras existem 3 hipóteses para escolher umvértice da aresta [DF].

Logo, 3C2 × 3 é o número de maneiras de escolher2 vértices da aresta [AC] e 1 vértice da aresta [DF].

Analogamente, 3C2 é o número de maneiras dife-rentes de escolher 2 vértices da aresta [DF]. E porcada uma destas maneiras existem 3 hipótesespara escolher 1 vértice da aresta [AC].

Ou seja, 3C2 × 3 é o número de maneiras de escolher2 vértices da aresta [DF] e 1 vértice da aresta [AC].

Assim, 3C2 × 3 + 3C2 × 3 é o número de casos favo-ráveis ao acontecimento “os 3 pontos definiremum plano”.

Logo, pela regra de Laplace, a probabilidade de os 3

pontos definirem um plano é .

Uma outra resposta correta para este problema

seria 1 – .

2 × 3C3 é o número de modos distintos de escolher

3 pontos que não definem um plano. Isto é,

é a probabilidade de os 3 pontos escolhidos nãodefinirem um plano. Pela probabilidade do aconte-cimento contrário, vem que a probabilidade de os3 pontos escolhidos definirem um plano é igual a

1 – .

64. 25C15 é o número de modos distintos de colocar as15 cápsulas de café no tabuleiro.

Supondo que as cápsulas ocupam pelo menosuma das diagonais, sobram-nos 10 cápsulas paracolocar em 20 compartimentos, o que pode ser fei-to de 20C10 modos distintos.

Por cada uma destas possibilidades existem 2 dia-gonais possíveis de preencher. Porém, 2 × 20C10

contabilizou o dobro das vezes o caso em que as 2diagonais são preenchidas em simultâneo. Logo,temos que subtrair o número de modos de preen-chidas as 2 diagonais em simultâneo: depois depreencher as 2 diagonais sobram 15 – 9 = 6 cáp-sulas para colocar em 16 compartimentos, o quepode ser feito de 16C6 maneiras distintas. Assim, 2 × 20C10 – 16C6 é o número de maneiras de ocuparpelo menos uma das diagonais.

Pela regra de Laplace, a probabilidade de um acon-tecimento é dada pela razão entre o número decasos favoráveis e o número de casos possíveis,quando os resultados elementares são equiprová-

veis, em número finito, ou seja, é

uma resposta correta a este problema.

65. P = =

66. Sejam a e b o segundo e terceiro elementos, res-petivamente, da linha do triângulo de Pascal, emque 4060 é o quarto elemento.

Sabemos que 1 + a + b + 4060 = 4526, ou seja, a + b = 465 e observe-se que o terceiro elementoda linha seguinte do triângulo de Pascal é a + b:

Assim, o terceiro número da linha seguinte é 465.

67. Dada a simetria de cada uma das linhas do triân-gulo de Pascal, o antepenúltimo elemento é igualao terceiro elemento da linha.

Assim, nC2 = 1225.

Logo, a linha em questão é a linha n = 50 e tem 51elementos.

68.a) 1 + n + n + 1 = 26 § n = 12 Sendo a linha n = 12 do triângulo de Pascal, temos

13 elementos.

3C2 × 3 + 3C2 × 36C3

2 × 3C36C3

2 × 3C36C3

2 × 3C36C3

20C10 × 2 – 16C625C15

10009139

4 × 36C9 × 3 × 27C9 × 2 × 18C9 × 1 × 9C940C10 × 30C10 × 20C10 × 10C10

n C

n

n

n n

21225

2 21225

1

!

! ( – )!

( – )

=

=§

§(( – )!

( – )!

– –

n

n

n n

2

2 21225

24502

=

=§ 00

1 1 4 1 2450

2 1

2

§

§

(– ) – (– )

n =+ ± × ×

×nn n – = =50 49

0�

1

1 1

1 2 1

. . . . . . .

1 a b 4060 1 1

1 1 + a a + b . . . . . . . .



Assim, na extração sucessiva, sem reposição, dedois cartões da caixa, temos:

Número de casos possíveis: 13 × 12 = 156 Número de casos favoráveis: 12 × 1 = 12 (já que, dada a simetria de cada uma das linhas do

triângulo de Pascal, em 13 elementos, apenas um– o central – não tem outro elemento igual a ele.)

Assim, a probabilidade pretendida é P = = .

b) No contexto da situação descrita, P(B|A) significa“a probabilidade de, numa extração sucessiva esem reposição de dois cartões da caixa, os núme-ros escritos nos cartões serem diferentes, sabendoque saiu um cartão correspondente ao elementocentral da linha”.

Ora, dada a simetria de cada uma das linhas dotriângulo de Pascal, em 13 elementos, apenas oelemento central não tem qualquer elemento iguala ele. Assim, sabendo que um dos cartões extraídocorrespondia ao elemento central, então os núme-ros escritos nos dois cartões são concerteza dife-rentes, sendo B|A um acontecimento certo. Por-tanto, P(B|A) = 1.

69. A soma dos coeficientes binomiais (nC0 + nC1 + nC2 + + … + nCn) é 2n. Assim, 2n = 256 § n = 8. Logo, cada termo do desenvolvimento de

é do tipo:

Para o termo ser independente de x terá de se veri-ficar-se:

2 – p = 0 § p =

Como � �0, conclui-se que não existe termo

independente no desenvolvimento de

70.

Como –5 ��, conclui-se que n = 14. Assim, o dese-

volvimento de tem 15 elementos.

71. Seja x a probabilidade de sair face 1 neste dadoviciado e y a probabilidade de cada uma das res-tantes faces:

x + y + y + y + y + y = 1

§ + 5y = 1

§ 5y =

§ y =

Seja X a variável aleatória que representa o núme-ro de vezes que sai face 6, em 10 lançamentosdeste dado viciado.

Assim, pretende-se determinar P(X = 2):

≈ 0,296, ou seja P(X = 2) ≈ 30%.

72.a) Número de casos possíveis: 14C5

Número de casos favoráveis: 8C5 + 6C5

A probabilidade pedida é:

P =

= =

b) Número de casos possíveis: 14C3

Número de casos favoráveis: 6 × 4C3 + 8 × 4C3

A probabilidade pedida é:

P =

= =

113

12156

xx

4

8

1 –

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

8 48

81

4

8

1C

C

p

pp

p

p

× ( ) ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= × ( )

–

–

–

xx

x ××

= × × ×

= ×

(– )

(– )

– –

1

182

1

4

8

x

x x

p

p

p

pp p

p

C

C (– ) –

x2

5

4 1p

p×

85

54

85

xx

4

8

1 – .

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1

2

1

61

2 4 4

1

6

4 6

!

! ( – )!

!

n nC C

n

n

n

=

× = ×§66 6! ( – )!n

2 4 4 6 6 ! ( – )! ! ( –n n§ × = × )!

! ( – ) ( – ) ( – )!

6

2 4 4 5 6§ × × =n n n 66 6 6

4 56 6

! ( – )!

( – ) ( – )

× ×

=×

n

n n§!! ( – )!

! ( – )!

– –

×

× ×

n

n

n n

6

2 4 6

52§ 44 20 90

9 70 0

14

2

– –

n

n n

n

+ =

=

=

§

§ –∨ =n 5

xx

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

114

18

78

740

X B ~ , 107

40

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P X C( ) = = ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

7

40

33

4010

2

2 8

8C5 + 6C514C5

311001

622002

6 × 4C3 + 8 × 4C314C3

213

56364


Tema II – Introdução ao cálculodiferencial II

Página 7

1. Seja un a população de bactérias existente, passa-dos n dias. Assim, se 10 000 é a população inicial,então passado 1 dia teremos:

e un = u1 × rn – 1, onde r = 1 + 0,031. Logo, un = 10 310 × 1,031n – 1. Assim, o número de bactérias passados 10 dias é

u10 = 10 310 × 1,03110 – 1 ) 13 570.

Unidade 1 – Função exponencial de basesuperior a 1

Página 8

2.

3.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

4.a) E(0) = 3,97e–0,9 × 0 = 3,97 × 1 = 3,97 mg/ml

b)

O resultado obtido (–0,96) significa que, durante asegunda hora, a concentração de medicamento nosangue decresceu a uma taxa média de, aproxima-damente, 0,96 mg/ml por hora.

5.a) Q(0) = Q0ek × 0 § 2000 = Q0e0

§ 2000 = Q0 × 1 § Q0 = 2000b) Q(t) = 2000ekt

Pretende-se determinar Q(60). Sabe-se que Q(20) = 6000, ou seja,

2000ek × 20 = 6000 § e20k = 3

Logo,

Assim, após 1 hora existirão 54 000 bactérias.

6.a)

b)b1)

g1(x) = g(x) + 2 = ex + 2 O gráfico de g1 obtém-se a partir do gráfico de g

segundo uma translação associada ao vetor (0, 2).

u1

10 000+10000 0,031 10000(1 +0= × = ,,031)

10310r

��

=

efg

12 = a × b2

24 = a × b3§

efg

ab2 = 12a × b2 × b = 24

efg12b = 24

§

§efg

a × 22 = 12b = 2

efg

a = 3b = 2

§

lim 15 5+ =n

e

n

lim lim 15

21

5

2+ = + =n n

n

n

e e e e5

2 5 2= =

lim – lim (– )

–11

11

n ne

n n

= + = 11 1=

e

lim lim 12

12

3

+ = +n n

n n

= ( ) =

3

23

6 e e

lim lim

1 1 1

1

+ = + ×

+

n n

n n

lim l

+

= + ×

n

n

n

1 iim ( ) 1 1 0+ = × + =n

e e

lim – lim (– )

11

11

2 2

2 2

n n

n n

= + == = –ee

1 1

Cálculo auxiliar:n + 7 | n + 4

–n – 4 1 3

lim

lim

n

n n

n n

+

+= +

+=

7

41

3

4 lim

lim

–

13

4

13

4 4

++

= ++

+

n

n

n

–

41

3

4

4 4

× ++

+n

n

lim

lim

= ++

× ++

+

13

41

34

n n

n

441 0

4

3 4 3= × + =

–

– ( ) e e

t.m.v.[ , ]

– ,

( ) – ( )

–

,1 2

0 92 1

2 1

3 97= =

C C e ×× – ,– ,

– ,

2 0 93 97

10 96

e

Q ek k(60) 2000 2000 e60 20

3

3

= = ×

=

× �

22000 3 540003× =

O

y

x

1

g

O

y

x

1

2

3

g1

b2)

g2(x) = g(x – 1) = ex – 1

O gráfico de g2 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma translação associada ao vetor (1, 0).

b3)

g3(x) = g(x + 1) – 1 = ex + 1 – 1 O gráfico de g3 obtém-se a partir do gráfico de

g segundo uma translação associada ao vetor (–1, –1).

b4)

g4(x) = –g(–x) = –e–x

O gráfico de g4 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma simetria relativamente a Oy, seguidade uma simetria relativamente a Ox.

b5)

g5(x) = g(|x|) – 1 = e|x| – 1 O gráfico de g5 obtém-se a partir do gráfico de g,

mantendo os pontos de abcissa não negativa e efe-tuando uma simetria dos mesmos relativamentea Oy, seguida de uma translação associada aovetor (0, –1).

b6)

g6(x) = –g(x) + 2 = –ex + 2

O gráfico de g6 obtém-se a partir do gráfico de g

segundo uma simetria relativamente a Ox, seguida

de uma translação associada ao vetor (0, 2).

7.

a) Para (0, 2) pertencer ao gráfico de f, terá que:

f(0) = 2 § c × 5k × 0 = 2 § c = 2

Para f ser crescente, k > 0.

b) Para (0, 3) pertencer ao gráfico de f, terá que:

f(0) = 3 § c × 5k × 0 = 3 § c = 3

Para f ser decrescente, k < 0.

8.

a)

b) πx = π0 § x = 0

C.S. = {0}

c)

d) 3x + 2 = 29 § 3x = 27 § 3x = 33 § x = 3

C.S. = {3}

e)

f) 5|x – 2| – 125 = 0 § 5|x – 2| = 125 § 5|x – 2| = 53

§ |x – 2| = 3

§ x – 2 = 3 ⁄ x – 2 = –3

§ x = 5 ⁄ x = –1

C.S. = {–1, 5}

g)

h) 3x × x2 – 3x × x = 0 § 3x (x2 – x) = 0

§ 3x = 0 ⁄ x2 – x = 0

§ x(x – 1) = 0 § x = 0 ⁄ x = 1

C.S. = {0, 1}

O

y

x

1

g2

e-1

O

y

x

1

-1

g3

e-1

O

y

x-1

g4

O

y

x

1

g5

1

O

y

x

g6

2 2 2 21

21

2

1

2x x x= = =

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

§ §

C.S.

1

55 5 5

1

2

1

2

1

2x

x x x – ––= = = =§ § §

C.S. –=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

2

91

2433

1

33 3 2 52

5

2 5xx

x x= ( ) = = = –

–§ § §

§ xx –

–

=

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

5

25

2C.S.

x x

x

x

x

x

x

x

x x x

( )

( )= = =

= =

+ = =

=

+ + +

+ +

279

9 3

3 3

33

3

3 3 3 3

3 2 –1

C.S. {–1}

1 3 1

2

23 3

22

3 3 – 2 2 3 2

§ §

§ §

§ §

57Tema II | Matemática 12

��Equação impossível

9.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) 4x + 1 – 9 × 2x = –2 § (22)x + 1 – 9 × 2x = –2 § 22x + 2 – 9 × 2x = –2 § 22 × 22x – 9 × 2x + 2 = 0 § 4 × (2x)2 – 9 × 2x + 2 = 0

Fazendo uma mudança de variável, 2x = y, vem que:

Substituindo y por 2x, vem que:

h) 42x + 1 – 9 × 22x + 2 = 0 § 4 × 42x – 9 × 4x + 2 = 0§ 4 × (4x)2 – 9 × (4x) + 2 = 0

Fazendo uma mudança de variável,4x = y, vem que:

Substituindo y por 4x, vem que

i)

41

82

1

2

2 2

2

3

3

4

2

33

4

2

3

3

4

( ) = ( ) =

=

xx

x

–

§

§

§ xx x – –

–

= =

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3

4

9

89

8

§

C.S.

22

4 22

2

2 2

22

2

2

31

3

21

2

1

3

5

2

x x x= =

×

=

§ §

§ xx x x= = =

=

–

–

– –

2 2 213

6

1

3

5

2

13

6§ §

C.S. 113

6

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3 3 3 3 3 3 3 3

3

1

2

1

2

1

2

1

2

+ + = + + =x x§

§ (( )

1 1 1 3 3 3 3

3 3 3

1

2

3

2

+ + = × =

=

x x

x

§

§ §33

2

1

2

3

4

3

3 33

43

4

( ) =

= =

=⎧⎨⎩

⎫

x

x x§ §

C.S. ⎬⎬⎭

8

105

8

2 55

8 5 5 2

x

x

x x

x

x x x

– –

–

=×

=

= × ×

§

§

§

– 8 5 2 2 8

2 2 33

= × =

= =

+x x x x

x x

§

§ §

C.S.. { }= 3

2 2 2 7 2 2 2 21 2 3 2 3x x x x ( ) + + ++ + = + +§ ==

+ + = × = =

( )

7

2 2 4 8 7 2 14 7 2§ § §x x x

–

{– }

–

1

22 2 1

1

1§ §x x= =

=C.S.

2 4 8 16 2 254

21 2

1

–

–

+ + + + … + =

×

n

n

§

– ( – )

– –

2254

2 1 2 254

1 2 12

=

× =

=

§

§

n

n 77 2 128

2 2 7

7

7

{ }

§

§ §

+ = +

= =

=

n

n n

C.S.

soma dos n termos

4 9 2 0

9 81 4 4 2

8

2y y

y

–

–

+ =

=± × ×

§

§ yy y

y y

=±

=±

= =

9 49

8

9 7

8

2

§

§ › 1

4

2 2 21

42 2 2 21 2

x x

x x

x

= =

= =

–

›

§ ›

§ –

{ , – }

= =

=

1 2

1 2

› x

C.S.

4 9 2 0

9 81 4 4 2

8

2y y

y

y

–

–

+ =

=± × ×

§

§

=±

=±

=

9 49

89 7

816

8

§

§ ›

y

y y ==

= =

2

8

21

4§ ›y y

4 2 41

4

4 4 4 4

4

1

x x

x x

x

= =

= =

–

›

§

§

›

== =

= =

–

–4 4 4

1

21

1

2 1›

›§

x

x x

C.SS. =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

, –1

21

5 5 126

5 5 5 5 126

1 2

2

x –x

x x

–

–

+ ++ =

× + × =§

–

0

5 5 51

5126 0

5 5 5

2

2

§

§

× + × =

× +

x

x

x2 ––

) –

126 5 0

126 5 25 02

× =

× × + =

x

x x§ 5 (5


S ur

rn

n

= × –

– 1

1

1


Considerando a mudança de variável 5x = y, vem que:

Substituindo y por 5x, vem que:

10.a) 1 – 3x < –8 § 9 < 3x § 32 < 3x

§ 2 < x § x > 2 C.S. = ]2, +∞[b)

c)

d)

Retomando a resolução da inequação, vem que:

11.

a)

b) pois a função exponencial (de base su-

perior a um) cresce muito mais rapidamente do quequalquer função potência.

c) pois a função exponencial (de base supe-

rior a um) cresce muito mais rapidamente do que qual-quer função potência e está no denominador da fração.

d)

e)

f) pois a função exponen-

cial (de base superior a um) cresce muito mais rapi-damente do que qualquer função potência e está nodenominador da fração.

g)

h)

5 126 25 0

126 15 876 4

2y y

y

–

–

+ =

=± ×

§55 25

10

126 15 376

10126

×

=±

=±

§

§

y

y1124

10

251

5

§ ›y y= =

5 25 51

55 5 5 52 1

x x

x x

= =

= =

–

›

§

§

›

xx x –

{ , – }

= =

=

2 1

2 1

›

C.S.

10 0 01 10 10

3

2 23 3 2

2

x x x x

x x

– – – ,

– –

> >

>

§

§ 22

3 2 0

1 2

2§

§ ›

–

x x

x x

+ >

< >

=C.S. ]]– , [ ] , [∞ ∪ +∞1 2

1

327

1

33

12 2

3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤

x

x

x

x

–

–

–

– § §33

1

32 3 2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≥

x x

x x

–

– –

3

§ § ≥≥ ≥ ≤

= ∞

– –

]– , – ]

2 1 1

1

x x x§ §

C.S.

81

162 2

2

3 5 33 5

4

9

22

2

x xx x

x

– –

–

–

> ( ) >§

§ 115 4 2

2

2 9 15

9 15

x x x >

x x +

–

–

–> §

§

–4

4 > 0

Cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar:

9 15 4 01

3

4

32x x x x – + > < >§ ›

C.S. – , , = ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢∪ +∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

1

3

4

3

lim lim , x

x

x x

x

→ +∞ → +∞=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +∞

5

4

5

4poiss lim ,

x

x

→ +∞= +∞ >a a 1

lim , x

x

x→ +∞= +∞

33

lim , x x

x→ +∞

=1000

0e

lim lim lim x

x

x x

x

x x→ +∞ → +∞ → +∞= =

2

3

8

9

3

2

88

90 0

0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

< <

→ +∞

x

x

x , lim ,

pois a

a 1

lim

lim x x x x x

x x x x→ +∞ → +∞

+= +

⎛10 5 10 5

5 5 5⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟

= + =→ +∞ → +∞

lim lim x x x x

x x10 5

5 50 + =0 0

lim lim ,

–

x

x

x xx

x→ +∞ → +∞

×( ) = =ee

77

0

lim lim

–

x

x

x

x

xx→ +∞ → +∞

×( ) = = +∞222

2

lim – lim – x

x

x

x

xx

x→ +∞ → +∞

( ) =⎛

⎝⎜

⎞e 8

8

1ee ⎠⎠

⎟⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= +∞ × = +∞

( ) ( – ) 1 0

9 152x x +

x

–

4 0

15 ± 225 – 4 9

=

=× ×

§44

15 ±

15 ±

18

81

18

9

1824

§ §

§

x x

x

= =

=118

6

184

3

1

3

›

›§

x

x x

=

= =

x x x =±

x

2 3 2 02

3

–

+ =×

=

§

§

3 9 – 4 2

±

= =

1

22 1§ ›x x

+

1 2–+

+–

+

13

43

Unidade 2 – Função logarítmica de basesuperior a 1

Página 24

12.a) log2 64 = 6, pois 26 = 64.

b) log2 = –1, pois 2–1 = .

c) log3 √∫3 = , pois

d) log4 = –2, pois 4–2 = .

e) pois

f) log√∫5 25 = 4, pois (√∫5)4 = 25.g) log2012 1 = 0, pois 20120 = 1.h) log2012 2012 = 1, pois 20121 = 2012.i) log12 1210 = 10, pois 1210 = 1210.

j)

13.a) 13 = log2 213 = log2 8192b) 13 = log3 313 = log3 1 594 323c) 13 = log5 513 = log5 1 220 703 125d) 13 = log 1013 = log 10 000 000 000 000e) 13 = ln e13

14.

a) b) c)

d) e)

15.

• •

• Zeros: 1 • Sinal: ln x > 0 § x ∈ ]1, +∞[

ln x < 0 § x ∈ ]0, 1[ • Monotonia: estritamente crescente • Injetividade: é injetiva

• Assíntotas: a reta de equação x = 0 é uma assín-tota vertical

• Continuidade: é contínua

16.

• •

• Zeros: 1 • Sinal:

• Monotonia: estritamente decrescente • Injetividade: é injetiva

• Assíntotas: a reta de equação x = 0 é uma assín-tota vertical

• Continuidade: é contínua

17.a)

b)b1)

O gráfico de g1 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma translação associada ao vetor (0,2).

12

12

12

3 31

2 .=

116

116

log – ,1

2

32 5=1

232

5⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

–

.

3 81381log =

13 2 213 log= 13 3 3

13 log= 13 5 513 log=

13 10 13 log = 13 13 ln = e

y

x

1

1

f (x) = ex

f -1

(x) = ln x

y = x

O

Df – 1 = +� D

f –' 1 = �

• lim ln – lim ln x x

x x→ → +∞+

= ∞ = +∞0

y

x

1

1

f

f -1

y = x

O

Df –' 1 = �D

f – 1 = +�

log ] , [

log ] ,

1

3

1

3

0 0 1

0 1

x x

x x

> ∈

< ∈

§

§ [+∞

• lim log lim log –x x

x x→ →+∞+

= +∞ = ∞0

1

3

1

3

y

x

g

1O

x

y

O 1

g

g1

2


b2)

O gráfico de g2 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma translação associada ao vetor (1, 0).

b3)

O gráfico de g3 obtém-se a partir do gráfico de g segundo uma translação associada ao vetor (–1, 0) seguida de uma translação associada aovetor (0, –1).

b4)

O gráfico de g4 obtém-se a partir do gráfico de gsegundo uma simetria em relação a Oy seguida deuma simetria em relação a Ox.

b5)

O gráfico de g5 obtém-se a partir do gráfico de gmantendo os pontos da abcissa não negativa e efe-tuando uma simetria dos mesmos em relação aOy, seguida de uma translação associada ao vetor(0, –1).

b6)

O gráfico de g6 obtém-se a partir do gráfico de gmantendo os pontos de ordenada não negativa eefetuando uma simetria dos pontos de ordenadanegativa em relação a Ox, seguida de uma simetriaem relação a Ox, seguida de uma translação asso-ciada ao vetor (0, 2).

c) Dg1= �+ D’g1

= � Equação da assíntota: x = 0 Dg2

= ]1, +∞[ D’g2= �

Equação da assíntota: x = 1 Dg3

= ]–1, +∞[ D’g3= �

Equação da assíntota: x = –1 Dg4

= �– D’g4= �


= �\{0} D’g5= �


= �+ D’g6= ]–∞, 2]

Equação da assíntota: x = 0

18.a) ln 125 = ln 53 = 3 ln 5

b)

c)

d)

19.

x

x = 1

y

O 1

g

g2

2

x

y

O 1

g

g3–1

–1

x = –1

x

y

O 1

g

g4

–1

x

y

O 1

g

g5

x

y

O 1

gg62

ln ln – ln

ln – ln

25

525 5

5 521

=

= 22 2 51

25

3

25= = ln – ln ln

ln – ln ln – ln ln 65 2 13 65 1365

13= = = ln 5

ln ln ln + = ×125 125

= ( )

= =

ln

ln ln

5

53

25

31

2

3

2

log – log – log 2 101

3

8

10

3

10( )

= +

–

log log – (log – log )

1

2 101

38 10 log

log log –

+

= +

3

10

21

210

1

3 log log log – log

log

81

310 3 10+ +

= 221

32 3

1

2

1

313 – log log – l+ + + oog

log – log log –

10

23

32 3

1

61= + × = – log

1

63+


20.

a) Verdadeiro. Por exemplo,

b) Falso. Se a > 0 e b < 0, então nãoexiste.

c) Falso. Se a < 0 e b < 0, então existe.

d) Falso. Por exemplo, se k = –2, f(x) = log (|–2| x) = log(2x) tem domínio �+.

e) Falso. Por exemplo, 2 > 0 e 3 > 0 e log 2 + log 3 ≠log 5

f) Falso. Por exemplo, 2 > 0 e 3 > 0 e log 2 : log 3 ≠

≠ log .

g) Falso. Se a > 0, log √∫a = log (a0,5) e não (log a)0,5.

21.

a)

b)

22. 2x = 3x e como x + y = 2 § y = 2 – x, vem que:

23.a)

f e g não são iguais.

b)

f e g são iguais.c)

f e g são iguais.d)

f e g não são iguais.e)

f e g não são iguais.

a

b

a

b log <

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0 e

a

b

a

b log >

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0 e

2

3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

log log log a

b

b

c

c

a

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= + +

log – log log – log loa b b c gg – log c a = 0

log log log

log

log

log

l

b c aa b c

a

b

b

× ×

= ×oog

log

log

c

c

a× = 1

2 3

2 3 23

32 3 9

22

x y

x x x

x

x x

=

= =

× =

– § §

§ § 66 9

99

66

x

x x

=

= =

log ln

ln § §

O x

y

f

1-1

log – .1

101

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

O x

y

g

1

O x

y

f

O x

y

g

O x

y

f2 log 2

1 4

O x

y

g

1

-2 O x

y

f

O x

y

g

O x

y

f-1-2

O x

y

g

-1


24.a)

b) D = {x ∈ �: 4 – x > 0 ‹ 4 + x > 0} = ]–4, 4[

ln (4 – x) + ln (4 + x) = ln [(4 – x) (4 + x)] ‹ x ∈ D = ln (16 – x2) ‹ x ∈ Dc)

d) D = �+

2 log x + 3 = 2 log x + log 1000 ‹ x ∈ D = log x2 + log 1000 ‹ x ∈ D = log (1000 x2) ‹ x ∈ De)

25.a)

b)

c)

d)

D { : }

ln ln (

= ∈ > =

+

+x x� �25 0

4 21

2255

2 25

16

4

x

x x

)

ln ln

ln

= + ∈

= ×

‹ D

55

80

ln

×( ) ∈

= ×( ) ∈

x x

x x

‹

‹

D

D

D

log log – log

log

=

+

= +

+�

x x x

x

5 2

51

2 log – log

log

x x x

x

2

31

‹ ∈

= +

D

227

2

log

log

x x

x x

‹

‹

∈

= ∈

D

D

D { : | | }

{

= ∈ > + >

= ∈

x x x

x

� 0 2 0‹

: – }

]– , [ ] ,

� x x≠ >

= ∪ +

0 2

2 0 0

‹

∞∞

+

=

[

log | | – log ( )

log | | – log

2 22

x x

x ( )

log ( ) – log (

x x

x x

+ ∈

= +

22

‹ D

22

2

2

)

log

‹

‹

x

x

xx

∈

=+

∈

D

D

D { : }

= ∈ > + >

=

x x + x� 3 0 2 5 02 ‹

xx x x : – –

– ,

∈ > >⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= +

�2

3

5

22

3

‹

∞∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

+ = +log ( ) log ( )

6 6

3 2 2 5

3

x x

x§ ++ = + ∈

= ∈

2 2 5

3

x x

x x

‹

‹§

D

DD

C.S. { }= 3

D { : }

]

= ∈ > + >

=

x x + x x� 1 20 0‹

00, [+∞

Cálculo auxiliar:x2 + x = 0 § x (x + 1) = 0

§ x = 0 › x = –1

x2 + x > 0 § x ∈ ]–∞, –1[ ∪ ]0, +∞[

1

12 2

log ( ) log ( )

+ = +

+

x x x

x

2

§

= + ∈

= ∈

x x x

x x

2

2

‹

‹§

§

D

D1

( – )

{

x x x= = ∈

=

1 1

1

› ‹ D

C.S. }}

D { : } ,

ln (

= ∈ > = +∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢x x –

x

� 3 5 05

33 – ) ln

–

5 7

3 5 7

3 1

=

= ∈

=

§

§

‹x x

x

D

22

4

4

{ }

‹

‹§

x

x x

∈

= ∈

=

D

D

C.S.

D { : – = ∈ > >x x – x x� 2 3 – 10 0 2 2‹ }

]– , – [

0

2= ∞

Cálculos auxiliares:

x2 – 3x – 10 > 0 § x ∈ ]–∞, –2 [ ∪ ] 5, +∞[2 – 2x > 0 § 2 > 2x § 1 > x § x ∈ ]–∞, 1[

log ( – – ) log ( –3 10 22 =x x )

– – –

2

3 10 2 22

x

x x x x

x

§

§

‹= ∈ D22 12 0

1 1 4

– –

–

x x

x

= ∈

=±

‹

§

D

××∈

=±

(– )

12

2

1 49

2

‹

‹§

x

x x

D

∈∈

=±

∈

=

(

D

D§

§ ›

‹x x

x

1 7

24 – )

{– }

x x= ∈

=

3

3

‹ D

C.S.


+

–1 0–+

x x x =2 3 10 03 9 4 10

2 – –

– –=

± × ( )§

§ xx =

x x

3 7

25 2

–

±

= =§ ›

+

–2 5–+

e)

f)

g)

h) D = {x ∈ �: (x – 1)2 > 0} = �\{1} log5 (x – 1)2 = 2 § (x – 1)2 = 52 ‹ x ∈ D § (x – 1 = 5 ⁄ x – 1 = –5) ‹ x ∈ D § (x = 6 ⁄ x = –4) ‹ x ∈ D C.S. = {–4, 6}

26.a) D = {x ∈ �: x – 2 > 0} = ]2, +∞[ 103log (x – 2) = 125 § 10log (x – 2)3

= 53 ‹ x ∈ D § (x – 2)3 = 53 ‹ x ∈ D § x – 2 = 5 ‹ x ∈ D § x = 7 ‹ x ∈ D C.S. = {7}

b)

c)

D { : } – ,

log

= ∈ + > = +∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢x x� 2 0

1

2

3

1

( )

2 1 4

2 1 3

2

4

x

x x

x

+ =

+ = ∈§

§

‹ D

+ = ∈

= ∈

1 81

2 80

‹

‹§

x

x x

D

D

§§ ‹

{ }

x x= ∈

=

40

40

D

C.S.

D { : }

– , – –

= ∈ + >

= ∞

x x x� 2 3 0

3 17

4

2 – 1

⎤⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢∪

++∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

– ,

3 17

4

+log ( 2 33

x x2 ––x x – x

x

)

1 2

2 3 1 9

2

=

+ = ∈§

§

‹2 D22

– –

+ = ∈

=±

3 10 0

3 9

x – x

x

‹

§

D

44 2 10

4

3 89

4

(– )

–

× ×∈

=±

‹

§

x

x

D

– –

, –

‹ x ∈

=+⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬

D

C.S.3 89

4

3 89

4

⎪⎪

⎭⎪

D { : } = ∈ + > =x x x� �2 5 02 + 4

log ( x22

2 ++ =

+ = ∈

)

5 4 4

2 5 4 24

x +x x + x§ ‹2

D

D§

§

‹2 5 4 16

2 5

x x + x

x

2

2

+ = ∈

+ xx – x

x

– –

12 0

5 25 4

= ∈

=± ×

‹

§

D

22 12

4

5 121

4

(– )

–

×∈

=±

‹

‹§

x

x

D

–

–

x

x x

x

∈

=±

∈

=

D

D§

§

‹5 11

4

4

– ,

› ‹x x=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

=

3

2

43

2

D

C.S.⎧⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

D { : }

– ,

= ∈ + > >

=

x x x� 3 2 0 0

2

3

2‹

,

log ( ) log

0 0

2 3 25

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ ∪ +∞⎤⎦ ⎡⎣

+ =x55

2

5

2

5

23 2

3

x

x x x§

§

‹ log ( ) log

(

+ = ∈ D

xx x x

x x

)

(

+ = ∈

+ =

2

3 2

2 2 ‹

§ ›

D

– )

( –

3 2

2 2

x x x

x

+ = ∈

=

‹

§ ›

D

44 2

11

2

x x

x x

– )

– –

= ∈

= =

‹

§ ›

D⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

–

‹ x D

C.S. 1

2

D { : – – } ]= ∈ > > =x x x� 2 9 0 3 0 3‹ ,, [+∞


Cálculo auxiliar:x2 – 9 = 0 § x2 = 9 § x = ±3

x2 – 9 > 0 § x ∈ ]–∞, –3[ ∪ ]3, +∞[

Cálculo auxiliar:

2x2 + 5x + 4 > 0 § x ∈ �

Cálculo auxiliar:

2 3 1 0

3 17

4

2x x

x – ,

–

– –

+ >

∈ ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢∪§

–– ,

3 17

4

+∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢+

2 3 1 03 9 4 2 12x x x –

– – (–+ = =

± × ×§

))

–

4

3 17

4§ x =

±

+–

+

– – 3 17

4

– 3 17

4

+

2 5 4 05 25 4 2 4

4x x + x2

– – + = =

± × ×§

§§ – –

x =±5 7

4Equação impossível

em �

� ��

++

–3 3–+


d)

e)

f)

g)

h) D = �+

log22 x – log2 x – 2 = 0

Consideremos a mudança de variável log2 x = y,então:

Voltando a substituir y por log2 x, vem que:

i)

D

log log log

log lo

=

+ =

=

+�1

33 5

3

x

x§ gg – log

log log

5 3

5

33

‹

§

x

x

∈

=⎛

⎝

D

⎜⎜⎞

⎠⎟ ∈

= ∈

=

‹

‹§

§

x

x x

x

D

D3 5

3

5

3125

27

3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

=

‹

‹§

x

x x

D

∈∈

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

D

C.S. 125

27

D { : }

log

= ∈ + > > = +x x x� �3 0 0‹

(( ) log log

log [ ( )]

x x

x x

+ + =

+ =

3 28

3§ log

log ( ) log

28

3 28

‹

§

x

x x

∈

+ =

D2

‹

‹§

§

x

x x x

x

∈

+ = ∈

+

D

D2

2

3 28

–

– –

3 28 0

3 9 4

x x

x

= ∈

=± ×

‹

§

D

(– )

–

1 28

2

3 121

2

×∈

=±

‹

‹§

x

x

D

–

( –

x

x x

x

∈

=±

∈

=

D

D§

§

‹3 11

27 )

{ }

› ‹x x= ∈

=

4

4

D

C.S.

D { : }

log

= ∈ + > > = +x x x� �1 0 0‹

(( ) – log log

log ( ) log

x x

x

+ =

+ =

1 3

1§ log

log ( ) log (

3

1

+ ∈

+ =

x x

x

‹

§

D

33

1 3

x x

x x x

)

–

‹

‹§

§

∈

+ = ∈

D

D

22 11

2x x x x= ∈ = ∈ – ‹ ‹§D D

C.SS. =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

2

ln ( – ) – ln ( – )

ln ( –

=x x

x

2

2

9 3 0

§ 99 3

9 32

) ln ( – )

– –

= ∈

=

x x

x x

‹

§

D

– –

‹

‹§

§

x

x x x

x

∈

= ∈

D

D2 6 0

– (– )

=± ×

∈

=±

1 1 4 6

21

‹

§

x

x

D

55

23 2

( – )

‹

‹§ ›

x

x x

∈

= =

D

xx

∈

= ∅

D

C.S.

D { : }

log

= ∈ > > =

+

+x x x

x

� �0 2 0

2

‹

log (

log log (

log

4

22

2

2 4

2

44

x

xx

)

)

=

+ =§

log log (

‹

‹§

x

xx

x

∈

+ =

D

22

2

24

)∈∈

+ = ∈

log log (

l

D

D§

§

‹2 2 82 2x x x)

oog log (

log 2

2

2

2

2

2 8

2

x x x

x

+ = ∈

×

) ‹

§

D

xx x

x x

[ ] = ∈

=

log ( )

8

2 82

3

‹

‹§

D

∈

= ∈

=

D

D§

§

‹

‹

2 2

128

3 8

3

x x

x x

∈

= ∈

= { }

D

D§ ‹x x4 2

4 2

3

3C.S.

y y y

y

2 2 01 1 4 2

21

– – – (– )

= =± ×

=

§

§

–±

= =3

22 1§ ›y y

(log log – )

(2 2

2 1x x x= = ∈›

§

‹ D

xx x x

x

)

–= = ∈

=

2 2 12

4

›

§

‹ D

,

› ‹x x=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

=⎧

1

2

41

2

D

C.S. ⎨⎨⎩

⎫⎬⎭

log ( – – ) log ( – )

2 2

23 4 17 2 5 3x x x x2 = +

=D { : – – – x x x x x∈ > +� 3 4 17 0 2 522 ‹ }

– , –

,

3 0

2 55

3

2 55

3

>

= ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢∪

++∞

⎤⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢


3 4 17 0

4 16 4 3 17

2x x

x

– –

– (–

=

=± × ×

§))

6

4 220

6

4 2 55

6

2 5

§

§

§

x

x

x

=±

=±

=± 55

3

220110

5511

1

22511

+–

+

j)

27.a)

b)

log ( – log ( –

2 2

3 4 2 5

3

x x x x2 2 – 17) + 3)=

§ xx x x x x

x

2 2

2

– 17 + 3– –

4 2 5= ∈

+

‹

§

D

– –

x x

x

– 20 = ∈

=± ×

0

1 1 4

‹

§

D

11 20

21 9

2

(– )

–

×∈

=±

‹

‹§

x

x x

D

( – )

∈

= = ∈

D

D§ › ‹x x x5 4

C.S. == {– , }5 4

log ( (x xx

x + 2) – 7) + log

+ 2

– ×⎡⎣ ⎤⎦

77

+ 2) – 7) >0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= ∈

: ( (

2

D x x x� + 2

– 7‹

x

x

]– , – [

>⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ∞ ∪

0

2 ]] , [7 +∞

log ( (x xx

x + 2) – 7) + log

+ 2

–×⎡⎣ ⎤⎦

7

+ 2) – 7) ( +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

×

log ( (

2

§ x xx 22)

( – 7)

xx

x

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ∈

log (

2 ‹

§

D

++ 2) 2

+ 2) 10

2

2 2

= ∈

=

(

‹

§

x

x

D

‹‹

§ ›

(

x

x x

∈

= =

D

+ 2 10 + 2 –10)

8 –12)

(

‹

‹§ ›

x

x x

∈

= =

D

{ , – }

x ∈

=

D

C.S. 8 12

D { : } = ∈ =x x x� – 1 > 0 + 2 > 0 ‹ ]] , [

log ( (

1 +∞

x x – 1) + log + 2) < log 6

§ llog [( ( x x x – 1) + 2)] < log 6 ‹

§

∈ D

–

–

x x x

x x

2

2

2 6

8 0

+ < ∈

+ <

‹

§

D

– – –

‹

‹§

x

x

∈

+

D

1 33

2

1 33

2 < <

, –

x ∈

=+⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

D

C.S. 11 33

2

D { : = ∈x x x� > 0 + 1 > 0 ‹ ‹ 22 6 0x

x x x

}

{ :

+ >

= ∈ � > 0 > –1 ‹ – }

log (

‹ x

x x

> = +3 �

+ log + 1) < log 2 + 6)

+ 1)] < log

(

log [ ( (

x

x x§ 2xx x

x x x

+ 6)

‹

‹§

∈

+ < +

D2 2 6 xx

x x x

x

– –

–

∈

< ∈

< <

D

D§

§

‹2 6 0

2

] , [

3

0 3

‹ x ∈

=

D

C.S.


Cálculo auxiliar:

Cálculos auxiliares: (x + 2) (x – 7) > 0 § x < –2 ⁄ x > 7

(x + 2) (x – 7) = 0 § x = –2 ⁄ x = 7

x ∈ ]–∞, –2[ » ]7, +∞[

Cálculos auxiliares (cont.):

x x

x

x

2 8 0

1 1 4 8

2

+ =

=± ×

=

–

– – (– )

§

§ – 1 33

2

±

x x

x

2 8 0

1 33

2

1 33

2

+ <

∈+⎤

⎦⎥

⎡ –

– –

, –

§⎣⎣⎢

x

xx x

+ 2

– 7

–

>

< >

0

2 7§ ›

2 5 3 05 25 4 2 3

42x x x–

–

+ = =± × ×

§

§ xx

x x

=±

= =

5 1

43

21§ ›

x –∞ –2 7 +∞

x + 2 – 0 + + +

x – 7 – – – 0 +

x

x

+ 2

– 7+ O – n.d. +

+

1 –+

32

+

–2 7–+

+–

+

– – 1 33

2

– 1 33

2

+

c)

d)

e)

f)

{ : – 1 > 0 13 – > 0}

{ : > 1 13 > } ]1, 13[

log ( – 1) ≤ 5 – log (13 – )

log ( – 1) + log (13 – ) ≤ 5

log [( – 1) ( 13 – )] ≤ 5

log (– 14 – 13) ≤ 5

– 14 – 13 ≤ 2

– 14 – 13 ≤ 32

– 14 – 45 ≤ 0

( ≤ 5 ≥ 9)

C.S. 1, 5 9, 13

2 2

2 2

2

22

2 5

2

2

��

D

D

D

D

D

D

D

D

‹

‹

§ ‹

§ ‹

§ ‹

§ ‹

§ ‹

§ ‹

§ › ‹

x x xx x x

x xx x xx x xx x x

x x xx x xx x xx x x] ] [ [

= ∈

= ∈ =

∈

∈

+ ∈

+ ∈

+ ∈

+ ∈

∈

= ∪

2 3 2 1 22 2

log ( ) – log ( – )

{ :

< +

= ∈

x xxD � 33 2 0 1 2 0x x

x x > –

– }

:

+ > >

= ∈

‹

�2

33

1

2 – ,

lo

‹ x <⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

<

2

3

1

22 gg ( ) – log ( – )

log ( – 2 2

2

3 2 1 2

2 1 2

x xx

+

+§ )) log ( )

log log

< + ∈

+2

2 2

3 2

4

x x‹

§

D

(( – ) log ( )

log [

1 2 3 22

2

x x x< + ∈‹

§

D

44 1 2 3 2

42

( – )] log ( )

x x x< + ∈‹

§

D

––

–

8 3 2

4 2 3 8

x x xx x

< + ∈

< +

‹

§

D

‹

§ ‹

§

xx x

x

∈

< ∈

>

D

D2 11

2

11

,

‹ x ∈

=⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

D

C.S.2

11

1

2

D { : – } ]– , [ ] , [= ∈ > = ∞ ∪ +∞x x x� 2 0 0 1

log ( – ) log

log ( – )

,4

2

0 25

4

2

1

6x x

x x

>⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§ >>

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

∈ log

log ,

log (

4

4

4

1

60 25

‹

§

x D

xx x x24

4

1

61

– ) log

–

log (

>

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

∈‹

§

D

xx x x

x

2

4

4

2

1

6– ) log

log (

>⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ ∈‹

§

D

–– ) log

–

x xx x

> ∈

>4

2

6

6

‹

§ ‹

D

xxx x x

– –

∈

> ∈

D

D§ ‹2 6 0

§ › ‹ ( – )

]–

x x x< > ∈

= ∞

2 3 D

C.S. ,, – [ ] , [2 3∪ +∞

D { : – }

{

= ∈ > + >

=

x x xx� 2 0 1 0‹

: – } ]– , [

log (

∈ > > =� 2 1 1 2

22

x x‹

–– ) log ( )

log ( – ) log (

,x x

x x< +

<

0 5

22

1

2§ )

log ,

log ( – ) lo

+∈

<

1

0 5

2

2

2

‹

§

x

x

D

gg ( )

–

log ( – ) –lo

2

2

1

12

x x

x

+∈

<

‹

§

D

gg ( )

log ( – ) log

2

2 2

1

21

x x

x

+ ∈

<

‹

§

D

xxx

xx

–

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

<+

1

21

1

‹

§

D

‹‹

§ ‹

( – –

x

xx

x

∈

+< ∈

D

21

10) DD

§ ‹ ( – ) ( ) –

2 1 1

10

x xx

x+

+< ∈ DD


Cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar:x2 – x = 0 § x(x – 1) = 0 § x = 0 ⁄ x = 1

Cálculo auxiliar:

x x

x

x

2 6 0

1 1 4 6

21

– –

– (– )

=

=± ×

=

§

§

–

±

= =

5

23 2§ ›x x

x x

x

x

x

x x

+ =

=± × ×

=±

=±

= =

– 14 – 45 0

–14 196 – 4 (–1) (–45)

–2

–14 16

–2

–14 4

–2 9 5

2

§

§

§

§ ›

+5 9 ––

+

0 1–+

+

–2 3–+

Cálculo auxiliar:

x x

x

x

2 6 0

1 1 4 6

21

– –

– (– )

=

=± ×

=

§

§

–

±

= =

5

23 2§ ›x x

+

–2 3–+


g)

28.

a)

D§ ‹

§

– –

–

x xx

x

x

2 2 1

10

+ +

+< ∈

22 1

10

11

+ +

+< ∈

< <

–

xx

x

x

‹

§

D

––

5

2

1 5

2› ‹x x<

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ∈ D

C.S. =⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢∪

+⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ – ,

–

, 1

1 5

2

1 5

22

D : – –

– , –

= ∈ >⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ∞⎤

⎦⎥

⎡

x x x� 2 3

40

1

2⎣⎣⎢ ∪ +∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ ,

3

2

log – – – log

log

,0 5

2

2

2

2

3

42 5x x

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ >

§ – –

log , – log

xx

3

40 5

2 52

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟> ‹

–log – – – log

∈

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ >

D

§2

2

2

3

42 5x x ‹ x ∈ D

log – – – l§ x x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < +

2

2 3

42 oog

log – –

2

2

2

5

3

4

‹

§

x

x x

∈

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

D

22 5

3

4

2

2

2

log

log – –

< ∈

⎛

⎝⎜

⎞

‹

§

x

x x

D

⎠⎠⎟ + < ∈ log log

log ( –

2 2

2

2

4 5 ‹

§

x

x

D

4 – ) log

– –

4 3 5

4 32

2

x xx x

< ∈‹

§

D

4

– –

< ∈

<

5

4 8 02

‹

§ ‹

xx x x

D

4 ∈ D

§ ‹ –

– , –

1 < <

C.S.

x x2

11

2

∈

=⎤

⎦⎥

D⎡⎡

⎣⎢ ∪

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ ,

3

22

x x > xx x > x

x x < x{ }

= ∈

= ∈

= ∈

= ∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

{ : 1 – 2 0 1 + log (1 – 2 ) > 0}

{ : –2 –1 log (1 – 2 ) > –1}

: 12

< 13

– , 13

3

3

‹

‹

‹

�

�

�

D

xx x

x xx x

=

+ = ∈

= ∈

= ∈

log (1 + log (1 – 2 )) 2

1 log (1 – 2 ) 2

log (1 – 2 ) 3

1 – 2 3

2 3

32

3

3

§ ‹

§ ‹

§ ‹

D

D

D

Cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar:

4x2 – 4x – 8 < 0 § x ∈ ]–1, 2[

Cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar:

4 4 8 0

4 16 4 4 8

2x x

x

– –

– (– )

=

=± × ×

§88

4 12

82 1

§

§ ›

–

x

x x

=±

= =

x x

x x

x

2

2

3

40

4 4 3 0

4 1

– –

– –

=

=

=±

§

§66 4 4 3

84 8

83

2

– (– )

× ×

=±

=

§

§ ›

x

x –x = 1

2

–

– – (– )

–

x x

x

2 1 0

1 1 4 1 1

2

+ + =

=± × ×

§

§§

§

–

–

x

x

=±

=±

1 5

2

1 5

2

x –∞ –1 1 5

2

– 1 5

2

+ +∞

–x2 + x + 1 – – – 0 + 0 –

x + 1 – 0 + + + + +

–

x xx

2 1

1

+ +

++ n.d. – 0 + 0 –

–+

–1 5

2

– 1 5

2

+

+

––

+

12

32

+

–1 2–+

x

x x x x

x x x

>

> < > <

< < <

log (1 – 2 ) –1

1 – 2 13

12

–2 –23

12

13

12

13

3

§ ‹ § ‹

§ ‹ §

b)

29.

a)

b)

c)

x xx x

x x

= ∈

= ∈

= ∈

=

1 – 2 27

–2 26

–13

C.S. {–13}

§ ‹

§ ‹

§ ‹

D

D

D

D : – = ∈ + >x x x� 3 5 21 02

Condição universsal� ��

⎧⎨⎩

+ >

log ( – ) ‹2

23 5 21x x 00

Condição universal� ��

⎫⎬⎪

⎭⎪=

log (log ( – )) log

log (5 2

2

5

2

2

3 5 21 2

3

x xx

+ =

§ – )

–

5 21 2

3 5 212

x xx x

+ = ∈

+

‹

§

�

–

= ∈

+ =

2

3 5 21 4

2

2

‹

§ ‹

xx x

�

–

xx x x

x

∈

+ = ∈

�

�§ ‹

§

3 5 17 0

5

2

–

–

± × ×∈

±

25 4 3 17

6

5 17

‹

§

x

x

�

99

6Equação

impossível

C.S.

� �� ‹ x ∈

= ∅

D D

e

e

f f '

–

– –

–

–

–

= =

=

=

�1

3 4

4 3

x

xy

y§

§

– ln

–ln

–e x y

x y

x

=

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

3 –

43 –

4§

§33 –

4

Assim,3 –

4

y

x x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

.

( ) –ln–f 1

⎠⎠⎟

= ∈ >⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= ∞

.

: ]– , –

Df 1

0 3x x�

3 –

4[[

f – : ]– , [

–ln

1 3∞ →⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

�

x x3 –

4

D Dg { : – } – , = ∈ > = ∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ =x x� 2 8 0

1

4''

– ln ( – )

ln ( – ) –

–g 1

5 2 8

2 8 5

x yx y

=

=§ –

–

–

–

–

–

§

§

2 8

2

8

5

5

x

x

y

y=

=

e

e

gAssim, 115

1

2

81( )

–

: – ,

–

–

–xx

= =

→ ∞

eD

g

ge �

�11

42

8

5

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

xx

– –

e

D Dh h \{ } '

–

–= =

+ =

=

� 0

10 3

10 3

1

1

1

x

x

y

y§

§11

3

1

3

xy

xy

=

=

log ( – )

log ( – )

–

§

Assim, h 11 1

3

31

( ) log ( – )

.

: – –

xx

x x

=

= ∈ >Dh

� 00 3 0

3 4

log ( – )

] , [ \ { }

‹ x ≠{ }= +∞

Cálculo auxiliar:log (x – 3) = 0 § x – 3 = 1 § x = 4


Cálculo auxiliar:


3 –

4

x x x x – – – > > > <0 3 0 3 3§ § §

log ( – )

– 2

2

2

3 5 21 0

3

x x xx

+ > ∈‹

§

�

55 21 2

3 5 20

0

2

x xx x

–

+ > ∈

+ >

‹

§

�

00Condição universal� ��

‹

§

x ∈

xx

x x x

– –

∈

+ = =± ×

�

3 5 20 05 25 42 §

33 20

6

5 215

6

–

×

=±

§ x

Equação impossívelem�

� ��

3 5 21 05 25 4 3 212x x x –

– + = =

± × ×§

66

5 227

6§

–x = ±

Equação impossível� ��

+

+


30.a) Df = {x ∈ �: 10 – x > 0} = ]–∞, 10[

b)

c)

d)

31. • Se o ponto (0, 2) pertence ao gráfico de f, entãof(0) = 2.

• Se o ponto (1, –2) pertence ao gráfico de f–1, entãof(–2) = 1.

Mas –1 ∉ ]1, +∞[, logo a = 2 e b = 4.

32.a) (f ° g) (x) = f(g(x)) = f(e3x + 1) = ln (2 e3x + 1)

= ln 2 + ln e3x + 1

= ln 2 + 3x + 1 = 3x + ln 2 + 1

Df ° g = {x ∈ �: x ∈ Dg ‹ g(x) ∈ Df} = {x ∈ �: x ∈ � ‹ e3x + 1 ∈ �+} = �

b) (g ° f) (x) = g(f(x)) = g(ln (2x)) = e3 ln (2x) + 1 = e3 ln (2x) × e1

= eln(2x)3

× e = (2x)3 × e = 8ex3

Dg o f = {x ∈ �: x ∈ Df ‹ f(x) ∈ Dg} = {x ∈ �: x ∈ �+ ‹ ln (2x) ∈ �} = �+

33.a) t = 0, T(0) = 20 + 60 e–0,11 × 0 = 20 + 60 × e0 = 80 O café é-nos entregue a 80 °C.b)

t ≈ 3,686 3,686 min = 3 min + 0,686 min 0,686 × 60 ≈ 41 s

Quem gosta de beber o café a 60 °C terá de esperar,aproximadamente, 3 minutos e 41 segundos.

c)

Isto significa que, nos dois primeiros minutos, o caféarrefeceu a uma taxa média de, aproximadamente,5,92 °C por minuto, enquanto que nos dois minutosseguintes o café arrefeceu a uma taxa média de,aproximadamente, 4,75 °C por minuto.

Conclui-se, assim, que o arrefecimento do café foimais acentuado nos dois primeiros minutos.

d) Se deixarmos o café arrefecer durante muito tempo,a temperatura do mesmo tenderá a aproximar-seda temperatura ambiente – neste caso 20 °C.

h– : ] , [ \ { } \{ }

1 3 4 0+∞ → �

xx

1

log ( – 3)

f( )

log ( – )

log ( – )

x

x

x

=

+=

0

2 10

30

10

§

§ –

–

–

–

=

= ∈

=

2

10 10

1

10

2§ ‹

§

x x

x

Df

0010 10

999

100

– ]– , [

‹

§ ‹

x

x

∈ ∞

= ]– , [

x∈ ∞ 10

999

100é zero de f

f( )

log ( – )

log ( –

x

x

x

≤

+≤

1

2 10

31

10

§

§ ))

–

–

≤

= ≤ ∈

≤

1

10 10

0

1§ ‹

§

x x

x

Df

]– , [

]– ,

‹

§ ‹

x

x x

∈ ∞

≥ ∈ ∞

10

0 10[[

[ , [ ]– , [ [ , Assim, C.S. = +∞ ∩ ∞ =0 10 0 10[[

D Df f'

log ( – )

log

–=

+=

1

2 10

3Assim,

xy

§ ( – ) –

–

–

10 3 2

10 103 2

x y

x

x

y

=

=

=

§

§ –

, ( ) –

–

– –

10 10

10 10

3 2

1 3 2

y

xxLogo f = e Assim, . ' .–D Df f1 = =� �

Cálculo auxiliar:10 – x > 0 § –x > – 10 § x < 10

efg

f(0) = 2f(–2) = 1

§efg

loga (0 + b) = 2loga (–2 + b) = 1

§efg

b = a2

–2 + b = a

efgb = a + 2

§ §efg

a + 2 = a2

efg

a2 – a – 2 = 0§

efg

a = 2b = 4

§efg

a = –1b = 1

⁄

T e

e

t

t

– ,

– ,

= + =

=

60 20 60 60

40

60

0 11

0 11

§

§

§ – , ln

ln

– ,

0 112

32

30 11

t

t

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§

t.m.v.[ , ]

–

( ) – ( )

–

0 2

2 0

2 0

20 60= =

+T T e 00 11 2

2 4

80

25 92

4

,

[ , ]

–

– ,

( ) –

×

≈

=t.m.v.T T(( )

–

–( – , – ,

2

4 220 60 20 600 11 4 0

=+ +×e e 111 2

24 75

)

– ,

×

≈

lim

( ) – , –

t

te e→ +∞

∞+ = + =20 60 20 60 200 11 + =0 20


34.a)

b)

Assim, de acordo com este modelo, a terra atingiráa sua capacidade máxima em 2096.

35.a)

b)

À medida que o tempo vai passando, a populaçãomundial tende para 40 biliões.

36. Q(t) = Ae–kt

a)

b)

A semivida da substância é

c)

Por dia, a quantidade Q de massa de einstéinio dimi-nui 10% (aproximadamente).

P t P e

t

t

o

kt( )

=

→ =

→ =

1960 0

1975 15

Q P e P

P

k( )

0 3 3 1 3

3

0= × = × =

=

×§ §

§o o

o

Q P e

e

e

k

k

( )

15 4 4

3 4

15

15

1

= × =

× =

×§

§

§

o

55 4

3

154

34

315

k

k

k

=

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

ln

ln

§

§

kk ≈ ,0 019

Q t

e

e

t

t

( )

,

,

,

=

× =

=

40

3 40

40

3

0 0

0 019

0 019§

§ 11940

340

30 019

t

t

t

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≈

ln

ln

,

§

1136 1960 136 2096 e + =

P tC e

t

t

kt( )

–=

+→ =

→ =

40

11960 0

1975 155

40

13

40

14

0

15

–

–

+=

+=

×

×

C e

C e

k

k

edfdg

edfdg

§P(0) = 3

P(15) = 4

40

13

+=

C

edfdg

§

40

13

0

+=

C e

edfdg

§

C

e k

–

=

+

=

37

340

137

3

415

edfdg

§

edfdg

§

3 + 3c = 40

§

edfdg40 4

148

315 –= + e k

§

edfdge k– 15 27

37=

§

edfdg– ln 15

27

37k =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§

edfdgk

ln

–=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

27

3715

Assim, eC k , .= ≈37

30 021

P tc e

c e

kt

t kt

( )

lim

–

–

=+

+=

→ +∞

40

140

1

440

1

40

1 0

40

140

–+=

+ ×= =

∞c e c

A

Q

( , )

=

=

30

11 7 10

(miligramas)

(miligramas)) 30

–11,7

– 11,7

–11,7

§

§

§

e

e

k

k

k

× =

=

10

1

3

–11,7

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=

ln

ln

1

31

3§

§

k

klln 3

11,7

Q t e

Q t

e

t

( )

( )

– ln

,

–

=

=

30

30

3

11 7

15

§lln

, –

ln

,

–ln

3

11 7

3

11 7151

2

t t

e= =§

§33

11 7

1

2

1

2

11

, ln ln t t=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ ×§

,,

–ln

, ln

ln

7

311 7 2

3§ t =

11 7 2

3

, ln

ln .

Q t

Q t

A e

A e

t

( )

( )

– ln

, ( )

–

+=

× +

13

11 71

lln

,

–ln

, –

ln

,

ln

3

11 7

3

11 7

3

11 7

t

t

e=+

33

11 7

3

11 7 0 9

1 0 9

,

– ln

, ,

( ) , (

t

e

Q t Q

= ≈

+ ≈ tt

Q t Q t

Q t Q

)

( ) ( – , ) ( )

( ) (

+ ≈ ×

+ ≈

1 1 0 1

1 tt Q t) – , ( )0 1


37. log E = 5,25 + 1,44 Ma) log E = 5,24 + 1,44 × 8,3 § log E = 17,192 § E = 1017,192

E ≈ 2 × 1017

b)

38. pH = –log xa) 7 = –log x ‹ x > 0 § x = 10–7 § x = 1 × 10–7

b) • concentrações de iões H3O+ na cerveja 4 = –log x , x > 0 § x = 10–4

• concentrações de iões H3O+ no vinagre 3 = –log x, x > 0 § x = 10–3

A razão entre as concentrações de iões H3O+ nosdois líquidos é de 0,1.

A concentração de iões H3O+ na cerveja é a décimaparte da concentração de iões H3O+ no vinagre.

c)

39. Introduzimos os valores das variáveis nas listas L1e L2:

Escolhemos uma janela de visualização adequada:

Representamos a nuvem de pontos:

Selecionamos a regressão exponencial:

E obtemos:

40.

a)

(nota que: (limite notável)).

b) pois, quando x→+∞, a função potência

x1 x100 cresce muito mais rapidamente do que afunção logarítmica de base 2, e a função potênciaestá em denominador.

c)

d)

Consideremos a mudança de variável 5x = y. Comox→ +∞, então y→ +∞ e temos que:

e)

Consideremos a mudança de variável:

log , ,

, ,

E M

E

E

M

= +

= +

5 24 1 44

105 24 1 44§

(( )

( )

, ,

,

M

E M

M=

+ =

+

+

10

1 10

5 24 1 44

5 24 1,, ( )

, , ( )

( )

44 1

5 24 1 441 10

M

ME M

E M

+

++=

++

+

+ +=

,

, ,

, ,

1 44

5 24 1 44

5 24 1 44 1

10

10

M

M ,, – , – ,

,

44 5 24 1 44

1 4410 28

M

= ≈

10

1010 10 0 1

4

3

4 3 1–

–

– – ,= = =+

–log ( ) – (–log ) –log ( ) log

2 2x x x x= +

= llog – log ( ) log log x xx

x2

2

1

2=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎝⎜⎞

⎠⎟ ≈ – ,0 3

lim

ln

lim

ln

lim

x x

x

x

x x

x

→ +∞ → +∞

→ +∞

= =1 1

lln

x

x

= = +∞+

1

0

lim

ln

x

x

x→ +∞= 0

lim x

x

x→ +∞=

log2

1000

lim ( ln ) lim ln

lim

–

x xx x

x

x→ +∞ → +∞× = =2

2 xx

x

x

x xx

x

→ +∞

→ +∞

×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

ln

lim ln

1

Limitee notável��

lim

× = × =→ +∞x x

10 0 0

lim

ln ( )

lim

ln ( )

x x

x

x

x

x→ +∞ → +∞= ×

⎛

⎝

5 5

55⎜⎜⎞

⎠⎟ = ×

→ +∞ lim

ln ( )

55

5x

x

x

5 5 0 lim

ln × = ×

→ +∞y

y

y

Limitenotável

�� == 0

lim

( ln ) lim

ln

x xx x

x

x

→ →+ +× =

0 0 1

1 1

xy x

y = =§


Como x→ 0+, então y→ +∞ e, temos que:

Aprende fazendo

Páginas 54 a 65

1.

Perímetro = 2 ln a + 2 ln b = 2 (ln a + ln b)= 2 ln (a × b)

Opção (A)

2. Se y é a quantidade após t anos, então após 5 anoshá y = y0 × 0,885 ) 0,5277 y0, ou seja, há, aproxima-damente, 53% da quantidade inicial.

Opção (C)

3.

Opção (B)

4.

Assim, f–1 (x) = ex – 1. Opção (A)

5.

Opção (D)

6. •

•

Opção (A)

7.

Opção (B)

8.

Opção (B)

9.

Opção (B)

10.

Opção (B)

11.

lim

ln

limln ( )

y y

y

y

y

y+ += =

1–1

llim–ln

–limln

–

y

y

y

y

y

y

+

+= = =0 0

ln a

ln b

log log – log – b b b

b

ab a c= = 1

ln ( )

e

e e

e

ee

x y

x

x

x

y

y

y

=

=

=

=

§

§

§ – 1

Cálculos auxiliares:A abcissa de A corresponde ao zero de f:f(x) = 0logk x = 0 § x = 1Logo, ∫AC = 2 (k – 1).f(k) = logk k = 1

AAC f k

k

k

( )

( – )

–

=×

=×

=

22 1 1

21

b b b b bu v u v u v

+ = × = × ( )

= ×

=

3 33

32 5

250

�

12 4

2

2 2 2

bb b

u

u u

– ( ) = = = =

f k fk

( ) ( )

+ = ×

= ×+

x xx x

100

10 10 102§

§ 110 10

2

2

2k

k

k

+ +=

+ = +

=

x x

x x§

§

D e ef { : – } \{= > = +x xx� �0 0‹ 11

0

1

}

–

e e

e e

x

x

x

=

=

=

§

§

log log log

log

a a a

a

a b a b

b

3 3

1

23

3

×( ) = +

= +

= log

+

= + ×

=

1

2

31

25

11

2

ab

ln – ln

ln ln

ln (

a b

a b

a b

=

+ =

×

2

2§

§ ))

=

× =

=

22

2

§

§

a b e

ae

b

edddfdddg

log ( )

log

5

5

2

2 5

5

b

b

b

a

=

=

=

=

x

y

x

x

§

§

§

2e

aa = 5y

Donde:

a b × = × =55

2

5

2y

x x + y

Opção (D)

Limite

notável

�


12.

(I) Falsa (II) Falsa Opção (B)

13.

Opção (D)

14.

a)

Significa que, com o decorrer do tempo, passadasmuitas, muitas horas, a concentração de medica-mento no sangue tende a desaparecer.

b) Valor inicial:

A concentração de medicamento no sangue atingemetade do seu valor inicial ao fim de 6 horas.

15.a)

b)

16.a) t = 0, início de 2007 t = 5, início de 2002 N(–5) = 5 + e0,8 × (–5) ) 5 No início de 2002, estariam contaminadas, aproxi-

madamente 5 pessoas.b)

Como podemos concluir que a

primeira vez que o número de casos ultrapassa ummilhar ocorre durante o mês de agosto de 2010

(2002 + 8 = 2010 e 0,628 × 12 ) 7,5).

17.a) 10x + 3 = 0,01 § 10x + 3 = 10–2

§ x + 3 = –2 § x = –5 C.S. = {–5}b) 2x2

= 4 § 2x2

= 22 § x2 = 2 § x = √∫2 ⁄ x = –√∫2 C.S. = {√∫2, –√∫2}c) 2 × 5x + 1 = 10 × 25x § 2 × 5x + 1 = 2 × 5 × 52x

§ 5x + 1 = 52x + 1

§ x + 1/ = 2x + 1/ § 0 = 2x – x § x = 0 C.S. = {0}

18.a)

b) § x + 4 < 2 – 3x, pois a função ex-

ponencial de base é estritamente decrescente

§ x + 3x < 2 – 4 § 4x < –2 § x < –

an

n n

n n

lim –

lim – =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 1

21

1

2

== +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ = = lim

–

–

1

1

2 11

2

ne

e

n

bbe

lim

= =→ +∞x x

x2012

0

Dg= ∈ > = ∞

⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

{ : | | – } – , – x x� 3 1 01

3∪∪ +∞⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

,

\ – ,

| | –

1

3

1

3

1

33 1

�

x >>

>

> <

| |

–

0

3 1

3 1 3 1

§

§ ›

§

x

x x

x –> <1

3

1

3› x

lim

( ) –

tC t

→ +∞

∞

= × = × =60 2 60 0 06

C( ) –

0 60 2 60 2 600

6 0= × = × =

C t

t

t

t

( )

–

–

–

=

× =

=

60

2

60 2 30

21

2

6

6

§

§

§66

1

26 1

6

2 log

– (– )

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= ×

=

§

§

t

t

f( ) log ( ) – log

log log –

x x x

x

=

= +

10

10

3

3 log

log – log

log

x

x x

x

= +

= +

1 3

1 2 ,, ∀ ∈ +x �

f( )

log

log

x

x

x

=

+ =

=

11

1 2 11

2 10

§

§

§ llog

x

x

=

=

5

105§

N t e et t( ) , ,> + > >1000 5 1000 9950 8 0 8§ §

§§ § , ln ( ) ln ( )

,0 8 995

995

0 8t t> >

ln ( )

, , ,

995

0 88 628≈

2 2 4 2 3

3

4 2 3x x x x

x x

– –

+ > + >

+

§

§ >>

> >

= +∞⎤

⎦

–

– –

– ,

2 4

4 21

21

2

§ §x x

C.S. ⎥⎥⎡

⎣⎢

1

2

1

2

4 2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ >

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

+x x –

12

12

C.S. – , –= ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

1

2

J0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F M A M J J A S O N D

c) 2x2

≥ 4 § 2x2

≥ 22 § x2 ≥ 2 § x2 – 2 ≥ 0 § x ≤ –√∫2 ⁄ x ≥ √∫2 C.S. = ]–∞, –√∫2] ∪ [√∫2, +∞[

d) 5x2 – 4 ≥ 1 § 5x2 – 4 ≥ 50 § x2 – 4 ≥ 0 § x ≤ –2 ⁄ x ≥ 2 C.S. = ]–∞, –2] ∪ [2, +∞[

19.a) D = {x ∈ �: x2 – 1 > 0} = ]–∞, –1[ ∪ ]1, +∞[

log2 (x2 – 1) = 2 § log2 (x2 – 1) = log2 4 ‹ x ∈ D § x2 – 1 = 4 ‹ x ∈ D § x2 = 5 ‹ x ∈ D § (x = √∫5 ⁄ x = –√∫5) ‹ x ∈ D C.S. = {–√∫5, √∫5}

b)

c) D = {x ∈ �: x2 – 4x + 3 > 0} = ]–∞, 1[ ∪ ]3, +∞[

20.a) D = {x ∈ �: x2 > 0 ‹ x > 0} = �+

ln (x2) + ln x ≤ 0 § ln (x2 × x) ≤ ln 1 ‹ x ∈ D § x3 ≤ 1 ‹ x ∈ D § x3 – 1 ≤ 0 ‹ x ∈ D § x ≤ 1 ‹ x ∈ D C.S. = ]0, 1]

D { : } – , = ∈ + > = +∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢x x� 3 5 0

3

5

log ( ) log ( ) log1

2

1

2

1

2

3 5 0 3 5 1+ = + =x x§

§

–

3 5 1

5 2

+ = ∈

= ∈

x x

x x

‹

‹§

D

–

–

D

D§ ‹x x= ∈

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2

52

5C.S.

log ( – )

log ( – ) l

4

2

4

2

4 31

24 3

x x

x x

+ =

+ =§ oog

– 4

2

2

4 3 2

‹

‹§

x

x x x

∈

+ = ∈

D

–

D

D§

§

‹x x x

x

2 4 1 0

4 16

+ = ∈

=± –

4 1 1

2

4 12

2

× ×∈

=±

‹

‹§

x

x

D

x

x x

x

∈

=±

∈

= ±

D

D§

§

‹4 2 3

2

2 3

– ,

‹ x ∈

= +{ }D

C.S. 2 3 2 3

Cálculo auxiliar:x2 – 1 > 0 § x < – 1 ⁄ x > 1x2 – 1 = 0 § x2 = 1 § x = ±1

Cálculo auxiliar:x2 – 4 = 0 § x2 = 4 § x = ±2

Cálculo auxiliar:x2 – 2 = 0 § x2 = 2 § x = ± √∫2


Cálculo auxiliar:

3 5 0 5 33

5 – –+ > > >x x x§ §

Cálculo auxiliar:

x x x x

x x

2

2

4 3 0 1 3

4

–

–

+ > < >§ ›

++ = =±

=±

×

–

3 0

4 16 4 3

24 2

2

§

§

§

x

x

x x= =3 1›

+

1 3–+


x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)

1 0 0 –1

1 1 1 1

1 1 1 0 = r

x –∞ 1 +∞

x – 1 – 0 +

x2 + x + 1 + + +

(x – 1)(x2 + x + 1) – 0 +

x3 – 1 ≤ 0 § x ≤ 1

+–

+

– 2 2

+

–2 2–+

+

–1 1–+


b) D = {x ∈ �: x2 – 4 > 0 ‹ x + 1 > 0} = {x ∈ �: (x < –2 ⁄ x > 2) ‹ x > –1} = ]2, +∞[

ln (x2 – 4) – ln (x + 1) ≥ 0 § ln (x2 – 4) ≥ ln (x + 1) ‹ x ∈ D § x2 – 4 ≥ x + 1 ‹ x ∈ D § x2 – x – 5 ≥ 0 ‹ x ∈ D

21.a) P(0) = 3000 × e0,3 × 0 = 3000 × e0 = 3000 moscas-

-das-frutasb) P(10) = 3000 × e0,3 × 10 = 3000 × e3 ) 60 257 mos-

cas-das-frutas

c)

Ao fim de 1 dia e 17 horas aproximadamente.

d)

P(t + 1) ) 1,35 × P(t) P(t + 1) ) (1 + 0,35) × P(t) P(t + 1) ) P(t) + 0,35 × P(t) A cada dia que passa a população de moscas-das-

-frutas aumenta a uma taxa de aproximadamente 35%.

22.

a) •

b) •

t ) 19 O número de formigas é igual a 3000 ao fim de 19

dias, aproximadamente.

23. q(t) = 15,3 × 0,886t

a) 2012 + 1 = 2013 anos corresponde a 2,013 milharesde anos.

q(2,013) = 15,3 × 0,8862,013 ) 12 (dmg) Deverá ser encontrada 12 dmg, aproximadamente.

P t

e et t

( )

, ,

=

= =

5000

3000 500050 3 0 3§ §

0000

30005

30 3

5

30 3§ §

§

, ln

,e tt = =

tt t ln

, ln = = ×

5

30 3

10

3

5

3§

tt ,1 703

P t

P t

e

e

t

t

( )

( )

, ( )

,

+= =

+1 3000

3000

0 3 1

0 3

( )

( ) ,

, , – , ,e e

P t

P t

t t0 3 0 3 0 3 0 3

11

+ =

+335

P t

P tt

a b

a

t

( )

( ) , ,

+=

×

+

+

11 1

0

1

�

§××

= =

= ×

, ,

( ) , ,

bb

P t a t

t

t

1 1 1 1

1 1

§

= × =

=

+

( ) , , ,

�0

22 0 605 1 1 0 605P a

a

§

§00 605

1 10 5

1

21 1

2

,

, ,

( ) , ,

§ a

P t t

=

= ×Logo, .+t �0

§ › ‹ –

x x +1 21

2

1 21

2

,

x

=+

+

D

C.S.1 21

2

Cálculo auxiliar:d ____________ h1 ____________ 240,703 ________ xx = 0,703 × 24 = 16,872 h

P t

t

t t( ) , ,

log

= × = =

=

31

21 1 3 1 1 6

1

§ §

§,,1

6

Continuação dos cálculos auxiliares:

+

1–+

Cálculos auxiliares:x2 – 4 > 0 § x < –2 ⁄ x > 2

x2 – 4 = 0 § x2 = 4 § x = ±2

x + 1 > 0 § x > –1

+

–2 2–+

Cálculo auxiliar:

x x x

x

2 5 01 1 4 5

2 – –

– (– )

= =

±

=

×§

§

1 21

2

±

+–

+

1 21

2

– 1 21

2

+

x x x

x

2 1 01 1 4 1

2

1

+ + = =±

=

×

– –

–

§

§ –± 3

2Equação

impossível em �

� ��

y = x – 1

y = x2 + x + 1

b)

1 ___________ 1000 anos 0,504 _______ x x = 504

A idade das sepulturas era de 2504 anos, aproxima-damente.

24. A(p) = –0,52 + 0,55 ln p, e2,3 ≤ p ≤ e4,1

1,3 m corresponde a 130 cm.

a)

b)

A(2p) – A(p) ≈ 0,38 A(2p) ≈ A(p) + 0,38 Quando o peso duplica a altura aumenta 38 cm,

aproximadamente.

25.a) D(0) = 12 e–0,07 × 0 = 12 e D(2) = 12 e–0,07 × 2 ≈ 10,432 A densidade populacional no centro desta cidade é

de 12 milhares de habitantes por km2; e a 2 km docentro a densidade populacional é de, aproximada-mente, 10,432 milhares de habitantes por km2.

b)

Temos de percorrer, aproximadamente, 9,9 km docentro da cidade.

c)

26. Q(t) = 12 + log3 (81 – kt2), t ∈ [0,20] Q(0) = 12 + log3 (81) = 12 + 4 = 16 l → quantidade

de combustível, em litros, existente no depósito noinstante inicial.

27. T(h) = Ta + (37 – Ta) (0,6)h

a)

Choveu há 2 horas e 43 minutos aproximadamente.

b)

Quando h → +∞, a temperatura do corpo da vítimatende a aproximar-se da temperatura do ar noambiente onde se encontra o corpo.

28.

a)

1 3 0 52 0 55

1 3 0 52 0 55

, – , , ln

, , ,

= +

+ =

p

§ lln , , ln

,

, ln

p p

p

§

§

1 82 0 55

1 82

0 55

=

= §§

,

,p e

p

=

≈

1 82

0 55

27 kg

A p A p p( ) – ( ) – , , ln ( ) –

– (– ,

2 0 52 0 55 2

0

= +

552 0 55

0 52 0 55 2 0

, ln )

– , , ln ( )

+

= + +

p

p ,, – , ln

, [ln ( ) – ln ]

52 0 55

0 55 2

0

p

p p=

= ,, [ln ln – ln ]

, ln

55 2

0 55 2

0

+

= ×

≈

p p

,,38

D e

e

( )

– ,

– ,

x x

x

= =

=

12

212 6

1

2

0 07

0 07

§

§ § –– , ln

ln

– ,

0 071

21

20 07

x

x

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§ § ,x ≈ 9 9

D

D

e

e

( )

( )

– , ( )

– ,

x

x

x

x

+=

+1 12

12

0 07 1

0 07

== = + – , – ,

– ,

– , – , e

ee

0 07 0 07

0 07

0 07 0 07x

x

x ,

– , ,

0 07

0 07

x

x= ∀ ∈e �

Q

k

( )

log ( – )

20 14

12 81 400 143

=

+ × =§

§ llog ( – ) –

– 3

81 400 2 81 400 9

81

k k= =§

§ 99 400 72 400

72

4000 18

,

= =

= =

k k

k k

§

§ §

25 21 37 21 0 6

25 21 16

( – ) ,

= + ×

= + ×

h

§ 00 6

4 16 0 61

40 6

0

,

, ,

log,

h

h h§ §

§

= × =

=h66

0 25

2 714

( , )

,h ≈

lim ( – ) ( , )

( h a a

h

a

T T

T→ ∞

+ ×⎡⎣

⎤⎦

= +

37 0 6

37 – ) lim ,

( – )

T

T T

a h

h

a a

×

= + × =→ ∞

0 6

37 0 TTa

Cálculo auxiliar:h min1 –––––––––––––––– 600,714 ––––––––––– xx = 0,714 × 60x ≈ 43 minutos

10100

0 42

, ( – ) m M d=

10100

100 4 1 44 1 452

0 4 2 89, (– , – , ) , (– , = ×d§ ))

– , ,

=

× = =

d

d d

2

2 1 156 2 0 844 2

10010 10 10§ §

§ dd d d

d

,

, ,= > =

≈

10 0 10

3

0 844 0 422pois §

parsec

q t

t t

( ) ,

, , , ,

=

× = =

11 3

15 3 0 886 11 3 0 886§ §111 3

15 3

11 3

15 3

2

0 886

,

,

log,

,

,

,§ t

t

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≈ 5504


b)

29.

a)

A magnitude do terramoto de São Francisco de1906 foi de, aproximadamente, 8 na escala de Rich-ter.

b)

A energia libertada pelo terramoto da Índia de 1993foi de 1014 joules.

c) E = 4,2 × 1017, logo a sua magnitude foi de

na escala

de Richter; logo a sua intensidade será I:

Assim, a intensidade do terramoto de Lisboa de1755 foi de 7 × 108.

30.

a)

Foi em 1963.

b)

31.a)

R ( , ) log ,

,5 96 10

2

3

5 96 10

1016

16

4 4× =

×⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟ ≈ ,8 25

R E

E

E

( ) ,

log ,

log

,

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

6 4

2

3 106 4

4 4§

§110

9 6

1010

10

4 4

4 4

9 6

4

,

,

,

,

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=

=

§

§

E

E ,, ,

4 9 6

14

10

10

×

=§ E

R( , ) log ,

,4 2 10

2

3

4 2 10

1017

17

4 4× =

×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≈ ,8 815

10100

0 410

0 42

2

, ( – )

, ( – ) log

m M d

m Md

=

=§00

0

100

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ >

=

⎛

⎝⎜

⎞

– log

‹

§

d

m M

d⎠⎠⎟

>

= ×

0 40

10

4 100

2

,

– log

‹

§

d

m Md⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ >

= ×

– log ( )

‹

§

d

m M d

0

5

22 – log

– l

100 0

5

22

⎡⎣ ⎤⎦ >

=

‹

§

d

m M oog –

– log

d d

m M

2 0

5

⎡⎣ ⎤⎦ >

=

‹

§ dd d

M m d

–

– log

5 0

5 5

‹

§

>

= + ‹‹

‹§

( – log )

d

M m d d

>

= +

0

5 1 >> 0

RI

I

I

ln

ln

, ln

ln ln ,

=

=

=

10

8 81510

8

§

§ 8815 10

653 130 552

8 815 10

ln

, ln § I e

I

=

≈ ,,6

I te

p e

kt

kt( )

=

+

3

1

I te

p e

I te

t

t( )

( ) ,

,

,

,

=+

=

3

1

2 53

0 5

0 5

0

§55

0 5

0 5

0 5

12 5

3

12 5

t

t

t

t

ee

e

,

– ,

,

,

,

+=

+§ ==

+=

– , – ,

, ,

,

0

3 2 5 2 5

1

0 5 0 5

0 5§

e e

e

t t

t00

0 5 2 5

10

0 5

0 5

0 5

0 5

§

§

, – ,

,

,

,

,

e

ee

t

t

t

+=

–– , ,2 5 0 1 00 5= + ≠‹ e t

Condição univerrsal em

, , ,, ,

�

� ��

§ §0 5 2 520 5 0 5e et t= =

55

0 50 5 5 2 5

2

, , ln ln

ln

§ §

§

t t

t

= = ×

= 55

3 219t ,≈

0 1 2 3 4 5 6

1963

3,219

I

e

p e

e

p e

k

k

k

k

( )

–

1 1

3

11

3

1

=

+=

+§ §

– –

( –

1 0

3 1

10

3

=

+=§

§

e p e

p e

p

k k

k

)) – e p ek k1 0 1 0= + ≠‹Condiçãouniveersal

� ��

§

§

§

( – )

–

3 1

1

3

p e

ep

k

k

k

=

=

= lln –

ln ( – )

–l

–

1

3

3 1

p

k p

k

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

=

§

§ nn ( – )

–

3

3 1

p

A e B= =

f

Df

( ) – log ( – )

{ : –

x x

x x

= +

= ∈

2 2 7

2 7� >> = ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ = } – , ' –0

2

71D

f


Cálculo auxiliar:

2 7 0 7 22

7 – – – x x x> > <§ §

b)

Assim,

c)

32. y1 = 3 – ex – 1

y2 = log (x + 4) + 1

A(2,1; 0), B(–3,9; 0), C(1,2; 1,7)

• Base ˚[ABC] = 2,1 – (–3,9) = 6

• Altura ˚[ABC] = ordenada de C = 1,7

33.a) t = 0, p(0) = 0,89(0,01 + 0,99 × 0,85°) = 0,89 Segundo este modelo, a probabilidade de um indi-

víduo recordar a sequência imediatamente apóster sido mostrada é de 89%.

b)

São necessários, aproximadamente, 3,6 segundos.c) p(t) > 0,6 y1 = 0,89 (0,01 + 0,99 × 0,85t) y2 = 0,6

A probabilidade é superior a 60% durante aproxima-damente, 2,46 segundos.

34. C(t) = t × 1,05–At

a)

b) C(t) = t × 1,05–2t

10,2 horas = 10 horas + 0,2 hora 0,2 × 60 = 12 min

10 10

10 10

2 2 7

2

f ( ) – log ( – )

– log

x x=

= ×

+

(( – )

( – )

–

,

2 7

1

1002 7

2 7

100

x

x

xx

= ×

= ∀ – , ∈ ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

2

7

C.S. – , – , – , = +∞⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢∩ ∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ =

8

7

2

7

8

7

22

7

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

f – : – ,

–

1 2

72 10

7

�

→ ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

xx + 2

Assim, e + 2

f Df

– ( ) –

.–

1 2 10

71x

x

= = �

– log ( – )

log ( – )

2 2 7

2 7 2

+ =

= +

x y

x y§

§§

§

§

x

x

x

y

y

2 7 10

7 10 2

2

2

–

– –

=

=

=

+

+

22 10

7

2 – y +

f( ) –

– log ( – ) –

log (

x

x

≤

+ ≤

1

2 2 7 1

2

§

§ –– )

–

–

7 1

2 7 10

7

x

x x

x

≤

≤ ∈§ ‹

§

Df

– ,

–

≤ ∈ ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

≥

82

78

7

‹

§ ‹

x

x – , x ∈ ∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

2

7

y1 y2

O x

y

C

B A

AABC[ ]

,

,=×

=6 1 7

25 1

p tt

( ) ,

, ( , , , ) ,

=

+ × =

0 5

0 89 0 01 0 99 0 85 0 5§

§§

§

, , , ,

,

,

0 01 0 99 0 850 5

0 89

0 85

50

8

+ × =

=

t

t 990 01

0 990 85

1637

2937

0 85

– ,

, ,

log ,

§

§

t

t

=

=11637

29373 6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈§ ,t

O

0,6

0,89

2,46

1

1 2

p (t)

t

C A( ) , , ,

,

–

–

6 1 86 6 1 05 1 86

1 05

6

6

= × =×§

§ ×× = =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

,

, – log

,

A A

A

1 86

66

1 86

61 05§

§ log

,

–

,1 05

1 86

66

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≈A

O

3,8

C

10,2

C (t) = t x 1,05-2t

tO

3,8

C

10,2

C (t) = t x 1,05-2t

t


Recorrendo à calculadora gráfica, descobrimos quea concentração de Stopdor é máxima 10,2 horasapós a administração do medicamento. Assim, oTobias, tendo tomado o Stopdor às 8 horas, devia tertomado o 2.o medicamento às 18 h 12 min (8 h + 10 h+ 12 min) e não às 15 horas como tomou. Conclui--se, assim, que não cumpriu com as recomendaçõesdo médico.

35. Observe-se que se trata de uma progressão geo-métrica de razão 1,01 e a soma de n termos é dada

por

Assim:

Como log1,01(10 001) ≈ 925,6 e n∈�, é necessáriosomar 926 termos desta progressão.

36.a)

b)

Consideremos a mudança de variável ex = y. Então:

Substituindo y por ex vem que: ex = 3 ⁄ ex = 1 § x = ln 3 ⁄ x = 0 C.S. = {ln 3, 0}

c)

d)

Consideremos a mudança de variável ex = y, tem-seque:

Substituindo y por ex:

e)

Consideremos a mudança da variável ex = y, vemque:

Substituindo y por ex, vem:

Sn

n n

– ,

– ,

– ,

– ,= × =

1 1 01

1 1 011

1 1 01

0 01

Sn

n

– ,

– ,

>

>

1 000 000

1 1 01

0 011 000 000§

§ – , –

– , –

,

1 1 01 10 000

1 01 10 001

1

n

n

<

<§

§ 001 10 001

10 0011 01

n

n

log ( ),

>

>§

10 3 30 3 0

10 3

3 2 1

3 2

–

× × =

×

+ +

+

x x

x§ == × ×

= +

+

+ +

10 3 3

3 3 3 2

1

3 2 2

x

x x x§ §

{ }

= +

= =

=

x

x x

2

2 0 0

0

§ §

C.S.

e e e e

ee

x x x x

x

x

– – –

–

– –4 3 3 4 0

3

= + =

+

§

§ 4 0=

yy

y y

y

y y

– –

–

+ =+

=3

4 04 3

0

4

2

2

§

§ ++ = ≠

=± ×

–

3 0 0

4 16 4 3

2

‹

§

y

y

‹

‹§

§

y

y y

y

≠

=±

≠

=

0

4 2

20

3( ) › ‹y y= ≠1 0

9

23

9

23 0

9

1 1

–

– – – – +=

+=

e ex x§

§–– –

– – –

– –

–6 3

20

3 31

1

e

e

ex

x

x

+= §

–

– –

– –

–

1

1

1

20

3 3 0+

=

=e

e

x

x§ ‹ – – 2 01+ ≠e x

Condição universal em ��

§

§

§

– – l

– –

– –

3 3

1

1

1

1

e

e

x

x

x

=

=

= nn

–

–

{– }

1

0 1

1

1

§

§

x

x

= +

=

=C.S.

e e

e e

2

2

2 8

2 8 0

x x

x x

+ =

( ) + =

– §

y y

y

y

2 2 8 0

2 4 4 8

2

+ =

=± ×

–

– – (– )

§

§ ==±

= =

–

–

2 6

22 4§ ›y y

e ex x= = –2 4›Equação

impossível em �

��

§ ln

{ln }

x =

=

2

2C.S.

e e e

e e e

e

3 2

2

6 5

6 5 0

x x x

x x x

x

– –

( – )

=

+ =§

§ == ( ) – 0 62

Equaçãoimpossível

em �

� › e ex xx

x x

+ =

( ) + =

–

5 0

6 5 02

§ e e

y y

y

y

2 6 5 0

6 36 4 5

26

–

–

+ =

=±

=

×§

§

±

= =

4

25 1§ ›y y

e ex x

x x

= =

= =

ln

5 1

5 0

›

§ ›

C.S.. {ln , }= 5 0


37.

a)

C.S. = ]–∞, –V√3] » ]0, V√3]

b)

c) x3 ex ≤ 27ex

§ x3 ex – 27 ex ≤ 0 § ex (x3 – 27) ≤ 0 § x3 – 27 ≤ 0, pois ex > 0, Ax ∈ �

§ x ≤ 3

C.S. = ]–∞, 3]

d)

38.a) D = {x ∈ �: x2 – 7x + 12 > 0} = { x ∈ �: x < 3 ⁄ x > 4} = ]–∞, 3[ ∪ ]4, +∞[

3 27 3 3

3 30

1 3x x x x

xx

xx

–

≤ ≤

≤ ≤

§

§ § § –

x

x

2 30≤

Cálculo auxiliar:x2 – 3 = 0 § x2 = 3 § x = ± √∫3

10 10

2 8

2

2 2 8

2

2

x x

x x

x x

–

+ ≤

+ ≤

+

§

§ 88 0 ≤

4 2

4 2

–

[– , ]

≤ ≤

=

§ x

C.S.

e e e e4 3 1 4 3 13 3 0x x x x – – – – –

≤ ≤§

§ ee e e

e e

x x

x

( – )

– ,

– –

– –

3

3

3 1

3 1

3 0

3 0

≤

≤§ ppois 3 3

e

e e e

x

x x

x> ∀ ∈

≤

,

– –

0

33 1

�

§ § –– ln ( )

–

– ln ( ) –

–3 3

1

1

3 3

≤

≤

e

e

e

§ §3 3x x 33 3

3 3 1

1≤ +

≤ ≤

ln ln ( )

– ln –

–e

§ §3 3x x ln

ln

– , ln

3 2

3

3

2

33

+

≤ +

= ∞+

§ x

C.S.22

3

⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥

x x x x

x x x

log ( – )

log ( – 6

2

6

2

7 12

7 12

+ =

+§ )) –

[log ( –

x x

x x x

= ∈

+

0

7 126

2

‹

§

D

)) – ]

[ log (

1 0

06

= ∈

=

‹

§ ›

x

x

D

xx x x

x

2 7 12 1 0

0

– ) – ]

[

+ = ∈

=

‹

§

D

log ( – ) ] › ‹6

2 7 12 1x x x+ = ∈ D


+–

+

– 3 3

x –∞ –√∫3 0 √∫3 +∞

x2 – 3 + 0 – – – 0 +

x – – – 0 + + +

– x

x

2 3 – 0 + n.d. – 0 +

Cálculo auxiliar:

x x

x

x

2 2 8 0

2 4 4 8

2

+ =

=±

=

×

–

– – (– )

§

§ –

–

2 6

24 2

±

= =§ ›x x

+

–4 2–+

Cálculo auxiliar:

x x x x3 3 327 0 27 27 3– = = = =§ § §

1 0 0 –27

3 3 9 27

1 3 9 0 = r

Cálculo auxiliar (cont.):

x x x x

x x

3 2

2

27 3 3 9

3 9

– ( – ) ( )

= + +

+ + = 003 9 4 9

2

3 27

2

– –

– –

§

§

x

x

=± ×

=±

Equaçção impossível.

x –∞ 3 +∞

x – 3 – 0 +

x2 + 3x + 9 + + +

(x + 3) (x2 + 3x + 9) – 0 +

Cálculo auxiliar:

x x

x

x

2 7 12 0

7 49 4 12

2

–

–

+ =

=± ×

=

§

§

7 1

24 3

±

= =§ ›x x

+

3 4–+


b) D = {x ∈ �: |x + 1| – 3 > 0}

= ]–∞, –4[ ∪ ]2, +∞[

log2 (|x + 1| – 3) = 1 § log2 (|x + 1| – 3) = log2 2 ‹ x ∈ D § |x + 1| – 3 = 2 ‹ x ∈ D § |x + 1| = 5 ‹ x ∈ D § (x + 1 = 5 ⁄ x + 1 = –5) ‹ x ∈ D § (x = 4 ⁄ x = –6) ‹ x ∈ D C.S. = {4, –6}c) D = {x ∈ �: x > 0} = �+

Consideremos a mudança de variável log3 x = y.Então:

Substituindo y por log3 x, tem-se que:

39.a)

b)

§ [[ log ( – ) log ] x x x= + =0 7 12 66

2

6› ‹‹

§ ›

( – )

x

x x x

∈

= + =

D

0 7 12 62

( – )

‹

§ ›

x

x x x

∈

= + =

D

0 7 6 02

–

‹

§ ›

x

x x

∈

= =± ×

D

07 49 4 6

22

07

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ∈

= =±

‹

§ ›

x

x x

D

(

5

20 6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

= =

‹

§ ›

x

x x

D

)

{ , , }

› ‹x x= ∈

=

1

0 1 6

C.S.

D

Cálculo auxiliar: |x + 1| – 3 > 0 § |x + 1| > 3§ x + 1 > 3 ⁄ x + 1 < –3§ x > 2 ⁄ x < –4

log – log

log – log

3

2

9

3

2

3

5 1 0

5

2

x x

x x

+ =

§ + = ∈ +1 0 ‹ x �

y y y y

y

2 25

21 0 2 5 2 0

5

– –

+ = + =

=±

§

§ –

25 4 2 2

4

5 3

4

2

× ×=

±

=

§

§ ›

y

y y =1

2

log log

3 32

1

2x x x

x

= = ∈ +›

§

‹ �

== =( ) ∈

= {+

,

9 3

9 3

› ‹x x �

C.S. }}

D { : = ∈ + >x x� 2 3 0Condição universal

em��

� ��

� �

}

{ :

‹ x

x x

+ >

= ∈ ∈

1 0

‹‹ – }

]– , [

x >

= +∞

1

1

log ( ) log ( )

log ( ) 2

2

2

2

2

3 2 1

3

x x

x

+ < + +

+§ << + + ∈ log log ( )

log (2 2

2

4 1x x

x

‹

§

D22

22

3 4 4

3

+ < + ∈

+ <

) log ( )

x x

x

‹

§

D

– –

4 4

4 1 02

x x

x x x

+ ∈

<

‹

‹§

D

–

∈

< < + ∈

=

D

D§ ‹2 5 2 5x x

C.S. – , 2 5 2 5+⎤⎦ ⎡⎣

D : – – – = ∈ > >{ }x x x x� 2 2 0 2 0‹

= ∈ < > >{ } : ( – ) x x x x� 1 2 2› ‹

== +∞ ] , [2

log ( – – ) – log ( – )

log ( –3

2

3

3

2

2 2 1x x x

x

>

§ – ) log ( – )

log

x x2 1 23

> + ∈‹

§

x D

33

2

3 32 3 2( – – ) log log ( – ) x x x> + ‹ x

log ( – – ) log – )

∈

>

D

§ ‹3

2

32 6x x x(3 x ∈ D

Cálculo auxiliar:

log log

log

log9

3

3

3

9 2x

x x= =

Cálculo auxiliar:

x x x

x

2 4 1 04 16 4

2

4 2

– –

= =± +

=±

§

§00

2

4 2 5

2

2 5

§

§

x

x

=±

= ±

+–

+

2 5 – 2 5 +

Cálculo auxiliar:

x x x

x

2 2 01 1 4 2

2– –

– (– )

= =

±

=

×§

§11 3

22 1

–

±= =§ ›x x

+

–1 2–+

40.a) f(ln 3) = 1 – e1 + 2 ln 3 = 1 – e × e2 ln 3

= 1 – e × eln 32

= 1 – e × 32

= 1 – 9e

b)

Assim,

c)

41.a) f(x) = log2 (x2 – 3x + 2) Df = {x ∈ �: x2 – 3x + 2 > 0}

= {x ∈ �: x < 1 › x > 2} = ]–∞, 1 [ ∪ ]2, +∞[

Dg = {x ∈ �: x > 0 ‹ 1 – log7 x ≠ 0} = ]0, +∞[ \ {7}

Dh = {x ∈ �: x + 1 > 0 ‹ 1 – 2x ≠ 0}= ]–1, +∞[ \ {0}

b)

Equação impossível, logo g não tem zeros.

O ∉ Dh, logo h não tem zeros.

– – –

x> ∈ D§ ‹

§

x x x

x

2

2

2 63

––

(

4 4 0

2

x

x x

+ > ∈

< >

‹

§ ›

x D

22) ‹ x ∈

= ∞

D

C.S. ]2, + [

D D

f e

e

f f '

( ) –

–

–

= =

= +

+

� 1

1

1

1 2

1 2

x x

x ==

=

=

+

+

+

–

y

– y

y

x

x

§

§

§

e

e

1 2

1 2 1

1

– 1

22 1

1

2

x y

xy

=

=

ln ( –

ln ( –

)

) – 1§

f – ( ) ln ( –

.1 1

2x

x=

) – 1

D

ff – { : – } ]– , [

: ]– ,–

1 1 0 11

= ∈ > = ∞

∞

x x�

[

ln ( –

1

1

2

→ �

xx) – 1

D g

gh { : ( ) }

( )

log (

= ∈ ≥

≥

+

x x

x

x

� 0

0

22

§ –– )

log ( – ) –

– –

2 0

2 2

2 22

2

≥

≥

≥

§

§

x

x ‹‹

§ ‹

§

–

x

x x

x

∈

≥ + >

Dg

1

42 2 0

≥≥ >

= +∞⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

, ,

9

42

9

4

‹ x

C.S. logo DDh= +∞⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢ , .

9

4

g( ) – log

xx

=1

17

Cálculo auxiliar:1 – log7 x = 0 § log7 x = 1 § x = 7

h( ) log ( )

– x

x

x=

+3

1

1 2

Cálculo auxiliar:1 – 2x = 0 § 2x = 1 § x = 0

f( )

log ( – )

–

x

x x

x x

=

+ =

+

0

3 2 0

3 22

2

2

§

§ == ∈

+ = ∈

1

3 1 02

–

‹

§ ‹

x

x x x

D

Df

ff

§ › ‹ = 3 – 5 3 + 5

x x2 2

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x

x x

∈

=

D

f

f

§ › = 3 – 5 3 + 5

te

2 2

mm 2 zeros: = 3 – 5

e3 + 5

x x2 2

=

g( )

– log

x

x

=

=

0

1

10

7

§

h( )

log ( )

–

log (

x

x

x

x

=

+=

+

0

1

1 20

1

3

3

§

§ ))

]

= ∈

= ∈

0 ‹

§ ‹

x

x x

Dh

+ 1 1 –– , [\{ }

]– , [\{ }

1 0

1 0

+∞

= ∈ +∞§ ‹x x 0

Cálculo auxiliar:


+

1 2–+

x x

x

x

2 3 2 0

3 9 4 2

22

–

–

+ =

=± ×

=

§

§ ›› x = 1

Cálculo auxiliar:

x x

x

x

2

2

4 4 0

2 0

2 0

–

( – )

–

+ =

=

=

§

§

§ xx = 2

+ +

2•

x2 – 4x + 4 > 0 § x < 2 ‹ x > 2

c)

Assim, f é negativa em e em

d)

Assim:

e)

42.

a)

O aumento foi de 3760 unidades, aproximadamente.

b)

c)

t ≈ 5,412 dias 5,412 dias = 5 dias + 0,412 dia 0,412 × 24 ≈ 10 horas

Às 10 h, aproximadamente, do dia 6 de julho.

43.

a)

b)

O pior momento da epidemia ocorreu aos 16,7 dias(aproximadamente) e a percentagem de doentes erade 64,5% (aproximadamente).

c)

f( ) log ( – )

–

x x xx x

< + <

+

0 3 2 0

3 22

2

2

§

§

–

< ∈

+ <

1

3 1 02

‹

§ ‹

xx x x

Df

∈∈

∈+⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

∈

–

,

]–

Df

§

‹

x

x

3 5

2

3 5

2∞∞ ∪ +∞, [ ] , [1 2

3 5

21

– ,

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

23 5

2,

.

+⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

D Dg g'

– log – log

l

–=

= =

1

1

11

7

7xy

yx§

§

1

oog – –

7

1

1 7xy

x y= =1

1

§

g e D Dg g

– –

( ) \{ }, ' –

11

1

7 01x x= = =� logo �� \{ }.0

f g h( ) ( ) ( )

log ( – )

0 49 2

0 0 21

12

+ +

= + +–– log

log ( )

–

–

7

3

249

2 1

1 2

11

1 2

++

= + ++ = + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

– (– ) – –

2

1 41 1

2

3

2

3

P t t

t

( ) , =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≥1200

3

20

P

P

( )

( )

0 12003

21200

7 12003

2

0

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=⎛⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

7

7

7 0 12003

21P P( ) – ( ) – 2200 3760

≈

P t

tt

( ) ,

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = ×

=

12003

21200 1 5

1200

2

ln ,ln ( , )

× ( ) = ×

=

×

e e

k

tt

1 5 2

1 5

21200

lln ( , )

,

( ) ,

1 5

20 203

1200 0 203

k

P t e t

≈

=

1200 3600

3600

1200

0 203

0 203

0 2

,

,

,

e

e

e

t

t

=

=§

§ 003 3

0 203 3

3

0 203

t

t

t

=

=

=

, ln

ln

,

§

§

t 0 1 2 3 4 5 65,412

01/07 02/07 03/07 04/07 05/07 06/07

P t e t t( ) , – ,= 0 5 0 015 2

P e( ) %, – , 0 10 5 0 0 015 0= =× ×

O

64,5

16,7

P (%)

t (dias)

y1= e

0,5 t - 0,015 t2

P t

e t

e

t t

( )

, – ,

<

< >

1

1 00 5 0 015 2

§ ‹

§ 00 5 0 015 02

0

0 5 0 0

, – ,

, – ,

t t e t

t

< ≥‹

§ 115 0 0

0 015 0 5 0

2

2

t t

t t

< ≥

+ <

– , ,

‹

§ ‹

t

t t

≥

< >⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0

0100

3§ › ‹ tt

t

≥

>

0

100

3§


Cálculo auxiliar:

x x

x

x

2 3 1 0

3 9 4 1

2

3

–

–

+ =

=± ×

=

§

§––

5

2

3 5

2› x = +

+–

+

3 5

2

– 3 5

2

+


A epidemia encontra-se erradicada após 33 dias e8 horas do início do estudo da epidemia.

d)

44.

a)

50 chimpanzés.

b)

t ≈ 2,027 anos 2,027 anos = 2 anos + 0,027 ano 0,027 × 12 = 0,324

Em janeiro de 2004.

c)

45. P(t) = a – b ert

Para que seja finito, então ,

ou seja, r terá que ser menor do que zero.

= +100

333

1

3dias dias diaa

1

3horas × =24 8

P e e( ) , – , – ,10 0 5 10 0 015 100 5 1 5= = =× × ee3 5 33, %≈

350

1 60

,

+<

ek

kt

t

ek

=

+=

+= =

×

0

350

1 6

350

1 6

350

750

0

k

e

e

t

– ,

– ,

–

=

+=

+

0 2

350

1 670

350

1 6

0 2

0§

,,

– ,

–

– –

2

0 2

70 0

350 70 420

1 6

t

te

e

=

+§

–– ,

– ,

– ,

–

0 2

0 2

0 2

0

280 420

1 6

t

t

t

e

e

=

+=§ 00

280 420 0 1 60 2 0 2§ ‹ – – , – ,e et t= + ≠≠

=

0

280 4

Condição universal em �

� ��

§ 220

280

4202

3

0 2

0 2

0 2

– ,

– ,

– ,

e

e

e

t

t

t

§

§

§

=

=

–– , ln 0 22

3t =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

ln

– ,

2

30 2

t

t

=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§

§ == ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ – ln 5

2

3

0 1

Janeiro Fevereiro

0,324 2 3

��

350

1 650

350

1 6350

1

10 2

1

+= +

+

=

e ek k

y++

= ++

6

50350

1 6

10

2 2

e

e

k

ky

O

y1

y

y2

350,0

109,2

-1,8 -0,1 k

P(0) = 6P(10) = 8lim ( )

tP t

→ +∞= 10 lim ( – )

t

rta b e→ +∞

= 10§

a – b e0 = 6a – b e10r = 8

��

��

lim t

rte→ +∞

= 0lim ( – ) t

rta b e→ +∞

Cálculo auxiliar:

– , ,

(– , , )

0 015 0 5 0

0 015 0 5 0

2t t

t t

+ =

+ =§

§ tt t

t t

– , – ,

= =

=

0 0 015 0 5

0

›

§ › ==

= =

,

,

0 5

0 015

0100

3§ ›t t

– 0 1003

+–

a – b = 6a – b e10r = 8a – b × 0 = 10

§

10 – b = 610 – b e10r = 8a = 10

��

��

10 – 6 = b–––––––––a = 10

§

b = 410 – 4 e10r = 8a = 10

��

��

b = 4–4 e10r = –2a = 10

§

b = 4

e10r = ½

a = 10

12

��

��

b = 410r = ln (0,5)a = 10

§

§

§

§

b = 4

r =

a = 10

ln (0,5)10

��

��


46.

a)

b)

c)

Unidade 3 – Teoria dos limites

Página 66

41.a) Seja e (xn) uma qualquer sucessão de

termos pertencentes a Df \ {0} tal que xn → 0.Assim:

isto é, f(xn) → –4, logo

b) Seja e (xn) uma qualquer sucessão de

termos pertencentes a Df tal que xn → +∞.

Assim:

isto é, f(xn) → 0, logo

42.

a) e (xn) uma qualquer

sucessão de termos pertencentes a Dg\{3} e maio-res que 3 tal que xn → 3+. Assim:xn → 3+

g(xn) → 7, logo

b)

e (xn) uma qualquer sucessão de termos pertencen-tes a Dg\{3} e menores que 3, tal que xn → 3–.Assim, xn → 3–

(xn)2 → 9(xn)2 – 2 → 7

isto é, g(xn) → 7, logo

c) Pelas alíneas anteriores logo

existe e

43.

a) Seja e (xn) uma qualquer sucessão

de termos pertencentes a Df\{2} tal que xn → 2.Assim:

isto é, f(xn) → –1, logo

b) Seja e (xn) uma qualquer sucessão

de termos pertencentes a Df tal que xn → +∞. Assim:

isto é, f(xn) → 2, logo

f( ) –

xx

=4

12

x

x

x

x

x

n

n

n

n

n

→

→

→

→

( )

( ) – –

( ) – –

( )

0

0

1 1

1

11

4

2

2

2

22 14

– –→

lim ( ) – . x

x→

=0

4f

f( )–

xx

=4

12

x

x

x

x

x

n

n

n

n

n

→+∞

→+∞

→+∞

→

( )

( ) –

( ) –

(

2

2

2

1

1

10

4

)) –

2 10→

lim ( ) . x

x→ +∞

=f 0

a b a b

b

b ab

a

b

b bln logln

log

ln

,

= ( ) =

=

pois log

ln ln

ln , log ln

×

×

= =

ba

ba

bb

b apoisaa

bb a

ln ln = c.q.d.

log log

log

log

ba

a a

aa

b b= =

1c.q.d.

log log log logn n

nn

n

n nn n

11

1

( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥=

11

3

3

3

1

n

n nnn

( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

� ��

log log –(( ) = – 3 c.q.d.

Seja g(x) =efg

x2 – 2 se x < 37 se x ≥ 3

lim ( ) . x

x→ +

=3

7g

Seja g(x) =efg

x2 – 2 se < 37 se ≥ 3

lim ( ) . –x

x→

=3

7g

lim ( ) lim ( ) , –x x

x x→ →+

= =3 3

7g g

lim ( ) . x

x→

=3

7glim ( ) x

x→ 3

g

f( ) – –

xx

= 23

1

x

x

x

x

x

n

n

n

n

n

→

→

→

→

→

–

–

–

– –

–

2

1 1

1

11

3

13

3

133

23

11 –

– –

xn

→

lim ( ) – . x

x→

=2

1f

f( ) – –

xx

= 23

1

x

x

x

x

x

n

n

n

n

n

→+∞

→+∞

→

→

–

–

––

– –

1

1

10

3

10

23

12→

lim ( ) . x

x→ +∞

=f 2

c) Seja e (xn) uma qualquer sucessão

de termos pertencentes a Df e maiores que 1, talque xn → 1+.

isto é, f(xn) → –∞, logo

44.a) Dh = {x ∈ �: 4 – x > 0} = ]–∞, 4[

b) Seja h(x) = V√4 – x e (xn) uma qualquer sucessão determos pertencentes a Dh tal que xn → 4.Como Dh = ]–∞, 4[, xn → 4–.Assim, xn → 4–

–xn → –4+

4 – xn → 0+

V√4 – xn → 0isto é, h(xn) →0, logo e como Dh= ]–∞, 4[,

então

45. A definição de limite segundo Heine permite afirmarque se a toda sucessão (xn) de termos

pertencentes a Df \{1} a tender para 1 correspon-der uma sucessão f(xn) de imagens da função atender para 3.No entanto, no enunciado é apenas referido queexiste uma sucessão de números reais convergen-tes para 1 e tal que lim f(un) = 3, o que não é sufi-ciente para afirmar que

46.a) , un → –1–

Por observação do gráfico, quando uma sucessãode objetos tende para –1 por valores à sua esquerda,verificamos que a sucessão das respetivas imagenstende para 3.Opção (C)

b) Pretende-se o termo geral de uma sucessão de

objetos (vn) cuja sucessão de imagens por f tende

para +∞.

Por observação do gráfico, sabe-se que (vn) terá de

tender para 1+.

Na opção (A): n2 → +∞

Na opção (B): –n2 → –∞

Na opção (C): 1 + → 1+

Na opção (D): 1 – → 1–

Opção (C)

47.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

48.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

49.

a)

b) Não existe pois

f( ) – –

xx

= 23

1

x

x

x

x

x

n

n

n

n

n

→

→

→+∞

→+∞

+

+

–

–

–

––

1

1 0

1

1

3

1

3

1→→ ∞

→ ∞

–

– –

–23

1xn

lim ( ) – . x

x→ +

= ∞1

f

Cálculo auxiliar:4 – x > 0 § –x > –4 § x < 4

lim ( ) –x

x→

=4

0h

lim ( ) . x

x→

=4

0h

lim ( ) x

x→

=1

3f

lim ( ) . x

x→

=1

3f

un n= – – 1

12

1n

1n

lim ( – ) – – – –x

x x x→

+ + = + =1

3 24 5 2 4 1 5 2 ––10

lim ( – ) –x

x→ ∞

= +∞2 3

lim

–

–

–

–x

x→ ∞

+=

∞= +∞

3 3

2 2

lim –

x

x

x→= =

0 7

0

70

lim

x

xx→ +∞

+=

+

+∞=+∞

=

1

4

30 3 0

0

lim – –

–

–

x

x

x→= = =

5

2

3 9

10

3 4

10

3 2100

lim ( ) ( ) lim ( ) lim x x x

x x→ +∞ → +∞ →

+ = +f g f++∞

= +∞ + = +∞g( ) x 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim – – –x x x

x x→ ∞ → ∞ → ∞

× = ×f g f gg( ) – – x = × =2 3 6

lim ( ) lim ( )

lim

–

–

x

x

x

xx

→

→

→

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

4

4

4

f

g

f

––( )

g x

=+∞

=2

0

lim ( ) lim ( ) (– ) – –x x

x x→ ∞ → ∞

( ) =( ) = =f f2 2

22 4

lim ( ) lim ( ) – – x x

x x→ →+ +

= = ∞ = ∞4

3

43

3g g

lim ( ) lim ( ) x x

x x→ →

= = =3 3

0 0f f

lim ( ) lim –

–

– –x xx

x

x→ → ++ +=

+=

1 1

5 4

1

9

0f == ∞

=+→ →

–

lim ( ) lim –

– –– –e

x xx

x

x1 1

5 4

1f == = +∞

–

–

9

0

lim ( ) lim ( ). – – –x x

x x→ →+

≠1 1

f flim ( ), –x

x→ 1

f


50.a)

b)

51.

a)

b)

c)

d)

e)

Cálculo dos limites laterais em x = 2:

•

•

Como não existe e,

portanto, não existe

f)

g)

h)

52.a)

b)

c)

d)

•

•

Como conclui-se que não existe

53.

a)

b)

c)

d)

lim –

– lim

– x x

x

x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→=

3

2

0

0

3

9

4 12

( 33 3

4 3

3

4

6

43

) )

( – ) lim

(x

x

xx

+=

+=

→==

3

2

lim –

–

lim x x

x x

x x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

+

+

=2

2

2

0

05 6

5

21

→→ ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

( – ) – )

( – ) –

2

3 2

21

2

x x

x x

(

llim –

–

–

– x

x

x→

= =2

3

1

2

1

3

2

2

3

lim –

– lim

x x

x x

x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→

+=

2

2

0

0

2

5 6

2

( x

xx

x

– ) – )

–

lim ( – ) –

3 2

23 2

2

(

= =→

33 1 –=

lim –

– lim

x x

x x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→

+

( )=

2

2

3

0

0

2

5 6

2

(( (

(

x x

x

x

xx

– ) – )

– )

lim –

( –

3 2

2

3

3

2=

→ )

– –

2

1

02= = ∞

+

lim –

– lim

x x

x x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→

+

( )=

2

2

2

0

0

2

5 6

2

(( (

(

x x

x

x

xx

– ) – )

– ) lim

–

–

3 2

2

32 2

=→ 2

lim –

–

– –

x

x

x→ ++= = ∞

2

3

2

1

0

lim –

–

–

––x

x

x→= = +∞

2

3

2

1

0

lim –

– lim

–

– ,

–x x

x

x

x

x→ →+≠

2 2

3

2

3

2

lim –

– .

x

x x

x→

+

( )2

2

2

5 6

2

lim –

– x

x

x→ 2

3

2

lim – –

li

( ( ))

xx

x→

× ±∞

( ) ×⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

1

30

11

1mm

– x

x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=1

3

0

01

1 –

lim ( ) lim –

–

x xx

x→ +∞ → +∞=

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+∞f

3

1

32

lim ( ) lim –

–

=

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞ → +∞

0

23e x x

x xx

g – – = +∞+∞

= +∞ = +∞2

0

lim( )

( )

lim ( )

lim (

x

x

x

x

x

x

x→ +∞

→ +∞

→ +∞

=f

g

f

g ))

lim( )

( )

lim

–

=+∞

=

=→ +∞

→ +∞

00

ex

xx

x

g

f

g(( )

lim ( ) –

–

x

xx→ +∞

=+∞

= ∞f 0

lim ( – ) (

x

x→

=1

1 xx x

x

x xx

2

1

2

1

1

1

3

+ +

=+ +

=→

)

lim

– ( – 1)

– –– –

13=

lim

lim ( x x

xx

x

x

x→

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→+=

0

2

0

21

2 1 2xx

x

xx ) lim

+=

+= =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→1 2 1

0

10

0

0

0

lim – lim –

( – )

x xx x

x→

+∞ ∞

→+ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

0 2 0

1 1

– –

1

1

0

2

0

0

x=

= = ∞

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

+

lim ( ) lim ( ) – x x

x x x→ →

= =2 2

42 6f 4 –3 + 1 ++ = 1 11

lim ( ) lim ( ) l

( – )

x xx x x

→ +∞ → +∞

+∞ ∞

= =f 4 –3 + 1 iim x

x→ +∞

= +∞4

lim ( ) lim ( ) lim – –

( – )

x x xx x x

→ ∞ → ∞

+∞ ∞

→= =f 3 –

–– –

∞= ∞x3

lim ( ): x

x→ 0

f

lim ( ) lim ( ) – –x x

x x x→ →

= =0 0

0f 3 –

lim ( ) lim ( ) x x

x x x +→ →+ +

= =0 0

1f 4 – 3 1

lim ( ) lim ( ), –x x

x x→ →

≠+0 0

f f

lim ( ). x

x→ 0

f

lim –

–lim

– x x

x

x

x

x→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞=

⎛8 9 8

4 ⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

→ +∞ lim (– ) –

x8 8

lim–

lim – –x x

x x

x→ ∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+=

2 7 12

2 – 1 ∞∞ → ∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

22 2

x

x x

2

2 lim

–

lim

lim – –x x

x x

x→ ∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+ +=

3 5 1

3 – 2 ∞∞ → ∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = = +∞

x

xx

x

3

2– lim (– )

–

lim–

lim li x x

x

x

x

x→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞= =

2

3 1

2

3mm x x→ +∞

=+∞

=1 1

0

Cálculo auxiliar:

1 0 0 –1

1 1 1 1

1 1 1 0 = r


54.

a)

b)

c)

55.

56.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

57.

a)

Assim,

b)

•

•

Como não existe

lim

lim –

( )

x x

x

x x→ ∞

±∞ ×

→+×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2 0

3 1

1––

–

lim

∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

+=

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

x x

x

xx

2

2

2

2

3

3 lim

–=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

→ ∞x

1

3

1

3

lim

lim – –x x

x

xx

x

x→ ∞

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→ ∞

+

+

=

4

1

2 1

42

2

4

0

0 x

x x

x

× +

+=

=

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

(2

8

4

2 2

1

1

)

( )

lim –

xx x

x x

x

xx

x x

5

4 2

5

4

4+

+= = =

→ ∞ → ∞

lim lim

– –

88 –– ∞

lim

( ) l

( ( ))

x

x

xx

→ +∞

× ±∞

+× +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

2

0

12 iim

lim

x

x

x x

xx

x

→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

+

+=

=

2

2

2

2

1

221 1 lim

= =

→ +∞x

lim –

– lim

– x x

x

x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→=

3

0

0

3

3

3

3( ))

–

lim – )

x

x x

xx

+( )( ) +( )

=→

3

3 3

33

(

–

lim – )

x

x

x xx

+( )( ) ( )

=+

→

3

3

3 32 2 3

( (( )

= +( ) = + =→

x

xx

–

lim

3

3 3 2 33

3 c..q.d.

lim –

lim

( – )

x

x

x x

x

→ +∞

+∞ ∞

→ +∞

+ +( ) =

=

2 21 2

22 2 2 2

2 2

1 2 1 2

1

+ +( ) × + + +( )+ +

–

x x x

x x ++

=+( ) +( )+ +→ +∞

lim –

2

1 2

1

22

22

2 2x

x x

x x ++

=+

+ + +

=

→ +∞

lim – –

21 2

1 2

2 2

2 2x

x x

x x

llim–

–

( )

– x x x→ +∞ + + +

=+∞ + +∞

=1

1 2

1 12 2 ++∞

= 0

lim – –

lim

x

x

x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→

=

=

5

0

0

5

2 1

2

2 – 25

– – – x x

x x

1 2 1( ) × +( )×( – 25) 2 + –2 1

– 252

( )

=( )

+→

lim – –

( ) – x

x

x x5

22

2 1

2

lim –

( ) –

14 1

2 15

( )=

+

+(→x

x

x x2 – 25 ))

=+→

lim –

( ) ( ) – x

x

x x x5

5

2 1– 5 + 5 (( )=

+→

lim – ( – )

( ) ( ) x

x

x x x5

5

2– 5 + 5 –

lim –

( ) –

–

11

2 15

( )=

+( )=

→x x x+ 5

11

2 4

1

40( )

–

5+5 +( )=

lim –

– lim

– x x

x

x x

x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→=

2 2

0

0

2 2

2

2

2

–– lim

–

( – )

lim

2

2

2

1

2

2

x

x

x x

x

x

x

=

=

→

→== = =

1

2

1

2

2

2

lim lim lim x x x

x

x

x

x x

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→ →+ + +=

( )=

0

0

0

0

2

0 xx x

xx= = = +∞

→ ++lim

0

1 1

0

lim –

lim

( ( ))

x xx

x x→

× ±∞

→+×

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

0

01

–

lim

–

0

0

0

0

+

+

=

=+( )

( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→

x

x x

x x x

x xx

lim

–

lim

× +( )

=+( )

( )=

→ →+

x x

x x x

x xx x0 2

2

–

lim

–

0 2

0 1

0

+

+

+( )

=+

=→

x x x

x x

x x

xx

++=

–

0

1 00

lim ( – ) lim –

( – )

x

x x

x

xx

→ +∞

+∞ ∞

→ +∞=2 5 2 1

5

2xx

x

x

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= ×⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

→ +∞lim –

2 1

5

2⎝⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= +∞ × +∞ = +∞ ×

( – ( )) (1 –– ) –∞ = ∞

|x – 3| =efg

x – 3 se x – 3 ≥ 0–x + 3 se x – 3 < 0

efg

x – 3 se x ≥ 3–x + 3 se x < 3

=

lim| – |

– lim

–

– l

x x

x

x

x

x→ →+ += =

3 3

3

3

3

3iim .

x→ +=

31 1

|x – 2| =efg

x – 2 se x – 2 ≥ 0–x + 2 se x – 2 < 0

efg

x – 2 se x ≥ 2–x + 2 se x < 2

=

lim| – |

– lim

–

– l

x x

x

x

x

x→ →+ += =

2 2

2

2

2

2iim

–

–( – ) lim (– ) –

x x

x

x→ →+ += =

2 2

2

21 1

lim| – |

– lim

–

–

– –x x

x

x

x

x→ →=

+=

2 2

2

2

2

2llim

–

– lim

– –x x

x

x→ →

+

+= =

2 2

2

21 1

lim | – |

– .

x

x

x→ 2

2

2lim

| – |

– lim

| – |

– ,

–x x

x

x

x

x→ →+≠

2 2

2

2

2

2


c)

•

•

Como não existe

58.

a)

b)

c)

•

59.

a)

b)

c)

•

Como então não existe

60.

a)

b)

c)

Considerando a mudança de variável 3x = y, se x→ 0,então y→ 0.

d)

e)

Considerando a mudança de variável x – 5 = y, se x→ 5, então y→ 0.

|x| =efg

x se x ≥ 0–x se x < 0

lim | |

lim

x x

xx

xx ++ +

+=

+= = +

0 0

4 4 4

0

lim | |

lim –

– –– –x x

xx

xx

+= = =

0 0

4 4 4

0

lim | |

. x

xx+

0

4lim

| | lim

| |,

–x x

xx

xx+

+ +0 0

4 4

lim –

| |

lim x x

x xx

xx

x+ =

0

2 2

0

10 22

0

0

0

10

10

–

| |

| |

lim ( – )

xx

xx

x xx

+

=xx

xx x

lim lim ( – )

–

+ = +

=

0 01 10 1

10 ++ = – 1 9

lim | | –

–

–

– –

x

xx

= = =0 2

3

9

0 3

9 0

3

9 –

1

3

lim | | –

–

x

xx

=3 2

0

03

9

|x| =efg

x se x ≥ 0–x se x < 0

lim –

– lim

–

( x x

xx

x=

3 2

0

0

3

3

9

3

33 33

33

) ( – )

lim –

–( ) ( –

+

=+

x xx

x xx 331

31

6

3

)

lim –( )

–

=

+

=

x x

lim ( ) lim –

–

x xx x

x+ +

±

±

= =f2

4 +

( ) +( )+( )

=

lim –

( – ) x

x xx x

2 2

4 2

llim –

( – ) lim

x x

xx x+ +

( )+( )

=

222

4 2

+

+( )=

+=

–

( – )

lim

xx x

xx

4

4 21

2

1

++= 0

lim ( ) lim –

( – )

– –x xx x

x

±

±

= =f3

2

64

4= =lim lim –

– –x x

xx

x3

2

lim ( ) lim–

( – )

– –x xx x

x= =

4 4

3

2

0

064

4f

+ +lim

( – ) ( )

( – ) –x

x x xx4

2

2

4 4 16

4

==+ +

= =lim

– –

––x

x xx4

2 4 16

4

48

0

lim ( ) lim –

–

x xx x

x+ += =

4 4

0

02

4f llim

–

( – )

li

x

x xx x+

( ) +( )+( )

=

4

2 2

4 2

mm–

( – ) lim

– x x

xx x

x+ +

( )+( )

=4

22

4

2

4 2

( – )

lim

4

4 21

2

1

4 24

x x

xx

+( )=

+=

++

=1

4

lim ( ). x

x4

flim ( ) lim ( ), –x x

x x+4 4

f f

lim –

lim –

x

x

x

x

x x=

0

0

0

0

1

3

1

3

1e e

Liimite notável� ��

= × =1

31

1

3

lim –

lim –( – )

x

x

x

x

x x=

0

0

0

0

1 1e e – lim

– –

= =

x

x

x0

11

e

Limite notável� ��

lim –

lim –

x

x

x

x

x x= ×

0

3

0

0

0

31 1

33

e e=

=

lim –

lim –

31

3

31

0

3

0

x

x

y

yx

e

e

yy = × =3 1 3

lim –

lim –

x x x x

x x= × =

0

0

0

0

4

14

1e e44

1

1

41

14

0

lim –

×

= × =

x

x

xe

lim –

– lim

( – )

–

x

x

x

x

x x=

5

5

5

5 5

5

1e e e e

–

lim –

51

15

0

5 5= × = × =ee

e ey

y

y

Cálculo auxiliar:

1 0 0 –64

4 4 16 64

1 4 16 0 = r


f)

Considerando a mudança de variável ln x = y, se x = ey

e se x→ 1, então y→ 0.

g)

Considerando a mudança de variável x + 1 = y, se x = y – 1 e se x→ –1, então y→ 0.

61.a)

b)

c)

Unidade 4 – Continuidade

Página 90

62.a)

b)b1) A função f não é contínua em x = –1, pois não existe

já que

b2) A função f não é contínua em x = 1, pois apesar

de existir

b3) A função f é contínua em x = 2, pois existe

63. • Cálculo de

• f(1) = 5logo a função f não é contínua em x=1.

64. • Cálculo de

• g(0) = 1g não é contínua em x = 0, pois não existe

já que

Verifica-se que logo g é contínua

à direita em x = 0.

65. • Cálculo de

•

Verifica-se que existe logo

h é contínua em x = 0.

66. Para que exista terá que se verificar

isto é:

lim –

ln

x

x

x→→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1

1 0

0indeterminação

lim –

ln lim

– x y

yx

x y→ →=

1 0

1 1e

Limite notáável� ��

= 1

lim ln ( )

–x

x

x→

+

+←

1

2

1

0indeterminação

00

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

lim ln ( )

lim

ln ( – – x y

x

x

y→ →

+

+=

1 0

2

1

1 ) lim

ln ( )

+=

+→

2 10y

y

yy


= 1

lim ( ) lim–

–

–

– –

–

x x

x

xx→ ∞ → ∞

∞

= =∞

=fe e1

6

1 00 10

–

–

∞=

lim ( ) lim–

li x x

x

xx→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= =fe 1

6mm –

lim

x

x

x

x

x x

x

→ +∞

→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ×

e

e6

1

61

6Limmite notável��

– lim ( x x→ +∞

= × +∞1

6

1

6)) –

–

1

0

+∞

= +∞ = +∞

lim ( ) lim–

l x x

x

xx→ →

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= = ×0 0

0

01

6

1

6f

eiim

–

x

x

x→= × =

0

1 1

61

e


11

6

lim ( ) –

lim ( ) –

( ) –

–x

x

x

x→

→

=

=

=

+

1

1

2

2

1 1

f

f

f

lim ( ) –

lim ( )

(– )

–

–

–x

x

x

x→

→

=

=

=

+

1

1

1

1

1

f

f

f 11

lim ( )

lim ( )

( )

–x

x

x

x→

→

=

=

=

+

2

2

0

0

2 0

f

f

f

lim ( ) lim ( – ––x x

x x→ →

≠+1 1

f f ).lim ( ), –x

x→ 1

f

lim ( ), lim ( ( x x

x x→ →1 1

1f f f) ≠ ).

lim ( ) lim ( ) ( x x

x x→ →

=2 2

f f fe 2).

lim ( ): x

x→ 1

f

lim ( ) lim –

–

x xx

x x

x→ →

⎛

⎝

=+

=1 1

2

0

06 5

1f

⎜⎜⎞

⎠⎟

→

→=

lim ( – ) ( – )

– lim (

x

x

x x

x1

1

1 5

1xx – ) – –5 1 5 4= =

lim ( ) ( ), x

x→

≠1

f f 1

lim ( ): x

x→ 0

g

|x| =efg

x se x ≥ 0–x se x < 0

lim ( ) lim| |

lim x x x

xx

x→ →

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→+ += =

0 0

0

0

0g

++ += =

=

→

→ →

x

x

x

x

x x

lim

lim ( ) lim

–

0

0 0

1 1

e g–– – –| |

lim lim (– )

x

x

x

–xx x= =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

→ →

0

0

0 01 == –1

lim ( ), x

x→ 0

g

lim ( ) lim ( ). –x x

x x→ →+

≠0 0

g g

lim ( ) ( ), x

x→ +

=0

g g 0

lim ( ): x

x→ 0

h

lim ( ) lim –

– –x x x

xx

→ →

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= = ×0 0

0

03

13h

ellim

–

lim –

–

–

x x

x

x

x

x

→

→

= ×

0

0

1

31

1

e

e


= × =

=→ +

lim ( ) li

31

13

0xxh mm log log

log

xx

→ ++( ) = +

= =

0

6 6

3

10 10

10

0

3

h( ) log log log 0 0= + = = =10 10 10 36 6 3

lim ( ) lim ( ) ( ), x x

x x→ →

=0 0

0h h he

lim ( ), x

x→ 1

f

lim ( ) lim ( ), –x x

x x→ →

=+1 1

f f


Para existe

67.a) Função f:

• Cálculo de

Como não existe e, por-

tanto, f não é contínua em x = 0.

Função g:• Cálculo de

• g(0) = –1Existe e, portanto, g não

é contínua em x = 0.

b) • Cálculo de

• (f × g) (0) = f(0) × g(0) = –1 × (–1) = 1Verifica-se que existe:

logo f × g é

uma função contínua em x = 0.

68. Por exemplo,

69.

a)

Df = �– No intervalo ]–∞, 1[ a função é contínua visto, nes-

te intervalo, estar definida por uma função afim.– No intervalo ]1, +∞[ a função é contínua, visto nes-

te intervalo estar definida por uma função quadrá-tica.

– Em x = 1:

Existe logo f é contínua em

x = 1.Conclui-se, assim, que a função f é contínua em �.

Dg = �– No intervalo ]–∞, 0[ a função é contínua por, neste

intervalo, estar definida por um quociente de duasfunções contínuas: uma que é a diferença entreuma função exponencial (x 4ex) e uma funçãoconstante (x 4), e outra que é uma função afim(x 8x) que não se anula no intervalo considerado.

– No intervalo ]0, +∞[ a função é contínua visto, nesteintervalo, estar definida por uma função racionalcujo denominador não se anula no intervalo consi-derado.

– Em x = 0:

•

•

• g(0) = 0,5Existe logo g é contínua

em x = 0.Conclui-se assim que a função g é contínua em �.

D = [–3, 3]– No intervalo [–3, 0[ a função é contínua por, neste

intervalo, estar definida pelo quociente de duasfunções contínuas: uma que é a soma de uma fun-ção exponencial (x ex) com uma função afim (x x – 1), e outra que é uma função afim (x x)

lim –

lim ( ln –x

x

xxx

→ →

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

+1 1

12

e

kxx)

–

ln

– § §

1

12 1 1

1e

k

e

k

1

×= × + == +

= =

– –

2 0

1 21

2§ §e k k

e

lim ( ) lim ( ) ( ). x x

x x→ →

=1 1

f f fe 1ke

–

=1

2

lim ( ): x

x→ 0

f

lim lim –x xx x→ + →+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ = = +∞

⎛

0 0

1 1

0

1e

⎝⎝⎜⎞

⎠⎟ = = ∞ – .

–

1

0

lim ( ), x

x→ 0


x x→ →+

≠0 0

f f

lim ( ): x

x→ 0

g

lim ( ) lim x x

x x→ →

= =0 0

0g

lim ( ), lim ( ) ( ) x x

x x→ →

≠0 0

0g g g mas

lim ( ) ( ): x

x→

×0

f g

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x

x x x→ →

× = ×( )0 0

f g f g

== ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

→ →lim lim

x xxx

0 0

11 1

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x

x x→ →

× × =0 0

f g f ge ( ) ( ), f g× 0

f( )

.xx

=+

1

12

f(x) =efg

x2 + 2x – 3 se x ≥ 1–2x + 2 se x < 1

lim ( ) lim ( – )

lim x x

x x x→ →+ +

= + =1 1

2 2 3 0f

xx xx x

→ →= + =

= –

( ) lim (– )

( ) 1 1

2 2 0

1 0

f

f

lim ( ) lim ( ) ( ), x x

x x→ →

=1 1

1f f fe

b) g(x) =

�

�

�4 4

80

0 5 0

3 2

2

3 2

ex

xx

x

x x

x x x

–

,

se

se

<

=

+

+ +sse x > 0

lim ( ) lim–

lim(

– – –x x

x

xx

x→ → →= =

0 0 0

4 4

8

4g

e exx

x

x

x

x

– )

lim–

–

1

84

8

10

=→

e


= × =1

21

1

2

lim ( ) lim

lim

x xx

x x

x x x→ →+ +=

+

+ +=

0 0

2

3 23 2g

xx

x

x x

x x x

x

x

→

→

+

+

+

+ +

=+

( )

lim

0 2

0

1

3 21

( )

22 3 2

1

2+ +=

x

lim ( ) lim ( ) ( ), x x

x x→ →

=0 0

0g g ge

c) h(x) =

�� ex x

xx

x x

– –

– ln ( )

13 0

2 1 3

+≤ <

+ +

se

see 0 3≤ ≤x


que não se anula no intervalo considerado. É con-

tínua à direita em x = –3 visto

– No intervalo ]0, 3] a função é contínua visto, neste

intervalo, estar definida pela soma de duas fun-

ções contínuas: uma função afim (x 2 – x) e uma

composta de uma função logarítmica com uma

função afim (x ln (1 + 3x));É contínua à esquerda em x = 3, pois

– Em x = 0:

h(0) = 2 – 0 + ln 1 = 2

Existe logo h é contínua

em x = 0.

Conclui-se assim que h é contínua no seu domínio,

[–3, 3].

Di = �

– A função i é contínua no intervalo ]–∞, 0[ visto,

neste intervalo, estar definida pelo quociente de

duas funções contínuas: uma que é a diferença

entre a composta de uma função exponencial com

uma função afim (x e2x + 1) e uma função cons-

tante (x e), e outra que é uma função afim (x x)que não se anula no intervalo considerado.

– No intervalo ]0, +∞[ a função i é contínua visto,

neste intervalo, estar definida pelo quociente de

duas funções contínuas: uma que é a composta de

uma função logarítmica com uma função qua -

drática (x ln (x + 1)2) e outra que é uma função

afim (x x) que não se anula no intervalo consi-

derado.

– Em x = 0:

•

Considerando a mudança de variável 2x = y, se x→ 0, então y→ 0.

•

Como não existe logo i

não é contínua em x = 0.Verifica-se que logo a função i é con-

tínua apenas à direita em x = 0.Conclui-se assim que i é contínua em �\{0}.

70. Dh = ]–∞, 2] ∂ [5, +∞[

h é contínua em ]–∞, 2] visto, neste intervalo,estar definida por uma função quadrática; h é tam-bém contínua em [5, +∞[ visto, neste intervalo,estar definida por uma função constante.Pretende-se um extensão de h a � que seja con-tínua em �, por exemplo da forma:

já que uma função afim é contínua em �, então écontínua no intervalo ]2, 5[.Tem agora que ser contínua em x = 2 e em x = 5,

isto é,

Ao gráfico de y = m x + b terá então de pertenceros pontos de coordenadas A(2, –1) e B(5, 10):

lim ( ) (– ). –x

x→ +

=3

3h h

lim ( ) (– ). – –x

x→

=3

3h h

lim ( ) lim–

lim

– –

–

x x

x

x

xx

x→ →

→

=+

=

0 0

0

1h

e

exx

x

x

x

x

x

x

–

lim–

–

1

10

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=→

e

Limite notáável� ��

+

= + =

→lim

–x

x

x0

1 1 2

lim ( ) lim – ln ( ) x x

x x x→ →+ +

= + +(0 0

2 1 3h )) = + = – ln 2 0 1 2

lim ( ) lim ( ) ( ), x x

x x→ →

=0 0

0h h he

d) i(x) =

�

�

�e e2 1

2

0

2 0

1

x

xx

x

x

x

–

ln ( )

+

<

=

+

se

se

se xx > 0

lim ( ) lim–

lim

– –x x

x

xx

x→ →

+

→= =

0 0

2 1

0i

e e––

–

( – )

lim–

e e

ee

2

0

2

1

12

x

x

x

x

x= × ×

⎛

⎝⎜

⎞

→ 2 ⎠⎠⎟ = ×

→ lim

– –

ee

y

y

y0

1


×

= × × =

2

1 2 2e e

lim ( ) limln ( )

lim x x x

xx

x→ → →+ +=

+=

0 0

21i

00

0

2 1

21

+

+

+

=+

→

ln ( )

limln ( )

x

xx

xx

Limitte notável� ��

= × =2 1 2

lim ( ), x

x→ 0

ilim ( ) lim ( ), –x x

x x→ →

≠+0 0

i i

lim ( ) ( ), x

x→ +

=0

0i i

h(x) =efg

x2 – 4x + 3 se x ≤ 210 se x ≥ 5

h1(x) =efg

x2 – 4x + 3 se x ≤ 2m x + b se 2 < x < 510 se x ≥ 5

lim ( ) ( ) – lim ( ) x x

x x→ →

= =2 1 1 5 1

2 1h h he == = ( ) . h 5 10

m

b

– (– )

–

–

= =

= +

=

10 1

5 2

11

311

3

111

3

y x

– – –

× + = =

=

2 122

3

25

311

3

b b b§ §

y xx – 25

3


Assim, uma extensão de h a �que seja contínua em�, pode ser, por exemplo, a função h1, definida por:

71. • f é contínua no intervalo [5, 6] visto tratar-se doproduto de funções contínuas em �+, logo con-tínuas em [5, 6].

• f(5) = e5 × ln 5 ≈ 238,862f(6) = e6 × ln 6 ≈ 722,847ou seja, f(5) < 500 < f(6)

Assim, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, pode-mos concluir que existe pelo menos um númeroreal c ∈ ]5, 6[ tal que f(c) = 500.

72. A função g não é contínua em [a, b].Por exemplo:

a < bg(a) = –1g(b) = 2g(a) × g(b) < 0

e não existe nenhum número real x tal que a < x < be g(x) = 0.Ou, por exemplo:

a < bg(a) = –1g(b) = 2g(a) × g(b) < 0

e não existe nenhum número real x tal que a < x < be g(x) = 0.

73. • h é contínua em [0,3; 0,4] visto tratar-se da dife-rença de duas funções contínuas em � (x 3xe x ln(x2 + 3)), logo contínuas no intervalo [0,3; 0,4].

• h(0,3) = 3 × 0,3 – ln (0,32 + 3) ≈ –0,228h(0,4) = 3 × 0,4 – ln (0,42 + 3) ≈ 0,049ou seja, h(0,3) × h(0,4) < 0.

Assim, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cau-chy, conclui-se que a função h tem pelo menos umzero pertencente ao intervalo ]0,3; 0,4[.

74. Às dez horas de um determinado dia correspondet = 0, logo às onze horas e ao meio-dia do referidodia corresponde t = 1 e t = 2, respetivamente.Sabe-se também que P está expresso em milhõesde bactérias.Assim, pretende-se provar que:$ t ∈] 1, 2 [ : P(t) = 0,5• A função P é contínua em [1, 2] visto tratar-se

do produto de duas funções contínuas em �(t t2 e t e–t), logo contínuas em [1, 2].

• P(1) = 12 × e–1 ≈ 0,368P(2) = 22 × e–2 ≈ 0,541ou seja, P(1) < 0,5 < P(2).Assim, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, conclui--se que existe pelo menos um instante t ∈ ]1, 2[tal que P(t) = 0,5.

75.a) Seja f a função definida por f(x) = ex – x – 2.

Provar que a equação ex = x + 2 tem pelo menosuma solução no intervalo ]–2, –1[ é equivalente aprovar que a função f tem pelo menos um zero nointervalo ]–2, –1[.Assim:• f é contínua em [–2, –1] visto tratar-se da diferença de

duas funções contínuas em � (x ex e x x + 2),logo contínuas no intervalo [–2, –1].

• f(–2) = e–2 + 2 – 2 ≈ 0,135f(–1) = e–1 + 1 – 2 ≈ –0,632ou seja, f(–1) × f(–2) < 0.Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy con-clui-se que função f tem pelo menos um zero nointervalo ]–2, –1[, isto é:

E c ∈ [–2, –1[ : f(c) = 0§ E c ∈ ]–2, –1[ : ec – c – 2 = 0§ E c ∈ )–2, –1[ : ec = c + 2

b) y1 = ex

y2 = x + 2

O ponto P de interseção do gráfico da função x ex

com o gráfico da função x x + 2, no intervalo ]–2, –1[ tem de coordenadas P(–1,841; 0,159) (comaproximação às milésimas).Assim, x ≈ –1,841.

h1(x) =

�

��

x x x

x x

2 4 3 2

11

3

25

32 5

10

–

–

+ ≤

< <

se

se

see x ≥ 5

O

y

xa b

1

-1

2

O

y

xa

-1

2

O

yy1 y2

x

P 1

2

-2 -1


76.a) • No intervalo ]0, 1[ a função f é contínua visto, nes-

te intervalo, estar definida pela soma de duas fun-ções contínuas: uma que é função constante (x1)e outra que é o quociente entre uma função logarít-mica (x ln x) e uma função afim (x4x) que nãose anula no intervalo considerado.

• No intervalo ]1, +∞[ a função f é contínua visto,neste intervalo, estar definida pela soma de duasfunções contínuas: uma que é função constante (x 1) e outra que é o produto entre uma funçãoafim (x x – 1) e a composta de uma função afimcom uma função exponencial (x e2 – x).

• Em x = 1:

Existe logo f é contínua

em x = 1. Conclui-se assim que f é contínua em todoo seu domínio, �+.

b) • Pela alínea anterior, sabe-se que f é contínua em�+, logo, em particular, é contínua em [e–1, 2].

•

ou seja, f(e–1) < 1,5 < f(2).Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy conclui-se que aequação f(x) = 1,5 tem pelo menos uma solução nointervalo ]e–1, 2[.

c) y1 = 1 + para 0 < x < 1

y2 = (x – 1) e2 – x + 1, para x ≥ 1y3 = 1,5

No intervalo ]e–1, 2[, o ponto P de interseção do grá-fico da função f com a reta de equação y = 1,5 temde coordenadas P(1,23; 1,5) (com aproximação àscentésimas).Assim, x ≈ 1,23.

77.

Dh = {x ∈ �: g(x) ≠ 0}Se o domínio de h fosse o intervalo [a, b], signifi-caria que não existia nenhum valor c no intervalo]a, b[ tal que g(c) = 0.No entanto, como g é contínua no intervalo [a, b],g(a) = 4 e g(b) = –2, ou seja, g(a) × g(b) < 0 podeconcluir-se, pelo corolário do Teorema de Bolza-no-Cauchy, que existe pelo menos um númeroreal c ∈ ]a, b[ tal que g(c) = 0.Logo, h não pode ter como domínio o intervalo [a, b].

Unidade 5 – Assíntotas do gráfico de umafunção

Página 106

78. pois sabe-se que a reta de equação

x = 2 é assíntota vertical do gráfico de f e que f épositiva em todo o seu domínio.Assim:

Opção (C)

79. pois sabe-se que a reta de equação

y = 2 é assíntota horizontal do gráfico de f e que Df = �+.Assim:

Opção (D)

80.a) D = {x ∈ �: x + 4 ≠ 0} = �\{–4}

• Assíntotas verticais:

A reta de equação x = –4 é assíntota vertical do grá-fico de f.Como a função f é contínua no seu domínio, �\{–4}, oseu gráfico não admite mais assíntotas verticais.

lim ( ) lim ln

– –x x

xx

x→ →= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1 11

41f ++ = + =

=→ →+ +

ln

lim ( ) lim (

1

41 0 1

1 1x xxf xx x – )

( ) (

– 1 1 0 1 1

1

2 1e e

f

+( ) = × + =

= 11 1 1 12 1 – ) – e + =

lim ( ) lim ( ) ( ), x x

x x→ →

=1 1

1f f fe

f ee

e e( )

ln

(– )

–

–

– –

11

1 11

41

1

4= + = + ≈ 00 320

2 2 1 1 1 22 2 0

,

( ) ( – ) – f e e= + = + =

ln ,

x

x4

O

y

y2

y1

y3

x

P 1

-1 1

2

2e

1,5

hg

( ) ( )

xx

=1

lim ( ) , –x

x→

= +∞2

f

lim( )

lim ( )

–

–

x

xx x→

→

= =+∞

=2

2

1 1 10

f f

lim ( ) , x

x→ +∞

=f 2

lim ( )

lim ( )

x

xx x→ +∞

→ +∞

= =1 1 1

2f f

lim ( ) –

–

–

lim

–

x

x

x→ + +

→

+=

+= = ∞

4

12 7

0

5

0f

–– – ––( )

–

–

4

12 7

0

5

0f x =

+= = +∞


• Assíntotas horizontais:

A reta de equação y = 3 é assíntota horizontal dográfico de f quando x→ +∞ e x→ –∞.

b) Dg = {x ∈ �: 1 – ex ≠ 0} = �\{0}• Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.Como a função g é contínua no seu domínio, �\{0}, oseu gráfico não admite mais assíntotas verticais.• Assíntotas horizontais:

A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de g quando x→ +∞ e a reta de equaçãoy = 0 é assíntota horizontal do gráfico de g quandox→ –∞.

c) Dh = {x∈�: x > 0 ‹ ln x + 1 ≠ 0} = ]0, +∞[\{e–1}


A reta de equação x = 0 não é assíntota vertical dográfico de h.

A reta de equação é assíntota vertical do

gráfico de h quando x→ –∞.

Como a função h é contínua no seu domínio,

o seu gráfico não admite mais assín-

totas verticais.


A reta de equação y = 3 é assíntota horizontal do

gráfico da função h para x→ +∞.

Dado que o domínio da função é limitado inferior-

mente, o seu gráfico não admite assíntota horizon-

tal.

d)



gráfico da função i.

Como a função i é contínua no seu domínio,

o seu gráfico não admite mais assíntotas verticais.

lim ( ) lim

x xx

x

x→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝

=+

+=f

3 7

4

⎜⎜⎞

⎠⎟

→ +∞

→ ∞ →

=

=

lim

lim ( ) lim

– –

x

x x

x

x

x

33

f∞∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

+

+= =

3 7

4

33

x

x

x

xx

lim

–

lim ( ) lim –

–

x x

x

xx

→ → ++ += = =

0 0 1

1

1 1g

e

e

11

0

1

10 0

–

–

lim ( ) lim –

– –

= ∞

= =→ →x x

x

xxg

e

e 11 1

1

0 –

–= = +∞

+

lim ( ) lim –

x x

x

xx

→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= =ge

e1llim

–

lim

–

x

x

x

x

x

x

x

x

→ +∞

→ +∞= =

e

e

e

e

e

e

1

1

11

–

–

–

lim ( ) li –

1

11

1

0 11

+∞

= =

=→ ∞

ex

xg mm –

–

–x

x

x→ ∞= =

e

e1

0

1 00

Cálculo auxiliar:ln x + 1 = 0 § ln x = –1 § x = e–1

lim ( ) lim ln

ln

x xx

x

x→ →

±∞

+ +=

+

+=

0 0

3 4

1h

±±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +

+lim

ln

ln

ln ln

ln

x

x

x xx

x

0

3 4

ln

lim

ln

ln

+

=+

+

=+

→ +

1

34

11

3

0

x

x

x

x

–

–

4

11

3 0

1 03∞

+∞

=+

+=

lim ( ) limln

x x

xx

→⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ →

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

+ +=

+

1 1

3

e e

h44

1

4

1 1

3 4

0

1 3

ln

ln ( )

–

–

–

x +=

+

+

=+

=

+

+

e

lim ( ) lim

–

1

0

1 1

+

→⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ →

⎛

⎝⎜⎞

= +∞

=x x

x

e e

h

⎠⎠⎟

+

+=

+

+

=

–

ln

ln

ln ( )

–

–

–

x

x

3 1 34

1

4

1 1

e

–– –

– –

3 4

0

1

0

+= = ∞

x =1

e

] , [ \ ,01

+∞⎧⎨⎩

⎫⎬⎭e

lim ( ) lim ln

ln

x xx

x

x→ +∞ → +∞

±∞

=+

+=h

3 4

1

±±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

+lim

ln

ln

ln ln

ln

x

x

x xx

x

3 4

ln

lim

ln

ln

+

=+

+

=+

→ +∞

1

34

11

3

x

x

x

x

4

11

3 0

1 03+∞

++∞

=+

+=

Di= ∈ ≠ =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

{ : – } \x x� �2 3 03

2

lim ( ) lim| |

– x x

xx

x→

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ →

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

+ +=

3

2

3

2

2i

lim ( ) lim

–

3

3

20

3

2

= = +∞

=

+

→⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ →x x

xi33

2

2 3

3

20⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= = ∞–

| |

– –

–

x

x

x =3

2

� \ ,3

2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭



A reta de equação é assíntota horizontal do

gráfico de i quando x → +∞ e a reta de equação

é assíntota horizontal do gráfico de i quando

x→ –∞.

81. Df = �+

Por definição da assíntota não vertical do gráficode f vem que:

Opção (B)

82. Dg = �+

Como a reta de equação y = 2x + 4 é assíntota dográfico de g, sabe-se que:

Opção (B)

83.a) Df = {x ∈ �: x2 – 1 ≠ 0} = �\{–1, 1}


Tanto a reta de equação x = 1 como a reta de equaçãox = –1 são assíntotas verticais do gráfico da função f.Como a função é contínua no seu domínio, o gráficode f não admite mais assíntotas verticais.• Assíntotas não verticais:Para x→ +∞:

Os cálculos para x→ –∞ são idênticos e obtém-sedo mesmo modo m = 2 e b = 0.Assim, a reta de equação y = 2x é assíntota oblíquado gráfico de f, para x→ +∞ e para x→ –∞.

b) Dg = {x ∈ �: x ≠ 0} = �\{0}• Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.Como a função é contínua no seu domínio, �\{0}, nãoexistem mais assíntotas verticais do gráfico de g.• Assíntotas não verticais:

Os cálculos para x→ –∞ são idênticos e obtêm-sedo mesmo modo m = 1 e b = 1.Assim, a reta de equação y = x + 1 é assíntota oblí-qua do gráfico de g para x→ +∞ e para x→ –∞.

c) Dh = {x ∈ �: (x – 1)2 > 0} = �\{1}

lim| |

– lim

–

x x

x

x

x

x→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

= =2 3 2 3

⎞⎞

⎠⎟

→ +∞ → +∞

→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =lim lim

lim

x x

x

x

x2

1

2

1

2

– –

| |

– lim

–

–

∞ → ∞

±∞

±∞

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

x

x

x

xx2 3 2 3

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠

lim–

lim –

–

x

x

x

x21

2⎟⎟ = –

1

2

y =1

2

y –=1

2

lim ( ) – ( – )

lim ( )

x

x

x x

x→ +∞

→ +∞

( ) =f

f

1 0

§ –– x +( ) =1 0

mg

b g lim( )

lim ( ) –

= = =→ +∞ → +∞x x

x

xx x2 2e (( ) =

+⎡

⎣⎢

→ +∞

lim ( )

( ) –

4

2Assim,x

x

xx x

gg

⎤⎤

⎦⎥

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

→ +∞ → +∞lim

( ) lim (

x x

x

x

gg

� �� xx x) –

2

2 4

6

( )

= +

=

� ��

+

–1 1–+

lim ( ) lim–

li

x xx

x

x→ → ++ += = = +∞

1 1

3

2

2

1

2

0f

mm ( ) lim–

–

lim

–– –x xx

x

x→ →= = = ∞

1 1

3

2

2

1

2

0f

xx xx

x

x→ →+ += = = +∞

– – –( ) lim

–

–

l

1 1

3

2

2

1

2

0f

iim ( ) lim–

–

– – –– –x x

xx

x→ → += = =

1 1

3

2

2

1

2

0f ∞∞

mf

lim( )

lim–

= = =→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

x x

x

x

x

x x

2 3

3

⎞⎞

⎠⎟

→ +∞

→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= =

lim

lim

x

x

x

x

2

2 2

3

3

b f lim ( ) – lim–

–

= ( ) =→ +∞ → +∞x x

x xx

x2

2

1

3

222

2 2 2

1

3 3

2

x

x x x

xx x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

=→ +∞ →

lim–

– lim

– lim

+∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞= =

+∞=

2

1

2 20

2

x

x xx

lim ( ) lim x x

xx x→ →+ +

= +( ) = + =0 0

1 1

0g e e0+ ee

g e

+∞

→ →

= +∞

= +( ) =

lim ( ) lim – –x x

xx x0 0

1

0 –+ = =∞e e1

00–

mg e

lim( )

lim

lim

= =+

=→ +∞ → +∞ → +x x

x

x

x

x

x

x

1

∞∞+

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= ++∞

= ++∞

=

x

x x

x

e

e

1

0

1 11

11 0 1 + =

b g e lim ( ) – lim –

= ×( ) = +→ +∞ → +∞x x

xx x x11

lim

x

x

x

( )

= = =→ +∞

e e1

0 1


Cálculo auxiliar:

+

1

+


A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de h. Não existem mais assíntotas verticais vistoa função ser contínua no seu domínio �\{1}.• Assíntotas não verticais:x→ +∞

Não existem assíntotas não verticais do gráfico deh nem para x→ +∞ nem para x→ –∞.

d) Di = {x ∈ �: x > 0 ‹ log x – 2 ≠ 0} = �+\{100}


A reta de equação x = 0 não é assíntota vertical dográfico de i.

A reta de equação x = 100 é assíntota vertical do

gráfico da função i.

Não existem mais assíntotas verticais do gráfico de i

visto a função ser contínua no seu domínio.

• Assíntotas não verticais:

Como b ∉ �, conclui-se que o gráfico da função i

não possui assíntotas não verticais para x→ +∞.

Dado que o domínio da função i é limitado inferior-

mente, não faz sentido averiguar a existência de

assíntotas não verticais para x→ –∞.

e) Dj = {x ∈ �: x ≥ 0 ‹ x – 3 ≠ 0} = �+0\{3}


A reta de equação x = 3 não é assíntota vertical do

gráfico de j.

Como a função é contínua no seu domínio, o gráfico

de j não admite assíntotas verticais.

lim ( ) lim ln ( – ) ln x x

x x→ →

+= = =1 1

21 0h ––∞

mh

lim ( )

lim ln ( – )

l

= = =→ +∞ → +∞x x

x

x

x

x

1 2

iim ln ( – )

x

x

x→ +∞

2 1

Mudança de variável:ln (x – 1) = y§ x – 1 = ey § x = ey + 1Se x→ +∞, então y→ +∞.

lim

y y

y→ +∞

=+

=21

2e

lim

lim l

×

+

= ×

+

→ +∞

→ +∞

y y

y

y

y y

y

1

1

e

e

1

2

iim

y y→ +∞

= ×+∞ +

= × =1

21

02 0 0

b h lim ( ) – lim ln ( –

= ×( ) =→ +∞ → +∞x x

x x x0 ) –

–

lim ( )

lim –

1 2 = +∞ → ∞

→ ∞

= =→ ∞

x

xx

xxm

hxx

x

x

xx

x

→ ∞

→ ∞=

–

–

ln ( – )

lim ln | – |

1

2 1

2

==+

= ×

→ ∞

→ +∞

lim ln (– )

lim –

–

21

21

x

y

x

xy

ee ey y y

y y

lim

–

= ×

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= ×

→ +∞2

1

21

0

1

– ( )

+∞= 0

Mudança de variável:ln (–x + 1) = y§ –x + 1 = ey § x = 1 – ey

Se x→ –∞, então y→ +∞.

b h lim ( ) – lim ln ( – – –

= ×( ) =→ ∞ → ∞x x

x x x0 ) 1 2 = +∞

Cálculo auxiliar:log x – 2 = 0 § log x = 2 § x = 102

lim ( ) lim log –

– – x x

xx

x→ →+ += =

∞0 0 2

0i

220 =

lim ( ) lim log –

x x

xx

x→ →+ += =

100 100 2

100i

22 2

100

0

100 10

+ +

→ →

= = +∞

=

–

lim ( ) lim –x x

xi00 2

100

2 2

100

0– log –

–

–– –

x

x= = = ∞

mi

lim ( )

lim log – li

= = =→ +∞ → +∞x x

x

x

x

x

x

2 mm log –

–

x x→ +∞

=+∞

=+∞

=

1

2

1

2

10

b i lim ( ) – lim log –

= ( ) =→ +∞ → +∞x x

x xx

x0

2

limlog –

lim

=

= =

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞ →

1

2

1

x x

x

x

log –

limlog

– li

+∞

→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

x

x x

x

xx

2

1

mm

x x→ +∞

+= = +∞

2

1

0

lim ( ) lim–

–

l

x xx

x

x→ →

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= =

=

3 3

0

03

3j

iim –

–

lim

x

x x

x x→

( ) +( )( ) +( )

=

3

3 3

3 3

xx

x

x

x x

x

→

→

( ) ( )( ) +( )

=

–

–

lim

3

2 2

3

3

3 3––

–

lim

3

3 31

3

13

x x

xx

( ) +( )=

+=

+→ 3 33

1

2 3

=



A reta de equação y = 0x + 0, isto é, y = 0 é assíntotahorizontal do gráfico do j para x→ +∞.Dado que o domínio da função j é limitado inferior-mente, não faz sentido averiguar a existência deassíntotas não verticais para x→ –∞.

f)


A reta de equação x = 0 não é assíntota vertical dográfico da função l.Não há assíntotas verticais visto a função ser contí-nua no seu domínio (�+).


Como m ∉ �, conclui-se que o gráfico da função lnão admite assíntotas não verticais para x→ +∞.Dado que o domínio da função l é limitado inferior-mente, não faz sentido averiguar a existência deassíntotas não verticais para x→ –∞.

84.a) Df = {x ∈ �: |x| ≠ 0} = �\{0}


A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de f.Não existem mais assíntotas verticais do gráfico def, pois a função é contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:

A reta de equação y = 4x é assíntota oblíqua do grá-fico de f para x→ +∞.

mj

lim( )

lim–

–

lim

= =

( )

=

→ +∞ → +∞x x

x

x

x

x

x x

3

3

→→ +∞

→

( ) +( )( ) +( )

=

–

–

lim

x x

x x x

x

3 3

3 3

++∞

→ +∞

( ) ( )( ) +( )

=

x

x x x

xx

2 2

3

3 3

3

–

–

lim –

xx x x

x xx

–

lim

3 3

1

3

1

( ) +( )=

+( )=+∞→ +∞ ×× +∞

=+∞

=

( )

1

0

b j lim ( ) – lim–

– = ×( ) =

→ +∞ → +∞x xx x

x

x0

3

33

3 3

3 3=

( ) +( )( ) +( )

=

→ +∞lim

–

–

l

x

x x

x x

iim –

–

lim

x

x

x

x x

x

→ +∞

→ +∞

( ) +( )=

+

3

3 31

3 =+∞

=1

0

De= ∈ > ≠⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= +∞x

xx : ] , �

10 0 0‹ [[

lim ( ) lim ln x x

x xx

x→ →+ +

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

0 0

13e ⎜⎜⎞

⎠⎟⎟ =

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

× ±∞( )

→ +

lim ln

( )

0

0

1x

xx

⎜⎜⎞

⎠⎟⎟ +

= + =

→

→ +∞

+ lim

lim ln l

x

y

x

yy

03

10 iim

ln

y

y

y→ +∞

= 0 (limite notável)

ml

lim( )

lim ln

= =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ +

→ +∞ → +∞x x

x

x

xx

13xx

x

xx=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= +

→ +∞

+

lim ln

ln

13

0 –3 = ∞

lim ( ) lim

| |

x xx

x

x→ → +=

+= = +∞

0 0

24 1 1

0f

mf

lim( )

lim

| | lim

= =

+

=→ +∞ → +∞x x x

x

x

x

xx

4 12

→→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

+

×=

=

lim

4 1

4

2

2

x

x xx

xx 2== =

→ +∞lim

x4 4

b f lim ( ) – lim

| | = ( ) = +

→ +∞ → +∞x xx x

x

x4

4 12

–

lim –

l

( )

4

4 1 42 2

x

x x

x

x

x

×

→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

= iim x x→ +∞

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

+∞=

1 10

mf

lim( )

lim

| |

lim

– –= =

+

=

→ ∞ → ∞x x

x

x

x

x

xx

4 12

→→ ∞ → ∞

+

×=

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

– –

– lim

–

4 1 4 12 2x

x x

x

xx 2==

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

→ ∞

lim–

lim (–

–

–

x

x

x

x

4 2

2

44 4) –=


Cálculo auxiliar:

|x| =efg

x se x ≥ 0–x se x < 0

Mudança de variável:

Se x→ 0+, então y→ +∞.

1 1

xy x

y = =§

A reta de equação y = –4x é assíntota oblíqua do grá-fico de f para x→ –∞.

b) g(x) = {x ∈ �: 2x – 6 ≠ 0} = �\{3}• Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 3 é assíntota vertical do grá-fico de g.Não existem mais assíntotas verticais do gráfico deg, pois a função é contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:

A reta de equação é assíntota oblíqua

do gráfico de g para x → +∞ e também para x→ –∞, já que os cálculos para determinação de me l são idênticos:

85.

a) Df = �• Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de f.

Não existem mais assíntotas verticais do gráfico def, pois a função é contínua nos restantes pontos doseu domínio, isto é, em �\{0}.


Como b ∉�, verifica-se que não existem assíntotasnão verticais do gráfico de f para x→ +∞.

A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de f para x→ –∞.

b) Dg = �• Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.

Não existem mais assíntotas verticais do gráfico deg, pois a função é contínua nos restantes pontos doseu domínio, isto é, em �\{0}.


b f lim ( ) – (– ) lim

| – –= ( ) = +

→ ∞ → ∞x xx x

x

x4

4 12

||

lim

–

– (– )

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

+⎛

⎝→ ∞ ×

4

4 14

2

x

x

xx

x x⎜⎜

⎞

⎠⎟ =

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

→ ∞

→

lim –

–

lim

–

–

x

x

x x

x

4 1 42 2

∞∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+∞=

1 10

–

x

lim

( ) lim

–

–

|– |

x xx

x

x→ → ++ += =

3 3

2 16

2 6

7

0g == = +∞

=

+

→ →

lim ( ) lim–

– – –

7

016

23 3

2

x xx

x

xg

66

7

0

7

0

|– | –

– –= = = ∞

mg

lim

( ) lim

–

– lim

= = =→ +∞ → +∞x x

x

x

x

xx

2 16

2 6xx

x

x

x xx

x

→ +∞

→ +∞=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

–

–

lim li

2

2

16

2 6

2

2

2mm x→ +∞

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

1

2

1

2

b g lim

( ) – lim

– =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ +∞ → +∞x xx x

x1

2

162

22 6 2

1

3

2

x

x

x

x

x

– –

lim–

( – )

×

→ +∞

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=66 3

2 6

3 16

2 6

2 –

– lim

–

–

x x

x

x

xx

+= =

→ +∞

±∞∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞ → +∞=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

lim lim x x

x

x

3

2

3

2⎝⎝⎜⎞

⎠⎟ =

3

2

y x = +1

2

3

2

mg

lim ( )

lim

–

– li – –

= = =→ ∞ → ∞x x

x

x

x

xx

2 16

2 6 mm –x

x

x→ ∞=

2

2

1

22

b g lim ( ) – lim–

– –=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ ∞ → ∞x xx x

x1

2

12 66

2 6 216 3

2

2 2

x

x

x x xx

– –

lim– –

–

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

→ ∞ xx

x

xx– lim

–6

3

2

3

2= =

→ ∞

lim ( ) lim

( )

lim – –x x

x

x

x→ →

= = = =0 0

0 1 0f e e f

→→ →+ += = ∞

( ) lim (ln ) –

0 0f x x

x

mf

lim( )

limln

= = =→ +∞ → +∞x x

x

x

x

x0

b f lim

( ) – lim

ln = ×( ) = =→ +∞ → +∞x x

x x x0 +∞

mf e

b

lim ( )

lim –

– –= = =

∞=

→ ∞ → ∞x x

xx

x x

00

== ×( ) = =→ ∞ → ∞lim ( ) – lim

– –x x

xx xf e0 0

lim

( ) lim

ln

– –

lim

x x

x

xx

x→ → ++ += =

∞= ∞

0 0 0g

→→= =

( ) ( )

–00 0g gx

mg

lim

( ) lim

ln

lim

l

= = =→ +∞ → +∞ → +∞x x x

x

x

x

xx

nn

lim

ln

x

xx

xx

2

Limite notáv

=

=

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

eel��

lim

× = × =→ +∞x x

10 0 0


Cálculo auxiliar:

|x2 – 16| =efg

x2 – 16 se x2 – 16 ≥ 0–x2 + 16 se x2 – 16 < 0

=efg

x2 – 16 se x ≤ –4 › x ≥ 4–x2 + 16 se –4 < x < 4

+

–4 – 4

+

A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de g para x→ +∞.

A reta de equação y = x + 2 é assíntota oblíqua dográfico de g quando x→ –∞.

86. Pelo facto de sabemos que a

reta de equação y = x é assíntota oblíqua do gráfico

da função f e, logo,

Averiguemos a existência de assíntotas oblíquasdo gráfico de g quando x→ +∞, já que Dg = �+:

Como m ∉ �, tem-se que o gráfico de g não temassíntotas oblíquas.

Aprende fazendo

Páginas 118 a 133

1. Por observação gráfica, conclui-se que:

Opção (D)

2.a) A sucessão (un) de termo geral 2 – tende para 2,

por valores inferiores a 2, pelo que:

Opção (A)b) A sucessão (vn) de termo geral 2 – n2 tende para –∞,

pelo que

Opção (B)

c) Sabendo que lim g(wn) = –∞, por observação do grá-fico, procura-se uma sucessão (wn) que tende para2, por valores superiores.

Na opção (A): lim(n2 + 2) = +∞

Na opção (B):

Na opção (C):

Na opção (D): , pois:

Opção (B)

3. Na opção (A): não conduz a uma

indeterminação.

Na opção (B): não há dados que indi-

quem se ou

No 1.o caso teríamos

No 2.o ca so teríamos

Na opção (C): conduz a uma inde-

terminação do tipo +∞ × 0.

Na opção (D):

Opção (D)

4. Como a função g é contínua nos intervalos [0, 1], [1, 2], [2, 3] e [–1, 0], basta averiguar em qual destesintervalos as imagens dos extremos são uma infe-rior a 9 e a outra superior a 9.

g(0) = 20 + 30 = 2

g(1) = 21 + 31 = 5

g(2) = 22 + 32 = 13

g(3) = 23 + 33 = 35

Como g(1) = 5 < 9 e g(2) = 13 > 9, então, conclui-seque é no intervalo ]1, 2[ que a equação g(x) = 9 tempelo menos uma solução.

Opção (B)

mg

lim( )

lim – – –

= =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟

→ ∞ → ∞x x

x

x

x

xx

2

2 ⎟⎟⎟ = =

=

→ ∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

lim –

lim

–

–

x

x

x

x x

2

2 2xx

x x

2

21 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

→ ∞ lim

–

b lim –

– lim – –

= ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ ∞ → ∞x x

x

xx

x2

21

22 2 2

2

2

2

–

–

lim – –

x x

x

x

xx

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞==

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞ → ∞lim lim

– –x x

x

x

22 22

lim

( ) – ,x

x x→ +∞

( ) =f 0

lim

( ) .

x

x

x→ +∞=

f1

mg f

lim( )

lim( )

lim

= =+

=→ +∞ → +∞ →x x x

x

x

x x

x

3

( )

lim( )

+∞

→ +∞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= +

f

f

x

x

x

xx

xx

3

�� llim

( )

xx

→ +∞

= + +∞ = +∞

2

1

b g lim

( ) – limln

= ×( ) =

→ +∞ → +∞x xx x

x

x0

Limiite notável��

= 0

lim ( ) (– ) lim ( ) – ––x x

x x→ →

= = =+1 1

0 1f f fe 1

1n

lim ( ) lim ( ) . –

g u gn= = +∞

→xx

2

lim ( ) lim ( ) . –

g v gn= =

→ ∞xx 1

lim

lim 2 1

212

2 2

n

n n

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = 22+

lim 2 23

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−π

n

lim (– )

1

0n

n=

(– )

–1

1

1

n

nn

n

nn

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

se ímpar

se par

lim ( )

( )

x

x

x→=+∞

=2

00

h

g

lim( )

( )

–,

x

x

x→=

2

2

0

f

h

lim ( ) x

x→

+=2

0h lim ( ) .

–

xx

→=

20h

lim ( )

( )

– – .

x

x

x→ += = ∞

2

2

0

f

h

lim ( )

( )

– .

–x

x

x→= = +∞

2

2

0

f

h

lim ( ) ( ) x

x x→

×( )2

g h

lim ( ) ( ) – ( ) – . x

x x→

×( ) = × +∞ = ∞2

2f g

g −( ) = + =− −1 2 35

61 1



5.

Nestas condições, e sendo a função contínua em

todo o seu domínio, pode concluir-se que h(x) = 1

tem 2 soluções: uma no intervalo ]–6, –1[ e outra

no intervalo ]–1, 3[.

Opção (C)

6. Para que f seja contínua em �, também tem de o

ser em x = a.

Assim,

Opção (A)

7. Por observação do gráfico, tem-se que:

logo

Opção (C)

8. Sendo f uma função de domínio a equa-

ção de uma assíntota do gráfico de f, então:

Opção (B)

9. por defini-

ção de assíntota não vertical, já que y = –x – 1 é

assíntota do gráfico de f quando x tende para –∞.

Opção (C)

10. A sucessão (xn) de termo geral 1 – n2 tende para

–∞, pelo que

Opção (B)

11.

Opção (B)

12.

Opção (C)

13.

Opção (C)

14.

Assim, se k < 0, Das opções apre-

sentadas, k = –2.Opção (D)

15. Sabendo que f é uma função contínua no intervalo[–2, 2] e que f(–2) = 10 e f(2) = 4, nada se podeconcluir quanto à existência de zeros da funçãono intervalo ]–2, 2[.Assim, as afirmações presentes nas opções (A) e(B) não são necessariamente verdadeiras.Quanto à equação f(x) = ln e7 § f(x) = 7 podegarantir-se a existência de pelo menos uma solu-ção no intervalo ]–2, 2[, pelo Teorema de Bolzano,já que f é contínua em [–2, 2] e f(2) < 7 < f(–2).Opção (D)

16.

lim ( ) lim ( ) ( ). –x x

x→ →

= =+a a

f f a f a

lim ( ) lim ( )

–x x

x x→ →

=

− + = +

+a af f

a a a§ 5 3 4 5 52 2 aa

a

a

§

§

− =−

=

8 4

1

2

lim ( ) , –x

x→

= +∞1

f lim( )

–x

x

x→=

+∞=

1

3 30

f

�+ = –e yx

2

lim ( ) lim – – x x

xx

→ +∞ → +∞=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ∞f

2

lim ( ( ) ) lim ( ( ) – (– – –x x

x x x x→ ∞ → ∞

+ + =f f1 – )) ,1 0=

lim ( ) lim ( ) lim . – –

h h en

x xx x

x= = =→ ∞ → ∞

0

lim lim lim3 1

31

1

31

4 4

n

n n

n n

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = ++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

1

3

1

1

3

4

n

n

n

n

lim

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟ =( ) = = =

4

1

3

44

3 43 3e e e e e

lim ( ) lim ( )

lim

–

–

–

x

x

x

xx

→

→

→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

0

0

0

f

i

f

ii( )

–

x=

+∞=

10

lim ( ) lim ( )

lim ( ln

–x x

x

x x→ →

→

+

+

=

+

0 0

0

g g

k§ ( )) lim–

ln

–e

e

k

+ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+

→x

xx

x

0

2 1

§ (( ) lim–

–e

e

k

+ = ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+

→0

1

22

2 0

2

x

x

x

§ lim–

–

11

22 0

2

=→x

x

x

e


××

+ = ×

=

2

1 1 2

1

§

§

k

k

lim ( ) lim –

x xx

x x x

x→ +∞ → +∞=

+ +

+h

k 4 2

3

2 3 4

5 66

5

2

4

3

x

x

xx x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ +∞ → +∞

lim lim

k kxx

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

lim – . x

x→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ∞

k

5

lim ( ) lim ( )

lim–

–

–

x x

x

x

x x

x

→ →

→

=+0 0

0

1

g g

ek

§

⎛⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ + lim

ln ( ),

x

x x

x0

2 1kk

e

kk

k

lim–

–

∈

×

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

+

→

�

§x

x

x0

1llim

ln ( )

lim

–

x

x

x

x

x→

→

++

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0

0

21

§

k

ekk

k

k

– lim

ln (

1 12

0x

xx

×

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= +→ +

)+ 1

xLimite notável� ��

x –6 –1 3

Variação de h –2 £ 4 ¢ –3

Opção (B)

17. Como a função f é contínua no intervalo [–1, 3], em

qualquer uma das opções se encontra uma expres-

são de uma função g também ela contínua em [–1, 3]

(soma ou diferença de funções contínuas).

Assim, basta averiguar em qual das expressões

as imagens de –1 e 3 por g mudam de sinal:

Na opção (A): g(x) = x + f(x)

g(–1) = –1 + f(–1) = –1 + 3 = 2 > 0

g(3) = 3 + f(3) = 3 + 8 = 11 > 0

Na opção (B): g(x) = x – f(x)

g(–1) = –1 – f(–1) = –1 – 3 = –4 < 0

g(3) = 3 – f(3) = 3 – 8 = –5 < 0

Na opção (C): g(x) = x2 + f(x)

g(–1) = (–1)2 + f(–1) = 1 + 3 = 4 > 0

g(3) = 32 + f(3) = 9 + 8 = 17 > 0

Na opção (D): g(x) = x2 – f(x)

g(–1) = (–1)2 – f(–1) = 1 – 3 = –2 < 0

g(3) = 32 – f(3) = 9 – 8 = 1 > 0

Opção (D)

18. g(x) = f(x – 1)

O gráfico de f sofre uma translação associada ao

vetor →u(1, 0), assim como a sua assíntota y = 2x + 4,

logo a equação da assíntota do gráfico de g será

y = 2(x – 1) + 4

§ y = 2x – 2 + 4

§ y = 2x + 2.

Opção (C)

19. Sendo f uma função de domínio �+ e y = –5 a equa-

ção da assíntota do gráfico de f, então:

Assim:

Opção (A)

20.

o que indica que a assíntota

oblíqua do gráfico de g tem declive 1.

Das opções apresentadas, y = x é a única que obe-

dece a esta condição.

Opção (A)

21. •

•

• h(0) = 2

Como temos que

a função h é apenas contínua à esquerda em x = 0.

Opção (B)

22. Para a reta de equação x = 6 ser assíntota vertical

do gráfico de f, e como 6 ∈ Df , terá que se verificar

uma das seguintes condições:

Como 6 ∈ Df , f(6) existe e é um número real.

Para f ser contínua em x = 6 terá de satisfazer:

Pelo exposto, tal não se verifica, logo

f é descontínua em x = 6.

Opção (D)

23.

Assim,

Opção (C)

lim ( ) – . x

x→ +∞

=f 5

limln

( )

lim ln

x

xxx

x→ +∞

→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜

⎞1 1

f

⎠⎠⎟

= =∞

= +∞

→ +∞

+

lim ( )

ln

–

–

–

xxf

0

5 5

lim( )

lim( )

x

x

x x

xx

x

→ +∞

→ +∞

+=

+⎛

g

g

34

3§⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

→ +∞

lim( )

4

3 4§x

x

x

g

li§ mm( )

, x

x

x→ +∞=

g1

lim ( ) lim

x x

xx

x→ → ++ +=

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

0 0

2 1 1

0h +∞

lim ( ) lim–

lim

–

– –x x

x x

xx

x→ →=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

0 0h

e e→→

→ →= ×

–

–

–

– –

( – )

lim lim

0

2

0 0

2

1e e

ee

x x

x

x

x

xxx

x

x

x x

– lim

– –

1 1

20

2 0

2

= ×→

ee

Limite notáveel� ��

×

= × × =

2

1 1 2 2

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ), –x x

x x→ →

= ≠+0 0

0 0h h h he

lim ( ) ( – )

lim ( )

–

x

x

x

x

→

→

+= +∞ ∞

6

6

f

f

ou

ou:

== +∞ ∞ ( – )ou

lim ( ) ( ). x

x→

=6

6f f

lim –

×→

1

0x

§k

k

ee

k

k

x

x

–

1⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟


== +

× =

=

2 1

11 3

1

3

§

§

k

k

lim lim

lim ue

e ee

n

n

n n=

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −

1 12nn

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=+∞

− +∞ = ∞

( ) –1

lim ( ) lim ( ) . –

f u fn

= =→ ∞x

x 0


24.

Opção (A)

25.

Opção (A)

26. Sabendo que f é o tipo f(x) = x2 + bx + c e que admi-te como zeros os valores 3 e –4, então:f(x) = (x – 3) × (x + 4)Assim:

Fazendo uma mudança de variável:y = x – 3 : x → 3 ⇒ y → 0Opção (A)

27.

• pois o gráfico de f(–x) pode obter-

-se do gráfico de f por uma simetria relativamen-te ao eixo Oy e como y = –x é assíntota do gráficode f quando x → –∞, vem que logo

• pois a reta de equação y = 2 é assín-

tota do gráfico de f quando x → +∞.Opção (A)

28.

Opção (B)

29.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

30.

a)

lim log | – |

log x x→ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

5

1

5

1

0== +∞ = +∞ log ( )

limln

limln

12

12

3

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟n n

n n

Limitee notável� ��

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= ( ) =

3

23

2 (lne )) 3 8=

lim –

( – )( ) lim

–

x

x

x

x

x x→ →+=

3

3

3

1

3 4

e ex

x

x

x x

–

–

– lim

lim

3

3

3

1

3

1

4×

+

=

→

→

e ––

–

– lim

– 3

0

1

3

1

7

1

x yy

y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × =

⎛

⎝⎜

→

e⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ × = × =


1

71

1

7

1

77

lim (– ) – ( ) lim x x

x x→ +∞ → +∞

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =f f f

1

2((– ) – lim ( )

–

x x

x

1

21

22

→ +∞

= +∞ × = +∞

f

lim (– ) , x

x→ +∞

= +∞f

lim ( ) , –x

x→ ∞

= +∞flim (– ) .

xx

→ +∞= +∞f

lim ( ) , x

x→ +∞

=f 2

lim( ) ( )

lim( )

lim x x x

x x

x

x

x→ +∞ → +∞ →

+= +

f g f++∞

→ +∞= + = + =

g( )

limln ( )

x

xx

xx

22 0 2 2

lim – – – – – – –x

x x→

+( ) = ( ) + × ( )1

3 23 2

5 3 2 5 1 3 1 2 6=

lim – – – – – – –x

x x→ ∞

+( ) = ∞( ) + × ∞( )5 3 2 5 33 23 2

2 = +∞

lim

– lim

x x

x

x

x→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

3 3

2

33

2

2

3

2

2

–

–

lim–

l

x x

xx

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

→ +∞iim

– – –

x x→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ∞ + = ∞

3

20

lim

x

x

x→ += =

0 4

0

40

lim ( – )

x

x

x→ += = +∞

2 22

2

0

lim –

x

x

x→= = =

1

2

9

2

8

2

2 2

2

2

lim –

– lim

( – ) x x

x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

5

2

0

0

5

25

5

5 ( )

– lim ( )

x

xx

x

+= + =

→

5

55 10

5

lim – –

– lim

– x x

x x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+=

2

2

2

0

0

2

4 4

4

(( – ) ( – )

( – ) ( )

lim –

x x

x x

x

2 2

2 2

2

+

=→

(( – )

x

x

2

2

0

40

+= =

lim

lim

( – –x x

x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+

+=

+1

3

0

0

1

1

1

11 1

1

1

2

1

2

) ( )

lim ( ) –

x – x

x

x – xx

+

+

= +→

= 3

lim –

lim –

x

x

x

x

x x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→= ×

0

0

0

0

1

4

1

4

1e e

LLimite notável

� �� = × =

1

41

1

4


Cálculo auxiliar:r é perpendicular à reta de equação

logo é do tipo y = 2x + b, b ∈ �.

Como r é assíntota não vertical do gráfico de

g, então

y x – ,= +1

21

lim( )

. x

x

x→ +∞=

g2

Cálculo auxiliar:

1 0 0 1

–1 –1 1 –1

1 –1 1 0 = r

b)

Considerando a mudança de variável 3x = y:

x → 0 ⇒ y → 0

c)

Considerando a mudança de variável x – 2 = y :

x → 2 ⇒ y → 0

d)

e)

Considerando a mudança de variável: x – 4 = y:

x → 4 ⇒ y = 0

f)

g)

31.

a)

b)

c)

Como não existe

d)

32.

a)

b)

c)

Cálculo dos limites laterais de f em x = 0:

•

•

Como não existe

33. Função a: logo não

existe Assim, a função a não é contínua

em x = 2.

Função b: logo não

existe Assim, a função b não é contínua

em x = 2.Função c: 2 não pertence ao domínio da função c, logonão faz sentido averiguar a continuidade em x = 2.Função d: logo exis-

te Assim, a função d é

contínua em x = 2.

lim –

– lim –

x

x

x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→= ×

0

3

0

0

0

311

e e

– lim –

– li

1

11

33 1 3

0

3

x

xx

x

= × × = ×→

emm

–

–

y

y

y→

= × ×

0

1

1 3

e

Limitenotável

� ��

11 3 – =

lim –

– lim

–

–

x

x

y

y

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

2

2

0

0

0

1

2

e e 111

y

Limitenotável

� �� =

lim –

lim –

x x x x

x x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→= ×

0

0

0

0

5

15

1e e== ×

= × =

→

lim–

51

1

51

15

0x

x

x

e

lim –

– lim

( x

x

x

x x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

×4

4

0

0

44

e e e ey

y

x y

–

– )

– lim

– 44

0

1

4

1= ×

→e

e

Limitenottável

� ��

= × =e e4 41

lim x

x

x→ +∞= +∞

e4

Limitenotável

��

limln

limln

x x

x

x

x

x x→ +∞ → +∞= ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

4 3

1llim

ln lim

x x

x

x→ +∞ → +×

Limite notável

�� ∞∞

= × =

1

0 0 0

3x

lim ( ) lim

x x

xx→ +∞ → +∞

=+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+∞=h

2

11

2 0

lim ( ) lim –

– – –x xx

x x

x→ ∞ → ∞

±

=+

=h2 6 20

25

2

2

∞∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

→ ∞

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

lim–

lim

–

–

x

x

x

x

2 2

2

–– –2 2( ) =

lim ( ) lim

x x

xx→ →+ +

=+

=+

=0 0

2

11

2

0 11

2h

1112 6 20

250 0

2

lim ( ) lim –

– – –x xx

x x

x→ →=

+h

22

20

25

4

5 – –= =

lim ( ). x

x→ 0

hlim ( ) lim ( ), –x x

x x→ →+

≠0 0

h h

lim ( ) lim –

– – –x xx

x x

x→ →=

+=

5 5

2

2

2 6 20

25h

00

0

5

2 5 2

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

+ ×lim

( ) ( – )

( – –x

x x

x)) ( )

lim ( – )

–

(– –

52 2

5

25

+

= =×

→

x

x

xx

55 2

5 514

40

7

5

– )

– (– )

–

–= =

lim ( ) lim –

– –

–

x x

x

xx

→ ∞ → ∞

∞

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =f

e

e

e

1 1 –

–

–e ∞= =

0

1 00

lim ( ) lim –

x x

x

xx

→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= =fe

e1

11

1

1

1

lim –

lim – lim

x

x

x

x x x

→ +∞

→ +∞ → +

=

e

e

e ∞∞

=

+∞

= =

–

–

–

1

1

11

1

0 11

lim ( ) lim –

x x

x

xx

→ →= =

0 0 1

1

0f

e

e

lim –

–

– –x

x

x→ ++= = = = ∞

0 1

1

1 1

1

0

e

e

lim –

–

––x

x

x→ += = = = +∞

0 1

1

1 1

1

0

e

e

lim ( ). x

x→ 0


x x→ →+

≠0 0

f f

lim ( ) lim ( ) , –x x

x x→ →

= =+2 2

2 3a ae

lim ( ). x

x→ 2

a

lim ( ) lim ( ) – , –x x

x x→ →

= = ∞+2 2

0b be

lim ( ). x

x→ 2

b

lim ( ) – lim ( ) – , –x x

x x→ →

= =+2 2

3 3d de

lim ( ) lim ( ) ( ). x x

x x→ →

=2 2

2d d de


34.

a) •

•

Como conclui-se que a função f é con-

tínua em x = 4.

b) •

•

• g(2) = 3

Existe lo-

go a função g não é contínua em x = 2.

c) •

•

• h(–1) = 5 – ln 1 = 5

Não existe logo

a função h não é contínua em x = –1.

No entanto, logo a função h é con-

tínua à esquerda em x = –1.

d) •

• i(4) = 2

Existe mas logo

a função i não é contínua em x = 4.

35.

a)

Após 5 segundos da abertura do paraquedas, o para-

quedista encontrava-se a 555 metros de altitude.

b) 1 minuto e 30 segundos corresponde a t = 90 e

1 minuto e 31 segundos corresponde a t = 91.

• h é uma função contínua em [90, 91], visto tratar-

-se da soma de funções contínuas (t 585 – 6t e

t 15e–1,6t) em �, logo contínuas em [90, 91].

• h(90) = 45 > 40 e h(91) = 39 < 40

Pelo Teorema de Bolzano Et ∈ ]90, 91[: h(t) = 40.

36. Df = {x ∈ �: x2 – 4 ≠ 0} = �\{–2, 2}• Assíntotas verticais:


Logo, a reta de equação x = 2 é uma assíntotavertical do gráfico de f.

Cálculo dos limites laterais em x = –2:

Logo, a reta de equação x = –2 é uma assíntotavertical do gráfico de f.O gráfico de f não possui qualquer outra assín-tota já que a função f é contínua em todos ospontos do seu domínio (�\{–2, 2}).


Logo, a reta de equação y = 2 é assíntota hori-zontal do gráfico de f para x → +∞.

A reta de equação y = 2 é também assíntota hori-zontal do gráfico de f para x → –∞.

37.a)

Df = �\{–4}b) Por exemplo, para x → +∞:

lim ( ) x

x→

=4

4

4f

e

fe

( ) 4 =4

4lim ( ) ( ),

xx

→=

44f f

lim ( ) lim ( – ) – –x x

x x x→ →

= + =2 2

2 2 4g

lim ( ) lim –

– x xx

x

x→ →+ +=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2 2

2

0

04

2g

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

→

+

+

=

lim ( – ) ( )

–

lim

x

x

x x

x2

2 2

2 ( )

22 4

++ =x

lim ( ) lim ( ) , lim x x x

x x→ → →

=2 2

4g ge mas22

2 ( ) ( ),g gx ≠

lim ( ) lim ( ) – – –– –x x

x x→ →

= =1 1

5h 5 – ln (– ) ln 1 5=

lim ( ) lim ( )

(– ) – –x x

x x x→ →+ +

= + +

=1 1

2 2 7

1

h

22 2 1 7 6+ × + = (– )

lim ( ), lim ( ) lim – – ––x x x

x x→ → →

≠1 1 1

h hpois++h( ), x

lim ( ) (– ), – –x

x→

=1

1h h

lim ( ) lim –

– x xx

x

x→ →

⎛

⎝

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

4 4

0

04

2i

⎜⎜⎞

⎠⎟

→

+( )( ) +( )

lim ( – )

– x

x x

x x4

4 2

2 2

lim ( – )

–

lim

=+( )

( )=

→ →x x

x x

x4 2

24

4 2

2

( – )

–

lim

x x

x

xx

4 2

4

2 44

+( )

= +( ) =→

+ = + =2 2 2 4

lim ( ) lim ( ) , x x

x x→ →

=4 4

4i ie lim ( ) ( ), x

x→

≠4

4i i

h e( ) – – , 5 585 15 6 5 5551 6 5= + × ≈×

lim ( ) lim –

– x xx

x

x→ →=

2 2

2

2

2 1

4f

lim ( ) x

x→ ++

= = +∞2

7

0f

lim ( ) – ––x

x→

= = ∞2

7

0f

lim ( ) lim –

– – –x xx

x

x→ →=

2 2

2

2

2 1

4f

lim ( ) – – –x

x→ +

= = ∞2

7

0f

lim ( ) – –x

x→ +

= = +∞2

7

0f

lim ( ) lim–

– lim

x x xx

x

x→ +∞ → +∞ → +∞= =f

2 1

4

2

2

222 2

2

2

x

x x lim

= =

→ +∞

lim ( ) lim–

– lim

– – –x x xx

x

x→ ∞ → ∞ → ∞= =f

2 1

4

2

2

222

2

2

x

x =

f( ) – –

–

x

x x

xx

x=

+

+= + +

+

2 2 9

42

1

4

lim ( ( ) – (– ))

lim –

x

x

x x

x

→ +∞

→ +∞

+

= + +

f 2

2

– (– )

lim

1

42

1

4

xx

xx

++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

⎛

⎝→ +∞⎜⎜

⎞

⎠⎟ =

+∞=

10


Cálculo auxiliar:

–x2 – 2x + 9+x2 + 4x

2x + 9–2x – 8

1

x + 4–x + 2


Por definição, a reta de equação y = –x + 2 é assín-tota não vertical do gráfico de f se:

ou

Fica assim provado que y = –x + 2 é assíntota nãovertical do gráfico de f.

38. Por exemplo:

39.

a)

b)


Logo, não existe

c)

Como não existe

d)

e)

f)

g)

lim ( ( ) – (– )) x

x x→ +∞

+ =f 2 0 lim ( ( ) – (– )) –x

x x→ ∞

+ =f 2 0

O

y

x

y = xf

-1 1

2

lim – –

– li

x

x x x

x x→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+=

3 2

3

3 9 27

9mm lim x x

x

x→ +∞ → +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

3

31 1

lim –

– lim

x x

x x x

x x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+=

3

3 2

3

0

0

3

3 9

9

(( – )

( – )

x x

x x

2

2

3 9

9

+

lim –

–

–

x

x x

x→ + ++

+= = = +

3

2

2

3 9

9

9

9 9

9

0∞∞

e lim –

–

–

– ––x

x x

x→

+= = =

3

2

2

3 9

9

9

9 9

9

0 –∞

lim –

– .

x

x x x

x x→

+3

3 2

3

3 9

9

lim –

– x

x

x→ 1

1

1

lim –

– lim

–

–

x x

x

x

x

x→ →+ += =

1 1

1

1

1

1llim

lim –

– lim

–

x

x x

x

x

→

→ →

+=

=

1

1

1 1

1

1 11 1

1

1

1

1– –

– lim

–( – )

– lim

–x

x

x

xx

+= =

→ xx→=

–(– ) –

11 1

lim –

– lim

–

– ,

–x x

x

x

x

x→ →+≠

1 1

1

1

1

1

lim –

– .

x

x

x→ 1

1

1

lim –

– lim

– x x

x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

16

0

0

16

4

16

4(( ) +( )+( )

=( )

→

( – )

lim –

x

x x

xx

4

16 4

16

2

( – )

lim –

( –

4

16 416

1

2

16

x x

x

xx

+( )=

→ 66 41

41

16 4

1

8

16

)

lim

x

xx

+( )=

+

=+

=

→

lim

lim

–

( – )

–

x

x

x x

x

→ ∞

+∞ ∞

→ ∞

+ +( ) =

=+

2

2

3

33 3

3

2

2

2

–

–

lim

–

+( ) +( )+

=+

→ ∞

x x x

x x

xx

33

33

22

2

2 2

2

( )+

=+

+→ ∞

–

–

lim –

–

x

x xx x

xx 33

3

33

2 – lim

–

– (– )

–x x xx=

+

=+∞ ∞

=

→ ∞

330

+∞=

lim –

– lim

–

( x x

x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

2 4

0

0

2

2

16

2

xx

x

x xx

2 2 2

2 2 2

42

4 4

) –

lim –

( – ) ( )

li

=

+

=

→

mm –

( – ) ( ) ( )

lim

x

x

x

x x x→

→

+ +

=

2 2

2

2 2 4

22 2

1

2 4

1

4 8

1

32 ( ) ( )

x x+ +

=×

=

lim ( – ) : –

xx x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1

32

0

0

3 21

2

⎠⎠⎟

→= × + ×lim ( – ) ( – )

– xx x x

x

x1

2

21 2

2

1

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

→

lim ( – ) ( – )

( – x

x x x x

x1

21 2 2

) ( )

lim ( – )

1 1

2 2

11

2

x

x x x

xx

+

=+

+=

→

0 2

20

×=

|x – 1| =efg

x – 1 se x – 1 ≥ 0–x + 1 se x – 1 < 0

=efg

x – 1 se x ≥ 1–x + 1 se x < 1

Cálculo auxiliar:

Cálculo auxiliar:

1 0 –3 2

1 1 1 –2

1 1 –2 0 = r

h)

i)

40.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

lim – –

– lim

– x x

x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

4

0

0

4

5 1

4

5 –– –

( – ) –

lim

1 5 1

4 5 1

( ) × +( )+( )

=→

x

x x

x

– –

( – ) –

lim

4

22

4

5 1

4 5 1

x

x x

x

( )+( )

=→

55 1

4 5 1

4

– –

( – ) –

lim–( –

x

x x

xx

+( )=

→

44

4 5 1

1

5 14

)

( – ) – lim

–

–

l

x x xx+( )=

+

=

→

iim–

–

x→ +=

4

1

1 1

1

2

lim

lim

( ( ))

x xxx

→ +∞

× ±∞

+× +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1

312

0

→→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

+

+=

=

+

lim

x

x

xx

x

2

2

1

3

11

22

2

2

3

11

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+=

× +

+

=

→ +∞x

xx

xx lim

llim| |

lim

lim

x x

x

x

x x→ +∞ → +∞

→ +

+× +

=

31

12

∞∞

→ +∞

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × +

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

x

x

x

xx

lim

31 0

11 1 1 lim

= =→ +∞x

lim –

lim ( – )

x

x

x

x

x x→ →=

=

0 0

3 3

2

3 1

23

2

e e

××

= ×

→ lim

–

x

x

x0

1

3

2

e

Limite notável

� ��

13

2=

lim –

lim ( – )

x

x

x

x

x x→

+

→=

=

0

4 4

0

4

3

1

3

e e e e

lim –

e e4

03

1×

=

→x

x

xLimite

notável

� ��

ee e4 4

31

3 × =

lim –

lim –

x

x

x

x

x x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→= ×

0 3

0

0

0

1 1e e 11

1

2

0

x

xx

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=→

lim –

e

Limite notável

� �� lim

× = × = +∞

→ +x x0 2

11

1

0

lim –

lim –

x

x

x

x

x x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→= ×

0 2

0

0

0

1 1 1e e

xx xx

x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ lim

– 0

1e

Limitenotável

� �� lim

lim

×

= ×

→

→

x

x

x

x

0

0

1

11

�Não existe, pois e

As

lim

lim – .

–

x

x

x

x

→

→

+= +∞

= ∞0

0

1

1

ssim, não existe lim –

. x

x

x→ 0 2

1e

lim –

–

–

–

( – ) x

x

x→= =

2

2 4

2

21

1

1

1

1e

e

e

e

e (( )

–

e

ee

2

2

21

11

+= +

lim –

ln lim

– x y

yx

x y→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→=

1

2

2

0

0

0

1 1e

LLimite notável

� �� = 1

Mudança de variável:ln x2 = y § x2 = ey

Se x → 1, então y → 0.

lim ln ( )

lim ln

x x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+=

0

0

0

0

1

3

1

3

( )

x

x

+= × =

1 1

31

Limite notável

� ��

11

3

lim ln ( )

lim l

x x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+=

×0

3

0

0

0

1 3 nn ( )

lim ln ( )

x

xx

xx

+

= ×+

→

1

31

0

Limite notável

�� = × =3 1 3

lim ln ( )

lim

– –x x

x

x→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

+

+=

2

0

0

2

3

2

lln ( )

lim

ln ( )

x

x

y

yy

+ +

+=

+→

2 1

2

10

Limmite notável

�� = 1

Mudança de variável:x + 2 = ySe x → –2, então y → 0.

limln

lim ln x

x

x

x

x x

x→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞= ×

e e

lim limln

(

x

x

x

xx

x

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= × =→ +∞ → +∞

e++∞ ×

= +

→ +∞

)

limln

1

x

x

xLimite

notável

��

∞∞ × = +∞ × +∞ = +∞+

( ) 1

0



41.

a)

b)

c)

•

•

Como não existe

42.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

43.a) Justificar que a reta r interseta a curva c em pelo

menos um ponto, no intervalo [0, 1], é equivalentea provar que a equação f(x) = 5 tem pelo menos umasolução no intervalo [0, 1]:• f é contínua em [0, 1], por se tratar da soma de

duas funções contínuas em � e, portanto, contí-nuas em [0, 1].

• f(0) = 50 + 5 × 0 = 1f(1) = 51 + 5 × 1 = 10Ou seja, f(0) < 5 < f(1).

Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy pode concluir-seque existe pelo menos um número c ∈ ]0, 1[ tal quef(c) = 5, isto é, f(x) = 5 tem pelo menos uma soluçãono intervalo ]0, 1[.

b)

44.a) Para que f seja contínua em t = 60 terá que se verificar:

Para que exista

b) Pretende-se f(t) = 12, para t ≥ 60. Assim:

lim ( ) lim–

–

–

– –x xx

x→ ∞ → ∞= =

+∞=f

3

1

30

lim ( ) lim – –

x xx

x x x

x x→ +∞ → +∞=

+

+f

2 2

2

2 2

2 4 ––

lim lim

6

2

3

2

=

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞x x

x

x →→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +∞

x

2

lim ( ) x

x→ 1

f

lim ( ) lim–

–

– –

– –x xx

x→ → += = = ∞

1 1

3

1

3

0f

lim ( ) lim – –

x xx

x x x

x→ →+ +=

+

+1 1

3 2

2

2 2

2 4f

xx –

6

0

0

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x x xxlim

( – ) (

1 31

2

=+ +

→ +

22

2 1 3

3 2

21

2

)

( – ) ( )

lim

(

x x

x x

xx

+

=+ +

→ + )

( )

+=

+ +

× += =

3

1 3 2

2 1 3

6

8

3

4

lim ( ). x

x→ 1


x x→ →

≠+1 1

f f

lim ( – ) ( ) lim ( ) – lim x x x

x x→ → →

=0 0

f g f00

1 3 2 ( ) – –g x = =

lim ( ) ( ) lim ( ) lim – –x x x

x x→ → →

× = ×1 1

f g f –

( ) ( ) 1

5g x = +∞ × = +∞

lim ( ) lim ( )

lim –

–

x

x

x

xx

→

→

→

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1

1g

f

g

–– ( )

1

50

f x=

+∞=

lim ( ) ( ) lim ( ) lim x x x

x x→ +∞ → +∞ → +∞

+ = +f g f gg( ) ( ) x = + +∞ = +∞0

lim ( ) lim ( )

lim –

–

x

x

x

xx

→ ∞

→ ∞

→

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

f

g

f

–( )

∞

=+∞

=g x

00

lim ( ) lim ( )

lim

x

x

x

xx

→

→

→

+

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

1

1f

g

f

11

1

01 0

+

= >

= ∞

g

ff

( )

( ), ( )

–

–xcom

lim ( ) lim ( ) x x

x x→ +∞ → +∞

+= = =f f 0 0

5

10

1

1O

y

1y

2y

x

B

0,53

A

AOA h

OABΔ[ ]

, ,=

×≈

×≈

2

1 0 53

20 3

lim ( ) ( ) t

f t f→

=60

60

lim ( ) : t

f t→ 60

lim ( ) lim ( )

lim (

–t t

t

f t f t→ →

→

+

+

=

+60 60

606§ AA t

t ) lim ( – , ( – )

–× = + ×

→2 20 80 20 05 60

60

–– ,

– , –

)

0 05

0 05 0 06 2 20 80 2

t

A§ + × = + ×× ,,

–

05 60

0 36 2 20 80 2

2

×

+ × = + ×

=

§

§

A

A 00 10 6

24

–

+

=§ A c.q.d.

6 24 2 12

2

0 05 60

0 05 60

– , ( – )

– , ( – )

+ × =t

t§ ==

=

–

– , ( –

– , ( – )

12 6

24

21

4

0 05

0 05 60§

§

t

t 6601

40 05 60 2

2) log

– , ( – ) –

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=§

§

t

t ––

60 40

100

=

=§ t

y x

y

x

1

2

5 5

5

= +

=

Cálculo auxiliar:

1 2 –1 –2

1 1 3 2

1 3 2 0 = r

x x x x x x3 2 22 2 1 3 2+ = + + – – ( – ) ( )

2 4 6 0 1 32x x x x+ = = = – –§ ›

O pudim atinge os doze graus após 100 minutos deter sido confecionado; como esteve 60 minutos aarrefecer na bancada da cozinha, precisa de estar40 minutos no frigorífico para atingir esta tempera-tura.

45.a)

•

•

Como tem-se que f é contínua em

x = 2.

b)


tanto, g não é contínua em x = 0.Como pode concluir-se que g é con-

tinua à direita em x = 0.

c) •

•

Como tem-se que h é contínua em

x = 2.

d)


tanto, a função i não é contínua em x = 0.Como conclui-se que i é contínua à

esquerda em x = 0.

46.a) • No intervalo ]–∞, 0[ a função f é contínua visto,

neste intervalo, estar definida pelo quociente deduas funções polinomiais, cuja função que seencontra no denominador não se anula no interva-lo considerado.

• No intervalo ]0, +∞[ a função f é contínua visto, nesteintervalo, estar definida pelo quociente de duas fun-ções contínuas: uma que é a diferença entre a com-posta de funções contínuas (x √ ∫x + 4) e a funçãoconstante (x 2) e outra que é uma função afim(x x) que não se anula no intervalo considerado.

• Em x = 0:

f( ) | – | – x x x= 2 2

lim ( ) lim (| – | – ) | x x

x x x→ →

= =2 2

2 2 2f –– | – –2 2 2 4× =

f( ) | – | – – –2 2 2 2 2 0 4 4= × = =

lim ( ) ( ), x

x→

=2

2f f

lim ( ) lim –

–

– –x x

x

xx x→ →

+∞

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

0 0

1g

e ∞∞( )

→

→=

lim –

– lim –

–

–

x

x

x

x

x

x

0

0

1

1

e

e

Limiteenotável

� �� –

lim ( ) lim (

=

=→ →+ +

1

0 0x xxg xx x

xx

– ( )

ln ( ))

lim ln (

10

0

1× + =

=

× ±∞( )

→ +

)

+=

11

xLimite

notável

� ��

lim ( ) x

x→ 0

glim ( ) lim ( ), –x x

x x→ →

≠+0 0

g g

lim ( ) ( ), x

x→ +

=0

0g g

lim ( ) lim – –

– x xx

x x

x→ →

⎛

⎝⎜

= =2 2

3

0

03 2

2h

⎞⎞

⎠⎟

→=

+( )( )

lim ( – – )

– x

x x x

x x2

3 3 2 2

2

lim ( – – )

–

+( )

=+( )

( )→

2

3 2 22

3

2x

x x x

x 22

2 2 1 2

2

2

2

( )

=+ + +( )

→lim

( – ) ( ) x

x x x x

xx

x x xx

–

lim ( )

(

2

2 1 2

4

2

2= + + +( )

= +

→

) 4 1 2 2 9 2 2 18 2+ +( ) = × =

h( ) 2 18 2=

lim ( ) ( ), x

x→

=2

2h h

lim ( ) lim –

– – –x x

x

xx

→ →=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

0 0 2

0

1

1i

e

e

00

0 2

1

1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

lim –

–

li

–x

x

xx

xe

e

mm –

lim –x

x

xx→ →×

0 0

1e


––

–

–

lim –

lim

x

x

x

x

xe e2

0

2

2

11

1

1

1

= ×

=

→

xx

x

x

x→

→

×

=×

=

+

–

–

lim

0

2

0

1

22

1

1 2

1

2e

i(( ) limlog

log

–

xxx

= = =∞

=→ ++0

1 1

0

10

lim ( ) x

x→ 0

ilim ( ) lim ( ), –x x

x x→ →

≠+0 0

i i

lim ( ) ( ), –x

x→

=0

0i i

lim ( ) lim

– – –x xx

x x

x x x→ →

⎛

=+

+=

0 0

2

3 2

0

0

4 4f

⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟

→

→

+

+

=

lim( )

( – )

lim

–x

x

x x

x x x0 2

0

1

4 4

––

–

–

lim

x

x x

x

+

+=

+

+=

1

4 4

0 1

0 0 4

1

42

→→ →

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ +=

+=

=

( ) lim

–

lim

0 0

0

04 2f x

x

xx

xx

x x

x x→ +

+( ) + +( )+ +( )

=

–

l

0

4 2 4 2

4 2

iim –

lim

x x

x

x x

x→ →+ +

+( )+ +( )

=0

22

0

4 2

4 2

–

lim

+

+ +( )=

+ +( )→ +

4 4

4 2

4 20

x x

x

x xx lim

=

+ +

=+

=

→ +x x0

1

4 2

1

4 2

1

4


Cálculo auxiliar:

1 0 –3 –2

2 2 4 2

1 2 1 0

x3 – 3x – 2 = (x – 2) (x2 + 2x + 1)


f(0) = 4Existe mas logo f não é con-

tínua em x = 0.A função f é contínua em �\{0}.

b) Dg = �\{3}• No intervalo ]–∞, 2[ a função g é contínua visto,

neste intervalo, estar definida pelo quociente defunções contínuas: uma que é a diferença entre umafunção exponencial (x ex – 2) e uma função cons-tante (x 1) e outra que é uma função polinomialque não se anula no intervalo considerado.

• Em ]2, +∞[\{3} a função g é contínua visto, nesteconjunto, estar definida pelo quociente de funçõescontínuas: uma que é a composta de uma funçãologarítmica com uma função quadrática:(x ln (x2 – 4)) e outra que é uma função afim (x x – 3) que não se anula em ]2, +∞[\{3}.

• Em x = 2:

Como não existe e,

portanto, g não é contínua em x = 2.A função g é contínua em �\{2, 3}.

47.a) Df = {x ∈ �: x2 + x – 2 ≠ 0} = �\{–2, 1}


A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de f.

A reta de equação x = –2 é assíntota vertical do gráficode f. Não existem mais assíntotas verticais do gráficode f visto a função ser contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:

A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → +∞ e quando x → –∞ (obser-ve-se que os cálculos para a determinação de m eb quando x → –∞ são idênticos).

b) Dg = �• Assíntotas verticais:O gráfico de g não tem assíntotas verticais visto tra-tar-se de uma função contínua em � (quociente defunções contínuas).• Assíntotas não verticais:

A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal dográfico de g quando x → +∞.

lim ( ) ( ), x

x→

≠0

0f flim ( ), x

x→ 0

f

lim ( ) lim–

– –

–

– –x x

x

xx x→ →

=+2 2

2

3 2

1

4 9g

e

66 641

8

0

80

0

2

x

xx

–

lim ( ) lim

+

= = =

=→ +

e

gxx

x

x→

+

+= =

∞= +∞

ln ( – )

–

ln

–

–

–

2

2 4

3

0

1 1

lim ( ) x

x→ 2

glim ( ) lim ( ), –x x

x x→ →

≠+2 2

g g

Cálculo auxiliar:x2 + x – 2 = 0 § x = –2 › x = 1

lim ( ) lim

– lim

x xx

x

x x→ →+ +=

+

+=

1 1 2

4

2f

xx

x

x

x x→

+

+

+

+

= = +∞

( ) ( – )

lim

1

4

2 15

0

→→ → →=

+

+=

– – ( ) lim

– lim

1 1 2

4

2f x

x

x xx x 11

4

2 15

0

–

( ) ( – )

– –

x

x x

+

+

= = ∞

lim ( ) lim

( ) ( – – –x xx

x

x x→ →+ +=

+

+2 2

4

2f

)

(– ) –

lim ( ) lim – –

1

2

0 3

2

=×

= ∞

=

+

→ →x xxf

– ––

( ) ( – )

(– )

2

4

2 1

2

0 3

x

x x

+

+=

×= +∞

mf

lim( )

lim

–

= =

+

+

=

→ +∞ → +∞x x

x

x

x

x xx

4

22

llim

– lim

x x

x

x x x→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

+

+=

4

23 2

xx

x x

x

x

x

3 2

10

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

=

→ +∞

→ +∞

lim

lim ( (

b f )) – ) lim

– 0

4

22× =

+

+=

→ +∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

xx

x xx

⎠⎠⎟

→ +∞ → +∞= = =lim lim

x x

x

x x2

10

mg

e

e lim( )

lim

lim

= =

+

=→ +∞ → +∞ →x x

x

x

x

x

x x

2

++∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

+=

= +

2

2 1

lim

e

e

e

x

x

x x

x

x x

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+∞+

+∞= + =

=→ +∞

lim

2 10 0 0

bx

(( ( ) – ) lim

g

e

ex x

x

x

x0

2× =

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ +∞

±∞

±∞

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞ → +∞= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =lim lim

x x

x

x x

2

e

e

e

221

21 0 1 1

ex x lim

+

=+∞

+ = + =

→ +∞

mg e

e lim

( ) lim

lim

– –= =

+=

→ ∞ → ∞ →x x

x

x x

x

x x

2 –

–

lim lim

∞

→ ∞ →

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= +

2 1

2

x x

x

x

x x x

e

e –– –

( )

lim

lim

∞ → ∞

× ±∞( )

= + =

=

1 20

2

0

x xx x

x

e

→→ ∞ → +∞ → +∞= =

–

–

lim

– – lim

e e ex

y

y

y

y

x y y2 2

Limmite notável

��

– ( ) –= × +∞ = ∞2

Mudança de variável:–x = y § x = –ySe x → –∞, então y → +∞.

Como m ∉ �, o gráfico de g não tem assíntotas nãoverticais quando x → –∞.

c) Dh = �+


A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de h. Não existem mais assíntotas verticais jáque a função é contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:

Como b ∉ �, conclui-se que não há assíntotas nãoverticais do gráfico de h quando x → +∞. Dado odomínio de h ser �+, não faz sentido averiguar aexistência de assíntota não vertical do gráfico quan-do x → –∞.

48.a) Falsa. Por exemplo, a função f definida por

é contínua no seu domínio, �\{2}, e o seu

gráfico admite uma assíntota vertical, a reta deequação x = 2.

b) Falsa. Por exemplo, a função f definida por:

tem domínio �, e o seu gráfico admite uma assíntotavertical, a reta de equação x = 0.

c) Falsa. Se a ∉ Df, então a reta de equação x = a podeser assíntota vertical do gráfico de f e não faz sen-tido falar em descontinuidade num ponto que nãopertence ao domínio.Por exemplo:

d) Falsa. Por exemplo:

Observa-se que a reta de equação x = a é assíntotavertical do gráfico de f e a ∈ Df.

e) Verdadeira. Por exemplo, o gráfico da função f defi-nida por f(x) = tg x tem uma infinidade de assíntotasverticais.

49. É na opção (B) que pode estar representada parte

do gráfico da função .

Se na opção (D) estivesse representado o gráfico da

função não se poderia observar que

mas sim pois

Se na opção (C) estivesse representado o gráfico da

função não se poderia observar

mas sim

Se na opção (A) estivesse representado o gráfico da

função não se poderia observar

mas sim

lim ( ) lim (ln ) ln

–

x x

xx x→ →+ +

= + =0 0

1h e 00 1+ +

= ∞ + = ∞

– –

e

e

mh e

lim( )

limln

–

= =+

=→ +∞ → +∞

±∞

x x

xx

x

x

x

1 ±±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞= lim

ln

x

x

xLimite notável

�� ++ = +

+∞=

+∞=

=

→ +∞

∞

lim

l

– –

x

x

x

e e

b

1

00

0

iim ( ( ) – ) lim (ln

x xx x x

→ +∞ → +∞× = +h e0 1 ––

–

)

x

= +∞ + = +∞ + = +∞∞e 0

f( ) –

xx

=1

2

O

y

x2

f(x) =efg

1 se x ≤ 0ln x se > 0

O

y

x

1

O

y

xa

f

O

y

xa

1f

lim ( ) , –x

x→

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

0

10

f1f

lim ( ) , x

x→

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +∞

0

1

f

lim ( ) lim ( ) . –x x

x x→ →

+

+= =

0 00f f

1f

lim ( ) . –x

x→ ∞ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = = +∞

1 1

0f

lim ( ) , –x

x→ ∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

10

f

lim ( ) , –x

x→

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +∞

1

1

f1f

lim ( ) . –x

x→

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

+∞=

1

1 10

f


50.

a)

f tem um único zero: x = 1b) • Assíntotas verticais:

A reta de equação x = –3 é assíntota vertical do grá-fico de f.Não existem mais assíntotas verticais do gráfico def visto a função f ser contínua no seu domínio.• Assíntotas horizontais:

A reta de equação y = e – 1 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → +∞ e quando x → –∞.

51.

a)

b)

• Assíntotas verticais:A função I é contínua em �+

0, logo o seu gráfico nãoapresenta assíntotas verticais.


A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de I.No contexto da situação descrita significa que,quando a profundidade aumenta indefinidamente,a intensidade da luz tende para zero.

52.a) Em

•

•

Existe e logo a função f é

contínua em

Em x = –2:•

• f(–2) = ln 2logo não existe e,

assim, f não é contínua em x = –2.Mas logo f é contínua à esquerda

em x = –2.b) Df = �

Em todos os pontos pertencentes a �\{–2} verifica--se que a função f é contínua, logo o seu gráfico nãoapresenta assíntotas verticais.Em x = –2, apesar da função f não ser contínua nes-te ponto, verifica-se que (ou –∞) e

(ou –∞), logo a reta de equação x = 2

também não é assíntota vertical do gráfico de f.

O gráfico de f não apresenta, assim, qualquer assín-tota vertical.

D

f

e

f= ∈ + ≠ =

=

{ : } \{– }

( )

x x

x

� �3 0 3

0

§xx

x

x

x

x

–

–

–

–

1

3

1

3

1 0

1

+

+

=

=§

§

e

11

31

1 0 3 0xx x

ln

–

+=

= + ≠§ ‹

§ xx x –= ≠1 3‹

lim ( ) lim – – –

–

x x

x

xx→ →

++ +

= ( ) =3 3

1

3 1f e ee

e

f

–

–

–

–

– – –

lim ( )–

4

0

3

1

1 0 1 1

+

= = =∞

→xx lim – –

–

–

–

–

–= ( ) =

=→

+

+

x

x

x

3

1

3

4

01 1e e

e ∞∞ = +∞ = +∞– – 1 1

lim ( ) lim – lim

–

x x

x

xx→ +∞ → +∞

+= ( ) =f e1

3 1xx

x

x

x

→ +∞

+

±∞

±∞

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

→ +∞=

–

lim

–

e

e

1

3 1

xx

x

x

xx

–

lim li

– –

1

3 1 1+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= =→ +∞e emm

–

–

– –

lim ( ) lim

x

xx

→ +∞

= =

=→ ∞

1

1

1

1 1e e

fxx

x

x

x

x

x

→ ∞

+

→ ∞

+( ) = –

–

–

–

– lime e1

3

1

31±±∞

±∞

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

→ ∞= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

–

lim

–

–

1

1

3e x

x

x –– – –

–

lim lim – –1 1 1

1

1

= =

=

→ ∞ → ∞e e

e

x x

x

x

11 1 – = e

I I I a e a

ae b

( ) ( ), ( )

–

201

20 0 0

20

= = × =sendo

==

= >

( , )

–

a

e ab

21

2020§

§

pelo enunciado

–– ln

ln

– ,

201

21

220

0 0

b

b

b

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

≈

§

33

I e DI

( ) , – ,x xx= ≥ =10 00 05

0�++

mI e

lim( )

lim

– ,

= = =×

→ +∞ → +∞x x

xx

x x

10 100 05

lim ( ( ) – )

–

e

b I

∞

→ +∞

+∞=

+∞=

= ×

00

0x

x x == = × =→ +∞

∞lim ( )

– , –

x

x10 10 00 05e e

x – :=1

2

lim ( ) lim – – –

– –

x x

x x→ →

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1

2

1

2

3

2

1f

22

3

21

1

2

1

2

2

lim ( ) lim – –

+ =

=→ →

+

+ +

x x

xxf e 112

1

21

0 1( ) = = =× +

–

e e

f e e– – 1

211 1 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = = =+

lim ( ) – , –x

x→

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

2

1

2f flim ( )

–x

x→

1

2

f

x – .=1

2

lim ( ) lim ln(– ) ln (–(– )) – –– –x x

x x→ →

= =2 2

2f ln

lim ( ) lim – –

=

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠→ →+ +

2

3

22 2x xx xf ⎟⎟ = + = – –2

3

2

1

2

lim ( ) –x

x→ 2

flim ( ) lim ( ), – ––x x

x x→ →

≠+2 2

f f

lim ( ) (– ), – –x

x→

=2

2f f

lim ( ) – –x

x→

≠ +∞2

f

lim ( ) –x

x→ +

≠ +∞2

f


c)

O gráfico de f não apresenta quaisquer assíntotashorizontais.

53.

a)

Assim:

b)

b1)

b2)

b3)

•

Como não existe

54.a)

b)

c)

lim ( ) lim ln (– ) ln ( ) – –x x

x x→ ∞ → ∞

= = +∞ = +f ∞∞

= = = +∞→ +∞ → +∞

+ +∞lim ( ) lim

x x

xxf e e2 1

lim lim

lim

–

xn

n n

n

n n=

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

1⎛⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

–

lim

1

11

nLimite

notável

� ��

n

e⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

–

–

1

1

lim ( ) lim ( ) lim–

( – –f f

ne e

x xx

xx x= =

→ →1 1

3 1

–– )

( ) –

( – )

–

( – )

–

–

–

–

1

1

1

1

1

2

1 3

1 2

3

1= =

e

e

e

e 22

lim ( ) lim–

( – ) – –x xx

x

x→ ∞ → ∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

= =f3

2

1

1

⎞⎞

⎠⎟

→ ∞ → ∞= = ∞lim lim ( ) –

– –x x

x

xx

3

2

lim ( ) lim –

– x xx

x

x→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝

=+

=f3 2

1

⎜⎜⎞

⎠⎟

→ +∞=

+( ) + +( )lim

–

( – x

x x

x

3 2 3 2

1))

lim –

( – )

x

x

x xx

+ +( )

=+( )

→ +∞

3 2

3 2

1

22

++ +( )=

+

+ +→ +∞

lim –

( – )

3 2

3 4

1 3x

x

x x 22

1

1 3 2

( )=

+ +( )=

→ +∞

→

lim–

( – )

lim

x

x

x

x x

++∞ + +=

+∞=

1

3 2

10

x

lim ( ) lim–

( – ) – –x xx

x

x→ →

⎛

⎝⎜

⎞

= =1 1

3

2

0

01

1f

⎠⎠⎟

→

+ +

=

lim( – ) ( )

( – )

lim

–x

x

x x x

x1

2

2

1 1

1

→→

+ += = ∞

––

– –

1

2 1

1

3

0

x x

x

lim ( ) lim –

– x xx

x

x→ →

⎛

⎝⎜

+ +=

+=

1 1

0

03 2

1f

⎞⎞

⎠⎟

→=

+( ) + +( )+

lim –

( – ) x

x x

x1

3 2 3 2

1

lim –

( – )

x

x

x xx

+ +( )

=+( )

→ +

3 2

3 2

11

22

lim –

( – )

+ +( )

=+

+→ +

3 2

3 4

1 31x

x

x x ++( )

=+ +

=+

=→ +

lim

2

1

3 2

1

4 2

1

41x x

lim ( ). x

x→ 1


x x→ →

≠+1 1

f f

lim ( – ln ) lim – ln

–

x

x

x

xx→ +∞

+∞ ∞( )

→ +∞=e e 1

lim lim

xx

x

x

x

e

e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= ×→ +∞ → +∞

1 –– ln

– limln

x

x

x

x

x

x

e

e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= +∞ × ×→ +∞

1xx

x

x

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= +∞ ×⎛

⎝⎜⎜ → +∞

– limln

1

⎞⎞

⎠⎟⎟ ×

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

→ +∞

lim

1

x

x

x

e

= +∞ × ( – 1 0 ) × = +∞ × = +∞0 1

lim ( ln ) lim

( )

–x y

yx x y→

× ±∞( )

→ ∞+× = ×

0

0

e(( ) = ×( )× ±∞( )

→ +∞

0 ( )

lim (– )

z

–z ze

Cálculo auxiliar:• Mudança de variável: ln x = y § x = ey

Se x → 0+, então y → –∞.• Mudança de variável: –y = z § y = –z

Se y → –∞, então z → +∞.

=→ +∞ lim

z

–– –

lim

–

z

z

z

z

ze e= =

→ +∞

1 1

Limitenotável

��

++∞= 0

lim–

– ln lim

– ln

(ln

x

x

yx→ →

+=

3

2

0

2 39

3

e e ) + +y

y

9

Cálculo auxiliar:• Mudança de variável:

x – ln 3 = y § x = ln 3 + ySe x → ln 3, então y → 0.


Cálculo auxiliar:

1 0 0 –1

1 1 1 1

1 1 1 0 = r

Limitenotável

��

Limitenotável

��

x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)


55. Seja g a função definida por g(x) = f(x) – x.• g é contínua em [a, b] visto tratar-se da diferen-

ça entre duas funções contínuas em [a, b] (a fun-ção f e a função identidade);

• g(a) = f(a) – a < 0, pois como f(a) < a vem que f(a) – a < 0.

• g(b) = f(b) – b > 0, pois como f(b) > b vem que f(b) – b > 0.

Ou seja, g(a) × g(b) < 0.Assim, pelo corolário do Teorema de Bolzano--Cauchy tem-se que:

56. Seja h a função definida por h(x) = f(x) – g(x).• h é contínua em [a, b], visto tratar-se da diferen-

ça de funções contínuas em [a, b].• h(a) = f(a) – g(a) = g(b) – g(a) (pois f(a) = g(b))• h(b) = f(b) – g(b) = g(a) – g(b) (pois f(b) = g(a))Como g(a) ≠ g(b), pode concluir-se que g(b) – g(a)e g(a) – g(b) têm sinais contrários, o que significaque h(a) × h(b) < 0.Assim, pelo corolário do Teorema de Bolzano--Cauchy, conclui-se que:

57.a) Df = {x ∈ �: x – 3 > 0} = ]3, +∞[


A reta de equação x = 3 é assíntota vertical do grá-fico de f.Não existem mais assíntotas verticais, pois a funçãof é contínua no seu domínio.


Como b ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de f quando x → +∞.Dado o domínio de f, ]3, +∞[, não faz sentido averi-guar a existência de assíntotas não verticais do grá-fico de f quando x → –∞.

b) Dg = �• Assíntotas verticais:

Não há assíntotas verticais do gráfico de g visto afunção g ser contínua de domínio � (produto defunções contínuas).


Como m ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de g quando x → +∞.

Considerando a mudança de variável:–x = y § x = –ySe x → –∞, então y → +∞.

A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de g, quando x → –∞.

c) Dh = �• Assíntotas verticais:

Não há assíntotas verticais do gráfico de h visto afunção h ser contínua em � (soma de funções con-

tínuas:

ln

lim

– lim

→

+

→=

+=

y

y

yy

90

2 3 2e00

3 2

0

9 2

2

9

9

–

lim–

ln

ln

e

e e

+

→

+

=× +

y

y

y

y

y==

+

= =

→

→

lim–

lim– ( – )

–

y

y

y

y

y

y

0

2

0

2

9 9

9 19

e

e×× ×

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= ×

→ lim

–

– lim

y

y

y

y0

2

2

1

22

18

e

→→= × =

– –

0

2 1

218 1

e y

y

Limite notável

� �� –18

∃ ∈ =

∃ ∈

c a b g c

c a b f c

] , [: ( )

] , [: ( ) –

0

§ cc

c a b f c c

] , [: ( )

=

∃ ∈ =

0

§ c.q.d.

∃ ∈ =

∃ ∈

c a b h c

c a b f c

] , [: ( )

] , [: ( ) –

0

§ gg c

c a b f c g c

( )

] , [: ( ) ( )

=

∃ ∈ =

0

§ c.q.d.

lim ( ) lim –

x x

xx

x→ → ++ += = = +∞

3 3 3

3

0f

mf

lim( )

lim – lim

= = =→ +∞ → +∞ → +∞x x x

x

x

x

xx

3 xx

x x

xx

x

–

lim –

lim

31

3

10= =

+∞=

=

→ +∞

→ +b

∞∞ → +∞

±

× =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =( ( ) – ) lim

–

f x x

x

xx0

3

∞∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞ → +∞= =lim

– lim

– x x

x

x

x

x

x3

1

3

xx x x

x

2 2

1

1 3

1

0

1

0

lim

–

=

= = = +∞

→ +∞

+ +

mg e

e lim( )

lim lim

= = =→ +∞ → +∞ → +∞x x

x

x

xx

x

x

x== +∞

mg e

e lim( )

lim lim – – –

= = =→ ∞ → ∞ → ∞x x

x

x

xx

x

x

x== 0

b g e lim ( ( ) – ) lim ( ) – –

= × = ×→ ∞ → ∞x x

xx x x0 ==

= = =

∞ ×( )

→ ∞ → +∞

– – lim lim

– – lim

0

x x y

x y

e ey yy y

y→ +∞

=

e

0

x xx x

–

e

ee

2 2


Como m ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de h quando x → +∞.

Como m ∉ �, também não existem assíntotas nãoverticais do gráfico de h quando x → –∞.

58.a) • Assíntotas verticais:

Considerando a mudança de variável: 2x = ySe x → 0–, então y → 0–.

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico da função f.Não existem mais assíntotas verticais visto a funçãoser contínua no seu domínio, �\{0}.• Assíntotas não verticais:

Como b ∉ �, não existem assíntotas não verticaisdo gráfico de f quando x → +∞.

A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → –∞.

b) Seja g a função definida por g(x) = f(x) + x.• A função g é contínua em [–2, –1] visto ser a so -

ma de funções contínuas: f no intervalo [–2, –1]encontra-se definida pelo quociente de funções

contínuas e x x é a função

identidade e, portanto, também contínua.

•

Isto é, g(–2) × g(–1) < 0.Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy con-clui-se que:

c)

Assim, x ≈ –1,6.

mh e e

lim( )

lim

–

= =+

=→ +∞ → +∞

±∞

±∞

⎛

⎝

x x

x xx

x x2

⎜⎜⎞

⎠⎟

→ +∞ → +∞

→

+

= ×

lim lim

lim

–

x

x

x

x

x

x x

e e

2 21

2 ( )

+∞+

+∞= × +∞

ex

xLimite

notável

��

0 1

2 + = +∞0

mh e e

lim( )

lim

– –

–

= =+

=→ ∞ → ∞

±∞

±∞

⎛

⎝

x x

x xx

x x2

⎜⎜⎞

⎠⎟

→ ∞ → ∞

∞

= + =∞

+lim lim –

– –

– –

x

x

x

x

x x

e e e

2 2

11

2

0 1

2

lim–

–

– lim

y

y

y

y

y

y

→ +∞

→ +∞=

∞

e

e

Limite nnotável

�� – ( ) –= × +∞ = ∞0

1

2

lim ( ) lim–

– –x x

x

xx

x→ →

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+

=0 0

2

0

01f

ellim

–

lim–

–

–

x

x

x

x

x

x

x→

→

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

0

2

0

2

1

1

2

e

e

xx x y

y

lim lim–

– –×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + = ×

→ →2 1 2

0 0

e 111

2 1 1 3

y

Limite notável

� ��

+

= × + =

lim ( ) lim ( – ln ) – x x

x x x→ →+ +

= =0 0

3 2 0 2f ln 0+ = +∞

Mudança de variável:–x = y § x = –ySe x → –∞, então y → +∞.

mf

lim( )

lim – ln

lim

= = =→ +∞ → +∞x x

x

x

x x

x

3 2xx

x x

x

x

x

x→ +∞

→ +∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

– ln

lim – lim

3 2

3 2→→ +∞

= × =

ln –

x

xLimite notável

�� 3 2 0 3

lim ( ( ) – ) lim ( –

3 3 2b f= =→ +∞ → +∞x x

x x x lln – )

lim (– ln ) –

x x

xx

3

2= = ∞→ +∞

mf e

lim( )

lim–

– –

= =+

=→ ∞ → ∞

±∞

±

x x

xx

x

x

x

2

2

1 ∞∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

→

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

lim–

lim

–x

x

x

x

x

x

e2

2 2

1

– –

– lim

– ∞ → ∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

e2

2

1 1 0x

xx x

110 0

0

+∞+ =

= × =→ ∞

lim ( ( ) – ) lim –

b fx x

x x→→ ∞

±∞

±∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ ∞

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=

–

–

–

lim

e2 1x

x

x

xee e2 1 1

1x

x xx

x

x

– lim

–

– lim

–

–

–+ =

∞+

→ ∞

∞

→ ∞

–

– =

∞+ = + =

11 0 1 1

xx

x

x

e2 1– +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

g fe

(– ) (– ) (– ) – –

– – –

–

2 2 21 2

22 0

4

= + = ≈ ,,

(– ) (– ) (– ) – –

– –

–

509

1 1 11 1

1

2

g fe

= + = 11 0 865≈ ,

∃ ∈ =

∃ ∈

c g c

c f c

]– , – [: ( )

]– , – [: (

2 1 0

2 1§ ))

]– , – [: ( ) –

+ =

∃ ∈ =

c

c f c c

0

2 1§ c.q.d.

yx

xx

y x

x

1

2

2

10=

+<

=

–

–

ese

y

y1

y2

x

1,6

-1-2-1,6


59.

a)

Dg = {x ∈ �: x ≠ 0} = �\{0}b) Função f:


As retas de equação x = –2 e x = 1 são assíntotasverticais do gráfico de f.Não existem mais assíntotas verticais visto a funçãoser contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:Como o domínio da função é limitado, ]–2, 1[, nãoexistem assíntotas não verticais do seu gráfico.Função g:• Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de g.Não há mais assíntotas verticais visto a função sercontínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:

A reta de equação y = –3 é assíntota horizontal dográfico de g, quando x → +∞, e como se verifica queos cálculos são idênticos, quando x → –∞, tem-seque a reta de equação y = –3 também é assíntotahorizontal do gráfico de g quando x → –∞.

c) h é uma função contínua em visto tratar-se

da soma de duas funções contínuas neste intervalo(função f e função g).

•

Ou seja,

Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy

pode concluir-se que

60. Sendo f uma função de domínio �+ e a reta de equa-ção y = x – 4 uma assíntota do seu gráfico, então:

Como conclui-se assim que a reta de

equação y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de g.

Unidade 6 – Derivadas

Página 134

87.

a)

b)

c)

Df :

–

]– , [= ∈

+>

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=xx

x�

1

20 2 1

lim ( ) lim log –

– –x xx

x

x→ →+ +=

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 2

1

2f log

lim ( ) lim –

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +∞

=

+

→ →

3

0

1x xxf

11

1

2

0

3– log

–

log –

x

x+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+

∞∞

lim ( ) lim – –

–

– –x x

xx→ →

∞= ( ) = =0 0

1

4 4g e e – –

lim ( ) lim –

0 4 4

40 0

1

=

= (→ →+ +x x

xxg e )) = = +∞ = +∞+∞ – – e 4 4

mg e e

lim ( )

lim–

–

= = =

+→ +∞ → +∞x x

xx

x x

104 4

∞∞=

+∞=

= × =→ +∞

–

lim ( ( ) – ) li

30

0b gx

x x mm – – – x

x

→ +∞

( ) = =e e1

04 4 3

1

2

3

4,

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

h f g

h

1

2

1

2

1

22 690

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ ,

44

3

4

3

41 248

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ – ,f g

h h1

2

3

40

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ < .

∃ ∈⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

=c h c , : ( ) .1

2

3

40

lim( )

lim ( ( ) – ) – x x

x

xx x

→ +∞ → +∞= =

ff1 4e

lim ( ) lim

( )

x xx

x

x→ +∞ → +∞=

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =g

f

2llim

( )

( )

lim(

x

x

x

x x

x

→ +∞

→ +∞

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

f f

f

2

xx x x

x

x

x

) lim

( )

lim( )

lim

+ = +→ +∞

→ +∞

2 1 2

f fxx

x→ +∞

= ++∞

= + =

( )

f

1

1

21 0 1

lim ( ) , x

x→ +∞

=g 1

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim l

00

0

3 00 0

2

=−

−=

− −=

→ →x x

x

x

x x

xiim

( )

lim( ) –

x

x

x x

xx

→

→

−

= − = − =

0

0

3

3 0 3 3

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

11

11 1

3

=−

−=

−→ →x x

x

x

x xx

x

x x

xx x

x

x

−

−=

−

−

=

→

→

lim

( )

lim(

0

1

1

11

2

1

x

xx x

x

− +

−= + =

→

) ( )

lim( ( ))

1 1

11 1

1×× = 2 2

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

2

2

22 2=

−

−=

+

→ →x x

x

x

x 11

33

21 3 3

2

xx

x xx

−− −

−

=+ + −

→

( )

lim ( )

(( ) ( ) lim

( x x

x x

xx− −=

+ + −

−→3 2

1 3 92 ) ( )

lim

( ) ( )

3 24 8

3 22

x

x

x xx

−

=−

− −=

→llim

( )

( ) ( )

lim

x

x

x

x x

x

→

→

−

− −

=−

2

2

4 2

3 24

–

3

4

2 34=

−=

x –∞ –2 1 +∞

1 – x + + + 0 –

2 + x – 0 + + +

1

2

–

x

x+– s.s. + 0 –



d)

e)

Considerando a mudança de variável: x – 4 = ySe x → 4, então y → 0.

f)

88.a) f’(–2) = 5

b)

89.

a) o que sig-

nifica que no período indicado a cotação das açõesdiminuiu, em média, 0,27 euros por dia.

b)

o que significa que aos 15 dias do mês de setembro,a cotação das ações estava a aumentar à taxa de0,375 euros por dia.

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

33

33

3

=−

−

=+

→

→

x

x

x

x

x 11 4

3

1 2

33

3

lim

lim(

−

−

=+ −

−

=

→

→

x

x

x

x

x

x

x

x x

+ − × + +

− × + +

) ( )

( ) (

1 2 1 2

3 1 22

1 2

3 1 23

2 2

)

lim( )

( ) ( =

+ −

− × + +→x

x

x x ))

lim

( ) ( )

li

=

+ −

− × + +

=

→x

x

x x3

1 4

3 1 2

mm

( ) ( )

lim

x

x

x

x x

x

→

→

−

− × + +

=

3

3

3

3 1 21

x

+ +

=+

=→

lim

1 21

4 2

1

43

ff f e

'( ) lim( ) ( )

lim

4

4

44 4=

−

−=

−→ →x x

xx

x

lim( )

l

e

e e

e

4

4

4 4

4

41

4

x

xx

x

−

=−

−

= ×

→

−

iim

y

y

y→

−= × =

0

4 411

ee e

Limitenotável

� ��

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

ln

55

55 5=

−

−=

→ →x x

x

x

x −−

−=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

=

→

ln

lim

ln

lim

5

5

5

55x

x

xx

y→→ →

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

ln

lim

ln

0 0

5

5 51

y

y

y

y

⎠⎠⎟⎟

=

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

×→y

y

yy lim

ln

0

51

55

lim( ) ( )

lim

( ) x x

x

x

x→ − → −

− −

−=

−2 2 2

2

4

f f f f(( )

( ) ( )

lim( ) ( )

−

− +

=− −

→ −

2

2 2

22

x x

x

xx

f f

++×

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=− −

→ −

lim( ) ( )

2

1

2

22

x

x

xx

f f

xx− −×

−

= ×

−

→ − ( ) lim

'( )

2

1

2

5

2

2

f� ��

11

2 2

5

4− −= −

=→z

lim 00

1 1

51

ln

z

z

+( )× = ×


1

5

1

5=

lim( ) ( )

lim(

h

h

h

f h f

f

→

→

− + − −

=− +

0

0

3

2 21

2 ) ( )

lim( ) (

h f

h

f h fh

− −

=

×− + −

→

2

31

1

3

20

−−

=

×

= =

′ −( )

2

1

1

35

1

5

3

3

5

2

)

hf

� ��

t.m.v.2 20

20 2

20 2

5 9,

( ) ( )

,⎡⎣

⎤⎦

=−

−=

−C C 886

180 27 , ,= −

CC C

'( ) lim( ) ( )

lim

1515

1515

15

=−

−

=−

→

→

x

x

x

x00 005 0 225 3 15 3 75

15

3 2, , ,

li

x x x

x

+ − + −

−

= mm, , ,

x

x x x

x→

− + − +

−

=

15

3 20 005 0 225 3 11 25

15

lim( ) ( , , , )

x

x x x→

− − + −15

215 0 005 0 15 0 75

xxx x

x

−= − + − =

→

lim ( , , , )

150 005 0 15 0 75

15

2 ,0 375

Cálculos auxiliares:Considerando a mudança de variável x – 5 = y.Se x → 5, então y → 0.

Considerando a mudança de variável Se y → 0, então z → 0.

yz.

5 =

Cálculo auxiliar:

–0,005 0,225 –3 11,25

15 –0,075 2,25 –11,25

–0,005 0,15 –0,75 0 = r

–0,005x3 + 0,225x2 – 3x + 11,25= (x – 15) (–0,005x2 + 0,15x – 0,75)

90.

a)

b) Seja t a reta tangente definida por y = mx + b, onde

Como pertence à reta t, então:

c) Seja n a reta perpendicular à reta t no ponto

ou seja,.

Assim:

91.a) Seja m o declive da reta tangente ao gráfico de f no

ponto de abcissa 1:

Como m = 0, fica assim provado que a reta tangenteao gráfico de f no ponto de abcissa 1 é uma reta hori-zontal.

b)

92.

a)

Não existe reta tangente ao gráfico de f em x = 0.

b)

conclui-se que f não é derivável em x = 0.

93.

a)

•

Considerando a mudança de variável –x = y,

se x → 0+, então y → 0–.

•

Como , conclui-se que f não é derivávelem x = 0.

b)

ff f

'( ) lim ( ) ( )

lim

3

3

33 3=

−

−=

→ →x x

x

x

11

1

1

43

4 1

4 13

xx

x

xx

+−

−

=

− +

+→

lim

( )

( ) xx

x

x xx

x

−=

− +

+ −

=

→ lim

( ) ( )

lim

3

3

4 1 33

→→ →

− −

+ −=

−

( )

( ) ( ) lim

(3 3

3

4 1 3

1

4

x

x x x xx +

=−

× +=

)

( )

–

11

4 3 1

1

16

m f '( ) .= = −31

16

y x= − + 1

16b

T f( , ( )) , 3 3 31

4=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

4

1

163

1

4

3

16

7

16 = − × + = + =b b b

t

§ §

: y x= − +1

16

7

16

mn

= −

−

= .1

1

16

16T mmn

t

31

4

1, . ,

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −Então,

1

416 3

1

448

191

4

= × + = − = −b b b

n

§ §

:: y x= −16191

4

m ff f

'( ) lim ( ) ( )

li

= =

−

−=

→1

1

11x

x

xmm

lim

x

x

x x

xx x

→

→

− + −

−

=−

1

3

1

3

3 3 1

13 ++

−=

− + −

−=

→

lim

( ) ( )

2

1

1 2

11

2

x

x x x

xx

llim x

x x→

+ −( ) = + − =1

2 22 1 1 2 0

y

x

1

f

O

ff f

'( ) lim ( ) ( )

lim

0

0

00 0

+

→ →=

−

−=

+ +x x

x

x

x223

0

23

0

2

33

1 1+ −

= = =→ →+ +

lim lim li

x

x

x

x

xx xmm

'( ) lim

x

x

x→ +

−

→

+

−

= = +∞ ∉

=

0

3

0

1 1

0

0

�

ff(( ) ( )

lim

lim

x

x

x

xx

x

−

−=

+ −

=

→ −

f 0

0

1 10

23

→→ → → −− − −= = =

lim lim

0

23

0

2

33

0

31 1

0

x

x

x

x xx x== ∞ ∉ – �

f f'( ) '( ),0 0+ −≠

f(x) =efg

e–x se x > 0x + 1 se x ≤ 0 f(0) = 0 + 1 = 1

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

0

0

00 0

+

→ →=

−

−=

+x x

x

x ++ −

−

−

→

→

−=

−

−

= −−

e e

e

x

y

y

y

y

x y

lim

lim

1 1

1

0

0 yy


–= 1

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

0

0

00 0

−

→ →=

−

−=

− −x x

x

x

xx

x

x

xx

+ −= =

→ −

lim

1 11

0

f f'( ) '( )0 0+ −≠

g(x) =efgx x

x

xe

g

−

≠

=

12

0

se 0

se 0 (0) = 0


Cálculo auxiliar:

1 0 –3 2

1 1 1 –2

1 1 –2 0 = r

x3 – 3x + 2 = (x – 1) (x2 + x – 2)

g é derivável em x = 0 e g’(0) = 0.

94.

a) •

•

f’(1+) = f’(1–) = 3, logo, f’(1) existe e é igual a 3.b) Se uma função é derivável num ponto, então é con-

tínua nesse ponto.Como se verificou na alínea anterior, a função f éderivável em x = 1, logo f é contínua em x = 1.

95.

• m é contínua em x = 3, pois existe

• m não admite derivada em x = 3, pois:m’(3+) ≠ m’(3–):

96.a)

A reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa0 é a reta vertical de equação x = 0.

b) Como Dg = �+0, então:

c) g é contínua em x = 0, pois existe

97.

a)

ou seja, g é derivável em x = 4, logo a função g é con-tínua em x = 4 e, portanto:• a afirmação (I) é verdadeira;• a afirmação (II) é falsa, já que se g é contínua em

x = 4, então

b) Seja t a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcis-sa 4. Uma equação reduzida de t é y = mx + b, onde m = g’(4) = 2, ou seja, y = 2x + b.Como o ponto de coordenadas (4, g(4)) = (4, –3) per-tence à reta t, vem que:–3 = 2 × 4 + b § b = –11t : y = 2x – 11

98. h(t) = 20t – t2

a) Pretende-se h’(0):

A velocidade inicial do projétil é de 20 m/s.

gg g

'( ) lim( ) ( )

lim

0

0

00 0=

−

−=

→ →x x

x

x

xeee

e e

−

→

−

−∞

−=

= = =+

–

lim

1

0

1

1

0

2

20

0

x

x

x

x

f(x) =efg

x3 + 5 se x ≥ 13x + 3 se x < 1 f(1) = 13 + 5 = 6

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

1

1

11 1

3+

→ →=

−

−=

+ +x x

x

x

x ++ −

−

=−

−=

→ →+ +

lim

lim

(

5 6

11

11

3

1

xx

xx x

xx x x

xx x

x

− + +

−= + +

→ +

) ( )

lim (

1 1

11

2

1

2 )) = + + =1 1 1 32

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

1

1

1

31 1

−

→ →=

−

−=

− −x x

x

x

x

xx

xx x

+ −

−

=−

−=

→ →−

lim

lim

3 6

13 3

11 1−− −

−

−= =

→

3 1

13 3

1

( )

lim

x

x x

m(x) = |x – 3| =efg

x – 3 se x ≥ 3–x + 3 se x < 3

lim ( ) ( ): x

x→

=3

3m mlim ( )

xx

→ 3m e

lim ( ) lim | | | | x x

x x→ →

= − = − =3 3

3 3 3m 00 3 ( )= m

mm m

'( ) lim( ) ( )

lim

33

33

3

+

→

→

=−

−

=

+

+

x

x

x

xx −− −

−= =

=

→

−

→

+

−

lim

'( ) lim

3 0

31 1

3

3

3

x

x

xm

mm m( ) ( )

lim

li

x

xx

xx

−

−

=− + −

−=

→ −

3

33 0

33

mm ( ) x→ −

− = −3

1 1

y

x

4

g

O

t

g gg g

'( ) '( ) lim( ) ( )

l

0 0

0

00= =

−

−=+

→ +x

x

xiim

lim lim

x

x x

x

x

x

x

x

→

→ →

+

+ +

+ −

= =×

0

0 0

4 4

xx

x x

x

x x

x

x

x

lim

lim

=

= = = +∞

→

→ +

+

+

0

0

1 1

0

lim ( ) x

x→ 0

g e lim ( ) ( ):

xx

→=

00g g

lim ( ) lim ( ) ( ) x x

x x→ →

= + = =0 0

4 4 0g g

lim( )

lim

( ) ( x x

x

x

x→ →

+

−=

− −4 4

3

42

g g§

33

42

4

44

4

)

lim( ) ( )

'( )

xx

xx

−=

−

−→§

g g

g��

= 2

lim ( ) ( ) x

x→

= = −4

4 3g g

hh h

'( ) lim( ) ( )

lim

0

0

0

200 0

=−

−=

→ →x x

x

x

x −− −

=−

= −→ →

lim( )

lim (

x

xx x

xx x

2

0 0

0

2020 xx) = 20


Cálculo auxiliar:

1 0 0 –1

1 1 1 1

1 1 1 0 = r

x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)

b)

O projétil atinge o solo após 20 s de ter sido lançado.Assim, a velocidade do projétil no momento em quechega ao solo é dada por h’(20):

Conclui-se assim que o projétil atinge o solo a umavelocidade de 20 m/s.

c) Seja t0 ∈ Dh:

A expressão que dá a velocidade em cada instante té h(t) = 20 – 2t.

99.a) Seja f(x) = ax + b, com a, b ∈ � uma função afim e

x0 ∈ Df :

Conclui-se assim que a função derivada da função f definida por f(x) = ax + b é a função f’ definida porf’(x) = a, sendo f’ uma função constante.

b) Seja f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ � e a ≠ 0 umafunção quadrática e x0 ∈ Df :

Conclui-se assim que a função derivada da função fdefinida por f(x) = ax2 + bx + c é a função f’ definidapor f’(x) = 2ax + b, sendo f’ uma função afim.

100.

a)

b)

c)

101.

Conclui-se assim que as funções f’ e g’ são iguais,pelo que é na figura (II) que se encontra a repre-sentação gráfica da função g’.

102.

a)

h t t t t t

t

( ) ( )

= − = − =

=

0 20 0 20 02§ §

§ 0 20› t =

hh h

'( ) lim( ) ( )

lim

20

20

2020 20=

−

−=

→ →x x

x

x

220 0

2020

2

2

20

x x

xx x

xx

− −

−

=− − +

−→

lim( )

0020

20 lim ( )

= − = −

→xx

h th t h t

t tt t

t t

'( ) lim( ) ( )

lim

00

00

0

=−

−

=

→

→

220 20

20

2

0 0

2

0

0

t t t t

t t

tt t

( )

lim

− − −

−

=−

→

tt t t

t t

t t tt t

2

0 0

2

0

2

20

20 20

0

− +

−

=− + −

→

lim

00 0

2

0

0

0

0

0

+

−

=− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

→

lim( ) (

t

t t

t tt t

tt t

t t

t tt t

)

lim ( )

+ −

−

= − + −→

20

20

0

0

00

== − + − = − t t t0 0 0

20 20 2

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

x

x x

x xx x x00

00

=−

−=

→ → xx

x x

x x

x x

x

0

0

0

0

a b a b

a b

+ − +

−

=+ −

→

( )

lim

lim

( )

lim

a b ax

x x

x x

x xx x

0

0

0

00

−

−=

−

−

=

→

xx x→=

0

a a

ff h f

ha

h

h

'( ) lim( ) ( )

lim(

xx x

x

0 0

0 0

0

=+ −

=

→

→

00

2

0 0

2

0+ + + + − + +

=

) ( ) ( )

lim

h b h c a b c

h

x x x

hh

a h h b bh c a→

+ + + + + −

( ) 0

0

2

0

2

0 02x x x x22

0

0

0

2

0

22

− −

=+ + + −

→

lim

b c

h

a a h ah bh

h

x

x x

lim( )

lim (

a

hh a ah b

ha

h

h

x

x

0

2

0

0

0

2

2

=+ +

=

→

→xx

x

x

0

0

0

2 0

2

+ +

= + +

= +

)

ah b

a b

a b

f

f

f

( )

( ) '

:

x x

x x

x

=

′ = =

′ →

1

� �1

g e

g e

g

( )

'( ) ( )'

':

x x

x x

= +

= + =

→

3

3 1

� �1x

( ) ( ) ( )' ( )' f g e e+ ′ = + + = + =x x x x3 32

:

2

f g+( )′

→� �

x 2

g f f f'( ) ( ( ) )' '( ) ' '( )x x x x= + = + =1 1

f '( ) ' x x= = 1 gg e'( ) ( )' x x= + =3 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )f g f g f g× ′ = ′ × + ×

=

5 5 5 5 5

( )

1 5 5 1

5 5

10

3

3

3

× + + ×

= + +

= +

e

e

e


Cálculo auxiliar:

–1 20 –20t0 + t20

t0 –t0 20t0 – t20

–1 20 – t0 0 = r

b)

103.

a)

b) A reta tangente ao gráfico da função g no ponto deabcissa x0 tem por declive g’(x0) logo, se a reta éparalela ao eixo das abcissas, então o seu declive énulo e, portanto, g’(x0) = 0:

Prova-se assim que existem dois pontos do gráficode g onde as retas tangentes são paralelas ao eixodas abcissas: os pontos de coordenadas (1, g(1)) e(–1, g(–1)). As suas equações são y = 1 e y = 5, res-petivamente.

104.

a)

b)

c)

105.

a)

b)

c)

( )' ( ) '( ) ( ) ( ) '( )f g f g f g× = × + ×

=

x x x x x

( )

(

1 1

2

3

3

3

× + + ×

= + +

= +

x x

x x

x

e

e

e

f )':

× →

+

g � �

x x2 e3

g( ) x x x= − +3 3 3

g

g

'( )

':

x x

x x

= −

→

−

3 3

3

2

2

� �

3

3 3 0 3 3

1

1

0

2

0

2

0

2

x x

x

x

− = =

=

=

§

§

§ ›0

x0

= −1

′ = − + + = − +

′

f ( ) ( )' x x x x x x4 3 3 25 3 12 4 15 3

ff :

� �

→

− +4x x x3 215 3

g e'( )

x x x x x

x

= + − + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=

3

75

1

3

3

7 4 2

6

π

++ − +

→

+ −

':

202

3

202

3

3

6 3

x x

x x x x

π

g � �

3 ++ π

h'( )

x x x

x x

= ( )′ = ( )′

= =

=

− −

31

3

1

31

2

31

3

1

311

3

1 1

3

0

1

3

2

323

23

': \{ }

× =

→

x x

xx

h � �

f '( )

( )' ( )

xx

x

x x

=+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=× +

5

2 3

5 2 3 −− × +

+

=× +

( ) ( )'

( )

( )

5 2 3

2 35 2 3

2

x x

x

x −− ×

+

=+ −

+

( )

( )

( )

5 2

2 310 15 10

2 3

2

x

x

x x

x 22

2

15

2 3

3

215

2

( )

': \

(

=+

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

→

+

x

xx

f � �

33 2)

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=× − ×

=−

g ( )

' '

xx

x x

x

2

2 2

0

2

: \{ }

2 1

2

0

2

2

2

2

×

=−

′ →

−

x

x

xx

g � �

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=

→

h

h

( )

':

xx

x2

1

2

1

2

�

�

x1

2


Cálculo auxiliar:

g

g

( )

( ) ( )

1 1 3 1 3 1

1 1 3

3

3

= − × + =

− = − − × (( ) − + =1 3 5

d)

e)

106.

a)

b)

c)

107.

a)

b)

c)

i'( )

( )

xx

x x x

x

=+

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=+ ′

2

3 2

2

3

6

3 ×× − − − + × − − ′ ( ) ( ) ( )

(

x x x x x x x

x

3 2 2 3 26 3 633 2 2

3 2 2

6

2 6 3

− −

=× − − − +

)

( ) ( ) ( )

x x

x x x x x ( )

( )

× − −

− −

=− −

3 2 6

6

2 2 12

2

3 2 2

4 3

x x

x x x

x x xx x x x x x

x x

2 4 3 2 2

3 2

3 2 6 9 6 18− − − + −

− −

( – )

( 66

2 2 12 3 2 3 6

2

4 3 2 4 3 2

x

x x x x x x x

)

=− − − + − + + 118

6

15 6 18

3 2 2

4 2

3 2

( )

(

x x x

x x x

x x

− −

=− − + +

− −− )6 2x

Di′

= ∈ − − ≠{ } = − : ( ) \{ , , }x x x x� �3 2 26 0 2 0 3

′ − →

− − + +

i : \{ , , }

(

� �

2 0 3

15 6 184 2

xx x x

x33 2 26− − )x x

′ =−

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

= ×−

j ( )

x

x

x

x5

23

3

55

2

5

2

3

2

x

x

x

x

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

−

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= ×−

( )' ( ) ( 5

2

5 22

x

x x x

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

− × + − − 55 2

2

35

2

2

2

) ( )'

( )

( )

( )

× +

+

= ×−

+

x

x

x

x 22 2

1 2 5 1

2

3

( ) ( )

( )

(

×× + − − ×

+

=

x x

x

x x x

x

x− + − +

+=

− ) ( )

( )

( )5 2 5

2

3 52

4

2 ××

+

=−

+

( )

( )

( )

7

2

21 5

2

4

2

4

x

x

x

Dj′

= ∈ + ≠{ } = − : ( ) \{ }x x� �2 0 24

′ − →

−

+

j : \{ }

( )

( )

� �

2

21 5

2

2

4x

x

x

f e e'( ) ( )' ( )' ( )' x x x xx x= + = + = +6 6 122 2

:

e

f

e

x

xx x

′ →

+

� �

12

g e

e

'( ) (( ) )'

( )' (

x x x

x x

x

x

= + ×

= + × +

2

2

3

3 xx x

x x x

x

x

2

2

3

2 3 3

+ ×

= + × + + ×

) ( )'

( ) ( )

e

e

( ) ( )

e

e e

x

x xx x x x x= + + + = + +

′

2 3 3 5 32 2

gg

e

:

( )

� �

→

+ +x x xx 2 5 3

he

e e'( )

( )' ( ) (x

x x xx

x x

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=× − ×2 2 2 ))'

( )

( )

( )

e

e e

e

e

x

x x

x

xx x

2

2

2 2 2 2=

× − ×=

−

(( )

:

e e

h

e

x x

x

x

xx

2

2 2

2 2

=−

′ →

−

� �

f '( ) ( ln )' ( )' (ln )'

x x x x x= − + = − +

=

3 32 2

−− +

′ →

− +

+

61

61

xx

x xx

:

f � �

g'( ) ( ln )' ( )' ln (lx x x x x x= × = × + ×3 3 3 nn )'

ln ln

x

x x xx

x x x= × + × = × +31

32 3 2 2

== +

′ →

+

+

( ln )

:

( ln

x x

x x x

2

2

3 1

3 1

g � �

))

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=′ × − ×

he

e

( ) ln

(ln ) ln

xx

x x

x

x ( )

( )

ln

( )

e

e

e e

e

e

x

x

x x

x

x

xx

′

=× − ×

=

2

2

1

1

xxx

xx

x

x x

ln

( )

ln

l

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=−

=−

e e2

1

1 nn

:

ln

x

x

xx x

x

x

x

×

′ →

−

×

+

e

h

e

� �

1


Cálculo auxiliar:

x x x

x x x

x

3 2

2

6 0

6 0

0

− − =

− − =

=

( )

§

§ ›

x x

x x

2 6 0

0 3

− − =

= =§ › › xx = − 2

d)

108.

a)

b)

109.

a)

b)

Logo,

110.

a)

b)

c)

d)

111.

a)

b)

c)

d)

112.

a)

• f’(x) para x < 2:f’(x) = (x2 – 4)’ = 2x

• f’(x) para x > 2:f’(x) = (4x – 8)’ = 4

• f’(x) para x = 2:

Como f’(2+) = f’(2–) = 4, conclui-se que f’(2) = 4.Assim:

b)

′ = ′ =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=i ( ) (log ) ln

ln ln

x xx

10

1

110

1

10

1 1

10

(ln )

ln

ln

:

× ′

= × =

′ →+

x

x x

i � ��

xx

ln

1

10

( ) ( ) ( ( )) ( ) fog f g f1 1 4 3 4 5 432= = = × − =

( )' ( ) '( ( )) '( ) '( ) fog f g g f1 1 1 4 2= × = × = 24 2 48× =

( ) ( ) ( ( )) ( )

(fog f g f2 2 2

2 1

4 2= = − =

− +

× − )) =

−

−=

1

8

1

8

( )' ( ) '( ( )) '( ) '( ) fog f g g fx x x x x= × = −2 3 ×× −

= −−

× − =−

( )

( )

( )

2 3

1

4 32 3

32 2

x

x xx

22

4 32 2

x

x x( )−

f '( ) ( )

.x xx x

2

2 23

1

4 3− =

−

f e e e'( ) ( )' ( )' x xx x x= = − =− −2 7 2 7 22 7 2 −− 7

g e e'( ) ( )' ( )' ( )'

x x xx x= + = +

=

− −5 5

5

3 32 2

( )' + − = −− −3 5 62 3 32 2

x xx xe e

h'( ) (ln( ))' ( )'

x x

x

x= + =

+

+=4 5

4 5

4 5

4

44 5x +

i'( ) ( ln( ))'

' ln( )

x x x

x x

= × +

= × + +

2

2

1

1 (ln( ))'

ln( ) (

x x

x xx

× +

= × + + ×

2

22

1

1 1++

+

= + + ×+

=

)'

ln( )

ln(

1

1

12

1

2

2

2

2

x

x xx

x

x ++ ++

)

12

1

2

2

x

x

f '( ) ( )' ( )' l x xx x= = − × ×− −2 2 7 22 7 2 7 nn ln 2 2 2 22 7= × −x

g'( ) ( )'

( )'

x

x x

x x=

= − + ×

− +10

3 4 10

2 3 4

2 xx x

x xx

2

2

3 4

3 4

10

2 3 10

− +

− +

×

= − ×

ln

( ) ×× ln 10

h'( ) (log ( ))' ( )'

(x x

x

x= − + =

− +

− +22 1

2 1

2 )ln

( )ln

1 22

2 1 2=

−

− +x

i'( ) log

xx

x

x

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

11

1××

=−

×

= −

ln

ln

ln

10

1

110

1

10

2x

x

x

f(x) =efg

x2 – 4 se x ≤ 24x – 8 se x > 2

ff f

'( ) lim( ) ( )

lim

2

2

2

42 2

+

→ →=

−

−=

+ +x x

x

x

xx

xx

xx

− −

−

=−

−=

→ +

lim( )

'

8 0

24 2

24

2

f (( ) lim( ) ( )

lim

2

2

22 2

2−

→ →=

−

−=

− −x x

x

x

xf f −− −

−

=− +

−→ −

lim( ) ( )

4 0

22 2

22

xx x

xx== + =

→ −lim ( )

xx

22 4

f’(x) =efg

2x se x ≤ 24 se x > 2 Df’ = �

g(x) =efg

− ≤ −

+ > −

21

5 1

xx

x x

se

se


Cálculo auxiliar:

f o f'( ) ( )' , log '( ) x x x= − = = ×3 5 6 4 6 42 == 24

Cálculo auxiliar:

f '( )( )' – ( ) ( )'

xx

x

x x x x=

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=+ × + ×1

4

1 4 1 4

(( )– ( ) – –

–

44 1 4

16

4 4 4

16

1

4

2

2 2 2

x

x x

x

x x

x x=

+ ×= =

Cálculo auxiliar:

g( ) 2 2 3 2 22= − × = −

Logo, f '( – ) –( – )

.x xx x

2

2 23

1

4 3=


• g’(x) para x < –1:

• g’(x) para x > –1:

• g’(x) para x = –1:

Como g’(–1–) ≠ g’(–1+) não existe g’(–1).

c)

• h’(x) para x ≠ 0:

• h’(x) para x = 0:

Considerando a mudança de variável:

Se x → 0+, então y → +∞.

h’(0–) ≠ h’(0+), logo não existe h’(0). Assim:

113.a)

b)

c)

d)

g'( ) ( )' xx

x xx

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= − = =− −22 2

21 2

2

g'( ) ( )

( )

x x x

x

= +( )′ = +( )′

= +−

5 5

1

25

1

2

( )'

1

2 5

1

2

1

51

1

2 5

× +

= ×+

× =+

x

x x

gg g

'( ) lim( ) ( )

( ) lim

− =

− −

− −=−

→ − −1

1

11x

x

x xx

x

xx

x

x x

→ −

→ −

−

−

− −

+

=− −

+

lim

(

1

1

22

12 2

1)) lim

( )

( )

lim

=− +

+

=−

→ −

→ −

−

−

x

x

x

x x

x

1

1

2 1

12

=−

−=

2

12

gg g

'( ) lim( ) ( )

( )

lim

− =

− −

− −

=

+

→ − +1

1

11x

x

x

x

→→ −

→ −

+

+

+ −

+

=+ −

lim( ) (

1

1

5 2

1

5 2

x

x

x xx x x

xx

+ +

+ + +

=+

→ − +

)

( ) ( )

lim

5 2

1 5 2

1

55 2

1 5 25

22

1

( ) −

+ + +

=+

→ − +

( ) ( )

lim

x x

xx

( ) ( )

lim

−

+ + +

=+ +→ − +

4

1 5 21

51

x x

xx 22

1

4 2

1

4

=

+=

g’(x) =

21

1 1

2xx

xx

se

1

2 5se

< −

+> − =

′

\{– }D

g�

��

h(x) = e−

≠

=

1

se

0 se

x x

x

0

0

��

h e e'( )

xx

x

x x= ( )′

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

×

= ×

− −1 1

2

1

1ee

− 1

x

hh h e

'( ) lim( ) ( )

lim

0

0

00 0

−

→ →=

−

−=

− −x x

x

x

−−− −∞

−

+∞

− −

=

= =+∞

= ∞

( )

–

1

0

0 0

x

x

e

e

hh h

'( ) lim( ) ( )

lim

0

0

00 0

+

→ →=

−

−=

+ +x x

x

x

ee e−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

→ +∞

−

=

lim

1 0

0

1

x

y

y

x

y

1 1

xy x

y = =§

h e

Dh

'( )

\{ }

xx

x=

=

−

′

1

0

2

1

�

f '( ) (( ) )' ( ) ( )x x x x x x x= + = + × +2 3 2 2 25 3 5 5 ''

( ) ( ) ( ) ( = + × + = + +3 5 2 5 6 15 52 2 2x x x x x xx)

2

Df ′

= �

g'( ) ( )' ( )' l x x xx x x x= = + × ×+ +3 5 32 25 2 5 nn

( ) ln

3

2 5 3 32 5= + × ×

=

+

′

x x x

Dg�

e→ +∞=

lim

y

yyy

y

y

y

lim

= =+∞

=

→ +∞

1 1

e

Limitenotável

��

0

h'( ) ln( )

( ln( ))'

xx

xx

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=− ×

1 2

1 2 ( ln( )) '

( )' (

x x x

xx

xx

− − ×

=− × −

1 2

2

2

2

11 2 1

2

21 2

2

2

2

ln( ))

ln( )

− ×

=− − +

=−

x

x

x

x

ln( )

+

=′

+

22

x

xD

h�

i'( ) ln

xx

x

x

x=+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

= +

⎛

⎝

11

⎜⎜⎞

⎠⎟

′

+

x

x 1

e)

f)

g)

Unidade 7 – Aplicações das derivadas

Página 162

114.Função f → gráfico f’ é o gráfico IFunção g → gráfico g’ é o gráfico IVFunção h → gráfico h’ é o gráfico IIIFunção j → gráfico j’ é o gráfico II

115.a) Falso.

Por exemplo:

Verifica-se que e f não é decrescente

em todo o intervalo ]1, 4[.

je

'( )

xx x

x=

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

′

= ×+1

3

3

11 1

31

2

2

e ex x

x

x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ×

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= ×+

( )

(( )

( )' ( ) ( )'

(e

e e

ex

x x

x

x x2

1 1×

+ × − + ×

))

( )

( )

( )

2

2

23

1 1 1= ×

+×

× − + ×x xx

x

e

e ee

e

e

e

x

x

x

xx x

( )

( )

( )

( )

2

2

23

1 1 1= ×

+×

− −

(( )

( )

( )

( )

(

e

e e

x

x x

x x

x x

2

2

2

3 1

3 1

=+

×−

=− + ))

( )

( )

2

3

2

3

3 1

e eD

j

x x

x x=

− +

=′�

ke

e

'( ) ( )

(( ) )'

xx

x

x

x

=+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=+ ×

1

1

3

3 −− + ×

=+ × +

( ) ( )'

( )

( ) ( )

x

x x

x

x

1

3 1 1

3

2

2

e

e

'' ( ) ( )

( )

( ) (

× − + ×

=+

e e

e

e

x x

x

x

x

x

1

1 3

3

2

2 ( ))

( )

( ) ( )

− +

=+ − −

x

x x

x

x

1

1 3 1

2

2

e

e

==+ −

=

( ) ( )

'

x xx

1 22

eD

k�

=

× + − × +x x x x

x

' ( ) ( )'

(

1 1

x

xx x

x

+

+

=× + − ×

+

)

( )

( )

1

11 1 1

1

2

2××

+

=+

=+

= ∈′

( )

:

x

x

x x x x

xx

x

1

1

1

12

Di

�++

>⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= −∞ −⎤⎦ ⎡⎣ ∪ +∞⎤⎦ ⎡⎣

, , 1

0 1 0

le e

'( ) ln

ln

xx x

x x

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

1

2⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

′

= ×⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ×

−

ln

ln

1

2

1

2e ex x

x x

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= × ×× − ×

ln

( )' ln 1

2

1

e

e ex

x x

x

x (ln )'

(ln )

ln

ln

x

x

x

x

x

x x

2

1

2

= ×× − ×

e

e e

(ln )

ln

ln (ln

1

1

2

2

xx

xx

x

x

x=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

×

e

e )

: ln

x

x xx

x

2

0 0De

l′= ∈ > >� ‹ ‹ ln

] , [

x ≠⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= +∞

0

1

y

x1 4

f (1)f (4)

O

f f( ) ( )

4 1

4 10

−

−<


Cálculo auxiliar:

x –∞ –1 0 +∞

x – – – 0 +

x + 1 – 0 + + +

x

x + 1+ s.s. – 0 +

Cálculo auxiliar:

x 0 1 +∞

ex + + +

ln x – 0 +

ex

xln – s.s. +

b) Falso.Por exemplo, f(x) = x3.

Verifica-se que f’(0) = 0 e f não tem um extremo emx = 0.

c) Falso. Por exemplo, f(x) = |x|.

Verifica-se que f tem um extremo em x = 0 (nestecaso, mínimo absoluto) e f’(0) não existe.

d) Falso. Por exemplo:

Verifica-se que a ∈ Df (à esquerda de a tem-se quef’(x) > 0 e à direita de a f’(x) < 0) e f(a) não é extremoda função.

e) Verdadeiro. Foi provado na unidade anterior que se f é derivávelnum ponto, então é contínua nesse ponto.

116.a)

•

•

f é estritamente crescente em ]–∞, –1] e em [3, +∞[;f é estritamente decrescente em [–1, 3];12 é máximo relativo para x = –1;–20 é o mínimo relativo para x = 3.

b)

Como g’(x) < 0, Ax ∈� \ {1}, conclui-se que g é estri-tamente decrescente em ]–∞, 1[ e em ]1, +∞[ e nãotem extremos.

c)

y

x

f

O

y

xO

f

2

2

1

1

-1-2

f (a)

O

y

x

f

a

f

Df

( )

x x x x= − − +

=

3 23 9 7

�

f

Df

'( ) ( )' x x x x x x= − − + = − −3 2 23 9 7 3 6 9

'' = �

f '( )

x

x x

x x

=

− − =

− − =

0

3 6 9 0

2 3 0

2

2

§

§

§ ( ) ( )

x

x

=± − − × × −

×= −

2 2 4 1 3

2 11

2

§ › x = 3

f( ) ( ) ( ) ( ) − = − − × − − × − + =1 1 3 1 9 1 7 123 2

ff( ) 3 3 3 3 9 3 7 203 2= − × − × + = −

g

Dg

( )

\{ }

xx

x=

+

−=

4

11�

g'( )

( )' (

xx

x

x x

=+

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=+ × −

4

1

4 11 4 1

11

2

) ( ) ( )'

( )

− + × −

−

=− −

x x

x

x x

x x

−

−= −

−

=

( )

( ) \{ }

'

4

1

5

11

2 2

Dg�

h

Dh

( )

xx

x=

+=

2 1�

h'( )

( )

xx

x

x x x

=+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=′ × + − ×

2

2

1

1 ( )

( )

( )

x

x

x x x

x

2

2 2

2

2 2

1

1

1 2

1

+ ′

+

=+ − ×

+==

− +

+

( )

x

x

2

2 2

1

1

Dh′

= �

′ =

− +

+=

− + =

h ( )

( )

x

x

x

x

0

1

10

1 0

2

2 2

2

§

§

‹

§ ›

x

x x

∈

= = −′

Dh

1 1


x –∞ –1 – 3 +∞

Sinal de f’ + 0 – 0 +

Variação de f £Máx.

12 ¢mín.–20 £

x –∞ –1 1 +∞

–x2 + 1 – 0 + 0 –

(x2 + 1)2 + + + + +

Sinal de h’ – 0 + 0 –

Variação de h ¢ mín. £ Máx. ¢

h é estritamente decrescente em ]–∞, –1] e em [1, +∞[;h é estritamente crescente em [–1, 1];

é mínimo relativo para x = –1;

é máximo relativo para x = 1.

d)

i é estritamente crescente em ]–∞, 3] e estritamen-te decrescente em [3, +∞[;

é máximo relativo para x = 3.

e)

j é estritamente crescente em ]0, 4] e estritamentedecrescente em [4, 8[;ln16 é máximo relativo para x = 4.

f)

h

h

( ) ( )

–

( )

− =−

− +=

=+

=

11

1 1

1

2

11

1 1

1

2

2

2

–1

21

2

i e

Di

( )

x x x=

=

−3

�

′ = ′ = ′ × + × ′

=

− − −i e e e( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x x3 3 3

( )3 32 3 2x x x xx x xe e e− − −− = −

Di′

= �

i

e

e

'( )

( )

x

x xx

x

=

× − =

=

−

−

0

3 0

0

2§

§Equaçãoo

impossívelem�

�� › ›x x2 0 3= −

x x

=

= =

0

0 3§ ›

i e

i ee

( )

( )

0 0 0

3 327

3 0

3 3

3

= × =

= × =−

273e

j

Dj

( ) ln( )

:

x x x

x x x

= − +

= ∈ − + >{ }

2

2

8

8 0� == ] , [0 8

′ = − + ′ =− + ′

− +j ( ) (ln( ))

( )

x x x

x x

x x

22

28

8

8==

− +

− +

2 8

82

x

x x

Dj'

] , [= 0 8

′ =

− +

− +=

− + =

j ( )

x

x

x xx

0

2 8

80

2 8 0

2§

§

‹

§

x

x

∈

=′

Dj

4

j( ) ln( ) ln 4 4 8 4 162= − + × =

l e

D el

( ) ln( )

{ : }

x x

x

x

x

= − −

= ∈ − >

−

−

1

1 0� = +�

′ = − − ′ = ′−− ′−

−

l ee

( ) ( ln( )) ( )

x x xxx

11

11

11

1 2

1

−

= −−

=−

−

−

−

−

−

−

ee

e

e

eD

x

x

x

x

x

′′

+=l

�

′ =−

−=

− =

−

−

−

le

ee

( )

xx

x

x

01 2

10

1 2 0

§

§

‹

§ ‹

§

x

xx

x

∈

= ∈′

−

′

−

D

e D

e

l

l2 1

== ∈

− =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

ln

1

21

2

‹

§ ‹

x

x

Dl

xx

x x

x

∈

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

′

′

ln

D

D

l

l§ ‹

§

1

2== ln2


x 0 ln2 +∞

1 – 2–x n.d. – 0 +

1 – e–x n.d. + + +

Sinal de l’ n.d. – 0 +

Variação de l n.d. ¢ mín. £

x –∞ 0 3 +∞

e–x × x2 + 0 + + +

3 – x + + + 0 –

Sinal de i’ + 0 + 0 –

Variação de i £ i(0) £Máx.i(3) ¢

Cálculo auxiliar:

− + = − + =

=

x x x x

x x

2 8 0 8 0

0

( )

§

§ › == 8

+

-- 80

x 0 4 8

–2x + 8 n.d. + 0 – n.d.

–x2 + 8x n.d. + + + n.d.

Sinal de j’ n.d. + 0 – n.d.

Variação de j n.d. £ Máx. ¢ n.d.

Cálculo auxiliar:

1 0 1 1

1

− > − > − <

− <

− − −e e ex x x

x x

ln

§ §

§ § >> 0

l é estritamente decrescente em ]0, ln2] e estrita-mente crescente em [ln2, +∞[;2ln2 é máximo relativo de l para x = ln2.

117.

a)

significa que à medida que a idade da

fêmea vai aumentando o número médio de indiví-duos gerados por essa fêmea tende para zero.

b)

f é estritamente crescente em e estritamente

decrescente em

0 é mínimo relativo para x = 0,5;

é máximo relativo para

Como então é com 1,4 anos de idade que as

fêmeas geram o maior número de indivíduos.

c)

118.

l e(ln ) ln ln( ) ln ln ln2 2 1 2 12= − − = − −− eeln

ln ln ln ln

1

2

2 11

22 2

( )= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + ln= 2 2

lim ( ) lim, ln( )

x xx

x

x→ +∞ → +∞

⎛

⎝⎜⎜

⎞±∞

±∞

= =f4 6 2 ⎠⎠

⎟⎟

→ +∞× ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , lim

ln( )

4 6

2

22

x

x

x

Cálculo auxiliar:Considerando a mudança de variável2x = y.Se x → +∞, então y → +∞.

lim ( ) ; x

x→ +∞

=f 0

f

Df

( ) , ln( )

, ;

xx

x=

= +∞⎡⎣ ⎡⎣

4 6 2

0 5

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= ×( )′

f ( ) ,ln( )

, ln( )

xx

x

x

4 62

4 62 ×× − × ′

= ×× −

ln( )

, ln(

x x x

x

xx x

2

4 6

2

22

2

))

, ln( )

×

= ×−

1

4 61 2

2

2

xx

x

′ =

× =

−

f ( )

, – ln( )

ln(

x

x

x

0

4 61 2

0

1 2

§

§

2

xx x

x x

)

ln( )

= ∈

= ∈′

0

2 1

‹

§ ‹

Df

D

e D

e

f

f

′

′= ∈

=

§ ‹

§

2

2

x x

x

f

fe

e

( , ) , ln

,

, ln

0 54 6 1

0 50

2

4 6 2

= =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 22

2

4 6 1

2

9 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=×

=e e e

,

,

0 52

, ; e⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

e

2, ;+∞

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

x = .e

2

9 2,

ee

21 4≈ , ,

t.m.v. ( ) ( )

, ln

, 2 4

4 2

4 24 6 8

4

⎡⎣ ⎤⎦=

−

−

=

f f

−−

=× − ×

=

, ln

, ln , ln

4 6 4

22

4 61

48 4 6

1

24

2

, ln , ln

,

ln

4 6 8 4 6 4

2

4 6

2

8

4

1

4

1

2

1

4

1

× − ×

= ×22

31

4

2 32

22 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=( )

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = , ln , ln

22

2

2 3 2 2 31

2

3

4

1

4

4

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= ( ) =⎛

⎝⎜⎜

⎞−

, ln , ln

⎠⎠⎟⎟ c.q.d.

= × 2 4,, limln

,

6 9 2 0y

y

y→ +∞= ×

Limitenotável

�� = 0

R DR

( ) , ( ) , x x x= − = ⎡⎣ ⎤⎦0 00064 120 0 1202

′ = −( )′

= ( )′R ( ) , ( )

,

x x x

x

0 00064 120

0 00064

2

2 ×× − + × ( )′( )=

( ) –

, (

120 120

0 00064 2

2x x x

x 1120 1

0 00064 240 2

2

2

) ( )

,

− + × −( )= − −

x x

x x xx

x x

2

20 00064 240 3

( )= −( ) ,


x 0,5e

2+∞

4,6(1 – ln(2x)) + + 0 –

x2 + + + +

Sinal de f’ + + 0 –

Variação de f mín. £ Máx. ¢

R é estritamente crescente em[0, 80] e estritamen-te decrescente em [80, 120]; 163,84 é máximo rela-tivo para x = 80. Assim, a taxa de disseminação da epidemia aumen-tou até ao momento em que estavam infetados 80árvores, momento na qual foi atingida a maior taxade disseminação da epidemia, tendo diminuído apartir daí.

119.

• h’(x) para x < 0:

• h’(x) para > 0:

• h’(x) para x = 0:

Assim:

Cálculo dos zeros de h’:

h(0) = 0A função h é estritamente decrescente em todo oseu domínio e não possui extremos.

120.

a)

b)

x = 0 é o único zero de f’’’.

c)

121.

a)

DR′

= ⎡⎣ ⎤⎦ , 0 120

′ =

−( ) =

−

R ( )

,

x

x x

x

0

0 00064 240 3 0

240

2§

§ 33 0

240 3 0

0

2x

x x

x x

( )

=

− =

= =

§

§ › 880

Cálculo auxiliar:R(0) = 0R(120) = 0R(80) = 163,84

h(x) =e – 1 – se

– 1 ln 1 se

x x x

x x x x

<

+ +

( ) ( )

0

≥ 0

��

Dh

= �

′ = − −( )′ = − − = −h e e e( ) x xx x x1 0 1 1

′ = − + × +( )′

= − +

h ( ) ( ) ln( )

(

x x x x1 1

1 1 xx x x x) ln( ) ( ) ln( )′ × + + + × +( )′⎡⎣ 1 1 1⎢⎢

⎤⎦⎥

= − × + + + ×+

ln( ) ( )

1 1 1 11

1x x

xxx

x

ln( )

ln( )

= − + +

= − +

1 1 1

1

′ =−

−=−

→ →− −h

h h e( ) lim

( ) ( )

lim

0

0

00 0x x

x

x

xx

x

x

x

x

x

− − −

=−

→ −

lim

1 0

10

e

Limitenotávell

� �� lim

− = = − =

→ −x

x

x

x

x01 1 0

( )′ =+0h llim( ) ( )

lim (

x

x

x

xx

→

→

+

+

−

−

=− +

0

0

0

01

h h

) ln( )

lim lim (

x x

xx

xx x

1 0

10 0

+ −

= −→ →+ +

) limln( )

+ ×

+→ +

xx

xx 0

1


( ) ( ) ,

= − × =

′ = ′ =− +

1 1 1 0

0 0 0h h loogo ( ) .′ =h 0 0

h’(x) =e – 1 se

–ln 1 se

x x

x x

<

+ ≥

( )

0

0

��

′ =

− = <( ) −

h

e

( )

(

x

xx

0

1 0 0§ ‹ › lln( ) )

1 0 0

1

+ = ≥

=

x x

xx

‹

§ ‹e <<( ) + = ≥( )=

0 1 00› ‹

§

x x

x

e

( ) 0 0‹ x <

Condição impossível� �� ( )

› ‹

§

x x

x

= ≥

=

0 0

0

′ = + −( )′ = +

′′ =

f

f

( )

( )

x x x x x

x

2 3 4 10 6

10

5 2 4

xx x x

x x

4 3

3

6 40 6

40 6

+( )′ = +

′′ →

+

:

f � �

′′′ = +( )′ =

′′′ =

f

f

( )

( )

x x x

x

40 6 120

0 12

3 2

§ 00 0 02x x= = §

f

f

f

IV

V

VI

( )

( )

( )

= ( )′ =

=

( )

( )

x x x

x

120 240

240

2

(( )

x =

=

0

6n

f e D

f e e D

f

f

f

( )

( )

( )

'

x

x

x

x

x x

= =

′ = ( )′ = =

′′

�

�

( )

''

'

= ( )′ = =

′′′ = ( )′ =

e e D

f e e D

f

f

x x

x xx

�

''' = �


0 80 120

Sinal de R’ 0 + 0 – –

Variação de R 0 £ Máx. ¢ 0

–∞ 0 +∞

Sinal de h’ – 0 –

Variação de h ¢ h(0) = 0 ¢

b)

122.a) Como se observa pelo gráfico apresentado, f’ é

uma função negativa em todo o seu domínio, logof é estritamente decrescente, pelo que, dos valoresde x assinalados, é em x5 que f assume o menorvalor.

b) Pelo mesmo motivo da alínea anterior, é em x1 quef assume o maior valor.

c) Por observação do gráfico de f’, conclui-se que, dosvalores assinalados, é em x5 que f’ atinge o menorvalor.

d) Pelo mesmo motivo da alínea anterior, dos valoresassinalados, é em x2 que f’ assume o maior valor.

e) Como o gráfico apresentado diz respeito à função f’tem-se que os declives das retas tangentes ao gráficode f’ nos pontos de abcissa x1, x2, x3, x4 e x5 corres-

pondem aos valores de

Assim, e como em x3 e em x5 a reta tangente ao grá-fico tem declive igual e negativo, conclui-se que éem x3 e em x5 que f” assume o menor valor.

f) Pelo mesmo motivo da alínea anterior, conclui-seque, dos valores assinalados, é apenas em x1 que areta tangente ao gráfico de f’ tem declive positivo,logo é em x1 que f” assume o maior valor.

123. Por observação da representação gráfica de g’,sabe-se que:

Completando a tabela anterior, e sendo g’ umafunção contínua, terá de se verificar:

Das opções apresentadas, apenas a representa-ção gráfica que se encontra na opção (A) verificatodas as condições.Opção (A)

124.

O gráfico da função f tem a concavidade voltadapara baixo nos intervalos ]–∞, –2] e [2, +∞[ e tema concavidade voltada para cima em [–2, 2],apresentando dois pontos de inflexão nos pontosde abcissa –2 e 2.Das opções apresentadas, apenas a representa-ção gráfica que se encontra na opção (D) verificaestas características.Opção (D)

125.

a)

f(–1) = 10O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixoem ]–∞, –1] e voltada para cima em [–1, +∞[.Tem um ponto de inflexão de coordenadas (–1, 10).

b)

g D

g D

g

g

g

( ) ln

( ) ln

x x

x xx

= =

′ = ( )′ = =

′′

+

′

+

�

�1

(( )

( )

xx x

xx

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= − =

′′′ = −

′′

+1 1

1

2D

g

g�

22

2

3

32

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= −( )′

= − − = =

−

−

′′′

( )

x

xx

Dg�++

′′( ) ′′( ) ′′( ) ′′( )f f f fx x x x1 2 3 4

, , , e

′′(f x6 )).

′′ = −

′′ = − = =

f

f

( )

( )

x x

x x x

4

0 4 0

2

2§ § − =2 2› x

f D

ff

( )

( )

x x x x

x x

= + − + =

′ = +

2 6 5 1

6 12

3 2

2

�

xx

x x

− =

′′ = + =′

′′

( )

5

12 12

D

f Df

f

�

�

′′ =

+ =

= −

f ( )

x

x

x

0

12 12 0

1

§

§

g D

g

g( ) \{ }

( )

x xx

xx

= + =

′ = +′ × −

40

14

�

441

40

14

2 2

\{ }

( )

× ′= − =

′′ = −

′

x

x x

x

D

g

g�

xx

x x

x2

2

22

04 4

0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

′ × − × ( )′

( )

= −

'

2

−−= =

′′

\{ }

8 80

4 3

x

x xD

g�


x –∞ a b +∞

Variação de g’ £ Máx. ¢ mín. £

x –∞ a b +∞

Sinal de g” + 0 – 0 +

Variação de g’ £ Máx. ¢ mín. £

x –∞ –2 2 +∞

Sinal de f” – 0 + 0 –

Sentido dasconcavidadesdo gráfico de f

∩ P.I. ∪ P.I. ∩

x –∞ –1 +∞

Sinal de f” – 0 +


∩ P.I. ∪

O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixoem]–∞, 0[ e voltada para cima em ]0, +∞[.

c)

O gráfico de h tem a concavidade voltada para cimaem ]–∞, 1] e em [2, +∞[ e tem a concavidade voltadapara baixo em [1, 2].Existem 2 pontos de inflexão de coordenadas

d)

O gráfico de i tem a concavidade voltada para cimaem ]0, e] e voltada para baixo em [e, +∞[.Apresenta um ponto de inflexão de coordenadas (e, 1).

e)

O gráfico de j apresenta a concavidade voltada paracima em todo o seu domínio.Não existem pontos de inflexão.

h e D

h

h( )

( )

x x x

x x x

x= + +( ) =

′ = + +

−2

2

2

2

�

(( )′ × + + +( ) × ( )= +( ) ×

− − '

e ex xx x

x

2 2

2 1 ee e

e

− −

−

− + +( )= + − − −

x x

x

x x

x x x

2

2

2

2 1 2(( )= − + −( ) =

′′ = ( )′ ×

−

′

−

( )

e D

h e

h

x

x

x x

x

2 1 �

− + −( ) + ( ) × − + −( )′

= −

−x x x xx

x

2 21 1e

e −− + −( ) + − +( )= − +

−

−

x x x

x x

x

x

2

2

1 2 1

1

e

e

− +( )= − +( ) =−

′′

2 1

3 22

x

x xxe Dh�

′′ =

− +( ) =

=

−

−

h

e

e

( )

x

x xx

x

0

3 2 0

0

2§

§Equaçção

impossível

��

›

§

x x

x

2 3 2 0− + =

=

3 3 4 1 2

2 11

2± −( ) − × ×

×= =§ ›x x 22

h e

h e

( )

( )

1 4

2 8

1

2

=

=

−

−

1 4 2 81 2, , .e e− −( ) ( )e

i D

i

i( ) ln

( ) ln ln

x x

x x x

= ( ) =

′ = ( )( )′=

+2

22

�

×× ( )′ = × =′

+ ln ln x xx

21

Di�

′′ =

×−

=

− =

i ( )

ln

ln

x

x

xx

0

21

0

1 0

2§

§

ln

‹

§ ‹

§

x

x x

x

∈

= ∈′′

′′

D

Di

i1

== e

i e e( ) ln = ( ) =2

1

j D

j

j( ) ln

( ) ln

x x x

x x x x

= − =

′ = −( )′ = −

+2

2

2

2 2

�

( )

21

2 21

× =

′′ = − ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=

′

+

x

x xx

D

j

j�

2 21

22

2

2

− × −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= + =′′

+

x

xD

j�

′′ = + =j ( ) xx

0 22

02

§

Equação impossível

emm , logonão tem zeros�

� ��

′′j

′′ =

=

′′

g

g

( )

x

x

0

80

3§

Equação impossível,nnão tem zeros

��

′′ =⎛

⎝( )

lnx

x

x

2i ⎜⎜

⎞

⎠⎟

′

= ×( )′ × − ( ) × ′

= ×

ln ln

2

2

1

2

x x x x

x

xxx x

xx

x

ln

ln

× − ×

= ×−

=′′

+

1

21

2

2D

i�


x 0 +∞

Sinal de j” n.d. +

Sentido dasconcavidadesdo gráfico de j

n.d. ∪

x –∞ 0 +∞

Sinal de g” – n.d. +

Sentido dasconcavidadesdo gráfico de g

∩ n.d. ∪

x –∞ 1 2 +∞

Sinal de h” + 0 – 0 +

Sentido dasconcavidadesdo gráfico de h

∪ P.I. ∩ P.I. ∪

x 0 e +∞

2(1 – lnx) n.d. + 0 –

x2 n.d. + + +

Sinal de i” n.d. + 0 –

Sentido dasconcavidades dográfico de i

n.d. ∪ P.I. ∩

126.

a)

Como conclui-se que o gráfico de

f tem a concavidade voltada para baixo em todo oseu domínio.

b)

f(10) = 5ln10 – 5f é estritamente crescente em ]0, 10] e estritamen-te decrescente em [10, +∞[; 5ln10 – 5 é máximoabsoluto para x = 10; não tem mínimos relativos.

Conlui-se que

c)

Seja t a reta tangente ao gráfico de f em x = 1 e n areta normal ao gráfico de f em x = 1.

Como então

Assim, a equação da reta n é da forma

Como pertence à reta n, então:

d)

e) • Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 0 e assíntota vertical do grá-fico de f.O gráfico de f não apresenta mais assíntotas verti-cais visto f ser uma função contínua no seu domínio.• Assíntotas não verticais:

(calculado na alínea anterior)

Como b ∉ �, conclui-se que não há assíntotas nãoverticais do gráfico de f para x → +∞.

127.

a)

Considerando a mudança de variável x + 3 = y, se x → –3, então y → 0.

b) Seja t a reta tangente ao gráfico de f cujo declive é3e, então t é da forma y = 3ex + b. Para determinarb é necessário conhecer as coordenadas do pontode tangência T.Sabe-se que:

f D

f

f( ) ln

( ) ln

x x x

x x x

= − =

′ = −⎛

⎝

+51

2

51

2

�

⎜⎜⎞

⎠⎟

′

= × − =

′′ = × −

′

+

( )

51 1

2

51

x

xx

D

f

f�

1

25

10

5

2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= × −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

= − =′′

x

xD

f��+

′′ < ∀ ∈ +f ( ) , ,x x0 �

′ = − =−

=′

+f Df

( )

xx

x

x

5 1

2

10

2�

′ =−

=

− =

f ( )

xx

xx

010

20

10 0

§

§ ‹ xx

x x

∈

= ∈′

′

D

Df

f§ ‹10

Df

′ = −∞ −⎤⎦ ⎤⎦, ln .5 10 5

P f1 1 11

2, ( ) , ( ) = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

mn

= − = − .1

9

2

2

9m f

t= ′ =

−= ( )

,1

10 1

2

9

2

y x= − + .2

9b

P 11

2, −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− = − × +

= −

= − −

1

2

2

91

5

182

9

5

18

:

b

b

n

§

y x

lim( )

limln

lim x x x

x

x

x x

x→ +∞ → +∞ → +=

−=

f5

1

2∞∞ → +∞

→ +∞

−

=

51

2

5

ln lim

limln

x

x

x

xx

x

x

x

Limitenottável

�� lim

− = × − = −

→ +∞x

1

25 0

1

2

1

2

D

f

f=

= −⎛

⎝⎜

⎞

+

→ →+ +

lim ( ) lim ln

�

x xx x x

0 05

1

2 ⎠⎠⎟ =−∞ − × = −∞

1

20

Df=( )+ �

mf

lim( )

= = −→ +∞x

x

x

1

2

b f lim ( ) lim

= − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ +∞ → +x xx x

1

2 ∞∞

→ +∞

− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ( ) = +

51

2

1

2

5

ln

lim ln

x x x

xx

∞∞

f e( ) x x= + +1 3 3

′ − =− −

− −=

→ − →f

f f( ) lim

( ) ( )

( ) lim

3

3

33x x

x

x

lim

−

+

→ −

+

+ −

+

=−

3

3

3

3

1 3 4

3

3 3

e

e

x

x

x

x

x xx

x

+=

−( )+→ −

+

lim

3

3 1

33

3e

y

y

=→

lim

30

e −−= × =

13 1 3

y


m e f e e e

et= ′ = + =+

+

( )

3 3 0 3 33§ §

§

x x

x

,

3 3 1

2

2 2

= + =

=−

− −( )(

e

T f

§

§

x

x

Assim, )) = − +( ) , .2 1 3e


x 0 10 +∞

10 – x n.d. + 0 –

2x n.d. + + +

Sinal de f’ n.d. + 0 –

Variação de f n.d. £ Máx. ¢

Cálculo auxiliar:

f e( ) − = + = + =− +3 1 3 1 3 43 3

Logo, como T pertence à reta t de equação y = 3ex + b,vem que:

c) •

•

•

d)

Assim:

128.

a)

Assim, significa que

após 2 semanas do aparecimento do surto de gripeo número de pessoas contagiadas está a aumentarà taxa de 5,6 centenas de pessoas por semana.

b) Para determinar em que momento a doença está aalastrar-se mais rapidamente, é necessário analisarcomo varia a taxa de variação da função Q, isto é,estudar a variação da função Q’:

(determinada na alínea anterior)

1 3 3 2

1 3 6

( )

+ = × − +

= + +

e e b

b e e

b

§

§ == +

= + +

:

9 1

3 9 1

e

t e ey x

D Df f= = ′

− �

1

1 3

1

3

3

3

3

ln

+ =

=−

+ =

+

+

e

e

x

x

y

y

xy

§

§

xy

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

ln

1

31

33§

D

f

f−

−

= ∈−

>⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= +∞1

1

1

30 1 :

] , [

:

xx

�

]] , [

ln

1

1

33

+∞ →

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

�

xx

f e

f e

f

( )

( )

( )

x

x

x

x

x

= +

′ =

′′ =

+

+

1 3

3

3

3

3

eex + 3

′′ + ′ >

+ >+ +

f f f

e e

( ) ( ) ( )

x x xx x§ 3 3 13 3 ++

>

>

+

+

+

+

3

3 1

31

3

3

3

3

3

e

e

e

x

x

x

x

§

§

§ >>⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

>⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

=

ln

ln

ln

1

3

1

33

1

§ x

C.S. 33

3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − +∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢ ,

′ =+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=′ × +

−Q t

e t( )

,

80

4 76

80 4

1 2

776 80 4 76

4 76

1 2 1 2

1

e e

e

t t− −

−

( ) − × +( )′

+

, ,

,,

,

,

22

1 20 80 0 76 1 2

t

te

( )

=− × + × −( ) ×( − ))

+( )

=+( )

−

−

−

4 767296

4 76

1 22

1 2

1 2

,

,

,

ee

e

t

t

t22

′ =×

+( )

− ×

− ×

Qe

e( )

,

,

27296

4 76

1 2 2

1 2 22

≈≈ , ;5 6

′ =×

+( )

−

−

Q te

e

t

t

( )

,

,

7296

4 76

1 2

1 22

′′ =×( )′ × +( ) −− −

Q te et t

( ) , ,7296 4 761 2 1 2

2

,

,

,

7296

4 76

4 76

1 2

1 24

1 2

e

e

e

t

t

t

−

−

−

×

+( )

× +( ))( )′

+( )

=− × +

−

−

2

1 24

1 2

4 76

8755 2 4 7

,

,

,

e

e

t

t 66 7296

4 76

2 4

1 22

1 2

1 24

e e

e

t t

t

− −

−

( ) −

+( )

×

, ,

,

++( ) × +( )′

+

− −

−

, ,

,

76 4 76

4 76

1 2 1 2

1 2

e e

e

t t

t(( )

=× +( ) − +− − −

4

1 2 1 24 76 8755 2 4 76

, , ,e e et t 11 2

1 23

4 76

7296 2 0

,

,

t

te

( ) −⎡⎣

+( )− × × −

−

991 2

4 7635

1 2

1 23

1 2

,

,

,

,

e

ee

t

t

t

−

−

−

( )⎤⎦+( )

=× − , ,

,

,

020 8 665 395 2

4 76

1 2

1 23

+ +(

+( )

−

−

e

e

t

t

++

+( )

=

−

−

−

, )

,

,

,

1 330 790 4

4 76

1 2

1 23

1 2

e

ee

t

t

tt te× − + ×( )

+

− , ,

,35 020 8 665 395 2

4 76

1 2

eeD

t

Q

−

′′

+

( )=

1 23

,

�

′′ =

− +− −

Q t

e et

( )

, ,, ,

0

35 020 8 665 395 21 2 1§ 22

1 2

0

0

t

Q

t

t D

e

( ) =

∈

=

′′

−

,

‹

§Equação

imposssível

�� ,

,,› e t− =1 2 35 020 8

665 395 22

1 21

191

191

§

§

, ln

ln

,

− =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

t

t22

2 45t ,≈



O máximo de Q’ é atingido quando t ≈ 2,45, o quesignifica que a doença está a alastrar-se mais rapi-damente após 2 semanas (com aproximação às uni-dades) do seu aparecimento.

129.a) Considerando os quadrados dos cantos de lado x,

tem-se que:

Assim, a base da caixa é um quadrado de lado 6 – 2xe a altura da caixa é x, logo o seu volume é dado pelaexpressão:

com os valores de x a pertencer ao intervalo ]0, 3[.

b)

V(1) = 4 – 24 + 36 = 16Conclui-se assim que o volume da caixa é máximoquando x = 1 cm e, nesse caso, o volume é de x = 16cm3.

130. Consideremos a representação gráfica da funçãoy = 1 – x2:

A área de um retângulo nas condições pretendi-das é dada em função de x pela expressão:

O valor máximo da área é atingido quando

e o seu valor é de

131. Consideremos a seguinte representação do pro-blema:

xx

xx

xx

xx

6

6

V

V

( )

( )

x x x

x x x

= −( ) ×

= − +(6 2

36 24 4

2

2§ )) ×

= − +

( )

x

x x x x§V 4 24 363 2

V D D

VV V

( ) ] , [

'( ) '

x x x x

x

= − + = =

=

4 24 36 0 33 2

12 48 362x x− +

V

DV

'( )

'

x

x x x

=

− + = ∈

0

12 48 36 02§ ‹

§§ › ‹

§

( )

'

x x x

x

= = ∈

=

1 3

1

DV

y

y = 1 - x2

1

1-1 xx xO

A

A

( )

( )

x x x

x x x x

= × −( )= −

2 1

2 2

2

3§ com ∈ ] , [0 1

′ = − =A DA

( ) ] , ['

x x2 6 0 12 com

′ = − = ∈

=

A DA

( )

'x x x

x

0 2 6 0

1

2

2

§ ‹

§33

1

3

'

'

‹

§ ‹

§

x

x x

x

∈

= ± ∈

D

D

A

A

== =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ∈ –

'

3

3

3

3› ‹

§

x x DA

xx =3

3

x = 3

3x = .

4 3

9

Vedação

Veda

ção

Veda

ção

y m

x mx m Parque

AUTOESTRADA

x 0ln

,

1

19

1 2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

Sinal de Q” + 0 –

Variação de Q’ £ Máx. ¢

x 0 3

31

Sinal de A’ n.d. + 0 – n.d.

Variação de A n.d. £ Máx. ¢ n.d.

0 1 3

Sinal de V’ n.d. + 0 – n.d.

Variação de V n.d. £Máx.16 ¢ n.d.

Cálculo auxiliar:

A3

3

2 3

31

3

3

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

22 3

3

2

3

4 3

9 × =

Seja P a quantidade de vedação usada, em me tros,em função do comprimento e da largura do parque:P = x + x + y = 2x + yComo Área = 5000, vem que:

Logo,

A quantidade mínima de vedação a ser utilizadave rifica-se para x = 50, logo o parque deverá ter de

largura 50 m e de comprimento

132.

A população de roedores é máxima após 6,25semanas do solstício de inverno. Como o tempode inclinação dos ovos de falcão é de 5 semanas,para que o nascimento de filhotes de falcão coin-cida com a época em que a população de roedoresé máxima, os ovos deverão ser postos após 1,25semanas do solstício de inverno.

133.

a)

•

• logo f é

uma função par, ou seja, o seu gráfico é simétricoem relação ao eixo Oy.

•

f tem um único zero: x = 0• Assíntotas:

A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de f.Como a função é par, pode concluir-se que a reta deequação x = –1 é também assíntota vertical do grá-fico de f.Não há mais assíntotas verticais, pois verifica-se quea função é contínua no seu domínio.

Como conclui-se

que a reta de equação y = 1 é assíntota horizontal dográfico de f, para x → +∞ e, novamente considerandoo facto de f ser par, conclui-se que para x → –∞ aassíntota é a mesma.

•

x y yx

× = = 50005000

§

P( ) , ] , [.x xx

x= + ∈ +∞25000

0com

′ = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= + × −⎛

P ( ) x xx x

25000

2 50001

2⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟

= − =−

25000 2 5000

2

2

2x

x

x

′ =

− = ≠

=

P ( )

x

x x

x

0

2 5000 0 0

2

2 2

2

§ ‹

§ 5500

2500

50 50

§

§ ›

x

x x

= ±

= = − ∉ Dp

y = = 5000

50100 m.

R t te D

R t t e

t

R

t

( )

( )

,

,

= =

′ = ′×

− +

−

4

4

0 16

0 16

�

++ × ( )′( )= − ×

−

− −

,

,

, ,

t e

e t e

t

t

0 16

0 16 04 0 16 116

0 164 1 0 16

t

te t

( )= −− ( , ),

′ = − =−

−

R t e t

e

t( ) ( , )

,

,

0 4 1 0 16 0

4

0 16

0 1

§

§ 66 0 1 0 16t = − ,Equação

impossível

� �� › tt

t

,

=

=

0

6 25§

f( )

xx

x=

−

2

2 1

Df= ∈ − ≠ = − { : } \{ , }x x� �2 1 0 1 1

f f( )

( ), − =−( )

−( ) −=

−= ∀x

x

x

x

xx x

2

2

2

21 1

∈∈ ,Df

f Df

( )

xx

xx x=

−= = ∈0

10 0

2

2

2§ § ‹

§§ ‹ x x= ∈0 Df

lim ( ) lim

li

x xx

x

x→ → ++ +=

−= = +∞

1 1

2

2 1

1

0f

mm ( ) lim

– –x x

xx

x→ → −=

−= = −∞

1 1

2

2 1

1

0f

lim ( ) lim

lim x x x

xx

x

x

x→ +∞ → +∞ → +∞=

−=f

2

2

2

21 ,= 1

′ =−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=( )′ × −( ) −

f ( )

xx

x

x x x2

2

2 2 2

1

1 ×× −( )′

−( )

=× −( ) − ×

x

x

x x x x

x

2

22

2 2

1

12 1 2

222

22

1

2

1−( )=

−

−( )

x

x

D

ff ′

= −

′ =

− = ∈

\{ , }

( )

� 1 1

0

2 0

x

x x§ ‹ DDf ′

=§ x 0

f( )

00

0 10

2

2=

−=


x –∞ –1 0 1 +∞

Sinal de f’ + n.d. + 0 – n.d. –

Variação de f £ n.d. £ M ¢ n.d. ¢

x 0 50 +∞

Sinal de P’ n.d. – 0 +

Variação de P n.d. ¢ mín. £

x 0 6,25 +∞

Sinal de R’ n.d. + 0 –

Variação de R n.d. £ Máx. ¢

f é estritamente crescente em ]–∞, –1[ e em ]–1, 0]e é estritamente decrescente em [0, 1[ e em ]1, +∞[;0 é máximo relativo para x = 0.

•

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em]–∞, –1[ e em ]1, +∞[ e voltada para baixo em ]–1, 1[.• Representação gráfica:

b) g(x) = ex – e–x

• Dg = �• Zeros:

•

logo, g é uma função ímpar, ou seja, o seu gráficoé simétrico em relação à origem do referencial.

• Assíntotas:A função é contínua em � visto tratar-se da dife-rença de funções contínuas, logo o seu gráfico nãotem assíntotas verticais.

Como m ∉ �, conclui-se que o gráfico de g nãoapresenta assíntotas não verticais para x → +∞ e,visto que a função é ímpar, o mesmo se pode con-cluir para x → –∞.

•

Como conclui-se que g’ é estri-

tamente crescente em todo o seu domínio.

•

O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixoem ]–∞, 0] e voltada para cima em [0, +∞[; tem umponto de inflexão de coordenadas (0, 0).• Representação gráfica:

′′ =−

−( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=−( )′ × −

f ( )

xx

x

x x

2

1

2

22

2 11 2 1

1

2 1

22

2

24

2

( ) − −( ) × −( )( )′

−( )

=− −

x x

x

x(( ) + × −( ) ×

−( )

=−( ) −

22

24

2

2 2 1 2

1

1 2

x x x

x

x x22 2

24

2 2

1 8

12 2 8

−( ) +⎡⎣ ⎤⎦

−( )

=− + +( )

x

x

x x

x223

2

23

1

6 2

1−( )=

+

−( )

x

x

′′ =

+ =

f ( )

x

x

0

6 2 02§Equação

impossívelem ��

� �� ‹ x ∈′′

Df

y

xO 1

1

-1

g e e( ) x x x xx x= = = − =−0 0§ § §

g e e e e e e( )

( )− = − − = − −( )=

− − − − −x x x x x x x§

−− ∀ ∈g Dg

( ), ,x x

mg e e

lim( )

lim

li

= =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

→ +∞ → +∞

−

x x

x xx

x x

mm lim x

x

x

x

x x→ +∞ → +∞

−

−e e

Limitenotável

��

== +∞ −+∞

= +∞ 0

′ = −( )′ = + =− −

′g e e e e D

g( ) x x x x x �

′ > ∀ ∈g ( ) , ,x x0 �

′′ = +( )′ =−

′′g e e D

g( ) x x x �

′′ = − =

=

= −

−

−

g e e

e e

( )

x

x x

x x

x x

0 0§

§

§

§§ x = 0

g e e( ) 0 1 1 00 0= − = − =−

y

xO

g


x –∞ –1 1 +∞

6x2 + 2 + n.d. + n.d. +

(x2 – 1)3 + n.d. – n.d. +

Sinal de f” + n.d. – n.d. +


∪ n.d. ∩ n.d. ∪

x –∞ 0 +∞

Sinal de g” – 0 +

Sentido das concavidadesdo gráfico de g

∩ P.I.∪


c)

•

•

h tem um único zero: x = ln2• Assíntotas:

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do grá-fico de h.Este não apresenta mais assíntotas verticais já quea função h é contínua no seu domínio.

Assim, conclui-se que a reta de equação y = x éassíntota oblíqua do gráfico de h quando x → +∞.

•

Como então verifica-se que h é

estritamente crescente em todo o seu domínio.

•

Como verifica-se que o gráfico de

h tem a concavidade voltada para baixo em �+.• Representação gráfica:

d)

• Di = �• O gráfico de i não possui assíntotas verticais visto

tratar-se de uma função contínua (soma de fun-ções contínuas) em �.

A reta de equação y = 2x + 1 é assíntota oblíqua dográfico de i quando x → +∞.

D eh

= ∈ − > = + { : } x x� �1 0

Cálculo auxiliar:ex – 1 > 0 § ex > 0 § x > 0

h D

e

e

h( )

ln

x xx

x

= ∈

−( ) =

−

0

1 0

1

‹

§

§

ln

=

=

=

1

2

2

§

§

ex

x

lim ( ) lim ln ln x x

xx→ →

+

+ += −( ) = −

0 01 1 1h e (( ) = = −∞+ ln 0

mh e

= =−( )

=→ +∞ → +∞

⎛

⎝±∞

±∞

lim( )

limln

x x

xx

x x

1⎜⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

lim

ln

lim

x

x

x

x

ee

11

xx

x

x

x→ +∞

+ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

ln ln

li

ee

11

mm lim

ln

x x

xx

x→ +∞ → +∞

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟1

1

e⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= +−( )

+∞= + =

x

ln

11 0

1 0 1

b h e lim ( ) lim ln

= − ×( ) = −(→ +∞ → +∞x x

xx x1 1)) −( )

= × −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

→ +∞

lim ln

x

xx

x

xe

e1

1⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠→ +∞lim ln ln

x

x

xe

e1

1⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

→ +∞

lim ln

x

xx x

11

e−−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

→ +∞

lim ln ln

x

x x1

11

e−−

+∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = = ln

11 0

′ = −( )( )′ =−( )′

−=

−h e

e

e

e

e( ) ln

x x

x

x

x

x1

1

1

1D

h′

+= �

′ > ∀ ∈h Dh

( ) , ,x x0

′′ =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=( )′ × −( ) −

he

e

e e e

( )

xx

x

x x

1

1 xx x

x

x x x x

x

× −( )′

−( )

=−( ) − ×

−

e

ee e e e

e

1

11

2

11

1 1

2

2

( )

=− −( )

−( )=

−

−( )e e e

e

e

e

x x x

x

x

x22

′′ < ∀ ∈h Dh

( ) , ,x x0

y

xO

h

ln 2

i e( )

x xx

= + +−

2 1 2

h e( ) ln x x= −( )1

mi e

lim( )

lim

l

= =+ +

=

→ +∞ → +∞

−

x x

x

x

x

x

x

2 1 2

iim

lim

lim

x x

x

x

x

x xx

x

→ +∞ → +∞

−

→ +∞

++

=

2 1

2

2e

++∞

= + =−∞e

2 0 2

b i e lim ( ) lim

= −( ) = + +→ +∞ → +∞

−

x xx x x2 2 1

lim

x

x

x

x2

2

2

1 1 1

−( )

= +( ) = + =→ +∞

−−∞e e + =0 1

mi

lim( )

lim

lim

= =+

+→ −∞ → −∞ → −∞x x x

x

x

x

x

2 1 ee

e

−

→ −∞ → +∞= +

−

lim lim

x

x y

y

xx

x y

2

2

2

•

i é estritamente decrescente em ]–∞, –2 ln4] e estri-tamente crescente em [–2 ln4, +∞[; 5 – 4 ln4 é míni-mo absoluto para x = –2 ln4.

•

logo o gráfico de i tem a concavi-

dade voltada para cima em �.• Representação gráfica:

134.

a)

•

•

Logo, f não tem zeros.• Assíntotas:


gráfico de f. O gráfico de f não tem mais assíntotasverticais visto tratar-se de uma função contínua noseu domínio.

A reta de equação é uma assíntota oblí-

qua do gráfico de f quando x → +∞.Como para x → –∞ os cálculos são análogos, tem-se

que a reta de equação é também assín-

tota oblíqua do gráfico de f quando x → –∞.

•

′ = + +( )′

= − =− −

′i e e D

i( )

x xx x

2 1 21

22 2 ��

′ = − = =

−

− −

i e e( )

x

x

x x

0 21

20 4

2

2 2§ §

§ ln ln= = −4 2 4§ x

′′ = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= − × −⎛

⎝

−

i e( )

xx

21

20

1

2

1

22 ⎜⎜

⎞

⎠⎟

= =

−

−

′′

e

e Di

x

x

2

21

4�

′′ > ∀ ∈i Di

( ) , ,x x0

y

xO5 - 4ln4

f( )

x

x x

x=

+ +

+

2 1

2 1

Df= ∈ + ≠ = −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

{ : } \x x� �2 1 01

2

f( )

x

x x

xx x=

+ +

+= + +0

1

2 10 1

22§ §

Equuaçãoimpossível

em�

� �� ‹ x ∈ Df

= − l21

2iim (

y

y

y→ +∞= − × +∞

e

Limitenotável

�� 2

1

2)) = −∞

lim ( ) lim

x x

xx x

x→ − → −

+ +=

+ +

+1

2

1

2

2 1

2 1f

lim ( ) lim

= = +∞

=

+

→ − → −− −

3

40

1

2

1

2

2

x x

xx

f++ +

+= = −∞

−

x

x

1

2 1

3

40

x = − 1

2

mf

lim( )

lim

= =

+ +

+

=

→ +∞ → +∞x x

x

x

x x

xx

2 1

2 1

llim

lim lim

x x

x x

x x

x

x→ +∞ → +∞

+ +

+= =

2

2

21

2 2 xx→ +∞=

1

2

1

2

b f lim ( ) lim

= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+→ +∞ → +∞x x

x xx x1

2

2 ++

+−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+ +

→ +∞

lim

1

2 1

1

22 2 22

xx

x xx

−− −

+

=+

+=

→ +∞ →

lim

lim

2

4 22

4 2

2x x

xx

xx x ++∞ → +∞=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

x

x x4

1

4

1

4 lim

y x= + 1

2

1

4

y x= + 1

2

1

4

′ =+ +

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=+ +( )

f ( )

xx x

x

x x

2

2

1

2 1

1′′× +( ) − + +( ) × +( )′

+

2 1 1 2 1

2

2x x x x

x 114 4 1 2 2 2

2 1

2

2 2

2

( )

=+ + − − −

+( )=

x x x x

x

2 2 1

2 1

2

2

x x

x

+ −

+( )


Cálculo auxiliar:Considerando a mudança de variável

Se x → –∞, então y → +∞.Como m ∉ � não existe assíntota nãovertical do gráfico de i quando x → –∞.

− = = −x

y x y2

2 §

x –∞ –2ln4 +∞

Sinal de i’ – 0 +

Variação de i ¢ mín. £

Cálculo auxiliar:

i e−( ) = − × + +

=

−−( )

2 4 2 2 4 12 4

2 ln ln

ln

−− + +

= − + +

= −

4 4 1

4 4 1 4

5 4

4 ln

ln

l

lne

nn4

f é estritamente crescente em e em

é estritamente decrescente em

e em é máximo

relativo para é mí ni mo relativo para

•

O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo

em e voltada para cima em não

tem pontos de inflexão.

b)

•

•

g não tem zeros.• Assíntotas:

Df ′

= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

\�1

2

′ =

+ −

+( )=

+

f ( )

x

x x

xx

0

2 2 1

2 10

2 2

2

2

2

§

§ xx x

x

− = ∈

=− ± − ×

′

1 0

2 2 4 22

‹

§

Df

( )

× −

×∈

=− −

′

1

2 2

1 3

2

‹

§

x

x

Df

››

x =− +1 3

2

f f− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = −

− +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

1 3

2

3

2

1 3

2

3

2

−∞− −⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥,

1 3

2− +

+∞⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

, ;

1 3

2

− −−

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢1 3

2

1

2

, −

− +⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥1

2

1 3

2,

;

x =− −

;1 3

2

−3

2

x =− +

.1 3

2

3

2

′′( ) =+ −

+( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=

f xx x

x

x

2 2 1

2 1

2

2

2

2 ++ −( )′ × +( ) −

+( )( )− +

2 1 2 1

2 1

2 2

2

22

2

x x

x

x xx x

x

x

−( ) × +( )( )′

+( )( )

=+

1 2 1

2 1

4 2

2

22

(( ) +( ) − + −( ) × ×

+( )×

2 1 2 2 1 2

2 1

22

4

x x x

x

2 1 2

2 14

x

x

+( ) ×

+( )

2 1 4 2 2x x

=+( ) +( ) xx

x

x x

x

+( ) −(

+( )− + −( ) × )

1

2 1

2 2 1 4

2

4

2

++( )

=+ + + − − +( )

18 4 4 2 8 8 4

2

4

2 2x x x x x

x

x

+( )

=+( )

16

2 1

3

3

− +∞⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

1

2, ;−∞ −

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢,

1

2

y

xO

√32

√32

-

12

-

f

g( ) ln

xx

x=

−1

Dg

= ∈ > − ≠ = + { : ln } \x x x� �0 1 0‹ {{ }e

Cálculo auxiliar:1 – ln x = 0 § ln x = 1 § x = e

g

D

( ) ln

xx

xx x

=−

=

= ∈

01

0

0

§

§ ‹gg

Condição impossível� ��

lim ( ) lim ln

ln

x x

xx

x→ → ++ +=

−=

−0 0 1

0

1 0g ==

− −∞

=+∞

=

( )

0

10

0


x − −1 3

2

−1

2− +1 3

2

2x2 + 2x – 1 + 0 – n.d. – 0 +

(2x + 1)2 + + + n.d. + + +

Sinal de f’ + 0 – n.d. – 0 +

Variação de f £ Máx. ¢ n.d. ¢ mín. £

x –∞ −1

2+∞

Sinal de f” – n.d. +


∩ n.d. ∪

A reta de equação x = e é a única assíntota verticaldo gráfico de g. Não existem mais assíntotas verti-cais visto a função ser contínua nos pontos do seudomínio.

Como b ∉ �, conclui-se que o gráfico de g não pos-sui assíntotas não verticais.

•

A função g é estritamente crescente em ]0, e[ e em]e, e2]; é estritamente decrescente em [e2, +∞[; –e2 é máximo relativo de g para x = e2.

•

O gráfico de g tem a concavidade voltada para cimaem ]0, e[ e em [e3, +∞[, e tem a concavidade voltadapara baixo em ]e, e3]; apresenta um ponto de infle-

xão de coordenadas

mg

lim( )

lim ln lim

= = − =→ +∞ → +∞ →x x x

x

x

x

xx

1++∞

→ +∞

−

=− +∞

=

= −

1

11

10

ln

( )

lim ( )

x

xx

b g lim ln

lim

01

1

×( ) =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

→ +∞

→ +

xx

xx

x ∞∞ → +∞ →+∞

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

−1

1

1 ln

lim limln

x

x x

xx x xx

Limitenotável

��

= =−∞−

1

0

′ =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=′ × − −

g ( ) ln

( ln )

xx

x

x x x

1

1 x

x

x x

× −( )′

−( )

=− − × −

ln

ln

ln

1

1

1 0

2

11

11 1

1

2

2

x

xx

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−( )

=− +

−( )

ln

ln

lnD

′′

+=g

e \{ }�

′ =

−

−( )=

− =

g ( )

ln

ln

ln

x

x

xx

0

2

10

2

2§

§

ln

0

2

‹

§ ‹

§

x

x x

x

∈

= ∈′

′

D

Dg

g

x= ∈′

e Dg

2 ‹

g ee

e

ee2

2

2

22

1 1( ) =

−=

−= −

ln

′′ =−

−( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=−

g ( ) ln

ln

ln

xx

x

x

2

1

2

2

(( )′ × −( ) − −( ) ×

−( )( ) ln ln

ln

1 2

1

2

22

x x

x

×× −( )( )′

−( )( )

=− × −

ln

ln

ln

1

11

1

2

22

x

x

xxx x x

x

( ) − −( ) × −( ) ×

−( )

2

4

2 2 1

1

ln ln

ln

×× −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−( )

=− − − +

ln

( ln

1

11

1 4

4

x

x

xx ln )

ln

ln

ln

2

11

3

1

3

3

x

x

xx

x

−( )

=− −( )

−( )′

D′′

+=g

e \{ }�

e g e ee3 3 3

3

2, , .( )( ) = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

y

xO ee2 e3

g

=→ →− −lim ( ) lim

x xx

e eg

xx

x

xx

1

10

1 1

10

0 ln

lim ( )

−=

−= =+∞

− +

→ +eg lim

ln

=

−=

−= =−∞

→ + −+x

x

xe 1

10

1 1

10

0


x 0 e e2 +∞

2 – ln x n.d. + n.d. + 0 –

(1 – ln x)2 n.d. + n.d. + + +

Sinal de g’ n.d. + n.d. + 0 –

Variação de g n.d. £ n.d. £ Máx. ¢

x 0 e e3 +∞

−1

xn.d. – n.d. – – –

lnx – 3 n.d. – n.d. – 0 +

(1 – lnx)3 n.d. + n.d. – – –

Sinal de g” n.d. + n.d. – 0 +


n.d. ∪ n.d. ∩ ∪


Aprende fazendo

Páginas 192 a 208

1. h(x) = eπ

h’(x) = 0Logo, h’(1) = 0.Opção (B)

2. O único gráfico que apresenta mudança de sinal noponto de abcissa 2 é o gráfico da opção (B).Opção (B)

3.

Opção (A)

4.

Opção (A)

5. Sabendo que a primeira derivada de g é negativa em� e a segunda derivada é positiva em �, então tra-ta-se de uma função estritamente decrescente cujográfico tem a concavidade voltada para cima em �.Opção (A)

6.

Opção (B)

7. Seja t a bissetriz dos quadrantes ímpares que se sabeser tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.

Então, mt = f’(4)Opção (B)

8.

Opção (A)

9.

Opção (B)

10.

O gráfico de f tem 2 pontos de inflexão.Opção (B)

11. Sabe-se que:• h(0) = 2;• h’(0) é o declive da reta tangente ao gráfico de h

no ponto de abcissa 0. Como esta é paralela àbissetriz dos quadrantes pares, então o seudeclive é –1; assim, h’(0) = –1;

• h”(0) = 0 pois, em x = 0, o gráfico da função hmuda o sentido das concavidades.

Assim: h(0) + h’(0) + h”(0) = 2 + (–1) + 0 = 1Opção (A)

t.m.v.0 4

4 34 0

4 0, ln

( ) ( )

l

⎡⎣

⎤⎦=

−

−=§

f fnn

ln( ) ln

ln

ln

3

8

43

8

4

4§

§

+ −=

+⎛

⎝⎜

⎞

k k

k

k ⎠⎠⎟ =

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ( )

ln

ln

ln ln

4 3

83

8

4

44

§ §k

k

++⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+= + =

ln

k

k

k

kk k

3

83 8 3§ §

§ k = 4

§ lim( ) ( )

1

4

44=

−

−→x

x

x

f f

′ = ′+( )′

+=

+

f gk

k

k

( ) ( )

x xx

x x

x

§

§

1

1== + =

=

1

0x

x x§

§

k

k

′ =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′( ) =

′ × −h

g

f

g f g( )

( ) ( ) (1 1

1 1 1)) ( )

× ′

( )( )=

− × − ×= −

f

f

1

1

4 2 3 1

2

11

4

2

2

′′ =

−( ) +( ) −( ) =

−

f ( )

x

x x x

x

0

3 1 2 0

3

2 22

2

§

§ == + = −( ) =

=

0 1 0 2 022

2

› ›

§

x x

x 3 12› x = −Equação

impossívelem �

��

–

›

§ › ›

x

x x

− =

= =

2 0

3 3 xx = 2

x 0 b +∞

Sinal de f 0 – 0 +

Variação de f ¢ mín. £

x 0 a +∞

Sinal de f" – – 0 +

Sentido das concavidades dográfico de f

∩ P.I. ∪

x –∞ +∞

Sinal de h" –

Sentido das concavidadesdo gráfico de h

∩

x –V√3 V√3 2

(x2 – 3) + 0 – 0 + + +

(x2 + 1) + + + + + + +

(x – 2)2 + + + + + 0 +

Sinal de f" + 0 – 0 + 0 +

Sentido das concavidades do gráfico de f

∪ P.I. ∩ P.I. ∪ ∪

12. Por observação do gráfico de g, sabe-se que g(a) < 0,g’(a) < 0 e g”(a) > 0. Assim, g’(a) × g"(a) < 0.Opção (C)

13.

O gráfico da função h” obtém-se do gráfico da fun-ção g” por uma contração vertical segundo o fator

, seguida de uma simetria em relação ao eixo Oxe posteriormente de uma translação associada aovetor →u (0, 1).Opção (A)

14. Por observação do gráfico e das sucessivas retassecantes ao gráfico de f representadas na figura,concluímos que os seus declives são negativos etendem para –∞.

Opção (C)

15. Das opções apresentadas, f(1) é máximo relativode f apenas nas opções (A) e (C); destas, é apenasem (C) que se verifica f’(x) constante se –2 < x < 1.Opção (C)

16.

Logo,

pois f’(1) = mt = 2, onde t: y = 2x + 3 e f(1) = 5, umavez que P(1, f(1)) pertence ao gráfico de f, e simul-taneamente à reta tangente t; então, tem-se queP(1, f(1)) = (1, 2 × 1 + 3) = (1, 5). Opção (C)

17. g(x) = kx2 + 4x + 1 (k ≠ 0)g’(x) = 2kx + 4Logo, o declive da reta tangente ao gráfico de g noponto de abcissa 1 é g’(1) = 2k + 4 e o declive da nor-mal à curva representativa da função g em x = 1 é

Assim:

Opção (B)

18.

a)

b)

c)

19.a) f(x) = x + 1

P(2, f(2)) = (2, 3)y = mx + b, em que m = f’(2) = 1, e como P(2, 3) per-tence à reta vem: 3 = 1 × 2 + b § b = 1A equação da reta tangente ao gráfico de f no pontode abcissa 2 é y = x + 1.

b) g(x) = 3x2 – 2x + 1P(1, g(1)) = (1, 2)y = mx + b, em que m = g’(1) = 4, e como P(1, 2) per-tence à reta, então 2 = 4 × 1 + b § b = –2.

h g

h g

( ) ( )

( ) ( )

x xx

x xx

= − +

′ = − +⎛

⎝

1

2 2

1

2 2

2

2

⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟

′

= − ′ +

= − ′ +

′′

( )

( )

(

1

2

2

2

1

2

g

g

h

xx

x x

x)) ( ) ( ) = − ′ +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

= − ′′ +1

2

1

21g gx x x

y

xO

2

2

3

s2s1

t1s3

12

′ =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=× − × ′

gf

f f( )

( )

' ( ) (x

x

x1 1 1 xx

x

x

x

)

( )

( )

( )f

f

f( )= −

′

( )2 2

′ = −′

( )= − = −g

f

f( )

( )

( ) 1

1

1

2

5

2

252 2

−+

1

2 4k .

−+

= − + =

= −

1

2 4

1

22 4 2

1k

k

k

§

§

′ =−

−

=+

→

→

ff f

( ) lim( ) ( )

lim

22

22

2

x

x

x

xx 11 3

22

21

2

lim

−

−

=−

−=

→

xx

xx

′ =−

−=

−→ →

gg g

( ) lim( ) ( )

lim

1

1

1

31 1

2

x x

x

x

x

lim

2 1 2

1

3 2 1

11

2

x

x

x x

xx

+ −

−

=− −

−→==

− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

=

→

→

lim( )

lim

x

x

x x

x1

3 11

31

113

1

34x +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

′ =−

−=

−→ →

hh h

( ) lim( ) ( )

lim

00

00 0

3

x x

x

x

x 55 0

55

2

0

2

0

2

x

xx x x

xx x

x x

−

=−( )

= −(→ →

lim

lim

)) = 0


t1 → semitangente àdireita em x = 2

Cálculo auxiliar:

3 2 1 0

2 4 4 3 1

6

1

2x x

x

x

– –

– (– )

=

=± × ×

= –› x =1

3

A equação da reta tangente ao gráfico de g no pontode abcissa 1 é y = 4x – 2.

c) h(x) = x3 – 5x2

P(0, h(0)) = (0, 0)y = mx + b, onde m = h’(0), e como P(0, 0) pertenceà reta, então b = 0.A equação da reta tangente ao gráfico de h no pontode abcissa 0 é y = 0.

20. f(x) = x3 – x2

f’(x) = 3x2 – 2xAssim, o declive da reta tangente ao gráfico de f noponto de abcissa 1 é f’(1) = 3 – 2 = 1 logo, a inclina-ção é o ângulo α tal que tg α = 1, com α ∈ [0, 180°[.Então, α = 45°.

21.

a)

A velocidade média do balão nos primeiros 20 minu-tos é de 12 m/min.

b) D’(t) = –0,06t2 + 2tD’(5) = –0,06 × 52 + 2 × 5 = 8,5D’(5) = 8,5 significa que a velocidade instantânea dobalão aos 5 minutos era de 8,5 m/min.

c)

O balão atinge a altura máxima de 377 metros aos33 segundos.

22. Seja f a função definida por e que designa ocusto médio do produto:

O custo médio é mínimo para q = 40 unidades.

23.a)a1) f’(–1) = f(1) = f(3) = 0 logo, em x = –1, x = 1 e x = 3,

o declive das retas tangentes ao gráfico de f éigual e, portanto, as retas são paralelas.

a2) logo, em x = 2 e x = 0, as respetivas

retas tangentes tem declives 1 e –1 e, portanto,são retas perpendiculares.

a3) Para que as retas tangentes ao gráfico de f te -nham inclinação no intervalo ]90°, 180°[, os seusdeclives tem de ser negativos e, como se verificaf’(–2) < 0 e f’(2) < 0, é em x = –2 e x = 2 que tal severifica.

b)b1) Verdadeiro. A função f é contínua em �, visto tra-

tar-se de uma função polinomial.b2) Falso. Como f’ se anula nos pontos de abcissa

x = –1, x = 1 e x = 3, mudando de sinal à esquerdae à direita dos respetivos pontos, tem-se que f tem3 extremos relativos.

b3) Falso. Como se observa pelo gráfico de f’, tem-se quef’(x) < 0, para x ∈ [2, 3[, logo, neste intervalo, a funçãof é estritamente decrescente e, como em x = 3 apre-senta um mínimo relativo, então f(2) > f(3).

b4) Verdadeiro. Como se observa pelo gráfico de f’, hádois pontos onde o declive da reta tangente aográfico de f’ é zero, mudando f” de sinal à esquer-da e à direita desses pontos, logo o gráfico de ftem dois pontos de inflexão.

c)

′ = − + = − +D t t t t t( ) , ( , )0 0 06 2 0 0 06 22§ §

=

= =

0

0100

3§ ›t t

t

D

= ≈

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈

100

333

100

3377

t.m.v.0 20

20 0

20 0

247,

( ) ( )

⎡⎣

⎤⎦=

−

−=

−D D

7

2012=

C q

q

( )

f qC q

q

q q

qq( )

( )

= =

− += − +

2 15 32002 15

2

( )

3200

2 153200

2

q

f q qq

′ = − +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

= −−3200

2q

′ =

− =

− =

f q

q

q

( )

0

23200

0

2 3200 0

2

2

§

§ ‹

q

q q

q

2

2

0

1600 0

40

≠

= ≠

=

§ ‹

§ › q = −40

fC

( ) ( )

4040

40145= =

′ = −′

ff

( ) ( )

21

0


t 0 100

350

Sinal de D’ 0 + 0 – –

Variação de D

D(0)mín. £

D100

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

¢D(50)mín.

q 0 40 +∞

Sinal de f’ n.d. – 0 +

Variação de f n.d. ¢f(40)mín. £

x –∞ –1 1 3 +∞

Sinal de f’ – 0 + 0 – 0 +

Variação de f ¢ m £ M ¢ m £

Máx.


c1) Por exemplo:

c2) Por exemplo:

d)d1) y = mx + b, onde m = f’(0) = 1.

Como P(0, f(0)) = (0, 1) pertence à reta tem-seque: 1 = 1 × 0 + b § b = 0Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de fé y = x.

d2) Pelas alíneas anteriores, além do sentido de varia-ção, sabe-se que é em x = –1 e em x = 3 que a fun-ção f admite mínimo relativo.

Como tem-se que

d3) O gráfico da função obtém-se do gráfico

da função f por uma translação associada ao vetor

Como o mínimo de f é , existem dois

zeros da função

24.

a)

b)

c)

d)

e)

Fazendo a mudança de variável 2x = y, se x → 0,então y → 0.

25.a) y = mx + b, onde m = f’(–1) = –5, e P(–1, f(–1)) = (–1, 4)

pertence à reta, logo 4 = –5 × (–1) + b § b = –1.Assim, y = –5x – 1 é a equação reduzida da reta tan-gente ao gráfico de f no ponto de abcissa –1.

b) y = mx + b, onde e

pertence à reta, logo:

f f(– ) ( ) – ,1 33

4= = ′ = − +∞

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢D

f , .

3

4

f( ) x +3

4

�u 0

3

4, .

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

3

4

f( ) .x +3

4

′ − =− −

− −

=

→ −

→

ff f

( ) lim( ) ( )

( )

lim

11

11x

x

x

x

−−

→ −

+ − −

+

=+ +

1

3 2

1

2

3 2 4

11 2

x x x

xx x x

x

lim( )

−−( )+

= + −( ) = −→ −

lim

4

12 4 5

1

2

xx x

x

y

xO

f

-1 1 2 3

y

xO

f

-1 1 2 3

′ =

−

+−

−=

→g ( ) lim

lim

2

2 1

3

3

522x x

x

xx →→

→

− − −

+

−

=

( )

lim

2

2

10 5 3 9

5 3

2

x x

x

x

x

( ) ( – ) lim

(

7 14

5 3 2

7 22

x

x x

xx

−

+=

−→

))

( ) ( – )

lim( )

5 3 27

5 3

7

52

x x

xx

+

=+

=→ ××

=

5

7

25

′ =−

−=

−

−

=

→ →h

h h( ) lim

( ) ( )lim

2

2

2

1 1

422 2

2

x x

x

xxx

llim lim( )( )

( x x

x

xx

x x

x x→ →

−

−=

− +

−2

2

2

2 2

4

42

2 2

4 2))

lim( )( )

( )lim

( )

=− − +

−=

− +→ →x x

x x

x x

x2 2 2

2 2

4 2

2

444

4 4

1

4

2x

=−

×= −

′ =−

−=

+ −

−

=

→ →i

i i( ) lim

( ) ( )lim

l

3

3

3

1 2

33 3x x

x

x

x

x

iim( )

lim

x

x

x x

x x

x

→

→

+ −( ) + +( )− + +( )

=+

3

3

1 2 1 2

3 1 2

11 2

3 1 21 4

3 1 2

22

3

( ) −

− + +( )=

+ −

− + +→

( )

lim( )

x x

x

x xx (( )=

+ +=

→lim

x x3

1

1 2

1

4

′ =−

−=

−→ →

+

jj j e e

( ) lim( ) ( )

lim

00

00 0

2 3 3

x x

xx

x xx

x xx

x

x

x

=× −( )

= ×−

= ×

→ →lim lim

l

0

3 23

0

2

3

1 1e ee

e

e iim lim x

x

y

y

x y→ →

−×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ×

−0

23

0

1

22 2

1ee

e

Limittenotável

� ��

= × =2 1 23 3e e

m g= ='( )27

25

P g( , ( )) ,2 2 23

5=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Cálculo auxiliar:

1 3 –2 –4

–1 –1 –2 4

1 2 –4 0 = r

Assim, é a equação reduzida da reta

tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2.

c) y = mx + b, onde e

pertence à reta, logo:


tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 2.

d) y = mx + b, onde e P(3, i(3)) = (3, 2) per-

tence à reta, logo


tangente ao gráfico de i no ponto de abcissa 3.e) y = mx + b, onde m = j’(0) = 2e3 e

pertence à reta, logo e3 = 2e3 × 0 + b § b = e3.Assim, y = 2e3x + e3 é a equação reduzida da retatangente ao gráfico de j no ponto de abcissa 0.

26. Sabe-se que m = tg45° § m = 1Sendo x0 a abcissa do ponto de tangência, tem-seque f’(x0) = m, logo 2x0 – 1 = 1 § x0 = 1

Assim, T(1, t(1)) = (1, –4) são as coordenadas doponto de tangência.

27.

Sendo x0 a abcissa do ponto de tangência, tem-seque f’(x0) = m, logo, 8x0 – 4 = 12 § x0 = 2.Assim, T(2, f(2)) = (2, 9) são as coordenadas doponto de tangência.

28.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

§ § b b= − =3

5

14

25

1

25

3

5

7

252= × + b

y x= +7

25

1

25

m h= = −'( )21

4

P h2 2 21

4, ,( )( ) =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§ b =3

4

1

4

1

42= − × + b

y x= − +1

4

3

4

m i= ='( )31

42

1

43

5

4= × + =b b .§

y x= +1

4

5

4

P j e0 0 0 3, ,( )( ) = ( )

Cálculo auxiliar:f’(x) = 2x – 1

f '( ) ( )

( )

x x x x

x

= −( )( )′

= − × −( )′

= − × =

2 1 2 2 1 2 1

2 2 1 2

2

88 4x −

′ = − − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= − −a ( )x x x x x x43

52 7 12

6

523 2 2

′ = − − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= − −be e

( )x x x x x x xπ π10 7 3 9 6 212 9 10

76

′ = −( )( )′

= −( ) × −( )′

= −

c ( )x x x x

x

2 3 4 2 3 2 3

4 2 3

24

23

2

2(( ) × = −( )32

3

4 16 2 3x x x

′ = −( ) × −( )( )′

= −( )( )′

×

d ( )x x x x x

x x x

4 23

6 5

4 23

6

5 5

5 −−( ) + −( ) ×

× −( )′

= −( ) ×

5 5

5

3 5

5 4 23

6 5

4 22

4

x x x

x x

x x x

−−( )′ × −( ) +

+ −( ) × −( )

=

5 5

5 6 25

3

2 6 5

4 23

5 4

x x x

x x x x

x

44 22

3 6 5

4 23

5

5 4 10 5

5 6

−( ) × −( ) × −( ) +

+ −( ) ×

x x x x x

x x x −−( )25 4x

′ = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × −( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= −⎛

⎝⎜

⎞

e ( )x x x

x

21

23

21

2

2 3

2

⎠⎠⎟

′

× −( ) + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

× −( )′

= − × −

3 21

2

3

3

3 2

3

x x

x

x x

( ) 33 2 2

4 2 4

21

23

3 63

25

2

( ) + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × −( )

= − + − +

=

x x

x x x x

xx x x4 26 3− −

f '( )

( ) (

xx

x

x x x

=−

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=−( )′ × + − −

2 5

3 1

2 5 3 1 2 55 3 1

3 1

2 3 1 2 5 3

3 1

2

)

( ) ( – )

× +( )′

+( )=

+ − ×

+( )

x

x

x x

x22 2

2

6 2 6 15

3 117

3 1

=+ − +

+( )

=+( )

x x

x

x

g '( )xx

x

x

x=

−

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=−

−

⎛

⎝⎜

2 3

43

2 3

42

3

2

⎞⎞

⎠⎟ ×

−

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=−

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

×

2

2

2

2

2 3

4

32 3

4

2

x

x

x

x

x

−−( )′ × −( ) − −( ) × −( )′

−( )

= ×−(

3 4 2 3 4

4

32 3

2 2

22

x x x

x

x ))

−( )×

−( ) − −( ) ×

−( )

=× −(

2

22

2

22

4

2 4 2 3 2

4

3 2 3

x

x x x

x

x )) × − − +( )

−( )

=−( ) − + −

22 2

24

22

2 8 4 6

4

3 2 3 2 6 8

x x x

x

x x x(( )

−( )x24

4


h)

i)

j)

k)

29. ; g(–1) = 2 e g’(–1) = 3

a)

b)

c)

30.

a)

b)

c)

d)

h'( )x x x

x x

= +( )′ = +( )( )′

= +( ) × +(−

2 21

2

21

2 2

3 3

1

23 3))′

= ×+

×

=+

1

2

1

32

3

2

2

xx

x

x

i'( )x x x

x

= −( )′ = −( )( )′

= −( ) ×−

2 1 2 1

1

32 1 2

43 41

3

42

3 xx

x

x

x

x

4

423

3

3

423

1

1

3

1

2 1

8

8

3 2 1

−( )′

= ×

−( )×

=

−( )

j'( )xx

x

x

x=

−

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=−

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝

⎜2 1

3 1

2 1

3 1

1

2

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

′

= ×−

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

−

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

1

2

2 1

3 1

2 1

3 1

1

2x

x

x

x

′′

= ×+

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

×−( )′ × +( ) − −

1

2

3 1

2 1

2 1 3 1 2 1

1

2x

x

x x x(( ) × +( )′

+( )

= ×+

−×

+( ) − −

3 1

3 1

1

2

3 1

2 1

2 3 1 2 1

2

x

x

x

x

x x(( ) ×

+( )

= ×+

−×

+ − +

+( )

=

3

3 1

1

2

3 1

2 1

6 2 6 3

3 1

3

2

2

x

x

x

x x

x

xx

x x

+

−×

+( )1

2 1

5

2 3 12

′ =+ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=′ × + +( ) − × + +( )′

k ( )xx x

x x x x

1

2

1 2 1 2

xx x

x x

x x

+ +( )

=− ′ + +( )( )

′⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+ +( )

=− −

2

0 2

2

1

2

1

2

2

11

22 2

2

1

2

2

× +( ) × +( )′

+ +( )

−

x x

x x

11

2

1

21

=

− − ×+

×

+

x

x x ++( )=

− + −

+

+ +( )

=− + −

+ + +

2

2 2 1

2 2

2

2 2 1

2 2 2

2 2

x

x

x x

x

x x x(( )2

f( )x x= +2 5

f g f g+( )′ − = ′ − + ′ − =−

+ =− +

( ) ( ) ( )1 1 16

63

6 18

6

f g f g f g×( )′ − = ′ − × − + − × ′ −

= − × +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

6

62 66 3

6

33 6

8 6

3

×

= − + =

fog f g g f( )′ − = ′ −( ) × ′ − = ′ × = × =( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 32

33 2

′ = ( )′ = +( )′ × =+ + +a e e e( ) x xx x x2 1 2 1 2 12 1 2

′ = +( )′ =+( )′

+=

+b ( ) ln( )x x

x

x x2 1

2 1

2 1

2

2 1

c e

e

'( )

ln

x

x x

x x

x x

= +( )′

= × −( )′ × + ′ × ×

= −

−

−

2 2

2 2 2

2

22

44 2 22

x x xe− + × ln

′ = ( )′ =( )′

= =d ( ) ln(ln )ln

ln ln lnx x

x

xxx x x

11



′( ) = +( )′ = +( )( )′

= +( ) × +(−

f x x x

x x

2 21

2

21

2 2

5 5

1

25 5))′

= ×+

×

=+

1

2

1

52

5

2

2

xx

x

x


′ =+

= =f ( )22

2 5

2

9

2

32

Logo, ′ − =−

−( ) +

=−

= −f ( ) .11

1 5

1

6

6

62

e)

f)

g)

h)

i)

31.

a)

• f’(x) para x > –4:f’(x) = 1

• f’(x) para x < –4:f’(x) = –1

• f’(x) para x = –4:

Assim:

b)

• g’(x) para x < –3 › x > 3:

g’(x) = (x2 – 9)’ = 2x• g’(x) para –3 < x < 3:

g’(x) = (–x2 + 9)’ = –2x• g’(x) para x = 3:

logo não existe g’(3).

• g’(x) para x = –3:

logo não existe g’(–3).

Assim:

c)

• h’(x) para x > 1:

• h’(x) para x < 1:

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=−

e ( ) lnxx

x

x

x11

1

1

1

2

xx

x

x x= − = −

2

1

′ = ( )′

= ( )′ × + ×

f e

e e

( ) log ( )

log ( ) lo

x x

x

x

x x

4

2

4

2

4

3

3 gg ( )

log ( )ln

l

2

4

2

4

4

3

4 33

3 2

4

x

xx

x x

x

( )′

= × + ××

= ×

e e

e oog ( )ln2

4

32

xx

x

+e

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=( )′ × − × ( )′

(g ( )

ln ln (ln )x

x

x

x x x x

x4

4 4

4 ))

=× − ×

=−

=−

2

4 3

8

3

8

5

14

1 4

1 4

xx x x

x

x x

xx

x

ln( ln )

ln

′ = ( )′

= ( )( )′

= ( )−

h ( ) ln( ) ln( )

ln( )

x x x

x

5 5

1

25

1

2

1

2 ×× ( )′

= × × =

ln( )

ln( ) ln( )

5

1

2

1

5

5

5

1

2 5

x

x x x x

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

= ×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ×

⎛i

e e e( )x

x x x

x x x3 2

3⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= ×( )

×( )′ × − ×

= ×

3

3

2

2 2

2

2

e e e

e e

x x x

x x

x

x x

x

x

'

×× −=

× −

=−

x

x

x

xx

x

x x x

x

e e e

e

2

2

4

3

4

3 1

3 1

( )

( )

f( )x xx x

x x= + =

+ ≥

− − < −4

4

4

se –4

se 44

⎧⎨⎪

⎩⎪= D

f�

′ − =− −

− −=+

→ − → −+ +f

f f( ) lim

( ) ( )

( )lim

4

4

44 4x x

x

x

xx

x

x

xx

+ −

+=

′ − =− −

− −−

→ − −

4 0

41

44

44f

f f( ) lim

( ) ( )

( ))lim

( ) ( ),

=

− − −

+= −

′ − ≠ ′ −

→ −

+ −

−x

x

x4

4 0

41

4 4f f loggo não existe f ′ −( ).4

′ =>

− <

⎧⎨⎪

⎩⎪= −

′f D

f( )

–\{ }x

x

x

1

1 44

se –4

se�

g( )x xx x

x x= − =

− − ≥

− + − <

⎧⎨⎪

⎩⎪2

2 2

2 29

9 9 0

9 9 0

se

se

=− ≤ − ≥

− + < <

⎧⎨⎪

⎩⎪

x x x

x x

2

2

9 3 3

9

se

se –3 3

›D

g== �

g'g g

( ) lim( ) ( )

lim

33

3

9 03 3

2+

→ →=

−

−=

− −+ +x x

x

x

x

x −−

=− +

−= + =

→ →+ +

33 3

33 6

3 3lim

( )( )lim ( )

x x

x x

xx

g'(( ) lim( ) ( )

lim

33

3

9 03 3

2−

→ →=

−

−=

− + −− −x x

x

x

x

x

g g

−−

=− − +

−= − + = −

→ →− −

33 3

33

3 3lim

( )( )lim ( )

x x

x x

xx 66

′ ≠ ′+ −g g( ) ( ),3 3

′ − =− −

− −=+

→ − → −+ +g

g g( ) lim

( ) ( )

( )lim

3

3

33 3x x

x

x

−− + −

+

=− − +

+=

→ − → −+

x

x

x x

xx x

2

3

9 0

33 3

3lim

( )( )lim

33

3

3 6

33

3

+

−

− − =

′ − =− −

− −−

→ −

( )

( ) lim( ) ( )

(

x

x

xxg

g g

))lim

lim( )( )

=− −

+

=− +

+

→ −

→ −

−

−

x

x

x

x

x x

x

3

2

3

9 0

33 3

333 6

3= − = −

→ − −lim ( )

xx

′ − ≠ ′ −+ −g g( ) ( ),3 3

′ =< − >

− < <

⎧⎨⎪

⎩⎪g

D

( )

xx x x

x x

2 3 3

2

se

se –3 3

›

′′= −

g� \ { , }3 3

h( )xx x x

xx

=+ ≥

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 1

11 1

– 3 2 se

se

′ = − +( )′ = −h ( )x x x x2 3 2 2 3

′ = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

= −h ( )xx x

11

12


• h’(x) para x = 1:

Assim:

d)

• i’(x) para x > –1:

• i’(x) para x < –1:

• i’(x) para x = –1:

logo i’(–1) existe e i’(–1) = –2.Assim:

e)

• j’(x) para x ≠ 0:

• j’(x) para x = 0:

Fazendo a mudança de variável se x → 0+, então y → +∞.

logo não existe j’(0). Assim:

′ =−

−=

− ++

→ →+ +h

h h( ) lim

( ) ( )lim

1

1

1

3 21 1

2

x x

x

x

x x −−

−

=− −

−= −

→ →+ +

0

11 2

12

1 1

xx x

xx

x xlim

( ) ( )lim ( )

== −1

′ =−

−=

− −−

→ →− −h

h h( ) lim

( ) ( )lim

1

1

1

11 0

1 1x x

x

xx

x −−

=

−

−=

− −

−

=

→ →− −

11

1

1

11 1lim lim

( )

( )

li

x x

x

xx

x

x x

mm x x→ −

−= −

1

11

′ = ′ = − ′ = −+ −h h h( ) ( ) , ( ) .1 1 1 1 1logo

′ =− ≥

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

=′

h Dh

( )xx x

xx

2 3 1

11

2

se

se�

i e( )

xx

x x

x

= ≥ −

< −

⎧⎨⎪

⎩⎪

−2 1

2

1

1

se

se

′ = ( )′ = −( )′ =− − −i e e e( ) x x xx x x2 2 21 2 1 11 2

′ = ( )′ =i ( )x x x2 2

′ − =+

=

+

→ −

−

→ −

−

+

+

ie

e

( ) lim–

lim

11

11

1

1

2

2

x

x

x

x

x

( )( )( )

lim

1

1

1

1 11

2

−

+ −× −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=→ −

−

+

x xx

x

xe

( )

lim

1

2

0

1

11

1

−

−× −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=−

→

xx

yy

ye

Limitennotável

� �� × − = × − −

= −

→ −lim ( ) ( )

xx

11 1 1 1

2

′ − =− −

− −=−

→ − → −− −i

i i( ) lim

( ) ( )

( )lim

1

1

11 1x x

x

x

xx

x

x x

xx

x x

2

1 1

1

11 1

1

−

+

=− +

+=

→ − → −− −lim

( )( )lim (

−− = −1 2)

′ − = ′ −+ −i i( ) ( ),1 1

′ = ≥ −

<

⎧⎨⎪

⎩⎪

−

i e( )–

x x x

x x

x2 1

2 1

2 1 se

se

je

( )xx

x

x=

+

≠

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

1

1

0

0 0

1se

se

′ =

+

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

′

=′ × +( ) − × +( )

′

j

e

e e( )x

x

x x1

1

1 1 1 11

1 1

11

0 01

1

12

1

12

+( )

=

− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

+( )=

e

e

e

x

x

x

x−− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+( )

=

+( )

1

1

1

2

1

12

1

21

2

x

x

x

x

x

x

e

e

e

e

′( ) =−

−= +

−

+

→ →+ +j

j j e00

0

1

10 0

1

lim( ) ( )

lim x x

xx

x

00

1 1

1 10 1

x

x xy y

xx

y

=

+

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

+→

→ +∞

+lim

lim

e eyy

y y

y

y y

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

→ +∞ → +∞

1

1lim lim

e

Liimitenotável

� ��

=+ +∞

=+∞

=1

0

10

( )

1 1

xy x

y= = ,§

′( ) =−

−= +

−

−

→ →− −j

j j e00

0

1

10 0

1

lim( ) ( )

lim x x

xx

x

00

1

1

1

0 1

1

0 1 0

0 1

x

xx

x

=

+( )=

+( )

=× +

=

→ − −∞

−

−lim

( )

ee

11

0−= −∞

′ ≠ ′+ −j j( ) ( ),0 0

′ =

+( )=

′j

e

e

Dj

( ) ; \ { }x

x

x

x

1

21

2

1

0�



32.a)

Seja t a reta da equação y = mx + b, onde

pertence à reta t, logo:

Assim, y = 3x é a equação reduzida da reta tangenteao gráfico de f no ponto de ordenada 1.Seja n a reta de equação y = mx + b, onde

pertence à reta n, logo:

Assim, é a equação reduzida da nor-

mal à curva representativa da função f no ponto deordenada 1.

b)

• Em x = 2:Seja t a reta de equação y = mx + b, onde

P(2, 0) pertence à reta t, logo:

Assim, é a equação reduzida da

reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2.Seja n a reta de equação y = mx + b, onde:

P(2, 0) pertence à reta n, logo:


normal à curva representativa da função g no pontode abcissa 2.• Em x = –2:Seja t a reta de equação y = mx + b, onde:

P(–2, 0) pertence à reta t, logo:


reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa –2.Seja n a reta de equação y = mx + b, onde:

P(–2, 0) pertence à reta n, logo:


nor mal à curva re pre sentativa da função g no pontode abcissa –2.

33.a)

A criança perde a consciência após 49 segundos deter caído ao lago.

b) Pretende-se determinar T’(0,811).

Assim,

′ = ( )′ =− −f e e( ) x x x3 1 3 13

f e( ) x x= −3 1

m f e= ′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

× −1

33 3

31

31

.

P1

31,

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 31

30= × + =b b §

m

f

= −

′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −1

1

3

1

3.

P1

31,

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

3

1

31

1

9

10

9= − × + = + =b b b § §

y x= − +1

3

10

9

g

Dg

( )

log

x

x

x x

x

=

−( ) =

− = ∈

=

0

3 0

3 1

2

2

2

§

§ ‹

§ 44

2 2

( )

‹

§ › ‹

x

x x x

∈

= = − ∈

D

Dg

gg

′ = −( )( )′ =−( )′

−( ) ×

=−

g ( ) logln

x xx

xx

x

22

2

2

33

3 102

33 10( )ln

m g= ='( )ln

.24

10

04

102

8

10= × + = −

ln

lnb b§

y x= −4

10

8

10ln ln

mg

= − = −1

2

10

4'( )

ln

010

42

10

2= − × + =

ln

lnb b§

y x= − +ln ln10

4

10

2

m g= ′ − = −( )ln

24

10

04

102

8

10= − × − + = −

ln( )

lnb b§

y x= − −4

10

8

10ln ln

mg

= −′ −

=1

2

10

4( )

ln

010

42

10

2= × − + =

ln( )

lnb b§

y x= +ln ln10

4

10

2

T t e

e

t

t

( )

,

,

,

= =

=

−

−

−

27 35 27

27

35

0 32

0 32

0 32

§

§

§ tt

t

t

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−≈

ln

ln

,,

27

3527

350 32

0 811

§

00 811 60 49, × ≈

′ = ( )′ = × − × = −− −T t e et t( ) ( , ) ,, ,35 35 0 32 11 20 32 0 32 ee t−0 32,

′ = − × ≈ −− ×T e( , ) , ,, ,0 811 11 2 8 60 32 0 811


f

e

P

( )

,

x

x

x

x

=

=

− =

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

1

1

3 1 0

1

3

1

31

3 1§

§

§

No momento em que atingiu 27 °C, ou seja após0,811 minutos de ter caído ao lago, a temperaturacorporal da criança estava a descer à taxa de 8,6 °Cpor minuto.

34.

a)

b)

Observa-se que a função é estritamente crescenteem [0, 2] e estritamente decrescente em[2, +∞[,logo, são necessárias 2 horas, após a ingestão doálcool, para que o nível no sangue comece a decres-cer.

c)

O nível de álcool no sangue atinge 0,04 em doismomentos: após, aproximadamente, 0,41 horas eapós, aproximadamente, 5,67 horas de ter sido inge-rido.

Como C’(0,41) ≈ 0,08, conclui-se que, após 0,41horas do álcool ter sido ingerido, o nível de álcoolno sangue está a aumentar a uma taxa de 0,08 porhora.Como C’(5,67) ≈ –0,01, conclui-se que, após 5,67horas do álcool ter sido ingerido, o nível de álcool no sangue está a diminuir a uma taxa de 0,01 porhora.

35.

a)

significa que, 1 ano após

ter sido posta em prática essa política de proteção,o número de indivíduos da espécie em causa, estavaa crescer à taxa de 2 indivíduos por ano.

significa que, 20 anos

após ter sido posta em prática a política de proteção,o número de indivíduos da espécie em causa, estavaa crescer à taxa de 3 indivíduos por ano.

b)

logo, a função N é estritamentecrescente, o que significa que a população destaespécie está sempre a aumentar.

c)

Supondo que se mantém válido o modelo, o númerode indivíduos esperado desta espécie, daqui a mui-tos muitos anos, tende a ser 600 indivíduos.

′ = ( )′

= ′ × + × ( )′

− − −

C t te t e t et t t

( ) , ,

0 12 0 122 2 2

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= + × −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

− −

0 121

22 2,

e t et t

00 12 11

22,

× −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

e tt

′ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=

−

−

C t

e t

e

t

t

( )

,

,

0

0 12 11

20

0 12

2

2

§

§ 00 11

20


� ��

›

§

− =t

t == 2

y

y1

2

2

0 12

0 04

=

=

−

,

,

tet

y1

y2

C (t)

t

0,04

0,41 5,67

′ =+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=′ × +(

−

−

N te

e

t

t

( ),

,

600

1 3

600 1 3

0 02

0 02 )) − × +( )′

+( )

=− × +

−

−

600 1 3

1 30 600 0 3

0 02

0 022

e

e

t

t

,

,

×× −( )+( )

=+

−

−

−

( , ) ,

,

,

0 02

1 336

1

0 02

0 022

0 02

e

ee

t

t

t

33 0 022

e t−( ),

′ =+( )

≈−

−

Ne

e( ) ,

,

,

136

1 32

0 02

0 022

′ > ∀ ∈ +N t t( ) ,00�

lim ( ) lim ,t t t

N te→ +∞ → +∞ −

=+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

600

1 3

600 02

00

1 3600

1 0600

+

=+

=

−∞e

′ =+( )

≈− ×

− ×

Ne

e( ) ,

,

,

2036

1 33

0 02 20

0 02 202

′ =+( )

=−

−

−

N te

ee

t

t

( )

,

,

,

036

1 30

3

0 02

0 022

0 0

§

§ 22

00t t= ∈ +


� �� ‹


x 0 2 +∞

0 12 2,

et

− + + + +

11

2− t + + 0 –

Sinal de C’ + + 0 –

Variação de C mín. £ Máx. ¢

36.a) Pretende-se calcular

Assim:

Quando t = 10, a planta 1 está a crescer à taxa de1,556 centímetros por dia.

Assim:

Quando t = 10, a planta 2 está a crescer à taxa de0,466 centímetros por dia.

b)

Após, aproximadamente, 21 dias de terem sido plan-tadas, as duas plantas atingiram a mesma altura,que foi de aproximadamente 20 cm.

c) As duas plantas atingiram a mesma altura no ins-tante t = 21:

Como conclui-se que, no momento

em que as duas plantas atingiram a mesma altura, eraa planta 1 que estava a crescer mais rapidamente.

37.

a)

e – 1 ≈ 1,7É aproximadamente aos 2 anos de idade que a crian-ça atinge a sua maior capacidade de aprendizagem.

b)

P1

10 1 556′ ≈( ) ,

P te

e

t

t

2 0 6

0 6

20

1 17

20 1 17

′ =+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=× +(

−

−

( )

'

,

, )) − × +( )′

+( )

=− × × −

−

−

20 1 17

1 170 20 17

0 6

0 62

e

e

t

t

,

,

( 00 6

1 17

204

1 17

0 6

0 62

0 6

0 6

, ) ,

,

,

,

e

e

e

e

t

t

t−

−

−

−+( )=

+ tt( )2

P2

10 0 466′ ≈( ) ,

P1P2

P

t

1,11

20,00

0,81

20,71

Pe

e1

0 3 21

0 3 212

21157 5

1 250′ =

+( )≈

− ×

− ×

( ),

,,

,

226439

21204

1 172

0 6 21

0 6 21

Pe

e

′ =+( )

− ×

− ×

( ),

, 22

0 00069≈ ,

P P1 2

21 21′ > ′( ) ( ),

′ =+

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=+( )′ × + −

R tt

t

t t

( )ln( )

ln( ) ( ) ln

1

1

1 1 (( ) ( )

( )

( ) ln( )

( )

t t

t

tt t

t

+ × + ′

+

= +× + − +

+

1 1

11

11 1

1

2

22 2

1 1

1=

− +

+

ln( )

( )

t

t

P te

e

t

t

1 0 3

0 3

21

1 25

21 1 25

′ =+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=× +(

−

−

( )

'

,

, )) − × +( )′

+( )

=− × + ×

−

−

21 1 25

1 250 21 0 25

0 3

0 32

e

e

t

t

,

,

((– , )

,

,

,

,

0 3

1 25157 5

1 2

0 3

0 32

0 3

e

ee

t

t

t

−

−

−

( )+( )

=+ 55 0 3

2

e t−( ),

P P1 2

10 10′ ′( ) ( ).e

′ =− +

+( )=

+ =

R tt

tt

( ) ln( )

– ln( )

01 1

10

1 1 0

2§

§ ‹‹

§ ‹

§

[ , ]

ln( ) [ , ]

t

t t

t

∈

+ = ∈

+

0 5

1 1 0 5

11 0 5

1 0 5

= ∈

= − ∈

e t

t e t

[ , ]

[ , ]

‹

§ ‹

′′ =− +

+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=− +( )

R tt

t

t

( )ln( )

( )

ln( )

1 1

1

1 1

2

′′× + −

+( )− − +( ) × +( )′

( )

( )

ln( ) ( )

(

t

t

t t

t

1

1

1 1 1

2

22

2

++( )

=−

+× + − − +( ) × +

+

1

1

11 1 1 2 1

22

2

)

( ) ln( ) ( )

(t

t t t

t 11

1 2 1 1 1

11 2 2

4

4

)

( ) ( ) ln( )

( )l

=− + − + − +( )

+

=− − +

t t t

tnn( )

( )

ln( )

( )

t

t

t

t

+

+=

− + +

+

1

1

3 2 1

13 3

′′ =− + +

+=

− + +

R tt

tt

( ) ln( )

( ) ln( )

03 2 1

10

3 2 1

3§

§ == ∈

+ = ∈

0 0 5

13

20

[ , ]

ln( ) [ ,

‹

§ ‹

t

t t 55

1 0 5

1

3

2

3

2

]

[ , ]

§ ‹

§ ‹

t e t

t e

+ = ∈

= − tt ∈ [ , ]0 5


t 0 e – 1 5

1 – ln(t + 1) + + 0 – –

(t + 1)2 + + + + +

Sinal de R’ + + 0 - -

Variação de R mín. £ Máx. ¢ mín.

Como o máximo de R’ é atingido em t = 0, isto significaque, para este modelo, o momento em que a capa-cidade de aprendizagem está a aumentar mais rapi-damente é logo após o momento do nascimento.

38.a) Por exemplo:

b) Por exemplo

39. Da análise do gráfico de f, decorre que, esta funçãoé decrescente no intervalo ]–∞, –a] e no intervalo[a, +∞[ e é crescente em[–a, a]. Logo, f’ é negativapara x < –a e para x > a e é positiva entre –a e a. Portanto, o gráfico de f’ está representado na figu-ra 3.O gráfico de f tem a concavidade voltada paracima para x entre –b e 0 e para x > b, tem a con-cavidade voltada para baixo para x < –b e para xentre 0 e b. Logo, f” é positiva para x entre –b e 0e para x > b, e negativa para x < –b e para x entre0 e b. Portanto, o gráfico de f” está representadona figura 2.

40.a) • Assíntotas verticais:

A reta de equação x = 1 é assíntota vertical do grá-fico de f.Como a função f é contínua em �+\{1} o seu gráficonão admite mais assíntotas verticais.• Assíntotas não verticais:

A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal dográfico de f quando x → +∞.

b) f é contínua em ]1, +∞[ pois, neste intervalo, é defi-nida pelo produto de duas funções contínuas (umaque é uma função afim e a outra que é a compostade uma função exponencial com uma função afim);em particular, f é contínua em [4, 5].

Cálculos auxiliares:R’(0) = 1R’(5) ≈ –0,02

1 2

y

xO

f

y

xO

f

-1 1 2 3

y

xO 1

lim ( ) limln

lim (

x x

x

xx

x

x

→ →

→

+ +

−

= =−∞

=0 0

1

3 00f

f )) limln

= = = −∞→ −−x

x

x1

3 3

0

y x x

x

xx x

= + ∈ → +∞

= =→ +∞ → +

m b m b

mf

, , ( )

lim( )

lim

�

∞∞

−

→ +∞

−= =x

x

x

x

xee

33 0

lim

b f e= −⎡⎣ ⎤⎦ = =→ +∞ → +∞

−lim ( ) lim lim

x x

x

xx x x0 3

→→ +∞ −

→ +∞ −= ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ×

lim lim

x

x

x

x x x

e

e ee

3

3

31→→ +∞ → +∞

→ +∞

= ×

= × =

lim

lim

x

x

x

x x x

x

x

ee

e

ee

e

3

3 3

1

1××

+∞= × =

10 03e

f ee

f ee

( ) ,

( ) ,

4 44

1 472

5 55

0 6

3 4

3 5

2

= × = ≈

= × = ≈

−

− 777

13

1

3

1

31 104−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −−

= ≈fe

e

e

ee

f

ln

,

(( ) ( )51

4< −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ <f

ef


t 0 e3

2 1− 5

–3 + 2 ln(t + 1) - - 0 + +

(t + 1)3 + + + + +

Sinal de R" - - 0 + +

Variação de R’Máx.

1 ¢ mín. £Máx.–0,02


Logo, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, concluímosque:

c)

Como o si-

nal de f’ depende apenas do sinal de (ln x – 1).

logo, f é estritamente decrescente em ]0, 1[.

d)

O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixoem ]1, 2] e tem a concavidade voltada para cima em[2, +∞[. 2 é abcissa do ponto de inflexão.

e) Seja y = mx + b a equação reduzida da reta tangenteao gráfico da função f no ponto de abcissa 3.

O ponto (3, f(3)) = (3, 3) pertence à reta, logo:3 = –2 × 3 + b § 3 = –6 + b § 9 = b

Assim, y = –2x + 9 é uma equação da reta tangenteao gráfico da função f no ponto de abcissa 3.

41.

a)

g’(x) = –e1 – x

g’(a) = –e1 – a é o declive da reta r.y = –e1 – a x + bComo (a, g(a)) = (a, e1 – a) pertence à reta r, vem que:

Assim, r : y = –e1 – e x + e1 – a (1 + a).Logo, M(0, e1 – a (1 + a)).Sabemos, então, que:

Logo:

b)

logo, o sinal de A’ depende ape-

nas do sinal de –a2 + 2.

∃ ∈ = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∃ ∈

4, 5

4, 5

c f c fe

c f

] [: ( )

] [: (

1

§ cc fe

) +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

10

Em 0, 1 ] [, ( )ln

.

( )ln ln

f

f

xx

x

xx x x x

=

′ =( )′ − (

3

3 3 ))′=

× − ×

( )

=−

(ln )

ln

ln (ln )

(ln

x

x xx

xx

x

2 2

3 31

3 1

))2

(ln ) , ] , [ , ] , [x x x2 0 0 1 3 0 0 1> ∀ > ∀ ∈e

ln , ] , [, ( ) , x x x x− < ∀ ∈ ′ < ∀ ∈1 0 0 1 0isto é, f ] , [0 1

Em ]1, [, ( )

( ) '

( 1) (1 )

( ) (1 ) 1

(1 ) ( 1)

(1 – 1) (2 )

3

3 3

3 3 3

3 3

3 3

3 3

f e

f e

e e e

f e e

e e

e e

x x

x x e x

x x

x x x x

x

x x

x

x x

x x x

x x

x x

x x

( )

( ) ( )

( )

( )

+∞ =

′ = +′

= + × − × = −

′′ =′

× − + × −′

= − × − + × −

= − + = − × −

−

− −

− − −

− −

− −

− −

( ) 0 1

– (2 ) 0 1

( 0 2 0) 1

2 1


3

3 � ��

‹

§ ‹

§ › ‹

§ ‹

f

e

e

x x

x x

x x

x x

x

x

′′ = >

− = >

− = − = >

= >

−

−

m f e e

b

= ′ = − = − × = −

= − +

−( ) ( ) 3 1 3 2 2

2

3 3 0

y x

y

xO r

gN

PM

a

AMO PN

ONMNOP[ ] =

+×

2

e e a b e e a b

e

a a a a1 1 1 1

1

− − − −= − × + + × =§

§ −− + = ( )a a b1

MO e a

PN e

ON a

a

a

= +

=

=

−

−

1

1

1

( )

A ae a e

a

A ae a

a a

a

( )( )

( )(

=+ +

×

=+

− −

−

1 1

1

1

21

§++

×

=+

=

−

−

1

22

2

1

1 2

)

( )( )

( )(

a

A ae a a

A ae a

a

a

§

§++ 2

2

a)c.q.d.

′ = × ( )′ +( ) + +( )′⎡

− −A a e a a e a aa a( ) 1

22 21 2 1 2⎣⎣

⎤⎦

= × − +( ) + +( )⎡⎣ ⎤⎦

=

− −1

22 2 2

1

2

1 2 1e a a e a

e

a a

1 2

1 2

2 2 2

1

22

−

−

− − + +( )

= − +( )

a

a

a a a

e a

1

201e aa , ,− +> ∀ ∈ �

′ = − +( ) = ∈

−

− +A a e a a

a

a( )

01

22 01 2

2

§ ‹

§

�

++ = ∈

= ∈

= ±( )

+

+

2 0

2

2

2

‹

§ ‹

§

a

a a

a

�

�

‹ §a a∈ =+� 2

x 1 2 +∞

–e3 – x – – –

2 – x + 0 –

Sinal de f" 0 +


∩ P.I. ∪

A é estritamente crescente em ]0, V√2] e é estrita-mente decrescente em [V√2, +∞[.

é o valor máximo que a

área do trapézio [MNOP] pode assumir.

42.

a) é o valor do declive da assíntota não verti-

cal do gráfico de f quando x → +∞, ou seja

.

Os pontos (1, 0) e (2, 2) pertencem à assíntota

y = mx + b; então, .

Ou seja, .

b) y = 2x + bComo o ponto (1, 0) pertence à reta, vem que:0 = 2 × 1 + b § 0 = 2 + b § –2 = by = 2x – 2 é uma equação de assíntota.

c)c1)

c2)

c3)

43.a)

b)

f(1) = ln1 – ln2 = –ln2f é estritamente crescente em ]0, 1];f é estritamente decrescente em [1, +∞[;f(1) = –ln2 é máximo relativo(absoluto) de f.

44. Seja f uma função par, isto é,

Provamos que

Ou seja, f’ é ímpar.

45. Seja f uma função ímpar, isto é,

Provamos que ou seja, f épar.

+

-- - 2√ 2√

Ae

e22 2 2

21 2

1 21 2( ) =

+( )= +( )

−−

A e2 1 21 2( ) = +( )−

lim( )

x

xx→ +∞

f

lim( )

x

xx→+∞

=f

m

m =−

−= =

2 0

2 1

2

12

lim( )

x

xx→ +∞

=f

2

′ = = − =

= −

f ( )

{ , }

x x x0 2 1

2 1

§ ›

C.S.

f f

f f

( ) ( )

( ) ( )

x xx x× ′ >

> ∧ ′ >⎡⎣ ⎤⎦

0

0 0§ › ff f( ) ( )

]

x xx x

< ∧ ′ <⎡⎣ ⎤⎦

> − < <

=

0 0

1 2 0§ ›

C.S. −− ∪ +∞2 0 1, [ ] , [

′ × ′′ <

′ < ′′ >⎡⎣ ⎤⎦

f f

f f

( ) ( )

( ) ( )

x xx x

0

0 0§ ‹

( ) ( )

›

‹

§ ›

′ > ′′ <⎡⎣ ⎤⎦

< <

f fx xx

0 0

0 1

] , [ ] , [

x < −

= − ∞ − ∪

2

2 0 1C.S.

( ) ln2

ln ln 1 ln2

ln ln2 ln 1

ln ln 2 2

2 2

2 2 0

2

2

2

2

2

�

�

�

�

�

f

§ ‹

§ ‹

§ ‹

§ ‹

§ ‹

xx x xx x xx x x

x x xx x x

( )

( )

( )

=

− + = ∈

= + + ∈

= + ∈

= + ∈

− + − = ∈

+

+

+

+

+

′ = ( )′ − +( )⎡⎣ ⎤⎦′

= −+

=+ −

f ( ) ln ln

x x x

xx

xx2

2

2

1

1 2

1

1 22 12

3

2

3

xx x

xx x+

=− +

+

D

ff ′

+=

′( ) =

− + = + ≠

�

xx x x

0

1 0 02 3

§ ‹ ‹ xxx x x xx

∈

− = − +( ) ≠ ∈

+

+

�

�§ ‹ ‹

§

2 21 1 022 1 0

1 1

= ≠ ∈

= − =

+

( )

‹ ‹

§ ›

x xx x

�

‹ x ∈ +�

f f Df

( ) ( ), − = ∀ ∈x x x

′ =+ −

=− − −

→ →f

f h f

h

f h fh h

( ) lim( ) ( )

lim( ) (

x x x x

0 0

–– )

lim((– ) (– )) (– )

(– )

x

x x xh

f h f

hf

h= −

+ −

−= − ′

→ 0

′ = − ′

′ = − ′ ∀ ∈′

f f

f f Df

( ) (– )

(– ) ( ),

x xx x x§

1 1 4 ( 2) (–2)

4

1 –15

4

Equação impossível em

C.S.

�

�

�

§ ‹

§ ‹

x x

x x

=− ± − × − ×

−∈

=− ±

−∈

= ∅

+

+

f f Df

( ) ( ), − = − ∀ ∈x x x

′ =+ −

=− − +

→ →f

f h f

h

f hh h

( ) lim( ) ( )

lim( (

x x x x

0 0

))) ( )

lim(( ) ( )) ( )

(

+ −

=− + − − −

−= ′ −

→

f

hf h f

hf

h

x

x x0

xx)

′ = ′ ∀ ∈′

f f Df

( ) (– ), ,x x x


x 0 1 +∞

– x2 + 1 n.d. + 0 –

x(x2 + 1) n.d. + + +

Sinal de f’ n.d. + 0 –


n.d. £Máx.f(1) ¢

a 0 V√2 +∞

Sinal de A’ n.d. + 0 –

Monotonia de A n.d. £Máx.A(V√2) ¢

46. Para que a bissetriz dos quadrantes pares, reta deequação y = –x, seja tangente ao gráfico de f, teráde existir um ponto de abcissa x0 tal que f’(x0) = –1. Assim, f’(x) = 3x2 – 12x + 8 e f’(x0) = –1.

Existem dois pontos do gráfico de f que admitemcomo tangentes retas de declive –1: os pontos Pe Q de coordenadas, respetivamente, P(1, f(1)) eQ(3, f(3)).Mas, P(1, f(1)) = (1, 3) não pertence à bissetriz dosquadrantes pares e Q(3, f(3)) = (3, –3) pertence àbissetriz dos quadrantes pares logo, é esse o pon-to de tangência pretendido.

A bissetriz dos quadrantes pares interseta o gráfico de f em dois pontos, o ponto de tangênciaQ(3, –3) e a origem O(0, 0).

47. Sabendo que a reta tangente ao gráfico de f noponto de abcissa 1 tem inclinação 135°, ou sejadeclive igual a tg 135° = –1, pretende-se determi-nar k tal que f’(1) = –1. Assim:

Logo:

48. A concentração máxima de antibiótico ocorre pas-sadas 2 horas de ter sido administrado logo, nessemomento, a taxa de variação é nula, isto é, C’(2) = 0.

Como

vem que:

Como também se sabe que a concentração máxi-ma é de 10 microgramas por mililitro de sangue,para t = 2, vem que:

49. Se f admitir derivada finita em x = 1, então f teráde ser contínua em x = 1, e tal só se verifica se

Assim:

Para k = –6, temos que:

e trata-se de uma função contínua.Averiguemos, então, se neste caso, f’(1) existe:

′ = −

− + = −

− + =

f ( )

x

x x

x x

x

0

0

2

0

0

2

0

1

3 12 8 1

3 12 9 0

§

§

§00 0

3 1= = › x

f( ) –x x

x x x x

x x x

x x x

=

− + = −

− + =

− +(

3 2

3 2

2

6 8

6 9 0

6 9

§

§

)) =

= − + =

= =

0

0 6 9 0

0 3

2§ ›

§ ›

x x x

x x

′ =+

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′

=+( )′ × + − +

fk

k

k k k

( )

( ) ( )

xx

x

x x x

1

2

1 2 1 ×× +( )′

+( )

=+ − + ×

+( )

=

2

22 1 2

22

2

2

x

xx x

xx

k

kk k k

k

( ) ( )

kk k k

k

k

k

+ − −

+( )=

−

+( )

2

2

2

2

2 2

2

2

2

x

x x

′ = −−

× +( )= −

− = − +( )

fk

k

k k

( )

1 12

2 11

2 2

2

2

22

§

§

‹

§ ‹

§

2 0

2 4 4 2

2

2 2

+( ) ≠

− = − − − ≠ −

k

k k k k

22 4 2 0 2

1 2

2k k k

k k

k

+ + = ≠ −

= − ≠ −

=

‹

§ ‹

––1

′ = ( )′

= ′ × + × ( )′( )= +

−

− −

−

C t Ate

A t e t e

A e

kt

kt kt

kt

( )

tt k e

Ae kt

kt

kt

× − ×( )= −

−

−

( )

( )1

C

Ae k

Ae

k

k

'( )

( )

2 0

1 2 0

0

2

2

=

− =

=

−

−

§

§Equação

imposssível

� ��

›

§

1 2 0

1

2

− =

=

k

k

C

A e

Ae

A e

(2) 10=

× × =

=

=

− ×

−

§

§

§

2 10

10

25

1

22

1

lim ( ) ( ). x

x→

=1

1f f

lim ( ) lim ( ) ( )

lim (

x x

x

x x

x→ →

→

− −

+

= = =1 1

2

1

1 1f f

f )) lim

lim (

= + +( ) = + + = +→

→

+

−

x

x

x x

x1

2

1

3 4 3 4 7k k k

fe )) lim ( )

= = +

= −→ +x

x1

1 7

6

f k

k

§

§

f( )xx x

x x x=

≤

− + >

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2

1

3 6 4 1

se

se

′ =−

−=

−

−−

→ →− −f

f f( ) lim

( ) ( )lim

1

1

1

1

11 1

2

x x

x

x

x

x

==− +

−= + =

′

→ →− −lim

( )( )lim ( )

(

x x

x x

xx

1 1

1 1

11 2

e

f 111

1

3 6 41 1

2+

→ →=

−

−=

− + −+ +

) lim( ) ( )

lim x x

x

x

x xf f 11

1

3 1

13 1 0

1

2

1

x

x

xx

x x

−

=−( )−

= − =→ →+ +lim lim ( )


Como f’(1–) ≠ f’(1+), não existe f’(1).Conclui-se, então, que não existe k ∈ � tal que fadmite derivada em x = 1.

50. Se existir derivada finita de g em x = 1, então a fun-ção g terá de ser contínua em x = 1, e tal só se veri-fica se

Assim:

Se a = – b, tem-se que:

Para que g’(1) exista g’(1–) = g’(1+):

Como se pretende que g’(1–) = g’(1+), então:

De (1) e (2) vem que:

51. Por exemplo:

52.

a)

g é estritamente decrescente em e es tri-

tamente crescente em

é mínimo absoluto de g.

lim ( ) ( ). x

x→

=1

1g g

lim ( ) lim

lim

x x

x

x

x→ →

+ +

→

− −= ( ) =

1 1g e ea b a b

11 11 1 1 1

1 1

+ += + = + ×

= =→

g

g

e

( ) lim ( log ) log

( )

l

x x x

x

iim ( ) lim ( )

x xx x

→ →

+

− +=

=

+ =

1 1

1

0

g g

e

a b

a b§

§

§ ( )a b= − 1

gb b

( )log

x e xx x x

x=

<

+ ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

− + se

se

1

1 1

′ =−

−=−

→ →

− +

− −g

g g e b

( ) lim( ) ( )

lim

11

11 1x x

xxx

bb

be e

−

−

=−

−=

− →

− −

→

1

11

11 0

1

0

x

xx

x

ylim lim

( )

−−

− →

−

−

=−

−× −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

b

b

be

bb

y

y

yy

y

1

10

lim ( )

lim

zz

z

z→

−× −

= × − = −

( )

( )

0

1

1

eb

bLimite notável� ��

bb

(1 ) lim( ) (1)

1

lim1 log 1

1

limlog

1

lim( 1)log( 1)

lim( 1) limlog( 1)

1 limln ( 1)

(ln(10))

11

ln(10)lim

ln( 1)

11

ln(10)1

1ln(10)

Limite notável

1

1

– 1 0

0

0 0

0

0� ��

gg gxxx xx

x xx

y yy

y yy

yyyy

x

x

x

y

y y

y

y

′ =−

−

=+ −

−

=−

=+ +

= + ×+

= ×+

×

= × ×+

= × × =

+

→

→

→

→

→ →

→

→

+

+

–1ln(10)

1ln(10)

–1ln(10)

§a b

b

a

b

= −

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

=

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

y

xO-1 1 3

3

g e D

g e

g

g( )

( )

( )

x x

x

x

x

x

= − + =

′ = −

′ =

−

−

1

11

2

0

2

2

�

§ 111

20

1

21 2

2

2

2 2

− =

− = − =

− =

−

− −

e

e e

x

x x

x

§ §

§ lln ln

ln

2 2 2

1

4

§

§

x

x

= −

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

–1

ln(10)1

ln(10)(2)§b b= =

g eln ln

ln

1

4

1

41

1

4⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − +

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

22

41

21

41

1

41 4

1

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − + ( )

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − + =

ln

ln ln

lne

441

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−∞⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥, ln

1

4

ln , ;1

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +∞

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

g ln ln 1

4

1

41

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +


x –∞ ln1

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +∞

Sinal de g’ – 0 +

Variaçãode g ¢

mín.

g ln1

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ £

b)

logo, o gráfico de g tem a conca-vidade voltada para cima em todo o seu domínio (�).O gráfico de g não admite pontos de inflexão.

c) • Assíntotas verticais:Dado que g é contínua em �, o seu gráfico não admi-te assíntotas verticais.• Assíntotas não verticais:(y = mx + b, m ∈ �, b ∈ �) (x → +∞)

A reta de equação y = x – 1 é assíntota oblíqua dográfico de g quando x → +∞.

Consideremos Como x→ –∞, então y→ +∞.

Como o valor obtido não é um número real, o gráficode g não admite assíntota não vertical quando x→ –∞.Logo, o gráfico da função g admite apenas uma úni-ca assíntota.

d) g é contínua em � por se tratar da soma de duasfunções contínuas (uma que é uma função afim e aoutra que é a composta de uma função exponencialcom uma função afim; em particular, é contínua em[–3, –2].

Pelo corolário de Teorema de Bolzano-Cauchy, con-cluímos que isto é, a funçãog tem pelo menos um zero em ]–3, –2[.Pela alínea a), sabemos que g é estritamente decres-

cente em em particular, é estritamente

decrescente em [–3, –2], logo, o zero é único.

53.

a)

b)

′′ > ∀ ∈g ( ) , ,x x0 �

mg

e

=

=− +

=

→ +∞

→ +∞

−

→ +

lim( )

lim

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

1 2

∞∞

−

− +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= − ++∞

= − + =

11

1 00

1 0 0 1

2

x x

x

e

b g e= −⎡⎣ ⎤⎦ = − + −( )

=

→ +∞ → +∞

−

lim ( ) lim

x x

x

x x x x1 2

llim

x

x

→ +∞

−

− +( ) = − + = −1 1 0 12e

( )

lim( )

lim

li

x

x

x

x

x

x

x

x

→ −∞

=

=− +

=

→ −∞

→ −∞

−

mg

e1 2

mm

lim – lim

x

x

x x

x x→ −∞

−

→ −∞

− +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

11

1

2e

→→ −∞ → +∞

−

×

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

– lim

–

1

2

1

2

2

x xx

x

e

− =x

y2

.

′′ = − × −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × = ×

− −

g e e( )

xx x1

2

1

2

1

42 2

g e e

g e

( ) ,

( )

− = − − + = − + ≈

− = − − + = −

3 3 1 4 0 482

2 2 1 3

3

2 3

2

2 ++ ≈

− × − <

e

g g

– ,

( ) ( )

0 282

3 2 0

∃ ∈ =–3, –2c g c ] [ : ( ) ,0

- , ln1

4∞

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥;

′ =× +( ) − +( )′

+

− −

P te e

e

t t

( )' , ,8 1 8 1

1

4 0 4 4 0 4

4 ,

,

,

( , )

−

−

−

( )

=− × − ×

+(

0 42

4 0 4

4 0 4

8 0 4

1

t

t

t

e

e ))

=×

+( )∀ ∈

−

−

+

2

4 0 4

4 0 42 0

3 2

1

,,

,

,

e

et

t

t

� c.q.d..

= −1 0 −−

= − × +∞

→ +∞

1

2

11

2

lim

( )

y

y

y

e

Limitenotável

��

–= ∞

′′ =( )′ +( ) −− −

P te e et t

( ), , , ,3 2 1 3 24 0 4 4 0 4

24 ,

,

,

−

−

−

( ) ×

+( )

× +( )⎡

0 4

4 0 44

4 0 42

1

1

t

t

t

e

e⎣⎣⎤⎦′

+( )

=× − × +

−

−

1

3 2 0 4 1

4 0 44

4 0 4

e

e e

t

t

,

,, ( , ) 44 0 42

4 0 44

4 0 4

13 2 2

,

,

,– , (

−

−

−

( ) −

+( )× × −

t

t

t

ee 00 4 1

1

1 28

4 0 4 4 0 4

4 0 44

4

, )

,

, ,

,

e e

e

e

t t

t

− −

−

+( )

+( )

=− , , ,,− − −+( ) + ( ) ×

+

0 4 4 0 42

4 0 42

1 2 56

1

t t te e

e44 0 44

4 0 4

4 0 44

1

1

,

,

,

−

−

−

( )× +( )

+( )

=

t

t

t

e

e

e44 0 4 4 0 4 4 0 41 1 28 1 , , ,,− − −+( ) − +( ) +⎡⎣

t t te e⎢⎢

+( )

+⎤⎦

+

−

−

−

1

2 56

1

4 0 44

4 0 4

4 0 4

e

e

e

t

t

,

,

,

,

tt

t te e e

( )

=+( ) − +− − −

4

4 0 4 4 0 4 41 1 28 1 28 , , , , 00 4

4 0 44

1

,

,

t

te

( )

+( )−


Dado que

e o sinal de P" depende

apenas do sinal de

O dia em que a taxa de aumento do nível da água nocanal foi mais elevada foi o correspondente a t = 10.

54.a) • Em ]0, +∞[ g é contínua, por se tratar do produto

entre duas funções contínuas: uma que é uma fun-ção a fim e a outra que é uma função logarítmica.

• Em x = 0:

Consideremos . Como x → 0+, então y → +∞.

g(0) = 0

Como concluímos que g é contínua

à direita em x = 0 logo, g é contínua em �+0.

b) • Assíntotas verticais:Dado que g é contínua em �+

0 o seu gráfico não admi -te assíntotas verticais.• Assíntota não vertical(y = mx + b, m ∈ �, b ∈ �)

Como o valor obtido não é um número real, concluí-mos que o gráfico de g não admite assíntota nãovertical.Logo, o gráfico de g não tem assíntotas.

c) • Em ]0, +∞[:g’(x) = x’ lnx + x(lnx)’ = lnx + x × = lnx + 1• Em x = 0:

logo, g não é derivável em x = 0.

g’(x) = 1 + lnx Dg’ = �+

g é estritamente decrescente em e estrita-

mente crescente em 0 é máximo relativo

para x = 0 e é mínimo absoluto para

d) g’(x) = lnx + 1 Dg’ = �+

Dg" = �+

logo, , o que nos

leva a concluir que o gráfico de g tem a concavidadevoltada para cima em �+ e não tem pontos de inflexão.

e)

e tt4 0 4

00 , , ,− +> ∀ ∈ �

1 04 0 4+( ) > ∀ ∈− +e tt , , �− + −1 28 1 28 4 0 4, , . ,e t

− + =

=

−

−

1 28 1 28 0

1 28 1 28

4 0 4

4 0 4

, ,

, ,

,

,

e

e

t

t§

§ ,

,

,e t

t t

t4 0 4 1 4 0 4 0

0 4 4 10

− = − =

= =

§

§ §

lim ( ) lim ( ln ) limln

x x xx x x x

→ → →+ + += =

−⎛

⎝0 0 0

1

g⎜⎜

⎞

⎠⎟

1

x

1

xy=

= − = − =→ +∞lim

ln y

y

y

Limitenotável

�� 0 0

lim ( ) ( ), x

x→ +

=0

0g g

( )

lim( )

lim ln

lim

x

x

xx x

x

x

x

x

→ +∞

=

=

=

→ +∞

→ +∞

→

mg

++∞

= +∞

ln x

1

x

g'g g

( ) lim( ) ( )

lim ln

0

0

00 0

+

→ →=

−

−=

=

+ +x x

x

x

x x

xllimln

xx

→ += −∞ ∉

0�

g’( ) ln

ln –

x x x

x x

= + = >

=

0 1 0 0

1

§ ‹

§ ‹ >>

= >

0

10§ ‹ x x

e

ge e e e

1 1 1 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ×

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −ln

01

, e

⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥

1

e, ;+∞

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

x =1

e.–

1

e

g"( )xx

=1

′′ > ∀ ∈ +g ( ) , x x0 �1

0x

x> ∀ ∈ +, ,�

y

xO1

1

e

1e

-

Em �+

=

=

=

:

( )

ln

ln

g x

x x

x x

0

0

0

§

§ › ==

= =∉ +

0

0 1§ ›x x��


x 0 10 +∞

Sinal de P" + + 0 –

Variação de P mín. £ Máx. ¢

x 01

e+∞

Sinal de g’ n.d. – 0 +

Variaçãode g

Máx.0 ¢

mín.

−1

e£

55.a) I ≥ 100 § 170 + 10logP ≥ 100

§ 10logP ≥ –70 § logP ≥ –7 § P ≥ 10–7

Devem ser utilizados meios de proteção auditiva a partirde um valor de potência superior ou igual a 10–7.

b) I = 170 + 10 logP § I – 170 = 10logP§ 0,1 I – 17 = logP§ P = 100,1 I – 17

Seja I a intensidade de som de potência P. Então, é a intensidade do som de potência P1.Temos, então:

c) I = 170 + 10logPSeja I a intensidade do som de potência P. Seja I1 aintensidade do som de potência 103 × P. Então:

Provamos, assim, que quando a potência cresce emprogressão geométrica de razão 103, a intensidadecresce em progressão aritmética de razão 30.

d)

d1)

Como o valor obtido não é um número real, con-cluímos que o gráfico de I não admite assíntotasnão verticais.

d2)

Logo, não há um valor P0 tal que I’(P0) = I"(P0).

56.

Seja d a distância entre o ponto P e o ponto (0, 2),em função da abcissa do ponto P.

O ponto que está mais próximo do ponto (0, 2) é o

ponto e a distância entre os dois pontos é:

I

2

P

P

I

I

I

1

2

0 1 17

0 12

172

0 110

10

10

( )=

( )=

−

× −

,

,

,

,

, ,

−

−

− − += =

17

0 1 34

0 1 17 0 1 34

10

10 1

I

I I 0017 c.q.d.

I I P P1

3170 10 10 170 10

170 10

− = + ×( ) − +( )= +

log log

logg log log

log

10 170 10

170 10 3 17

3 +⎡⎣ ⎤⎦ − −

= + +( ) −

P P

P 00 10

30 10 10 30

−

= + − =

log

log log

P

P P

lim( )

limlog

lim

P P

P

I P

P

P

P→ +∞ → +∞

→ +∞

=+

=

170 10

177010 0

P

P

PP+ × = +

→ +∞lim

log


110 0 0× =

lim ( ) lim log P P

I P P→ +∞ → +∞

−⎡⎣ ⎤⎦ = +⎡⎣ ⎤⎦

=

0 170 10

1770 10+ × +∞ = +∞( )

′ = × =

′′ =− × ′

= −

′ = ′

I PP P

I PP

P P

I P

( )

( )

( )

101 10

10 102 2

′′ = − + =

+

I PP P P P

P

P P

( )

§ §

§

10 10 10 100

10 10

2 2

2 2==

+=

+ = ≠

= −

010 10

0

10 10 0 0

2

2

§

§ ‹

§

P

PP P

P 11Equação

impossíveldado que > 0P

�� ‹ P ≠ 0

2

y

xO

P (x, x2) , x > 0

d

d

( ) ,

( ) ,

x x x x

x x x x x

= −( ) + −( ) >

= + − + >

0 2 0

4 4 0

22

2

2 2 2

dd

d'

( ) ,

( )

x x x x

x x x

= − + >

= × − +( ) ×−

4 2

4 21

2

3 4 0

1

23 4 4xx x

x x

x x

3

3

4 2

6

4 6

2 3 4

−( )

=−

− +

d'( )

x

x x x x

x x

=

− = − + ≠

−

0

4 6 0 2 3 4 0

4

3 4 2

2

§ ‹

§ 66 0 3 4 04 2( ) = − + ≠ ‹ x xCondição universal� ��

�

§ ›

§ ›

x x

x xx

= =

= =∉

03

2

0

2

D

33

2

3

2

› x

x

= −

∉ D��

3

2

3

2,

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

d3

2

9

43

3

24

9

4

9

24

9 18 16

4

7

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = − × + = − +

=− +

=


x 0 3

2+∞

Sinal de d’ n.d. – 0 +

Variação de d n.d. ¢ mín. £

Cálculo auxiliar:

x

x

2

2

3 9 4 4

2

3 7

2

=± − ×

=± −

§


em��

��

161Tema III | Matemática 12

Tema III – Trigonometria enúmeros complexos

Unidade 1 – Revisões sobre trigonometria

Página 6

1.

a)

b)

2.

A largura do rio é aproximadamente de 57,3 m.

3. α° + 540° = α° + 360° + 180°

Se α ∈ 1.o Q, então α + 540° ∈ 3.o Qα° - 450° = α° - 360° - 90°

Se α ∈ 1.o Q, então α° – 450° ∈ 4.o Q- α° + 630° = - α° + 360° + 270°

Se α ∈ 1.o Q, então - α° + 630° ∈ 3.o Q

Se α ∈ 1.o Q, então - 90° – α° ∈ 3.o QOpção (C)

4.a)

b) (sen x + cos x) (sen x – cos x) = sen2 x – cos2 x= sen2 x – (1 – sen2 x) = sen2 x – 1 + sen2 x = –1 + 2 sen2 x c.q.d.

c)

d)

5.a)

AD = BE = xsen 30°=

x14

§12=

x14

§142

= x § x =7 u.c.

cos 30°=EC14

§3

2=

EC14

§14 3

2= EC

§EC =7 3 u.c.

tg �=147

§ tg �=2§�= tg�1(2)§� � 63,43˚

α

A B

E

14

7

tg 40°=AD55

§ AD =55� tg40°

tg 62°=BD55

§BD =55� tg62°

AB =BD – AD =55� tg62°–55� tg40° � 57,3 m

P[ ABCD ] = AD+DE +EC+CB+BA

=7+14+7 3 +14+14=49+7 3 u.c.

O O

α

y

x

α

α + 540°

y

x1 1

O O

α

y

x

α

α – 450°

y

x1 1

O O

α

– α

y

x

– α + 630°

y

x1 1

O O

α

– α

y

x

– 90° – α

y

x1 1

(sen x +cos x)2 = sen2 x+2sen xcos x+cos2 x= sen2 x +cos2 x

1� �� +2 sen xcos x

= 1+2 sen xcos xc.q.d.

sen4 x�cos4 x = (sen2 x�cos2 x)(sen2 x+cos2 x)

= 1� ��

= sen2 x�cos2 x = sen2 x�(1�sen2x)

= sen2 x�1+sen2x =2 sen2 x�1 c.q.d.

tg x (sen2x �cos2 x)= tg x (1�cos2 x�cos2 x)= tg x (1�2cos2 x)= tg x �2tg x�cos2 x= tg x�2�

sen xcos x �cos2 x = tg x �2sen x cos x c.q.d.

A(x)= sen2x+(1+cosx)2

= sen2x+1+2cosx+cos2 x= sen2x+cos2 x

= 1� �� +1+2cosx

= 1+1+2cosx=2+2cosx=2(cosx+1)


b)

Como α ∈ 4.o Q, então . Logo:

6.a)

b)

1+ tg2� =1

cos2�

1+ �13

�

��

�

�

2

=1

cos2�

§ 1+19=

1cos2�

§109

=1

cos2�

§ cos2� =9

10

§ cos� =±9

10

§ cos� =±3 10

10

cos�=3 10

10

A(�)= 2�3 10

10+1

�

��

�

�=

3 105

+2

sen�4

�

��

�

��+ tg

5�4

�

��

�

��+cos

3�4

�

��

�

��cos(10�)

= sen�4

�

��

�

��+ tg

�4

�

��

�

��cos

�4

�

��

�

��cos(10�)

=2

21

22

1

=2

O

y

x

5ππ

44

1

–

O

y

x

3π π4 4

1 O

y

x10π

5π2

O

y

x O

y

x

π4

π4

-O

y

x

π4

7-

O

y

x7π

π

6

6

7π2

O

y

x

3π2

O

y

x

-

O

y

x83π

π

6

1

79π6

6

O

y

x3π

π

4

4

1

-

1O

y

x17 π

π

3

3

1O

y

x101π

=0sen�4

�

��

�

��+cos

�4

�

��

�

��+ tg

�6

�

��

�

��(1)

=2

2+

22

+3

3+ 1=

=3

3+ 1

cos5�2

�

��

�

��+sen

�4

�

��

�

��+cos

7�4

�

��

�

��+ tg

7�6

�

��

�

��sen

7�2

�

��

�

��

4sen3

2cos

79

6tg

83

6– – + + +

+ +

–

co

2tg3

4

sen17

3 42 ss(101 )

= × + + cos – 4 16

tg6

2tg4

+ +

+ ×

=

–

sen3

4 (–1)

4 + 3

2

2

–

3

32 1

3

24

23

4

3

6

2

+ × +

= + + = +11

4

3

6

c)

79�6

= 13�+�6

83�6

= 13�+5�6

sen (��)+cos (3�+�)+sen (3�+�)++ tg(�+�)� tg(��+�)

= sen � �cos�� sen � + tg ��(�tg �)=�cos�+ tg �+ tg �=�cos�+2 tg �

b)

O

y

x3

1π + α

π – α α

O

y

x1

–α + π

–α

α

α + π

5sen�2��

�

��

�

�+cos

3�2

+��

��

�

�+2 sen �

�2��

�

��

�

�

=5cos�+sen ��2cos�=3cos�+sen �

7.a)

O

y

x

π α

α

2

1

–

1O

y

x

π α

α

23 +

1O

y

x

π α

α

2--

c)

8.a)

b)

9.a)

b)

c)

d)

10.a)


2 sen2 x�sen x =0

§ sen x (2 sen x�1)=0

§ sen x =0 › sen x = 12

§ sen x =0 ›

sen x = sen 6

�

��

�

�

§ x = k › x = 6+2k › x = 5

6+2k, k �

sen 3x+�2

�

��

�

��= sen

�5

�

��

�

��

§3x+ �2=�5+2k� ›

3x+�2= �

�5+2k�, k �

§3x = �5�2+2k� › 3x = 4�

5�2+2k�, k �

§3x =3�10

+2k� › 3x = 3�10

+2k�, k �

§ x = �10

+2k�

3› x = �

10+

2k�3

, k �

O

y

xπ x

x

2+

1

7

O

y

xπ2

--

x

x

1

O

y

x

π - π7

π7

1

O

y

x

π - π5

π5

1

O

y

x

π - π6

π6

1

O

y

x

2013 π αα-

1

O

y

x

π - π3

π3

1

O

y

x -

π10

π10

1

O

y

x

x

x3π + 1

5

O

y

x–x xπ

1

O

7

y

xx

x

1

π2

+

O

y

x

xxπ -

1

5

O

y

xx

x

3π + 1 O

y

xx

xπ2 --

1

A(x)= cos7�2+ x�

��

�

��sen (5� x)

tg2(3�+ x)+ sen2 x �2

�

��

�

��

= sen x�sen x tg2x+(cos x)2

= sen2x+cos2 x tg2x= 1 tg2x

cos(2013��)=23

§�cos� =23§ cos� =�

23

A(�)= 1� tg2�

1+ tg2� =1

cos2�

1+ tg2� =1

�23

�

��

�

�

2 § 1+ tg2� =149

§ 1+ tg2� =94§ tg2� =

54

A(�)= 1�54=

44�

54=�

14

sen x = sen�7

�

��

�

��

§ x =�7+2k� ›

x = ��7+2k�, k �

§ x =�7+2k� › x =

6�7

+2k�, k �

sen (2 x)= 32

§ sen (2 x)= sen �3

�

��

�

��

§2x = �3+2k� ›

2 x = 2�3

+2k�, k ��

§ x = �6+k� › x = �

3+k�, k ��

cos(3x)= cos�

10

�

��

�

��

§3x = �10

+2k� ›

3x =� �10

+2k�, k ��

§ x = �30

+2k�

3› x =� �

30+

2k�3

, k ��

cos7�2

+ x�

��

�

�� sen (5�� x)� tg(3�+ x)+

+ sen2 �x� �2

�

��

�

2

� = sen x �sen x� tg x+(�cos x)2

= sen2x� tg x+cos2 x= 1� tg x


b)

c)

d)

11.a)

b)

12.a)

O

y

x -

π4

π4

1 1O

y

x -

π4

π4

3

π43

1

π4

O

1

y

x

1O

y

x

- - π3

3√

1π4

O

y

x

-1-

O

y

x1

O

y

x

2π

1 12

12

π33

-

1

3π 2

O

y

x

cos2 x = 1§ cosx = 1 › cosx =�1§ x =2k� › x = � +2k�, k ��§ x = k�, k ��

12

cosx = 1§ cosx =2 Equação impossível. C.S.=O

2cos2(2x)= 1§ cos2(2x)=12

§ cos (2x)=12

› cos (2x)=�12

§ cos (2x)=2

2› cos (2x)=�

22

§ cos (2x)= cos �4

�

��

�

� › cos (2x)= cos ��

�4

�

��

�

�

§2x = �4

+ 2k� › 2x =� �4

+ 2k� ›

2x = 3�4

+ 2k� › 2x =�3�4

+ 2k�, k ��

§ x = �8

+ k� › x =� �8

+ k� ›

x = 3�8

+k� › x =�3�8

+ k�, k ��

§ x = �8

+ k�2

› x = 3�8

+ k�2

, k ��

tg (2x)= tg x+ �5

�

��

��

§2x = x+�5+k�, k �§ x = �

5+k�, k �

tg2x�1=0§ tg2x = 1

§ tg x = 1 › tg x =�1

§ x = �4+k� › x =� �

4+k�, k ��

2cosx tg x =�tg x§2cosx tg x+ tg x =0

§ tg x(2cosx+1)=0

§ tg x =0 › 2cosx =�1

§ tg x =0 › cosx =�12

§ tg x =0 › cosx = cos2�3

�

��

�

�

§ x = k� › x = 2�3

+2k� ›

x =�2�3

+2k�, k ��

Para x � 0,2�� :

k =-1 1 x =-�� 0, 2��

��

�� › x = -4�3

� 0, 2��

��

�� › x = -8�

3� 0, 2��

��

��

k =0 1 x =0 › x = 2�3

› x = -2�3

� 0, 2��

��

��

k = 1 1 x = � › x = 8�3

� 0, 2��

��

��› x = 4�

3

k =2 1 x =2� › x = 14�3

� 0, 2��

��

�� › x = 10�

3� 0, 2��

��

��

Em 0,2�� as soluções são: 0,2�3

, �,4�3

,2�

�3sen 2x+�5

�

��

�

�=3

§ sen 2x+�5

�

��

�

�=�1

§2x+ �5=

3�2

+2k�, k ��

§2x = 3�2

��5+2k�, k ��

§2x = 13�10

+2k�, k ��

§ x = 13�20

+k�, k ��

Para x � ��,2�� :

k =�2 1 x = 13�20

�2� =�27�20

� ��,2��

k =�1 1 x = 13�20

�� =�7�20

k =0 1 x = 13�20

k = 1 1 x = 33�20

k =2 1 x = 13�20

+2� � ��,2��

Em ��,2�� as soluções da equação são:

�7�20

,13�20

,33�20

.

tg x =� 3

§ tg x = tg ��3

�

��

�

�

§ x =� �3+k�, k ��

b)

c)

1O

y

x


α

A

π 2

0,785

0,5

y1

cos(2x)=�cos x§ cos(2x)= cos(�� x)§2x = � – x+2k� › 2x = –�+ x+2k�, k ��§3x = �+2k� › x = –�+2k�, k ��

§ x = �3+

2k�3

› x = –�+2k�, k ��

Para x � ��, �� :k =�2 11 x =�� › x =�5�

� ��,��

��

��

k =�1 1 x =� �3

› x =�3�� ,��

��

��

k =0 1 x = �3

› x =��k = 1 1 x = �

� ��,��

��

� › x = �� ,��

��

�

Em ��, �� as soluções de equação são: ��,��3

,�3

A(�)=OR�ordenada de P

2cos� =abcissa de Psen � =ordenada de POR =2cos�

A(�)=2 cos��sen�

2= sen��cos�

y1 = sen��cos� �� 0,�2

�

��

�

Df =�f(x)= (1�sen x)2 �(sen x+1)(sen x�1)

= 12 �2sen x+sen2x �(sen2x�12)

= 1�2sen x+ sen2x � sen2x +1=2�2sen x

c.q.d.

A área máxima é de 12

quando � �0,785 rad.

1O

y

x

Df =�D'f : –1≤ sen x ≤ 1

–2≤2sen x ≤2–2≤ –2sen x ≤20≤2�2sen x ≤4

D'f = 0,4��

f (x)=0§2�2 sen x =0§–2 sen x =–2

§ sen x = �2�2

§ sen x = 1

§ x = �2+2k�, k ��

f(x)= cos2(3x)�12

Df =�D'f : –1≤ cos(3x)≤ 1

0≤ cos2(3x)≤ 1

0�12≤ cos2(3x)�

12≤ 1�

12

�12≤ cos2(3x)�

12≤

12

D'f = �12

,12

�

��

��

Para x � 0,2�� :k =0 11 x =0 › x =�2�

0,2��

��

��

k = 1 1 x = 4�3

› x =2�

k =2 1 x = 8�3

0,2��

��

�� › x =6�

0,2��

��

��

Em 0,2�� as soluções da equação são: 0,4�3

, 2�

sen x2

�

��

�

��=�sen x

§ sen x2

�

��

�

��= sen(� x)

§ x2=� x+2k ›

x2= + x+2k, k �

§ x2

+ x =2k › x2� x = +2k, k �

§ 3x2

=2k › � x2= +2k, k �

§ x = 4k3

› x =�2+4k, k �

c)

d)

Unidade 2 – Funções trigonométricas

Página 18

13.a)

b)

14.a)

b)

c)

16.a)

15. Sabemos que a tangente é negativa no 2.o e 4.o qua-drantes e que o cosseno é negativo no 2.o e 3.o qua-drantes. Assim, o quadrante é o segundo.α, β ∈ 2.o Qα < β ± sen α > sen βNo 2.o quadrante, o seno é decrescente e positivo.Opção (C)

O

y

xαβ


y

x1

4π

O

O

y

x O

y

x

xx

x+

+

1

5

1

72π +

xπ-

O

y

xx

O

y

xx

x

+ –

- -

1 1

2

xππ

+-3

f(x)=0§ cos2(3x)�12=0§ cos2(3x)=

12

§ cos(3x)=±12§ cos(3x)=±

1

2

§ cos(3x)=2

2› cos(3x)=�

22

§3x =�4+2k� › 3x =�

�4+2k� ›

3x =3�4

+2k� › 3x =�3�4

+2k�

3 , k ��

§ x =�

12+

2k�3

› x =��

12+

2k�3

›

x =�4+

2k�3

› x =��4+

2k�3

, k ��

5� cos2(3�0)�12

��

�� cos2 3�

6

�

��

�

��

12

�

��

�

�+

+ cos2 3�101( )�12

��

��

=5cos2 0�52�cos2

2

��

��+

12+cos2 303( )�

12

=5�12 �52�0+cos2 =5�

52+(�1)2

=5�52+1=6�

52=

122�

52=

72

f�3

�

��

�

��= cos2 3�

3

�

��

�

��

12= cos2 �( ) 1

2

=2425

12=

4850

2550

=2350

Cálculo auxiliar : sen2�+cos2�= 1

§ 15

�

��

�

��

2

+cos2�= 1§1

25+cos2�= 1

§ cos2�= 11

25

§ cos2�=2525

1

25§ cos2�=

2425

A�=b�h

2=

1� tg x2

=

sen xcos x

21

=sen x

2cos x

A(x)= cos7�2

+ x�

��

�

��sen(5� x)� tg2(�3�+ x)+

+sen2 �x� �2

�

��

�

�

= sen x�sen x� tg2 x+(�cosx)2

= sen2x� tg2x+cos2 x= sen2x+cos2 x� tg2x= 1� tg2x c.q.d.

DA = x �� : x � �2

��

+k�, k ��

tg2x ≥0,Ax �DA

§– tg2x ≤0,Ax �DA

§ 1– tg2x ≤ 1,Ax �DA

A x( )≤ 1,Ax �DA

D'A = – �, 1��

A(x)=0§ 1� tg2x =0§ tg2x = 1§ tg x =± 1 § tg x =±1§ tg x = 1 ›

tg x =�1§ tg x = tg�4

�

��

�

� ›

tg x = tg ��4

�

��

�

�§ x = �

4+k� ›

x =� �4+k�, k ��§ x = �

4+

k�2

, k ��

f1(x)=0§2sen x =0§ sen x =0§ x = k�, k ��

f2(x)=0§ sen x� �4

��

��=0§ x� �

4= k�, k ��

§ x = �4+k�, k ��

f3(x)=0§– sen x =0§ sen x =0§ x = k�, k ��

f4(x)=0§ sen(�x)=0§� x = k�, k ��§ x =�k�, k ��

f5(x)=0§ sen(2x)=0§2x = k�, k ��

§ x = k�2

, k ��

�1≤ sen x ≤ 1 § �2≤2sen x ≤2 D'f1=[�2,2]

�1≤ sen x� �4

�

��

�

�� 1 D'f2

=[�1, 1]

�1≤ sen x ≤ 1��1≤ �sen x � 1 D'f3=[�1, 1]

O

y

x O

y

x√ 1 122

√22

b)

c)

d)

17.a)

18.a)

b)

c)

19.a)

b)


c) f1, f3, f4 e f5 têm período positivo mínimo 2π (partindodo gráfico de f(x) = sen x, cujo período positivo mí-nimo é 2π, as transformações não envolvem dilata-ções nem compressões horizontais e por isso operíodo mantém-se). O gráfico de f2 e f6 sofre uma

compressão horizontal segundo o fator . Logo, o

período positivo mínimo é .

22a1) Dilatação vertical segundo o fator 4.a2) Compressão horizontal segundo o fator .

a3) Dilatação horizontal segundo o fator 2.

a4) Dilatação horizontal segundo o fator 4; dilataçãovertical segundo o fator 5; translação verticalsegundo o vetor (0, 1).

b) f1→ π f2→ f3→ 2π f4→ 4π

13

14

π4

2π3

�1≤ cosx ≤ 1§�3≤3cosx ≤3 D'f1=[�3,3]

�1≤ cos 3x( )≤ 1 D'f2=[�1, 1]

�1≤ cos x+ �5

�

��

�

�≤ 1 D'f3

=[�1, 1]

�1≤ cosx ≤ 1§�1≤ �cosx ≤ 1 D'f4=[�1, 1]

�1≤ cos(�x)≤ 1 D'f5=[�1, 1]

�1≤ cos(3x��)≤ 1§�2≤2cos(3x��)≤2§�3≤2cos(3x��)�1≤ 1 D'f6

=[�3, 1]

f x+ 2�a

�

��

�

��= cos a x+ 2�

a

�

��

�

��

�

�

�

= cos(ax+2�)= cos(ax)= f(x)

Logo, 2�a

é período de f .

g x+ 2�a

�

��

��= sen a x+ 2�

a

�

��

��

�

�

�+cos a x+ 2�

a

�

��

��

�

�

�

= sen(ax+2�)+cos(ax+2�)= sen ax( )+cos(ax)= g (x)

logo,2�a

éperíodo de g.

f(x)=2tg(0,5x+3)�1

=2tg12

(x+6)�

��

��1

Df = x �� :0,5x+3��2+k�, k ��

��

�

= x �� :12x � �

2�3+k�, k ��

��

�

= x �� : x � ��6+2k�, k ��{ }D'f =�

3cosx =0§ cosx =0§ x = �2+k�, k ��

§ cos 3 x( )=0§3 x = �2+k�, k ��

§ x = �6+

k�3

, k ��

cos x+ �5

�

��

��=0§ x+ �

5=�2+k�, k ��

§ x = �2x5( )

��5x2( )

+k�, k ��

§ x = 5�10

�2�10

+k�, k ��§ x = 3�10

+k�, k ��

�cosx =0�cosx =0§ x = �2+k�, k ��

cos(�x)=0§� x = �2+k�, k �� x =� �

2+k�, k ��

2cos(3x��)�1=0§2cos(3x��)= 1

§ cos(3x��)=12§ cos(3x��)= cos

�3

�

��

�

�

§3x�� = �3+2k� › 3x�� =� �

3+2k�, k ��

§3x = �+ �3+2k� › 3x = ��

3+2k�, k ��

§3x = 4�3

+2k� › 3x = 2�3

+2k�, k ��

§ x = 4�9

+2k�

3› x = 2�

9+

2k�3

, k ��

Compressão horizontal segundo o fator ; trans-

lação horizontal segundo o vetor ; dilatação

vertical segundo o fator 2; translação vertical se -gun do o vetor (0, –1).

�3

,0�

��

�

��

13

c) Translação horizontal segundo o vetor .

d) Simetria em relação ao eixo Ox.

e) Simetria em relação ao eixo Oy.

f)

��5

, 0�

��

�

�

f6(x)=2cos(3x��)�1=2cos 3 x� �3

�

��

�

�

�

��1

21.a)

b)

23.a)

b)

24.

a)

�1≤ sen �x( )≤ 1 D'f4=[�1, 1]

�1≤ sen (2x)≤ 1 D'f5=[�1, 1]

c) 2π é o período positivo mínimo das funções f1, f2, f3

e f4. Partindo de f(x) = senx chega-se ao gráfico def5(x) = sen(2x) com uma compressão horizontalsegundo o fator . Assim, o período positivo

20.a) Dilatação vertical segundo o fator 3.

b) Compressão horizontal segundo o fator .13

12

mínimo passa de 2π para = π.2π2


c) Dilatação horizontal segundo o fator 2;translação horizontal segundo o vetor (–6, 0);dilatação vertical segundo o fator 2;translação vertical segundo o vetor (0, –1).

25. Procuramos uma função f do tipo:f(x)= c sen(a x – b) + d, a, b, c e d ∈ �Sabemos que o mínimo da função é 4 e o máximo é12; assim, a amplitude é:

Também conseguimos determinar o valor do parâ-metro d através do conhecimento dos extremos:

Tanto a maré alta como a maré baixa se repetem de12 em 12 horas, o que significa que o período dofenómeno é de 12 horas. Logo:

Sabemos que f(0) = 10, logo:

Perante estas duas possibilidades, temos que ter emconsideração que às 2 horas ocorre a maré alta, isto é:

c =12�4

2=

82=4

d =12+4

2=

162

=8

2�a

= 12§2�12

=a §�6=a

4sen�6�0�b

�

��

��+8= 10

§ sen(�b)=12

§�b =�6+2k� › �b =

5�6

+2k�, k ��

§b =��6+2k� › b =�

5�6

+2k�, k ��

f (x+2�)=2tg(0,5(x+2�)+3)�1

=2tg(0,5x+�+3)�1

=2tg(0,5x+3+�)�1

=2tg(0,5x+3)�1

= f (x) c.q.d.

f (2)= 12§4sen�6�2�b

�

��

�

+8= 12

§ sen�3�b

�

��

�

�= 1

§�3�b =

�2+2k�, k ��

§�b =�2��3+2k�, k ��

§�b =�6+2k�, k ��

§b =��6+2k�, k ��

Então, concluímos que b =��6

, por exemplo.

Assim, f(x)=4sen�6x+ �

6

�

��

�

�+8.

cos�

12

�

��

�

��= cos

�3 �4

�

��

�

��

= cos�3

�

��

�

��cos

�4

�

��

�

��+sen

�3

�

��

�

��sen

�4

�

��

�

��

=12

22

+3

2

22

=2

4+

64

=2+ 6

4

(sen x+cosx)2 = sen2x+2sen xcosx� �� +cos2 x= sen2x+cos2 x� �� +sen(2x)

= 1 +sen(2x) c.q.d.

cos(2x)= cos2 x�sen2x = 1�sen2x�sen2x= 1�2sen2x c.q.d.

1� tg2x1+ tg2x =

1�sen2xcos2 x1

cos2 x

= 1�sen2xcos2 x

�

��

�

��cos2 x

= cos2 x�sen2x = cos(2x) c.q.d.

Perímetro= AB+BC+AC

=2+1

cos(2�)+

1cos(2�)

=2cos(2�)+2

cos(2�)

=2(cos2��sen2�)+2

cos(2�)

=2cos2��2sen2�+2

cos(2�)

=2cos2��2(1�cos2�)+2

cos(2�)

=2cos2�� 2 +2cos2�+ 2

cos(2�)

=4cos2�cos(2�)

c.q.d.

2

1

A B

C

2α

sen(2x)+sen x =0

§2sen xcosx+sen x =0

§ sen x(2cosx+1)=0

§ sen x =0 › 2cosx+1=0

§ x = k�, k �� › cosx =�12

§ x = k� › x = 2�3

+2k� › x =�2�3

+2k�, k ��

b) Unidade 3 – Fórmulas trigonométricas:seno, cosseno e tangente da soma de doisângulos

Página 32

26.

27.a)

b)

c)

28. cos(2�)=1

AC§ AC =

1cos(2�)

29.a)


2y2 �5y+2=0

§ y = 5± 25�4�2�22�2

§ y = 5+34

› y = 5�34

§ y =2 › y = 12

Substituindo y por cos x, vem que:

cos x =2Equação

impossível

�� › cos x = 12

§ cos x = cos�3

�

��

�

��

§ x = �3+2k� › x =� �

3+2k�, k ��

limx��

sen xx =

sen��

=0�=0

limx��

cosxx =

cos��

=�1�

Cálculo dos limites laterais :

limx�0+

cosxx =

10+

=+�

e limx�0�

cosxx =

10�

=��

�

��

��

limites lateraisdiferentes

Conclui�se que limx�0

cosxx não existe.

�1≤ sen x ≤ 1,�x ��Assim, quando x >0:

�1x ≤

sen xx ≤

1x

Como limx�+�

�1x

�

��

�

=0 e lim

x��

1x =0, então

limx�+�

sen xx =0

limx�0

sen3xx =

00

�

��

�

��

limx�0

3�sen(3x)3x

��

�

��=3� lim

y�0 sen y

ylimitenotável� ��

=3� 1=3

Considerando a mudança de variável 3x = y, tem-se que x�0 y�0.

limx�0

4xsen x =

00

��

�

��

4� limx�0

xsen x =4�

1

limx�0

sen xx

=4�11=4

O

y

x1

limx�0

sen(2x)�5x =

00

�

��

�

�

�15

limx�0

sen(2x)x =�

15� lim

x�0

sen(2x)2x �2

�

��

�

�

= �25

limx�0

sen(2x)2x =�

25

limy�0

sen yy =�

25�1=�

25

Considerando a mudança de variável 2x = y, tem-sex�0� y�0.

limx�0

sen(2x)sen(3x)

=

00

��

�

��

limx�0

sen(2x)x �

xsen(3x)

��

�

��

= limx�0

sen(2x)x � lim

x�0

xsen(3x)

= limx�0

sen(2x)2x �2

��

�

��

1

limx�0

sen(3x)x

=2limy�0

sen yy �

1

limx�0

sen(3x)3x �3

sen xcosx = 12

§2sen xcosx = 1

§ sen(2 x)= 1

§2x = �2+2k�,k ��

§ x = �4+k�, k ��

3 cosx+sen x =�2

§3

2cosx+ 1

2sen x =�1

§ sen�3

�

��

�

�cosx+cos

�3

�

��

�

�sen x =�1

§ sen�3+ x�

��

�

�=�1

§�3+ x =� �

2+2k�, k ��

§ x =�5�6

+2k�, k ��

5cosx�3= cos(2x)§ cos(2x)�5cosx+3=0§ cos2 x�sen2x�5cosx+3=0§ cos2 x�(1�cos2 x)�5cosx+3=0§2cos2 x�5cosx+2=0

b)

c)

d)

Considerando a mudança de variável y = cosx, vemque:

30.a)

Unidade 4 – Estudo intuitivo de

Página 36

limx→ 0

senxx

b)

limx� 3�

4

tg2x = tg2 3�4

�

��

= (�1)2 = 1

limx� �

2

�

��

+ tgx = tg

�2

�

��

+

=��

limx�0

cosxx =

cos00

=10

c)

d)

e)

31.a)

32.a)

b)

c)

d)


Considerando a mudança de variável 2x = y, tem-se x�0 y�0.

=2�1�1

3� limz �0

sen zz

Considerando a mudança de variável 3x = z, tem-se x�0 z �0.

=2�1�1

3�1

=23

limx�0

sen xx3

=

00

��

�

��

limx�0

sen xx �

1x2

��

�

��

= limx�0

sen xx � lim

x�0

1x2

= 1�1

0+

=+

limx�0

sen xx2

=

00

�

��

�

��

limx�0

sen xx

1x

�

��

�

��

= limx�0

sen xx lim

x�0

1x = 1

10

Cálculo dos limites laterais :

limx�0+

sen xx2

= limx�0+

sen xx

1x

�

��

�

��= 1

10+

=+

e limx�0�

sen xx2

= limx�0�

sen xx

1x

�

��

�

��= 1

10�

=�

�

��

��

limiteslaterais

diferentes

Conclui-se que não existe limx�0

sen xx2

.

limx�0

x5tgx =

00

��

�

��

limx�0

x5sen xcosx

= limx�0

xcosx5sen x

= limx�0

xsen x

cosx5

��

�

��= lim

x�0

xsen x lim

x�0

cosx5

=1

limx�0

sen xx

15=

11

15=

15

limx� �

sen xx�� =

00

�

��

�

�

limy0

sen y+�( )y = lim

y0

�sen yy

Considerando a mudança de variável x�� = y,vem que : x�� = y§ x = y+�e x� y0

=�1� limy0

sen yy =�1�1=�1

= limh0

1�cos2 hh(1+cosh)

= limh0

sen2hh 1+cosh( )

= limh0

sen hh

�sen h

1+cosh

�

��

�

�

= limh� 0

sen hh

� limh�0

sen h1+cosh

= 1�0

1+1=0

limh�0

1�coshh

=

00

�

��

�

�

limh�0

(1�cosh)(1+cosh)h (1+cosh)

(multiplicando ambos os termos da fração por 1+cos h)

lim n sen�n

�

��

�

��

�

��

�

�� =

(0)

limsen

�n

�

��

�

��

1n

= limsen

�n

�

��

�

��

�n

�

= limx�0

sen xx �

�

��

�

��= 1� = �

n ��, n�+

Considerando a mudança de variável �n= x, vem que:

n�+ x�0

f '(x)= (3sen x +4)'= (3sen x)'+4'=3cosxf '(x)= (x2 �cosx)'= (x2)'�(cosx)'=2x+sen xf '(x)= sen(5 x+�)( )'= (5x+�)'cos(5x+�)

=5cos(5x+�)

f '(x)=cos(2x)

x�

��

�

��'=

cos(2x)( )'� x cos(2x)( )� x'

x2

=2sen 2x( )� xcos 2x( )

x2

=2xsen 2x( )+cos 2x( )

x2

f '(x)=cosxsen x�

��

�

��'=

(cosx)'�sen x(cosx)�(sen x)'sen2x

=sen x�sen xcosx�cosx

sen2x =sen2xcos2 x

sen2x=

1sen2x

f '(x)= sen3 (5x)( )'=3sen2(5x)� sen(5x)( )'=3sen2(5x)�5�cos(5x)= 15sen2(5x)cos(5x)

f '(x)= (sen x+cosx)'= cosx�sen x

e)

f)

g)

h)

i)

33.

Unidade 5 – Derivadas das funçõestrigonométricas: seno, cosseno e tangente

Página 40

34.a)

b)

c)

d)

35.a)

e)

b)


sen x = h1

2§h1 =2sen x

sen�2� x�

��

�

�=

y2

§ y =2cosxh2 =2� y =2�2cosx

A ABPD�� = A� APB��

+A� APD��

=2�h1

2+

2�h2

2=h1 +h2

=2sen x+2�2cosx=2(1+sen x�cosx) c.q.d.

P ABPD�� = AB+AD+BP+PD

=2+2+2+ 12�8cosx�8sen x=6+ 4 (3�2cosx�2sen x)

=6+2 3�2cosx�2sen x c.q.d.

Cálculo de PD :

PD2=h2

2 +(2�h1)2

§PD2= (2�2cosx)2 +(2�2sen x)2

§PD2=4�8cosx+4cos2 x+4�8sen x+4sen2x

§PD2=8�8cosx�8sen x+4 (cos2 x+sen2x)

1� ��

§PD = 12�8cosx�8sen x , PD >0

f(0)= 1 f�4

�

��

�

��= 2 f

5�4

�

��

�

��= 2 f(2�)= 1

f é estritamente crescente em 0,�4

�

�� e em 5�

4,2�

�

��;

f é estritamente decrescente em �4

,5�4

�

��;

1 é mínimo relativo para x =0;

2 é máximo absoluto para x = �4

;

� 2 é mínimo absoluto para x = 5�4

;

1 é máximo relativo para x =2�.

g'(x)=1

tg x�

��

�

��'=

1'� tgx�1�(tgx)'tg2x =

�1cos2 xtg2x

=�1

cos2 x� sen2xcos2 x

=�1

sen2x

g'(x)=0§�1

sen2x =0

Equação impossível,logo, g' não tem zeros. Como �

1sen2x <0,Ax � 0, �� \

�2

�

��

, conclui-se

que g é estritamente decrescente em

0, �� \�2

��

��

e não tem extremos.

limx�0�

f(x)= limx�0�

e�x

x�

��

�

�=

10�

=��

e limx�0+

f(x)= limx�0+

(sen(2x)�cosx)=�1= f (0)

f '(x)= (sen x+cosx)'= cosx�sen xf '(x)=0

§ cosx�sen x =0§ cosx = sen x§ x = �

4+k�, k ��

Em 0,2�� os zeros de f ' são: �4

e5�4

x 0π4

5π4

2π

Sinal de f’ + + 0 – 0 + +Variaçãode f

m £ M ¢ m £ M

f '(x)= (tg x�sen x)'= (tg x)'�sen x+(tg x)�(sen x)'

=1

cos2 x �sen x+tg x�cosx

=sen xcosx �

1cosx +sen x

cosx �cosx

=tg x

cosx +tg x�cosx

= tg x 1cosx +cosx�

��

�

�

f '(x)= cos(x2)�3sen2x( )'= cos(x2)( )'�3�(sen2x)'

=�(x2)'sen(x2)�3�2sen x�(sen x)'=�2x sen (x2)�6sen xcosx

f '(x)= (tg(2x)+ x)'=2

cos2(2x)+1

f '(x)= tg3(5x)( )'=3tg2(5x)� tg(5x)( )'

=3 tg2(5x)�5

cos2(5x)=

15sen2(5x)cos4(5x)

f '(x)=5

tg x �cos1x

�

��

�

��

�

��

�

��'

=5' tg x�5(tg x)'

tg2x +1x

�

��

�

��'sen

1x

�

��

�

��

=�5

1cos2 x

tg2x +1' x�1 x'

x2sen

1x

�

��

�

��

=�5

cos2 x sen2xcos2 x

�1x2

sen1x

�

��

�

��

=�5

sen2x �1x2

sen1x

�

��

�

��

c)

d)

e)

f)

g)

36.a)

P

A B

CD

2

2

2

2 -

h2

h1

h1

x

y

-xπ2

b)

37.a)

b)

38.a)a1)


y

xO-1-1

-4

-2-3-4-5-6 1 2 3 4 5 6

P1

P2

P3

Em ��,0�� : f(x)=0§e�x

x =0§ e�x =0Equação

impossível

�� ‹ x �0

Conclui-se que em ��,0�� f não tem zeros.

Em 0,+�� : f(x)=0§ sen(2x)�cosx =0§2sen x cosx�cosx =0§ cosx (2sen x�1)=0§ cosx =0 › 2sen x�1=0

§ x = �2+k�, k �� › sen x = 1

2

§ x = �2+k� › x = �

6+2k� › x = 5�

6+2k�, k ��

Se k =0, x = �2› x = �

6› x = 5�

6

Se k = 1, x = 3�2

� 0,3��

��

��› x = 13�

6� 0,3�

��

�� › x = 17�

6� 0,3�

��

��

Tem-se assim que, no intervalo �3,3�� , a função f tem 3 zeros : �

6,�2

e5�6

y1 =e�x

x ,�6≤ x <0

y2 = sen(2x)�cosx,0≤ x ≤6y3 = x�4

Conclui-se que a reta da equação x = 0 é uma assín-tota vertical do gráfico da função. Não existemoutros assíntotas verticais do gráfico de f, pois a fun-ção é contínua em ]– ∞, 0[ (visto estar definida peloquociente de funções contínuas) e f é também con-tínua em ]0, +∞[ (visto estar definida pela diferençade funções contínuas).

a2) Em ��,0�� : f '(x)=e�x

x�

�

� '=

e�x( )'� x�(e�x )� x'

x2

=�e�x � x�e�x

x2

x –∞ –1 0

Sinal de f’ + 0 – n.d.

Variação de f

£M

f(–1)¢ n.d.

f '(x)=0§�e�x � x�e�x

x2=0

§�e�x(x+1)=0 ‹ x2 �0§ (� e�x =0

Condiçãoimpossível

�� v x+1=0) ‹ x �0

§ x =�1 ‹ x �0

f (�1)=e�(�1)

�1=�e

a3)

b)

Em [–6, 6]:Considerando os pontos de interseção do gráficode f com a reta de equação y = x – 4, tem-se queas suas coordenadas, com aproximação às cen-tésimas, são: P1(–3,08; –7,08), P2(–0,32; –4,32) eP3(4,53; 0,53)Assim, verifica-se que f (x) > x – 4 em ]–3,08; –0,32[ eem[0; 4,53[ logo, as soluções inteiras de f (x) > x – 4em[–6, 6] são: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 e 4

39. Considere-se x a abcissa do ponto A.Pretende-se determinar x tal que f’(x) = 2.

f ' (x)= x ex +cos(2x)( )'= x'ex + x�(ex )'�(2x)'sen(2x)= ex + x ex �2sen(2x)

Na calculadora:y1 = ex + x ex – 2sen(2x)y2 = 2

Assim, a abcissa do ponto A, arredondada às cen-tésimas, é 0,80.

40.a) h(0) = 30 × e0 × cos0 + 50 = 30 + 50 = 80

O Filipe saltou de uma altura de 80 metros.

b) As soluções da equação h (t) = 50 representam osinstantes em que o Filipe se encontra a 50 metrosdo solo.

y

y2

xO

y1

0,7989 1


• A função é periódica, de período positivo mínimo 2π.f(x + 2π) = f (x), Ax ∈ Df.Assim, basta estudar a função num intervalo deamplitude 2π, como, por exemplo, ]0, 2π[.

• Pontos de interseção do gráfico de f com oseixos coordenados:Com o eixo Ox:

f(x) = 0 § = 0

Equação impossível logo, f não interseta o eixo Ox,isto é, f não tem zeros.

Com o eixo Oy:O gráfico de f não interseta o eixo Oy já que 0 ∉ Df.

• Assíntotas:Assíntotas não verticais:Como basta estudar a função no intervalo ]0, 2π[,atendendo à periodicidade da função, não faz sentidoa análise da existência de assíntotas não verticais.

Assíntotas verticais (em ]0, 2π[: Df = R\{x = kπ, k ∈ Z}

A reta da equação x = 0 é uma assíntota vertical dográfico de f. Atendendo à periodicidade da função,pode concluir-se que as retas de equação x = 2kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráfico de f.

1sen x

c) Consideremos, por exemplo, o intervalo .

Como a função h é contínua em todo o seu domínio(soma de funções contínuas), também o é no inter-valo .

Assim, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, pode

concluir-se que:

Portanto, existe pelo menos um instante em que oFilipe esteve a 60 metros do solo.

0,32

�

��

��

limt �+�

h (t)= limt�+�

30 e�0,2t cos�t3

�

��

�+50

�

��

�

=30 limt �+�

e�0,2t �cos�t3

�

��

�

��

�

��

0� ��

+50

=30�0+50=50

Observe-se que limt �+�

e�0,2t �cos�t3

�

��

�

�

��

�=0,

pois limt� +�

e�0,2t =0 e – 1≤ cos�t3

�

��

�≤ 1,At ��0

+.

f(x)=1

sen x•Df = x �� : sen x �0}{ =� \ x = k�, k ��}{

• f(�x)=1

sen(�x)=

1�sen x =�

1sen x =�f(x),Ax �Df

ou seja, f é ímpar.

(1) limx�0+

f(x)= limx�0+

1sen x =

10+

=+�

(2) limx��+

f(x)= limx��+

1sen x =

10�

=��

e limx��

f(x)=1

0+=+�

• Variação def :

f '(x)=1

sen x�

��

�

��'=

1'�sen x1�(sen x)'(sen x)2

=cosxsen2x

f '(x)=0 ‹ x Df

§cosxsen2x =0 ‹ x Df

§ cosx =0 ‹ x � k�, k �

§ x = �2+k�, k � ‹ x � k�, k �

No intervalo 0,2� � � :

h (t)=50

§30 e�0,2t �cos�t3

�

��

�

�+50=50

§ e�0,2t cos�t3

�

��

�

�=0

§ e�0,2t =0Condiçãoimpossível

�� › cos�t3

�

��

�

��=0

§�t3

=�2+k�, k ��0

§t3=

12+k, k ��0

§ t =32+3k, k ��0

h (0)=80>60 e h32

�

��

�

��=50<60

Et � 0,32

�

��

��: h (t)=60

d)

Unidade 6 – Estudo de funçõestrigonométricas

Página 54

41.

A reta de equação x = π é uma assíntota vertical dográfico de f. Mais uma vez, atendendo à periodici-dade da função, pode concluir-se que as retas deequação x = π + 2kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráficode f.Assim, de (1) e (2) temos que as retas de equaçãox = kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráfico de f.

0,32

�

��

��


• Assíntotas:Assíntotas não verticais:Como basta estudar a função no intervalo ]0, 2[, aten-dendo à periodicidade da função, não faz sentido a aná-lise da existência de assíntotas não verticais.

A reta de equação x = 0 é assíntota vertical do gráficoda função f. Atendendo à periodicidade da função, podeconcluir-se que as retas de equação x = 2kπ, k ∈ Z são assíntotas do gráfico de f.

m = f�2

�

��

�

�=

1

sen �2

�

��

�

�

= 1

M = f3�2

�

��

�

�=

1

sen 3�2

�

��

�

�

=1

f apresenta um mínimo relativo igual a 1 para

x = �2+2k�, k � e um máximo relativo igual a 1

para x = 3�2

+2k�, k �.

• Sentido das concavidades do gráfico de f :

f ''(x)=�cosxsen2x

�

��

�

��'=

(�cosx)'sen2x�(�cosx)(sen2x)'(sen2x)2

=sen x sen2x+cosx2 sen x cosx

sen4 x

=sen2x+2cos2 x

sen3x

x 0π2

π3π2

2π

Sinal de f’ n.d. – 0 + n.d. + 0 – n.d.Variaçãode f

n.d. ¢ m £ n.d. £ M ¢ n.d.

x 0 π 2π

Sinal de f’’ n.d. + n.d. – n.d.


n.d. n.d. n.d.

f ''(x)=0 ‹ x �Df

§sen2x+2cos2 x

sen3x =0 ‹ x � k�, k ��

§ sen2x+2cos2 x =0 ‹ x � k�, k ��

§ sen2x =�2cos2 xEquaçãoimpossível,

logo f ''não temzeros

� �� ‹ x � k�, k ��

Em 0,2�� :

•Df = x �� : 1�cosx �0}{ =� \ 2k�, k ��}{

Cálculo auxiliar: 1�cosx =0§ cosx = 1§ x =2k�, k ��

•f(�x)=sen (�x)

1�cos(�x)=

�sen x1�cosx

=�sen x

1�cosx

=�f(x),Ax �Df , ou seja, f é ímpar.

• A função f é periódica, de período positivo mínimo 2�:f(x+2�)= f(x),Ax �Df

Assim, basta estudar a função num intervalo de amplitude 2�, por exemplo, 0,2�� .

• Pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados :Com o eixo Ox :

f (x)=0

§sen x

1�cosx=0

§ sen x =0 ‹ x �Df

§ x = k�, k �� ‹ x �2k�, k ��§ x = �+2k�, k ��

Os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são ospontos da forma(�+2k�,0), k ��.

Com o eixo Oy :

O gráfico de f não interseta o eixo Oy já que 0�Df .

Assíntotas verticais em 0,2�� ( ) :

Df =� \ 2k�, k ��}{

limx�0+

f(x)= limx�0+

sen x1cosx =

00

��

��

limx�0+

sen x�(1+cosx)(1cosx)(1+cosx)

= limx�0+

sen x(1+cosx)1cos2 x = lim

x�0+

sen x(1+cosx)sen2x

= limx�0+

1+cosxsen x =

1+cos 0+

sen0+=

20+

=+�

42.

f não apresenta pontos de inflexão.

• Representação gráfica:

y

xO

-1

1

- π π 2π 3π2

5π2

- π2

• D’f = ]-∞, –1] ∪ [1, +∞[


Aprende fazendo

Páginas 58 a 65

1. O seno é crescente e negativo no 4.o quadrante eneste quadrante o seno é negativo e o cosseno épositivo, logo o produto é negativo.Opção (C)

2.

3.

4.

5.

6.

x 0 π 2π

Sinal de f’’ n.d. + 0 – n.d.


n.d. P.I. n.d.

Os pontos de inflexão são os pontos da forma(π + 2kπ, 0), k ∈ Z.

y

xO- 4π - 3π - 2π - π π 2π 3π 4π

• Representação gráfica

D'f = R

sen x� 11�2

�

��

�

��2cos(x+7�)

= cosx�(�2cosx)

= cosx+2cosx=3cosxOpção(B)

sen3�2

+�

��

�

�=�cos

cos(�+�)=�cos

sen3�2

+�

��

�

�= cos(�+�), A��

Opção(D)

Asombreada = A círculo�A triângulo

= ��12 �b�h

2

= ��2sen x�2cosx

2= ��2sen x cosx= ��sen(2x)

Opção(A)

sen x = b2

§b =2sen x

cosx = h2

§h=2cosx

Comprimento do arco de circunferência AP =C(�)

=��

=�

Opção(A)

D = x �� : sen(2x)�0{ }= x �� : x � k�2

, k ��

��

Cálculo auxiliar :

sen(2x)=0§2x = k�, k ��§ x = k�2

, k ��

Opção(C)

• Variação de f :

f '(x)=sen x

1�cosx

�

��'=

(senx)'�(1�cosx)�senx�(1�cosx)'(1�cosx)2

=cosx(1�cosx)�sen x (sen x)

(1�cosx)2

=cosx�cos2 x�sen2x

(1�cosx)2

=cosx�1

(1�cosx)2=�

1�cosx(1�cosx)2

=�1

1�cosxf '(x)<0,Ax � 0,2�� , logo f é estritamente decrescente e não tem extremos.

• Sentido das concavidades do gráfico de f :

f ''(x)=�1

1�cosx

�

�

��'=

(�1)'� (1�cosx)�(�1)�(1�cosx)'(1�cosx)2

=sen x

(1�cosx)2

f "(x)=0 ‹ x �Df

§sen x

(1�cosx)2=0 ‹ x 2k�, k ��

§ sen x =0 ‹ x 2k�, k ��§ x = k�, k �� ‹ x 2k�, k ��§ x = �+2k�, k ��

Em 0,2� � � :

O

y

xx + 7π

2

1

+ x 11π

x -

O

y

x

+ α

α

1

2 3π

xh

b

2

O


Se x = �3

:

– na opção (A): cos 3�3

�

��

�

�+sen 3

�3

�

��

�

�=0

§ cos�+sen� =0

§�1+0=0

§�1=0 P.F.

– na opção (B) : cos�3��3

�

��

�

�= sen 3

�3

�

��

�

�

§ cos0= sen�

§ 1=0 P.F.

– na opção (C) : 1�sen2 �3

�

��

�

�=

14

§ 1�3

2

�

��

�

�

2

=14

§ 1�34=

14

§14=

14

P. V. , �3

é a solução

– na opção (D): cos�3+�3

�

��

�

�=�sen

�3��3

�

��

�

�

§ cos2�3

�

��

�

�=�sen0

§�12=0 P.F.

Opção(C)

7.

8.

9.

11.

10.

12.

13.a)

b)

4sen2x =4

§ sen2x = 1

§ sen x = 1 › sen x =�1

§ x = �2+2k� › x =� �

2+2k�, k ��

§ x = �2+k�, k ��

Opção(C)

limx�0�

f(x)= limx�0+

f(x)

§ limx�0�

sen(5x)x

�

��

��= lim

x�0+(cosx +ex +k)

§ lim5x�0�

sen(5x)�55x

�

��

��= cos 0+e0 +k

§5� lim5x�0�

sen(5x)5x� ��

= 1+1+k

§5 � 1 =2+k

§ k =3

Opção(A)

� é o período positivo mínimo, pois:

f(x+�)= f(x), Ax ��

f(x+�)=6cos 2(x+�)( )�3

=6cos(2x+2�)�3

=6cos(2x)�3

= f(x), Ax ��Opção(A)

limx��

(10x )=0 e �1≤ cos(3x)≤ 1,Ax ��,

logo, limx��

(cos(3x)�10x )=0.

Opção(B)

limx�3�

sen xx�3�

=

00

�

��

�

�

limy�0

sen(y+3�)y

Mudança de variável :

x�3� = y§ x = y+3� e x�3�§ y�0

= limy�0

�sen yy

=�limy�0

sen yy =�1

A[PSRQ ] =SP+RQ

2�QT

Cálculos auxiliares :

•sen x = QT4

§QT =4sen x

•cosx =TP4

§TP =4cosx

• SP = 1+TP = 1+4cosx

=1+4cosx+1

2�4sen x

=4sen x (1+2cosx) c.q.d.

A�2

�

��

�

��=4sen

�2

�

��

�

�� 1+2cos

�2

�

��

�

��

�

��

�

��

=41(1+20)

=4 cm2

Quando x = �2

, o trapézio retângulo da figura

corresponde ao retângulo [RSTQ] de área 4�1=4 cm2.

Opção (A)


Pretende-se os valores de x para os quais A(x) < 3y1 = 4 sen x (1 + 2 cos x)y2 = 3

Verifica-se que, os valores de x para os quais A(x) < 3 são os valores do intervalo [0; 0,26[.

y

y = 3

xO 0,26 2

3

5

π

c)

14.a)

b)

A(x)=0

§4sen x(1+2cosx)=0

§4sen x =0 › 1+2cosx =0

§ sen x =0 › cosx =�12

§ x = k� › x =2�3

+2k� › x =�2�3

+2k�, k ��

Se k =0, x =0 › x =2�3

› x =�2�3

Se k =�1, x =�� › x =�4�3

� ��, 2��

��

�� › x =�

8�3

� ��, 2��

��

��

Se k =�2, x =�2�� , 2��

��

�� › x =�10�

3� ��, 2��

��

� �� › x =�

14�3

� ��, 2��

��

� ��

Se k = 1, x = � › x =8�3

� ��, 2��

��

��› x =

4�3

Se k =2, x =2�� , 2��

��

�� › x =14�

3� ��, 2��

��

�›

10�3

� ��, 2��

��

�

Em ��,2�� as soluções são ��,�2�3

,0,2�3

, �,4�3

�

� �

.

Df =�; Dg =� e Dh = x �� :x

3��2+k�, k ��

��

�

= x �� : x �3�2

+3k�, k ��

�

Zeros de f : f(x)=0

2cosx+sen(2x)=0

§2cosx+2sen xcosx =0

§2cosx(1+sen x)=0

§2cosx =0 › 1+sen x =0

§ cosx =0 › sen x =�1

§ x = �2+k� › x = 3�

2+2k�, k ��

§ x = �2+k�, k ��

Zeros de g : g(x)=0

§ sen x =0

§ sen x =0

§ x = k�, k ��Zeros de h : h(x)=0

§ 1+ tgx3

�

��

��=0

§ tgx3

�

��

��=�1

§ x3=�

�4+k�, k ��

§ x =�3�4

+3k�, k ��

•2� é período da função f , pois:

f(x+2�)= f(x), Ax �Df

f(x+2�)=2cos(x+2�)+sen 2(x+2�)( )=2cosx+sen(2x+4�)

=2cosx+sen(2x)

= f(x),Ax ��

•� é período de g, pois:

g(x+�)= g(x), Ax �Dg

g(x+�)= sen(x+�) = –sen x = sen x = g(x), Ax ��

•3� é período de h, pois:

h(x+3�)= 1+ tgx+3�

3

�

��

�

�= 1+ tg

x

3+

3�3

�

��

�

�

= 1+ tgx

3+�

�

��

�

�= 1+ tg

x

3

�

��

�

�=h(x), Ax �Dh

Os gráficos de f e de g não admitem assíntotas ver-ticais, na medida em que são funções contínuas dedomínio R: f é a soma de funções contínuas (x 1 2cos x e x 1 sen(2x)) e g é a composta de duasfunções contínuas (x 1 |x| e x 1 senx).

d)

h(x)= 1+ tgx3

�

��

�

��

Dh = x �� : x 32

+3k, k ��

��

Por exemplo:

limx� 3

2

�

��

�

��

h(x)= limx� 3

2

�

��

�

��

1+ tgx3

�

��

�

��

�

��

�

��= 1+ tg

2

�

��

�

��

= 1+(+�)

c)

= +∞, logo a reta de equação é uma assín-tota vertical do gráfico de h.

x = 3�2

d)


E atendendo ao período positivo mínimo da função(3π), conclui-se que as retas de equação

são as assíntotas verticais do

gráfico de h. Não há quaisquer outras assíntotasverticais, pois a função h é contínua em todos ospontos do domínio.

x = 3�2

+3k�, k ��

f '(x)=x

sen x�

��

�

��'=

x'�sen x� x�(sen x)'(sen x)2

=sen x� x�cosx

sen2xDf' = x �� : sen2x �0{ }= x �� : x � k�,k ��{ }

f '(x)= x+cos(4x)( )'= x'�(4x)'sen(4x)= 1�4sen(4x)

Df' =�

17.a)

18.a)

b)

c)

b)

b)

c)

d)

e)

16.a)

f '(x)=2sen xcosx

�

��

�

��'

= (2tgx)'=2�1

cos2 x=

2cos2 x

Df ' = x � : cos2 x 0{ }= x � : x �2+k�, k �

� �

��

f '(x)= (tgx+5x)2( )'=2(tgx+5x)�(tgx+5x)'

=2(tgx+5x)�1

cos2 x +5�

��

�

��

Df '= x �� : x 2+k, k ��

��

��

f '(x)=x

sen(2x)

�

��

�

��'=

x '�sen(2x) x� sen(2x)( )'sen(2x)( )2

=sen(2x)2xcos(2x)

sen2(2x)

Df' = x � : sen2(2x)�0{ }= x � : x �k�2

, k � ��

��

Cálculo auxiliar :

sen2(2x)=0§ sen(2x)=0§2x = k�, k �

§ x =k�2

, k �

(1�cos2�)(1+ tg2�)= (1�cos2�)�1

cos2�

=1�cos2�

cos2�

=sen2�cos2�

= tg2� c.q.d.

tg2�+sen2� =sen2�cos2�

+sen2� =sen2�+sen2�cos2�

cos2�

=sen2�(1+cos2�)

cos2�=

(1�cos2�)(1+cos2�)cos2�

=1�cos4 �

cos2� c.q.d.

sen(5x)=3

2

§ sen(5x)= sen�3

�

��

�

��

§5x = �3+2k� › 5x = 2�

3+2k�, k ��

§ x = �15

+2k�

5› x = 2�

15+

2k�5

, k ��

tg x� cosx� 22

�

��

�

�=0

tg x =0 › cosx� 22

=0

� tg x =0 › cosx = 22

� x = k� › x = �4+2k� › x =� �

4+2k�, k ��

cosx2+�5

�

��

�

��=0

§x2+�5=�2+k�, k �

§x2=�2��5+k�, k �

§x2=

3�10

+k�, k �

§ x = 6�10

+2k�, k �

§ x = 3�5

+2k�, k �

k =0 1 x = 3�5

k = 1 1 x = 13�5

Em 0,3�� : x = 3�5

› x = 13�5

limx �0

sen(5x)x

=

00

�

��

�

��

limx �0

sen(5x)5x

�5

��

�

��

=5� limx �0

sen(5x)5x

Considerando a mudança de variável 5x = y, temosx �0 y�0, ou seja, tem-se:

5� limy�0

sen y

y nota que: lim

y�0

sen y

y= 1

��

(limitenotável))=5�1=5

O

y

x

2 π 3 3

1

π

2 3 √

1 O

y

x

4 π

2 2

4 π

√

-

1 O

y

x

15.a)


O

y

xx - π

x

1

limx�0

sen(x��)x =

00

�

�

�

limx�0

�sen xx

=�limx�0

sen xx

=�1 sen(x – �)=–sen x

nota que: limx�0

sen xx = 1 (limite notável)

�

�

�

b)

c)

d)

e)

f)

g)

19.a)

h)

limx�0

senx2x =

00

��

�

��12� lim

x�0

sen xx =

12�1=

12

nota que: limx�0

sen xx = 1 (limitenotável)

��

�

��

limx�1

sen(x�1)2x�2

=

00

�

��

�

�

limx�1

sen(x�1)2(x�1)

=12lim

x�1

sen(x�1)x�1

Seja y = x�1. Como x�1, y�0. Tem-se:

12lim

y�0

sen yy =

121=

12

nota que: limy�0

sen yy = 1 (limite notável)

�

��

�

�

limx�1�

sen(x�1)2x2 �2

=

00

�

��

�

�

limx�1�

sen(x�1)2(x2 �1)

=12 lim

x�1�

sen(x�1)x�1

1

x+1

�

��

�

�

=12

limx�1�

sen(x�1)x�1

limx�1�

1x+1

=12 lim

y�0�

sen yy

12

(Considerando y = x�1, como

x�1�, y�0�)

=121

12

nota que: limy�0�

sen yy = 1

�

��

�

�

=14

limx�0

tg(3x)sen(8x)

= limx�0

tg(3x)x

xsen(8x)

�

��

�

��

= limx�0

tg(3x)3x 3

��

�� lim

x�0

8xsen(8x)

18

��

��

=3limx�0

tg(3x)3x

18

limx�0

1sen(8x)

8x=

38 lim

x�0

sen(3x)cos(3x)3x lim

u �0

1sen u

uConsiderando 8x =u, como x�0,u�0.

=38 lim

x�0

1cos(3x)

limx�0

sen(3x)3x

11

nota que: limu �0

sen uu

= 1

��

��

=38

11 lim

v �0

sen vv

1(Considerando 3x =v, como

x�0, v�0)

=38111

=38

limx �0

sen x

ex �1=

00

�

��

�

�

limx �0

sen xx

ex �1x

=limx �0

sen xx

limx �0

ex �1x

=11= 1

(nota que : limx �0

sen x

x= 1 e lim

x �0

ex �1x

= 1

(são limitesnotáveis))

limx�+�

x2sen2 1x

�

��

�

�

�

��

��= lim

x�+�

sen2 1x

�

��

�

�

1x2

= lim1x �0

sen1x

�

��

�

�

1x

�

�

��

�

��

2

Seja1x = y. Como x�+� y�0. Então, tem-se

que : limy�0

sen yy

�

��

�

�

2

= limy�0

sen yy

�

��

��

2

= 12 = 1

nota que : limy�0

sen yy = 1 (limitenotável)

�

��

�

�

limx�0

f (x)= limx�0

3sen xex �1

=3� limx�0

sen xx

ex �1x

=3�1=3

nota que: limx�0

sen xx = 1 e lim

x�0

ex �1x = 1

��

�

f(0)=3

Como limx�0

f(x)= f(0), f é contínua em x =0.

Logo, f é contínua em�.

• Em R\{0} a função f é contínua por se tratar, emR\{0}, do quociente entre funções contínuas: umaque é o produto de uma função constante por umafunção trigonométrica e a outra que é a diferençaentre uma função exponencial e uma função cons-tante, que não se anula em R\{0}.

• Continuidade em x = 0:


20.a) f)

g)

h)

i)

j)

22.a)

21.a)

b)

c)

d)

e)

b)

c)

2tg x1+ tg2x =

2tg x1

cos2 x

, x � �2+k�, k ��

=2sen xcosx cos2 x, x � �

2+k�, k ��

=2sen xcosx, x � �2+k�, k ��

= sen(2x), x � �2+k�, k ��

c.q.d.

cos(2x)= cos2 x�sen2x, Ax ��

= cos2 x�(1�cos2 x), Ax ��

= cos2 x+cos2 x�1, Ax ��

=2cos2 x�1, Ax �� c.q.d.

cosx = cos2 x2

�

��

�

��sen2 x

2

�

��

�

��, Ax �

= cos2 x2

�

��

�

�� 1�cos2 x

2

�

��

�

��

�

��

�

��, Ax �

= cos2 x2

�

��

�

��+cos2 x

2

�

��

�

��1, Ax �

=2cos2 x2

�

��

�

��1, Ax �

a'(x)= sen 3x� 5�4

�

��

�

�

�

��

��'= 3x 5�

4

�

��

�

�'cos 3x 5�

4

�

��

�

�

=3cos 3x 5�4

�

��

�

�

b'(x)= (x2)'�cos x+ x2 �(cosx)'

=2xcosx� x2sen x

c'(x)= (sen x+cosx)2�� '

=2(sen x+cosx)1 �(sen x+cosx)'

=2(sen x+cosx)�(cosxsen x)

=2(cos2 xsen2x)

d '(x)= (tg x x)'cosx+(tg x x)(cosx)'

=1

cos2 x 1�

��

�cosx+(tg x x)(sen x)

=1

cosx cosxsen x tg x+ xsen x

e'(x)=(sen x)'� x �sen x� x '

x2=

cosx� x �sen x

x2

f '(x)=(1cosx)'�(1+cosx)(1cosx)�(1+cosx)'

(1+cosx)2

=sen x�(1+cosx)(1cosx)�(�sen x)

(1+cosx)2

=sen x+ sen x�cosx +sen x sen x�cosx

(1+cosx)2

=2sen x

(1+cosx)2

g'(x)=(tg x)'�(1+ x2) tg x�(1+ x2)'

(1+ x2)2

=

1+ x2

cos2 x 2x� tg x(1+ x2)2

=1

cos2 x�(1+ x2)

2x� tg x(1+ x2)2

h'(x)=(cosx+1)'cosx+1

=sen x

cosx+1

i '(x)= (x+sen x)'�ex+sen x = (1+cosx)�ex+sen x

j '(x)= x+2( )'�cos x+2( )=

12�(x+2)

�12 �cos x+2( )

=1

2 x+2�cos x+2( )

=cos x+2( )

2 x+2

Determinação de p – período positivo mínimo da

função d :

d(t+p)=d(t), At � D

40�10cos�(t+p)

2

�

��

�

�=40�10cos

�t2

�

��

�

�

§ cos�t+�p

2

�

��

�

�= cos

�t2

�

��

�

�

§�t+�p

2=�t2+2k� ›

�t+�p2

=��t2+2k�, k ��

§ �t+�p = �t+4k� › �t+�p =��t+4k�, k ��§ �p =4k� › �p =�2�t+4k�, k ��§ p =4k › p =�2t+4k

p depende de t� �� , k ��

Se k = 1, p =4 período positivo mínimo

Como, no contexto do problema, o período positivomínimo é 4 segundos, então num minuto (60 segun-dos) a bola faz 15 oscilações.


a = 1 ; A(θ) = sen(2θ)Pretende-se determinar os valores de θ para osquais A(θ) = 0,5.

y1 = sen(2θ)y2 = 0,5

Os valores de θ, com aproximação às centésimas,para os quais A(θ) =0,5 são θ ≈0,26 rad e θ ≈ 1,31 rad.

d(t)=45

§4010cost2

�

��

�=45

§ cost2

�

��

�=

12

§t2=

23

+2k ›t2=

43

+2k, k ��0

§ t =43

+4k › t =83

+4k, k ��0

§ t =43+4k › t =

83+4k, k ��0

Quando k =0, t =43

.

O primeiro instante em que a bola atingiu 45 cm de

distância ao solo foi aos43

s.

Pretende-se determinar d '(9) :

d '(t)= 4010cos�t2

�

��

�

�

�

��

�

�'= 10

�t2

�

��

�

�'sen

�t2

�

��

�

�

= 10��2�sen

�t2

�

��

�

�

d '(9)=5�sen9�2

�

��

�

�=5��1=5�

Quando t =9 s, a velocidade da bola é de 5� cm/s.

Cálculo auxiliar :

�1≤ cos�t2

�

��

�

��≤ 1, At ��

§�10≤ �10cos�t2

�

��

�

�≤ 10, At ��

§30≤40�10cos�t

�

��

�

�≤50, At ��

§�1≤ cos�t8

�

��

�

��≤ 1, At ��

§�15≤ �15cos�t8

�

��

�

�≤ 15 At ��

§25≤40�15cos�t8

�

��

�

�≤55 At ��

b) 23.a)

b)

c2)

c3)

c)c1)

c)

No instante inicial a bola que se encontrava maisperto do chão era a bola da Alice, já quem(0) =40 – 15cos 0 =25 cm e d(0) =40 – 10cos 0 =30 cm.Apesar disso, depois de se iniciar o movimento, é abola da Alice que atinge uma maior altura, 55 cm, poisD'm = [25, 55], enquanto que a bola da Anabela atin-ge uma altura máxima de 50 cm, pois D'd = [30, 50].(Ver cálculo auxiliar).Quanto à bola que mais oscilações realizou, conclui --se que foi a bola da Anabela, pois esta realizou, comose viu na primeira alínea, 15 oscilações durante o pri-meiro minuto (já que o período positivo mínimo da fun-ção d é de 4 s), enquanto que a bola da Alice realizouquase 4 oscilações completas, pois, como o períodopositivo mínimo da função m é de 16 s, vem que

= 3,75 oscilações.6016

A[ABCD ] =BD�AC

2

=2a sen�� 2a cos�

2

=a22 sen� cos ��

=a2 sen(2�) c.q.d.


• sen�=

BD2a

§BD =2a sen�

• cos �=AC2

§ AC =2a cos �

A�4

�

��

�

��=a2 sen 2

�4

�

��

�

��=a2sen

�2

�

��

�

��=a2 1=a2

Quando =�4

, o losango [ABCD] adquire a forma de

um quadrado de lado a.

A(x)= sen x§ sen(2x)= sen x§2sen xcosx�sen x =0

§ sen x(2cosx�1)=0

§ sen x =0 › cosx = 12

§ x = k� › x = �3+2k� › x =� �

3+2k�, k ��

P�2

, A�2

�

��

�

��

�

��

�

��, ou seja, P

�2

,0�

��

�

��

A'()= sen(2)( )'=2cos(2�)

A'�2

�

��

�

�=2cos 2

�2

�

��

�

�=�2

O π θ

0,5

0,26 1,312

A

A

d)


24.a)

b)

c)

d)

e)

Assim, o declive da reta tangente ao gráfico de A

no ponto de abcissa �2

é�2.

Logo, o declive da reta normal ao gráfico da função

de A no ponto de abcissa �2

é 12

.

y = 12x+b

P�2

,0�

��

�

� � reta: 0=

12�2+b

§b =��4

Equação da reta normal pretendida: y = 12x� �

4

f(x)= sen4x�cos4 x= (sen2x�cos2 x)(sen2x+cos2 x)

1� ��

= sen2x�cos2 x = sen2x�(1�sen2x)

=2sen2x�1 c.q.d.

f(x)=0

§2sen2x�1=0

§ sen2x = 12

§ sen x =± 1

2

§ sen x = 22

› sen x =� 22

§ x = �4+2k� › x = 3�

4+2k� ›

x =� �4+2k� › x = 5�

4+2k�, k ��

§ x = �4+

k�2

, k ��

sen�2+ x�

��

�

��=

53

§ cosx = 53

Pela Fórmula Fundamental da Trigonometria,tem-se que, sen2x+cos2 x = 1.Logo:

sen2x+ 53

�

��

�

��

2

= 1

§ sen2x = 1�59

§ sen2x = 49

Assim, f(x)=2sen2x�1=249�1=�

19

.

f '(x)= 2sen2x�1( )'=2�2sen x�(sen x)'

=4sen x�cosx =2sen(2x)

f '(x)=0 §2sen(2x)=0 § sen(2x)=0 §2x = k�, k ��

§ x = k�2

, k ��

Em 0,2�� :

Se k =0, x =0� 0,2��

Se k = 1, x = �2

Se k =2, x = �Se k =3, x = 3�

2Se k =4, x =2�� 0,2��

f�2

�

��

�

��=2sen2 �

2

�

��

�

��1=21= 1

f(�)=2sen2(�)1=01=1

f3�2

�

��

�

��=2sen2 3�

2

�

��

�

��1=21= 1

f é estritamente crescente no intervalo 0,�2

��

�� e em

�,3�2

��

��; f é estritamente decrescente em

�2

, �

��

�� e em

3�2

,2�

��

��; f tem um máximo: 1, para x = �

2 e para x = 3�

2.

f tem um mínimo: – 1, para x = �.

x 0π2

π3π2

2π

Sinal de f’ n.d. + 0 – 0 + 0 – n.d.

Variação de f

n.d. £M1

¢-1m

£M1

¢ n.d.

f ''(x)= 2sen(2x)( )'=2�(2x)'�cos(2x) =4cos(2x)

f ''(x)=0§4cos(2x)=0§ cos(2x)=0

§2x = �2+k�, k ��

§ x = �4+

k�2

,k ��

Em 0,2�� :

Se k =0, x = �4


Se k = 1, x = 3�4

Se k =2, x = 5�4

Se k =3, x = 7�4

Se k =4, x = 9�4

� 0,2��

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima

nos intervalos 0,�4

�

��

��,

3�4

,5�4

��

��, e

7�4

,2�

��

��;o gráfico

de f tem a concavidade voltada para baixo nos

intervalos �4

,3�4

��

�� e

5�4

,7�4

��

��; os pontos de

inflexão são os pontos de coordenadas : �4

,0

�

�

�,

3�4

,0

�

�

� ,

5�4

,0

�

�

� e

7�4

,0

�

�

�

f(x)=2sen2x�1

f '(x)=2sen (2x) P�4

, f�4

�

��

�

�

�

��

�

�=

�4

,0�

��

�

�

Seja m o declive da reta tangente ao gráfico de f no

ponto de abcissa �4

: m = f '�4

�

��

�

�=2sen

2�4

�

��

�

�=2

y =2x+b e como P�4

,0�

��

�

� pertence à reta tangente,

tem-se: 0 = 2�4+b §b =�

�2

Assim, equação da reta pretendida é y =2x� �2

.

f'(0)= limx�0

f(x)� f(0)x�0

= limx�0

2sen2x�1�(�1)x

= limx�0

2sen2 x� 1 + 1x =2lim

x�0

sen2xx

=2limx�0

sen xx

limitenotável� ��

� limx�0

sen x =2�1�0=0

x 0π

4

3π

4

5π

4

7π

42π

Sinal de f’’ n.d. + 0 – 0 + 0 – 0 + n.d.

Sentido das

concavidades

do gráfico de f

n.d.P.I.

0

P.I.

0

P.I.

0

P.I.

0n.d.

Determinação dos zeros de f'' na calculadora:

Assim, a abcissa do ponto P é aproximadamente0,60.

A abcissa do ponto P é um zero de f''. Pretende-se determinar a solução da equação

f''(x)=0 ‹ x � 0,�2

�

��

��.

f' (x) = (x2 cosx)'= (x2)'cosx+(x2)(cosx)'=2xcosx x2 sen x

f''(x)= (2xcosx x2 sen x)'= (2xcosx)'(x2 sen x)'=2cosx 2xsen x 2xsen x x2 cosx=2cosx 4x sen x x2 cosx

y1 =30+8cos�t+10�

12

�

��

�

��; y2 = 30

f)

25.

26.

g)

O

y

x0,60 π2

23,1

30

38

8 14 20 24

y2

y1

= 30

A

O primeiro dia de férias começou com uma tempe-ratura de aproximadamente 23,1 °C, logo às 0 h des-se dia, tendo aumentado até às 14 h, altura em queatingiu o máximo de 38 °C.A partir dessa hora a temperatura começou a dimi-nuir, até às 24 h, momento em que atingiu a tempe-ratura com a qual o dia tinha iniciado: aproximada-mente, 23,1 °C.Durante este dia, a temperatura foi superior a 30 °Cdas 8 h às 20 h. Assim, o Joaquim tinha razão quan-do afirmava que durante toda a tarde a temperaturafoi superior a 30 °C.


sen x �cos x = 2

Elevando ambos os membros da igualdade ao

quadrado obtém-se:

(sen x �cosx)2 = 2( )2

§ sen2x �2sen x cosx+cos2 x =2

§ sen2x+cos2 x� �� 2sen xcosx =2

§

1

�2sen x cosx =2

§�2sen x cosx = 1

§ sen x cosx =�12

c.q.d.

1+cos(3x)

cosx = 1+cos(x+2x)

cosx= 1+

cosxcos(2x)�sen x sen(2x)cosx

= 1+cosx cos(2x)�sen x2sen x cosx

cosx= 1+cos(2x)�2sen2x= 1�sen2x� �� sen2x+cos(2x)

= cos2 x�sen2x� �� +cos(2x)

= cos(2x) + cos(2x)

=2cos(2x) c.q.d.

27.a)

28.a)

30.

29.

a)

b)

c)

d)

O

y

xπ - 0,526

-1,903

y1

y2

I-

f(x)=x+ tg x

x se x <0

(x+1)e�x se x ≥0

��

��

limx�0�

f(x)= limx�0�

x+ tg xx = lim

x�0�1+

tg xx

�

��

�

�

= limx�0�

1+sen x

cosx x�

��

�

�= 1+ lim

x�0�

sen xx lim

x�0�

1cosx

= 1+111

nota que: limx�0�

sen xx = 1

�

��

�

�

= 1+1=2limx�0+

f(x)= limx�0+

x+1( )e�x�� = 0+1( )e0 = 1

limx�0�

f(x) limx�0+

f(x), ou seja, E limx�0

f(x).

f é descontínua em x =0.limx�0�

f(x)= 1= f(0), f é contínua à direita em x =0.

Em �+, f(x)= (x+1)e�x

Assim, f '(x)= (x+1)'e�x +(x+1)(e�x )'= e�x +(x+1)(�1)(e�x )= e�x( 1 � x� 1 )=�xe�x

Como e�x >0, Ax �� e � x <0, Ax ��+, entãof '(x)<0, Ax ��+, logo f é estritamente decrescenteem �+.

Seja y =m x+b a equação reduzida da reta pretendida.m = f '(��)

Em��, f '(x)=(x+ tg x)'� x �(x+ tg x)� x '

x2

=1+

1cos2 x

�

��

�

�� x � x � tg x

x2

=x +

xcos2 x

� x � tg x

x2

=1

x�cos2 x�

tg x

x2

f '(��)=1

��(�1)2�

0

��( )2 =�1�

y =�1�

x+b

•Cálculo de b :

f (��)=��+ tg(��)

��= 1

Como (��, 1) pertence à reta tangente, vem que:

1 = –1��(��)+b § 1= 1+b §b =0

Assim, y =�1�

x é a equação reduzida da reta

tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ��.

Em ��,0�� , f(x)=1x§

x+ tg xx =

1x

y1 =x+ tg x

xy2 =

1x

As coordenadas do ponto I , com aproximaçãoàs milésimas, são (�1,903;�0,526).

y1 =x+ tg x

xy2 =

1x

g(x)=cosx

1�sen x

Dg =[0,2�]\�2

��

��

O

y

x


Assíntotas verticais :

limx �

2

�

��

�

�

g(x)= limx �

2

�

��

�

�

cosx1sen x

=

00

�

��

�

�

limx �

2

�

��

�

�

cosx(1+sen x)1sen2x = lim

x �2

�

��

�

�

cosx(1+sen x)cos2 x

= limx �

2

�

��

�

�

1+sen xcosx =

1+10+

=20+

=+�

limx �

2

�

��

�

�+

g(x)= limx �

2

�

��

�

�+

cosx1sen x = lim

x �2

�

��

�

�+

cosx(1+sen x)1sen2x

= limx �

2

�

��

�

�+

cosx(1+sen x)cos2 x = lim

x �2

�

��

�

�+

1+sen xcosx =

1+10

=20

=�

A reta de equação x = �2

é uma assíntota vertical do

gráfico de g. Como g é contínua no seu domínio (por se tratar do quociente entre duas funções contínuas), então o gráfico de g não admite mais assíntotas verticais.

g'(x)=(cosx)'(1�sen x)�cosx(1�sen x)'

(1�sen x)2

=�sen x(1�sen x)�cosx(�cosx)

(1�sen x)2

=�sen x+sen2x+cos2 x

(1�sen x)2

=1�sen x

(1�sen x)2=

11�sen x

a) Assíntotas não verticais:Como o domínio de g é limitado, o seu gráfico nãotem assíntotas não verticais.

b)

c)

d)

43.a)

b)

O

y

x

g''(x)=�(1�sen x)'(1�sen x)2

=cosx

(1�sen x)2

Como (1�sen x)2 >0,Ax � 0,2�� \�2

�

��

o sinal de

g'' depende apenas do sinal de cosx.

voltada para baixo em�2

,3�2

�

��

��;

3�2

,0�

��

� é ponto de inflexão.

O gráfico de g tem a concavidade voltada para cima

em 0,�2

�

��

�e em

3�2

,2��

��

��e tem a concavidade

g'(x)=1

1�sen x

Sejam mr e ms os declives das retas r e s, respetivamente.

mr = g'(a)=1

1�sen a

ms = g'(b)=1

1�sen bComo a+b = �, então b = ��a, pelo que:

ms = g'(b)=1

1�sen b

=1

1�sen(��a)

=1

1�sen a= g'(a)=mr

Logo, as retas são paralelas.

x 0π2

3π2

2π

Sinal de g’’ + + n.d. – 0 + +


n.d. P.I.

Unidade 7 – Números complexos

Página 66

2x2 +3x+4 =0

§ x = �3± 32 �42422

§ x = �3± �234

§ x = �3± 23i4

§ x =�34+

234

i › x =�34�

234

i

C.S. = �34+

234

i , �34�

234

i��

��

��

��

x3 +16x =0

§ x(x2 +16)=0

§ x =0 › x2 =16

§ x =0 › x =± 16

§ x =0 › x =±4 i

§ x =0 › =4 i › x =4i

C.S.= 0,4 i,4 i{ }

O

y

x

π - a a

sen(π - a) = sen a


45.a)

b)

47.a)

b)

48.a)

c)

46.a)

c)

44.a)

b)

c)

d)

e)

Unidade 8 – Números complexos naforma algébrica

Página 69

3x3 +2x2 + x =0

§ x(3x2 +2x+1)=0

§ x =0 › 3x2 +2x+1=0

§ x =0 › x = 2± 22 43123

§ x =0 › x = 2± 86

§ x =0 › x = 2±2 2i6

§ x =0 › x =13+

23

i › x =13

23

i

C.S.= 0,13+

23

i,13

23

i��

��

��

�

Re(z)=2 e Im(z)=3

Re(z)= 1 e Im(z)=1

Re(z)=0 e Im(z)=2013

z =5i2 =5(1)=5 Re(z)=5 e Im(z)=0

z = 1 8i2

=12

2 2i2

=12 2i

Re(z)= 12

e Im(z)= 2

z = k2 +(p1) i

z =2+5 i

k2 +(p1) i =2+5 i

§k2 =2 ‹ p1=5

§ k = 2 › k = 2( ) ‹ p =6

z = k2 +(p1) i é um número real se Im(z)=0, ou seja,

(p1)=0§p = 1 e k um qualquer número real.

z = k2 +(p1) i é um imaginário puro se

Re(z)=0 ‹ Im(z)�0, ou seja, k2 =0 ‹ p1�0

§k =0 ‹ p � 1

Seja z =a+bi.

z =5 Re(z)=2 §Im(z)<0

�

��

��

a2 +b2 =5

a =2

b <0

�

��

��

§

22 +b2 =25

a =2

b <0

�

��

��

Assim: z =2� 21i

z =23i

z = 1+ i

z =2013i

z =5i2 =5, logo z =5.

z =12 2i, logo z =

12+ 2i

z =2+5i

z =25i

z =25i

z =2+5i

Sejam P1, P2, P3 e P4 as imagens geométricasde z, z , z e z , respetivamente.

z =2+5i1P1(2,5)z =25i1P2(2,5)z =25i1P3(2,5)z =2+5i1P4(2,5)

0 2

P√21-

Eixoimaginário

Eixo real

b)

c)

d)

e)

P4

P3 P2

P1

Eixoimaginário

Eixo real0 2-2

5

-5


c)

b)

b)

c)

c)

b)

c)

d)

b)

c)

d)

c)

c)

d)

b)

55.a)

d)

b)

b)

53.a)

54.a)

d)

49.a)

52.a)

50.a)

51.a)

P1P2P3P4�� é um retângulo de largura 4 e

comprimento 10, logo de área 40.

z1 + z2 = (4+ i)+(5i)=4+6i

z1 + z3 = (4+ i)+ 212

i�

��

�

��=6+

12

i

z2 z3 =5i 212

i�

��

�

��=2+5i+

12

i =2+112

i

z1 + z3 = (4+ i)+ 2+12

i�

��

�

��=6+

32

i

Seja z =a+bi.

Para z+ z =2 : (a+bi)+(abi)=2

§2a =2

§a = 1

Por exemplo, z = 1+7i.

Para z+ z =0: (a+bi)+(abi)=0

§2a =0

§a =0

Por exemplo, z =5i.

Para z z =0: (a+bi)(abi)=0

§2bi =0

§2b =0

§b =0

Por exemplo, z =3.

3i�(2�4i)=6i �12i2 = 12+6i

12� i

�

��

�

��(2+3i)= 1+

32

i �2i �3i2 = 1+3�12

i =4�12

i

2+ i( )2= 2+ i( )� 2+ i( )=2+ 2i+ 2i+ i2

= 1+2 2i

i� 6�7i( ) = i� 6+7i( )=6i+7i2 =7+6i

3i24i

=3i(2+4i)

(24i)(2+4i)=

6i+12i2

22 (4i)2=12+6i4+16

=12+6i

20=

1220

+6

20i =

35+

310

i

1 i1+ i

=(1 i)(1 i)(1+ i)(1 i)

=1 i i+ i2

12 i2=

12i 11+1

=2i2=i

3 + i2i

=3 + i( )� i

2i� i=

3i+ i2

2i2=�1+ 3i

�2

=12�

32

i

15 i

=5+ i

(5 i)(5+ i)=

5+ i52 i2

=5+ i26

=5

26+

126

i

i101 = i1 = i 101 4 1 25

i2014 = i2 =1 2014 4 2 503

i23 � i6 +5i11( )= i3 � i2 +5i3( )=i 15i( )= i+5i2 =5+ i

2i4n+ 1 3i4n+3 +(2i)8 =2 i1 3i3 +256i8

=2i+3i+256=256+5i

(26i)2 =424i+36i2 =43624i =3224i

(1+ i)5 =5 C015 i0 +5 C114 i1 +5 C213 � i2 +5 C312 � i3 +

+5C4 �11 � i4 +5 C510 � i5

= 1+5i+10i2 +10i3 +5i4 + i5

= 1+5i �10�10i+5+ i

=�4�4i

(1+ i)5 =1

(1+ i)5=

144i

(pelos cálculos efetuados na

alínea anterior)

=(4+4i)

(44i)(4+4i)=

4+4i(4)2 (4i)2

=4+4i16+16

=4

32+

432

i =18+

18

i

(3 i)4 =1

(3 i)4=

1

(3+ i)2( )2 =1

96i+ i2( )2 =1

86i( )2

=1

6496i+36i2=

12896i

=28+96i

(2896i)(28+96i)

=28+96i

282 (96i)2=

28+96i784+9216

=28

10000+

9610000

i

=7

2500+

6625

i

i é uma raiz quarta de 1, pois i4 = 1.

2+ i é uma raiz quadrada de 3+4i, pois (2+i)2=3+4i.

(2+ i)2 =22 +4i+ i2 =4+4i 1=3+4i


56. 59.a)

b)

c)

d)

e)

60.a)

b)

57.

As raízes quadradas de z =2i são os númeroscomplexos w =a+bi tais que w2 = z, isto é:

(a+bi)2 =2i§a2 +2abi+(bi)2 =2i§a2 +2abi+b2i2 =2i§ a2 b2( )+2abi =2i

§a2 b2 =02ab =2��

§a2 =b2

ab = 1��

§a =bab = 1{ ›

a =bab = 1{

§a =ba2 = 1��

›a =bb2 = 1��

Condiçãoimpossívelem�

�� §

a =ba2 = 1��

§a =ba = 1{ ›

a =ba =1{

§b = 1a = 1{ ›

b =1a =1{

As raízes quadradas de 2i são os númeroscomplexos 1+i e 1 i.

z = 1+ iiz = i (1+ i)= i+ i2 =1+ ii2z = i2(1+ i)=1(1+ i)=1 ii3z =i(1+ i)=i i2 = 1 i

Sejam P, P1, P2 e P3 as imagens geométricasde z, iz, i2z e i3z, respetivamente.

P(1, 1) ; P1(1, 1) ; P2(1,1) e P3(1,1)

b) O polígono [PP1P2P3] é um quadrado de lado 2, logoa sua área é 4.

58. A multiplicação de um número complexo por –icorresponde à rotação centrada na origem do vetorque é a sua imagem vetorial segundo um ângulode amplitude –90°.Assim, das opções apresentadas, a imagem geo-métrica de –iz é z4.Opção (D)

z1

z2

=1+ i4i

=(1+ i)� i

4i� i=

i+ i2

4i2=1+ i4

=14

14

i

(z1)3 � z3 = (1+ i)3 �(2�3i)= (1+ i)2(1+ i)(23i)

= (1+2i+ i2)(1+ i)(23i)

=2i�(1+ i)(23i)= (2i+2i2)(23i)

= (2+2i)(23i)=4+6i+4i 6i2

=4+10i+6=2+10i

z2 z3

i=

(4i)(23i)i

=4i 2+3i

i=2 i

i

=(2 i) i

i2=2i i2

1=

12i1

=1+2i

z2 +z3

5i8n+3=4i+

2+3i5� i3

=4i+2+3i�5i

=4i+(2+3i)� i�5i� i

=4i+2i+3i2

�5i2=4i+

�3+2i5

=4i �35+

25

i

=�35+

225

i

z1 iz3

= 1+ i i

23i= 1+ i

i(2+3i)(23i)(2+3i)

= 1+ i 2i+3i2

22 (3i)2= 1+ i

3+2i4+9

= 1+ i+313

2

13i =

1613

+1113

i

z = k+ ik i

=(k+ i)�(k+ i)(k i)(k+ i)

=k2 +2ik+ i2

k2 i2=

(k2 1)+2kik2 +1

=k2 1k2 +1

+2k

k2 +1i

Para que z seja um número real terá de se verificar:

Im(z)=0

Assim:2k

k2 +1=0§2k =0 ‹ k2 +1�0

Condiçãouniversalem�

� ��

§k =0

Para que z seja um imaginário puro, terá que se

verificar:

Re(z)=0 ‹ Im(z)�0

Assim:

k2 �1k2 +1

=0 ‹2k

k2 +1�0

§k2 �1=0 ‹ k2 +1�0Condiçãouniversalem�

� �� ‹ 2k �0

§k2 = 1 ‹ k �0

§k = 1 › k =�1

Eixoimaginário

Eixo realP2 P3

PP1

0 1

1

-1

-1


4z3 +13z =17 (1 é uma das soluções)

§4z3 +13z+17 =0

§(z+1)(4z2 4z+17)=0

§ z+1=0 › 4z2 4z+17 =0

§ z =1 › z =4± (4)2 4417

24

§ z =1 › z =4± 256

8

§ z =1 › z =4+16i

8› z =

416i8

§ z =1 › z =12+2i › z =

122i

C.S.= 1,12+2i,

122i

��

��

61.a)

f)

b)

c)

d)

e)i+ i2z = i4z+1

§ i z = z+1§2z =1 i

§ z =12

12

i

C.S.= 12

12

i��

��

(3� i)+(1+ i)z =5i

§(1+ i)z =5i �3+ i

§ z = �3+6i1+ i

§ z = (�3+6i)(1� i)(1+ i)(1� i)

§ z = �3+3i+6i �6i2

12 � i2

§ z = 3+9i1+1

§ z = 32+

92

i

C.S.=32+

92

i��

��

z� iz = 2� i3i

§ z(1� i)= 2� i3i

§ z = 2� i3i(1� i)

§ z = 2� i3i �3i2

§ z = 2� i3+3i

§ z = (2� i)(3�3i)(3+3i)(3�3i)

§ z = 6�6i �3i+3i2

32 �(3i)2

§ z = 6�3�9i18

§ z = 16�

12

i

C.S.=16�

12

i��

��

z2 +8=0

§ z2 =�8

§ z = 8i › z =� 8i

§ z =2 2i › z =�2 2i

C.S.= �2 2i, 2 2i{ }

z2 �2z =�4

§ z2 �2z+4 =0

§ z = 2± (�2)2 �4�1�42

§ z = 2± �122

§ z = 2+ 12i2

› z = 2� 12i2

§ z = 1+ 3i › z = 1� 3i

C.S.= 1+ 3i, 1� 3i{ }

μ 4 0 13 17

–1 –4 4 –17

4 –4 17 0 = r

AB = z1 + z3 =4+4 =8

Cálculo auxiliar :

z1 = z3 = 22 + �2 3( )2= 4+12 =4

62. Como i50 = i2 = –1, tem-se que z3 = i50 × z1 = –z1,isto é, z3 é o simétrico de z1 e, portanto, a sua ima-gem geométrica, B, será simétrica da imagem geo-métrica de z1, A, em relação à origem do referencial.Portanto:

Eixoimaginário

Eixo real0 2

A

B

√32

√32

-

2-

Cálculo auxiliar:


Unidade 9 – Representaçãotrigonométrica de um número complexo

Página 88

63.a)

64.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

b)b1)

b2)

e2�i = cos(2�)+ i sen(2�)= 1+ i�0= 1

eix+ e-ix

2=

cosx+ i sen x+cos(�x)+ i sen(�x)2

=cosx+ i sen x+cosx� i sen x

2

=2cosx

2= cosx c.q.d.

eix �e�ix

2=

cosx+ i sen x� cos(�x)+ i sen(�x)( )2i

=cosx+ i sen x�(cosx� i sen x)

2i

=cosx+ i sen x�cosx+ i sen x

2i

=2isen x

2i= sen x c.q.d.

z = 1+ i = 2 cis�4

�

��

�

��

z =2�2i =2 2cis ��4

�

��

�

�

• z = 22 +(�2)2 = 8 =2 2

• tg=�22

‹ 4.°Q

tg=�1 ‹ 4.°Q

=��4

, por exemplo.

Eixoimaginário

Eixo real0 1

1

Eixoimaginário

Eixo real0 2

-2

0

Eixoimaginário

Eixo real2013

0

Eixoimaginário

Eixo real

4

z =2013=2013 cis(0)

z =4i =4 cis�2

�

��

�

��

z =�5=5 cis(�)

z =�10i = 10 cis3�2

�

��

�

��

z =3+ i+3i2 =3+ i �3= i = cis�2

�

��

�

��

z =� 2+ 6i =2 2 cis2�3

�

��

�

�


i z = � 2( )2+ 6( )

2= 8 =2 2

i tg=6

� 2‹ 2.°Q

tg=� 3 ‹ 2.°Q

=2�3

, por exemplo.

z =�3� 3i =2 3 cis7�6

�

��

�

�


i z = (�3)2 + � 3( )2

= 12 =2 3

i tg=� 3�3

‹ 3.°Q

tg=3

3‹ 3.°Q

=7�6

, por exemplo.

z =� 12+2i =4 cis5�6

�

��

�

�


i z = � 12( )2+22 = 16 =4

i tg=2

� 12‹ 2.°Q

tg=�2

2 3‹ 2.°Q

tg=�3

3‹ 2.°Q

=5�6

, por exemplo.

0

Eixoimaginário

Eixo real-5

0

Eixoimaginário

Eixo real

-10

0

Eixoimaginário

Eixo real

1

0

Eixoimaginário

Eixo real

√

√ 2

6

-

0

Eixoimaginário

Eixo real√

-3

3-

0

Eixoimaginário

Eixo real

2

√ 12-


65.a)

68.a)

69.a)

b)

c)

b)

c)

d)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

b)

66.a)

67.

cis�3

�

��

�

��= cos

�3

�

��

�

��+ i sen

�3

�

��

�

��=

12+

32

i

2cis�4

�

��

�

��= 2 cos

�4

�

��

�

��+ i sen

�4

�

��

�

��

�

��

�

��= 2

22

+2

2i

�

��

�

��

= 1+ i

4 cis ��6

�

��

�

�=4 cos �

�6

�

��

�

�+ i sen

��6

�

��

�

�

�

��

�

�=4

32

�12

i�

��

�

�

=2 3 �2i

3 cis�2

�

��

�

��=3i

8 cis(2014�)=8 cis (0)=8

8 cis(2013�)=8 cis (�)=�8

9 cis3�2

�

��

�

��=9i

cis7�4

�

��

�

��= cos

7�4

�

��

�

��+ i sen

7�4

�

��

�

��=

22

2

2i

z =3 ‹ arg(z)=� �6

w =3 ‹ arg(w)=11�

6=�

�6+2�

z ew são iguais, pois têm módulos iguais e osargumentos diferem de 2�.

z = 8 =2 2 e arg(z)= �3

w =2 2 e arg(w)=13�

3=�3+4�

z ew são iguais, pois têm módulos iguais e osargumentos diferem de 4�.

z =� cis �+�3

�

��

�

e w = 1+ i = 2 cis

�4

�

��

�

z =w

§� cis �+�3

�

��

�

= 2 cis

�4

�

��

�

§�= 2 ‹ �+�3=�4+2k�, k �

§�= 2 ‹ �=��

12+2k�, k �

z =2 cis�4

�

��

�

��

z =2 cis �4

�

��

�

��

z =2 cis�4+�

�

��

�

��

=2 cis5�4

�

��

�

��

z = cis ��3

�

��

�

�

z = cis�3

�

��

�

�

�z = cis ��3+�

�

��

�

�

= cis2�3

�

��

�

�

z =3i =3 cis�2

�

��

�

��

z =3 cis �2

�

��

�

��

z =3 cis�2+�

�

��

�

��

=3 cis3�2

�

��

�

��

=3 cis �2

�

��

�

��

z =4 =4 cis(0)z =4 cis (0)�z =4 cis (�)

Eixoimaginário

Eixo real0 1

1

Eixoimaginário

Eixo real0

A

BC

4π

45π

-

4π

Eixoimaginário

Eixo real0

A

BC

3π

32π

-

3π

-3

A

B C

2

3

π-

2π

=

Eixoimaginário

Eixo real0

4

A B =C -4

π

Eixoimaginário

Eixo real0

Sejam A, B e C as imagens geométricas de z, e –z,respetivamente:

z

cos�� i sen�= cos �+ i sen(��)

= cos(��)+ i sen(��)

= cis(��)

�cos�� i sen�=�(cos�+ i sen�)

=�cis�

= cis(�+�)

sen�� i cos�= cos ��2+�

�

��

�

+ i sen �

�2+�

�

��

�

= cis ��2+�

�

��

�


d)

70.a)

72.a)

b)

c)

d)

73.a)

b)

c)

71.

b)

c)

d)

e)

4π-

4π

21

2

A

B

Eixoimaginário

Eixo real0

Eixoimaginário

Eixo real05π5π

31

3

A

B

-

Eixoimaginário

Eixo real

0

2π

101 -

2

10

π

A

B

Eixoimaginário

Eixo real0 B

4 41

A

1+cos�+ i sen�1+cos�� i sen�

=1+cos�+ i sen�( ) 1+cos�+ i sen�( )1+cos�� i sen�( ) 1+cos�+ i sen�( )

=1+cos�+ i sen�( )2

1+cos�( )2� i sen�( )2

=1+cos�( )2

+2 1+cos�( )i sen�+ i sen�( )2

1+cos�( )2+sen2�

=1+cos�( )2

+ i2 sen2�+2 1+cos�( )sen� i

1+2cos�+cos2�+sen2�1

� ��

=1+cos�( )2

�sen2�+2 1+cos�( )sen� i

2+2cos�

=1+2cos�+cos2��sen2�

2(1+cos�)+

2(1+ cos�)sen� i2(1+ cos�)

=cos2�+cos2�+2cos�

2 1+cos�( )+ i sen�

=2cos2�+2cos�

2(1+cos�)+ i sen�

=2 cos� ( cos�+1 )

2( 1+cos� )+ i sen�

= cos�+ i sen�

= cis(�)

z1 � z2 =2cis�8

�

��

�

��3cis

�4

�

��

�

�=2�3cis

�8�4

�

��

�

�

=6cis �8

�

��

�

�

z1 � z2 =2cis�8

�

��

�

��3cis

�4

�

��

�

�=6cis

�8+�4

�

��

�

�=6cis

3�8

�

��

�

�

z2 � z2 =3cis ��4

�

��

�

�3cis �

�4

�

��

�

=9cis �

2�4

�

��

�

=9cis �

�2

�

��

�

z1 � z3 =2cis�8

�

��

�

�� 5i( )=2cis

�8

�

��

�

��5cis

�2

�

��

�

��= 10cis

5�8

�

��

�

��

z1 � z2 � z3 =6cis ��8

�

��

�

�5cis

�2

�

��

�

=30cis

3�8

�

��

�

Seja z =�cis� um qualquer número complexo.z� z = (� cis �)� � cis (��)( )

=�� cis �+(��)( )= �2 cis (0)( )=�2 = z 2

Sejam A e B as imagens geométricas de z e1z ,

respetivamente :

z =2cis�4

�

��

�

��

1z =

12

cis �4

�

��

�

��

z = 13

cis ��5

�

��

�

�

1z =3cis

�5

�

��

�

�

z = 10 i = 10 cis�2

�

��

�

��

1z =

110

cis �2

�

��

�

��

z = 14=

14

cis (0)

1z =4 =4 cis (0)

z1

z2

=2cis

3�5

�

��

�

��

6cis �

10

�

��

�

��

=26

cis3�5

�

10

�

��

�

��

�

��

�

��

=13

cis7�10

�

��

�

��

z1

z2

=2cis

3�5

�

��

�

��

6cis�

10

�

��

�

��

=26

cis3�5

�

10

�

��

�

��=

13

cis5�10

�

��

�

��

=13

cis�2

�

��

�

��

3z2

=3cis 0

6cis ��

10

�

��

�

�

=36

cis 0� ��

10

�

��

�

�

�

��

�

�=

12

cis�

10

�

��

�

�


�6 iz2

=6cis �

�2

�

��

�

�

6cis ��

10

�

��

�

�

=66

cis ��2� �

�10

�

��

�

�

�

��

�

�= 1cis �

4�10

�

��

�

�

= cis �2�5

�

��

�

�

3cis2�5

�

��

�

��

�

��

�

��

5

=35cis 52�5

�

��

�

��=243 cis(2�)=243 cis(0)

�1� 3i( )4= 2cis

4�3

�

��

�

�

�

��

�

�

4

=24cis 44�3

�

��

�

�

Cálculos auxiliares :Seja z =�1� 3i.

i z = (�1)2 + � 3( )2= 4 =2

itg�=� 3�1

‹ ��3.°Q

tg�= 3 ‹ ��3.°Q

�=4�3

, por exemplo,

z =2cis4�3

�

��

�

�

= 16cis16�

3

�

��

�

�= 16cis

4�3

�

��

�

�

1+ i1� i

�

��

�

��

8

= i8 = 1= cis (0)

Cálculo auxiliar :1+ i1� i

=(1+ i)(1+ i)(1� i)(1+ i)

=1+2i+ i2

12 � i2=

2i2= i

3+ i( )2

2� i�2=

9+6i+ i2

2� i�2=

(8+6i)(2+ i)(2� i)(2+ i)

�2

=16+8i+12i+6i2

22 � i2�2=

10+20i5

�2=2+4i �2

=4i =4cis�2

�

��

�

�

74.a)

75.a)

76.a)

b)

b)

b)

c)

d)

e)

f)

c)

d)

Eixoimaginário

Eixo real0

π43

2

Eixoimaginário

Eixo real0-1

12√

Eixoimaginário

Eixo real0-33

3i+(2� i)3 �8i43

1� i=3i+

(2� i)2(2� i)�8� i3

1� i

=3i+(4�4i+ i2)(2� i)+8i

1� i=3i+

(3�4i)(2� i)+8i1� i

=3i+6�3i �8i+4i2 +8i

1� i=3i+

2�3i1� i

=3i+(2�3i)(1+ i)(1� i)(1+ i)

=3i+2+2i �3i �3i2

12 � i2

=3i+5� i

2=

52�

12

i+3i =52+

52

i =5 2

2cis

�4

�

��

�


i=52

�

��

�

2

+52

�

��

�

2

=254+

254

=502

=5 2

2

i tg�=

5252

‹ �� 1.°Q

tg�= 1 ‹ �� 1.°Q

tg�=�4

, por exemplo.

z1 =2cis�5

�

��

�

�� e

z2 =1+ i = 2cis3�4

�

��

�

��

z1 z2 =2cis�5

�

��

�

�� 2cis

3�4

�

��

�

��

=2 2cis�5+

3�4

�

��

�

��=2 2cis

19�20

�

��

�

��

1z2

=1

2cis3�4

�

��

�

��

=1

2cis

3�4

�

��

�

��=

22

cis – 3�4

�

��

�

��

�z1 =�2cis�5

�

��

�

�=2cis �+

�5

�

��

�

�=2cis

6�5

�

��

�

�

(z1)3

z2

=

2cis�5

�

��

�

��

�

��

�

��

3

2cis3�4

�

��

�

��

=23cis

3�5

�

��

�

��

2cis3�4

�

��

�

��

=8cis

3�5

�

��

�

��

2cis3�4

�

��

�

��

=8

2cis

3�5

3�4

�

��

�

��=

8 22

cis 3�20

�

��

�

��=4 2cis

3�20

�

��

�

��

z1 �1z1

=2cis ��5

�

��

�

�

1

2cis�5

�

��

�

=2cis ��5

�

��

�

�

12

cis ��5

�

��

�

= cis �2�5

�

��

�

(z1)5 + z2 + i11 = 2cis�5

�

��

�

��

�

��

�

��

5

+(1+ i)+ i3

=25cis5�5

�

��

�

��1+ i i =32 cis (�)1

=321=33=33 cis (�)


77.a)

78.

79.a)

b)

b)b1)

b2)

z =2cis4�3

�

��

�

��=2 cos

4�3

�

��

�

��+ i sen

4�3

�

��

�

��

�

��

�

��

=2 12

32

i�

��

�

��=1 3i

z =2cis 4�3

�

��

�

��

Assim:

zz+1

=2cis

4�3

�

��

�

��

1 3i+1=

2cis 4�3

�

��

�

��

3i

=2cis

4�3

�

��

�

��

3cis �2

�

��

�

��

=2

3cis

4�3

+�2

�

��

�

��

=2 3

3cis

5�6

�

��

�

��

w2 = z

(�cis �)2 =2cis4�3

�

��

�

§�2cis(2�)=2cis4�3

�

��

�

§�2 =2 ‹ 2�=4�3

+2k�, k �

§�= 2

�>0�� ‹ �=

2�3

+k�, k �

wz =

� cis �

2cis4�3

�

��

�

=�2

cis �4�3

�

��

�

Para wz ser um número real negativo terá que

argwz

�

��

�

= �+2k�, k ��.

Assim:

�4�3

= �+2k�, k ��

�=7�3

+2k�, k ��

e � um qualquer número real maior que 0.

1+ i é uma raiz índice 8 de 16 se (1+ i)8 = 16 :

(1+ i)8 = 2cis�4

�

��

�

��

�

��

�

��

8

= 2( )8cis

8�4

�

��

�

��=24cis(2�)

= 16 c.q.d.

z4 =�1

�1= cis(�)

São soluções desta equação as raízes

quartas de 1cis(�), isto é, zk tais que :

zk = 14 cis�+2k�

4

�

��

�

�, k � 0, 1,2,3{ }

§ zk = cis�4+

k�2

�

��

�

�, k � 0, 1,2,3{ }

Se k =0, z0 = cis�4

�

��

�

�

Se k = 1, z1 = cis3�4

�

��

�

�

Se k =2, z2 = cis5�4

�

��

�

�

Se k =3, z3 = cis7�4

�

��

�

�

C.S.= cis�4

�

��

�

�, cis

3�4

�

��

�

�, cis

5�4

�

��

�

�, cis

7�4

�

��

�

�

��

��

z5 =32 cis 6

�

��

�

��

São soluções desta equação as raízes quintas de

32 cis 6

�

��

�

��, isto é, os números complexos zk , tais que :

zk = 325 cis

6+2k

5

�

�

��

�

�

��, k � 0, 1,2,3,4{ }

§ zk =2cis

30+

2k 5

�

��

�

��, k � 0, 1,2,3,4{ }

Se k =0, z0 =2cis

30

�

��

�

��

Se k = 1, z1 =2cis13 30

�

��

�

��

Se k =2, z2 =2cis25 30

�

��

�

��=2cis

5 6

�

��

�

��

Se k =3, z3 =2cis37 30

�

��

�

��

Se k =4, z4 =2cis49 30

�

��

�

��

C.S.= 2cis

30

�

��

�

��,2cis

13 30

�

��

�

��,2cis

5 6

�

��

�

��,2cis

37 30

�

��

�

��,

��

2cis49 30

�

��

�

��


z3 =�2 3 +6i


Sejaw =�2 3 +6i.

i w = �2 3( )2+62 = 48

i tg�=6

�2 3‹ ��2.°Q

§ tg�=� 3 ‹ ��2.°Q

�=2�3

,por exemplo.

§ z3 = 48cis2�3

�

��

�

São soluções desta equação as raízes cúbicas

de 48cis2�3

�

��

�

��, isto é, os números complexos zk

tais que :

zk = 483 cis

2�3

+2k�

3

�

�

��

�

�

��, k � 0, 1,2{ }

§ zk = 486 cis2�9

+2k�

3

�

��

�

��, k � 0, 1,2{ }

c)

b)

Se k =0, z0 = 486 cis2�9

�

��

�

��

Se k = 1, z1 = 486 cis8�9

�

��

�

��

Se k =2, z2 = 486 cis14�

9

�

��

�

��

C.S.= 486 cis2�9

�

��

�

��, 486 cis

8�9

�

��

�

��, 486 cis

14�9

�

��

�

��

�

� �

3 � i =2cis �6

�

��

�

�

As raízes cúbicas de 2cis �6

�

��

�

� são os números

complexos zk tais que :

zk = 23 cis�6+2k

3

�

�

��

�

�

, k � 0, 1,2{ }

§ zk = 23 cis �

18+

2k3

�

��

�

�, k � 0, 1,2{ }

Se k =0, z0 = 23 cis �

18

�

��

�

�

Se k = 1, z1 = 23 cis1118

�

��

�

�

Se k =2, z2 = 23 cis2318

�

��

�

�

�81=81 cis(�)

As raízes quartas de 81 cis(�) são os números

complexos zk , tais que :

zk = 814 cis�+2k�

4

�

��

�

�, k � 0, 1,2,3{ }

§ zk =3cis�4+

k�2

�

��

�

�, k � 0, 1,2,3{ }

Se k =0, z0 =3cis�4

�

��

�

�

Se k = 1, z1 =3cis3�4

�

��

�

�

Se k =2, z2 =3cis5�4

�

��

�

�

Se k =3, z3 =3cis7�4

�

��

�

�

80. As imagens geométricas das raízes índice 4 de wsão vértices de um quadrado centrado na origem.Das opções apresentadas apenas a (B) reúne estascondições.Opção (B)

Eixoimaginário

Eixo real0

A

B

C


i�= 3( )2+(�1)2 = 4 =2

i tg�=�1

3‹ ��4.°Q

§ tg�=�3

3‹ ��4.°Q

�=��6

, por exemplo.

Sejam A, B e C as imagens geométricas dos núme-ros complexos z0, z1 e z2, respetivamente.[ABC] é um triângulo equilátero centrado na origem.

81.a)


Sejam A, B, C, D, E e F as imagens geométricas dosnúmeros complexos z0, z1, z2, z3, z4 e z5, respetiva-mente:

[ABCDEF] é um hexágono regular centrado na ori-gem.

Sejam A, B, C e D as imagens geométricas dos nú-meros complexos z0, z1, z2 e z3, respetivamente.

[ABCD] é um quadrado centrado na origem.

A, B e C são as imagens geométricas dos númeroscomplexos z0, z1 e z2, que são raízes cúbicas de umdeterminado número complexo.Assim:

82.

83.

c) i = 1cis�2

�

��

�

��

As raízes índice 6 de i são os números complexos

zk tais que :

zk = 16 cis

�2+2k�

6

�

�

��

�

�

��, k 0, 1,2,3,4,5{ }

§ zk = cis�

12+

k�3

�

��

�

��, k 0, 1,2,3,4,5{ }

Se k =0, z0 = cis�

12

�

��

�

��

Se k = 1, z1 = cis5�12

�

��

�

��

Se k =2, z2 = cis9�12

�

��

�

��= cis

3�4

�

��

�

��

Se k =3, z3 = cis13�12

�

��

�

��

Se k =4, z4 = cis17�12

�

��

�

��

Se k =5, z5 = cis21�12

�

��

�

��= cis

7�4

�

��

�

��

z =3cis2�3

�

��

�

��

z1 =3cis2�3

+�3

�

��

�

��=3cis(�)

z2 =3cis �+�3

�

��

�

��=3cis

4�3

�

��

�

��

z3 =3cis4�3

+�3

�

��

�

��=3cis

5�3

�

��

�

��

z4 =3cis5�3

+�3

�

��

�

��=3cis

6�3

�

��

�

��=3cis(2�)

z5 =3cis 2�+�3

�

��

�

��=3cis

7�3

�

��

�

��=3cis

�3

�

��

�

��

z2 =3cis ��2

�

��

�

�1 Ponto C(0,�3)

z0 =3cis ��2+

2�3

�

��

�

�

=3cis�6

�

��

�

�

=3 cos�6

�

��

�

�+ i sen

�6

�

��

�

�

�

��

�

�

=33

2+ i

12

�

��

�

�

=3 3

2+

32

i1 Ponto B3 3

2,32

�

��

�

�

z1 =3cis�6+

2�3

�

��

�

�

=3cis5�6

�

��

�

�

=3 cos 5�6

�

��

�

�+ i sen 5�

6

�

��

�

�

�

��

�

�

=3 �3

2+

12

i�

��

�

�

=�3 3

2+

32

i1 Ponto A �3 3

2,32

�

��

�

�

Eixoimaginário

Eixo real0

D

AB

C

Eixoimaginário

Eixo real0

D

E

F

A

B

C

Os módulos de qualquer raiz índice 6 de w sãoiguais; neste caso, |z| = 3 e os argumentos das raízescorrespondentes a valores de k consecutivos for-mam uma progressão aritmética de diferença

neste caso, = .

Assim, se é uma raiz índice 6 de w,

então as restantes 5 raízes são:

2πn

2π6

π3

z =3cis2�3

�

��

�

��


�6� �

�6

�

��

�

�=

2�n

§2�6

=2�n

§n=6

Como z1 =2cis ��6

�

��

�

� e z2 =2cis

�6

�

��

�

�, então as

restantes raízes indíce 6 de z são :

z3 =2cis�6+

2�6

�

��

�

�=2cis

3�6

�

��

�

�=2cis

�2

�

��

�

�

z4 =2cis�2+

2�6

�

��

�

�=2cis

5�6

�

��

�

�

z5 =2cis5�6

+2�6

�

��

�

�=2cis

7�6

�

��

�

�

z6 =2cis7�6

+2�6

�

��

�

�=2cis

9�6

�

��

�

�=2cis

3�2

�

��

�

�

z6 +2z3 �8=0

Considerando a mudança de variável w = z3 vem:

w2 +2w �8=0

§w =�2± 22 �4�1�(�8)

2�1§w =2 › w =�4

Assim:

z3 =2 › z3 =�4

zk = 23 cis0+ 2k�

3

�

��

�

��, k 0, 1, 2{ }

§ zk = 23 cis2k�

3

�

��

�

��, k 0, 1, 2{ }

Se k =0, z0 = 23 cis 0( )

Se k = 1, z1 = 23 cis2�3

�

��

�

��

Se k =2, z2 = 23 cis4�3

�

��

�

��

• As raízes cúbicas de �4 =4cis (�)são os números

complexos wk tais que:

wk = 43 cis�+2k�

3

�

��

�

�, k 0, 1, 2{ }

§wk = 43 cis�3+

2k�3

�

��

�

�, k 0, 1, 2{ }

Se k =0, w0 = 43 cis�3

�

��

�

�

Se k = 1, w1 = 43 cis �( )

Se k =2, w2 = 43 cis5�3

�

��

�

�

C.S.= 23 cis 0( ), 23 cis2�3

�

��

�

�

��

, 23 cis4�3

�

��

�

�, 43 cis

�3

�

��

�

�,

43 cis �( ), 43 cis5�3

�

��

�

��

z3 = i14 + i15 + i16

§ z3 = i2 + i3 + i4

§ z3 =�1� i+1

§ z3 =�i

As soluções da equação são as raízes cúbicas de

�i = 1cis ��2

�

��

�

�, ou seja, os números complexos

zk tais que:

zk = 13 cis��2+2k�

3

�

�

��

�

�

, k 0, 1, 2{ }

§ zk = cis ��6+

2k�3

�

��

�

�, k 0, 1, 2{ }

Se k =0, z0 = cis ��6

�

��

�

�

Se k = 1, z1 = cis�2

�

��

�

�

Se k =2, z2 = cis7�6

�

��

�

�

C.S.= cis ��6

�

��

�

�, cis

�2

�

��

�

�, cis

7�6

�

��

�

�

��

��

Como z1 e z2 são duas raízes consecutivas de umcerto número complexo, então os seus argumen-

tos diferem de .

Assim:

2πn

As soluções da equação z6 + 2z3 – 8 = 0 são as raízescúbicas do número complexo 2 e as raízes cúbicasdo número complexo –4:• As raízes cúbicas de 2 = 2cis (0) são os númeroscomplexos zk tais que:

84.

85.a)

b)

(1+ i)z5 =3i

§ z5 =3i

1+ i

§ z5 =3i (1� i)

(1+ i)(1� i)

§ z5 =3i �3i2

12 � i2

§ z5 =3+3i

2

§ z5 =32+

32

i

c)


Cálculo auxiliar :

i�=32

�

��

�

��

2

+32

�

��

�

��

2

=94+

94=

182

=3 2

2

i tg�=

3232

‹ � 1.°Q

§ tg�= 1 ‹ � 1.°Q

�=4

,por exemplo.

32+

32

i =3 2

2cis

4

�

��

�

��

As soluções da equação são as raízes quintas de3 2

2cis

�4

�

��

�

��,ou seja, os números complexos zk

tais que :

zk =3 2

25 cis

�4+2k�

5

�

�

��

�

�

��, k � 0, 1, 2, 3, 4{ }

§ zk =3 2

25 cis

�20

+2k�

5

�

��

�

��, k � 0, 1, 2, 3, 4{ }

Se k =0, z0 =3 2

25 cis

�20

�

��

�

��

Se k = 1, z1 =3 2

25 cis

9�20

�

��

�

��

Se k =2, z2 =3 2

25 cis

17�20

�

��

�

��

Se k =3, z3 =3 2

25 cis

25�20

�

��

�

��=

3 22

5 cis5�4

�

��

�

��

Se k =4, z4 =3 2

25 cis

33�20

�

��

�

��

C.S.=3 2

25 cis

�20

�

��

�

��

��

�,

3 22

5 cis9�20

�

��

�

��,

3 22

5 cis17�20

�

��

�

��,

3 22

5 cis5�4

�

��

�

��,

3 22

5 cis33�20

�

��

�

��

�

§

� �2 �3( )=0

�=2k��4

,k ��

�

�

§

�=0

�=k�2

,k ��

�

�

›

�= 3, �>0

�=k�2

, k ��

�

�

�=0,logoz=0éasoluçãodaequação

� ��

z 3�3z =0§ z 3=3zConsiderando z =� cis � vem que :

� cis(��)( )3=3� cis �

§�3 cis(�3�)=3� cis �

§�3=3�

�3�=�+2k�, k ��

��

§�3�3�=0

�4�=2k�, k ��

��

( )�

Atribuindo a k os valores 0, 1, 2 e 3 obtemos as

restantes soluções:

Se k =0, z0 = 3cis(0)= 3

Se k = 1, z1 = 3cis�2

�

��

�

��= 3i

Se k =2, z2 = 3cis(�)= 3

Se k =3, z3 = 3cis3�2

�

��

�

��= 3i

C.S.= 0, 3, 3i, 3, 3i{ }

d)

86.a)

Representa a circunferência de centro na imagemgeométrica de z1 = 3 + 2i e raio 3.

Eixoimaginário

Eixo real0

C2

3

Representa o interior do círculo de centro na ima-gem geométrica de z1 = –3 – 2i e raio 3.

Eixoimaginário

Eixo real0

C-2

-3

z+3+2i <3§ z�(�3�2i) <3

z�3�2i =3§ z�(3+2i) =3

b)

Unidade 10 – Domínios planos econdições em variável complexa

Página 114

C(3, 2)

C(–3, –2)


Representa a interseção do exterior da circunferên-cia (incluindo a fronteira) de centro na imagem geo-métrica de z1 = –5i e raio 1, com o círculo com omesmo centro e raio 3.

C

-2

-5

-8

Eixoimaginário

Eixo real0

4π

Eixoimaginário

Eixo real0

P1

22

1

π

Eixoimaginário

Eixo real0

1

1

-2

-2P2

P1

Eixoimaginário

Eixo real0

1-1

P1

P2

Eixoimaginário

Eixo real0

2

2

4

-5

P2

P1

Eixoimaginário

Eixo real0

1≤ z+5i ≤3§ z�(�5i) ≥ 1 ‹ z�(�5i) ≤3c)

z1 = 1+ 7i raio=3

z0 =0

z1 � z0 = 1+ 7i �0 = 12 + 7( )2= 1+7 = 8

z+ i = z�1 § z�(�i) = z�1

z�2�4i = z+5�2i § z�(2+4i) = z�(�5+2i)

1+ i � z < z+2+2i

§ z�(1+ i) < z�(�2�2i)

arg(z)= �4

arg(z�1�2i)=�2§ arg(z�(1+2i))=

�2

��4≤ arg(z+1+3i)≤

�4

§��4≤ arg z�(�1�3i)( )≤ �

4

87.

Como , então a imagem geométrica de z1

encontra-se no interior da circunferência de centrona origem e raio 3.

z1 � z0 <3

88.a)

Representa a mediatriz do segmento de reta [P1P2]que tem como extremos as imagens geométricas dez1 = – i e z2 = 1.

Representa a mediatriz do segmento da reta [P1P2]cujos extremos são as imagens geométricas dez1 = 2 + 4i e z2 = –5 + 2i.

Representa o semiplano aberto definido pela media-triz de [P1P2] e que contém o ponto P1, onde P1 e P2

são as imagens geométricas de z1 = 1 + i e z2 = –2 –2i,respetivamente.

b)

c)

89.a)

Representa a semirreta com origem em O e que faz

um ângulo de rad com o semieixo real positivo.π4

Representa a semirreta com origem na imagemgeométrica de z1 = 1+ 2i e que faz um ângulo de

rad com o semieixo real positivo.π2

b)

c)

P1(1, 2)

C(0, –5)

P1(2, 4)P2(–5, 2)

P1(1, 1)P2(–2, –2)

P1(0, –1)P2(1, 0)


-1

-3P1

4π

4π-

Eixoimaginário

Eixo real0

Representa o ângulo do vértice na imagem geomé-trica de z1 = –1 – 3i (P1) cujos lados origem e extre-midade são as semirretas de origem em P1 e que

fazem um ângulo de – e rad, respetivamente,

com o semieixo real positivo.

π4

π4

P1(–1, –3)

C(–2, –1)

Re(z)>3 › Im(z)≥6

�2<Re(z)<3 ‹1z <

13

Cálculo auxiliar :

1z <

13§

1z <

13

§ z >3

z+2+ i ‹ Im(z)≥0

��4≤ arg(z�1+ i)≤+

�4

‹ z�1+ i ≤ 1

z ≤4 ‹ Re(z)≤0 ‹ z+1 ≤ z+ i

A=38��42 =6�

z�(3�3i) ≤2 ‹ ��4≤ arg(z)≤0

z� 72+3i

�

��

�

�� =3 ‹

2≤ arg z� 7

2+3i

�

��

�

��

�

��

�

��≤

90.a) Re(z) = 2 representa a reta vertical que passa no

ponto das coordenadas (2, 0).

Im(z) = –5 representa a reta horizontal que passa noponto das coordenadas (0, –5).

2

Eixoimaginário

Eixo real0

b)

c)

91.a)

b)

c)

Observe-se que o conjunto de pontos que a condiçãoem variável complexa |z + 1| = |z + i| representa cor-responde, em R2, à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Assim, a área a sombreado é da área do círculode centro na origem e raio 4:

38

92.a)

93.a)

b)

c)

d)

0≤ arg z�(2�4i)( )≤ �5

‹ Re(z)≤6

1≤ z� i ≤2 ‹ 1≤ z+ i ≤2

-5

Eixoimaginário

Eixo real0

6

3

Eixoimaginário

Eixo real0

3

3

-3

-3 -2

Eixoimaginário

Eixo real0

1

-3

-2 -1 -1

Eixoimaginário

Eixo realC

0

1

-1 P14π

4π-

Eixoimaginário

0

P(1, 1)

A(–1, 0)

B(0, –1)A

B

4

4-4

-4

-1

Eixoimaginário

Eixo real0


2 z�1 = z+2

Sendo z = x+ yi :

2 (x+ yi)�1 = (x+ yi)+2

§2 (x�1)+ yi = (x+2)+ yi

§2 (x�1)2 + y2 = (x+2)2 + y2

§ 2 (x�1)2 + y2( )2

= (x+2)2 + y2( )2

§4(x2 �2x+1+ y2)= x2 +4x+4+ y2

§4x2 �8x+4+4y2 = x2 +4x+4+ y2

§3x2 +3y2 �12x =0

§ x2 �4x+ y2 =0

§ x2 �4x+22 + y2 =22

§ (x�2)2 + y2 =4

Re(z)�Im(z)≤5

Sendo z = x+ yi:

Re(x+ yi)�Im(x+ yi)≤5

§ x� y ≤5

§� y ≤ �x+5

§ y ≥ x�5

z� z ≤4Re(z)Sendo z = x+ yi :

(x+ yi)�(x� yi)≤4Re(x+ yi)

§ x2 �(yi)2 ≤4x§ x2 + y2 ≤4x§ x2 �4x+22 + y2 ≤22

§ (x�2)2 + y2 ≤4

z� z =�z� zSendo z = x+ yi :

(x+ yi)�(x� yi)=�(x+ yi)�(x� yi)

§ x2 �(yi)2 =�x� yi � x+ yi

§ x2 + y2 =�2x§ x2 +2x+1+ y2 = 1

§ (x+1)2 + y2 = 1

Im1

z+2

�

��

�

��≥ 1

Sendo z = x+ yi :

Im1

x+ yi+2

�

��

�

��≥ 1

§ Im1

(x+2)+ yi

�

��

�

��≥ 1

§ Im(x+2)� yi

(x+2)+ yi( ) (x+2)� yi( )�

��

�

��≥ 1

§ Im(x+2)� yi

(x+2)2 �(yi)2

�

��

�

��≥ 1

§ Imx+2

(x+2)2 + y2�

y(x+2)2 + y2

i�

��

�

��≥ 1

§�y

(x+2)2 + y2≥ 1

§� y ≥ (x+2)2 + y2 ‹ (x, y) (�2,0)

§ (x+2)2 + y2 + y ≤0 ‹ (x, y) (�2,0)

§ (x+2)2 + y2 + y+ 12

�

��

�

��

2

≤12

�

��

�

��

2

‹ (x, y) (�2,0)

§ (x+2)2 + y+ 12

�

��

�

��

2

≤14

94.a)

Representa uma circunferência de centro no pontode coordenadas (2, 0) e raio 2.

95.a)

5

-5

Eixoimaginário

Eixo real0

42C

Eixoimaginário

Eixo real0

b)

c)

d)

-1-2

Eixoimaginário

Eixo real0

-2 -112-

Eixoimaginário

Eixo real0

C –2, –12

�

��

�

��

Raio12


Aprende fazendo

Páginas 123 a 131

Atendendo a que :

i3 =�i

i6 = i2 =�1

cis�2

�

��

�

�= i

cis3�2

�

��

�

�=�i

O número complexo i6 =�1 não é um imaginário

puro, mas sim um número real.

Opção (B)

z = 3i18 + i27 = 3i2 + i3 =� 3 � i

z = � 3( )2+(�1)2 = 3+1 =2

Opção (B)

Se arg(z)=� �7

, então arg z( )=� ��7

�

��

�

�=

�7

.

Opção (A)

i i2 =�1 e (�1)2 = 1

i (�i)2 =�1 e 12 = 1

i (2+2i)2 =4+8i+4i2 =8i e

(2�2i)2 =4�8i+4i2 =�8i

i (�2+2i)2 =4�8i+4i2 =�8i e (2�2i)2 =�8i

logo, �2+2i e 2�2i são raízes quadradas do

mesmo número complexo.

Opção (D)

z+2 =3 define uma circunferência no plano

complexo de centro na imagem geométrica

de z1 =�2 e raio 3.

Opção (A)

Seja z =a+bi, com b �0. Então:z�1= (a+bi)�1= (a�1)+bi = (a�1)�bi

= (a�bi)�1= z �1

Opção (B)

z7 = (bi)7 =b7i7 =b7 �(�i)=�b7i

Como b <0, então �b7 >0, logo a imagem

geométrica de z7 encontra-se na parte positiva

do eixo imaginário.

Opção (B)

Seja z = x+ yii z� z =0

§ (x+ yi)�(x � yi)=0

§2yi =0

§ y =0

Condição que define o eixo real

i Re(z)=0

§Re(x+ yi)=0

§ x =0

i z =0

x+ yi =0

§ x2 + y2 =0

§ x2 + y2 =0

i z+ z =0

(x+ yi)+(x � yi)=0

§2x =0

§ x =0

Opção (A)

Seja w = x+ yi um número complexo não nulo.

w�w2

=(x+ yi)�(x� yi)

2=x2 + y2

2��+, logo

a imagem geométrica de w�w2

encontra-se

na parte positiva do eixo real.

Opção (A)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Seja z =� cis � com 0< �<�2

.

Então,2z =2� cis � e 0< �<�2

.

Opção (A)

Na opção (A): ii= i � i

1=0 Proposição falsa

Na opção (B) : ii= i

i1= i Proposição verdadeira

Na opção (C): arg(i)=0�2=0 Proposição falsa

Na opção (D) : i2 = i�1= i Proposição falsa

Opção (B)


Seja z =� cis �.

Então,2z =2� cis �.

Logo, arg(2z)=�.

Opção (D)

A região sombreada contém os pontos do plano

complexo que pertencem à interseção dos dois

círculos representados e cujo coeficiente da

parte imaginária é negativo ou nulo :

z ≤ 1 ‹ z�1 ≤ 1 ‹ Im(z)≤0

Opção (B)

•z

w=

a+bi1+ i

=(a+bi)(1� i)(1+ i)(1� i)

=a�ai+bi �bi2

12 � i2

=a+b+(�a+b)i

2=

a+b2

+b�a

2i

Assim,Rez

w

�

��

�

��=

a+b2

e Imz

w

�

��

�

��=

b�a2

.

• z�w = (a+bi)(1+ i)=a+ai+bi+bi2

= (a�b)+(a+b)i

Assim,Im(z�w)=a+b.

• z2 = (a+bi)2 =a2 +2abi+(bi)2 =a2 �b2 +2abi

Assim, Re(z2)=a2 �b2.

Opção (C)

w = 1cis�

wn +1

wn= (cis�)n +

1(cis�)n

= cis(n�)+1

cis(n�)

= cis(n�)+11

cis(�n�)

= cos(n�)+ i sen(n�)+cos(�n�)+ i sen(�n�)

= cos(n�)+ i sen(n�) +cos(n�)� i sen(n�)

=2cos(n�)

Opção (B)

12.

13.

14.

15.

Como w tem a sua imagem geométrica na parte

negativa do eixo imaginário, então w é do tipo

w =� cis ��2

�

��

�

�. Logo, as raízes cúbicas de w são os

valores wk tais que:

wk = �3 cis��2+2k�

3

�

�

��

�

�

, k 0, 1,2{ }

Se k =0, w0 = �3 cis ��6

�

��

�

�

Se k = 1, w1 = �3 cis�2

�

��

�

�

Se k =2, w2 = �3 cis7�6

�

��

�

�

Seja z =3+4i =5cis �, onde �� 1.°Q, já que a imagem

geométrica de z pertence ao 1.° Q.

Assim, as raízes quadradas de z são os valores zk

tais que zk = 5cis�+2k

2, k � 0, 1{ }

Assim:

Se k =0, z0 = 5cis�2

��

�

��

Se k = 1, z1 = 5cis�2+�

�

��

�

�

Assim, como � 1.°Q, temos que a imagem geomé-

trica de z0 pertence também ao 1.°Q e a de z1 ao 3.°Q.

Das opções apresentadas, a única que verifica estas

condições é a opção (A).

Opção (A)

z = 1�2i ; w =4+5i

z+w = (1�2i)+(4+5i)= (1+4)+(�2+5)i =5+3i

3z�2w =3(1�2i)�2(4+5i)=3�6i �8�10i =�5�16i

z�w = (1�2i)�(4+5i)=4+5i �8i �10i2 =4+10�3i

= 14�3i

zw

=1�2i4+5i

=(1�2i)(4�5i)(4+5i)(4�5i)

=4�5i �8i+10i2

42 �(5i)2

=4�13i �10

16+25=�6�13i

41=�

641

�1341

i

1z =

11�2i

=1+2i

(1�2i)(1+2i)=

1+2i12 �(2i)2

=1+2i1+4

=15+

25

i

16.

17.

18.

a)

b)

c)

d)

e)

Observe-se que a imagem geométrica de w1 perten-ce à parte positiva do eixo imaginário logo, dasopções apresentadas, apenas a opção (B) satisfazesta condição.Opção (B)


z2 �i

z= (1�2i)2 �

i1+2i

= 1�4i+4i2 �i(1�2i)

(1+2i)(1�2i)

= 1�4i �4�i �2i2

12 �(2i)2=�3�4i �

2+ i1+4

=�3�4i �25�

15

i =�175

�215

i

cis�6

�

��

�

��= cos

�6

�

��

�

��+ i sen

�6

�

��

�

��=

32

+12

i

2cis ��4

�

��

�

�= 2 cos �

�4

�

��

�

�+ i sen �

�4

�

��

�

�

�

��

�

�

= 22

2+ �

22

�

��

�

�i

�

��

�

�= 1� i

2cis5�3

�

��

�

��=2 cos

5�3

�

��

�

��+ i sen

5�3

�

��

�

��

�

��

�

��=2

12

32

i�

��

�

��

= 1 3i

4cis�2

�

��

�

��=4 cos

�2

�

��

�

��+ i sen

�2

�

��

�

��

�

��

�

��=4(0+ i)=4i

5cis (�)= 5(cos�+ i sen �)= 5(�1+0i)=� 5

16

cis7�2

�

��

�

��=

16

cos7�2

�

��

�

��+ i sen

7�2

�

��

�

��

�

��

�

��=

16

(0 i)=16

i

f)

19.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) cis (0)= cos 0+ i sen0= 1+0i = 1

i = cis�2

�

��

�

��

1= cis(0)

� 11 = 11cis(�)

�4i =4cis ��2

�

��

�

�

1� i = 2cis ��4

�

��

�

�

Cálculo auxiliar :

z = 12 +(�1)2

= 2

14+

14

i =2

4cis

�4

�

��

�

��

Cálculo auxiliar :

z = 14

�

��

�

��

2

+14

�

��

�

��

2

=1

16+

116

=2

16

=2

4

1� 3i =2cis ��3

�

��

�

�


• z = 12 + � 3( )2= 4 =2

• tg=� 3

1‹ �4.°Q

tg=� 3 ‹ �4.°Q

=��3

, por exemplo.

20.a)

b)

� 2 � 6i =2 2cis4�3

�

��

�

�


• z = � 2( )2+ � 6( )

2

= 8 =2 2

• tg�=� 6

� 2‹ ��3.°Q

tg�= 3 ‹ ��3.°Q

�=�3+� =

4�3

, por exemplo.

c)

d)

e)

f)

g)

h)

π2

1

Eixoimaginário

Eixo real0

1

Eixoimaginário

Eixo real0

π

11-√

Eixoimaginário

Eixo real0

-4

π2-

Eixoimaginário

Eixo real0

π4--1

1

Eixoimaginário

Eixo real0

π4

14

14

Eixoimaginário

Eixo real0

1

3√

Eixoimaginário

Eixo real0 π3

-

-

6

2-

-

√

√

Eixoimaginário

Eixo real0

π34


� 3 + i =2cis5�6

�

��

�

�


• z = � 3( )2+12 = 4 =2

• tg�=1

� 3‹ ��2.°Q

tg�=�3

3‹ ��2.°Q

�=5�6

, por exemplo.

z =3cis 7

�

��

z =3cis � 7

�

��

�z =3cis + 7

�

��=3cis

8 7

�

��

1z =

13

cis � 7

�

��

z = 2cis ��3

�

��

�

�

z = 2cis�3

�

��

�

�

�z = 2cis ��3+�

�

��

�

�= 2cis

2�3

�

��

�

�

1z =

1

2cis

�3

�

��

�

�

z =3i =3cis 2

�

��

z =3cis � 2

�

��

�z =3cis 2+

�

��=3cis

3 2

�

��

1z =

13

cis � 2

�

��

z = (�1� i)2 = 1+2i+ i2 =2i =2cis�2

�

��

�

�

z =2cis ��2

�

��

�

�

�z =2cis�2+�

�

��

�

�=2cis

3�2

�

��

�

�

1z=

12

cis ��2

�

��

�

�

z1 + i23 +52� i

=2cis

�4

�

��

�

�+ i3 +5

2� i=

(1+ i)� i+52� i

=6(2+ i)

(2� i)(2+ i)=

12+6i22 � i2

=12+6i

5=

125+

65

i

z1 � z2 = 2cis�4

�

��

�

�

�

��

�

�� 2cis

5�6

�

��

�

�

�

��

�

�=2 2cis

�4+

5�6

�

��

�

�

=2 2cis13�12

�

��

�

�


z2 = 3 + i =2cis5�6

�

��

�

�

• z2 = 3( )2+12 = 4 =2

• tg�=1

3‹ ��2.°Q

tg�=3

3‹ ��2.°Q

�=5�6

, por exemplo.

w =�1= 1cis ()As raízes cúbicas de w são os valores de wk tais que :

wk = 13 cis+2k

3

�

��

�

�, k 0, 1,2{ }

§wk = cis3+

2k3

�

��

�

�, k 0, 1,2{ }

Se k =0, w0 = cis3

�

��

�

�

Se k = 1, w1 = cis33

�

��

�

�= cis ()

Se k =2, w2 = cis53

�

��

�

�

z2 �4z+5=0

§ z =4± �4( )2

�4�1�5

2�1

§ z = 4± �42

§ z = 4+2i2

› z = 4�2i2

§ z =2+ i › z =2� i

C.S.= 2+ i,2� i{ }

i)

21.a)

b)

c)

d)

22.a)

b)

23.

24.a)

1

- 3√

Eixoimaginário

Eixo real0

π65

-

1

3√

Eixoimaginário

Eixo real0

π65


z6 +64 =0§ z6 =�64As soluções desta equação são as raízes índice6 do número complexo –64=64cis (�),ou seja, os valores zk tais que :

zk = 646 cis�+2k�

6

�

��

�

�, k 0, 1,2,3,4,5{ }

§ zk =2cis�6+

k�3

�

��

�

�, k 0, 1,2,3,4,5{ }

Assim:

Se k =0, z0 =2cis�6

�

��

�

�

Se k = 1, z1 =2cis3�6

�

��

�

�=2cis

�2

�

��

�

�

Se k =2, z2 =2cis5�6

�

��

�

�

Se k =3, z3 =2cis7�6

�

��

�

�

Se k =4, z4 =2cis9�6

�

��

�

�=2cis

3�2

�

��

�

�

Se k =5, z5 =2cis11�

6

�

��

�

�

C.S.= 2cis�6

�

��

�

�

�

,2cis�2

�

��

�

�,2cis

5�6

�

��

�

�,

2cis7�6

�

��

�

�,2cis

3�2

�

��

�

�,2cis

11�6

�

��

�

��

z3 +2z =0

§ z(z2 +2)=0

§ z =0 › z2 =�2§ z =0 › z = 2i › z =� 2i

Observa-se que, as soluções da equação z2 =�2

são as raízes quadradas do número complexo

�2=2cis (�), ou seja, 2i e � 2i.

C.S.= 0, 2i,� 2i{ }

b)

c)

z =12�

32

i = 1cis ��3

�

��

�

�


• z =12

�

��

�

�

2

+ �3

2

�

��

�

�

2

=14+

34= 1 = 1

• tg=�

32

12

‹ �4.°Q

tg=� 3 ‹ �4.°Q

=��3

, por exemplo.

Se z = 1cis ��3

�

��

�

� é uma raiz cúbica de w, então as

restantes serão :

z1 = 1cis ��3+

2�3

�

��

�

�= cis

�3

�

��

�

�e

z2 = 1cis ��3+2�

2�3

�

��

�

�= cis

3�3

�

��

�

�= cis(�)

Como z é uma raíz cúbica de w, então z3 =w.

Assim, w = cis ��3

�

��

�

�

�

��

�

�

3

= cis �3�3

�

��

�

�= cis(��)=�1

z�2 ≥ 1 ‹ z�2 ≤2§ 1≤ z�2 ≤2

z�(�3+ i) ≤ z�(2�2i)

§ z+3� i ≤ z�2+2i

z ≤2

z�2i = z�2

arg(z)= �3

Im(z)=2

25.a)

b)

b)

27.a)

b)

c)

d)

26.a)

-2

-2

2

2

Eixoimaginário

Eixo real0

2

2A

B

Eixoimaginário

Eixo real0

π3

Eixoimaginário

Eixo real

2

Eixoimaginário

Eixo real0

--

32√

12

Eixoimaginário

Eixo real0 π3


w =i

5�10i=

i(5+10i)(5�10i)(5+10i)

=5i+10i2

52 �(10i)2

=�10+5i25+100

=�10

125+

5125

i

=�2

25+

125

i

Re(w)=�2

25e Im(w)=

125

b)

Seja z1 = i3 z.

i3z = i3 �2+12i1�3i

=�i� �175+

95

i�

��

�

� (pelos cálculos efetuados

na alínea a))

=175

i �95

i2

=95+

175

i

Re i3z( )= 95

e Im i3z( )= 175

z = 3 � 3i = 6cis ��4

�

��

�

�


• z = 3( )2+ � 3( )

2= 3+3 = 6

• tg=� 3

3‹ �4.°Q

tg=�1 ‹ �4.°Q

=��4

, por exemplo.

w =�3

2�

12

i = cis7�6

�

��

�

�


• w =� 3

2

�

��

�

�

2

+ �12

�

��

�

�

2

=34+

14=

44= 1

• tg =�

12

�3

2

‹ �3.°Q

tg =1

3‹ �3.°Q

=�6+�

=7�6

, por exemplo.

z�w = 6cis ��4

�

��

�

��cis

7�6

�

��

�

�

= 6cis ��4+

7�6

�

��

�

�

= 6cis11�12

�

��

�

�

zw

=6cis �

�4

�

��

�

�

cis7�6

�

��

�

�

= 6cis ��4�

7�6

�

��

�

�

= 6cis �17�12

�

��

�

�

z�1 =1z =

1

6cis ��4

�

��

�

�

=1

6cis

�4

�

��

�

�

=6

6cis

�4

�

��

�

�

z4 +1= 6cis ��4

�

��

�

�

�

��

�

�

4

+1= 6( )4

cis �4�4

�

��

�

�+1

=36cis(��)+1=�36+1=�35=35cis(�)

wi15

=cis �

76

�

��

�

�

cis �2

�

��

�

�

= cis �76

+2

�

��

�

�= cis �

46

�

��

�

�

= cis �23

�

��

�

�

Cálculo auxiliar :

i15 = i3 =�i

= cis �2

�

��

�

�

c)

29.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

z = 2+12i1�3i

=(2+12i)(1+3i)(1�3i)(1+3i)

=2+6i+12i+36i2

12 �(3i)2

=2+18i �36

1+9

=�3410

+1810

i =�175+

95

i

Re(z)=�175

e Im(z)= 95

28.a)

3√

π4

-

3√

-

Eixoimaginário

Eixo real0

2

2

3

1

7√-

-

Eixoimaginário

Eixo real0

π6


z1 =�2 3 �2i =4cis7�6

�

��

�

�


• z1 = �2 3( )2

+(�2)2 = 12+4 = 16 =4

• tg�=�2

�2 3‹ �3.°Q

tg�=3

3‹ �3.°Q

�=7�6

, por exemplo.

Assim:

(z1)3 = 4cis7�6

�

��

�

�

�

��

�

�

3

=43cis 37�6

�

��

�

�=64cis

7�2

�

��

�

�

z2 =1� i1+ i

=(1� i)(1� i)(1+ i)(1� i)

=1�2i+ i2

12 � i2=�2i2

=�i

= cis ��2

�

��

�

�

As raízes quadradas de z2 = cis ��2

�

��

�

� são os valores

zk tais que:

zk = 1cis��2+2k�

2

�

�

��

�

�

, k 0, 1{ }

§ zk = cis ��4+k�

�

��

�

�, k 0, 1{ }

Se k =0, z0 = cis ��4

�

��

�

�= cos �

�4

�

��

�

�+ i sen �

�4

�

��

�

�=

22

�2

2i

Se k = 1, z1 = cis3�4

�

��

�

�= cos

3�4

�

��

�

�+ i sen

3�4

�

��

�

�

=�2

2+

22

i

Raízes quadradas de z2 :2

2�

22

i e �2

2+

22

i

30.a)

b)

z1

z3

=4cis

7�6

�

�

��

cis�2+�

�

�

��

=4cis7�6

�2�

�

�

��

Paraz1

z3

ser um imaginário puro terá que :

§� =�6+k�, k �

§� =�6+k�, k �

w = 1+ i = 2cis�4

�

�

��

As raízes índice 4 de w = 2cis�4

�

�

�� são os valores

wk tais que:

wk = 24 cis

�4+2k�

4

�

�

�

��, k � 0, 1,2,3{ }

§wk = 28 cis�

16+

k�2

�

�

��, k � 0, 1,2,3{ }

Assim:

Se k =0, z0 = 28 cis�

16

�

�

��

Se k = 1, z1 = 28 cis9�16

�

�

��

Se k =2, z2 = 28 cis17�16

�

�

��

Se k =3, z3 = 28 cis25�16

�

�

��

z� iz =0

§ z2 � i =0 ‹ z �0 i = cis�2

�

��

�

�

§ z2 = i

As soluções desta equação são as raízes quadradas

do número complexo i, isto é, os valores de zk que

satisfazem:

zk = 1cis

�2+2k�

2

�

�

��

�

�

, k 0, 1{ }

§ zk = cis�4+k�

�

��

�

�, k 0, 1{ }

Se k =0, z0 = cis�4

�

��

�

�

Se k = 1, z1 = cis5�4

�

��

�

�

C.S.= cis�4

�

��

�

�, cis

5�4

�

��

�

�

� �

��

c)

31.

32.a)

-2

3√-2

Eixoimaginário

Eixo real0

argz1

z3

�

�

��=

�2+k�, k �

Assim:7�6

�2� =

�2+k�, k �

1

1

Eixoimaginário

Eixo real04π


z3 = zSendo z =� cis �

(� cis �)3 =� cis(��)§�3cis(3�)=� cis(��)

� �

§�3 =�3�=��+2k�, k ��

§�3 ��=04�=2k�, k ��

§

�(�2 �1)=0

�=2k�

4, k ��

��

��

§

�=0

�=k�2

,k ��

��

��›

�= 1

�=k�2

,k ��

��

��

z=0é uma das soluções� ��

d)

Atribuindo a k os valores 0, 1, 2 e 3 obtemos as

restantes soluções:

Se k =0, z0 = cis (0)= 1

Se k = 1, z1 = cis�2

�

��

�

��= i

Se k =2, z2 = cis (�)=1

Se k =3, z3 = cis3�2

�

��

�

��=i

C.S.= 0, 1, i,1, i{ }

Seja z =4 3 +4i


• z = 4 3( )2

+42 = 64 =8

• tg�=4

4 3‹ �� 1.°Q

§ tg�=3

3‹ �� 1.°Q

�=�6

, por exemplo.

As raízes quartas do número complexo z =8cis�6

�

��

�

��

são os valores zk tais que:

zk = 84 cis

�6+2k�

4

�

�

��

�

�

��, k � 0, 1,2,3{ }

§ zk = 84 cis�

24+

k�2

�

��

�

��, k � 0, 1,2,3{ }

Se k =0, z0 = 84 cis�

24

�

��

�

��

Se k = 1, z1 = 84 cis13�24

�

��

�

��

Se k =2, z2 = 84 cis25�24

�

��

�

��

Se k =3, z3 = 84 cis37�24

�

��

�

��

33.a)

z3 + 1+ 3i( )z =0

§ z z2 +1+ 3i( )=0§ z =0 › z2 =�1� 3i


w =�1� 3i =2cis4�3

�

��

�

• w = �1( )2+ � 3( )2

= 1+3 =2

• tg=�3

�1‹ �3.°Q

tg= 3 ‹ �3.°Q

=4�3

, por exemplo.

As soluções da equação z2 =�1� 3i são as raízes

quadradas do número complexo 2cis4�3

�

��

�

, isto é,

os números complexos zk tais que :

zk = 2cis

4�3

+2k�

2

�

�

��

�

, k 0, 1{ }

§ zk = 2cis2�3

+k��

��

�

, k 0, 1{ }

Se k =0, z0 = 2cis2�3

�

��

�

Se k = 1, z1 = 2cis5�3

�

��

�

C.S.= 0, 2cis2�3

�

��

�

, 2cis

5�3

�

��

�

��

��

z3 � iz2 � z+ i =0

§ (z� i)(z2 �1)=0

§ z = i › z2 = 1

§ z = i › z = 1 › z =�1

C.S.= i,�1, 1{ }

b)

c)

μ 1 –i –1 i

i i 0 –i

1 0 –1 0 = r

Cálculo auxiliar:

-1

3√-

Eixoimaginário

Eixo real0

4π3

4

4 3√

Eixoimaginário

Eixo real0


Se A� AOB�� = 12, então

AB�42

= 12§ AB =6.

Assim: A �4,3( ) e B �4,�3( ), logo z =�4+3i.

z1 = 16cis3�4

�

��

�

��

Se z1 é solução da equação, então verificai z1 =z1 :

i 16cis3�4

�

��

�

��=16cis

3�4

�

��

�

��

1cis �2

�

��

�

�� 16cis

3�4

�

��

�

��= 16cis �( ) cis

3�4

�

��

�

��

16cis �2+

3�4

�

��

�

��= 16cis �

3�4

�

��

�

��

16cis�4

�

��

�

��= 16cis

�4

�

��

�

�� P.V.

As raízes quartas de z1 = 16cis3�4

�

��

�

�� são os valores

zk , tais que :

zk = 164 cis

3�4

+2k�

4

�

�

��

�

�

��, k � 0, 1,2,3{ }

§ zk =2cis3�16

+k�2

�

��

�

��, k � 0,1,2,3{ }

As imagens geométricas destas 4 raízes quartas

(A, B,C e D) são vértices de um quadrado de diagonal 4.

Assim, sendo l o lado do quadrado, vem que :

l2 + l 2=42

§2l 2= 16

§ l 2=8

Logo, A ABCD�� =8.

A é a imagem geométrica de z =2cis3�16

�

��

�

��.

O círculo representado tem centro O e raio 2, visto que

z =2. Sendo o hexágono regular e centrado na origem,então os seis vértices são imagens geométricas dasraízes índice 6 de um certo número complexo e os

seus argumentos diferem de 2 6

= 3

.

Assim, uma condição que defina o conjunto de pontosa sombreado é :

z ≤2 ‹ 5≤ arg(z)≤ 13

15

Cálculo auxiliar :

�5+2�

�3=

13�15

Cálculo do raio da circunferência :

r2 =22 +22

§ r2 =8

§ r2 = 8, r >0

§ r =2 2

z >2 2 ‹ z�2 = z�2i

z =�zSeja z = x+ yi. Então, x� yi =�(x+ yi)§ x� yi =�x� yi§2x =0§ x =0 Condição que define todo o eixo

imaginário

z ≤3 ‹ Im(z)≤0 ‹ Re(z)≤0

Re(z) ≤2 ‹ Im(z) ≤2 ‹ z > 1

§�2≤Re(z)≤2 ‹ �2≤ Im(z)≤2 ‹ z > 1

�4≤ arg(z)≤ �

2› Im(z)≤0

�

��

��‹ z ≥2

z =�4+ yi

34.a)

b)

35.a)

b)

36.a)

b)

c)

-4

A

B

Eixoimaginário

Eixo real0

b2)

b1)

A

C

D

BEixoimaginário

Eixo real02

2

22

Eixoimaginário

Eixo real0

-3

-3

3

3

Eixoimaginário

Eixo real0

-1-2

-1

-2

1 2

1

2

Eixoimaginário

Eixo real0

-2

-2

24

2

π

Eixoimaginário

Eixo real0

d)


1+ 2+ i

1+ 2 � i=

1+ 2+ i( ) 1+ 2+ i( )1+ 2 � i( ) 1+ 2+ i( )

=1+ 2+ i( )

2

1+ 2( )2� i2

=1+ 2( )

2+2 1+ 2( )i+ i2

1+ 2( )2+1

=1+2 2+2�1+ 2+2 2( )i

1+2 2+2+1

=2 2+2( ) 1+ i( )

2 2+4=

2 2+2( ) 2 2 �4( )2 2+4( ) 2 2 �4( )

(1+ i)

=4 4 �8 2+4 2 �8

2 2( )2�42

(1+ i)=�4 2

4�2�16(1+ i)=

�4 2�8

(1+ i)

=2

2(1+ i)=

22

+2

2i = cos

�4

�

��

�

�+ i sen

�4

�

��

�

�= cis

�4

�

��

�

�

cos �� i sen�sen�+ i cos �

�

��

�

9

•Representação de cos �� i sen� na forma

trigonométrica:

cos �� i sen�= cos(��)+ i sen(��)= cis(��)

•Representação de sen�+ i cos � na forma

trigonométrica:

sen�+ i cos�= cos2��

�

��

�

+ i sen

2��

�

��

�

= cis2��

�

��

�

Assim:cos�� i sen�sen�+ i cos�

�

��

�

9

=cis(��)

cis�2��

�

��

�

�

�

��

�

9

= cis ��2+�

�

��

�

�

��

�

9

= cis ��2

�

��

�

�

��

�

9

= cis �9�2

�

��

�

= cos �9�2

�

��

�

+ i sen �

9�2

�

��

�

=0+ i(�1)=�i

39.

40.a)

w =�1+ i

i21=�1+ i

i=

(�1+ i)�(�i)i�(�i)

=i � i2

�i2

=1+ i

1= 1+ i = 2cis

�4

�

��

�

•w � z1 pois arg(w)=�4+2k�, k �� e um

argumento de z1 é �5

.

•w � z2, pois w = 2 e z2 =2.

Seja z2 =2cis � e z1 =� cis�5

�

��

�

.

z1 z2 = (2cis �) � cis�5

�

��

�

�

��

�

=2� cis �+

�5

�

��

�

Para que z1 z2 seja um imaginário puro, tem queacontecer : arg(z1 z2)=

�2+k�, k ��

Assim:

�+�5=�2+k�, k ��

§ �=�2��5+k�, k ��

§ �=3�10

+k�, k ��

Seja z = 12 �2i.


• z = 12( )2+ �2( )2

= 16 =4

• tg�=�2

12‹ ��4.°Q

§ tg�=�2

2 3‹ ��4.°Q

§ tg�=�3

3‹ ��4.°Q

§ �=��6

, por exemplo.

z =4cis ��6

�

��

�

�

zn = 4cis ��6

�

��

�

�

�

��

�

�

n

=4ncis �n�6

�

��

�

�

Para zn ser um número real positivo, então

arg(zn)=2k�, k ��, ou seja:

�n�6=2k�, k ��

§�n� = 12k�, k ��§n=�12k, k ��Se k =0, n=0�Se k = 1, n=�12�Se k =�1, n= 12, 12 é o menor número natural

tal que zn é um número real positivo.37.a)

b)

38.

z�3i ≥ z�2 ‹ z�2� i ≤2

A(0,3)

B(2,0)

C(2, 1)

M 1,32

�

��

��

A

B

C

2

1

3

Eixoimaginário

Eixo real0

12

-2

√

Eixoimaginário

Eixo real0 π6-

e)


22

+2

2i

�

��

�

��

2013

�2

2+

22

i�

��

�

��

2014

Cálculo auxiliar :

22

+2

2i = cis

�4

�

��

��

= cis�4

�

��

��

�

��

��

2013

cis�4

�

��

��

�

��

��

2014

= cis2013�

4

�

��

��cis

2014�4

�

��

��

cos5�4

�

��

��+ i sen

5�4

�

��

��cis

3�2

�

��

��

=2

2

22

i (i)

=2

2+

22

+1�

��

��i

Sendo P1 o ponto de coordenadas (0,2), o número

complexo do qual P1 é imagem geométrica é

z1 =2 i =2cis�2

�

��

��.

As restantes raízes cúbicas são :

z2 =2cis�2+

2�3

�

��

��=2cis

7�6

�

��

��=2

32

12

i�

��

��= 3 i

z3 =2cis7�6

+2�3

�

��

��=2cis

11�6

�

��

��=2

32

12

i�

��

��= 3 i

e Im(z2)= Im(z3)=1

Assim, uma condição que defina o domínio plano é :

z ≤2 ‹ Im(z)≤ 1

O lado do quadrado é 2, logo o raio é2

2.

z ≥ 22

‹ ��4≤ arg(z+1)≤

�4

‹

‹3�4≤ arg(z�1)≤

5�4

w4 +2i15

=

2cis�3

�

��

�

��

�

��

�

��

4

+2

i3=

2( )4

cis4�3

�

��

�

��+2

i

=

4 cos4�3

�

��

�

��+ i sen

4�3

�

��

�

��

�

��

�

��+2

i=

4 12

32

i�

��

�

��

i

=22 3i+2

i=2 3i ii i

=2 3i2

i2=+2 3

1

=2 3

2 3 é um número real c.q.d.

Seja z =�1+ i = 2cis3�4

�

��

�

�.


• z = (�1)2 +12 = 2

• tg=1�1

‹ �2.°Q

§ tg=�1 ‹ �2.°Q

=3�4

, por exemplo.

Como z = 2, 2 é o raio da circunferência

representada.

As raízes cúbicas de w = 2cis�3

�

��

�

� são os valores

zk tais que :

wk = 23 cis

�3+2k�

3

�

�

��

�

�

, k � 0, 1,2{ }

Se k =0, w0 = 26 cis�9

�

��

�

�

Assim, arg(w0)=�9

.

Logo, uma condição em � que defina a região

assinalada é :

z ≤ 2 ‹�9≤ arg(z)≤

3�4

i11 � z3 = z2 � z1( )2


z1 = 1+ 3i

• z1 = 12 + 3( )2

= 4 =2

• tg�= 3 ‹ �� 1.°Q

�=�3

, por exemplo.

z1 =2cis�3

�

��

�

��

z1 =2cis ��3

�

��

�

��

i3 � z3 = 2cis�6

�

��

�

��

�

��

�

�� 2cis �

�3

�

��

�

��

�

��

�

��

��

�

��

2

§� i� z3 = 4cis�6��3

�

��

�

��

�

��

�

��

2

§� i� z3 = 4cis ��6

�

��

�

��

�

��

�

��

2

§ z3 =16cis �

2�6

�

��

�

��

�i� �

b)

41.a)

b)

42.a)

b)

43.a)


Im z� z( )> z� z ‹ z� z =4

Seja z = x+ yi :

Im (x+ yi)�(x� yi)( )> (x+ yi)�(x� yi) ‹

‹ (x+ yi)�(x� yi) =4

§ Im(2yi)> x2 �(yi)2 ‹ 2yi =4

§2y > x2 + y2 ‹ (2y =4 › 2y =�4)

§ x2 + y2 �2y <0 ‹ (y =2 › y =�2)

§ x2 + y2 �2y+1< 1 ‹ (y =2 › y =�2)

§ x2 +(y�1)2 < 1 ‹ (y =2 › y =�2)

Não existe nenhum ponto do plano complexo

que satisfaça a condição pretendida.

b)

z1

z2

�

��

�

��

2n

=2cis

�3

�

��

�

��

2cis�6

�

��

�

��

�

�

��

�

�

��

2n

=22

cis�3��6

�

��

�

�

�

��

�

�

2n

=22

cis�3��6

�

��

�

�

�

��

�

�

2n

= cis�6�2n

�

��

�

��= cis

�3

n�

��

�

��

Para que z1

z2

�

��

�

��

2n

seja um número real positivo, então

argz1

z2

�

��

�

��

2n�

�

��

�

�

��=2k�, k ��, ou seja, �

3n=2k�, k ��

§n=6k, k ��.

Para k = 1, n=6 é o menor valor natural de n que

verifica o pretendido.

b)

a�3=b�4

(a�3)2 +(b�4)2 =25�2

��

��§

a =b�1

(b�4)2 +(b�4)2 =50

��

§a =b�1

2(b�4)2 =50

��

§______

(b�4)2 =25

��

§a =b�1

b�4 =5

��

›a =b�1

b�4 =�5

��

§a =a =9�1

b =9

��

›a =�1�1

b =�1

��

§a =8

b =9

��

›a =�2

b =�1

��

Assim, z3 =8+9i › z3 =�2� i.

zi<3 ‹ arg(z)= k�

2,k ��

§zi<3 ‹ arg(z)= k�

2,k ��

z <3 ‹ arg(z)= k�2

,k ��

Se k =0, arg(z)=0

Se k = 1, arg(z)= �2

Se k =2, arg(z)= �

Se k =3, arg(z)= 3�2

w =a+bi+ 1�4i+(2i)2( )=a+bi+1�4i �4

= (a�3)+(b�4) i

Como a imagem geométrica de w pertence àbissetriz dos quadrantes ímpares Re(w)= Im(w),ou seja, a�3=b�4.

Como w =5 2 tem-se que (a�3)2 +(b�4)2 =5 2.

c)

44.a)

As soluções da equação são as raízes cúbicas do

número complexo 16cis�6

�

��

�

��, isto é, os números

complexos zk tais que:

zk = 163 cis

�6+2k�

3

�

�

��

�

�

��, k 0, 1,2{ }

§ zk = 163 cis�

18+

2k�3

�

��

�

��, k 0, 1,2{ }

Se k =0, z0 = 163 cis�

18

�

��

�

��

Se k = 1, z1 = 163 cis13�18

�

��

�

��

Se k =2, z2 = 163 cis25�18

�

��

�

��

C.S.= 163 cis�

18

�

��

�

��, 163 cis

13�18

�

��

�

��, 163 cis

25�18

�

��

�

��

��

��

§ z3 =16cis �

�3

�

��

�

cis ��2

�

��

�

§ z3 = 16cis ��3+�2

�

��

�

§ z3 = 16cis�6

�

��

�

-3

-3

3

3

Eixoimaginário

Eixo real0

2

–2

1

Eixoimaginário

Eixo real0


0≤ arg(z�2�3i)≤�4

‹ Re(z)≤6�

��

�

› ��3≤ arg(z)≤0 ‹ Im(z)≥ �3 ‹ Re(z)≤6

�

��

�

�3≤ arg(z+3i)≤

2�3

‹ z ≤ z�6i�

��

�›

› �2�3≤ arg(z�3i)≤ �

�3

‹ z ≤ z+6i�

��

�

-3

26

3 4π

3π-

Eixoimaginário

Eixo real

P

0

c)

d)

A(0, –3)B(0, 3)C(0, 6)D(0, –6)

A

B

-3

-6

3

6Eixoimaginário

Eixo real0

- 2π3

- π3

2π3

π3

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Resolução do manual 12 asa (Matemática)