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FUNÇÃO MODULAR
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Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II
RESUMO FUNÇÃO MODULAR Matemática
Professor Cristiano Marcell
Módulo
Definição: Seja x um número Real. Definimos o módulo de x e representamos por | x |, como sendo:
0;
0;
xsex
xsexx
Exemplos:
a) | -2 | = - (-2) = 2
b) | 4 | = 4
c) | 0 | = 0
Dado um número real x, tem-se sempre que 𝑥2 = 𝑥 .
Exemplos:
a) 339)3( 2
b) 2222
Considere π = 3,1415..
c) 2 − 𝜋 2 = 2 – π (isto é uma proposição falsa)
2 − 𝜋 2 = 2 – π = π − 2, pois π é maior que 2.
Equações e inequações modulares
Definição: São equações e inequações que apresentam
variável em módulos de boa parte delas são resolvidas,
utilizando as seguintes propriedades:
a) | x | 0, ∀ x R
b) | x | = 0 ↔ x = 0
c) Se k > 0, | x | = k ↔ x = - k ou x = k
d) Se k > 0, | x | k ↔ - k x k
e) Se k > 0, | x | k ↔ x - k ou x k
f) | x | = | y | ↔ x = y ou x = -y
Exemplo 1
|x + 3| = 5
Condições:
x + 3 = 5 ou x + 3 = – 5
Resolução:
x + 3 = 5 → x = 5 – 3 → x = 2 x + 3 = – 5 → x = – 5 – 3 → x = – 8
S = {– 8; 2}
Exemplo 2
|8x – 16| = 2x + 2
Condições:
|8x – 16| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se 2x + 2
≥ 0, 2x ≥ –2, x ≥ –1
|8x – 16| = 2x + 2
8x – 16 = 2x + 2 ou 8x – 16 = – (2x + 2)
Resolução:
8x – 16 = 2x + 2 → 8x – 2x = 2 + 16 → 6x = 18 → x =
18/6 → x = 3
8x – 16 = – (2x + 2) → 8x – 16 = – 2x – 2 → 8x + 2x = – 2
+ 16 → 10x = 14 → x = 7/5 → x = 1,4
Verifique que x = 3 e x = 1,4, satisfazem a condição x ≥ –
1, portanto o conjunto solução é {1,4; 3}
Exemplo 3
|x + 1| = |x – 3|
x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (Não é
possível)
x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1
Solução: {1}
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Exemplo 4
|x² – 5x + 6| = 2
x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0
(Bháskara: possui duas raízes reais)
x’ = 1 e x” = 4
x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais)
Solução: {1,4}
Função Modular
Definição: uma função de R em R recebe o nome de
Função Modular, quando se associa a cada x R, o
elemento | x | R, Isto é:
f = R→R
x → | x |
O gráfico da Função Modular é constituído pela união
de duas semirretas, como mostra a figura:
Vejamos:
f(x) =
0;
0;
xsex
xsexx
Vamos construir o gráfico de f(x) = 𝑥2 − 1 − 2
Primeiro faremos o gráfico de y = x2 – 1.
Agora, esboçaremos f(x) = 𝑥2 − 1
Após...𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 − 2