34
Conceito de SPIN Experimento Stern-Gerlach Aplica¸c˜oes SPIN: Conceito e Aplica¸ c˜oes Antonio Carlos da Silva Senra Filho FFCLRP - USP Ribeir˜ ao Preto 8 de maio de 2011 Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplica¸c˜ oes

Spin: Conceitos e Aplicações

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Seminário sobre conceitos e aplicações do estado da matéria: Spin. Seminário apresentado na disciplina de Física Moderna II ministrada para o curso de Física Médico da USP campus de Ribeirão Preto.

Citation preview

Page 1: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

SPIN: Conceito e Aplicacoes

Antonio Carlos da Silva Senra Filho

FFCLRP - USP Ribeirao Preto

8 de maio de 2011

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 2: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

1 Conceito de SPINAvaliacao historicaDefinicoes da grandeza

2 Experimento Stern-GerlachApareto e teoriaImpacto

3 AplicacoesComputacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 3: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Na mecanica quantica e fısica de partıculas , spin e umacaracterıstica fundamental da propriedade partıculaselementaresTodas as partıculas elementares de uma dada especie tem umdado spin, numero quantico. Quando combinado com oteorema spin-estatıstica , o spin de eletrons resulta doprincıpio de exclusao de Pauli.Spin e mais um grau de liberdade de um sistema quantico.

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 4: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Wolfgang Pauli foi o primeiro a propor o conceito de spin,mas ele nao revelou o nome dele. Em 1925, Ralph Kronig ,George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit sugeriu umainterpretacao fısica de partıculas girando em torno de seuproprio eixo. A teoria matematica foi trabalhado emprofundidade por Pauli em 1927. Quando Paul Dirac naorigem do seu mecanica quantica relativıstica em 1928, o spindo eletron era uma parte essencial dela.

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 5: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Spin e um tipo de momento angular.Esta definicao moderna do momento angular e nao o mesmoque o historico mecanica classica, por definicao:

L = r × p (1)

Escrito como um multiplo da constante reduzida de Planck }Em unidades naturais , o } e omitido, assim as unidades despin estao implıcitas. (spin 1/2, 3/2, 2, . . .)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 6: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Como o nome sugere, spin foi originalmente concebido como arotacao de uma partıcula em torno de algum eixo.Por outro lado, tem algumas propriedades peculiares que osdistinguem dos momentos angulares:

numeros quanticos spin podem assumir valoressemi-inteiros ou inteiros (quantizacao);

Embora a direcao de sua rotacao pode ser alterado, umapartıcula elementar nao pode girar mais rapido ou maislento.

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 7: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Estudos teoricos e experimentais tem mostrado que o spinpossuıdo por tais partıculas (elementares) nao pode serexplicado pela premissa de que elas sao constituıdas depequenas partıculas que ainda giram em torno de um centrode massa comum (veja raio classico do eletron).O spin de uma partıcula elementar e uma propriedade fısicaintrınseca, na verdade, parecido com a partıcula de cargaeletrica e massa de repouso .[4]

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 8: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Numero quantico spin s e s = n / 2, onde n pode ser qualquernumero nao negativo inteiro.O valor de s para uma partıcula elementar depende apenas dotipo de partıcula, e nao pode ser alterado.S de qualquer sistema fısico e quantizada,

S = }√

s(s + 1) (2)

Sz = mz} (3)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 9: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

O spin de uma partıcula tem consequencias cruciais para suaspropriedades na mecanica estatıstica . Partıculas com spinmeio inteiro obedecem a estatıstica de Fermi-Dirac, e saoconhecidos como fermions.Toda a materia conhecida e basicamente composta departıculas elementares chamadas fermions , e todos osfermions elementares que s = 1 / 2 . Exemplos de fermionssao os eletrons e positrons.[1]

ns =1

e(ε−εF )/kT + 1(4)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 10: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Eles sao obrigados a ocupar os estados quanticosantisimetrico. Esta propriedade proıbe fermions a certosestados quanticos - uma restricao conhecida como o princıpiode exclusao de Pauli [1]

ψA =1

2

[ψα(1)ψα(2)− ψα(2)ψα(1)

](5)

ψt = ψe .ψspin = ψn,l ,ml .ϕ±1/2 (6)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 11: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

O momento magnetico intrınseco µ de uma partıculaelementar com carga q , massa m e momento angular de spinS , e

µ = gq

2mS (7)

onde a quantidade adimensional g e chamado de fator-g.

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 12: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Na mecanica classica, o momento angular de uma partıculapossui nao so uma magnitude (o quao rapido o corpo esta emrotacao), mas tambem uma direcao (para cima ou para baixono eixo de rotacao da partıcula). Spin mecanico tambemcontem informacoes sobre a direcao, mas de uma forma maissutil

sz = −s,−s + 1, . . . , s − 1, s (8)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 13: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Interacao Spin-OrbitaDuplica o numero de eletrons por orbita (princıpio deexclusao).O campo magnetico interno e consequencia do momentoangular orbital do eletron. Trata-se de uma interacao fracaque da origem a estrutura fina dos estados excitados

∆E = −µSB (9)

∆E =1

2

gSµb

}S.B, µS =

gSµb

}S (10)

∆E =1

2m2c2

1

r

dV (r)

drS.L (11)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 14: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Momento Angular TotalSe nao existisse interacao spin-orbita, os momentos angularesorbital e de spin, L e S de um eletron atomico seriamindependentes um do outro e entao obedeceriamindependentemente a lei de conservacao de momento angularda mecanica quantica. Estaria no espaco livre -movimentariam de forma aleatoria.

J = L + S

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 15: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 16: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Para um dado estado quantico , pode-se pensar em um vetorde spin 〈S〉 as componentes sao valores esperados ao longo decada eixo de rotacao, ou seja

〈S〉 =[〈sx〉, 〈sy〉, 〈sz〉

](12)

Este vetor, entao descreveria a ”direcao” em que o spin estaapontando, o que corresponde ao conceito classico do eixo derotacaoOperadores na mecanica quantica

Sx =}2σx , Sy =

}2σy , Sz =

}2σz (13)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 17: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Matrizes de Pauli (spin 1/2)[2]

σx =(0 1

1 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)(14)

Como um conceito qualitativo, o vetor de spin efrequentemente util porque e facil para a imagem classica. Porexemplo, a mecanica quantica de spin podem apresentarfenomenos analogos aos classicos efeitos giroscopico. [4]

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 18: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza

Para os autovetores de Sx , Sy e Su denotamosrespectivamente, por |±〉x , |±〉y e |±〉u, na base de Sz com osautovetores |±〉

|±〉x =1√2

[|+〉 ± |−〉

](15)

|±〉y =1√2

[|+〉 ± i .|−〉

](16)

|+〉u = cosθ

2e−iϕ/2|+〉+ sin

θ

2e iϕ/2|−〉 (17)

|−〉u = − sinθ

2e−iϕ/2|+〉+ cos

θ

2e iϕ/2|−〉 (18)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 19: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

O experimento de Stern-Gerlach, nomeado em homenagem aOtto Stern e Walther Gerlach, e um experimento que foirealizado em 1922 que mostra a deflexao de partıculaselementares, frequentemente usado para ilustrar princıpiosbasicos da mecanica quanticaPlanejaram um experimento para determinar se partıculas temalgum momento angular intrınseco

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 20: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 21: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

O experimento procurou determinar se partıculas individuaiscomo eletrons tem algum momento angular de spin.O experimento de Stern-Gerlach pode ser conduzido usandopartıculas neutras e a mesma conclusao e obtida, uma vez quefoi designado para testar momento angular, e nao fenomenoseletrostaticos.

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 22: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 23: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 24: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

∆E = −µsB = −µsz B (19)

∆E = gsµbmsB (20)

∆E = ±gsµbB/2 (21)

Fz = −∂Bz

∂zµbgsms (22)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 25: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

Se a partıcula viaja atraves de um campo nao homogeneo,entao a forca em um dipolo sera ligeiramente maior que aforca oposta no outro extremo.O ato de observacao na mecanica quantica e equivalente amedicao.Nosso dispositivo de observacao e um detector e neste casonos podemos observar um dos dois valores possıveis,spin-upou spin-downEles sao descritos pelo numero j, e a medicao corresponde aooperador Jz . Em termos matematicos [1, 2]

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 26: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

|ψ〉 = c1|ψj=+ }2〉+ c2|ψj=− }

2〉 (23)

As constantes c1 e c2 sao numeros complexos. A raiz quadradade seus valores absolutos determina a probabilidade do estado|ψ〉 ser encontrado com um dos dois valores possıveis para j.

〈ψ|ψ〉 = 1 (24)

Probabilidade de encontrar a partıcula em cada estado e 0,5

c1 =1√2

c2 =1√2

(25)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 27: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Apareto e teoriaImpacto

A experiencia de Stern-Gerlach teve um dos maiores impactosna fısica moderna:

usando tecnicas similares, o nucleo de alguns atomos temtambem o momentum angular quantizado. Isto e, ainteracao com o spin do eletron que e responsavel pelaestrutura hiperfina das linhas espectroscopicas.

A observacao direta do spin e a prova mais direta daquantizacao na mecanica quantica.

Artigo cientıfico: Improving students’ understanding ofquantum mechanics via the Stern-Gerlach experiment:Guangtian Zhu, Chandralekha Singh

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 28: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Um computador quantico e um dispositivo que executacalculos fazendo uso direto de propriedades da mecanicaquantica.Uma partıcula pode estar em dois ou mais estados ao mesmotempo. Uma famosa metafora denominada o gato deSchrodingerUm qubit pode conter um ”1”, um ”0” ou uma sobreposicaodestesArmazena informacao binaria a partir de estados de spin.

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 29: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 30: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Sinal de ressonancia magnetica nuclear:

s ∝ ω0

∫d3re−t/T

∗2 (−→r )M⊥(−→r , 0)B⊥(−→r ) sin(ω0t +θB−φ0(−→r ))

(26)Leva magnetizacao de uma amostra (M⊥(−→r , t)) sobre umcampo B0 externo invariante no tempo.Os spins da amostra tendem a se alinhar com o campo nosnıveis de energia gerados pelo efeito Zeeman. Direcaoparalela e antiparalela.

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 31: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Condicoes basicas para MRI: [3]

Existencia de nucleos com spin nuclear (S 6= 0). Porexemplo: 1−3H , 7Li , 13C , 31P , . . .

Interacao com campos magneticos:Estacionario (B0) De radiofrequencia (B1)

Condicao de ressonancia de B1 (ω1 ≈ ω0 = γB0) Relacaode Larmor

M⊥(−→r , 0) =ρ0γ

2}2

4kTB0 M⊥ =

1

V

V∑µ γ =

q

2m(27)

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 32: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 33: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Eisberg, R.; Resnick, R. ”Fısica Quantica - Atomos,Moleculas, Solidos, Nucleos e Partıculas”, 24a tiragem, ed.CAMPUS, Cap. 8, 9.

Cohen-Tannoudji, C.; Diu B.; Laloe F. ”QuantumMechanics”. vol. 1, ed. Wiley-VCH.

Haacke E. M.; Brown R. W.; Thompson M. R. ”MagneticResonance Imaging - Physical Principles and SequenceDesign”, ed. Wiley-LISS. Cap. 1, 7

en.wikipedia.org/wiki/Spin%28physics%29pt.wikipedia.org/wiki/Computadorqu%C 3%A2nticopt.wikipedia.org/wiki/ExperimentodeStern − Gerlachen.wikipedia.org/wiki/Magneticresonanceimaging

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes

Page 34: Spin: Conceitos e Aplicações

Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach

Aplicacoes

Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear

Obrigado!

Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes