Sumario mat 001

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Text of Sumario mat 001

  • 1. 1Profa. Denise Ortigosa Stolf Colgio Trilnge InovaoRua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422Textos Chapec Santa CatarinaCEP. 89801-600SumrioNmeros inteiros .......................................................................................................................................2 Nmeros positivos e nmeros negativos ...............................................................................................2 Conjunto dos nmeros inteiros .............................................................................................................5 Representao dos nmeros inteiros na reta numrica .....................................................................6 Par ordenado: localizao de pontos no plano ..................................................................................8 Mdulo ou valor absoluto de um nmero ...........................................................................................10 Nmeros opostos ou simtricos ..........................................................................................................11 Comparao de nmeros inteiros ........................................................................................................13 Operaes com nmeros inteiros ........................................................................................................15 Adio de nmeros inteiros.............................................................................................................15 Propriedades da adio de nmeros inteiros ...............................................................................16 Subtrao de nmeros inteiros ........................................................................................................19 Adio algbrica .........................................................................................................................20 Multiplicao de nmeros inteiros ..................................................................................................22 Propriedades da multiplicao de nmeros inteiros ....................................................................23 Diviso de nmeros inteiros ............................................................................................................25 Potenciao de nmeros inteiros .....................................................................................................27 Sinal de uma potncia de base no nula ......................................................................................27 Propriedades da potncia no conjunto ....................................................................................27 Raiz quadrada exata de um nmero inteiro .....................................................................................30Bibliografia .............................................................................................................................................32

2. 2NMEROS INTEIROSNmeros positivos e nmeros negativosEm nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens so representadas por nmeros negativos. Medidasde temperaturas, dados de extratos bancrios e saldos de gols so apenas alguns exemplos de situaesem que os nmeros negativos costumam aparecer.Situao 1Em um mesmo dia, possvel encontrar dois locais no mundo com temperaturas muito diferentes. Nodia 19 de maro de 2007, por exemplo, a temperatura mnima em So Lus, no Maranho, era 24C, jem Berlim, na Alemanha, registrava-se 1C.Voc percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal negativo (), mas paraindicar a temperatura em So Lus, que foi positiva (estava acima de zero), no escrevemos o sinalpositivo (+). Isso porque, na representao de valores positivos, o uso do sinal + junto ao nmero optativo, na representao dos valores negativos, o uso do sinal deve, necessariamente, acompanharo nmero a que se refere.J para a representao do nmero zero (0), no usamos nenhum dos sinais, pois o zero no positivonem negativo.Situao 2O extrato bancrio a seguir descreve alguns crditos (valores positivos) e dbitos (valores negativos)em uma conta-corrente e mostra como o saldo da conta ficou negativo. 3. 3Situao 3No Campeonato Brasileiro de Futebol, os nmeros negativos podem aparecer no saldo de gols, ou seja,na diferena entre o nmero de gols marcados e o nmero de gols sofridos. Abaixo, apresentamos aclassificao final de alguns times da srie A no Campeonato Brasileiro de 2006. 4. 4EXERCCIOS A1 5. 5Conjunto dos nmeros inteirosNa srie anterior, vimos o conjunto dos nmeros naturais, representado por : = { 0,1, 2, 3, 4, 5 ...}O conjunto formado por nmeros negativos, pelo zero e por nmeros positivos chamado conjuntodos nmeros inteiros, e representado pelo smbolo .= {..., 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, ...}O nmero 4 elemento do conjunto , assim como +5, que tambm pertence a esse conjunto.Indicamos: 4 e +5 (l-se 4 pertence ae +5 pertence a ).O conjunto dos nmeros inteiros , portanto, o conjunto formado pelos nmeros naturais, acrescidosdos nmeros negativos.OBS.: Em no h menor nmero, nem maior nmero; O conjunto dos nmeros inteiros sem o zero representado por:= {..., 4, 3, 2, 1,1, 2, 3, 4, ...} ; Todos os elementos do conjunto so tambm elementos do conjunto , isto , (l-se est contido em ). 6. 6Representao dos nmeros inteiros na reta numricaPodemos representar os nmeros inteiros na reta numrica. Para isso, construmos uma reta r orientadapara a direita e marcamos nela um ponto O, chamado origem, ao qual associamos o nmero (0).A partir desse ponto, podemos marcar infinitos pontos direita (A, B, C, D, ...) e esquerda (A, B,C, D, ...), observando sempre que a distncia entre dois pontos consecutivos deva ser a mesmaunidade (por exemplo, 1 centmetro):Para cada ponto direita de O, h um nmero inteiro positivo correspondente, e para cada ponto esquerda, um nmero inteiro negativo.Assim, todo nmero inteiro tem um ponto associado e ele na reta numrica, porm nem todo ponto dareta representa um nmero inteiro.O sucessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente direita do nmero dado. J oantecessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente esquerda do nmero dado.Por exemplo: o sucessor de 4 3, e o antecessor de 4 5. 7. 7EXERCCIOS A2 8. 8Par ordenado: localizao de pontos no planoEm 1637, ao publicar seu livro La Geomtrie, o filsofo e matemtico francs Ren Descartes lanou aidia de que um par de nmeros, disposto numa certa ordem, poderia determinar uma posio noplano.Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadas cartesianas, para fazer, porexemplo, grficos, mapas de ruas ou mapas-mndi.Vamos ver como se constri um sistema de coordenadas cartesianas: partindo-se de um ponto de referncia, so traadas duas retas perpendiculares e orientadas; cada reta orientada chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dosnmeros; o eixo horizontal chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x; o eixo vertical chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y; o ponto de interseco dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao parordenado (0,0); nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um nmero: os nmeros positivos direita e acimada origem; os nmeros negativos esquerda e abaixo da origem. O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de nmeros que chamamos de parordenado. O primeiro nmero do par indica a abscissa do ponto e o segundo nmero indica a ordenada.Por exemplo, P (3,4), teria sua representao assim: 9. 9EXERCCIOS A3 10. 10Mdulo ou valor absoluto de um nmero No esquema ao lado: o menino est ao nvel do mar, ento dizemos que sua distncia em relao ao nvel do mar nula (0); j a pipa est 6 m acima do nvel do mar; e o cardume 10 m abaixo do nvel do mar.Todas essas distncias foram representadas, na descrio do esquema, pelo nmero zero ou pornmero positivos (6 m e 10 m).Da mesma forma, ou seja, usando apenas nmeros positivos, podemos determinar, na reta numrica, adistncia de qualquer ponto em relao origem O. Veja:A distncia de um ponto da reta numrica origem chamada de valor absoluto, ou mdulo, donmero que corresponde a esse ponto.Assim, o valor absoluto, ou mdulo, do nmero +4 4 (distncia do ponto A origem). Da mesmaforma, o mdulo de 3 3 (distncia do ponto B origem).Indicamos o valor absoluto, ou mdulo, de um nmero, colocando esse nmero entre duas barrasparalelas. Por exemplo: o mdulo de 3 representado por 3 .Exemplos: 5 = 5 18 = 187 =70 =0 + 10 = 10 11. 11Nmeros opostos ou simtricosObserve a reta numrica.Os pontos A e A representam, respectivamente, os nmeros inteiros 5 e 5. A distncia do ponto A origem de 5 unidades, assim como a distncia de A at a origem tambm de 5 unidades. Ospontos A e A esto a uma mesma distncia da origem, porm situados em lados opostos da retanumrica (em relao ao zero). Por isso, 5 5 so chamados de nmeros simtricos ou nmerosopostos.Exemplos: 7 e 7 so nmeros opostos, ou simtricos. 4 o oposto de 4 , e 4 o oposto de 4. 12. 12EXERCCIOS A4 13. 13Comparao de nmeros inteirosSmbolos:> Maior< Menor= IgualQuanto mais direita um nmero estiver na reta numrica, maior ele ser.1) Os dois nmeros so positivosQuem maior, 15 ou 21?21 > 15 ou 15 < 212) Um nmero positivo e o outro zeroQuem maior, 0 ou 17?17 > 0 ou 0 < 173) Um nmero negativo e o outro zeroQuem maior, 0 ou 17?0 > 17 ou 17 < 04) Um nmero positivo e o outro negativoQuem maior, 23 ou 41?23 > 41 ou 41 < 235) Os dois nmeros so negativosQuem maior, 21 ou 14?14 > 21 ou -21 < 14 14. 14EXERCCIOS A5 15. 15Operaes com nmeros inteirosAdio de nmeros inteirosPara melhor entendimento desta operao, associaremos aos nmeros inteiros positivos a idia deganhar e aos nmeros inteiros negativos a idia de perder.ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7(3) + (4) = (7)ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (5) = (+