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Colégio Trilíngüe Inovação

Rua Mato Grosso 420-E

Fone/Fax: (49) 3322.4422

Chapecó – Santa Catarina

CEP. 89801-600

Profa. Denise Ortigosa Stolf

Textos

Sumário

Números inteiros ....................................................................................................................................... 2

Números positivos e números negativos ............................................................................................... 2

Conjunto dos números inteiros ............................................................................................................. 5

Representação dos números inteiros na reta numérica ..................................................................... 6

Par ordenado: localização de pontos no plano .................................................................................. 8

Módulo ou valor absoluto de um número ........................................................................................... 10

Números opostos ou simétricos .......................................................................................................... 11

Comparação de números inteiros ........................................................................................................ 13

Operações com números inteiros ........................................................................................................ 15

Adição de números inteiros............................................................................................................. 15

Propriedades da adição de números inteiros ............................................................................... 16

Subtração de números inteiros ........................................................................................................ 19

Adição algébrica ......................................................................................................................... 20

Multiplicação de números inteiros .................................................................................................. 22

Propriedades da multiplicação de números inteiros .................................................................... 23

Divisão de números inteiros ............................................................................................................ 25

Potenciação de números inteiros ..................................................................................................... 27

Sinal de uma potência de base não nula ...................................................................................... 27

Propriedades da potência no conjunto .................................................................................... 27

Raiz quadrada exata de um número inteiro ..................................................................................... 30

Bibliografia ............................................................................................................................................. 32

2

NÚMEROS INTEIROS

Números positivos e números negativos

Em nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens são representadas por números negativos. Medidas de temperaturas, dados de extratos bancários e saldos de gols são apenas alguns exemplos de situações em que os números negativos costumam aparecer.

Situação 1

Em um mesmo dia, é possível encontrar dois locais no mundo com temperaturas muito diferentes. No dia 19 de março de 2007, por exemplo, a temperatura mínima em São Luís, no Maranhão, era 24ºC, já em Berlim, na Alemanha, registrava-se −1ºC.

Você percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal negativo (−), mas para indicar a temperatura em São Luís, que foi positiva (estava acima de zero), não escrevemos o sinal positivo (+). Isso porque, na representação de valores positivos, o uso do sinal + junto ao número é optativo, na representação dos valores negativos, o uso do sinal − deve, necessariamente, acompanhar o número a que se refere.

Já para a representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, pois o zero não é positivo nem negativo.

Situação 2

O extrato bancário a seguir descreve alguns créditos (valores positivos) e débitos (valores negativos) em uma conta-corrente e mostra como o saldo da conta ficou negativo.

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Situação 3

No Campeonato Brasileiro de Futebol, os números negativos podem aparecer no saldo de gols, ou seja, na diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos. Abaixo, apresentamos a classificação final de alguns times da série A no Campeonato Brasileiro de 2006.

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EXERCÍCIOS A1

5

Conjunto dos números inteiros

Na série anterior, vimos o conjunto dos números naturais, representado por :

{ }...5,4,3,2,1,0=

O conjunto formado por números negativos, pelo zero e por números positivos é chamado conjunto dos números inteiros, e é representado pelo símbolo .

{ }...,4,3,2,1,0,1,2,3,4..., −−−−=

O número −4 é elemento do conjunto , assim como +5, que também pertence a esse conjunto.

Indicamos: −4 ∈ e +5 ∈ (lê-se “−4 pertence a e +5 pertence a ”).

O conjunto dos números inteiros é, portanto, o conjunto formado pelos números naturais, acrescidos dos números negativos.

OBS.:

• Em não há menor número, nem maior número; • O conjunto dos números inteiros sem o zero é representado por :

{ }...,4,3,2,1,1,2,3,4..., −−−−= ;

• Todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto , isto é, ⊂ (lê-se “ está contido em ”).

6

Representação dos números inteiros na reta numérica

Podemos representar os números inteiros na reta numérica. Para isso, construímos uma reta r orientada para a direita e marcamos nela um ponto O, chamado origem, ao qual associamos o número (0).

A partir desse ponto, podemos marcar infinitos pontos à direita (A, B, C, D, ...) e à esquerda (A’, B’, C’, D’, ...), observando sempre que a distância entre dois pontos consecutivos deva ser a mesma unidade (por exemplo, 1 centímetro):

Para cada ponto à direita de O, há um número inteiro positivo correspondente, e para cada ponto à esquerda, um número inteiro negativo.

Assim, todo número inteiro tem um ponto associado e ele na reta numérica, porém nem todo ponto da reta representa um número inteiro.

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à direita do número dado. Já o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à esquerda do número dado.

Por exemplo: o sucessor de −4 é −3, e o antecessor de −4 é −5.

7

EXERCÍCIOS A2

8

Par ordenado: localização de pontos no plano

Em 1637, ao publicar seu livro La Geométrie, o filósofo e matemático francês René Descartes lançou a idéia de que um par de números, disposto numa certa ordem, poderia determinar uma posição no plano.

Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadas cartesianas, para fazer, por exemplo, gráficos, mapas de ruas ou mapas-múndi.

Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:

• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;

• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos números;

• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;

• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;

• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0);

• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.

• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.

Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P (3,4), teria sua representação assim:

9

EXERCÍCIOS A3

10

Módulo ou valor absoluto de um número

No esquema ao lado:

• o menino está ao nível do mar, então dizemos que sua distância em relação ao nível do mar é nula (0);

• já a pipa está 6 m acima do nível do mar;

• e o cardume 10 m abaixo do nível do mar.

Todas essas distâncias foram representadas, na descrição do esquema, pelo número zero ou por número positivos (6 m e 10 m).

Da mesma forma, ou seja, usando apenas números positivos, podemos determinar, na reta numérica, a distância de qualquer ponto em relação à origem O. Veja:

A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada de valor absoluto, ou módulo, do número que corresponde a esse ponto.

Assim, o valor absoluto, ou módulo, do número +4 é 4 (distância do ponto A à origem). Da mesma forma, o módulo de −3 é 3 (distância do ponto B à origem).

Indicamos o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocando esse número entre duas barras paralelas. Por exemplo: o módulo de −3 é representado por 3− .

Exemplos: • 55 =−

• 77 =

• 1010 =+

• 1818 =−

• 00 =

11

Números opostos ou simétricos

Observe a reta numérica.

Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros −5 e 5. A distância do ponto A’

à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a origem também é de 5 unidades. Os

pontos A’ e A estão a uma mesma distância da origem, porém situados em lados opostos da reta

numérica (em relação ao zero). Por isso, −5 é 5 são chamados de números simétricos ou números

opostos.

Exemplos:

• 7− e 7 são números opostos, ou simétricos.

• 4 é o oposto de 4− , e 4− é o oposto de 4.

12

EXERCÍCIOS A4

13

Comparação de números inteiros

Símbolos:

> Maior

< Menor

= Igual

Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será.

1º) Os dois números são positivos

Quem é maior, 15 ou 21?

21 > 15 ou 15 < 21

2º) Um número é positivo e o outro é zero

Quem é maior, 0 ou 17?

17 > 0 ou 0 < 17

3º) Um número é negativo e o outro é zero

Quem é maior, 0 ou −17?

0 > −17 ou −17 < 0

4º) Um número é positivo e o outro é negativo

Quem é maior, 23 ou −41?

23 > −41 ou −41 < 23

5º) Os dois números são negativos

Quem é maior, −21 ou −14?

−14 > −21 ou -21 < −14

14

EXERCÍCIOS A5

15

Operações com números inteiros

Adição de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7 (−3) + (−4) = (−7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (−5) = (+3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (−8) + (+5) = (−3)

Na adição, podemos encontrar dois casos:

• Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal, somamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles.

Exemplos:

a) (+5) + (+3) = 5 + 3 = 8

b) (−5) + (−10) = − 5 − 10 = −15

• Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais diferentes, devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.

Exemplo:

a) (− 18) + (+ 10) = −18 + 10 = −8

O módulo de – 18 = 18

O módulo de + 10 = 10

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

16

Propriedades da adição de números inteiros

Fechamento: O conjunto é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.

a + b = b + a

3 + 7 = 7 + 3

Associativa: Na adição, podemos associar as parcelas de diferentes maneiras, pois o resultado será o mesmo.

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Elemento neutro: O elemento neutro da adição é o zero, que, somado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.

a + 0 = a ou 0 + a = a

7 + 0 = 7 ou 0 + 7 = 7

Elemento oposto: Qualquer número inteiro tem um oposto que, adicionado a ele, resulta no elemento neutro.

a + (− a) = 0 ou (− a) + a = 0

7 + (− 7) = 0 ou (− 7) + 7 = 0

17

EXERCÍCIOS A6

(1) Vamos calcular:

a) 011)( ++

b) 13)(0 −+

c) )2()82( +++

d) )3()34( −+−

e) )51()8( −+−

f) )21()21( +++

g) 34)()22( ++−

h) 60)(49)( −++

i) )125(130)( −+−

j) )121()49( +++

k) )510()820( −++

l) )275()162( −+−

(2) Partindo do térreo, um elevador desce 2 andares. Em seguida, desce mais 1 andar. Usando a adição de números inteiros, dê o andar em que o elevador parou.

(3) Caio tem R$ 3600,00 na sua conta bancária. Se ele fizer uma retirada de R$ 4000,00, como ficará o seu saldo?

(4) Calcule o resultado das expressões e identifique a propriedade aplicada em cada caso.

a) )3()1()1()3( ++−=−++

b) 0)100( ++

c) [ ] [ ])3()7()5()3()7()5( −+−++=−+−++

(5) Escreva na forma simplificada as adições e calcule:

a) )18()02( −++

b) 21)()03( ++−

c) )17(81)( −+−

d) )52()37( +++

e) )6()22()15( −+++−

18 (6) Vamos calcular:

a) 177 + b) 28−− c) 149+−

d) 44−− e) 2319− f) 1140−−

g) 1431+ h) 301+− i) 6340− j) 5791− k) 1090+− l) 104100+−

19

Subtração de números inteiros

• Para subtrair números inteiros, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo.

Exemplos:

a) (−23) − (+15) = −23 − 15 = −38

b) (+14) − (+20) = +14 − 20 = −6

EXERCÍCIOS A7

(1) A temperatura no interior de um freezer é de −9 graus. Fora, a temperatura é de +25 graus. Qual é a diferença entre as duas temperaturas?

(2) Calcule:

a) )17(0 −−

b) )16()9( +−−

c) )20()13( +−+

d) )18(0 +−

e) )19()1( −−−

f) )9()20( +−+

g) )17()4( +−−

h) )80()40( +−+

i) 20341792 +++−

j) 941011049276 +−−+

20

Adição algébrica

Vimos que a subtração com dois números inteiros equivale a uma adição do minuendo ao oposto do subtraendo. Por isso, a adição e a subtração com números inteiros são consideradas uma única operação: a adição algébrica.

A idéia de adição algébrica ajuda a simplificar uma expressão numérica pela eliminação dos parênteses e dos sinais de + e − das operações. Veja:

=++−−=++−−+−−

128710

)12()8()7()10(

Podemos resolver essa expressão de duas maneiras:

1ª) Resolvendo as operações na ordem em que aparecem

3129

12817

128710

=+−=++−

=++−−

2ª) Agrupando os valores e, ao final, calculando a diferença

32017

128710

=+−=++−−

OBS.: Em uma adição algébrica, quando existem parcelas que são números opostos (simétricos), podemos cancelá-las, já que o resultado da adição dessas parcelas é zero.

9817

8143

851453

851453

−=+−+−−

=+/−−/+−=+−−+−

21

EXERCÍCIOS A8

(1) Calcule:

a) 4207 −+ b) 31417 ++− c) 101627 −− d) 402125 −−− e) 621835 ++

f) 61507075 −++− g) 86817984 +−− h) 200779664 +−−− i) 20341792 +++− j) 941011049276 +−−+

(2) Calcule as somas algébricas:

a) )19(6 +−+

b) )106(8 +−−

c) )46(10 −+−

d) )752(2 −++

e) )17()42(5 −−−+−

f) 11)18()95()35( −−+−−+−

g) )4111()510(10 −+−+−+

(3) Eliminando os parênteses e colchetes, determine as somas algébricas:

a) [ ])107(1630 +−−−+

b) [ ]1)610(1110 +−−+−−

c) [ ])2116(13)1514(18 −−−+−

d) [ ]28)262327(29)22( −−−+−−−

e) [ ] )18()251313(21)10(9 −−+−−−−−−−

f) [ ] )5446()29()1622(1711 +−−−++−−−+

22

Multiplicação de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um “ ⋅⋅⋅⋅ ”, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 ⋅ 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 ⋅ 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(−2) + (−2) + ... + (−2) = 30 ⋅ (−2) = −60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a⋅⋅⋅⋅b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Exemplos:

a) 3248 =⋅

b) 15)3(5 −=−⋅

c)

d)

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (+1)

(–1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (+1)

(+1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (–1)

(–1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (–1)

Com o uso das regras apresentadas, pode-se concluir que:

Sinais dos números Resultado do produto

iguais positivo

diferentes negativo

23

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fechamento: O conjunto é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Comutativa: Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto.

a ⋅ b = b ⋅ a

3 ⋅ 7 = 7 ⋅ 3

Associativa: Na multiplicação com três ou mais fatores, podemos associar os fatores de maneiras diferentes, pois o resultado será o mesmo.

a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c

2 ⋅ ( 3 ⋅ 7 ) = ( 2 ⋅ 3 ) ⋅ 7

Distributiva da multiplicação em relação à adição: Em uma multiplicação, dado por uma adição algébrica, podemos multiplicar o primeiro número pelas parcelas e adicionar os resultados.

a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )

3 ⋅ ( 4 + 5 ) = ( 3 ⋅ 4 ) + ( 3 ⋅ 5 )

Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1, que, multiplicado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.

a ⋅ 1 = a ou 1 ⋅ a = a

7 ⋅ 1 = 7 ou 1 ⋅ 7 = 7

24

EXERCÍCIOS A9

25

Divisão de números inteiros

Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

• Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.

(+ 20) : (+ 5) = + 4

(− 20) : (− 5) = + 4

• Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.

(+ 20) : (− 5) = − 4

(− 20) : (+ 5) = − 4

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do quociente

iguais positivo

diferentes negativo

Observações:

• A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto . Por exemplo: 9 : (–2), pois o resultado não é um número inteiro.

• No conjunto , a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade de elemento neutro.

26

EXERCÍCIOS A10

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Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

43421vezesn

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ... Exemplo: 222224 ⋅⋅⋅=

a é multiplicado por a n vezes

Sinal de uma potência de base não nula

Para determinar o sinal de uma potência, podemos considerar o sinal da base e verificar se o expoente é par ou ímpar.

Expoente Base positiva Base negativa

Par Potência positiva

625555554 =⋅⋅⋅=

Potência positiva

625)5()5()5()5()5( 4 =−⋅−⋅−⋅−=−

Ímpar Potência positiva

322222225 =⋅⋅⋅⋅=

Potência negativa

27)3()3()3()3( 3 −=−⋅−⋅−=−

Propriedades da potência no conjunto

1ª) Produto de potências de mesma base

Exemplos:

mnmn aaa +=⋅

96363 5555 ==⋅ +

73434 )2()2()2()2( −=−=−⋅− +

28 2ª) Quociente de potências de mesma base

Exemplos:

mnmn aaa −=:

32525 666:6 == −

53838 )10()10()10(:)10( −=−=−− −

3ª) Potência de uma potência

Exemplos:

( ) mnmn aa ⋅=

( ) 105252 101010 == ⋅

( )[ ] ( ) ( )15535

3 888 −=−=− ⋅

4ª) Potência de um produto ou de um quociente

Exemplos:

nnn

nnn

baba

baba

:):(

)(

=⋅=⋅

888 56)56( ⋅=⋅

[ ] 4442:)10(2:)10( −=−

Observação:

Para todo número real a, com 0≠a , temos 10 =a

12

22

4222

82222

0

1

2

3

==

=⋅=

=⋅⋅=

12

22

22

4

2

222

42

8

2

2222

82222

0

1

2

3

==

==⋅=

==⋅⋅=

=⋅⋅=

1222

22

2222

22

422222

22

82222

0111

0

1122

1

2133

2

3

====

====

=⋅====

=⋅⋅=

−

−

−

29

EXERCÍCIOS A11

30

Raiz quadrada exata de um número inteiro

Vamos considerar o exemplo abaixo:

23339 =⋅=

Ao descobrir que o número 3 ao quadrado é igual a 9, encontramos a raiz quadrada de 9. A operação realizada foi a radiciação. Dizemos que extraímos a raiz quadrada de 9. O símbolo da raiz quadrada é:

ou 2 .

A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.

Assim: ba = é o mesmo que ab =2 , com b > 0.

Os números que podem ser escritos como potência de expoente 2 são denominados quadrados perfeitos. Somente esses números têm como raiz quadrada um número inteiro positivo.

Exemplos:

a) 24 = , porque 422 = e 2 > 0.

b) 636 = , porque 3662 = e 6 > 0.

Existe raiz quadrada de um número negativo?

Vamos analisar, por exemplo, 25− .

Sabemos que 25)5( 2 =+ e 25)5( 2 =− . Logo, não existe número inteiro cujo quadrado seja 25− . O mesmo ocorre com qualquer raiz quadrada de número negativo.

31

EXERCÍCIOS A12

EXERCÍCIOS A13

32

BIBLIOGRAFIA

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática . São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.