Exercıcios Resolvidos - 5o. Tarefa

10 de abril de 2013

Questao 1

Calcule a frequencia natural fn de oscilacao vertical do cilindro carregado por molas quandoele e posto em movimento. As duas molas estao tracionadas o tempo todo.

Solucao

Analisemos o sistema quando em equilıbrio (valores em modulo):

T1 = Fel1 = kx1

T2 = Fel2 = kx2

1

onde x1 e x2 sao os valores das deformacoes das molas 1 e 2 no sistema inicial. Assim:

P + T2 = T1 => P = T1 − T2 = k(x1 − x2)

Agora, analisemos o que acontece quando se produz uma pequena deformacao para baixo(valoresem modulo, e assumindo que a forca resultante tem direcao para cima):

T ′1 = kx1 = k(x1 + x)

T ′2 = kx′2 = k(x2 − x)

Fr = T ′1 − (P + T ′

2)

Fr = k(x1 + x) − [k(x1 − x1) + k(x2 − x)]

Fr = 2kx

Ou seja, escrevendo de forma vetorial :d2~x

dt2= −2k

m~x, onde ~x e a posicao do elevador. Logo, o

movimento sera um MHS e sua frequencia sera dada por

fn =1

2π

√2k

m=

1

π

√2.300

10= 3, 9Hz

Questao 2 Substitua as molas em cada um dos dois casos mostrados por uma unica mola derigidez k(constante de mola equivalente) que fara com que cada massa vibre com sua frequenciaoriginal.

Solucao

2

No primeiro caso,a deformacao ∆x causada e a mesma para ambas as molas. A equacao deequilıbrio vertical, utilizando os valores em modulo, e:

F1 + F2 = P

k1∆x+ k2∆x = P

(k1 + k2)∆x = P

Portanto a rigidez da mola equivalente e Keq = k1 +k2 No segundo caso, considerando a massada mola desprezıvel, a forca e a mesma em todos os pontos dela, isto e:

F = k1∆x1 = k2∆x2 = Keq∆x

∆x1 + ∆x2 = ∆x

F

k1+F

k2=

F

Keq

Keq =k1k2k1 + k2

Vale a pena frisar aqui que o resultado obtido nessse problema pode ser estendido para umnumero qualquer n de molas, sejam todas em serie ou todas em paralelo. Assim, terıamos, emcada caso, os seguintes valores para a constante de mola equivalente:

Kparalelo =n∑

i=1

ki = k1 + k2 + . . .+ kn

e1

Kserie

=n∑

i=1

1

ki=> Kserie =

k1k2 . . . knk1 + k2 + . . .+ kn

Questao 3 Durante o projeto do sistema de apoio com molas para a plataforma de pesagemde 4t, decide-se que a frequencia da vibracao livre vertical na condicao descarregada nao deveexceder 3 ciclos por segundo. (a) Determine a constante de mola maxima aceitavel k para cadauma das tres molas identicas. (b) Para esta constante de mola, qual seria a frequencia naturalfn da vibracao vertical da plataforma carregada com caminhao de 40t?

3

Solucao

a) A contante equivalente do sistema e K = k + k + k = 3k. Como se trata de um MHS:

ω2 =3k

m

Onde m e a massa da estrutura. Logo:

2πf =

√3k

m

f =1

2π

√3k

m

A constante sera maior a medida que f aumenta. Como f nao pode exceder 3 ciclos porsegundo, este o valor para maximizar k:

4π232 =3KM

4000

KM = 474kN/m

b) Neste caso, ainda temos um MHS, porem o sistema tem massa m+M , onde M e a massado caminhao:

f ′ =1

2π

√3k

m+M

f ′ =1

2π

√3.474.103

44.103

f ′ = 0, 905Hz

4