Teoria da computação tipos de prova

Teoria da computaçãoAula 04 - Tipos de provas

Prof. Marcos Devaner.

uma prova é uma demonstração de que,dadas as proposições(axiomas), mostram que um determinado teorema é verdadeiro. Para isto, utiliza base premissas e partir de uma série de operações, chega ao resultado.

Em provas matemáticas surgem frequentemente vários tipos de argumentos aqui serão mostrados alguns utilizados na teoria da computação.

1. Prova diretaUma prova direta é uma forma de mostrar que certa afirmação é falsa ou verdadeira através de uma combinação de proposições, lemas e teoremas já estabelecidos. Em cada passo, usa-se implicação "Se p, então q" com p sendo verdadeiro.

Aula 04 – Tipos de provas

Exemplo:

Dado o teorema: ~Q ^(P→Q) →~P também mostrado como

Demonstração:

Para provar é preciso fazer algumas substituições utilizando algumas leis de DeMorgame e/ou tautologias.

Passos

Identificação

O que foi feiro

1) ~Q Premissa Expõe primeira premissa

2) P→Q Premissa Expõe segnda premissa

3) ~Q →~P

Consequência lógica

Aplica a cosequência lógica no passo 2 ou seja (P→Q) equivale logicamente(~Q →~P )

4) ~P Conclusão Utilizando a tabela verdade veremos que (Passo1 ^ passo 3 ) →~P terá como resultado uma tautologia, logo a conclusão ~P é verdadeira.

Aplicando a prova diretaTeorema: Se P, então Q (se um inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível por 3).

Prova:

Seja x um inteiro qualquer divisível por 6, então x = 6*k para algum inteiro k.


Passos Identificação O que foi feiro1) X é divisível por 6 Hipotese Expõe primeira premissa

2) X = 6* k Consequência lógica Se x é divisivél por seis, então o produto de um inteiro k por 6 é igual a x.

3)x= 3(k*2) Consequência lógica Se x é divisível por 3, então o produto de um inteiro k por 3 é igual a x.

4) x é divisível por 3 Conclusão Aplicadas as definições de divisibilidade podemos concluir que x é divisível por 3.

2. Prova pela contrapositiva.A contraposição é uma lei, que diz que, para toda sentença condicional, há uma equivalência lógica entre a mesma e sua contrapositiva. Na contrapositiva de uma sentença, o antecedente e o consequente são invertidos e negados:P→Q equivale logicamente a ~Q →~P, aplicando o principio da demonstração temos: ~Q → ~(p1^p1^...pn).


Exemplo:Dado o teorema: (P→R) ^ (Q→R) → (P v Q) → R também mostrado como

Demonstração:

Aplicando a contrapositiva temos:( ~ (P v Q) → R )→( ~(P→R) ^ (Q→R))

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Demonstração:

Aplicando a prova na contrapositivaTeorema: Se um número não é divisivél por 3, então ele não é divisível por 6.

Prova:

Seja x um inteiro qualquer,


Passos Identificação O que foi feiro1) X não é divisível por 3

Hipotese Identificar a hipotese

2) X ≠ 3* k Consequência lógica Para todo inteiro k(negação da divisibilidade).

3)x≠ (2* d)3 Consequência lógica Para todo inteiro d

4) x≠ d (2* 3) Consequência lógica Associatividade da multiplicação

5) x≠ d *6 Conclusão Fato numérico

3. Prova por contradição ou absurdo.A Prova por contradição (ou redução ao absurdo é um método de prova matemática. Este tipo de prova é feito assumindo-se como verdade o contrário do que queremos provar e então chegando-se a uma contradição.

Esta prova baseia-se na tautologia: A → B equivalência lógica de A^~B → Contradição (c)


Exemplo:

Dado o teorema: ~(P^Q) ^ ~(~P v ~Q) → Contradição (c)

Demonstração:

Passos Identificação O que foi feiro1~(P^Q) Hipotese Identificar a primeira hipotese

2) ~(~P v ~Q) Hipotese Identificar a segunda hipotese

3)~~P ^~~Q = P ^Q Consequência lógica Aplicação de DeMorgam no passo 2.

4) ~(P^Q) ^ P ^Q Conlusão O resultado da operação das duas proposições resultará em um valor F (Falso), logo é um contradição.

Aplicando a prova por contradiçãoTeorema: Existem infinitos números primos.

Prova:Suponha por absurdo que existe um número um número finito (n) de números primos.


1. Sejam(p1,p2..pn números primos.2. Seja x= p1*p2*..pn+1(todo natural ≥1 é divisivél

por um número primo).3. Desta forma x é primo ,pois x é o maior pn, ou

seja, sempre haverá próximo primo , este teorema é uma contradição.

4. Prova pela indução.A Indução matemática é um método usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que um enunciado vale para todos os números naturais n e consiste de dois passos:

Principios da indução:

1)P(n) é verdade2) Se P(n) é verdade podemos concluir que P(n+1) é verdade. Então P(n) é verdade para todo n pertencente aos naturais.


Exemplo:

P(n): 1+2+...+n = n(n+1)/2

Demonstração:

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Fim

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