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Proporcionalidade Inversa

Teoria proporcionalidade inversa

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Proporcionalidade Inversa

Com 12 quadradinhos iguais, com 1 cm de lado, constrói vários rectângulos, todos com a mesma área.

… a área do rectângulo é igual ao produto do comprimento pela largura.

Actividade

Recorda que…

Prof. Bruno Bastos

Preenche a seguinte tabela:área comprimento largura

Prof. Bruno Bastos

Assim…Área Comp. Larg.

Prof. Bruno Bastos

Que relação existe entre a variação do comprimento e da largura de cada rectângulo?Verifica-se que quando uma das dimensões duplica, a outra reduz-se a metade; quando uma triplica, a outra reduz-se para um terço,...

Ao aumento do comprimento corresponde uma diminuição da largura na mesma proporção e vice-versa.

Conclusão

Prof. Bruno Bastos

O produto das duas dimensões é constante:

comprimento x largura =12

… grandezas desta forma dizem-se inversamente proporcionais.

Repara que:

Assim…

Prof. Bruno Bastos

… designando:

x comprimento

y largura

Logo…

Tem-se que…… a relação x x y = 12 é uma proporcionalidade inversa

e 12 é a constante de proporcionalidade.

Prof. Bruno Bastos

Podemos “arrumar” os rectângulos de área 12 e dimensões inteiras num gráfico:

Verifica-se que os pontos estão sobre uma curva…

… a essa curva dá-se o nome ramo de uma hipérbole.

Prof. Bruno Bastos

Será que com as coordenadas de outros pontos do gráfico é possível descobrir mais rectângulos de área 12?

Conhecendo o comprimento, a largura é dada por:

Repara que:

xy

12=⇔=yx 12x

Prof. Bruno Bastos

Alguns exemplos:comprimento largura rectângulo coordenadas

x = 1,5 (1,5;8)

x = 2,5 (2,5;4,8)

x = 7,5 (7,5;1,6)

8

1,5

2,5

4,8

7,51,6

85,1

12 ==y

8,45,2

12 ==y

6,15,7

12 ==y

Prof. Bruno Bastos

Marcando os novos pontos no gráfico estes permanecem sobre a hipérbole que tinha sido desenhada anteriormente…

Prof. Bruno Bastos

…duas variáveis x e y são inversamente proporcionais quando o produto de quaisquer dois valores correspondentes é constante e diferente de zero.

(k constante diferente de zero)

k é a constante de proporcionalidade inversa.

Assim…

xy

12=⇔=yx 12x k k

Prof. Bruno Bastos

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