Prova escrita de Matemática A

10.º ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 120 minutos + (20 minutos tolerância)

Temas: Funções + Geometria analítica de Plano e Espaço

Versão 1

Indique de forma legível a versão da prova.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.

É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

Grupo INa resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Determina qual a condição que representa a zona a sombreado da figura.

(A) (( x−3 )2+ y2≤16∧ x>3)∨(x←2∧ y ×x≤0)(B) (( x+3 )¿¿2+ y2≥16∧ x>3)∨(x←2∧ y× x≥0)¿(C) (( x−3 )2+ y2≤16∧ x>3)∨(x←2∧ y ×x≥0)(D) (( x+3 )2+ y2≥16∧ x>3)∨(x←2∧ y× x≤0)

2. Considera o ponto R, que pertence ao eixo das cotas e ao plano de equação x2+ y2+2 z2=16, e o ponto S, de coordenadas (8 ,9,0).Qual das equações corresponde ao segmento de reta R ' S ', onde R ' e S ' são os simetrios dos pontos R e S em relação à origem e ao plano de equação y=0, respetivamente.

(A) {x=−8+4ky=9+k

z=0+√2k, k∈ [0 ;1 ]

(B) ( x , y , z )=(0 ,0 ,−2√2 )+(−16 ,18 ,4 √2 )k , k∈[0; 12 ](C) x

−8= y9= z+2√22√2

(D) ( x , y , z )=(−8 ,9 ,0 )+(−16 ,18 ,4 √2 ) k , k∈[0 ; 12 ]

3. Considera o seguinte referencial ortonormado do espaço. Sabe-se que D=A+O⃗B.Qual das seguintes alíneas corresponde a A+ D⃗C?

(A) (4 ,4 ,2 )(B) (6 ,6 ,−2 )(C) (−2 ,−2,1 )(D) (1 ,1,−3)

Indique de forma legível a versão da prova.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.

É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

4. Determina a expressão de h(x ), sabendo que h ( x )=|2 x−1|+|−5x+1|

(A) h ( x )={3 x+2 , x< 1

235 , x=12

−7 x , 12<x<5

75 , x=5

−3 x−2 , x>5

(B) h ( x )={−7 x , x<1

535 , x=15

3 x+1 , 15< x< 1

2−75

, x=12

7 x , x>12

(C) h ( x )={−7 x , x< 1

5−35 , x=15

3 x−2 , 15<x<1

272

, x=12

−7 x , x> 12

h ( x )={3 x+2 , x<1

535 , x=15

−7 x , 15<x< 1

275

, x=12

−3 x−2 , x> 12

5. Qual das funções pode apresentar a seguinte tabela de monotonia?

(A) a ( x )=√x−1

(B) b ( x )=¿

(C) c ( x )=x2+3 x+8

1

(D) d ( x )=¿

6. Qual dos seguintes números não pode pertencer ao domínio de uma função f de expressão

analítica f ( x )= 22−√− (x−2 ) ( x−6 ) ?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

7. Relativamente a uma função real de variável real f, sabe-se que f (a)não é o mínimo, nem relativo nem absoluto.Qual dos gráficos seguintes poderá ser o da função f?

(A) (B) (C) (D)

8. No referencial monométrico da figura, está parte da representação gráfica de duas funções r e s de domínio [a ,b].

Qual das afirmações é verdadeira?

(A) r ∘ s não tem zeros(B) s−r não tem zeros(C) s∘r não tem zeros(D) s×r não tem zeros

Grupo IINa resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considere o referencial ortonormado Oxyz, onde está representado o sólido [OABCDEFGH ], que pode ser decomposto num prisma quadrangular [OABCDEFG ] e uma pirâmide quadrangular regular [OEFGH ].Sabe-se que: A base [OEFG ] é coincidente com o plano xOy;

2

O volume total do sólido é 96; O ponto B apresenta cota 4; O ponto G apresenta as coordenadas (4 ,4 ,0).

1.1. Determina as coordenadas do ponto H . 1.2. Determina, por meio de uma condição, o prisma quadrangular [OABCDEFG]. 1.3. Determina a equação da esfera de centro H que passa por B.

1.3.1. O ponto A pertence a essa esfera? 1.4. Determina a equação reduzida do plano mediador do segmento de reta DH .

2. Resolve a seguinte equação: |x+2|≥|1+2x|

3. Considera a função f , uma função real de domínio R, cujo gráfico está representado em baixo.

3.1. Determina a expressão designatória de f sob a forma de polinómio reduzido.3.2. Determina o domínio da função g, cuja expressão algébrica é g ( x )= 4√ f (x ). 3.3. Estuda a função f quanto:

3.3.1. À monotonia, sob forma de intervalos. Nota: utiliza as propriedades gráficas da calculadora para determinar os máximos e os mínimos e responde com 2 casas decimais.

3.3.2. O sinal, sob forma de intervalo. 3.4. Estuda a injetividade da função f .3.5. Caracteriza a função |f|.

4. Na figura está representada uma função i definida em [3 ,7 ] por i (x )=( x+5 )2+1.Sabe-se que os pontos C e D, de abcissas respetivamente 3 e 7, têm ordenada b.

1 3

3

4.1. Determina o contradomínio de i.4.2. Considera os pontos A e B pertencentes ao gráfico de f e com a mesma ordenada.

Seja x a abcissa de A.a) Mostra que a área do trapézio [ABCD ] é dada por A ( x )=x3−17 x2+91x−147.b) Recorrendo à calculadora gráfica, determina as coordenadas do ponto A para as quais a

área do trapézio [ABCD ] é máxima. Apresenta o resultado arredondado às décimas (nos cálculos intermédios, se procederes a arredondamentos, conserva pelo menos 3 casas decimais).

Fim da Prova

Cotações

GRUPO I ............................................................................................................. 48 pontos

Cada resposta certa ............................ 6 pontos

Cada resposta errada ............................ 0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada ............................ 0 pontos

GRUPO II ............................................................................................................ 152 pontos

1. ............................................................................ 50 pontos

1.1. .......................................... 15 pontos

1.2. .......................................... 10 pontos

1.3. .......................................... 10 pontos

1.3.1. ..................... 05 pontos

1.4. .......................................... 10 pontos

2. ............................................................................... 15 pontos

3. ............................................................................ 52 pontos

3.1. .......................................... 10 pontos

3.2. .......................................... 10 pontos

3.31. ..................... 05 pontos

3.3.2. ..................... 07 pontos

3.4. .......................................... 05 pontos

3.5. .......................................... 15 pontos

4. ............................................................................ 35 pontos

4.1. .......................................... 10 pontos

4.2.a ..................... 15 pontos

4

4.2.b ..................... 10 pontos

TOTAL ................................................................................................... 200 pontos

Prova escrita de Matemática A

10.º ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 120 minutos + (20 minutos tolerância)

Temas: Funções + Geometria analítica de Plano e Espaço

Versão 2

5

Grupo INa resposta aos itens deste grupo, seleciona a opção correta. Escreva na folha de resposta, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Determina qual a condição que representa a zona a sombreado da figura.

(A) (( x+3 )¿¿2+ y2≥16∧ x>3)∨(x←2∧ y× x≥0)¿(B) (( x−3 )2+ y2≤16∧ x>3)∨(x←2∧ y ×x≥0)(C) (( x+3 )2+ y2≥16∧ x>3)∨(x←2∧ y× x≤0)(D) (( x−3 )2+ y2≤16∧ x>3)∨(x←2∧ y ×x≤0)

2. Considera o ponto R, que pertence ao eixo das cotas e ao plano de equação x2+ y2+2 z2=16, e o ponto S, de coordenadas (8 ,9,0).Qual das equações corresponde ao segmento de reta R ' S ', onde R ' e S ' são os simetrios dos pontos R e S em relação à origem e ao plano de equação y=0, respetivamente.

(A) ( x , y , z )=(−8 ,9 ,0 )+(−16 ,18 ,4 √2 ) k , k∈[0 ; 12 ](B) x

−8= y9= z+2√22√2

(C) {x=−8+4ky=9+k

z=0+√2k, k∈ [0 ;1 ]

(D) ( x , y , z )=(0 ,0 ,−2√2 )+(−16 ,18 ,4 √2 )k , k∈[0; 12 ]

3. Considera o seguinte referencial ortonormado do espaço. Sabe-se que D=A+O⃗B.Qual das seguintes alíneas corresponde a A+ D⃗C?

(A) (4 ,4 ,2 )(B) (−2 ,−2,1 )(C) (6 ,6 ,−2 )(D) (1 ,1,−3)

4. Determina a expressão de h(x ), sabendo que h ( x )=|2 x−1|+|−5x+1|

(A) h ( x )={3 x+2 , x<1

535 , x=15

−7 x , 15<x< 1

275

, x=12

−3 x−2 , x> 12

(B) h ( x )={3 x+2 , x< 1

235 , x=12

−7 x , 12<x<5

75 , x=5

−3 x−2 , x>5

(C) h ( x )={−7 x , x<1

535 , x=15

3 x+1 , 15< x< 1

2−75

, x=12

7 x , x>12

(D) h ( x )={−7 x , x< 1

5−35 , x=15

3 x−2 , 15<x<1

272

, x=12

−7 x , x> 12

5. Qual das funções pode apresentar a seguinte tabela de monotonia?

(A) a ( x )=¿(B) b ( x )=√x−1

(C) c ( x )=¿

(D) d ( x )=x2+3 x+8

6. Qual dos seguintes números não pode pertencer ao domínio de uma função f de expressão

analítica f ( x )= 22−√− (x−2 ) ( x−6 ) ?

1

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

7. Relativamente a uma função real de variável real f, sabe-se que f (a)não é o mínimo, nem relativo nem absoluto.Qual dos gráficos seguintes poderá ser o da função f?

(A) (B) (C) (D)

8. No referencial monométrico da figura, está parte da representação gráfica de duas funções r e s de domínio [a ,b].

Qual das afirmações é verdadeira?

(A) s−r não tem zeros(B) s∘r não tem zeros(C) s×r não tem zeros(D) r ∘ s não tem zeros

Grupo IINa resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considere o referencial ortonormado Oxyz, onde está representado o sólido [OABCDEFGH ], que pode ser decomposto num prisma quadrangular [OABCDEFG ] e uma pirâmide quadrangular regular [OEFGH ].Sabe-se que: A base [OEFG ] é coincidente com o plano xOy; O volume total do sólido é 96; O ponto B apresenta cota 4; O ponto G apresenta as coordenadas (4 ,4 ,0).

1.1. Determina as coordenadas do ponto H . 1.2. Determina, por meio de uma condição, o prisma quadrangular [OABCDEFG]. 1.3. Determina a equação da esfera de centro H que passa por B.

1.3.1. O ponto A pertence a essa esfera? 1.4. Determina a equação reduzida do plano mediador do segmento de reta DH .

2

2. Resolve a seguinte equação: |x+2|≥|1+2x|

3. Considera a função f , uma função real de domínio R, cujo gráfico está representado em baixo.

3.1. Determina a expressão designatória de f sob a forma de polinómio reduzido.3.2. Determina o domínio da função g, cuja expressão algébrica é g ( x )= 4√ f (x ). 3.3. Estuda a função f quanto:

3.3.1. À monotonia, sob forma de intervalos. Nota: utiliza as propriedades gráficas da calculadora para determinar os máximos e os mínimos e responde com 2 casas decimais.

3.3.2. O sinal, sob forma de intervalo. 3.4. Estuda a injetividade da função f .3.5. Caracteriza a função |f|.

4. Na figura está representada uma função i definida em [3 ,7 ] por i (x )=( x+5 )2+1.Sabe-se que os pontos C e D, de abcissas respetivamente 3 e 7, têm ordenada b.

4.1. Determina o contradomínio de i.4.2. Considera os pontos A e B pertencentes ao gráfico de f e com a mesma ordenada.

Seja x a abcissa de A.c) Mostra que a área do trapézio [ABCD ] é dada por A ( x )=x3−17 x2+91x−147.d) Recorrendo à calculadora gráfica, determina as coordenadas do ponto A para as quais a

área do trapézio [ABCD ] é máxima. Apresenta o resultado arredondado às décimas (nos cálculos intermédios, se procederes a arredondamentos, conserva pelo menos 3 casas decimais).

1 3

3

Fim da Prova

Cotações

GRUPO I ............................................................................................................. 48 pontos

Cada resposta certa ............................ 6 pontos

Cada resposta errada ............................ 0 pontos

Cada questão não respondida ou anulada ............................ 0 pontos

GRUPO II ............................................................................................................ 152 pontos

1. ............................................................................ 50 pontos

1.1. .......................................... 15 pontos

1.2. .......................................... 10 pontos

1.3. .......................................... 10 pontos

1.3.1. ..................... 05 pontos

1.4. .......................................... 10 pontos

2. ............................................................................... 15 pontos

3. ............................................................................ 52 pontos

3.1. .......................................... 10 pontos

3.2. .......................................... 10 pontos

3.31. ..................... 05 pontos

3.3.2. ..................... 07 pontos

3.4. .......................................... 05 pontos

3.5. .......................................... 15 pontos

4. ............................................................................ 35 pontos

4.1. .......................................... 10 pontos

4.2.a. ..................... 15 pontos

4.2.b ..................... 10 pontos

4

TOTAL ................................................................................................... 200 pontos

Critérios de avaliação

Grupo I – 48 pontos1. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontos

Versão 1 – (A); Versão 2 – (D)

2. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontosVersão 1 – (B); Versão 2 – (C)

3. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontosVersão 1 – (C); Versão 2 – (B)

4. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontosVersão 1 – (D); Versão 2 – (A)

5. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontosVersão 1 – (D); Versão 2 – (A)

6. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontosVersão 1 – (C); Versão 2 – (B)

7. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontosVersão 1 – (B); Versão 2 – (C)

8. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 pontosVersão 1 – (A); Versão 2 – (D)

Grupo II – 152 pontos

1. ……………………………………….……………………………………….……………………………………….……………………………………….………50 pontos1.1. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 15

pontos Determinar o volume do prisma quadrangular (V=64) 2 pontos

Desse modo o volume da pirâmide é 32, sendo a expressão do volume da pirâmide V=13Ab×h, então

determina-se que a altura da pirâmide é 6 4 pontos Como a pirâmide, de base coincidente com o plano xOy , encontra-se com o vértice para baixo, a cota de h é −6

3 pontos A abcissa e a ordenada do ponto H são iguais à abcissa e ordenada do ponto médio da diagonal facial. 4 pontos Logo H (2 ,2 ,6). 2pontos

1.2. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10 pontos

Resposta: (0<x<4 )∧ (0< y<4 )∧ (0<z<4 )

1.3. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10 pontos

Determinação do raio da circunferência, que é igual a HB=d (H ,B )=6√3 e r2= (6√3 )2=108 7 pontos

5

Circunferência de centro H , que passa por B: ( x−2 )2+( y−2 )2+( z+6 )2=108 3 pontos

1.3.1. ..………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 05 pontos Através da equação respondida na alínea anterior, substitui-se os valores de x , y e z pelas coordenadas

do ponto A(4 ,0 ,4) e determinar que A pertence à circunferência.

1.4. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10 pontos

A partir da designação de plano mediador, em que um ponto P que pertence a esse plano, d (P ,D )=d (P ,H ) e responder: x+ y+5 z=1

2. ……………………………………….……………………………………….……………………………………….……………………………………….………15 pontos

Definir uma função, f , cuja expressão seja f ( x )=|x+2|−¿1+2 x∨¿ ou f ( x )={x−1 , x≤−2

3 x+3 , −2<x← 12

−x+1 , x ≥−12

5 pontos

Estudar o sinal da função f , como, por exemplo, através de uma tabela de sinal, como: 7 pontos

Determinar que o conjunto – solução da inequação é [−1 ,1]. 3 pontos

3. ……………………………………….……………………………………….……………………………………….……………………………………….………52 pontos3.1. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10

pontos Reconhecer que se trata de uma função polinomial do terceiro grau e, então, f ( x )=a(x+4 )(x−1)(x−3) 4

pontos

A partir do ponto (0 ;−6) pertencente ao gráfico da função , determinar que a=−12 2 pontos

A partir da expressão f ( x )=−12

( x+4 ) ( x−1 ) (x−3 ), reduz-se o polinómio em f ( x )=−12x3+ 13

2x−6 4

pontos

3.2. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10 pontos

D g={x : f ( x )≥0} pois trata-se de um radical com índice par 3 pontos

f ( x )≥0⟺ x∈¿−∞ ,−4¿U [1,3] logo, D g=¿−∞ ,−4¿U [1,3] 7 pontos

3.3. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 12 pontos3.3.1. ..………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 05 pontos

Resposta: f crescente⟺ x∈ [−2,08 ;2,08 ] f decrescente⟺x∈¿−∞;−2,08 ¿e ¿

3.3.2. ..………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 05 pontosResposta:

f ( x )>0⟺ x∈¿−∞;−4 [U ]1;3 ¿ f ( x )<0⟺ x∈¿−4 ;1[U ]3 ;+∞ ¿

3.4. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 05 pontos

A partir da expressão ∀ x∈D f , f (x1 )=f (x2 )⟺ x1=x2 (função injetiva), verificar que a função é uma função não injetiva.

3.5. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 15 pontosResposta:|f|: R → Rx ¿ ¿

4. ……………………………………….……………………………………….……………………………………….……………………………………….………35 pontos4.1. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10

pontos Determinar que i (3 )=i (7 )=5 5 pontos

A partir da expressão y=a ( x−h )2+k que o contradomínio da função f é ¿ 3 pontos C Di=[1;5] 2 pontos

4.2. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 25 pontosa. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….15 pontos Determinar que b=5 e CD=7−3=4 2 pontos Atendendo à simetria da parábola, determinar AB=4−2 ( x−3 )=10−2 x. 5 pontos A altura do trapézio é dade por 5−f (x ). 3 pontos

Então, A ( x )=4+10−2 x2

× (5−f ( x ) )=x3−17x2+91 x−147 5 pontos

b. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….10 pontos Inserindo na calculadora a expressão da área, verifica-se que o máximo da função apresenta abcissa 4 ,3333

5 pontos Desse modo, f (4,3333 )≅ 1. 4. 3 pontos Logo A(4,3 ;1, 4) 2 pontos

CotaçõesGRUPO I ............................................................................................................. 48 pontos

GRUPO II ............................................................................................................ 152 pontos

1. ............................................................................ 50 pontos

1.1. .......................................... 15 pontos

1.2. .......................................... 10 pontos

1.3. .......................................... 10 pontos

1.3.1. ..................... 05 pontos

1.4. .......................................... 10 pontos

2. ............................................................................... 15 pontos

3. ............................................................................ 52 pontos

3.1. .......................................... 10 pontos

3.2. .......................................... 10 pontos

3.31. ..................... 05 pontos

3.3.2. ..................... 07 pontos

3.4. .......................................... 05 pontos

3.5. .......................................... 15 pontos

4. ............................................................................ 35 pontos

4.1. .......................................... 10 pontos

4.2.a. ..................... 15 pontos

4.2.b ..................... 10 pontos

TOTAL ................................................................................................... 200 pontos