Teste01 a

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

1º Teste de avaliação

Grupo I

1. A área da face de um dodecaedro regular é 26 2 cm ; então a área total do dodecaedro é:

(A) 2120 2 cm (B) 272 2 cm

(C) 26 24 cm (D) 272 24 cm

2. Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Então, se AD 1= ,

tem-se:

(A) DB 2= (B) DB 4=

(C) CB 4,5= (D) CB 4=

3. Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura:

(A) As rectas EF e CD são paralelas

(B) As rectas AB e EC são concorrentes

(C) As rectas HD e FG são paralelas

(D) As rectas EF e CD são não complanares

4. Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma

base. Então, sendo h a altura da pirâmide e h’ a altura do prisma, podemos concluir que:

(A) h

h'3

= (B) h 6h'= (C) h 9h'= (D) h'

h3

=

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

E

H G

CD

F

A B

B

C

DA


5. A área do triângulo da figura é 12 cm2. Qual é o valor de x?

(A) x 7cm= (B) x 9cm=

(C) x 10cm= (D) x 20 cm=

Grupo II

1. Mergulha-se uma esfera de raio 16 cm num cilindro com água. O cilindro tem

de raio (interno) 16 cm, ficando a esfera tangente à sua superfície lateral e ao

fundo do cilindro. Deita-se água no cilindro de forma a só cobrir a esfera.

1.1. Determine o volume da esfera.

1.2. Determine a altura da água dentro do cilindro depois de retirarmos a

esfera do seu interior.

2. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se que:

EP GQ CR 1cm= = =

2.1. Desenhe a secção produzida no cubo pelo plano PQR.

2.2. Indique a maior área da secção produzida no cubo por um plano

paralelo ao plano PQR.

2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao plano

EGH e que passa por x. A que distância do ponto B deve estar o

ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 2 cm3

de volume.

3. Um fabricante de sabonetes produz sabonetes de forma esférica que

acondiciona em caixas de 18 cm de aresta e já percebeu que, como

as pessoas não gastam o sabonete até ao fim, é mais rentável fazer

sabonetes de tamanho mais pequeno.

Pensou então fazer oito sabonetes que caibam na mesma

embalagem. Compare os volumes de sabonete numa e noutra caixa.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.

x - 3

x - 5

A

C

B

R

Q

P

H G

CD

FE

A B


4. A imagem representa uma caixa cúbica em que a aresta tem de

comprimento a dm. Sabe-se que P e Q são pontos médios das arestas

a que pertencem. Uma formiga desloca-se sobre a superfície da caixa,

de B até H, pelo caminho mais curto.

4.1. Determine a distância percorrida pela formiga.

4.2. Outra formiga desloca-se de P até Q, também pelo caminho mais

curto. Mostre que a distância percorrida por esta formiga é dada

pela expressão 2 adm⋅

Sugestão: Para responder às questões, comece por construir planificações do cubo e localize os

pontos envolvidos.

Formulário

Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo

Áreas

Paralelogramo: base altura×

Losango: diagonal maior diagonal menor

2×

Trapézio: base maior base menor

altura2+ ×

Polígono regular: perímetro

apótema2

×

Círculo: 2rπ , sendo r o raio do círculo

Superfície esférica: 24 rπ , sendo r o raio da esfera

Volumes

Prismas e cilindro: área da base altura×

Pirâmide e cone: 1

área da base altura3

× ×

Esfera: 34r

3π , sendo r o raio da esfera

Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau d a forma

2ax bx c 0+ + = : 2b b 4ac

x2a

− ± −=

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3 4.1 4.2 Cotação 10 10 10 10 10 15 20 15 20 20 20 20 20

Q

P

H G

CD

FE

A B





1º Teste de avaliação – Proposta de correcção

Grupo I

1. (B) A área da face de um dodecaedro regular é 26 2 cm ; então a área total do dodecaedro é

212 6 2 72 2 cm× = , por o dodecaedro ter 12 faces iguais.

2. (B) Os triângulos [ADC] e [DCB] são semelhantes e a razão de

semelhança é 2. Então, se AD 1= , tem-se: AD 1 CD 2= ⇒ = se

CD 2 DB 4= ⇒ = .

3. (A)Escolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da

figura, “As rectas EF e CD são paralelas” porque não têm pontos

comuns e têm a mesma direcção

(B) As rectas AB e EC são concorrentes é falsa porque as rectas

são não complanares.

(C) As rectas HD e FG são paralelas é falsa porque as rectas são

perpendiculares e não complanares,

(D) As rectas EF e CD são não complanares é falsa por as rectas serem paralelas.

4. (C) Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. Então, sendo h a

altura da pirâmide e h’ a altura do prisma, podemos concluir que:

pirâmide prisma base base

1 1V 3V A h 3 A h' h 3 h' h 9h '

3 3= ⇔ × × = × × ⇔ × = × ⇔ =

5. (B) A área do triângulo da figura é 12 cm2. O valor de x é 9 cm.

( ) ( ) 2 2x 3 x 512 24 x 3x 5x 15 x 8x 9 0

2

− −= ⇔ = − − + ⇔ − − = ⇔

8 64 4 9x x 9 x 1

2± + ×= ⇔ = ∨ = − . Como x tem de ser positivo e maior que 5 só pode ser 9

Grupo II

E

H G

CD

F

A B

x - 3

x - 5

A

C

B

B

C

DA


1. Mergulha-se uma esfera de raio 16 cm num cilindro com água. O cilindro tem

de raio (interno) 16 cm, ficando a esfera tangente à sua superfície lateral e ao

fundo do cilindro. Deita-se água no cilindro de forma a só cobrir a esfera.

1.1. O volume da esfera é 3 34 16384V 16 V cm

3 3π π= × ⇔ =

1.2. Determinemos a altura da água dentro do cilindro depois de retirarmos a

esfera do seu interior.

• Calcular o volume de água que é igual ao volume de um cilindro com 16 cm de raio da

base e 32 cm de altura menos o volume da esfera.

• 2 3água água

16384 8192V 16 32 V cm

3 3π π π= × × − ⇔ =

• O volume de água é 38192cm

3π

• Determinar a altura h de um cilindro com volume igual ao da água e com raio da base

16cm

• 22

8192 8192 3216 h h h cm

3 33 16π π= × × ⇔ = ⇔ =

×

• O valor da altura é 32

cm3

2. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm.

Sabe-se que: EP GQ CR 1cm= = =

2.1. A secção produzida no cubo pelo plano PQR está desenhada na

figura ao lado.

2.2. A secção com a maior área, produzida no cubo, por um plano

paralelo ao plano PQR é o rectângulo [ACGE]

AE 5 cm= e EG 5 2 10 cm= × = por [EG] ser a diagonal de

um quadrado de aresta [AE] sabendo que AE 5 cm=

Por se tratar de um rectângulo a área é

2A 5 10 A 50 A 5 2 cm= × ⇔ = ⇔ =

2.3. Seja x um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao plano EGH e

que passa por x. A que distância h do ponto B deve estar o ponto x

para que o prisma situado abaixo do plano α tenha 2 cm3 de volume

R

QP

H G

CD

FE

A B

S

R

QP

H G

CD

FE

A B

SC.A. 50 2 25 5 5 5 1

R

QP

H G

CD

FE

BA

x


é dada por ( )2 22 5 h 2 5h h

5= × ⇔ = ⇔ =

A distância h a que o ponto B deve estar do ponto x para que o prisma situado abaixo do

plano α tenha 2 cm3 de volume é 0,4 cm.

3. Um fabricante de sabonetes produz sabonetes de forma esférica que

acondiciona em caixas de 18 cm de aresta e já percebeu que, como as

pessoas não gastam o sabonete até ao fim, é mais rentável fazer

sabonetes de tamanho mais pequeno.

Pensou então fazer oito sabonetes que caibam na mesma embalagem. Comparemos os

volumes de sabonete numa e noutra caixa.

• Volume da esfera com raio 9 cm: 3 31 1

4V 9 V 972 cm

3π π= × × ⇔ =

• Volume de cada uma das 8 esferas de raio 4,5:

3 32 2

4V 4,5 V 121,5 cm

3π π= × × ⇔ =

• Volume das 8 esferas de raio 4,5: 3V 8 121,5 V 972 cmπ π= × ⇔ =

A quantidade de sabonete é a mesma nas duas caixas.

4. A imagem representa uma caixa cúbica em que a aresta tem de

comprimento a dm. Sabe-se que P e Q são pontos médios das arestas a que

pertencem. Uma formiga desloca-se sobre a superfície da caixa, de B até H,

pelo caminho mais curto.

4.1. Determinemos BH a distância percorrida pela formiga.

( )2 222 2HB a 2a HB 5a HB 5 adm= + ⇔ = ⇔ =

4.2. Outra formiga desloca-se de P

até Q, também pelo caminho

mais curto. Mostremos que a

distância percorrida por esta

formiga é dada pela expressão

2 adm⋅

Da observação da planificação

concluímos ser menor a distância

calculada através da face [BCGF] 2 22 2 2PQ a a PQ 2a= + ⇔ =

PQ 2 adm⇔ =

Q

P

HG

CD

FE

AB

2a

a

a

a

BC

Q

Q

E H

C

G

D

H

C

G

P

B

FE

A





1º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

B B A C B

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 35

1.1. Calcular o volume da esfera de raio 16 ………………………………… 15

1.2.

•••• Calcular o volume do cilindro com altura 32 cm e raio da base 16 cm

.……………………………………………………………………………… 5

•••• Calcular o volume da água …………………………….…………….. 5

•••• Igualar o volume da água a 216 hπ × × …………………………….. 2

•••• Resolver a equação …………………………………………………… 5

•••• Dar a resposta com o valor exacto ………………………………….. 3

2. …………………………………………………………………………………………………… 55

2.1.

•••• Desenhar [PQ] ………………………………………....………………….. 2

•••• Desenhar [QR] ………………………………………....………………….. 2

•••• Traçar paralela a PQ por R e obter S .……………....………………….. 5

•••• Desenhar [RS] ………………………………………....………………….. 2

•••• Desenhar [PS] ………………………………………....………………….. 2

•••• Desenhar a secção ………………………………………………..……... 2

2.2.

•••• Desenhar a maior secção .………………………………………..……... 5

•••• Calcular a medida da diagonal facial …..………………………..……... 8

•••• Calcular a área da secção …………………………………………..…… 7

2.3.

•••• Desenhar a secção produzida por α .………………………………..… 2


•••• Representar Bx por uma incógnita…..………………………..……...... 2

•••• Escrever a equação 2 5 5 h= × × ……………………………………… 8

•••• Resolver a equação ……………………………………………………….. 8

3. …………………………………………………………………………………………………… 20

•••• Calcular o volume da esfera de raio 9 ……………………………………. 5

•••• Calcular o volume da esfera de raio 92

………………….………………... 5

•••• Calcular o volume das 8 esferas …………………………………...……… 5

•••• Responder ….………………………………………………………………… 5

4. …………………………………………………………………………………………………… 40

4.1.

•••• Desenhar uma planificação ………………………………………………… 5

•••• Assinalar os pontos na planificação ………………………………………. 5

•••• Aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular BH ……………………… 5

•••• Calcular BH …………………………………………………………………. 5

4.2.

•••• Desenhar uma planificação adequada ….………………………………… 5

•••• Assinalar os pontos na planificação ………………………………………. 5

•••• Aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular PQ ……………………… 5

•••• Calcular PQ …………………………………………………………………. 5

Total ……………………………………………………………………………………………… … 200

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