Teste02 a

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/2011 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

11º Ano de Matemática – A

Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II

2º Teste de avaliação

Grupo I

1. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço

grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox.

Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude?

(A) (B) (C) (D)

2. De dois vectores p�

e q�

sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p q 9⋅ = −� �

(p q⋅� �

designa o produto escalar de p�

por q�

).

Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira.

(A) p q 0+ =� � �

(B) p q 0− =� � �

(C) p q⊥� �

(D) O ângulo dos vectores p�

e q�

é agudo

3. Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 3

y x2 5

= − +

Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 .

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


Qual é a equação reduzida da recta s?

(A) y 2x 2= + (B) y 2x 6= − + (C) 5

y 2x3

= − + (D) 3

y 2x5

= +

4. Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α , de equação x y 4+ =

O plano α é

(A) paralelo ao plano xOy (B) perpendicular ao plano xOy

(C) paralelo ao eixo Ox (D) perpendicular ao eixo Ox

5. Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por:

( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ℝ e 3

s :y x 14

= +

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades)?

(A) 37º (B) 39º (C) 41º (D) 43º

Grupo II

1. A figura representa a determinação da altura de uma

árvore cuja base é inacessível. Observe a figura e

calcule essa altura com aproximação às décimas.

2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 2.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD],

nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D.

Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do

ângulo BAP x ,4 2

π π ∈

.

Resolva as questões seguintes usando valores exactos .

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


2.1. Mostre que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 2A x 4

tgx= −

2.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 12 2 3

3−

2.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 15

cos x2 17π + = −

. Determine, para esse valor de

x, a área da região sombreada.

3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

O vértice O é a origem do referencial.

O vértice P pertence ao eixo Oz.

O vértice R pertence ao plano xOy

O vértice V tem coordenadas ( )2,11,5−

Uma equação vectorial da recta que contém a altura da

pirâmide é ( ) ( ) ( )x,y,z 7, 1,5 k 6, 8,0 ,k= − + − ∈ℝ .

3.1. Mostre que a base da pirâmide está contida no plano

de equação 3x 4y 0− = .

3.2. Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas ( )4,3,5 .

3.3. Determine o volume da pirâmide.

4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e

R um ponto fixo, exterior à circunferência.

4.1. Exprima RA′��

em função de RB��

e BA′��

e mostre que:

RA RA RA RB′⋅ = ⋅��

4.2. Identifique o conjunto dos pontos P que satisfazem a

equação vectorial PB AB 0⋅ =��

FIM

A'

A O

B

R


Cotações

Questão Cotação

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

1 20

2.1 15

2.2 15

2.3 15

3.1 15

3.2 15

3.3 15

4.1 20

4.2 20





2º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (B) Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo

trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado

origem é o semieixo positivo Ox.

É na figura (B) que está representado um ângulo que pode ter 3 radianos de

amplitude porque 3r 172º≃

2. (A) De dois vectores p�

e q�

sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que p q 9⋅ = −� �

(p q⋅� �

designa o produto escalar de p�

por q�

). Ora como

( ) ( ) ( )p q p q cos p,q 9 9cos p,q cos p,q 1 p,q 180º⋅ = × × ⇔ − = ⇔ = − ⇔ =� � � � � � � � � � � �

ɵ ɵ ɵ ɵ

A afirmação que é verdadeira é (A) p q 0+ =� � �

3. (A) Considere, num referencial o. n. xOy, a recta r de equação 1 3

y x2 5

= − +

Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( )1,4 .

A equação reduzida da recta s é da forma y 2x b= + porque uma recta perpendicular a outra

tem declive igual ao simétrico do inverso do declive da recta dada. Porque passa em ( )1,4

será 4 2 1 b b 2= × + ⇔ = . A equação da recta é y 2x 2= +

4. (B) Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α , de equação x y 4+ =

O plano α é normal ao vector de coordenadas ( )1,1,0 que pertence ao plano xOy pelo que é

perpendicular ao plano xOy

5. (A) Considere, num referencial o.n. xOy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por:

( ) ( ) ( )r : x,y 1,3 k 2,0 ,k= + ∈ℝ e 3

s :y x 14

= +


A amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades) é dado

por ( ) r.scos r ,s

r s=

×

� �

ɵ� � onde ( )r 2,0=

� e ( )s 4,3=�

. Então

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 4 0 3 8 4cos r ,s cos r ,s cos r ,s

2 5 52 0 4 3

× + ×= ⇔ = ⇔ =

×+ × +ɵ ɵ ɵ pelo que 1 4

r ,s cos5

− =

ɵ e

r ,s 37ºɵ ≃

Grupo II

1. A figura representa a determinação da altura de uma

árvore cuja base é inacessível. Observemos a figura e

calculemos essa altura com aproximação às décimas.

Comecemos por chamar x à distância do rapaz à árvore

e por h a distância da linha de medição ao cimo da

árvore.

( )

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

htg 43º h xtg 43º h xtg 43ºx

h h x 20 tg 22,5º xtg 43º xtg 22,5º 20tg 22,5ºtg 22,5ºx 20

= = = ⇔ ⇔ ⇔ = + = + =

+

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

20tg 22,5º tg 43ºh

h xtg 43º tg 43º tg 22,5º

x tg 43º tg 22,5º 20tg 22,5º 20tg 22,5ºx

tg 43º tg 22,5º

= = − ⇔

− = = −

A altura da árvore é ( ) ( )

( ) ( )20tg 22,5º tg 43º

1,6 16,5mtg 43º tg 22,5º

+−

≃

2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 2.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD],

nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D.

Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do

ângulo BAP x ,4 2

π π ∈

.

Vamos resolver as questões seguintes usando valores

exactos .

2.1. Mostremos que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 2A x 4

tgx= −


� Pela expressão dada verificamos que esta área é a área do quadrado menos a

área do triângulo [ADP].

� A área do quadrado é 4.

� o triângulo [ADP] é um triângulo rectângulo com um ângulo igual a x e outro a x2π − .

Sendo x a amplitude do ângulo APD podemos tirar que 2 2

tgx DPtgxDP

= ⇔ = .

� A área do triângulo é

22

2tgxA A

2 tgx

×= ⇔ =

� A área da região sombreada é em função de x, ( ) 2A x 4

tgx= −

2.2. Determinemos o valor de x para o qual a área da região sombreada é 12 2 3

3−

12 2 3 2 64 12tgx 2 3tgx 12tgx 6 2 3tgx 6 tgx

3 tgx 2 3

− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔

3 3tgx tgx 3 x

3 6π= ⇔ = ⇔ = , considerando que x ,

4 2 π π ∈

.

2.3. Para um certo valor de x, sabe-se que 15

cos x2 17π + = −

. Determinemos, para esse

valor de x, a área da região sombreada.

� Ora 15 15 15

cos x senx senx2 17 17 17π + = − ⇔ − = − ⇔ =

� A partir de senx calculemos cosx.

22 215 225 64

cos x 1 cos x 1 cos x17 289 289 + = ⇔ = − ⇔ = ±

e como x ,4 2

π π ∈

será

8cos x

17=

� Sabendo senx e cos x podemos calcular

151517tgx tgx

8 817

= ⇔ =

� A área da região sombreada é neste caso 2 16 44

A 4 A 4 A15 15 158

= − ⇔ = − ⇔ =


3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

O vértice O é a origem do referencial.

O vértice P pertence ao eixo Oz.

O vértice R pertence ao plano xOy

O vértice V tem coordenadas ( )2,11,5−

Uma equação vectorial da recta que contém a altura da

pirâmide é ( ) ( ) ( )x,y,z 7, 1,5 k 6, 8,0 ,k= − + − ∈ℝ .

3.1. Mostremos que a base da pirâmide está contida no

plano de equação 3x 4y 0− = .

� Temos já um vector normal ao plano que é o vector director da recta e tem

coordenadas ( )6, 8,0− e sabemos que o plano passa na origem.

� Então 6 0 8 0 D D 0× − × = ⇔ = e a equação do plano é 6x 8y 0 3x 4y 0− = ⇔ − =

como queríamos provar.

3.2. Justifiquemos que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas ( )4,3,5 .

� o centro da base da pirâmide é o ponto de intersecção da recta que contém a altura

com o plano da base. Verifiquemos que o ponto dado pertence aos dois:

� ( )4,3,5 pertence à recta:

( ) ( ) ( )34 7 6k k

164,3,5 7, 1,5 k 6, 8,0 3 1 8k k4 2

k5 58

= + = − = − + − ⇔ = − − ⇔ ⇔ = − = −=

Isto significa que

para 1

k2

= − obtemos como ponto da recta o ponto ( )4,3,5 .

� ( )4,3,5 pertence ao plano: 3 4 4 3 0 0 0× − × = ⇔ = PV o que significa que o ponto

pertence ao plano.

3.3. Determinemos o volume da pirâmide.

� O plano que contém o vértice da pirâmide e é paralelo ao plano xOy tem equação

z 5= pelo que a cota de P é 10 o mesmo acontecendo à aresta da base.

� A altura da pirâmide é a distância entre o vértice e o centro da

base: ( ) ( ) ( )2 2 2h 4 2 3 11 5 5 36 64 10= + + − + − = + =


� O volume da pirâmide é 21 1000V 10 10 V

3 3= × × ⇔ =

4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R um ponto fixo, exterior à

circunferência.

4.1. Comecemos por:

� exprimir RA′��


e BA′��

. RA RB BA′ ′= +��

� mostremos que: RA RA RA RB′⋅ = ⋅��

� Ora ( )RA RA RA RB BA RA RB RA BA RA RB′ ′ ′⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅��

porque RA BA 0′⋅ =��

por os vectores serem perpendiculares.

4.2. O conjunto dos pontos P que satisfazem a equação

vectorial PB AB 0⋅ =��

é a recta tangente à circunferência

no ponto B

A'

A O

B

RP





2º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

B A A B A

Grupo II

1. 20

• Representar por uma letra a distância do rapaz à árvore 2

• Representar por uma letra (h) a distância da linha de observação

à árvore 2

• Escrever h em função do triângulo com ângulo de 43º 2

• Escrever h em função do triângulo com ângulo de 22,5º 2

• Calcular o valor de h 10

• Calcular a altura da árvore 2

2. 45

2.1. 15

•••• Identificar a expressão como diferença entre a área do quadrado e a do

triângulo 2

•••• Calcular a área do quadrado 2

•••• Exprimir DP em função da tgx 5

•••• Calcular a área do triângulo 4

•••• Calcular a área da região sombreada 2

2.2. 15

•••• Escrever a equação 5

•••• Resolver a equação 8

•••• Apresentar a solução 2

2.3. 15

•••• Simplificar cos x2π +

4

•••• Calcular cos x 4

•••• Calcular tgx 4

•••• Calcular a área pedida 3


3. 50

3.1. 15

•••• Identificar o vector director da recta como vector normal ao plano 5

•••• Escrever a equação do plano 10

3.2. 15

•••• Identificar o ponto como intersecção da recta com o plano 5

•••• Mostrar que o ponto pertence à recta 5

•••• Mostrar que o ponto pertence ao plano 5

3.3. 15

•••• Identificar a cota de P para concluir sobre a medida da aresta da

base 5

•••• Calcular a altura da pirâmide 5

•••• Calcular o volume da pirâmide 5

4. 40

4.1. 20

•••• Exprimir RA′��


e BA′��

10

•••• Mostrar que: RA RA RA RB′⋅ = ⋅��

10

4.2. 20

•••• Identificar o lugar geométrico 10

•••• Justificar 10

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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