Teste02 c

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Geometria no Plano e no Espaço I

2º Teste de avaliação

Grupo I

1. Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação:

(A) à bisectriz dos quadrantes ímpares (B) à recta de equação x 1=

(C) à bissectriz dos quadrantes pares (D) à recta de equação y 1=

2. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser

definido pela condição:

(A) x 2 y 1≤ ∧ ≤ − (B) x 1 y 2≤ − ∧ ≤

(C) x 2 y 1≤ ∨ ≤ − (D) x 1 y 2≥ − ∨ ≥

3. A equação x 3= representa:

(A) um ponto no plano e uma recta no espaço;

(B) uma recta quer no plano, quer no espaço;

(C) um ponto quer no plano, quer no espaço;

(D) uma recta no plano e um plano no espaço.

4. Considere o cubo com 4 cm de aresta representado no

referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição

x 4 z 4= ∧ = − é:

(A) o plano ABC (B) a recta BF

(C) a recta AB (D) a recta AD

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

x

y

z

G O

CD

FE

A B


5. A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi aplicado

um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir

que a cota de V é:

(A) 2 2 (B) 4 2 (C) 2 3 (D) 4 3

Grupo II

1. No referencial xOy da figura a unidade nos

dois eixos é a quadrícula.

1.1. Identifique as coordenadas dos pontos A,

C, D, E e I.

1.2. Identifique as equações das rectas que

contêm as fronteiras da região

sombreada e em seguida defina por uma

condição a região sombreada.

2. Num sólido constituído por três cubos,

geometricamente iguais, foram assinalados

seis pontos: A, B, C, D, E e F.

Considere o referencial o.m. Oxyz, em que

a unidade é igual à aresta dos cubos.

2.1. Indique as coordenadas dos pontos A,

B, C, D, E e F.

2.2. Escreva a equação do plano ACB

2.3. Defina por uma condição a recta AB.

2.4. Identifique o ponto simétrico de D em relação a O. Indique as suas coordenadas.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.

x

y

z

O

V

4

2

-2

-4

5 x

y

O

G H

FE

J I

A B

C

L K

D

x

y

zD

EO

BF

C

A


2.5. Desenhe na figura a secção produzida no sólido pelo plano OBA e calcule a sua área.

3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo truncado e foi obtido por truncatura de

um cubo de aresta nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que dividem em 3 partes

iguais cada uma das arestas do cubo original.

3.1. Que tipos de polígonos são as faces deste poliedro e

quantas há de cada tipo? O poliedro é regular?

Justifique.

3.2. Quanto medem as arestas do cubo truncado?

3.3. Determina a área de [DBJIHGFE]?

4. As rectas de equação y x= − e y 2= definem com uma recta paralela ao eixo das abcissas

um triângulo de área 32 cm2. Determine uma possível equação dessa recta. Verifique se a

solução que encontrou é a única.

Sugestão: Faça uma representação geométrica da situação.

FIM

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4 Cotação 10 10 10 10 10 10 30 12 10 10 10 18 15 10 10 15





2º Teste de avaliação – Proposta de resolução

Grupo I

1. (C) Os pontos ( )A 3,7− e ( )B 7,3− são simétricos em relação à bissectriz dos quadrantes

pares

2. (C) Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser

definido pela condição x 2 y 1≤ ∨ ≤ −

3. (D) A equação x 3= representa uma recta no plano e um plano no

espaço.

4. (C) Consideremos o cubo com 4 cm de aresta representado no

referencial Oxyz. O lugar geométrico definido pela condição

x 4 z 4= ∧ = − é a recta AB

5. (A) A figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi

aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro.

Podemos concluir que a cota de V é metade da diagonal de um quadrado

de lado 4 e por isso metade de 4 2 que é 2 2

Grupo II

1. No referencial xOy da figura a unidade nos dois eixos é a quadrícula.

1.1. As coordenadas dos pontos A, C, D, E e I são: ( )A 2, 4− − , ( )C 1, 2− − , ( )D 5, 2− , ( )E 5,2 e

( )I 7, 3−

1.2. As equações das rectas que contêm as fronteiras da região sombreada são:

• AL: x 2= − • BC: x 1= − • DK: x 5=

• LK: y 0= • CD: y 2= − • AB: y 4= −

x

y

z

G O

CD

FE

A B

x

y

z

O

V


Uma condição que define a zona é: ( ) ( )2 x 1 4 y 0 1 x 5 2 y 0− ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤ ∨ − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤

4

2

-2

-4

5 x

y

O

G H

FE

J I

A B

C

L K

D

2. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis

pontos: A, B, C, D, E e F.

Considere o referencial o.m. Oxyz, em que a

unidade é igual à aresta dos cubos.

2.1. As coordenadas dos pontos A, B, C, D, E

e F são ( )A 1, 2, 1− − , ( )B 1,0, 1− ,

( )C 1, 1,0− , ( )D 1,0,1− , ( )E 1,1,0− e

( )F 0, 2, 1− − .

2.2. Uma equação do plano ACB é x 1=

2.3. A recta AB e definida pela condição

x 1 z 1= ∧ = −

2.4. O ponto simétrico de D em relação a O é ( )B 1,0, 1−

2.5. Na figura está desenhada a secção produzida no sólido pelo plano OBA e a sua área é

três vezes a área de um rectângulo com 1 de largura e 2 de comprimento.

( )A 3 1 2 3 2= × =

3. O poliedro representado na figura ao lado é um cubo

truncado e foi obtido por truncatura de um cubo de aresta

nove centímetros. Os seus vértices são os pontos que

dividem em 3 partes iguais cada uma das arestas do cubo

original.

x

y

zD

EO

BF

C

A


3.1. Os polígonos que são as faces deste poliedro são 6 octógonos irregulares e 8 triângulos

equiláteros.

3.2. As arestas do cubo truncado são de dois tipos: 12 iguais a BD 3= e 24 iguais a BJ 3 2=

porque são diagonais de quadrados de lado 3.

3.3. [DBJIHGFE] é um octógono contido dentro de um quadrado de lado 9 ao qual foram

tirados 4 triângulos rectângulos cujos catetos medem 3. Assim a área de [DBJIHGFE] é

3 3A 9 9 4 81 18 63

2×= × − × = − = .

Também podia considerar o octógono dividido em 2 trapézios iguais com base maior 9,

base menor 3 e altura 3 e um rectângulo com dimensões 3 e 9, pelo que a área de

[DBJIHGFE] é 9 3

A 9 3 2 3 27 36 632+= × + × × = + =

4. As rectas de equação y x= − e

y 2= definem com uma recta

paralela ao eixo das abcissas um

triângulo de área 32 cm2. Uma

possível equação dessa recta é

x 6= ou x 10= − porque para a

área de um triângulo rectângulo

ser 32 o produto das medidas dos

seus catetos é 64 e como neste

caso o triângulo é rectângulo

isósceles os dois catetos são

iguais pelo que cada um mede 8.

Assim adicionando e subtraído 8 à

abcissa de do ponto de

intersecção das duas rectas dadas

(A) obtemos os valores a que devemos igualar x para obter as equações das possíveis rectas

e que são as únicas. Há duas soluções como podíamos verificar utilizando as coordenadas

dos pontos assinalados na figura

( ) ( ) ( )2 2

2a 2 a 232 a 2 64 a 2 8 a 2 8 a 6 a 10

2

+ × += ⇔ + = ⇔ + = ∨ + = − ⇔ = ∨ = −

Donde poderíamos concluir serem as rectas de equação x 6= ou x 10= − as que definem

com as rectas de equação y x= − e y 2= um triângulo de área 32 cm2.

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5

8

8

8 8

A: (-2, 2)

C(a,-a)

A B (a,2)





2º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

C C D C A

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 40

1.1. Calcular as coordenadas dos 5 pontos……………………………………….. 10

1.2. …………………………………………………………………………………….. 30

•••• Escrever uma equação de cada uma das 6 rectas...……………… 12

•••• Escrever a condição que define a zona.…………….……………… 18

2. …………………………………………………………………………………………………… 60

2.1. Calcular as coordenadas dos 6 pontos……………………………………….. 12

2.2. Escrever uma equação do plano ……………………………………………… 10

2.3. Escrever uma condição que defina a recta AC ……………………………… 10

2.4. …………………………………………………………………………………….. 10

•••• Indicar o ponto B ….…………………...………………………………..… 5

•••• Indicar as coordenadas do ponto B …..………………………..……...... 5

2.5. ……………………………………………………………………………………… 18

•••• Desenhar a secção ……………………………………………………….. 9

•••• Calcular a área da secção ……………………………………………….. 9

3. …………………………………………………………………………………………………… 35

3.1. …………………………………………..………………………………………….. 15

•••• Indicar que 8 faces são triângulos equiláteros ……………………..…… 4

•••• Indicar que 6 faces são octógonos irregulares …….………………….…. 4

•••• Dizer que o poliedro é irregular e justificar ………...……………...……… 7

3.2. ……………………………………………………………………………………….. 10

•••• Calcular a medida da aresta que é lado do triângulo …………………… 5

•••• Calcular a medida da aresta que é lado do octógono…………………… 5

3.3. ……………………………………………………………………………………….. 10


•••• Decompor o polígono ……………………………………………………… 2

•••• Calcular a área do quadrilátero …………………………………………… 2

•••• Calcular a área do triângulo ou do trapézio …..…………………………. 4

•••• Calcular a área do octógono ………………………………………………. 2

4. ……………………………………………………………………………………………… 15

•••• Desenhar a recta de equação y x= − ……………………………….……… 2

•••• Desenhar a recta de equação y 2= ………………………………………. 2

•••• Identificar as coordenadas dos vértices ……………….……….………… 2

•••• Identificar os comprimentos dos catetos ……...……….…………………. 2

•••• Escrever a equação ( ) ( )2 2a 2 a 2

322

+ × += …………………………… 3

•••• Resolver a equação …………………………………………………………. 2

•••• Dar a resposta justificando as duas soluções …………………………….. 3

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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