Teste03 versao1

Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 2012/2013

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

3º Teste de avaliação – versão1

Grupo I

1. Num referencial o.n. Oxy, o simétrico, em relação ao eixo das ordenadas, do ponto R de

coordenadas 0,3 , é o ponto R' de coordenadas:

(A) 0,3 (B) 0, 3 (C) 3,0 (D) 3,0

2. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um

sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.

As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados

ou lhes são paralelas.

O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .

A condição x 0 z 8 representa:

(A) a reta IH (B) a reta LJ

(C) a reta HL (D) a reta IJ

3. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma

circunferência de centro no ponto ( ). Qual das condições

seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) ( ) ( ) ⋀

(B) ( ) ( ) ⋀

(C) ( ) ( ) ⋀

(D) ( ) ( ) ⋀

As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

Não apresente cálculos ou justificações.

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

x

y

z

H

I J

L

N

Q

ME

P

G

OC'

F

B A


4. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um

cubo de aresta 2. Sabe-se que:

A face [ABCD] está contida no plano xOy

A aresta [DC] está contida no eixo Oy

O ponto C tem coordenadas (0,4,0)

Os pontos (2,4,0) e (0,2,0) são vértices do cubo.

Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices?

(A) ABC (B) ACG (C) BDH (D) BCF

5. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, a reta r, que

interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de

ordenada 2.

Qual é a equação reduzida da reta r

(A) (B)

(C) (D)

Grupo II

1. Num referencial o.n. O,e,f , considere A 3,1 , B 2,0 , C 1,5 e o vetor u e 2f .

1.1. Calcule AB e u .

1.2. Verifique se os vetores u e AC são colineares.

1.3. Determine as coordenadas do ponto médio de AC .

1.4. O quadrilátero ABCD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D.

1.5. Escreva uma equação da circunferência que tem centro em A e passa por C.

1.6. Escreva uma equação da reta que contém B e tem a direção de u .

2. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço.

O vértice O é a origem do referencial.

As faces do paralelepípedo são paralelas aos planos coordenados.

O ponto E tem coordenadas (3,4,2).

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exato.


O ponto M é o ponto médio da aresta [EF]

2.1. Determine o vetor usando as letras da

figura.

2.2. Determine o perímetro da secção produzida no

paralelepípedo pelo plano ADM.

2.3. Utilize as letras da figura para identificar duas retas

não complanares, mas perpendiculares.

2.4. Determine os valores de a e b de forma que e

( ) sejam colineares.

2.5. Determine uma condição que defina a esfera de diâmetro [AF].

3. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] (o ponto H não

está representado na figura)

3.1. Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um

vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras.

Copie as afirmações obtidas para a sua folha de respostas.

3.2. Admita agora que:

O ponto A tem coordenadas ( )

O ponto B tem coordenadas ( )

O ponto E tem coordenadas ( )

3.2.1. Determine a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG.

3.2.2. Escreva uma equação vetorial da reta que passa por F e é paralela ao eixo Oz.

4. No referencial o.n. da figura está um trapézio retângulo

[ABCD], P e Q são os pontos médios de [AD] e [DC],

respetivamente.

Mostre que , utilizando operações com

vetores e conclua sobre a posição relativa dos

segmentos de reta [AC] e [PQ].

FIM

y

x

C

D

Q

P

AO

B

x

y

z

ME

D

BA

FG

CO


Cotações

Grupo I

Questão 1 2 3 4 5

Cotação 10 10 10 10 10

Grupo II

Questão 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2.1 3.2.2 4

Cotação 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Formulário

Geometria

Perímetro do círculo: 2 r , sendo r o raio do círculo

Áreas

Paralelogramo: base altura

Losango: diagonal maior diagonal menor

2

Trapézio: base maior base menor

altura2

Polígono regular: perímetro

apótema2

Círculo: 2r , sendo r o raio do círculo

Superfície esférica: 24 r , sendo r o raio da esfera

Volumes

Prismas e cilindro: área da base altura

Pirâmide e cone: 1

área da base altura3

Esfera: 34r

3 , sendo r o raio da esfera

Álgebra

Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma

2ax bx c 0 : 2b b 4ac

x2a





3º Teste de avaliação – versão1 – proposta de resolução

1. (A) Num referencial o.n. Oxy, o simétrico, em relação ao eixo das ordenadas, do ponto R de

coordenadas 0,3 , é o ponto R' de coordenadas 0,3 por R ser um ponto do eixo das

ordenadas:

2. (D) Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um

sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.

As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados

ou lhes são paralelas.

O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .

A condição x 0 z 8 representa a reta IJ

3. (B) Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma

circunferência de centro no ponto ( ). Das condições

seguintes a que define a região sombreada, incluindo a

fronteira é ( ) ( ) ⋀

4. (B)Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz,

um cubo de aresta 2. Sabe-se que:

A face [ABCD] está contida no plano xOy

A aresta [DC] está contida no eixo Oy

O ponto C tem coordenadas (0,4,0)

Os pontos (2,4,0) e (0,2,0) são os vértices B e D do cubo.

O plano mediador do segmento de reta [BD] é ACG

5. (C) Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, a reta r, que

interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de

ordenada 2.

A equação reduzida da reta r é porque o declive da reta que

passa nos pontos ( ) e ( ) é

e a ordenada na origem

que é a ordenada do ponto onde a reta interseta o eixo das ordenadas é 2.

x

y

z

H

I J

L

N

Q

ME

P

G

OC'

F

B A


Grupo II

1. Num referencial o.n. O,e,f , considere A 3,1 , B 2,0 , C 1,5 e o vetor u e 2f .

1.1. Calculemos AB e u .

2 2

AB 2 3 0 1 26

2 2u 1 2 5

1.2. Verifiquemos se os vetores u 1,2 e AC 1 3,5 1 2,4 são colineares:

1 4 2 2 4 4 P.V. . Como os vetores verificam a condição de colinearidade

podemos concluir que são colineares.

1.3. Determine as coordenadas do ponto médio de AC .

AC

3 1 1 5M , 2,3

2 2

1.4. O quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

Determinemos as coordenadas do ponto D.

Observando a figura concluímos que:

D A BC D 3,1 3,5 6,6

1.5. Vamos escrever uma equação da circunferência que tem centro em A e passa por C.

Para escrever a equação precisamos de conhecer o centro A 3,1 e o raio

r AC 4 16 20 : A equação é 2 2

x 3 y 1 20 .

1.6. Vamos escrever uma equação da reta que contém B e tem a direção de u podemos optar

por uma equação vetorial: x,y 2,0 k 1,2 ,k IR

2. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço.

O vértice O é a origem do referencial.

As faces do paralelepípedo são paralelas aos planos

coordenados.

O ponto E tem coordenadas (3,4,2).

O ponto M é o ponto médio da aresta [EF]

2.1. Determinemos o vetor .

2.2. Determinemos o perímetro da secção produzida no

paralelepípedo pelo plano ADM. Esta secção é um

retângulo em que um lado é [AD] e sabemos que AD 2 ,

x

y

z

ME

D

BA

FG

CO


outro é [DM] cujo comprimento podemos calcular por aplicação do teorema de Pitágoras

ao triângulo [DEM]: 2 2 2

DE EM DM ou seja

22

2 3 9 734 DM DM 16 DM

2 4 2

e o perímetro é P 4 73

2.3. Duas retas não complanares, mas perpendiculares são, por exemplo AB e DG.

2.4. Determinemos os valores de a e b de forma que ( ) e ( ) sejam

colineares. Terá de ser então

a 1 1 b 3 14a 3 4b 2 a b

3 4 4 2 4 2

2.5. Determinemos uma condição que defina a esfera de diâmetro [AF]. Sabendo que

A 3,0,0 e F 0,4,2 podemos calcular o centro, ponto médio de [AF]:

AF

3 0 0 4 0 2 3M , , ,2,1

2 2 2 2 e podemos ainda calcular o raio

2 2 23 0 0 4 0 2AF 9 16 4 29

r2 2 2 2

uma condição que defina a esfera de diâmetro [AF]:

22 23 29

x y 2 z 12 4

3. Na figura, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] (o ponto H não

está representado na figura)

3.1. Vamos preencher cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto

ou de um vetor, de modo a obter afirmações

verdadeiras.

3.2. Admitamos agora que:

O ponto A tem coordenadas ( )

O ponto B tem coordenadas ( )

O ponto E tem coordenadas ( )

3.2.1. Determinemos a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG. Esta secção é

o retângulo [ABGH] que tem um lado igual à aresta do cubo e outra igual à diagonal

facial. Calculemos 2 2 2

AB 13 11 2 1 8 2 4 9 36 49 7 e

podemos então saber que a diagonal facial é BG 7 2 .

a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG é A 7 7 2 49 2


3.2.2. Pretendemos escrever uma equação vetorial da reta que passa por F e é paralela

ao eixo Oz. Precisamos de conhecer o ponto F e um vetor com a direção do eixo Oz:

F é tal que F E AB 8,5,0 2,3,6 10,8,6

um vetor director do eixo Oz é 3e 0,0,1

Uma equação da reta é x,y,z 10,8,6 k 0,0,1 ,k IR

4. No referencial o.n. da figura está um trapézio retângulo [ABCD], P e Q são os pontos médios

de [AD] e [DC], respetivamente.

Mostremos que , utilizando operações com vetores para concluirmos sobre a

posição relativa dos segmentos de reta [AC] e [PQ].

Hipótese:

[ABCD] é um trapézio retângulo

P é ponto médio de [AD]

Q é ponto médio de [DC]

Tese:

Demonstração:

AC AD DC

PQ PD DQ

AD 2PD

DC 2DQ

Então AC 2PD 2DQ 2 PD DQ 2PQ

Como AC 2PQ podemos concluir que os vetores AC e PQ são colineares e assim os

segmentos de reta [AC] e [PQ] são paralelos.

y

x

C

D

Q

P

AO

B





3º Teste de avaliação – versão1 – critérios de classificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0

(zero) pontos.

1 2 3 4 5

A D B B C

Grupo II (150 pontos)

1. 60

1.1. 10

Calcular AB 5

Calcular u 5

1.2. 10

Calcular AC 3

Aplicar a condição de colinearidade 5

Concluir 2

1.3. 10

1.4. 10

Figura 2

Encontrar a relação para calcular D 3

Calcular D 5

1.5. 10

Calcular o raio 5

Escrever a equação pedida 5

1.6. 10

2. 50

2.1. 10

2.2. 10

Calcular o comprimento 5

Calcular a largura 2

Calcular o Perímetro 3


2.3. 10

2.4. 10

Calcular GB 5

Aplicar a condição de colinearidade 5

2.5. 10

Calcular as coordenadas de A e F 2

Calcular o centro 3

Calcular o raio 3

Escrever a condição 2

3. 25

3.1. 10

Completar a expressão 1 3



3.2. 20

3.2.1. 10

Identificar a secção 3

Calcular a aresta 2

Calcular a diagonal 3

Calcular a área 2

3.2.2. 10

Calcular o ponto 4

Identificar o vetor 3

Escrever a equação 3

4. 10

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

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