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Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Geometria no Plano e no Espaço I
4º Teste de avaliação – versão A
Grupo I
1. O domínio plano da figura pode ser definido por uma
das condições seguintes. Identifique-a.
(A) ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 4 x 3 y x
3− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤
(B) ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 9 x 3 y x
3+ + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≤
(C) ( ) ( )2 2 3x 3 y 2 9 x 3 y x
2− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤
(D) ( ) ( )2 2 3x 3 y 2 4 x 3 y x
2+ + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≤
2. Na figura esta representado um referencial o.n. xOy.
A recta AB é definida pela equação x 2y 2 0+ − = .
A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa
pelo ponto ( )C 4,0− é uma das seguintes. Identifique-a
(A) y 2x 8= + (B) y 2x 8= − −
(C) 1
y x 22
= − − (D) 1
y x 42
= − −
3. Observe o gráfico de uma função quadrática da forma
2y ax k,a 0= + ≠ , representado na figura ao lado. Escolha das
seguintes a expressão que a pode definir.
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
• Não apresente cálculos ou justificações.
• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
4
2
5x
y
3
C
O 1
y
xO A
B
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 2
(A) 2y 4x 2= + (B) 21y x 2
2= + (C) 2y 2x 4= + (D) 2y 2x 2= +
4. A figura representa a função f definida por ( ) 2f x x= .
Qual dos gráficos seguintes pode representar a função g
definida por ( ) ( )2g x x 2= + ?
(A) (B)
(C) (D)
5. Relativamente às afirmações seguintes:
I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B∪ ;
II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função;
III. Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva;
Então podemos afirmar:
(A) Somente I é verdadeira (B) Somente III é verdadeira
(C) São todas falsas (D) II e III são verdadeiras
Grupo II
1. Considere a função g representada graficamente na figura seguinte.
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exacto.
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 3
1.1. Indique:
1.1.1. domínio e contradomínio de g;
1.1.2. a imagem de zero;
1.1.3. o original que tem imagem 2.
1.2. Indique o conjunto solução das condições:
1.2.1. ( )g x 0=
1.2.2. ( )g x 0>
1.3. Faça uma tabela de monotonia e extremos para a
função g.
1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ℝ , determine k de modo que a
equação tenha exactamente duas soluções.
2. Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira
contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em
milhares, decorridas h horas, é dado por ( ) 2N h h 4h 9= − + + .
2.1. Quantas bactérias havia às 8 horas?
2.2. Qual foi o resultado da segunda contagem?
2.3. Calcule ( ) ( )N 2 N 1− e interprete o resultado no contexto do problema.
2.4. Em que período do dia o número de bactérias foi superior a 9000?
2.5. Descreva a evolução da colónia desde as 8 até às 13 horas.
NOTA: sempre que recorrer à calculadora não se esqu eça de transcrever os gráficos e ou
as tabelas.
3. Num referencial o.n. ( )O,e,f� �
, considere ( )A 3,1 , ( )B 2,0− , ( )C 1,5 e o vector u e 2 f= − +� � �
.
3.1. Verifique se os vectores u�
e AC����
são colineares.
3.2. Calcule AB����
e u�
.
3.3. Determine as coordenadas do ponto médio de [ ]AC
3.4. O quadrilátero [ ]ABCD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D.
4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios
das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro.
Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem
coordenadas ( )2,2,2 .
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 4
4.1. Indique as coordenadas dos vértices do cuboctaedro
representados na figura.
4.2. Determine a distância entre os pontos A e G.
4.3. Mostre que a razão entre os volumes do cubo e do
cuboctaedro é 1,2.
FIM
COTAÇÕES
QUESTÃO COTAÇÃO QUESTÃO COTAÇÃO
1 10 50 2.1 10
2 10 2.2 10
3 10 2.3 10
4 10 2.4 10
5 10 50 2.5 10
1.1.1 6 30 3.1 8
1.1.2 5 3.2 6
1.1.3 5 3.3 6
1.2.1 5 3.4 10
1.2.2 5 30 4.1 10
1.3 8 4.2 5
1.4 6 40 4.3 15
y
z
x
F
E
G
H
J
D
C
BA
O
I
R
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 5
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Geometria no Plano e no Espaço I
4º Teste de avaliação – Proposta de resolução
Grupo I
1. (A) O domínio plano da figura pode ser definido pela
condição ( ) ( )2 2 2x 3 y 2 4 x 3 y x
3− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤
2. (C) Na figura esta representado um referencial o.n.
xOy.
A recta AB é definida pela equação x 2y 2 0+ − = cuja
equação reduzida é:
1x 2y 2 0 2y x 2 y x 1
2+ − = ⇔ = − + ⇔ = − +
A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa
pelo ponto ( )C 4,0− é uma equação do tipo 1
y x b2
= − +
que é verificada pelas coordenadas do ponto C:
( )10 4 b b 2
2= − × − + ⇔ = − . Pelo que a equação reduzida
da recta r é 1
y x 22
= − −
3. (B) Observemos o gráfico de uma função quadrática da forma
2y ax k,a 0= + ≠ , representado na figura ao lado. Vamos
escolher das seguintes a expressão que a pode definir.
O valor de k é 2 e para calcularmos o valor de a vamos utilizar
as coordenadas do ponto assinalado no gráfico
2 14 a 2 2 4a 4 2 4a 2 a
2= × + ⇔ = − ⇔ = ⇔ = . Então a função é
definida pela equação 21y x 2
2= +
4
2
5x
y
3
C
O 1
y
xO A
B
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 6
4. (B) A figura representa a função f definida por ( ) 2f x x= .
O gráfico que pode representar a função g definida por
( ) ( )2g x x 2= + é
5. (B) Relativamente às afirmações seguintes:
I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B∪ ; falsa
II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função; falsa
III. Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva; verdadeira
Então podemos afirmar: Somente III é verdadeira
Grupo II
1. Considere a função g representada graficamente na figura.
1.1. Indiquemos:
1.1.1. O domínio de g é ℝ e contradomínio de g é
[ ] [ [3,2 3,− ∪ +∞ ;
1.1.2. a imagem de zero é 3 ou seja ( )g 0 3= ;
1.1.3. o original que tem imagem 2 é -1 ou seja
( )g x 2 x 1= ⇔ = − .
1.2. Indiquemos o conjunto solução das condições:
1.2.1. ( )g x 0 x 2= ⇔ = − , o conjunto solução é
{ }S 2= −
1.2.2. ( ) ] [g x 0 x 2,> ⇔ ∈ − +∞ , o conjunto solução é ] [2,− +∞
1.3. Façamos uma tabela de monotonia e extremos para a função g.
x −∞ 4− 1− 0 +∞
( )g x 3 3− → −
m
-3
m
ր 2
M
ց 3 ր
1.4. Seja ( )g x k,k= ∈ℝ , determinemos k de modo que a equação tenha exactamente duas
soluções. A equação só tem duas soluções quando ] [k 1,2∈ .
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 7
2. Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira
contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em
milhares, decorridas h horas, é dado por ( ) 2N h h 4h 9= − + + .
2.1. Às 8 horas havia ( ) 2N 0 0 4 0 9 9= − + × + = milhares de bactérias.
2.2. A segunda contagem equivale a h 1= então ( ) 2N 1 1 4 1 9 12= − + × + = . O resultado na
segunda leitura foi 12 milhares de bactérias.
2.3. Calculemos ( ) ( ) 2N 2 N 1 2 4 2 9 12 1− = − + × + − = e podemos dizer que entre as 9 e as 10
horas houve um aumento de 1000 bactérias.
2.4. Entre as 8 horas e as 12 horas o número de bactérias foi
superior a 9000, porque ( ) ] [N h 9 h 0,4> ⇔ ∈
2.5. Vamos descrever a evolução da colónia desde as 8 até
às 13 horas.
Às 8 horas havia 9000 bactérias
e esse número foi crescendo até
às 10 horas altura em que
atingem o valor máximo 13000
bactérias. Este valor vai diminuindo até que às 13 horas já só há 4000 bactérias.
3. Num referencial o.n. ( )O,e,f� �
, consideremos ( )A 3,1 , ( )B 2,0− , ( )C 1,5 e o vector u e 2 f= − +� � �
.
3.1. Verifiquemos se os vectores u�
e AC����
são colineares:
o ( ) ( ) ( )AC C A 1,5 3,1 2,4= − = − = −����
o ( )u 1,2= −�
o ( )1 4 2 2 4 4− × = × − ⇔ − = − logo os vectores são colineares
3.2. Calculemos ( ) ( )2 2AB 2 3 0 1 26= − − + − =����
e ( )2 2u 1 2 5= − + =�
.
3.3. Determinemos as coordenadas do ponto médio
de [ ]AC : [ ] ( )AC
3 1 1 5M , 2,3
2 2+ + = =
3.4. O quadrilátero [ ]ABCD é um paralelogramo.
Determinemos as coordenadas do ponto D.
( ) ( ) ( )D C BA 1,5 5,1 6,6= + = + =����
Se não tivéssemos respeitado a ordem pela qual
6
4
2
5
D: (6, 6)
D
C
B
A
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 8
devem ser lidos os vértices, isto é, se o pedido fosse um paralelogramo com vértices nos 3
pontos dados, podíamos encontrar as coordenadas do quarto vértice de mais duas outras
maneiras:
( ) ( ) ( )D C AB 1,5 5, 1 4,4= + = + − − = −����
D B CA ( 2,0) (2, 4) (0, 4)= + = − + − = −����
4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios
das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro.
Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que
o ponto R, vértice do cubo tem coordenadas ( )2,2,2 .
4.1. Indiquemos as coordenadas dos vértices do
cuboctaedro representados na figura:
( )A 1,0,2 , ( )B 0,1,2 , ( )C 1,2,2 , ( )D 2,1,2 , ( )E 2,0,1 , ( )F 1,0,0 ,
( )G 0,2,1 , ( )H 2,2,1 , ( )I 2,1,0 , ( )J 1,2,0
4.2. Determinemos a distância entre os pontos A e G:
( ) ( ) ( )2 2 2AG 1 0 0 2 2 1 6= − + − + − =
4.3. Mostremos que a razão entre os volumes do cubo e do
cuboctaedro é 1,2.
o O volume do cubo é 3cuboV 2 8= =
o O volume da pirâmide [RDHC] é pirâmide1 1 1 1
V 13 2 6
×= × × =
o O volume do cuboctaedro é cuboctaedro cubo pirâmide1 20
V V 8 V 8 86 3
= − × = − × =
o cubo
cuboctaedro
V 81,2
20V3
= =
FIM
y
z
x
F
E
G
H
J
D
C
BA
O
I
R
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 9
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Geometria no Plano e no Espaço I
4º Teste de avaliação – Critérios de correcção
Grupo I
1 2 3 4 5
A C B B B
Grupo II
1. ………………………………………………………………………………………………….. 40
1.1. ………………………………………………..………………………………………. 16
1.1.1. ………………………………………………………………………… 6
•••• Identificar o domínio ………………………………….....……… 3
•••• Identificar o contradomínio …………….…………….………... 3
1.1.2. ………………………………………………………………………… 5
1.1.3. ………………………………………………………………………… 5
1.2. ………………………………………………..………………………………………. 10
1.2.1. ………………………………………………………………………… 5
1.2.2. ………………………………………………………………………… 5
1.3. ………………………………………………..………………………………………. 8
•••• 1ª linha ………………………………………………………………………. 3
•••• 2ª linha ………………………………………………………………………. 3
•••• Indicação dos extremos …………………………………………………… 2
1.4. ………………………………………………..………………………………………. 6
2. …………………………………………………………………………………………………… 60
2.1. Calcular ( ) 2N 0 0 4 0 9 9= − + × + = milhares de bactérias ……………………….. 10
2.2. Calcular ( ) 2N 1 1 4 1 9 12= − + × + = e dar resposta………………………………… 10
2.3. ( ) ( ) 2N 2 N 1 2 4 2 9 12 1− = − + × + − = e interpretar………………………………… 10
2.4. ………………………………………………………………………………………… 10
•••• Apresentar gráfico..…………………...………………………………..… 5
•••• ( ) ] [N h 9 h 0,4> ⇔ ∈ ………………..…..………………………..……...... 5
2.5. …………………………………………………………..……………………………. 10
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 10
•••• Cálculo de N(5) ………………………………………………………….. 2
•••• Calcular o valor máximo ………………………………………………… 2
•••• Descrever o comportamento da função ………………………………. 6
3. …………………………………………………………………………………………………… 35
3.1. ………………………………………………………………………………………. 8
•••• Cálculo de AC����
…………………………………………………………….. 2
•••• Utilização da definição ou da condição de colinearidade ……………. 4
•••• Dar a resposta ……………………………………………………………. 2
3.2. ………………………………………………………………………………………. 6
3.3. ………………………………………………………………………………………. 6
3.4. ………………………………………………………………………………………. 10
•••• Indicar as coordenadas de pelo menos um ponto …………………… 2
•••• Indicar o processo de cálculo das coordenadas …………………...... 5
•••• Indicar as coordenadas do ponto correcto ………………………….... 3
4. ………………………………………………………………………………………………
4.1. ……………………………………………………………………………………….. 10
4.2. ……………………………………………………………………………………….. 5
4.3. ……………………………………………………………………………………….. 15
•••• Cálculo do volume do cubo …………………………………………….. 3
•••• Cálculo do volume de uma pirâmide …………………………………… 4
•••• Cálculo do volume do cuboctaedro …………………………………….. 5
•••• Cálculo da razão entre os volumes …………………………………….. 3
Total ………………………………………………………………………………………………… 200