Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/2013

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

2º Teste de avaliação – versão2

Grupo I

1. Um certo prisma tem 30 vértices, quantas arestas tem?

(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60

2. Na figura está representada uma planificação de um cubo.

Em qual das opções seguintes pode estar esse cubo?

3. Na figura estão representados um triângulo isósceles [ABC] e um

quadrado inscrito nesse triângulo.

A altura relativa à base [AB] é o segmento de reta [CD], representado a

tracejado.

Sabe-se que AB 5cm= e que CD 10cm= .

Quanto mede em centímetros o lado do quadrado?

(A) 13

4 (B)

10

3 (C)

7

2 (D)

15

4

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.

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4. Na figura, está representado um cubo de aresta 8.

Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo.

O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC 6= .

Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano

ABD?

(A) 40 (B) 48 (C) 80 (D) 100

5. Na figura está representado um sólido que se pode decompor no

cubo [ABCDEFGH] e a pirâmide triangular não regular [GIJK].

Sabe-se que:

• o cubo tem aresta 12.

• o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK] com a

aresta [GF].

• o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK] com a

aresta [GH].

• o ponto G é o ponto médio do segmento [CK].

Qual é o valor do volume da pirâmide [GIJK]?

(A) 36 (B) 72 (C) 144 (D) 288

Grupo II

1. Considere o trapézio [ABCD] representado

no referencial o.m. da figura.

1.1. Escreva as coordenadas de todos os

seus vértices.

1.2. Desenhe, no referencial da figura, o

simétrico deste trapézio em relação à

bissectriz dos quadrantes pares.

1.3. Calcule o valor exato do perímetro do

trapézio.

1.4. Defina por uma condição a reta BC.

1.5. Os lados do trapézio e o seu interior

são constituídos por um conjunto de

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exato.

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NM

GH

C

FE

A B

D

V

pontos do plano. Defina o lugar geométrico desses pontos através de uma condição.

2. Considere a condição x 3 x 2≥ − ∧ ≥ .

2.1. Represente, num referencial o.m. xOy do plano, o conjunto de pontos definido pela

condição dada.

2.2. Escreva a sua negação.

3. Observe a figura ao lado.

3.1. Escreva, em IR2, uma condição que defina a região do plano

assinalada na figura.

3.2. Escreva, sem usar o símbolo ~, a negação da condição obtida.

4. Observe a figura ao lado.

[ABCDEFGH] é um cubo.

[VHEFG] é uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais

são triângulos equiláteros.

M e N são pontos médios das arestas [GF] e [HE]

respectivamente.

Sabendo que o volume do cubo é 216 cm3, determine:

4.1. A área da secção definida no sólido pelo plano NVM.

Sugestão: comece por desenhar a secção.

4.2. A posição relativa das retas FB e VH.

4.3. A amplitude do ângulo formado pelas retas FB e VH.

5. Na figura está representado um cilindro de altura h e raio da

base r.

Sejam A e B os centros das bases do cilindro.

Considere um ponto P que se desloca ao longo do segmento

[AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B.

Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices

coincidem com o pontoo P e cujas bases coincidem com as

bases do cilindro. Mostre que a soma dos volumes dos dois

cones é constante, isto é, não depende da posição do ponto P.

Sugestão - designe por a altura de um dos cones.

FIM

Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5 TOTAL Cotação 10 10 10 10 10 10 10 10 10 15 15 10 15 10 15 5 10 15 200

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Formulário

Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo

Áreas Paralelogramo: base altura×

Losango: diagonal maior diagonal menor

2

×

Trapézio: base maior base menor

altura2

+×

Polígono regular: perímetro

apótema2

×

Círculo: 2rπ , sendo r o raio do círculo

Superfície esférica: 24 rπ , sendo r o raio da esfera

Volumes Prismas e cilindro: área da base altura×

Pirâmide e cone: 1

área da base altura3× ×

Esfera: 34r

3π , sendo r o raio da esfera

Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma

2ax bx c 0+ + = : 2b b 4ac

x2a

− ± −=

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

2º Teste de avaliação – versão 2 – proposta de resolução

Grupo I

1. (C) Se um certo prisma tem 30 vértices então tem 15 vértices em cada base e tem 15 arestas

em cada base e mais 15 arestas laterais pelo que tem 45 arestas.

2. (D) Na figura está representada uma planificação de um cubo.

Esse cubo é

3. (B) Na figura estão representados um triângulo isósceles [ABC] e um quadrado

inscrito nesse triângulo.

A altura relativa à base [AB] é o segmento de reta [CD], representado a

tracejado.

Sabe-se que AB 5cm= e que CD 10cm= .

Quanto mede em centímetros o lado do quadrado?

Se o lado do quadrado for a podemos utilizar a semelhança de dois triângulos

fazendo 5 a 50 10

50 5a 10a 15a 50 a a10 10 a 15 3

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =−

4. (C) Na figura, está representado um cubo de aresta 8.

Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo.

O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC 6=

Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano

ABD?

A secção é um retângulo com um lado que mede 8 e outro lado que é a hipotenusa de um

triângulo rectângulo com um cateto 6 e outro 8.

2 2 2 2l 8 6 l 100 l 10= + ⇔ = ⇔ =

A área é então 80 por ser 8 10 80× =

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5. (B) Na figura está representado um sólido que se pode decompor no

cubo [ABCDEFGH] e a pirâmide triangular não regular [GIJK].

Sabe-se que:

• o cubo tem aresta 12.

• o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK] com a

aresta [GF].

• o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK] com a

aresta [GH].

• o ponto G é o ponto médio do segmento [CK].

Atendendo a que os triângulos [KBC] e [KGI] são semelhantes

podemos escrever 24 12 12 12

IG IG 612 24IG

×= ⇔ = ⇔ =

O volume da pirâmide [GIJK] é

6 612

2V 723

××

= =

Grupo II

1. Considere o trapézio [ABCD]

representado no referencial o.m. da

figura.

1.1. As coordenadas de todos os seus

vértices são ( )A 0,0 , ( )B 4,0− ,

( )C 4,2− e ( )D 2,2−

1.2. No referencial da figura, o

simétrico deste trapézio em

relação à bissectriz dos quadrantes

ímpares é o trapézio [ADEF].

1.3. Calculemos o valor exato do

perímetro do trapézio. Para isso

precisamos de calcular AD o que

faremos utilizando o teorema de Pitágoras: 2

2 2AD 2 2 AD 2 2= + ⇔ =

Assim o perímetro é P 2 2 2 2 4 8 2 2= + + + = + u.c.

1.4. Uma condição que define a reta BC é x 4= − .

1.5. Os lados do trapézio e o seu interior são constituídos por um conjunto de pontos do plano.

O lugar geométrico desses pontos através de uma condição é definido por:

0 y 2 x 4 y x≤ ≤ ∧ ≥ − ∧ ≤ −

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2. Consideremos a condição x 3 x 2 x 2≥ − ∧ ≥ ⇔ ≥ .

2.1. Representemos, num referencial o.m. xOy do plano, o

conjunto de pontos definido pela condição dada.

2.2. A negação da expressão dada é:

( )~ x 3 x 2 x 3 x 2 x 2≥ − ∧ ≥ ⇔ < − ∨ < ⇔ <

3. Observe a figura ao lado.

3.1. Em IR2, uma condição que defina a região do plano assinalado

a sombreado na figura é y 2 x 3≤ ∧ ≥

3.2. Sem usar o símbolo ~, a negação da condição obtida é:

( )~ y 2 x 3 y 2 x 3≤ ∧ ≥ ⇔ > ∨ <

4. Observe a figura ao lado.

[ABCDEFGH] é um cubo.

[VHEFG] é uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros.

M e N são pontos médios das arestas [GF] e [HE] respectivamente.

Sabendo que o volume do cubo é 216 cm3, determinemos:

4.1. A área da secção definida no sólido pelo plano NVM é a área

de um quadrado mais a área de triângulo isósceles.

Se o volume do cubo é 64 cm3 então a aresta mede

3a 216 6= =

NV MV= são alturas dos triângulos equiláteros de lado 4 cm

pelo que podemos dizer que medem 3

6 3 32× = cm ou caso

não nos lembremos da relação entre o lado e a altura aplicar o Teorema de Pitágoras

concluindo que: 2 2

2 2NV 3 6 NV 36 9 NV 27 NV 3 3+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = cm

Vamos novamente aplicar o teorema de Pitágoras para obter a altura h do triângulo

[MNV]:

( )2

2 2 2h 3 3 3 h 27 9 h 18 h 3 2 cm+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Agora já podemos calcular a área da secção que é a soma da área de um quadrado com

6 cm de lado e com a área de um triângulo com base 6 cm e altura 3 2 cm.

( )2 2

secção

6 3 2A 6 36 9 2 cm

2

×= + = +

4.2. As retas FB e VH são concorrentes não perpendiculares.

NM

GH

C

FE

A B

D

V

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4.3. Para calcularmos a amplitude do ângulo formado pelas retas FB

e VH vamos desenhar um esquema da secção produzida no

sólido pelo plano FVH. Esse plano divide o sólido ao meio e o

triângulo [HFV] é retângulo isósceles pois os seus catetos são

iguais aos lados do quadrado e a hipotenusa é a diagonal do

quadrado. Prolongando os lados [HV] e [FB], eles encontram-se

no ponto que chamamos P formando um novo triângulo retângulo

isósceles, sendo, por isso, a amplitude do ângulo das duas retas

45º. A posição relativa das retas FB e VH.

5. Na figura está representado um cilindro de altura h e raio da base

r.

Sejam A e B os centros das bases do cilindro.

Considere um ponto P que se desloca ao longo do segmento

[AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B.

Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices

coincidem com o ponto P e cujas bases coincidem com as bases

do cilindro. Mostremos que a soma dos volumes dos dois cones é

constante, isto é, não depende da posição do ponto P.

Façamos PB a= e PA h a= − e calculemos o volume V soma

dos volumes dos dois cones:

( ) ( )2 22 2r h a r a h ar a r hV

3 3 3 3

π × − π + −π × π= + = =

Concluímos que o volume obtido não depende do valor a e por isso não depende da posição

do ponto P ele é sempre um terço do volume do cilindro independentemente da posição do

ponto P.

45º

45º

45º 45º

6690º

90º

6 2

P

V

B

F

D

H

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

2º Teste de avaliação – versão2 – Critérios de classificação

Grupo I (50 pontos)

Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0

(zero) pontos.

1 2 3 4 5

C D B C B

Grupo II (150 pontos)

1. 55

1.1. 10

1.2. 10

1.3. 10

•••• Calcular a medida de AD 5

•••• Calcular o perímetro pedido 5

1.4. 10

1.5. 15

•••• Identificar as fronteiras 5

•••• Definir os semiplanos 5

•••• Identificar as operações com as condições 5

2. 25

2.1. 15

•••• Identificar a fronteira 5

•••• Definir o semiplano 5

•••• Apresentar no referencial devidamente identificado 5

2.2. 10

•••• Negar as condições 5

•••• Negar a operação 5

3. 25

3.1. 15

•••• Identificar as fronteiras 5

•••• Definir os semiplanos 5

•••• Identificar a operação com as condições 5

Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/2013

10

3.2. 10

•••• Negar as condições 5

•••• Negar a operação 5

4. 30

4.1. 15

•••• Desenhar a secção 3

•••• Calcular a aresta do cubo 2

•••• Calcular a altura dos triângulos 4

•••• Calcular a área do quadrado 2

•••• Calcular a área do triângulo 2

•••• Calcular a área da secção 2

4.2. 5

4.3. 10

•••• Desenhar um esquema da situação 3

•••• Identificar as medidas dos lados 2

•••• Identificar os ângulos dos triângulos 2

•••• Concluir o ângulo das duas retas 3

5. 15

•••• Fazer PB a= e PA h a= − 5

•••• Calcular a soma dos volumes dos cones 5

•••• Justificar a independência 5

Total @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 200