Trabalho de Equações Diferenciais Parciais

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  • EQUAES DIFERNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBLICO 2016

    NDICE Introduo ................................................................................................................... 2

    1 Equaes Diferenciais do Tipo Hiperblico .......................................................... 3

    1.1 Mtodos de Resoluo das EDP .................................................................... 3

    1.1.1 Mtodo da Integrao Bsica Directa ...................................................... 4

    1.1.2 Mtodo de Mudana de Variveis ........................................................... 5

    1.1.3 Separao de Variveis ........................................................................... 8

    2 Srie de Fourier .................................................................................................. 10

    2.1 Funes Pares e mpares ............................................................................ 11

    2.1.1 Propriedades das Funes Pares e mpares ......................................... 12

    2.2 Srie de Fourier de Cossenos e de Senos ................................................... 12

    2.3 Equao de Uma Oscilao de Uma Corda ................................................. 13

    2.3.1 Soluo da Equao da Onda pelo Mtodo de Fourier ......................... 13

    Concluso ................................................................................................................. 17

    Referncias Bibliogrficas ......................................................................................... 18

    Integrantes do Grupo ................................................................................................. 19

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    INTRODUO A Matemtica na sua abrangncia, oferece conexes preponderantes a diversos

    campos cientficos. Salientando a apario das Equaes Diferenciais Parciais como

    sustento de diversos problemas fsicos como: Problema de mecnica de fluidos, de

    slidos-dinmica, de elasticidade, de transferncia de calor, da teoria

    electromagntica, mecnica quntica, e outros.

    Nas EDP de Ordem Superior aparecem as EDP Lineares Homogneas e no

    Homogneas. No que tange as EDP de 2 ordem eis a classificao: Hiperblico,

    Elptico e Parablico.

    No entanto a nossa abordagem cingir-se-, nas Equaes Diferenciais Parciais de

    tipo Hiperblico, abarcando assim a demonstrao e resoluo da mesma, a

    equao de oscilao de uma corda, condies com valores de contorno do

    problema e soluo da equao da corda pelos mtodos de Fourier.

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    1 EQUAES DIFERENCIAIS DO TIPO HIPERBLICO

    Dada uma EDP na forma, GFUy

    UE

    x

    UD

    y

    UC

    yx

    UB

    x

    UA

    2

    22

    2

    2

    onde

    todos os coeficientes A, B, C, D, E e F so funes que dependem das variveis

    em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C no nulo; do Tipo

    Hiperblico se, .

    EXEMPLOS.

    1. Diga se as seguintes equaes diferenciais so do tipo Hiperblico

    a)

    b)

    Soluo:

    a)

    ( ) uma equao diferencial hiperblica.

    b)

    no uma equao diferencial hiperblica.

    EXERCCIOS.

    1-Diga se as seguintes equaes diferenciais so do tipo Hiperblico

    )

    b)

    c)

    1.1 MTODOS DE RESOLUO DAS EDP

    H vrios mtodos que podem aplicar-se para encontrar as solues particulares de

    uma equao diferencial.

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    1.1.1 MTODO DA INTEGRAO BSICA DIRECTA

    No mtodo de integrao bsica directa procede-se como nas EDOs (Equaes

    Diferencias Ordinrias) exactas, quando integramos em ordem a uma das variveis,

    consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma funo

    arbitrria nas outras variveis como uma constante.

    EXEMPLOS.

    1. Sabendo que U uma funo de x e de y, determinar as solues gerais das

    equaes diferenciais parciais seguintes:

    a) ( ) b) ( )

    Soluo:

    a) ( )

    , Integrando ambos os membros em ordem a x, como U uma funo de x e

    y, ento considera-se como constante uma funo em ordem a y.

    Logo vem:

    ( ) ( ), que neste caso a soluo geral.

    b) ( )

    Integrando primeiro em ordem a vem ( ) ( ) e integrando agora em

    ordem a y temos como soluo geral

    ( ) ( ) ( ).

    EXERCCIOS

    Obter as solues gerais das equaes diferenciais parciais Seguintes:

    a. ( ) b. ( ) c. ( )

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    1.1.2 MTODO DE MUDANA DE VARIVEIS

    EQUAO CARACTERSTICA

    Para a EDP ( ) ( ) ( ) Definimos a equao

    diferencial caracterstica associada como:

    ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) As curvas caractersticas

    associadas so as solues da equao diferencial (ordinria) caracterstica.

    Exemplo de equaes caractersticas de uma EDP A equao

    definida em 2 ,tem a equao caracterstica ( ) ( )

    A soluo desta EDO caracterstica, fornece duas curvas caractersticas:

    muito til realizar mudanas de variveis para simplificar uma EDP com o objectivo

    de obter formas mais simples para resolver esta equao parcial e o mecanismo que

    oferece mudana de variveis para simplificar uma EDP a equao caracterstica

    associada.

    Dada uma EDP de segunda ordem (ou equao de Euler) =0

    Onde so nmeros reais. Usando as mudanas de variveis:

    e aplicando a regra da cadeia poderemos escrever :

    e

    E assim temos:

    Neste caso a soluo geral dada por ( ) ( ) ( ) De forma anloga temos:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

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    Assim:

    (

    ) (

    )

    Ou seja:

    Ou em uma notao mais simples:

    ( ) Analogamente:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    )

    ( )

    )

    Ou mais simplesmente:

    ( ) ( )

    Do mesmo modo:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    ) (

    )

    Ou seja:

    Ou ainda vem:

    ( )

    EXEMPLO.

    Determinar a soluo geral para a equao:

    Soluo:

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    Determinando primeiro a equao caracterstica ordinria vem: ( ) ( ) ( )( )

    Integrando cada uma das equaes temos

    , fazendo

    Fazendo tambm . Ento:

    =

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Ou simplesmente:

    Analogamente:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Ou apenas:

    Substituindo as derivadas de segunda ordem na equao dada temos:

    ( )

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    , Aplicando o mtodo da integrao bsica directa temos que: ( ) ( ) ( ) que soluo da equao

    Com as variveis originais obtemos a soluo:

    ( ) ( ) ( ) que a soluo geral.

    EXERCCIOS.

    Usando as transformaes indicadas, resolver a seguinte equao:

    a) 0456 yyxyxx

    ZZZ

    Pelas condies: yxvyxu 2;34

    1.1.3 SEPARAO DE VARIVEIS

    Quando se busca uma soluo particular em forma de um produto de uma funo de

    x por uma funo de y, como:

    ( ) ( ) ( )

    As vezes possvel converter uma equao em derivadas parciais, linear com duas

    variveis em uma equao ordinria. Para faz-lo notemos que:

    ,

    E que

    ,

    EXEMPLOS.

    Determine:

    a)

    b)

    Soluo:

    a)

    Visto que o membro esquerdo independente de y e o membro direito tambm

    independente de x, chegamos a concluso que ambos os membros so

    independentes de x como de y. Por outras palavras cada lado da equao deve ser

    uma constante. Na prtica se costuma escrever esta constante de separao como

    ou

    Desta forma distinguimos os trs casos seguintes:

    CASO I

    Se as duas igualdades

    , ento temos:

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    , assim temos as Respectivas equaes auxiliares seguintes:

    , onde para x e para

    Dessa forma temos as solues seguintes:

    x x , assim uma soluo particular da EDP

    dada : U =XY

    ( x x )

    x

    x onde

    CASO II

    Se as igualdades

    onde para x e para y

    temos que , assim as solues respectivas so:

    x x , a soluo particular

    correspondente :

    ( x x )

    x

    x onde e

    representa a unidade imaginria.

    CASO III

    Se 0, a