Edson Júnio dos SantosNovas Tecnologias no Ensino da Matemática – UFF - 2012

O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc. O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Definições:

Ferramentas para compreensão

Para melhor entendimento de funções sugerimos que assista aos vídeos postados nos links abaixo que facilitaram o aprendizado sobre funções.

MUITO PRAZER SOU A PARÁBOLAhttp://www.youtube.com/watch?v=_JFDFyw3llc&feature=related

MARIO BROS e as parábolashttp://www.youtube.com/watch?v=E_0AHIaK48A&feature=fvwrel

Em certa cidade os taxistas cobram R$2,50 a bandeirada mais R$1,50 por quilômetro rodado. Como é possível para um passageiro determinar o valor da corrida?

Neste problema é fácil verificar que o valor da corrida depende do número de quilômetros rodados. Para resolvê-lo é necessário determinar, a partir dos dados apresentados, a relação existente entre o preço (P) e o número x de quilômetros rodados, que são as variáveis do problema.

Aplicações em problemas do cotidiano

Numa primeira tentativa para obter esta relação vamos construir uma tabela onde calculamos o valor de P para alguns valores particulares de x. Veja ao lado e complete as lacunas.

A partir desta tabela, você é capaz de deduzir a relação que fornece o preço da corrida qualquer que seja o número de quilômetros rodados?

x P

0 2,5

1 4

2

3,5

4 8,5

n

Comprovar

Se você completou corretamente a tabela anterior deve ter percebido que o preço da corrida é determinado pela relação P = 2,5 + 1,5 x. Esta relação define P como uma função de x e permite calcular o preço da corrida para qualquer número de quilômetros rodados, mesmo para aqueles valores de x que não constam da tabela

acima.

Utilize o software GraphMática para construir o gráfico da tabela que você construiu para responder as questões abaixo:

Agora é com você

(e)Dentro do contexto do problema apresentado, qual o domínio da função P.

(b) Qual a sua imagem?

CONSTRUÇÃO NO GRAPHMÁTICA

Um time de praia montou um campo de futebol de 100 m de

comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu

cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de

largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?

pista

3

3

100

703

3

campo

MUITO PRAZER FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

ANÁLISE DE CENÁRIO 2

A área da região cercada é: (100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2

Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria: (100 + 2 . 4) (70 + 2 . 4) = 108 . 78 =8 424 m2

Observe que a cada largura x da pista, há uma área A(x) da região cercada. E

que o valor de A(x) é uma função de x dada pela expressão:

A(x) = (100 + 2x) (70 + 2x) =

= 7 000 + 200x + 140x + 4 x2

= 4 x2 + 340x + 7 000

Esse é um caso particular de função quadrática ou função polinomial do 2 º grau.

Utilize o software GraphMática para construir o gráfico

Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2 º grau, qualquer

função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 +bx + c, em que a, b e c

são números reais e a ≠ 0.

Veja alguns exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 2 x2 + 3x + 5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = 3 x2 - 4x + 1, sendo a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = - 1

f(x) = - x2 + 2x, sendo a = - 1, b = 2 e c = 0

f(x) = - 4 x2 , sendo a = - 4, b = 0 e c = 0

http://www.labvirt.fe.usp.br/simulacoes/fisica/sim_funcoes_parabola.htm

Experimente o objeto de aprendizagem em para exercitar a teoria

O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.

Vamos construir o gráfico da função quadrática dada por f(x) = x2 - 3x + 2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x f(x)-1 6

0 2 1 0 2 0 3 2

ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Zeros ou raízes da função quadrática f(x)= ax2 + bx + c são os valores de x para

os quais a função se anula, ou seja, f(x) = 0. Assim, os zeros da função quadrática

f(x)= ax2 +bx +c são as soluções da equação do 2º grau ax2 +bx + c = 0, as quais são

dadas pela fórmula:

x = - b ± √ bx = - b ± √ b22 – 4ac – 4ac 2a2a

Vamos obter os zeros da função f(x) = x2 - 3x + 2.

Temos a = 1, b = - 3 e c = 2

Então, aplicando a fórmula, as raízes são: x’ = 1 e x’’ = 2.

VÉRTICE DA PARÁBOLA

O vértice da parábola, gráfico da função f(x)= ax2 + bx + c, tem

coordenadas xv = - b (abscissa) e yv = - ∆ (ordenada). Assim, o vértice 2a 4a da parábola é o ponto V - b , - ∆ . 2a 4a

Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo da função.

Se a < 0, o vértice é ponto de máximo da função.

V(xv , yv)

ponto de máximo

V(xv , yv)

ponto de mínimo

AS ORIGENS DA PARÁBOLA

Não há unanimidade sobre como a curva plana conhecida como parábola foi

introduzida na matemática. Segundo a versão mais difundida, ela teria surgido dos

esforços de Menaecmo (c. IV a.C.), um discípulo de Aristóteles (384-322 a.C.), para

resolver o chamado “problema deliano”, cuja origem é muito curiosa.

Assolados por uma devastadora peste, os habitantes da ilha de Delos (os delianos)

recorreram aos préstimos de seu oráculo, que sugeriu , para afastar o mal, que eles

construíssem um altar cúbico cujo volume fosse o dobro do já existente consagrado

ao deus Apolo. E a parábola tem sua origem na busca dessa solução.

APLICAÇÕES DA PARÁBOLA

http://ensino.univates.br/~actogni/giragira/

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Utilize o software GraphMática e construa todas as parábolas do Mario Bross.

BIBLIOGRAFIA:

DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.

IEZZI, G.et al. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2ª Ed. São Paulo:

Atual