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Slides sobre função cosseno e função seno.
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1
Trigonometria
Prof. Gustavo Costa2
Ângulo central determina arco
Radiano (rad): arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. C(arco) = R.a
Arcos e ângulos
Prof. Gustavo Costa3
Ciclo ou Círculo Trigonométrico Centro na origem Raio = 1
Pode ser qualquer, mas facilita com R=1 Eixo x: eixo dos cossenos Eixo y: eixo dos senos Sentido Anti-Horário: >0 Sentido Horário: <0
Trigonometria na Circunferência
Prof. Gustavo Costa4
Cada número real está associado a um ponto do ciclo
Os pontos do círculo correspondem aos arcos/ângulos centrais na circunferência
As coordenadas cartesianas dos pontos correspondem aos valores de cosseno e seno, respectivamente
Ciclo Trigonométrico
Prof. Gustavo Costa5
Cada ponto do ciclo está associado a mais de um (infinitos) valor de ângulos Côngruos
São arcos que estão representados no mesmo ponto do círculo, mas que possuem valores diferentes
Identificamos pela diferença no número de voltas Ex.: 60º 420º = 60º + 360º Ex.: 30º –330º = 30º – 360º
1ª Determinação Principal (1ª DP) 0º < 360º
Exercícios Obtenha a 1ª DP de:
1200º
-800º
Arcos Côngruos
Prof. Gustavo Costa6
Ciclo Trigonométrico
0
/2
3/2
2
Prof. Gustavo Costa7
Ciclo Trigonométrico
cos(x)
sen(x)
(cos(x),sen(x))
Prof. Gustavo Costa8
Ciclo Trigonométrico
cos(x)
sen(x)
(cos(x),sen(x))
Prof. Gustavo Costa9
Observe que, para todo ponto do círculo, vale a relação:
Fórmula Mãe
cos(x)
sen(x)R=1
2 2cos (x) sen (x) 1
Prof. Gustavo Costa10
Calcular, a partir do ciclo, trigonométrico os valores de cos(q) e sen(q) para os seguintes arcos
0, /2, , 3/2, 2. –/2, –, –3/2, –2.
Cálculo de Senos e Cossenos
Prof. Gustavo Costa11
Análise Sinal Crescimento Variação (limites) Período Gráfico
Quadrantes (sentido anti-horário) IQ – (0,/2) IIQ – (/2,) IIIQ – (,3/2) IVQ – (3/2,2)
Estudo das razões trigonométricas
Prof. Gustavo Costa12
Sinal
IQ
IIQ
IIIQ
IVQ
Cosseno
+–
– +
Prof. Gustavo Costa13
Crescimento / Variação
IQ
IIQ
IIIQ
IVQ
Cosseno
Prof. Gustavo Costa14
Período
T= 2
cos(mx)
Período T=2/|m|
Cosseno
Prof. Gustavo Costa15
Gráfico
Cosseno f(x)=cos(x)
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ
Prof. Gustavo Costa16
Calcule o valor dos cossenos a seguir:a) cos(210º)b) cos(315º)c) cos(120º)d) cos(330º)
Determine período e imagem das funções abaixo:
a) f(x) = 1 + 2cos(2x)b) y = -3cos(x/2 + ) – 1c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)
Exercícios
Prof. Gustavo Costa17
a) cos(210º) Identifique a posição do ângulo Localize o quadrante: 3º Verifique quanto se afasta da
horizontal: 180º + 30º Usaremos então o ângulo de 30º
para comparar o valor do cosseno
cos(30º) = Como o cosseno é negativo no
3ºQ cos(210º) = –cos(30º) = –
Resolução
x
y
+–
30º
210º
Prof. Gustavo Costa18
a) f(x) = 1 + 2cos(2x) Calculando o período (T):
Identifique o valor de m. m é o coeficiente de x ‘dentro’ do cosseno, o número que multiplica x: m=2
Aplica a fórmula: T = 2/|m| = 2/|2| T = Para calcular a imagem, usamos os valores
máximo e mínimo do cosseno e substituímos na expressão da função:
Mín.: cos(2x) = –1 fmín. = 1 + 2(– 1) = 1 – 2 = –1
Máx.: cos(2x) = 1 fmáx. = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3
Im(f) = [–1,3]
Resolução
Prof. Gustavo Costa19
Calcule o valor dos cossenos a seguir:a) cos(210º) – resolvido no exemplob) cos(315º)c) cos(120º)d) cos(330º)
Determine período e imagem das funções abaixo:
a) f(x) = 1 + 2cos(2x) – resolvido no exemplob) y = -3cos(x/2 + ) – 1c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)
Exercícios
Prof. Gustavo Costa20
Sinal
IQ
IIQ
IIIQ
IVQ
Seno
+
+
–
–
Prof. Gustavo Costa21
Crescimento / Variação
IQ
IIQ
IIIQ
IVQ
Seno
Prof. Gustavo Costa22
Período
T=
sen(mx)
Período T=
Seno
Prof. Gustavo Costa23
Gráfico
Seno f(x)=sen(x)
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2pIQ IIQ II IQ IVQ
