Unidade 04 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Unidade 04Tensões Normais em Barras Curvas

Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt

Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.04

Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 1 / 29

Esforços em Barras Curvas

Programa

1 Esforços em Barras CurvasEquações de EquilíbrioTensões Normais em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)


Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio

Programa




Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio

Vamos começar o estudo com uma barra curva coplanar com seção constante.

y

z

s

py(s)

pz(s)

R

Mz

My

Ns

Vz

Vy

xy′

z




R é o raio de curvatura de um ponto qualquerDois sistemas de coordenadas ortogonais: (x,y′,z) e (s,y,z)(x,y′,z) localizado em alguma seção conveniente(s,y,z) é um sistema curvilíneo onde s mede o comprimento de arco ao longo doeixo geométricoy é uma coordenada radial que aponta para o centro de curvaturaz é normal ao plano da barra

y

z

s

py(s)

pz(s)

R

Mz

My

Ns

Vz

Vy

xy′

z




py(s) e pz(s) são forças externas por unidade de comprimentoAssumimos que a torção de cada seção é desprezível (a resultante passa pelocentro de cisalhamento)Tensões resultantes: Ns, Vy, Vz, My, MzForças positivas agem nas direções de crescimento de s, y e zMomentos positivos produzem tração nos quadrantes positivos y e z da seção.Assumimos que σs, τsy e τsz são funções conhecidas de s

y

z

s

py(s)

pz(s)

R

Mz

My

Ns

Vz

Vy

xy′

z




Barra curva coplanar

y

z

s

py(s)

pz(s)

R

Mz

My

Ns

Vz

Vy

xy′

z




Vamos considerar um ponto P localizado no eixo da barra, a uma distância s doplano xy′

Vamos analisar a porção da barra entre os pontos P e P′, localizado em s + ∆s

y

z

P P ′

s

σs

τsz

τsy




A vista lateral (e) e superior (d) são mostradas abaixoOs esforços recebem incrementos ∆Ns, ∆Vy, ∆Vz, ∆My, ∆Mz

Os incrementos ∆py, ∆pz e ∆R são desprezados à medida que ∆s→ 0

Mz

Mz + ∆Mz

Ns + ∆Ns

Vy + ∆y

∆s

∆ψ

∆ψ2

py

Ns

Vy

P P ′

R

2R sin ∆ψ2

Vz

Vz + ∆Vz

My cos ∆ψ2

pz

(My + ∆My) cos ∆ψ2

P P ′




Equilíbrio no plano xy′

∆ψ é o ângulo entre as seções e P e P′

Mz

Mz + ∆Mz

Ns + ∆Ns

Vy + ∆y

∆s

∆ψ

∆ψ2

py

Ns

Vy

P P ′

R




Mz

Mz + ∆Mz

Ns + ∆Ns

Vy + ∆y

∆s

∆ψ

∆ψ2

py

Ns

Vy

P P ′

R

Vy cos ∆ψ2 − (Vy + ∆Vy)cos ∆ψ

2 − py∆s − Ns sin ∆ψ2 − (Ns + ∆Ns) sin ∆ψ

2 = 0(Ns + ∆Ns − Ns)cos ∆ψ

2 + (Vy + ∆Vy − Vy) sin ∆ψ2 = 0

Mz + ∆Mz −Mz + py∆sRsin ∆ψ2 − Vy cos ∆ψ

2 2Rsin ∆ψ2 + Ns sin ∆ψ

2 2Rsin ∆ψ2 = 0




Denotando ∆ψ= ∆s/R e somando as forças verticais

Vy cos∆ψ2− (Vy + ∆Vy)cos

∆ψ2− py∆s − Ns sin

∆ψ2− (Ns + ∆Ns) sin

∆ψ2

= 0

À medida que ∆s→ 0, temos que cos ∆ψ2 → 1 e sin ∆ψ

2 → ∆ψ/2 = ∆s/2RDividindo a equação por ∆s

∂Vy

∂s= −py −

Ns

R

Similarmente, somando as forças horizontais

(Ns + ∆Ns − Ns)cos∆ψ2

+ (Vy + ∆Vy − Vy) sin∆ψ2

= 0

e no limite∂Ns

∂s=

Vy

RLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 9 / 29



Somando os momentos em torno de P′

Mz + ∆Mz −Mz + py∆sRsin ∆ψ2 − Vy cos ∆ψ

2 2Rsin ∆ψ2 +

+Ns sin ∆ψ2 2Rsin ∆ψ

2 = 0

Dividindo a equação por ∆s e tomando o limite ∆s→ 0

∂Mz

∂s= Vy




Chegamos finalmente em:

∂Vy∂s = −py −

NsR

∂Ns∂s =

VyR

∂Mz∂s = Vy




As mesmas considerações podem ser feitas no plano xz,2R sin ∆ψ

2

Vz

Vz + ∆Vz

My cos ∆ψ2

pz

(My + ∆My) cos ∆ψ2

P P ′

chegando-se em∂Vz∂s = −pz

∂My∂s = Vz




Relações entre os esforços:

∂Vy∂s = −py −

NsR

∂Ns∂s =

VyR

∂Mz∂s = Vy

∂Vz∂s = −pz

∂My∂s = Vz




Se o eixo da barra pode ser parametrizada por uma curva

f (t) = (x(t),y(t))

então podemos determinar o raio de curvatura em cada ponto com

R(t) =1

k(t)

onde

k(t) =x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)

(x′(t)2 + y′(t)2)32

Se a curva pode ser representada explicitamente como y = f (x), então

k =y′′

(1 + y′2)32


Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas

Programa




Esforços em Barras CurvasTensões Normais em Barras Curvas

Quando as distribuições de tensões são integradas na seção ransversal, temos

Ns =

∫σsdA, Vy =

∫τsydA, Vz =

∫τszdA,

Ms =

∫(τszy − τsyz)dA, My =

∫σszdA, Mz =

∫σsydA

Vamos nos concentrar em avaliar σsSabemos que σs é estaticamente equivalente a Ns, My e Mz

y

z

P P ′

s

σs

τsz

τsy




De acordo com as equações

Ns =

∫σsdA, My =

∫σszdA, Mz =

∫σsydA

a distribuição de tensões normais σs depende de Ns, My e Mz

Porém, não podemos avaliar as integrais acima sem conhecer σs como função dede y e z

Com as equações da estática exauridas, temos que nos voltar para consideraçõesde deformação como informação adicionalO que nos leva a conclusão que o simples problema de flexão de uma barra éestaticamente indeterminadoPara evitar complicações desnecessárias, vamos introduzir a hipótese de Navier




Hipótese de Navier

Seções planas normais ao eixo geométrico da barra antes da deformação permanecemplanas e normais a esse eixo após a deformação a

aEssa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora LouisNavier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões emvigas. A teoria para barras com pequenas curvaturas foi primeiramente introduzidas em 1858por E. Winkler (1935–1888) e é por vezes chamada de Teoria de barras curvas de Winkler

yz

u(s, y, z)




Se tal condição prevalece, temos que o deslocamento na direção normal ao eixogeométrico, para um dado valor de s pode ser escrito

u = α+ βy + γz

onde α = α(s), β = β(s) e γ = γ(s) z são funções de s, e podem ser consider-adas constantes ao logo da seção.

yz

u(s, y, z)

Vamos agora examinar a geometria de um elemento posicionado entre as seçõesem s e s + ∆s




R

∆s∆syy

∆ψ

Seja ∆s o incremento no comprimento de arco.Fibras a uma distância y têm um comprimento ∆sy.Da geometria

∆ψ=∆sR

=∆sy

R − y⇒

∆s∆sy

=R

R − y

e no limitedsdsy

=1

1 − yR

A deformação longitudinal de uma fibra qualquerfica

εs =∂u∂sy

=∂

∂sy(α+ βy + γz)




R

∆s∆syy

∆ψ

εs = a∂s∂sy

+ b∂s∂sy

y + c∂s∂sy

z

= (a + by + cz)∂s∂sy

ondea =

dαds

, b =dβds

, a =dγds

Substituindo dsdsy

= 11− y

R

εs =1

1 − yR(a + by + cz)




O problema se reduz a determinar a, b e c. Usando as equações da estática,

Ns =

∫σsdA = aE

∫dA

1 − y/R+ bE

∫ydA

1 − y/R+ cE

∫zdA

1 − y/R

Mz =

∫σsydA = aE

∫ydA

1 − y/R+ bE

∫y2dA

1 − y/R+ cE

∫zydA

1 − y/R

My =

∫σszdA = aE

∫zdA

1 − y/R+ bE

∫yzdA

1 − y/R+ cE

∫z2dA

1 − y/R

onde os coeficientes da integrais dependem unicamente da geometria da seçãotransversalPor simplicidade, fazemos

Jy =

∫z2

1 − y/RdA, Jyz =

∫yz

1 − y/RdA, Jz =

∫y2

1 − y/RdA




Após algumas manipulações simbólicas, podemos reescrever os termos∫1

1 − y/RdA =

∫dA +

1R

∫ydA +

1R2

∫y2

1 − y/RdA = A +

1R

∫ydA +

1R2 Jz∫

z1 − y/R

dA =

∫zdA +

1R

∫yzdA =

∫zdA +

1R

Jyz∫y

1 − y/RdA =

∫ydA +

1R

∫y2dA =

∫ydA +

1R

Jz

E, considerando a origem do sistema de coordenadas no centroide da seção,∫yda = yA = 0∫zda = zA = 0




E com isso, o sistema se reduz a

Ns

E=

(A +

Jz

R

)a +

Jz

Rb +

Jyz

Rc

Mz

E=

Jz

Ra + Jzb + Jyzc

Mz

E=

Jyz

Ra + Jyzb + Jyc

Resolvendo

Ea =Ns

A−

Mz

AR

Eb =MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz−

Ns

AR+

Mz

AR2

Ec =MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz




Finalmente,

σs =Ns

A−

Mz

AR+

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

y1 − y/R

+MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

z1 − y/R

Os dois primeiros termos representam a tensão normal uniforme na seçãoMesmo em caso de flexão pura (Ns = 0) a curvatura causa tensão normal desen-volvida no centroide, com magnitude −Mz

RA

Os termos restantes representam uma distribuição não uniforme deviso à cur-vatura inicial




A linha neutra é o lugar geométrico da seção transversal onde σs = 0Usando essa condição na equação anterior

RNs −Mz

RA+

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz−

RNs −Mz

R2A

y +MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

z = 0

A linha neutra passa pelo centroide somente se Ns =MzR

No caso de flexão pura (Ns = 0) somente se R é infinitamente grande, ou seja, abarra é reta


Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)

Programa




Esforços em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)

Vamos considerar uma barra curva submetida à flexão puraDevido à curvatura de uma barra submetida a flexão pura, tensões radiais signif-icantes podem se desenvolver na seção transversal 1

Considere o segmento de uma barra curva abaixo submetida à flexão pura

1Efeitos de do cisalhamento nas tensões radiais serão estudadas na Unidade 5.Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 25 / 29



Isolando a porção A′, a força desenvolvida nessa área é

F =

∫A′σsdA




Assumindo que Ns é zero (flexão pura), e usando

σs =Ns

A−

Mz

AR+

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

y1 − y/R

+MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

z1 − y/R

temos que

F =

∫A′σsdA = −

MzA′

RA+

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

Qz +MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

Qy

ondeQz =

∫A′

y1 − y/R

dA, Qy =

∫A′

z1 − y/R

dA




Se σy é a tensão radial média e b é a dimensão indicada na figura, a força demagnitude

σy(R − y)∆ψb, ∆ψ= ∆s/R

deve ser desenvolvida ara balancear a componente vertical de F

Somando as forças na direção vertical, temos

2F sin∆ψ2

= σyb(R − y)∆ψ

Observando que sin ∆ψ2 → ∆ψ/2 = ∆s/2R, tomando o limite encontramos

σy =F

b(R − y)




E por fim temos

σy =1

b(R − y)

−MzA′

RA+

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

Qz +MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

Qy

À medida que R cresce, σy descresce, e, portanto, é geralmente desprezado com-parado com σs

Este não é o caso de ganchos,correntes e outras partes de máquinas e estruturasonde a razão h/R é relativamente grande


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