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Unidades de Medida

Unidades de Medidas e Angulares

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Revisão de matemática

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Page 1: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida

Page 2: Unidades de Medidas e Angulares

Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas:

as lineares para comprimento, largura e altura e as angulares para indicação de direção,

mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas:

as de superfície para áreas e as de volume para terraplenagem, concretagem, etc.

O sistema de unidades utilizado no Brasil é o Métrico Decimal, porém, em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua grande maioria importada, algumas unidades relacionadas abaixo apresentarão seus valores correspondentes no sistema Americano, ou seja, em Pés/Polegadas.

A seguir encontram-se as unidades mais comumente utilizadas para expressar cada uma das grandezas mencionadas.

Unidades de Medida

Page 3: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida Linear

µm(E-06 ou 10-6), mm(E-03 ou 10-3), cm(E-02 ou 10-2), dm(E-01 ou 10-1), m e Km(E+03 ou 10+3)

polegada = 2,75 cm = 0,0275 m

polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m

pé = 30,48cm = 0,3048 m

jarda = 91,44cm = 0,9144m

milha brasileira = 2200 m

milha terrestre/inglesa = 1609,31 m

Unidades de Medida

Page 4: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida Angular

Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades:

Graus Sexagesimal

0 - 360º (359) e 0 – 59' e 0 – 59,99”

243º 27' 34,79”

onde se lê

243 graus, 27 minutos e 34,79 segundos

Unidades de Medida

Page 5: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida Angular

Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades:

Graus Decimal

0 - 359,999999º

243º 27' 34,79” = 243,45966388888888888888888888889º ou 243,459664º

onde se lê

243,459664 graus decimal

Unidades de Medida

Page 6: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida Angular

Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades:

Grados

0 - 400g

243º 27' 34,79” = 243,459664º = 270,510738g

onde se lê

270,510738 grados

Unidades de Medida

Page 7: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida Angular

Para as medidas angulares têm-se a seguintes unidades:

Radianos

0 - 2¶

243º 27' 34,79” = 243,459664º = 270,510738g = 4,249173 Rad

onde se lê

4,249173 Radianos

Unidades de Medida

Page 8: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida Angular

Para as medidas angulares têm-se a seguinte relação:

360º = 400g = 2¶

onde º – GRAUS

g – GRADUS

RADIANOS onde ¶ = 3,141592.

Atenção: As unidades angulares devem ser trabalhadas sempre com seis (6) casas decimais. As demais unidades, com duas (2) casas decimais.

Unidades de Medida

Page 9: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida de Superfície

Áreas

cm²(E-04), m² e Km²(E+06)

are = 100 m²

acre = 4.046,86 m²

hectare (ha) = 10.000 m²

alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m²

alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = 48.400 m2

Unidades de Medida

Page 10: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida de Superfície

Fórmulas para cálculo de área:

Retângulo

Unidades de Medida

b

h

C

Lou

A = b x hH

V

Page 11: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida de Superfície

Fórmulas para cálculo de área:

Triângulo

Unidades de Medida

b

h

ou

b x h 2A =

b

h

h 2

A = b x

Page 12: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida de Superfície

Fórmulas para cálculo de área:

Trapézio

Unidades de Medida

b

h2

ou

h1 x h

1

2A = b x h 2

A = b x

h1

b

hm

Page 13: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida de Superfície

Fórmulas para cálculo de área:

Circunferência

Unidades de Medida

A = ¶ x r²r

Page 14: Unidades de Medidas e Angulares

Unidades de Medida de Volume

1 litro = 10cm x 10cm x 10cm = 1dm x 1dm x 1dm = 1dm³

ou

1 litro = 0,001 m³

Unidades de Medida

Page 15: Unidades de Medidas e Angulares

Arredondamento

Se o digito a ser arredondado estiver entre 0 e 4, desprezar os dígitos restantes.

Se o digito a ser arredondado estiver entre 5 e 9, somar 1 na casa do dígito logo a esquerda.

Exemplos:

3,152946

arredondando para 5 casas decimais o 6º digito é 6, portanto o valor fica 3,15295arredondando para 4 casas decimais o 5º digito é 4, portanto o valor fica 3,1529arredondando para 3 casas decimais o 4º digito é 9, portanto o valor fica 3,153arredondando para 2 casas decimais o 3º digito é 2, portanto o valor fica 3,15arredondando para 1 casas decimais o 2º digito é 5, portanto o valor fica 3,2arredondando para 0 casas decimais o 1º digito é 1, portanto o valor fica 3

Unidades de Medida

Page 16: Unidades de Medidas e Angulares

a)Conversão entre Unidades Lineares

1)Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros?

2)O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas inglesas?

3)Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras.

Unidades de MedidaExercícios

Page 17: Unidades de Medidas e Angulares

a)Conversão entre Unidades Lineares

1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas inglesa. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros?

Sendo: 1 polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m1.290,9078 polegadas inglesa = X

1X = 0,0254 x 1290,9078X = 32,7890581 m

Sendo:1 m = 0,001 km32,7890581 m = Y

Y = 32,7890581 x 0,001 = 0,0327890581

arredondando na 2 casa 0,03 km

Unidades de MedidaExercícios

Page 18: Unidades de Medidas e Angulares

a)Conversão entre Unidades Lineares

2.O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas inglesas?

Sendo: 1 polegada inglesa = 0,0254 mX polegadas inglesa = 26,50 m

0,0254X = 1 x 26,50

X = 26,50 = 1043,30709 polegadas inglesas0,0254

Unidades de MedidaExercícios

Page 19: Unidades de Medidas e Angulares

a)Conversão entre Unidades Lineares

3.Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras.

Sendo: 1 milha brasileira = 2200 m74,9 milhas brasileiras = X m

1X = 2200 x 74,9 = 164780 m

1 milha inglesa = 1609,31 m Y milha inglesa = 164780 m

Y = 164780 = 102,391708 ou 102,39 milhas inglesas1609,31

Unidades de MedidaExercícios

Page 20: Unidades de Medidas e Angulares

b)Conversão entre Unidades de Superfície

1.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a 1224,567 m².

2.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678 m².

3.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista.

Unidades de Medida

Page 21: Unidades de Medidas e Angulares

b)Conversão entre Unidades de Superfície

1.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a 1224,567 m².

Unidades de Medida

alqueires p. m²1 - 24200Y - 1224,5671x1224,567=Yx24200

0,05

Page 22: Unidades de Medidas e Angulares

b)Conversão entre Unidades de Superfície

2.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678 metros quadrados.

Unidades de Medida

ha m²1 10000Y - 58675,568

1x58675,5678=Yx100005,87

Page 23: Unidades de Medidas e Angulares

b)Conversão entre Unidades de Superfície

3.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista.

Unidades de Medida

acre m²1 4046,86Y - 58675,568

1x58675,5678=Yx4046,8614,5

alqueires p. m²1 - 24200

18,15 - Y1xY=18,15x24200

439230,00

Page 24: Unidades de Medidas e Angulares

c)Conversão entre Unidades Angulares

1)Determine o valor em graus centesimais (centésimos e milésimos de grau) para o ângulo sexagesimais 275º 24' 48,95".

2)Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos para o ângulo de 157º 17' 30,65".

3)Para um ângulo de 1,145678 radianos, determine qual seria o valor correspondente em graus sexagesimais.

4)Para um ângulo de 203,456789 grados decimais, determine qual seria o valor correspondente em graus decimais.

Unidades de Medida

Page 25: Unidades de Medidas e Angulares

c)Conversão entre Unidades Angulares

1)Determine o valor em graus centesimais (centésimos e milésimos de grau) para o ângulo sexagesimais 275º 24' 48,95".

Unidades de Medida

Page 26: Unidades de Medidas e Angulares

c)Conversão entre Unidades Angulares

2.Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos para o ângulo de 157º 17' 30,65".

Unidades de Medida

sexagesimais gradus radianos360 º - 400 - 6,2831853

157º17' 30,65” - Y - Z157 + 17/60 + 30,65/3600157,291847 º 174,768719 2,745

0,44 0,44 0,44

Page 27: Unidades de Medidas e Angulares

c)Conversão entre Unidades Angulares

3.Para um ângulo de 1,145678 radianos, determine qual seria o valor correspondente em graus sexagesimais.

Unidades de Medida

radianos sexagesimais6,2831853 - 360 º 65,642514 inteiro 651,145678 - Y 65,642514 - 65 0,64

65,642514 º 0,642514x60 38,550,18 0,18 38,550845 inteiro 38

38,550845 - 38 0,550,550845x60 33,05

65º 38' 33,05''

Page 28: Unidades de Medidas e Angulares

c)Conversão entre Unidades Angulares

4.Para um ângulo de 203,456789 grados decimais, determine qual seria o valor correspondente em graus decimais.

Unidades de Medida

gradus sexagesimais400 - 360 º

203,457 - Y183,111110 º

0,51 0,51

Page 29: Unidades de Medidas e Angulares

d)Conversão entre Unidades de Volume

1.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m³.

2.Determine o valor em m³, para um volume de 15.362,56 litros.

Unidades de Medida

Page 30: Unidades de Medidas e Angulares

d)Conversão entre Unidades de Volume

1.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m³.

Unidades de Medida

m³ litros1 - 1000

12,34 - Y1xY=12,34x1000

12340

Page 31: Unidades de Medidas e Angulares

d)Conversão entre Unidades de Volume

2.Determine o valor em m³, para um volume de 15.362,56 litros.

Unidades de Medida

m³ litros1 - 1000Y - 15362,56

1x15362,56=Yx100015,36

Page 32: Unidades de Medidas e Angulares

Exercícios Propostos

1.Dado o ângulo de 1,573498 radianos, determine o valor correspondente em grados decimais.

2.Sabendo-se que um alqueire geométrico eqüivale a um terreno de 220mx220m; que um acre eqüivale a 4046,86m²; e que uma porção da superfície do terreno medida possui 3,8 alqueires geométrico de área, determine a área desta mesma porção, em acres.

3.Dado o ângulo de 120º 35' 48”, determine o valor correspondente em grados centesimais.

Unidades de Medida

Page 33: Unidades de Medidas e Angulares

Exercícios Propostos

1.Dado o ângulo de 1,573498 radianos, determine o valor correspondente em grados decimais.

Unidades de Medida

gradus radianos400 - 6,2831853Y - 1,5734980

100,1719940,250430 0,250

Page 34: Unidades de Medidas e Angulares

Exercícios Propostos

2.Sabendo-se que um alqueire geométrico eqüivale a um terreno de 220mx220m; que um acre eqüivale a 4046,86m²; e que uma porção da superfície do terreno medida possui 3,8 alqueires geométrico de área, determine a área desta mesma porção, em acres.

Unidades de Medida

alqueires m²1 - 48400

3,8 - Y1xY=3,8x48400

183920,00acre m²

1 - 4046,86Y - 183920,001x183920=Yx4046,8645,45

Page 35: Unidades de Medidas e Angulares

Exercícios Propostos

3.Dado o ângulo de 120º 35' 48”, determine o valor correspondente em grados centesimais.

Unidades de Medida

sexagesimais gradus360 º - 400

120º 35' 48” - Y157 + 17/60 + 30,65/3600157,291847 º 174,768719

0,44 0,44

Page 36: Unidades de Medidas e Angulares

Lei do Senos

Page 37: Unidades de Medidas e Angulares

Lei do Senos

É a relação do seno do ângulo interno com o seu lado oposto num triângulo.

Unidades de Medida

b c

a

ousensen = sen a b c

a = b = c sensen sen

Page 38: Unidades de Medidas e Angulares

Lei do Cosseno

Page 39: Unidades de Medidas e Angulares

Lei do CossenosA lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria.Este teorema é atribuído ao matemático persa Ghiyath al-Kashi.

Unidades de Medida

b c

a

a² = b² + c² – 2 b c cos

b² = a² + c² – 2 a c cos

c² = a² + b² – 2 a b cos

Page 40: Unidades de Medidas e Angulares

Atenção:

As somatória dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Unidades de Medida