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Utilizando o Winplot em Laboratórios

de Informática de Escolas Públicas

no Estudo de Funções Reais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ! � � � � � " � � � � � � � � � # � � ! $ � %� � � � � � � � � � � & � � � $ � ' � (Resumo: O ensino-aprendizagem de funções reais pode ser facilitado e enrique-

cido com a utilização de softwares matemáticos, dentre eles destaca-se o Winplot. Esse software é livre e pode ser obtido (na versão em Portu-guês) através de download pela Internet no seguinte endereço: http://math.exeter.edu/rparris. O objetivo deste trabalho é mostrar como o Winplot pode ser usado para explorar conteúdos matemáticos, com destaque para o estudo de funções reais: funções polinomiais, logarít-micas, exponenciais e trigonométricas, apresentando roteiros de ati-vidades que tem sido desenvolvidas/aplicadas junto a escolas públicas como parte de projetos desenvolvidos sob a orientação da professora Ermínia de L. Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de Ensino Informática e Jogos no Ensino de Matemática: 2008-2009. É in-teressante destacar que a utilização de software como uma ferramenta adicional no ensino de Matemática, no Ensino Médio, tem sido suge-rida pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.

Palavras-chave: Software Winplot, funções reais, ensino de Matemática.

Introdução

O Winplot, um dos softwares do grupo Peanut Software, é uma ferramenta computa-cional bastante interessante, principalmente para se fazer/representar grá4cos de funções

1 Docente do Departamento de Matemática – IBILCE/UNESP - SJRP – Coord. do Projeto do Núcleo de Ensino

2 Professores da E E Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP - Colaboradores do Projeto do Núcleo de Ensino

3 Aluna do Curso de Matemática – IBILCE – UNESP - Bolsista do Núcleo de Ensino

4 Aluna do Curso de Matemática – IBILCE – UNESP - Bolsista do Programa Ciência na UNESP

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reais de uma ou duas variáveis (2D e 3D). Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris (Rick), da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Inicialmente chamava-se PLOT e rodava no DOS. A versão para Windows surgiu em 2001. Além da versão original, em inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. A versão em Português foi preparada com a assistência de Adelmo Ribeiro de Jesus (Bahia). É um programa simples, mas que pode executar um grande número de tarefas. É pequeno e roda em sistemas Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7, e mesmo Linux. Outra de suas vantagens é ser livre (gratuito), podendo por isso ser utilizado sem problemas por profes-sores e alunos dos Ensinos Fundamental, Médio, e Superior. Pode ser obtido, através de download pela Internet, no endereço: http://math.exeter.edu/rparris, sendo sua instalação bastante rápida e fácil. O objetivo deste trabalho é mostrar como o Winplot pode ser usado para explorar conteúdos matemáticos, com destaque para o estudo de funções reais, apresentando roteiros de atividades que foram elaborados, após pesquisas e análise biblio-grá4ca sobre conteúdo de cada série. Esse material foi aplicado junto a escolas públicas como parte de projetos desenvolvidos sob a coordenação da professora Ermínia de L. Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de Ensino Informática e Jogos no Ensino

de Matemática - 2009.

Desenvolvimento/ Metodologia

O Winplot tem sido utilizado em escolas públicas como parte dos projetos Núcleo de Ensino e Ciência na UNESP, desenvolvidos sob a coordenação da Profa. Dra. Ermínia de L. Campello Fanti. As atividades são desenvolvidas pelos bolsistas dos referidos pro-jetos nos Laboratórios de Informática das escolas públicas envolvidas, com o intuito de melhorar o aprendizado dos alunos. Visto que a simples possibilidade de visualizar na tela do computador os grá4cos das funções reais constitui um recurso pedagógico de alcance ilimitado para os mesmos. Dentre as escolas que usamos o Winplot, destacamos a E. E. Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP, com 1as, 2as e 3as séries do Ensino Médio, dentro do projeto do Núcleo de Ensino (só em 2009 – com mais de 340 alunos) e Etec Philadelpho Gouvêa Netto - SJRP, em o4cinas oferecidas em 2009, com a colaboração de bolsistas do programa Ciência na UNESP, realizadas com todas as classes de 1a e 3a séries , totalizando 8 classes (cerca de 250 alunos). Nas primeiras séries destaca-se o estudo das funções a4ns, quadráticas, exponenciais e logarítmicas. Nas segundas, das funções trigonométricas, e nas terceiras das funções polinomiais. A importância do estudo de funções e a análise de seus grá4cos é indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais - Parte III - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, por exemplo, na p.44 (no caso do estudo das funções trigonométricas)


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[...] Outro tema que exempli�ca a relação da aprendizagem de Mate-

mática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigo-

nometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o

investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações

para enfatizar os aspectos importantes das funções trigonométricas e da

análise de seus grá�cos. [...]

Inicialmente foram realizadas pesquisas sobre quais os tópicos podem ser explorados com o Winplot, e elaborados roteiros de atividades para serem entregues aos alunos (nas aulas de laboratório). Nesses roteiros procurou-se selecionar quais itens devem ser abor-dados de modo a estar de acordo com o plano de ensino do professor responsável pela matéria (nos ensinos fundamental e médio, mais especi4camente ensino médio onde temos mais utilizado), não atrapalhando a sequência estabelecida pelo mesmo, e enrique-cendo e complementando suas aulas, de forma a ter um bom aproveitamento. Espera-se que seja possível desenvolver cada roteiro de atividades no período de uma ou duas horas/aula, como aconteceu, em geral, com as classes de Ensino Médio em que o projeto foi desenvolvido/aplicado. Cada aluno anotou, no roteiro recebido, seu nome e suas conclu-sões/observações. Esse material foi recolhido pelos bolsistas para análise. Os roteiros fo-ram elaborados de modo que o mesmo possa ser usado por quem não tem familiaridade com o software, por isso, no inicio de cada um, alguns passos básicos são apresentados. Além disso, mesmo que o aluno já tenha feito alguma atividade utilizando o software, se ocorreu um intervalo de tempo, ele pode já ter esquecido os comandos. Seria ótimo se todos, alunos e professores, tivessem um bom domínio do software e pudessem, a partir das atividades apresentadas aqui, criar as suas próprias aulas/atividades. Mas, em geral, não há tempo disponível (em sala de aula) para realizarmos um estudo mais aprofunda-do de um determinado software. Assim precisamos ser bastante objetivos na utilização do espaço, em sala de aula/laboratório, que nos foi concedido. Espera-se que os roteiros apresentados aqui (também referidos como “aulas”) sirvam de material auxiliar, e que a partir deles, novos roteiros (aulas) possam ser elaborados aprimorando/aprofundando ainda mais os conteúdos tratados.

Observamos que em FANTI, et al. (2008) já foi apresentado um breve relato de como o Winplot foi utilizado no estudo de grá4cos de funções quadráticas/polinomiais de segun-do grau, explorando os zeros/raízes reais (quando existem), pontos de máximo e mínimo, e auxiliando no estudo de fatoração, através do comando adivinhar.


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Winplot - Noções Básicas e Roteiro de Atividades

Embora os roteiros de atividades, apresentados no 4nal dessa seção tenham sido ela-borados de modo a não exigir conhecimento do Winplot, apresentamos aqui, antes desses roteiros, uma noção básica do software.

Noções básicas: Tomaremos como referência, neste trabalho, a última versão, em Por-tuguês existente até então do software Winplot. Com relação aos comandos por nós utili-zados na elaboração das atividades para o Ensino Fundamental e Médio, as alterações em relação às versões anteriores foram poucas. De fato, a versão que utilizamos no projeto (em 2009) foi uma versão anterior a essa que referiremos no texto.

Ao abrirmos o programa nós encontramos inicialmente duas “opções”: Janela e Ajuda. Em Janela temos as escolhas: 2-dim, 3-dim, Adivinhar e Mapeador. Além disso, temos também Planetas, Abrir última e Usar padrão (ao selecionarmos uma dessas duas últimas opções estamos indicando qual arquivo o Winplot vai abrir, se é o último trabalho realiza-do ou é a tela padrão), e Sair. As opções 2-dim e 3-dim permitem que trabalhemos com funções/objetos no plano e no espaço, respectivamente. Estamos mais interessados em tra-balhar com 2-dim tendo em vista nosso objetivo de explorar grá4cos de funções reais (de uma variável real). Ao selecionarmos 2-dim ou 3-dim aparecerá uma tela com os menus: Arquivo, Equação, Ver, Mouse (ou Botões – Btns), Um, Dois, Anim, Outros (ou Miscelânia). Existe em cada um dos Menus um arquivo de Ajuda, apropriado, em português, que nos dá algumas informações sobre a utilização dos comandos do menu selecionado. Por exemplo, selecionando Ver (após Janela, 2-dim) e Ajuda, aparecerá um quadro explicativo contendo certas informações sobre comandos do Menu Ver (ajuda Winplot).

Daremos uma breve descrição de alguns comandos/opções dos Menus:

Menu Arquivo: Para fechar um arquivo do Winplot que está aberto, clique na 4gura (“parábola amarela” – símbolo do Winplot) no canto superior esquerdo da tela, referente ao grá4co/arquivo que está aberto, e em seguida em fechar, ou feche clicando em “X” no canto à direita.

Para abrir um arquivo do Winplot que já tinha sido salvo (2-dim, por exemplo): clique em

Janela, 2-dim, irá abrir um arquivo (padrão ou o último que foi feito). Nesse arquivo/tela que está aberto, clique em Arquivo, Abrir e em seguida procure o arquivo desejado no local disponível, computador ou pen drive, etc.

Para abrir um arquivo novo, vá em Arquivo e selecione Novo.

Interessante: Para copiar os grá.cos/construções já feitas, para um documento do Word, basta


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abrir o arquivo do Winplot que contém os grá4cos, selecionar Arquivo e Copiar. Em se-guida, abrir o arquivo do Word e selecionar editar, colar (ou Ctrl v).

Há outros comandos/funções no menu Arquivo. Podemos, por exemplo, salvar um ar-quivo do Winplot para o formato EPS, usando Arquivo, Exportação de grá.cos, EPS.

Menu Equação: Em Equação temos os comandos para representações grá4cas:

Equação Explícita (tipo y = f(x) )

Equação Paramétrica (x = f(t), y = g(t ))

Equação Implícita (tipo f(x,y) = c)

Equação Polar (tipo r = f(t))

Aparecem ainda outras opções como Ponto, Segmento, Reta, Inventário, Fonte, Biblio-teca, De.nir função, etc...

Inventário: Fornece uma caixa de diálogo que aparece só depois que o primeiro exem-plo é criado, permite que você inspecione e edite exemplos existentes e faça outras modi.ca-

ções e construções. Para alterar um exemplo clique sobre a equação/função correspondente a ele (na caixa Inventário) com o mouse, e em seguida em editar (faça as alterações e clique em OK). Somente um exemplo por vez pode ser selecionado e alterado. Se selecionarmos equação na caixa Inventário aparecerá na tela a equação/função correspondente ao exemplo trabalhado. Caso a caixa de inventário não esteja aparecendo basta selecionar o menu Equa-ção e em seguida Inventário.

Fonte : Permite mudar a fonte usada para mostrar as equações na tela.

Biblioteca: Dá uma lista de funções (padrão) do Winplot

De.nir função: Permite ampliar a biblioteca, criando uma nova função.

Importante: As funções da opção “Equação Explícita” devem ser digitadas de modo compatível com a notação usada na Biblioteca do programa. Listamos a seguir algumas funções e o modo de digitá-las no Winplot.

Função Winplot

y=ax+b ax+by=xn x^n

y =| x | abs(x)

y= ) sqr(x)


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*+ ) root(n,x) ou x^(1/n)

y = sen x sin(x)y = cos x cos(x) y = tg x tan(x)

y = ax a^xy = ex e^x ou exp(x)

y = ln x ln(x)y = loga x log(a, x)

Menu Ver: Alguns dos principais comandos desse menu são Ver, Zoom, Mover, Grade,

Restaurar, Eixos, Linhas de Grade.,

Ver : Permite redimensionar os eixos, para maior visualização do grá4co.

Zoom: Use as teclas Page Up e Page Down para aproximar ou afastar o grá4co na tela .

Restaurar : Restaura a con4guração padrão., - . / 0: Use as setas (para cima, baixo, direita, esquerda) do teclado para 1 0 2 3 /: Apresenta um quadro com uma série de opções para melhor adequa-

ção da janela e detalhes relacionados ao sistema de coordenadas subjacente.

Pode-se colocar vários tipos de / 4 5 2 6 2 4

nos eixos, usando inclusive múltiplos

de , inserir 6 7 8 9 2 3 / : 0 2 3 /

, etc.

Eixos: Muda cor, espessura, etc dos eixos Ox e Oy

Linhas de Grade: Permite adequar cor e espessura da linha de grade.

Menu Mouse (ou Botões- Btns):

(LB ou BE- Botão Esquerdo - Left ; RB ou BD - Botão Direito - Right).

Arrastar Box BE/Recentr zoom BD: Quando este comando estiver selecionado, ao clicar com BD do mouse sobre um determinado ponto do grá4co, criamos um caixa para visu-alizar com mais detalhe o grá4co, nas proximidades do ponto, e com BE recentraliza o grá4co. Se necessário, use Ver, Restaurar, para voltar a posição inicial.

Texto: Após selecionar Texto, podemos com BE (do mouse apertado) mover para um

lugar mais adequado da tela uma equação/lei de uma função, que estiver na tela. Por outro lado, ao clicar com o BD aparecerá uma caixa de texto.


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Colar: Com a opção colar selecionada podemos com um clique com BD colar grá4co do “clipboard”. Para remover uma 4gura clicar com BD e em apagar.

Coords XY BE/Recentr BD: O botão esquerdo dá as coordenadas do ponto selecionado e o direito recentraliza/movimenta o grá4co, sem mudar o tamanho da janela.

Desenhar: Com esta opção selecionada pode-se fazer com BE desenho livre na tela. A cor e espessura da linha (do desenho) pode ser também de4nida no menu Mouse.

Menu Um:

Traço: Permite o usuário percorrer o grá4co de uma função, usando uma barra de rola-gem, visualizar aproximações de Taylor da mesma. É possível também movimentar retas secantes por um ponto 4xado na curva, ou ver retas tangentes ao longo da curva. Estas duas opções são úteis, por exemplo, para ilustrar o conceito de derivada.

Zeros: possibilita encontrar (e marcar) as interseções do grá4co de uma função com o eixo Ox (zeros).

Extremos: Encontra os pontos de máximo e mínimo da função.

Integração: Dá opções de integração da função considerada.

Menu Dois:

Interseções: Determina a interseção entre duas curvas

Integrações: Dá opções de integração entre duas funções. O programa calcula a integral de f - g, onde f e g são funções especi4cadas pelo usuário.

Combinações: Faz operações com funções: soma, produto, composta, etc.

Menu Anim (Animação): Permite animar grá4cos de funções ou equações cuja expres-são foi dada e contenha um ou mais parâmetro (tais parâmetros precisam ser inseridos na equação/função). Por exemplo, pode-se trabalhar com a função quadrática y = ax2+bx+c e variar valores os valores de a, b ou c após inseri-la (usando Janela, 2-dim, Equação, Explici-ta, ax^2+bx+c), clicar em Anim e selecionar o parâmetro que queremos variar, suponhamos A, e movimentar a barra de rolagem que aparece na caixa auxiliar. O Intervalo de variação e a velocidade podem ser adequados.

Menu Outros (ou Miscelânea): Nesse menu encontramos as opções Fontes que permi-

te escolher uma fonte (para Escala dos eixos, Tabelas, Inventário, e Coordenadas), Cores


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(para Fundo da tela, por exemplo), Eq. dif. miscelânea, Dados, Texto, Tolerância, entre outras. Para mudar a cor de fundo da tela selecione: Outros (ou Misc, se for alguma versão anterior), Cores, Fundo, Cor (escolha a cor desejada) e fechar.

A seguir vejamos com mais detalhes a opção “Grade” do menu “Ver”:

Selecionando Janela, 2-dim aparecerá a tela para representarmos os grá4cos. Usando as opções Ver, Grade aparecerá uma tela (quadro), como na 4gura seguinte, que indica que podemos escolher os intervalos das “marcas” nos eixos x e y, o “número de decimais” em cada eixo, etc...

FIGURA 1: Grade (menu Ver - Winplot)

Mais especi4camente, ao selecionarmos (após Ver, Grade), eixos, ambos (aplicar e fechar): aparecerão os dois eixos x e y. Selecionado setas, ambos (aplicar e fechar): aparecerão as setas nos eixos x e y. Ainda,

pontos (na segunda linha da caixa de grade): aparecerá uma “malha pontilhada” (pontos em cruz).

rótulos ( e ambos) : aparecerão as letras x e y nos eixos.

marcas (ambos): selecionado marcas serão inseridas pequenas marcas verticais nos eixos x e/ou y, cujo tamanho pode ser de4nido usando “tamanho da marca”.

escala (sobre eixos) aparecerão os números nos eixos de acordo com o intervalo e a opção escolhida.

Por exemplo, para o eixo x (já tendo selecionado marcas-ambos) fazendo,

intervalo: 1 , escala (em x) e aplicar, aparecerão os números ... -2, -1, 0, 1, 2, 3... no eixo x.


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Ou

intervalo: pi/2 (digite dessa forma), selecionando escala (em x), e clicando em pi (de-pois de freq) e aplicar, aparecerá no local indicado para intervalo x o número (aproximado) 1.570796, e na tela aparecerão os números .... – , - /2, 0, /2, , ... no eixo x.

Decimais: indica o número de casas decimais a ser usado.

Freq: indica a freqüência que queremos que os números apareçam nos eixos.

Retangular: aparecerá uma tela quadriculada (linhas contínuas).

Pontilhado e Retangular: aparecerá uma tela “quadriculada” formada de linhas pontilhadas.

Alguns Roteiros de Atividades: Na sequência apresentamos roteiros de atividades (que referiremos também como “aulas”), que foram elaborados e aplicados em Laboratórios de Informática com classes do Ensino Médio:

Aula 1.Representando pontos e segmentos no plano,

Aula 2. Funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou a4ns e quadráticas),

Aula 3. Funções Exponenciais,

Aula 4.Funções Logarítmicas,

Aula 5. Função seno,

Aula 6. Função Cosseno,

Aula 7. Funções Polinomiais.

Para facilitar o uso do material (cópias/xerox) por professores interessados em utilizá--los em suas aulas, em Laboratórios de Informática, vamos apresentar os roteiros/aulas assim como foram utilizados no projeto, em espaçamento simples (no caso foram incluí-dos também, nesses roteiros/aulas, os nomes, do projeto na UNESP, da escola de Ensino Médio onde foram aplicados, e um espaço para o aluno colocar o seu nome). Ainda, as 4guras serão numeradas separadamente em cada “aula” proposta.

Em geral uma “aula” pode ser desenvolvida/trabalhada independentemente das demais. Como já observado anteriormente, para o desenvolvimento de algumas dessas “aulas” fo-ram necessárias mais de uma hora/aula.


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Aula 1: Representando pontos e segmentos no plano.

Público Alvo: 8ª série Ens. Fund., e 1a a 3a Séries do E. Médio. Software: Winplot

Observação: Para baixar o Winplot use http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html (selecione Português). Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá4co/4gura na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas

( , , , ).

Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento das atividades:

Passos: 1) Abrindo o programa e preparando a tela/eixo cartesiano:

a) Abrir o Winplot (software do grupo Peanut - clicar no ícone “parábola amarela”)

b) Clicar em Janela – 2-dim;

c) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-

bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1(para x e 0 para y), decimais – 0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); aplicar e fechar (ver Fig.1.1).

Atividade I. Representar os pontos P1=(2,1), P2=(2,3) e P3=(4,1).

Passos: 2) Representar o ponto P1=(2,1): Equação, ponto, (x,y), digite 2 e 1, tamanho do

ponto 2, e ok. Deverá aparecer na tela o ponto escolhido. Deverá aparecer também, ao lado, um quadro como na Fig. 1.2, caso não apareça selecione no menu (acima na tela) Equação e depois Inventário.

Figura 1.1: Grade Winplot Figura 1.2: Equação/Inventário - Winplot


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3)Usando essa caixa, clique em equação (para mostrar a equação na tela), automatica-mente as coordenadas do ponto será exibida na tela.

4) Representando os demais pontos: Para representar os outros pontos na mesma tela

(ou arquivo) basta repetir (no arquivo que está aberto) o mesmo procedimento: Equação, Ponto, (x,y), digite 2 e 3, tamanho do ponto 2, e clique em ok. Use novamente equação (na caixa inventário) para exibir as coordenadas do ponto. Agora, repita novamente para o ponto (4,1): Equação, Ponto, (x,y), digite 4 e 1, tamanho do ponto 2, ok e equação (para mostrar as equações do ponto na tela).

5) Ajustando a “posição do texto/coordenadas” dos pontos na tela: Para colocar na tela o texto/coordenadas próximas dos respectivos pontos, simplesmente selecione Mouse (ou Bnts), Texto e clique e arraste com o botão esquerdo do mouse apertado as “coordenadas” próxima ao respectivo ponto. Na Fig. 1.3, apresentada na seqüência, 4zemos isso com os pontos P1 = (2,1) e P2 = (2,3).

6) Digitando um texto na tela: Podemos também (uma vez que já selecionamos Mouse (ou Bnts) e Texto), clicar com o botão direito do mouse sobre um local da tela e digitar um texto qualquer, por exemplo, “Representando pontos no plano”, ou digitar as coordenadas x e y do ponto (x,y) e em seguida em ok. Para um novo texto, clique novamente na tela com o botão direito. Na 4gura digitamos ponto P1, para o ponto (2,1), P2 para (2, 3) e as coordenadas de P3, ou seja, (4,1).

7) Caso queira salvar essa atividade, selecione Arquivo, Salvar como, escolha o local a ser salvo (Salvar em computador: C, ou pen-drive, etc) e digite o nome adequado para o arquivo e clique em Salvar.

Figura 1.3: Representando pontos


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Atividade II: Representar o segmento com extremos nos pontos (2,1) e (3,3). (Em geral não há necessidade de adequar novamente as coordenadas - 4ca a anterior).

Passos: 8) Selecione Arquivo, Novo. Depois, Equação, Segmento, (x,y), digite x= 2 e y= 1 (primeiro ponto), 3, 3 (para o 2º. ponto), espessura da linha 2, e clique em ok.

Figura 1.4: Segmento

Observação: Algumas variações podem ser feitas de modo a obter um “segmento pon-tilhado”, a cor seja alterada e espessura da linha.

Exercícios: 1) Marcar os pontos Q1=(1, -1) e Q2=(3,2; 2) (note, aqui x = 3,2 e y = 2, e para o número real 3,2 digitar no Winplot 3.2).

2) Representar os pontos (-2,1) e (0,3) (use tamanho do ponto 3), e o segmento com extremos nesses pontos.

3) Representar um triângulo isósceles de base AB, sendo A=(2,1) e B=(4,1).

4) Representar um quadrado de área 4.

5) Representar um triângulo de área 3 tendo (1,1) como um de seus vértices.

Aula 2: Grá4cos de funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou a4ns e quadráticas).

Público Alvo: 1a Série do Ensino Médio. Software: Winplot

Observação: Para baixar o Winplot use http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá4co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas ( , , , ).

Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento da atividade:

1) Abrir o Winplot (clicando no ícone – “parábola amarela”)

2) Clicar em Janela – 2-dim;


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3) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-

bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1 (para x e para y), decimais – 0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); aplicar e fechar (ver Fig.2.1).

4) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;

5) Clicar Menu Equação, Explícita: obterá um quadro como na Fig. 2.2 abaixo.

6) Digitar a lei da função f(x) = x+1 e selecionar ok (aparecerá na tela o grá4co).

; < = > ? @ A B C D E F G > H I ? @ J F ; < = > ? @ A B A D E F G > K L > @ M N O P K Q R S T U < V @ W Q X C7) Na caixa Inventário, clicar em equação para mostrar na tela a lei y=x+1.

8) Marcar as coordenadas dos pontos do grá4co que intersectam os eixos x e y, para isso clicar em Equação – ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que intersectam o eixo x das abscissas – que no caso é (x= -1, y= 0), repetir para o eixo y das ordenadas, para que esse pontos apareçam marcados na tela.

9) Completar: Esta função é _______________ (crescente/decrescente).

10) Menu Equação, Explicita digitar a Função f(x) = -x+1 e clicar em ok.;

11) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= - x+1; marcar as coordenadas dos pontos do grá4co que intersectam os eixos x e y, como para y=x+1, ver item 8).

12) Completar: Esta função é ____________ (crescente/decrescente).

13) Clicar Menu – Arquivo – Novo;

14) Menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = x^2+2x-3 e clicar em ok.

15) Quais são os zeros da função? (isto é, as raízes da equação x2 + 2x - 3= 0)?______.


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16) No Menu Equação, Ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que corres-pondem, no grá4co, as raízes/zeros da função (isto é os pontos do grá4co -parábola - que intersectam o eixo x das abscissas, ou seja, tem ordenada y = 0).

17) Equação, Ponto - (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice da parábola.

18) Quais são as coordenadas do vértice? __________;

19) Em que intervalo a função é positiva, ou seja, para quais valores de x tem-se y = f(x) > 0 ? _____________ , e negativa? _____________.

20) Exercício: Repetir os itens 13) a 19) para a função função f(x) = -x^2+4x.

Aula 3: Função Exponencial.

Público Alvo: 1ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot.

Observação:

No site http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html pode-se obter o Winplot para download (selecione Português). Quando estiver usando o Winplot, para melhor visuali-zação, utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá4co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas ( , , , ). Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela selecione Menu Equação – Inventário – Editar.

Passos básicos:

1) Abrir o Winplot;


3) Clicar no menu Mouse (ou botões- Btns) - Coords XY BE/Recentr BD;

4) Clicar no menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela

padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y), use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular; e aplicar e

fechar .

5) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;

6) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma caixa/tela como na 4gura:


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; < = > ? @ Y B C D E F G > Z [ \ ] ^ _ ` a b c d e f g h i j kf(x)=l m n

7) Digitar a função f(x) = 2^x (que signi$ca f(x) = 2x ) e clicar em ok.

8) Na caixa Inventário, clique em equação para mostrar na tela a lei y=2^x

9) Olhando o grá$co obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida que x aumenta? __________________________

10) O que acontece com os valores de y à medida que x diminui? _____________

11) Esta função é crescente ou decrescente? _______. Por quê? ______________

12) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 0.5 ^x (ou (1/2)^x) e ok.

13) O que acontece com os valores de y à medida que x aumenta? ____________. O que acontece com os valores de y à medida que x diminui? _____________.

14) Esta função é crescente ou decrescente? __________ . Por quê? __________.

15) Há uma simetria entres os grá$cos feitos acima?_____________. Se tiver, qual é o eixo de simetria entre eles?______________________________________.

16) Os dois grá$cos se cruzam no ponto (0,1) e esse é o único ponto de intersecção dos dois grá$cos. Porque?______________________. Justi$car isso algebricamente igualan-do as duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum __________________________________.

17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + 2^x e ok.

18) Os pontos (1,2) (2,4) pertencem ao grá$co da função y=2^x, e os pontos (1,_ ) (2,__). pertencem ao grá$co da função f(x)= 1+2^x. Comparando o grá$co dessa última função como o da função y= 2^x e, o que você observa (há alguma relação entre eles)?____________________________.


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Aula 4: Função Logarítmica.


Observação Para uma melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá$co na tela (aproximar) e PageDown para diminuir (afastar) e setas ( , , , ). O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/win-plot.html. Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação – In-ventário, selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer as alterações.

Apresentamos a seguir os passos básicos:

1) Abrir o Winplot;


3) Clicar no menu Mouse (Botões- Bnts);

4) Clicar no menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela

padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y), use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular; e aplicar e

fechar .

5) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma tela como na Fig. 4.1:

o p q r s t u v w x y z { r | } r t ~ � � a | n � � � � p � t k � � q � l a n � o p q r s t u v l x � s � � vxlog2

zxlog 2/1

6) Digitar a função f(x) = log (2,x) (que signi$ca f(x) = xlog2 ). Em espessura da linha digite 2 e clicar em ok.

7) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= log (2,x).

8) Olhando o grá$co obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida que x aumenta? __________________________.


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9) O que acontece com os valores de y à medida que x aproxima de zero (x positivo)? _________________.

10) Esta função é crescente ou decrescente? _____________ . Por quê?_________.

11) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = log (0.5 , x).

12) O que acontece com os valores de y a medida que x aumenta? ______________.

13) O que acontece com os valores de y a medida que x tende a zero? ___________.

14) Esta função é crescente ou decrescente? ________________ . Por quê? ______.

15) Há uma simetria entres os grá$cos feitos acima (ver Fig.4.2)?_____________. Se tiver, qual é o eixo de simetria entre eles?_______________________________.

16) Os dois grá$cos se cruzam no ponto (1,0) e esse é o único ponto de interseção dos dois grá$cos. Porque?______________. Tente justi$car isso algebricamente igualando as duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum.

17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + log(2,x).

18) Os pontos (2,1) (4,2) pertencem ao grá$co da função y = log(2,x), e os pontos (2,__) (4,__) pertencem ao grá$co da função f(x) = 1 + log(2,x). Comparando o grá$co dessa última função como o da função y = log(2,x), o que você observa (há alguma relação entre eles)?____________________.

Aula 5: Função seno.

Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio Software: Winplot

Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tama-nho do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas ( , , , ). O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.

Passos básicos:

1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela – 2-dim.

2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais – digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (ver Fig. 5.1)


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3) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar - 0, clicar em ok;

4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecerá um quadro como na Figura 5.2.

o p q r s t � v w x y z { r � � s t � z o p q r s t � v l x y z { r | } r t ~ � � a | n � � � � p � t k � p { � n �5) Digitar a função f(x) = sin(x) (de fato deveria ser sen(x), mas o software usa sin(x)),

e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual o Período (da função) ________, Amplitude ______ e Conjunto Imagem ___________.

5.1) Repita: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = sin(2x) e clicar em ok.

A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período ______, Am-plitude_______, Conj. Imagem___________ dessa função.

5.2) Comparar os grá$cos das funções sen(2x) e sen(x) (Fig. 5.3) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período ________________, Ampli-tude ___________ e Imagem _____________.

5.3) Repetir 4) e 5) para obter o grá$co da função f(x) = sen(4x); selecionar também

equação. Responda, qual o Período _____, Amplitude____, Imagem_______. Comparar os grá$cos das funções sen(4x) e sen(x) no que se refere a Período ____________, Ampli-tude _________ e Conjunto Imagem _____________.


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5.4) Idem para a função f(x) = sen(x/2). Responda, qual o Período _________, Ampli-tude________ e Imagem__________. Compare os grá$cos das funções sen(x/2) e sen(x) no que se refere a Período ____________, Amplitude,_________ e Imagem __________.

6) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita, digitar a função f(x) = sin(x). se-lecionar equação na caixa inventario. Dar o Período _______, Amplitude________, Ima-gem________.

6.1) Representar o grá$co da função f(x) = 2sen(x); selecionar também equação na caixa inventário. Responder qual o Período __________, Amplitude _________ e Imagem __________.

6.3) Comparar os grá$cos das funções 2sen(x) e sen(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período:_____________, Amplitude,__________ e Imagem __________.

6.2) Digitar agora a função f(x) = 3sin(x); selecionar também equação. Responder qual o Período ______ Amplitude________ Imagem__________

6.4) Comparar os grá$cos das funções 3sen(x) e sen(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período_____________, Amplitude,__________ e Conjunto Imagem ____________.

7) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita digitar f(x)= sin(x) e selecionar também equação na caixa Inventario. Dar: Período _____, Amplitude _____ e Imagem ________ .

7.1) Representar o grá$co da função f(x) = 1+sen(x); selecionar equação na caixa in-ventário e responder, qual o Período _______, Amplitude _______ e Imagem________..

7.2) Representar o grá$co da função f(x) = -2+sen(x); selecionar também equação e responda, qual o Período ________, Amplitude _______ e Imagem__________.

7.3) Comparar os grá$cos das funções 1+sen(x) e sen(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período:_______________ __________, Ampli-tude,_________ e Imagem __________.

7.4) Comparar os grá$cos das funções -2+sen(x) e sen(x). Período _____________, Amplitude ___________ e Imagem __________.

8) Representar, usando o Winplot, o grá$co da função f(x)= 1+2sen(4x).


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Usando o recurso animação:

1) Adequar o sistema de coordenadas como no item 1), se necessário.

2) Menu Equação, Explicita. Digitar a função f(x) = sin(Ax)

3) Clicar em Anim e depois em Parâmentros A-W (selecione A, se necessário).

4) Clicar na barra de rolagem que aparece na caixa (“valor corrente de A”) e movi-mentá-la lentamente com o botão esquerdo do mouse apertado. Observar o que ocorre. Podemos também clicar em auto-cícl (nesse caso use no teclado S: para sair/$nalizar, P: pausa, R: rápido e L: lento).

Figura 5.4: Anim, Parâmetro “A”

5) Repetir os passos acima para as funções f(x) = Asin(x) e f(x) = A+cos(x).

Aula 6: Função cosseno.

Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio, Software Winplot

Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tama-nho do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas ( , , , ). O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.

Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação – Inventário, selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer as alterações.

Passos básicos:

1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela – 2-dim.

2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais – digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (Fig. 6.1)


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3) Clicar Menu Outros (ou Misc) – Decimais – digitar - 0, clicar em ok;

4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecera um quadro como na Fig. 6.2.

Figura 6.1: Menu - Grade Figura 6.2: Menu Equação, Explícita, cos(x)

5) Digitar a função f(x) = cos(x) e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual o Período _____ Amplitude_______ e Conjunto Imagem__________.

5.1) Repetir: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = 1+cos(x) e clicar em ok.

A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período ________, Amplitude _______ e Imagem__________ dessa função.

5.2) Comparar os grá$cos das funções 1+cos(x) e cos(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período ____________, Amplitude,_________ e Imagem __________.

5.3) Representar o grá$co da função f(x) = -1 +cos(x); dar sua equação (na tela), dar o Período ______, Amplitude _____ e Imagem_______. Comparar os grá$cos das funções y=cos(x) e f(x)= -1+cos(x) no que se refere a Período, Amplitude e Imagem ___________.

6) Arquivo, Novo (não precisa salvar o anterior). Representar o grá$co da função f(x) = cos(x) (clicar em equação), e depois o de f(x) = (1/2)cos(x) (clicar em equação). Para essa última função temos: Período ________, Amplitude ______ e Imagem _______.

6.1) Digitar a função f(x) = [1+cos(x)]/2 = ½ + ½cos(x); mostrar a equação na tela. Responder qual o Período ______Amplitude_______ Imagem__________

6.2) Qual a diferença entre os grá$cos das funções y=cos(x) e f(x)=(1+cos(x))/2?

7) Digitar a função f(x) = - cos(x); clique em equação em Inventário. Escrever quais diferenças podem ser observadas no que se refere ao Período __________, Amplitude _________ e Imagem _________das funções y = cos(x) e f(x) = - cos(x).


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Aula 7: Grá$cos de funções polinomiais.


Observação: Para melhor visualização na tela do Winplot utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afas-tar) e setas ( , , , ). Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela do Winplot ir ao menu Equação – Inventário, selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer as alterações.

O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html.

Passos:

1) Abrir o Winplot (software do grupo Peanut).


3) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-

bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1 (para x e para y), decimais – 0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); aplicar e fechar (ver Fig. 7.1).

4) Clicar no menu Outros (Misc)– Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;

5) Clicar Menu Mouse (Btns – Coords xy BE Recentre BD);

6) Clicar no menu Equação, Explícita: obterá um quadro como na Fig. 7.2 abaixo.

7) Digitar a lei da função f(x) = 2x+1, em espessura da linha digite 2, e selecionar ok (aparecerá o grá$co na tela).

Figura 7.1: Menu - Grade Figura 7.2: Menu Equação, Explícita, 2x+1


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7.1) A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela).

7.2) Quais são os zeros/raízes da função f(x) = 2x+1? (isto é, as raízes da equação 2x+1=0?). No menu Equação – Ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que representam, no grá$co, as raízes da função (isto é os pontos do grá$co que interceptam o eixo x das abscissas, ou seja, tem ordenada 0), que no caso é x= – 0,5 (que devemos digitar -0.5) e y= 0.

7.3) Completar: Esta função é _______________ crescente/decrescente.

Clicar menu – Arquivo – Novo; menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = x^2+2x-3 e ok, para obter o grá$co (parábola).

8.1) Quais são os zeros/raízes da função? (raízes da equação x2 + 2x – 3 = 0 ?) _____ _____. No menu Equação – Ponto – (x,y) ..., digitar as coordenadas dos pontos que repre-sentam, no grá$co, as raízes da função f(x) = x^2+2x-3 (pontos do grá$co que intersectam o eixo x, ou seja, tem ordenada 0).

8.2) Quais são as coordenadas do vértice? __________________.

No menu Equação – Ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice.

A concavidade da parábola nesse caso está voltada para cima ou para baixo?__________.

8.3) Menu Equação – Ponto digitar (x-1)*(x+3). O que você observa relativamente ao grá$co dessa função e da anterior?_______________. Note que x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) = (x+1)(x-2)(x-3). Menu Equação - Explícita – digitar (1/2)*(x-1)*(x+3). E agora o que você observa em relação ao grá$co dessa função e da anterior?___________ e com relação às raízes/ zeros? ____________.

Menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = -x^2+4x-5.

9.1) Essa função tem raízes reais? ______. Caso tenha marque na tela tais pontos usan-do Equação, Ponto – (x,y) ...

9.2) Quais as coordenadas do vértice? _______. Menu Equação – Ponto – (x,y)..., digi-tar as coordenadas (x, y) do vértice. A concavidade da parábola nesse caso está para cima ou para baixo?______

9.3) Menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = -x^2+4x-3. Essa função tem ra-ízes reais? Compare com o grá$co da função anterior. O que você observa? ___________. Note f(x) = -x^2+4x-3 = (-x^2+4x-5) +2


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10) Clicar menu – Arquivo – Novo; menu Equação, Explícita – digitar a função f1(x) = x. Equação, Explícita digitar a função f2(x) = x^2. Fazer o mesmo para as funções f3(x) = x^3, f4(x) = x^4 e f5(x) = x^5 . O que você observa com relação aos zeros dessas funções? E com relação aos grá$cos? O que acontece próximo da origem, com os grá$cos das funções, à medida que aumentamos o grau da função polinomial? __________ ____ _______ _____

11) Clicar menu – Arquivo – Novo; menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = x*(x^2-1) = x^3 - x^2. Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função?______.

12) Menu Equação - Explícita – digitar f(x) = x^3-4x^2+x+6. Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função polinomial? (isto é, as raízes reais da equação x^3 - 4x^2+x+6 = 0)? _____ e _____.

13) Menu Equação - Explícita – digitar (x+1)*(x-2)*(x-3). O que você observa relativa-mente ao grá$co dessa função e da anterior? Note que x^3-4x^2+x+6 = (x+1)(x^2-5x+6) = (x+1)*(x-2)*(x-3). Menu Equação - Explícita – digitar (-1/2)*(x+1)*(x-2)*(x-3). E agora o que você observa em relação ao grá$co dessa função e da anterior?_______ e com relação aos zeros?______ (ver Fig. 7.3).

14) Menu Equação - Explicita digitar a função f(x) = x^4 – 5x^3 + 5x^2 + 5x – 6. Quais são os zeros da função? Menu Equação - Explicita digitar (x^2-1)* (x-2)*(x-3). O que você observa, relativamente ao grá$co?_______________.

15) Menu Equação - Explicita digitar (x^2+1)*(x^2-5x+6) ou x^4-5x^3+7x^2-5x +6. Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função?____________________.


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RESULTADOS/CONCLUSÕES

As atividades desenvolvidas nos laboratórios de informática das escolas, usando o sof-

tware Winplot no ensino de Matemática, teve uma participação bastante ativa dos alunos e o interesse dos mesmos é con$rmado nos questionários de avaliação que apresentamos na E.E. Profa. Amira Homsi Chalella e na Etec Philadelpho G. Netto. Os conteúdos trabalhados estão de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais e também a Pro-posta Curricular do Estado de São Paulo ver, por exemplo, o Caderno do Professor de Matemática - 2a série, v.1 - 2009, da Secretaria do Estado de São Paulo, p. 36 (Situação de Aprendizagem 3 - Grá$cos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos):

“[...] sugerimos que o professor utilize um software de construção de grá-

�cos para auxiliar a compreensão dos alunos e imprimir maior velocida-

de às conclusões.”

Com o uso do Winplot foi possível detectar, por exemplo, que muitos alunos não ti-nham entendido, durante o desenvolvimento das aulas normais, os conceitos de amplitude e período das funções trigonométricas seno e cosseno, e assim esses conceitos foram re-tomados e explorados. Destacamos que nas atividades, constam as séries que aplicamos (seguimos a seriação de acordo com o proposto no Caderno do Professor – SEE – SP), mas tal material pode ser utilizado para outras séries mais avançadas, por exemplo, para revisão do assunto. Observamos que de acordo com o interesse e a participação da turma, as atividades podem ser enriquecidas. Por exemplo, pode-se incluir, no estudo de funções trigonométricas, atividades/perguntas relativas à função ser par ou ímpar. No estudo de funções, certamente muitas outras informações podem ser obtidas/exploradas a partir da representação grá$ca. Também se pode usar o Winplot para “resolver geometricamente”, ou melhor, “testar a veracidade” da solução de um problema que foi obtida através de cálculos algébricos. Isso foi feito com classes de 3ªs séries usando algumas questões de vestibulares/Enem. Nesse caso, as questões precisam ser previamente selecionadas pelos bolsistas e uma melhor adequação do sistema de coordenadas ou alguns passos/comandos adicionais do Winplot podem ser necessários. Segue um exemplo:

(UFSCar - 2008) A $gura (Fig. 2 abaixo) indica a representação grá$ca, no plano cartesiano ortogonal xOy, das funções y = x2 + 2x - 5 e xy = 6. Sendo P, Q, R os pontos de intersecção das curvas, e p, q e r as respectivas abscissas dos pares ordenados que represen-tam esses pontos, então p + q + r é igual a

(A) -2/3; (B) -1; (C) -3/2; (D) -2; (E) -3.


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A solução (algébrica) é obtida resolvendo o sistema de equações y = x2+2x-5 e xy = 6. Para a “solução geométrica” (ou teste de veracidade) com o Winplot a sugestão é construir o grá$co dessas duas funções no Winplot (usando coordenadas adequadas): no menu Equa-

ção – Explícita digite x^2+2x-5 e dê ok. Novamente no menu Equação – Implícita digite xy = 6 e dê ok. Ao fazer as representações geométricas vamos obter os grá$cos como na Fig.3. Logo P = (-3, -2); Q = (-1, -6); R = (2,3) e p = -3, q = -1 e r = 2. Donde p+q+r = -2.

É interessante observar que, comparando o Cabri Géomètre II com o Winplot, o Cabri é bastante dinâmico e pode ser utilizado no estudo de vários tópicos dos ensinos funda-mental, médio (FANTI, et al., no prelo), e superior, mas para o estudo/representação de grá$cos de funções reais o Winplot é mais apropriado.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CARVALHO, P. C. P.; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C.; WAGNER, E. A. Matemática

do Ensino Médio, v. 1, 2 e 3. IMPA – RJ, Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1998.

FANTI, E.L. C., et al. Ensinando fatoração e funções quadráticas com o apoio de material con-

creto e informática. Livro Eletrônico dos Núcleos de Ensino da Unesp, relativos a trabalhos do NE de 2006. Edição 2008, p. 170-184.

FANTI, E.L.C., et al. Cabri-Géomètre II como um importante instrumento no estudo de con-

teúdos matemáticos no Ensino Médio. Livro Eletrônico dos Núcleos de Ensino da Unesp. Relativos a trabalhos do NE de 2008, (submetido – no prelo).

JESUS, A.; MASCARENHAS, M. G. Atividades Dinâmicas com o Winplot, Winmat e

Cabri- Géomètre II, UFBA,II Bienal 2004.

JESUS, A. R. Winplot. Revista do Professor de Matemática, v. 47, p. 41-44, 2001.

JESUS, A. R.; SOARES, E. P. Grá$cos animados no Winplot. Revista do Professor de


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Matemática, v. 56, p. 34-44, 2005.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio - Parte III, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, 1999. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf (Acesso em 19/07/2010).

SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor: Matemática. En-sino Médio - 1ª a 3ª série. Coordenação Geral, São Paulo, SEE, 2009.

Education

Utilizando o-winplot prof.-erminia