Variáveis aleatórias discretas - Estatística II

Estatística II

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

FACULDADE DE ECONOMIA

Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

I – Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

*) Definição: Seja E um experimento e S o espaço associado ao

experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s S um

número real X(s) é denominada variável aleatória.

s

S

X(s)

RX

Variável Aleatória

Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem

de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são

adquiridas em fábricas diferentes (A e B), e a montagem consistirá

em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado deve ser o

comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela

esfera) dentro de certos limites e isso só poderá ser verificado após a

montagem. Para estudar a viabilidade de seu empreendimento, o

empresário quer ter uma ideia da distribuição do lucro por peça

montada.

Sabe-se que cada componente pode ser classificado como

bom, longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da

especificação, maior ou menor que a especificada, respectivamente.

Além disso, foram obtidos dos fabricantes o preço de cada

componente (R$ 5,00) e as probabilidades de produção de cada

componente com as características bom, longo e curto. Tais valores

podem ser verificados na tabela a seguir

I.1 – Variáveis Aleatórias Discretas

Produto Fábrica ACilindro

Fábrica BEsfera

Dentro das especificações.............. Bom(B) 0,80 0,70

Maior que as especificações.......... Longo(L) 0,10 0,20

Menor que as especificações......... Curto (C) 0,10 0,10

Nosso primeiro objetivo e construir as probabilidades associadas acombinação do produto a ser criado, primeiramente temos que construir oespaço amostral (S), como são construídos em fábricas diferentes,consideramos que a construção das peças se dá de forma independente,portanto teríamos o seguintes elementos em S:

Se o produto final apresentar algum componente com defeito com acaracterística curto (C), ele será irrecuperável, e o conjunto será vendidocomo sucata a R$ 5,00. Cada componente longo poderá ser recuperado a umcusto adicional de R$ 5,00. Se o preço de venda de cada unidade for R$25,00, como seria a distribuição de frequências da variável X: Lucro porconjunto montado?

Tabela I1


Então como ficaria a tabela

Com os valores de custo?

Cilindro Esfera

B

B0,70

0,200,10

0,70

0,200,10

0,70

0,200,10

0,80

0,10

0,10

L

C

B

L

C

B

L

C

0,56

0,16

0,08

0,07

0,02

0,01

0,07

0,02

0,01

Produto ProbabilidadeLucro por

Montagem (X)

BB 0,56 15BL 0,16 10BC 0,08 -5LB 0,07 10LL 0,02 5LC 0,01 -5CB 0,07 -5CL 0,02 -5CC 0,01 -5

Tabela I2

L

C


Então, pode-se notar que existem quatro possibilidades associadas as

ocorrências de fabricação do produto e de lucro, as quais seriam:

15, se ocorrer o evento A1 = {BB};

10, se ocorrer o evento A2 = {BL, LB};

5, se ocorrer o evento A3 = {LL};

-5, se ocorrer o evento A4 = {BC, CB, CL, LC, CC};

Cada um desses eventos possui uma probabilidade associada, onde:

P(A1)= 0,56; P(A2)= 0,23; P(A3)= 0,02; P(A4)=0,19

Isso nos permitirá construir a função [x, p(x)], que é um modelo teórico

para a distribuição da variável X, que o empresário poderá usar para julgar

a viabilidade econômica do projeto que ele pretende realizar. Aqui o x é o

valor da V.A. X e p(x) é a probabilidade de X tomar o valor x.


x p(x)

15 0,56

10 0,23

5 0,02

-5 0,19

Total 1,00

Assim, teríamos a seguinte tabela

Tabela I3


Vamos introduzir o conceito de valor médio por meio do exemplo

anterior:

A principal pergunta a ser feita pelo empresário diante da sua

distribuição de Lucro seria em procurar saber qual seria o seu lucro médio

por conjunto montado. A partir da tabela I3,, observamos que 56% das

montagens devem produzir um lucro de R$ 15, 23% um lucro de R$10 e

assim por diante. Logo, o lucro esperado por montagem será dado por

Lucro médio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) = R$

9,85

** Definição: dada a v.a. X discreta, assumindo os valores

chamamos valor médio ou ESPERANÇA matemática de X ao valor:

1, ...,

nx x

1 1

( ) ( )

n n

i i i i

i i

E X x P X x x p


I.1.1) Valor Médio de uma VA

A variância da V.A. X pode ser obtida pela clássica expressão de

variância, onde corresponde ao valor observado menos a média elevado ao

quadrado:

Já o desvio padrão é a raiz da Var(X), vamos verificar em um exemplo

prático como calcular a variância e o desvio padrão no Excel:


I.1.2) A variância e desvio de uma variável aleatória

2

1

var( ) [ ( )]

n

i i

i

X x E X p

http://youtu.be/g9SF9Y0-yfE

Para melhor retratar as propriedades do valor médio podemos

partir da seguinte dúvida do empresário:

Suponha que todos os preços determinados pelo empresário

estivessem errados. Na realidade, todos os valores deveriam ser

duplicados, isto é, custos e preços de venda. Isso corresponde à

transformação Z=2X. As probabilidades associadas à V.A. Z serão as

mesmas da V.A. X, pois cada valor de X irá corresponder a um único

valor de Z. Assim, o valor médio da distribuição de Z será dado por:


I.1.3) Propriedades do valor médio

1

( ) ( )

n

i i

i

E Z z p z

1

(2 ) 19, 70

n

i i

i

x p

Podemos visualizar em uma tabela esse comportamento:



x z=2x p(z)=p(x) z*p(z)

15 30 0,56 16,80

10 20 0,23 4,60

5 10 0,02 0,20

-5 -10 0,19 -1,90

Total - 1,00 19,70

Tabela I4

Assim, dada a V.A. discreta X e a respectiva função de

probabilidade p(x), a esperança matemática da função h(X) é dada

por

As seguintes propriedades podem ser facilmente demonstradas:

a) Se h(X)=aX + b, onde a e b são constantes, então

b)



1

[ ( )] ( ) ( )

n

i i

i

E h X h x p x

2

[ )] ( )

var( ) var( )

E aX b aE X b

aX b a X

2

2 2 2var( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

i i i iX E X E X x p x x p x

Vamos construir então a Var(X), para tanto vamos mostrar isso em

na tabela I5:

Assim: var(X)=154,25 – (9,85)2 = 57,23

Simbolicamente podemos representar média e variância por:



w p(w) w*p(w)

152=225 0,56 126,00

102=100 0,23 23,00

(5 ou -5)2= 25 0,21 5,25

Total 1,00 154,25

Tabela I5: nesse caso supondo que w=X2

2

( ) ( )

var( ) ( )

E X X

X X


I.1.4) Função de distribuição acumulada

Construindo um gráfico podemos demonstrar que:


I.1.4) Função de distribuição acumulada

( ) lim ( ).x a

F a F x


I.1.5) Alguns modelos probabilísticos para V.A.D.

E que a função acumulada é dada por

( )

1 ( )( )

ix x

n xF x

k k

Graficamente teríamos

I.1 – Variáveis Aleatórias DiscretasI.1.5) Alguns modelos probabilísticos para V.A.D.

(a) Função de Probabilidade (b) Função de distribuição

I.1.5.2) Distribuição de Bernoulli: Muitos experimentos são tais

que os resultados apresentam ou não uma determinada característica.

Por exemplo:

(1) Uma moeda é lançada: o resultado ou é cara ou não (ocorrendo,

então, coroa);

(2) Um dado é lançado: ou ocorre face 5 ou não (ocorrendo, então,

uma das faces 1, 2, 3, 4 ou 6);

(3) Uma peça é escolhida ao acaso de um lote contendo 500 peças:

essa peça é defeituosa ou não;

(4) Uma pessoa escolhida ao acaso dentre 1.000 é ou não do sexo

masculino;

(5) Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma

cidade e verifica-se se ela é favorável ou não a um projeto municipal.



Em todos os casos anteriormente citados, estamos interessados na

ocorrência de um sucesso ou fracasso. Essa terminologia (sucesso ou

fracasso) será usada frequentemente.

Para cada experimento acima podemos definir uma v.a. X, que

assume apenas dois valores: 1, se ocorrer sucesso e 0, se ocorrer

fracasso. Indicaremos por p a probabilidade de sucesso, isto é,

P(sucesso) = P(S)=p, 0 < p <1.

Definição: A variável aleatória X, que assume apenas os valores 1 e

0; com função de probabilidade (x, p(x)) tal que:

Que é conhecida como a variável aleatória de Bernoulli



(0) ( 0) 1

(1) ( 1) ,

p P X p

p P X p



Exemplo: vamos supor o caso do experimento (2). Supondo o dado

perfeito, teremos P(X=0)=5/6, P(X=1)=1/6,

E(X)=1/6, Var(X)=(1/6)(5/6)= 5/36




I.1.6) Distribuição Binomial

Vamos então considerar as seguintes situações, obtidas de (1) a (5) no

exemplo de Bernoulli:

(1’) uma moeda é lançada três vezes; qual é a probabilidade de se obter

duas caras?

(2’) um dado é lançado cinco vezes; qual a probabilidade de se obter face

5 no máximo três vezes?

(3’) dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote

contendo 500 peças; qual é a probabilidade de que todas sejam

defeituosas, sabendo-se que 10% das peças do lote são defeituosas?

(4’) cinco pessoas são escolhidas ao acaso entre 1.000; qual a

probabilidade de que duas sejam do sexo masculino?

(5’) Sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são favoráveis a um

projeto municipal. Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre os

moradores, qual é a probabilidade de que pelo menos 80 sejam

favoráveis ao projeto?



Nos casos (4’) e (5’), o fato de estarmos extraindo indivíduos de um

conjunto muito grande implica que podemos supor que as extrações sejam

praticamente independentes.

Exemplo: Consideremos a situação (1’), supondo que a moeda não esteja

viciada, isto é, P(sucesso)=P(cara)=1/2. Indiquemos o sucesso (cara) por S e

fracasso (coroa), por F. Então, estamos interessados na probabilidade do

evento:

A ={ A ={

SSF, (1, 1, 0);

SFS, (1, 0, 1);

FSS} (0, 1, 1)}







p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

S

F

S

F

S

F

S

F

3p

2p q

2p q

2pq

2p q

2pq

2pq

3q

Nº de sucessos Probabilidades p=1/2

0 q3 1/8

1 3pq2 3/8

2 3p2q 3/8

3 p3 1/8



Tabela I6: Probabilidades binomiais para n=3 e P(S) = p

https://www.youtube.com/watch?v=esLcBFMD5YU

https://www.youtube.com/watch?v=wOPxk5haQRA







I.1 – Variáveis Aleatórias DiscretasI.1.6) Distribuição Binomial





https://www.youtube.com/watch?v=9h6UjNJP8oU

https://www.youtube.com/watch?v=SSqRZEXGYiY



https://www.youtube.com/watch?v=Bjr1ftPYnxc

Você pode empregar a Distribuição de Poisson em situações nas

quais não se está interessado no número de sucessos obtidos em n

tentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial, entretanto,

esse número de sucessos deve estar dentro de um intervalo contínuo,

ou seja, o número de sucessos ocorridos durante um intervalo

contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço etc.

Imagine que você queira estudar o número de suicídios ocorridos

em uma cidade durante um ano ou o número de acidentes

automobilísticos ocorridos em uma rodovia em um mês ou o número

de defeitos encontrados em um rolo de arame ovalado de 500m.

Essas situações são exemplos daquelas que se enquadram na

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.


I.1.7) Distribuição de Poisson







https://www.youtube.com/watch?v=vIBHKjiLpY0


I.1.8) Distribuição Hipergeométrica

Exemplo: Uma empresa fabrica um tipo de adaptador que são

embalados em lote de 25 unidades. Para aceitar o lote enviado por

essa fábrica, o controle de qualidade da empresa tomou o seguinte

procedimento: sorteia-se um lote e desse lote selecionam-

se 8 adaptadores para teste, sem reposição. Se for constatado, no

máximo, dois adaptadores defeituosos, aceita-se o lote fornecido pela

fábrica. Se o lote sorteado tiver 7 peças defeituosas, qual a

probabilidade de se aceitar o lote?

N=25

r=7

n=8


I.1.8) Distribuição Hipergeométrica

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