Variáveis Aleatórias Multidimensionais

Estatística II

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

FACULDADE DE ECONOMIA

Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

MULTIDIMENSIONAIS

I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS

I.3.0 - Introdução

É muito comum estarmos interessados no comportamentoconjunto de várias variáveis. Vamos tratar agora de duas variáveis.Todavia, os conceitos discutidos valem para situações de três oumais variáveis.

As informações em um conjunto de dados, sejam elas referentesao todo ou parte de uma população, quase sempre contêmobservações multidimensionais, isto é, observações relacionadas avárias variáveis. Por exemplo, num questionário, aplicado a alunosde uma universidade, podemos obter a idade, o tamanho da família eo número de disciplinas já cursadas, entre outras quantidades quepodem Ter interesse para cada aluno. Considerando duas variáveis,digamos a idade e o tamanho da família, podemos listar todos ospares que ocorrem. Como pode haver repetição de valores, osresultados podem ser organizados em uma tabela, com os possíveispares associados às suas respectivas frequências.


I.3.1 – A distribuição conjunta

Vamos trabalhar com um exemplo prático disso. Suponha que

estamos interessados em estudar a composição de famílias com três

crianças, quanto ao sexo. Definamos:

X = o nº de meninos

1, se o primeiro filho for homem

Y

0, se o primeiro filho for mulher,

Z = nº de vezes em que houve variação do sexo entre um

nascimento e outro, dentro da mesma família.

A partir de tais dados, e supondo que as possíveis combinações

tenham a mesma probabilidade, obtemos a Tabela abaixo:


I.3.1 - A distribuição conjunta

Eventos Probabilidade X Y Z

HHH 1/8 3 1 0

HHM 1/8 2 1 1

HMH 1/8 2 1 2

MHH 1/8 2 0 1

HMM 1/8 1 1 1

MHM 1/8 1 0 2

MMH 1/8 1 0 1

MMM 1/8 0 0 0

Tabela 1





A partir da primeira tabela, podemos formar também as

distribuições conjuntas de X e Z, de Y e Z, bem como a distribuição

conjunta de X, Y, Z, que segue na tabela abaixo.

Tabela 3: Distribuição conjunta das v.a. X Y e Z



1/8

Corrigir no texto

0




I.3.2 – Distribuições Marginais e condicionais


I.3.2 – Distribuições condicionais

x 1 2 3

1/4 1/2 1/4



y 0 1

1/3 2/3




I.3.3 – Funções de variáveis aleatórias

1/8 0



Dadas essas informações podemos então construir a tabela 7

Tabela 7: Funções de v.a.



A partir da tabela 7, podemos achar as distribuições de X+Y e XY,

para as duas situações teríamos:

Tabela 8: Distribuição de X+Y

Tabela 9: Distribuição de XY




I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias





1/8 0



Consideremos uma nova distribuição conjunta de X e Y dada pela

tabela 10 abaixo

Tabela 10: distribuição conjunta



Assim teremos:

Obtendo assim,

Esse resultado demonstra que as variáveis X e Y não são

correlacionadas entre si.








Prática no R

Exemplo: Numa loja de eletrodomésticos vendem-se máquinas de

lavar louça e máquinas de lavar roupa. O número de máquinas de lavar

louça vendidas, X , e o número de máquinas de lavar roupa vendidas, Y ,

têm uma função de probabilidade conjunta parcialmente indicada no

quadro abaixo:

a) Complete o quadro acima e faça a função de probabilidade

marginal da v.a. X

Y\X 0 1 2 P( Y=y )

2 0.10 0.20 ? 0.40

3 0.04 ? 0.10 0.22

4 ? 0.12 0.15 0.38


Prática

b) Calcule E(X) e E(X+Y)

Y\X 0 1 2 P( Y=y )

2 0.10 0.20 0.10 0.40

3 0.04 0.08 0.10 0.22

4 0.11 0.12 0.15 0.38

P( X=x ) 0.25 0.40 0.35 1


Prática

Para E(X+Y) temos que construir a tabela de probabilidade:

1,135,0240,0125,00)(1

k

i

ii pxXE

(X,Y) X+Y P(X,Y)

(0,2) 2 0.10

(0,3) 3 0.04

(0,4) 4 0.11

(1,2) 3 0.20

(1,3) 4 0.08

(1,4) 5 0.12

(2,2) 4 0.10

(2,3) 5 0.10

(2,4) 6 0.15

X+Y 2 3 4 5 6

P(X+Y) 0.10 0.24 0.29 0.22 0.15


Prática

c) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique sua

resposta.

08,415,0622,0529,0424,0310,02)()(1

k

i

ii pyxYXE

XY 0 2 3 4 6 8

P(XY) 0.25 0.20 0.08 0.22 0.10 0.15

32,315,0810,0622,0408,0320,0225,00)()(1

k

i

ii pxyXYE

1,135,0240,0125,00)(1

k

i

ii pxXE

98,238,0422,0340,02)(1

k

i

ii pyYE


Prática

Como então X e Y não são independentes.

278,398,21,1)()( YEXE

),()()( YEXEXYE


Prática

Covariância de duas v.a.

Uma medida de dependência linear entre X e Y é dada pela

covariância:

Em palavras, a covariância é o valor esperado do produto dos desvios

de cada variável em relação à sua média.

Usando o exemplo anterior temos:

.))((),( , YXYX YXEYXCov

Y\X 0 1 2 P( Y=y )

2 0.10 0.20 0.10 0.40

3 0.04 0.08 0.10 0.22

4 0.11 0.12 0.15 0.38

P( X=x ) 0.25 0.40 0.35 1


Prática

Já verificamos que a E(X)=1,1 e a E(Y)=2,98

Portanto a Covariância será

Outro elemento a ser calculado é a correlação, para isso vamos ter que

calcular os desvios de X e Y para jogar na seguinte expressão:

As respectivas variâncias serão obtidas por:

0420,098,210,132,3)()()(),( , YEXEXYEYXCov YX

k

i

ii xp1

22 )(

59,0)1,12(35,0)1,11(40,0)1,10(25,0)( 2222

0

22

i

iiX xp

7796,0)98,24(38,0)98,23(22,0)98,22(40,0)( 2222

0

22

i

iiY yp


Prática

Cov(X,Y) = 0,0420

Ou seja, temos entre as variáveis uma baixa correlação, porém existe

sim uma pequena relação entre as mesmas.

,

( , ) 0,04200,062

0,5900 0,7796X Y

X Y

Cov X Y

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