1

Simulação HistóricaAnálise de Risco (6)

R.Vicente

2

Resumo

Simulação HistóricaMétodo BRW (Boudoukh-Richardson-Whitelaw)Volatilidade Ajustada (Método Hull-White)Bibliografia

3

-8,0%

-6,0%

-4,0%

-2,0%

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

1 51 101

151

201

251

301

351

401

451

501

551

601

651

701

751

801

851

A versão naïve da simulação histórica consiste na utilização do histórico de retornos para gerar cenários futuros para preços:

Simulação Histórica

1, ,..., ,...,t t t n t NR R R R− − −

( )1 ( )t nRn

t tV V S e −+ =

4

Simulação Histórica

A densidade resultante não é normal:

( ) ( )n nt t tV V VΔ = −

050

100150200250300350400450

-8,9

534%

-7,7

357%

-6,5

181%

-5,3

004%

-4,0

827%

-2,8

651%

-1,6

474%

-0,4

297%

0,78

79%

2,00

56%

3,22

33%

4,44

09%

5,65

86%

6,87

62%

8,09

39%

9,31

16%

10,5

292%

L N R e t

Freq

uenc

y

5

Simulação Histórica

( ){ }1

1( ; , ) 1 jt

N

V xj

P x t NN Δ ≤

=

= ∑A função distribuição cumulativa empírica é dada por:

( )inf (1) ( )inf { ,..., } | ( ; , )NVaR V V V P V t Nα α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≥

( )sup (1) ( )sup { ,..., } | ( ; , )NVaR V V V P V t Nα α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≤

( )inf sup

2VaR VaR

VaR α αα

+=

Massa de P&L até x

6

Simulação Histórica

Historical Simulation

-8,0%-6,0%-4,0%-2,0%0,0%2,0%4,0%6,0%8,0%

1 51 101

151

201

251

301

351

401

451

501

551

601

651

701

751

801

851

7

Prós e Contras

Prós ContrasNão é necessário estimar

volatilidades ou correlações.Cenários têm mesmo peso (1/N).

Nenhuma hipótese prévia sobre a densidade dos retornos é necessária.

Cenários com volatilidades diferentes são utilizados

simultaneamente.

8

Método BRWBoudoukh,Rishardson,Whitelaw

( ){ }1

( ; , , ) 1 j

N

t j V xj

P x t N wλ − Δ ≤=

=∑

A função distribuição cumulativa empírica é dada por:

( )sup (1) ( )sup { ,..., } | ( ; , , )NVaR V V V P V t Nα λ α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≤

11

1

1 1 ,1

Nj

t j t j t j t jNj

w w w wλ λ λλ

−− − − − −

=

⎛ ⎞− ⎟⎜= ⇒ = =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠− ∑

( )inf (1) ( )inf { ,..., } | ( ; , , )NVaR V V V P V t Nα λ α= Δ ∈ Δ Δ Δ ≥

9

Método BRW

1 2

1 11 1 1 1

1

... ...

... ...11

t t t n t N

n N

N

R R R R

w w w w

w

λ λ λλλ

− − − −− −

−=−

Probabilidade

0,00%

0,20%

0,40%

0,60%

0,80%

1,00%

1,20%

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451

10

Método BRW: ResultadosComprado em SP500 VaR a 99%

11

Método BRW: ResultadosVendido em SP500 VaR a 99%

12

Método BRW: ResultadosComprado em SP500 VaR a 95%

13

Método BRW: ResultadosVendido em SP500 VaR a 95%

14

Método BRW: Resultados

sup sup sup( ) ( 1) ( )tR VaR t VaR t VaR tα α α> ⇒ + ≥

Proposição 1: O VaR aumenta somente após pelo menos uma violação, ou seja, a probabilidade de o VaR aumentar de um período ao próximo é de 1-

t-1

t

α

15

Método BRW: Resultados

{ }( 1) ( ) 31,73%P VaR t VaR tα α+ > =

Proposição 2: Se os retornos são descritos por um processo GARCH(1,1) e a volatilidade estiver em seu nível médio , então:σ

Demonstração:

2 2 20 1 1 1 1

t t t

t t t

R

R

σ εσ α α β σ− −

== + +

Seja o processo GARCH(1,1) definido por:

16

Método BRW: Resultados

Demonstração:

2 0

1 11ασα β

=− −

A volatilidade que é ponto fixo da dinâmica no longo prazo é:

tσ σ=Quando , se e somente se1t tσ σ+ >2 2 2

0 1 1

2 2 2 20 1 1

2 22 20 1

21

1

t t t

t t t

Rα α β σ σα α σ ε β σ σα β σ σ ε ε

α σ

+ + >+ + >+ − > ⇒ >

17

Método BRW: Resultados

Demonstração:

2 2 20 1 1

2 2 2 20 1 1

2 22 20 1

21

1

t t t

t t t

Rα α β σ σα α σ ε β σ σα β σ σ ε ε

α σ

+ + >+ + >+ − > ⇒ >

2( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 1) 0,3173P P Pε ε ε> = > + <− = Φ −

QED

18

Método BRW: Resultados

Proposição 3: Se os retornos são representados por um processo GARCH(1,1), a probabilidade de um aumento de VaR em t+1 maior que x% em relação a t não ser detectado pelo método BRW é:

1

1

2 ( ) ,0 ( , )% , detection

( ), ( , )( )z x kVaRP x no

z x kVaR tα

α

α α αα α

⎧ ⎫ ⎧ Φ − < <⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪>⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪ ⎪ Φ ≥⎪⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎭

2

1

211 1 1

21

( , ) 1 ( )

x xz

k

α

α α α α α−

+=− +

⎡ ⎤= − + Φ⎢ ⎥⎣ ⎦

19

Método BRW: ResultadosProposição 3: Se os retornos são representados por um processo GARCH(1,1), aprobabilidade de um aumento de VaR em t+1 maior que x% em relação a t não ser detectado pelo método BRW é:

20

Método BRW: Resultados

21

-5,0

-3,0

-1,0

1,0

3,0

5,0

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851

São realizadas estimativas GARCH ou EWMA de volatilidades e os retornos são normalizados.

Método de Hull-White

1

1

, ,..., ,...,t t t n t N

t t t n t N

R R R Rσ σ σ σ

− − −

− − −

1( )1 ( )

t nt

t n

Rn

t tV V S eσ

σ−

+−

+ =

22

Bibliografia

• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.

• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);

•Pritsker M., The Hidden Dangers of Historical Simulation.

Leituras Complementares

Hull, J. e White, A., Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk