E

I

TER

NAN

TE

M

D

Determinante

O que você sabe sobre

determinante?

Para aproveitar 100% dessa aula você precisa

saber: Matrizes

Equação do 1º

Equação do 2º grau

Como representamos o Como representamos o determinantedeterminante de uma de uma

matriz?matriz?Colocando os elementos de uma matriz Colocando os elementos de uma matriz

entre duas entre duas barras verticaisbarras verticais..

Exemplos:Exemplos:

04

21

04

21

ADetA

355

102

041

355

102

041

BDetB

Como calculamos o determinante de uma

matriz quadrada?

Se for uma matriz de ordem 1,

então o determinante é o próprio

elemento da matriz.

Exemplo:

44det4 AA

Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto dos elementos da matriz secundária.

Exemplo:

01

32det

01

32

AA

31.30.2

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

(UF-PI) Sejam(UF-PI) Sejam

Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y éSe det A = 4 e det B = 2, então, x + y é

igual a: igual a:

a) 2a) 2

b) 3b) 3

c) 4c) 4

d) 5d) 5

e) 6e) 6

112

1 yxBe

y

xA

SoluçãoSolução

3x = 63x = 6

x = 2x = 2

424)(2

42

1det

yxyx

y

xA

2

211

det

yx

yxB

2

42

2

42

yx

yx

yx

yx x - y = 2x - y = 2

2 - y = 22 - y = 2

y = 0y = 0

Logo, x + y = 2 + 0 = 2

Resposta: letra A.

Se for uma matriz de ordem 3, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.

Exemplo:

det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12

det A = 0

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que

é(são): é(são):

a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3

8

32

10

21

x

x

x

SoluçãoSolução

-2 + 6x -2x -2x2 =-8

-2x2 + 4x -10 = 0

As raízes são -1 e 3.

Resposta: letra E.

8

32

10

21

x

x

x8

32

10

21

x

x

x 1

x

2

0

-2x

6x-20 -2x2-2x0

Propriedades dos determinantes

1ª) Se todos os elementos de uma fila

(linha ou coluna) de uma matriz quadrada

forem iguais a zero, o determinante dessa

matriz também será zero.

Exemplo:

0det

5009

2703

0302

1401

AA

2ª) Se os elementos correspondentes de

duas filas (duas linhas ou duas colunas) de

uma matriz forem iguais, o determinante

dessa matriz será zero.

Exemplo:

0det

5019

0352

0372

1401

AA

3ª) Se duas filas (duas linhas ou duas colunas)

de uma matriz forem proporcionais, o

determinante dessa matriz será zero.

Exemplo:

0det

6013

4372

4372

2401

AA

4ª) Se trocamos duas filas (duas linhas ou duas colunas) de posição, o determinante da nova matriz será o oposto da matriz anterior.

Exemplo:

201

521

310

201

310

521

BeA

det A =

det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = -13

Exemplo:

201

521

1563

201

310

521

BeA

det A =

det A = 5 + 2 + 6 = 13, então det B = 39

5ª) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) forem multiplicados por um mesmo número, então o

determinante também fica multiplicado por esse número.

6ª) Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, então o determinante fica multiplicado por esse número elevado a ordem da matriz.

Exemplo:

402

620

1042

201

310

521

2

201

310

521

BeA

det A = 13, então det B = 13. 23 = 104

7ª) O determinante de uma matriz quadrada

é igual ao determinante da sua transposta.

Exemplo:

201

310

521

A

det A = 13, então det At = 13

8ª) O determinante de uma matriz triangular

é igual ao produto dos elementos da

diagonal principal.

Exemplo:

200

310

521

A

det A = 1.1.(-2) = -2

9ª) Teorema de Binet Sendo duas matrizes A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz

produto, então det(AB) = (det A) (det B).

Exemplo:

43

20

15

23BeA

det A . det B = (-3 -10)(0 - 6) = 78

784236)det(63

146

ABAB

Tente fazer sozinho!

(UFC-CE) Sejam A e B matrizes 3x3 tais

que det A = 3 e det B = 4.

Então, det (A . 2B) é igual a:

a) 32

b) 48

c) 64

d) 80

e) 96

Solução

det A = 3 e det B = 4

Pelo Teorema de Binet temos que:

det(A . 2B) = det A . det 2B

E pela 6ª propriedade temos que:

det 2B = 4 . 23 = 32

Logo, det(A . 2B) = 3 . 32 = 96 letra E.

e A-1 sua inversa. Então,

Exemplo:

211

210

02

11 1AeA

2

1det,220det 1 AentãoA

AA

det

1det 1

10ª) Seja A uma matriz quadrada invertível

Tente fazer sozinho!

(Cefet-PR) Uma matriz A quadrada, de ordem 3, possui determinante igual a 2. O valor de det (2 . A-1) é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Soluçãodet A = 2

Pela 10ª propriedade temos que:

Pela 6ª propriedade temos que:

det 2.A-1 = 1/2 . 23 = 4

Logo, det (2 . A-1) = 4 letra D.

2

1det

det

1det 11 A

AA

Teorema de La PlaceTeorema de La Place

Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, oDada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o

determinantedeterminante da matriz A será o da matriz A será o númeronúmero real que real que

se obtém se obtém somando-se os produtos dos elementossomando-se os produtos dos elementos

de uma filade uma fila (linha ou coluna) qualquer (linha ou coluna) qualquer pelospelos seus seus

respectivos respectivos cofatorescofatores..

Esse teorema nos permite calcular o determinanteEsse teorema nos permite calcular o determinante

de matrizes de ordem maior que 3. de matrizes de ordem maior que 3.

Porém, antes vamos aprender os conceitosPorém, antes vamos aprender os conceitos

de de CofatorCofator..

O que é Cofator de uma matriz?

É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice

de um elemento) pelo determinante da

matriz obtida quando eliminamos a linha e

a coluna desse elemento.

Exemplo: Considerando a matriz

346

120

352

A

Vamos calcular os cofator c11.

346

120

352

A

C11 = (-1)1+1 .

C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10

34

12

Vamos calcular os cofator c23.

346

120

352

A

C23 = (-1)2+3 .

C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22

46

52

Teorema de La PlaceTeorema de La PlaceDada uma matriz quadrada de ordem n > 1,Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,

o o determinantedeterminante da matriz A será o da matriz A será o númeronúmero realreal

que se obtém que se obtém somando-se os produtos dossomando-se os produtos dos

elementos de uma filaelementos de uma fila (linha ou coluna) (linha ou coluna)

qualquer qualquer pelospelos seus respectivos seus respectivos cofatorescofatores..

Exemplo: Considerando a matriz

346

120

352

A

346

120

352

A

C21 = (-1)2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27

C22 = (-1)2+2 . = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24

C23 = (-1)2+3 . = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22

34

35

36

32

46

52

Vamos calcular o determinante usando da segunda linha.

Pelo Teorema de La Place é:

det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1)

det A = 0 + 48 - 22

det A = 26.

346

120

352

A

Então, o cálculo do determinante da matriz

O que você aprendeu:

Como representar e calcular um determinante.

Regra de Sarrus.

As propriedades dos determinantes.

Teorema de La Place.

Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto

e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 146 a 174.

Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 303 a 313.

Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 295 a 308.

http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/