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Números Complexos

- Matemática - Números Complexos

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Page 1: - Matemática -  Números Complexos

Números Complexos

Page 2: - Matemática -  Números Complexos

Ao final dessa aula você saberá:

O que é um número complexo e sua representação algébrica

O que é um número imaginário puro e igualdade dos complexos

O que é conjugado As potências de i A representação trigonométrica de um número

complexo As operações matemática na forma algébrica e

na forma trigonométrica

Page 3: - Matemática -  Números Complexos

O que é um O que é um número número complexocomplexo??

É todo número É todo número zz escrito na forma escrito na forma a + a + bibi, sendo , sendo “a”“a” a parte a parte realreal e e “bi”“bi” a parte a parte imagináriaimaginária. Também é chamado de número . Também é chamado de número imaginário.imaginário.

Exemplos:Exemplos:

z = 3 + 5iz = 3 + 5i z = 7iz = 7i z = ½ + 4iz = ½ + 4i

Formalmente, escrevemos a parte

real assim: Re(z) = a.E a parte imaginária

assim: Im(z) = b

Page 4: - Matemática -  Números Complexos

O que é o “O que é o “ii”?”?

É a É a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo , sendo ii22 = - 1 = - 1..

Dessa forma podemos Dessa forma podemos calcular calcular o valor dao valor da

raiz de números negativosraiz de números negativos com com índice paríndice par..

Exemplo:Exemplo:

ii 636)36)(1(36 2

Page 5: - Matemática -  Números Complexos

O que é um número O que é um número imaginário puroimaginário puro??

É um número complexo z = a + bi, cujaÉ um número complexo z = a + bi, cuja

parte real é igual a zeroparte real é igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0.

Exemplos:Exemplos: z = 3iz = 3i z = iz = i z = -10iz = -10i

Repare que um número real é um número

complexo, com a parte imaginária igual a zero.

Exemplo: 2+0i = 2

Page 6: - Matemática -  Números Complexos

Logo, temos que o conjuntos dos

Números Reais é um subconjunto dos Números Complexos.

NZ

QR

I

C

Page 7: - Matemática -  Números Complexos

Como sabemos se dois Como sabemos se dois números números complexoscomplexos são são

iguaisiguais??

Sendo dois números complexos:Sendo dois números complexos:

zz1 1 = a + bi e z= a + bi e z2 2 = c + di, = c + di, se a = c e b = d, se a = c e b = d, então zentão z1 1 = z= z22. Ou seja, dois complexos são . Ou seja, dois complexos são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais. iguais.

Exemplo:Exemplo:Calcular o valor de x e y na equação:Calcular o valor de x e y na equação:3x + 7yi = 12 – 21i3x + 7yi = 12 – 21i

3x = 12 3x = 12 x = 4 x = 47y = -21 7y = -21 y = -3 y = -3

Page 8: - Matemática -  Números Complexos

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

Determine m e n reais de modo que Determine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i

Page 9: - Matemática -  Números Complexos

SoluçãoSolução

m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i

m = 0m = 0 e n – 1 = 3 e n – 1 = 3 n = 4n = 4

Page 10: - Matemática -  Números Complexos

Como representamos o conjugado de um número

complexo?

Sendo o número complexo z = a + bi, seu

conjugado é representado por:

Exemplos:

z = 5 + 3i

z = - 8i

iz 35

iz 8

biaz

Page 11: - Matemática -  Números Complexos

Como calculamos as potências de i?

Usando as regras de potência já conhecidas.

i0 = 1 i1 = i i2 = - 1 i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1 i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i

Note que a partir do expoente 4, os

resultados começam a repetir.

Page 12: - Matemática -  Números Complexos

Exemplo:

(PUC-MG) O número complexo (1 + i)10 é

igual a:

a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)

[(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 = [1 + 2i - 1]5 =

[2i]5 = 32.i5 = 32i letra C

Page 13: - Matemática -  Números Complexos

Tente fazer sozinho!

(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros

positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em

que i2 = -1, o valor de c é:

a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7

Page 14: - Matemática -  Números Complexos

Solução

c = (a + bi)2 – 14i

c = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i

c + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i

2ab – 14 = 0 ab = 7

Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7

Como c é positivo, temos que:

c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48

Resposta: letra A.

Page 15: - Matemática -  Números Complexos

Como Como somamossomamos ouou subtraímossubtraímos números números

complexoscomplexos??Basta Basta somarsomar (ou subtrair)as (ou subtrair)as partes reaispartes reais ee as as

partes imagináriaspartes imaginárias..

Exemplos:Exemplos:

(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i

(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i

Page 16: - Matemática -  Números Complexos

Como multiplicamos números complexos?

Basta aplicar a propriedade distributiva.

Exemplo:

(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i

Page 17: - Matemática -  Números Complexos

Como dividimos números complexos?

Basta multiplicar o numerador e o denominador

pelo conjugado do denominador.

Exemplo:

ii

ii

ii

ii

i

i

29

19

29

4

29

194

425

615410

2525

2532

25

32

Page 18: - Matemática -  Números Complexos

Tente fazer sozinho!

(Cefet-MG) O valor da expressão quando

x = i (unidade imaginária) é :

a) (i + 1) b) – (i – 1) c)

d) e)

1

13

2

x

x

2

1i

2

1i 2

1 i

Page 19: - Matemática -  Números Complexos

Solução

i

ii

ii

i

iiii

i

x

x

12

12

11

22

11

12

1

2

1

2

1

11

1

1

1

13

2

3

2

Logo, a resposta é B, pois – (i - 1) = -i +1 = 1-i

Page 20: - Matemática -  Números Complexos

Como representamos um número complexo no

gráfico?

Basta representar a parte real no eixo x

e a parte imaginária no eixo y.

Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i

P2

x

y

P1

3

2

1

-1

Page 21: - Matemática -  Números Complexos

O que é o módulo de um número complexo?

É a distância entre a origem e o ponto que

corresponde a esse número.

Sendo z = a + bi, temos:

x

y

b

a

P (a,b)

z

Page 22: - Matemática -  Números Complexos

Como calculamos o módulo de um número

complexo?Usando a fórmula .

Exemplo:

22 baz

243131

31

22

z

iz

Page 23: - Matemática -  Números Complexos

Tente fazer sozinho!

(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor

de é:

a) b) c)

d) e)

b

a

3 2 5

22 21

Page 24: - Matemática -  Números Complexos

Solução

210

20

10

20

91

164

31

4222

22

b

a

b

a

Resposta: letra B.

Page 25: - Matemática -  Números Complexos

O que é argumento de um número complexo?

É o ângulo que o módulo do número

faz com o eixo x.

x

y

b

a

P (a,b)

a

bsen

cos

Page 26: - Matemática -  Números Complexos

Tente fazer sozinho!

(URRN) Se z = , então o argumento de z é:

a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º

i

i

1

1 2

Page 27: - Matemática -  Números Complexos

Solução

i

ii

ii

ii

i

i

i

i

i

iz

12

22

11

22

1)1(

12

1

2

1

121

1

1 2

a

eb

sen cos

21111 22

Page 28: - Matemática -  Números Complexos

2

2

2

2

2

1cos

2

2

2

2

2

1

sen

sen

cos

45º135º

Logo, o argumento é 135º.

Resposta: letra E.

Page 29: - Matemática -  Números Complexos

Como escrevemos a forma trigonométrica de um número

complexo?

seniz cos

iz 232 Exemplo:

º30

2

1

4

2

2

3

4

32cos

416412232 2222

bsen

a

ba

Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)

Page 30: - Matemática -  Números Complexos

Tente fazer sozinho!(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo

ize

izd

izc

izb

iza

éisenz

2

3

2

33)

2

3

2

33)

2

3

2

33)

2

33

2

3)

2

33

2

3)

:6

7

6

7cos3

Page 31: - Matemática -  Números Complexos

Solução

2

1º30º210

2

3º30cosº210cos

º2106

7,3cos

6

7

6

7cos3

sensen

isenz

isenz

Page 32: - Matemática -  Números Complexos

2

33

32

3

cos

a

a

a

2

332

1

b

b

bsen

i2

3

2

33Logo, a forma algébrica é

Resposta: letra C.

Page 33: - Matemática -  Números Complexos

Como multiplicamos complexos na forma

trigonométrica?

22cos3

33cos2 21

isenzeisenz

21212121 cos... isenzz

Exemplo:

6

5

6

5cos6.

2323cos3.2.

21

21

isenzz

isenzz

Page 34: - Matemática -  Números Complexos

Como dividimos complexos na forma

trigonométrica?

33cos3

22cos6 21

isenzeisenz

21212

1

2

1 cos

isenz

z

Exemplo:

66cos2

3232cos

3

6

2

1

2

1

isenz

z

isenz

z

Page 35: - Matemática -  Números Complexos

Como calculamos uma potência complexos na forma trigonométrica?

33cos2

isenz

nisennz nn cos.Exemplo:

3

2

3

2cos4

3.2

3.2cos2

2

22

isenz

isenz

Page 36: - Matemática -  Números Complexos

Tente fazer sozinho!

(UPF-RS) Quanto ao número complexo ,

a alternativa incorreta é:

a) Escrito na forma algébrica é z = 6i

b) O módulo de z é 6.

c) O argumento de z é rad.

d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:

e) z2 é um número real.

i

iz

1

66

2

seniz cos6

Page 37: - Matemática -  Números Complexos

Solução

a) Escrito na forma algébrica é z = 6i

b) O módulo de z é 6.

i

iii

ii

ii

i

iz 6

2

12

11

6666

11

166

1

66

6660 222 z

Page 38: - Matemática -  Números Complexos

c) O argumento de z é rad.2

2º90

16

6

06

0cos

bsen

a

i

iz

1

66

Page 39: - Matemática -  Números Complexos

d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:

e) z2 é um número real.

Resposta: letra D.

seniz cos6

º90º90cos6cos isenisenz

360.136

º180º180cos36

º90.2º90.2cos6

cos

2

2

22

iz

isenz

isenz

nisennz nn