Progressão Geométrica

O que você precisa saber para esta aula?

Conjunto de números reais.

Sucessão de números reais.

O que você vai aprender nessa aula:

O que é uma progressão geométrica?Qual é a razão de uma P.G. e como

determina-lá?Como determinar os termos de uma P.G.?Como determinar a soma dos termos de

uma P.G?

O que é uma Progressão Geométrica?

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, a divisão entre um elemento e seu antecessor

for sempre igual. 

Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada. 4 : 2 = 2 8 : 4 = 2 16 : 8 = 2 32 : 16 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja a fórmula:

11.

nn qAA

Exemplo:

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

Onde :

8748

2187.4

3.4

3.4

8

8

78

188

A

A

A

A

Agora tente fazer sozinho.

(PUC) Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...).

Determine o 20º termo.

Obs:Você pode determinar a razão através da fórmula:

1

2

A

Aq

Resolução:

3486784401

1162261467.3

3.3

20

20

1920

A

A

A

Vejamos agora alguns tipos de Progressão Geométrica:

Progressão geométrica constanteUma progressão geométrica constante é toda

progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).

Exemplos de progressão geométrica constante:P.G.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1P.G.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou

indeterminada

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a1positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a1 negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.

Exemplos de progressão geométrica crescente:P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) -

razão q = 2P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) -

razão q = 1/10

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a1positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a1 negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.

Exemplos de progressão geométrica decrescente:P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-

4096,...) - razão q = 2P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q

= 1/2

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica oscilante:P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

Progressão geométrica quase nula

Uma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão geométrica quase nula:P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)  razão q = 0P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) razão q = 0

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

1

)1.(1

q

qAS

n

n

Exemplo:

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

52301766002

010460353202

3486784400.32

)13486784401(313

)13.(3

13

)1.(

20

1

n

n

n

n

n

n

n

S

S

S

S

S

qAS

Agora tente fazer sozinho:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) .

Não se esqueça que para determinar o valor de q(razão), você deve utilizar a fórmula:

1

2

A

Aq

Resolução:

q = 2

10231

)11024.(112

)12.(1 10

n

n

n

S

S

S

Bibliografia:FACCHINI,Walter.Matemática Volume

Único. Editora Saraiva, 2007.

FIM