1 apostila de estatística eng.2010

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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística

Universidade Estácio de Sá

Engenharia de Produção PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA Prof. Uanderson Rebula de Oliveira

[email protected] www.uandersonrebula.blogspot.com | www.iluminaconsultoria.com.br

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EMENTA DE ESTATÍSTICA: Estatística: conceito e fases de estudo. Variáveis. População, amostra e métodos de amostragem. Estatística descritiva e inferencial. Séries estatísticas: conceitos, distribuição de frequência e representação gráfica. Medidas de Tendência Central: Média, moda e mediana. Medidas de Variação: Variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

OBJETIVO:

Refletir a partir da Estatística Básica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e pela ciência, disponíveis a todos, que auxiliam na tomada de decisão.

Engenharia de Produção PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA Mestrando em Engenharia (ênfase em Engenharia de Produção)-Universidade Estado de São Paulo-FEG-UNESP

Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA

Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC

Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC

Professor na Universidade Barra Mansa – UBM. Professor da Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística,

Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de férias). Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e

de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica,

Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais.

Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia.

Resende - 2010

ESTATÍSTICA

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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros, jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu inicialmente a objetivos ligados à organização político‐social, como o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento, modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos de probabilidade.

No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos marcos consagrados na literatura probabilística foi a correspondência entre B. Pascal (1623‐1662) e P. Fermat (1601‐1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos matemáticos.

A análise combinatória deve grande parte de seu desenvolvimento à necessidade de resolver problemas probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação.

Nesta apostila encontraremos as definições de

Estatística, vocabulário básico, população e amostra, séries estatísticas, medidas de tendência central, medidas de variabilidade. Probabilidades serão tratadas em outra apostila.

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Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua saída da terra do Egito, dizendo: Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos nomes de todo o varão, cabeça por cabeça; Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão. Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos seus pais. Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e cinquenta.

Números 1: 1-4; 46

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Sumário 1 – CONCEITOS PRELIMINARES

1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA, 7 1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO, 13 1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA, 15 1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA, 17

MÉTODOS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICOS, 18 Amostragem aleatória simples, 18 Amostragem aleatória estratificada, 20 Amostragem aleatória por conglomerado, 21 Amostragem sistemática, 23

1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INFERENCIAL , 24 2 – SÉRIES ESTATÍSTICAS

2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS, 26 Tabelas, 26 Gráficos, 27

2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA, 30 Freqüência absoluta e histograma, 30 Freqüência relativa, absoluta acumulada e relativa acumulada, 31 Agrupamento em classes, 32 Polígono de freqüência e ogiva, 33

3 – MEDIDAS 3.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, 35

MÉDIA, 35 Média simples, 35 Média aparada, 36 Média ponderada, 36 Média de distribuição de frequência, 37 Média geométrica, 38

MEDIANA, 39 MODA, 40 RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA, 41

3.2 MEDIDAS DE VARIAÇÃO, 42 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO, 43 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO, 45

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 46

ANEXO I – LIVROS RECOMENDADOS, 47 ANEXO II – Software BIOESTAT , 48 ANEXO III – ESTATÍSTICA NO EXCEL, 49

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CONCEITOS PRELIMINARES

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1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA NA PRÁTICA

Analise as informações abaixo para melhor compreensão do conceito e importância da Estatística.

ACIDENTES DO TRABALHO no Brasil – 1970 a 2005 Conceito resumido: Lesão corporal ou doença, relacionada com o exercício do trabalho. Legislação: Lei 8.213/91 – art. 19 a 21 INSS: Órgão público responsável pela coleta, organização e representação dos dados.

Coleta: Por meio de um formulário eletrônico denominado “CAT – Comunicação de Acidente do Trabalho”, enviado pelas empresas quando da ocorrência, conforme determina o art. 22 da Lei 8.213/91.

Organização: Através de um grande banco de dados do INSS. Representação: Através de um documento denominado “Anuário Estatístico de Acidentes do Trabalho”, contendo

tabelas, gráficos e diversas análises. Disponível no site www.previdencia.gov.br, na seção “Estatística”. Motivo: Quando o trabalhador se afasta por motivo de acidente o INSS concede benefícios acidentários, como auxílio doença acidentário, auxílio acidente, aposentadoria por invalidez, pensão por morte, reabilitação entre outros. Mais informações na apostila Profº Uanderson “Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho”, pág. 50‐52;136, disponível no portal www.uandersonrebula.blogspot.com.

COMPILAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS (INFORMAÇÕES) sobre acidentes do trabalho, de 1970 a 2005:

Observa‐se ao longo dos anos o aumento gradativo da quantidade de trabalhadores no Brasil, de 7.284.022 chegando a 33.238.617, reflexo do crescimento econômico do País. Essas informações (dados) são importantes para fins de comparação com a evolução da quantidade de acidentes do trabalho no mesmo período, como segue abaixo:

7.284.0228.148.987

11.537.024

14.945.48916.638.799

18.686.35519.476.36219.673.915

22.163.82723.661.57923.198.656

22.272.84323.667.24123.830.312

24.491.63526.228.629

27.189.61428.683.91329.544.927

31.407.57633.238.617

0

5.000.000

10.000.000

15.000.000

20.000.000

25.000.000

30.000.000

35.000.000

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Evolução da QUANTIDADE de TRABALHADORES no Brasil - 1970 a 2005.

FONTE: Revista Proteção Anos

1.220.111

1.504.723

1.796.6711.743.825

1.551.4611.464.211

1.178.472

961.575

1.207.859

991.581

693.572

532.514

388.304 395.455414.341

363.868340.251393.071 399.077465.700 491.711

0

250.000

500.000

750.000

1.000.000

1.250.000

1.500.000

1.750.000

2.000.000

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005.

Anos FONTE: Revista Proteção

Aprovação das NR’s

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No período de 1970 a 1976 a quantidade de acidentes foi alta, comparando‐se com a pequena quantidade de trabalhadores no mesmo período. Somente a partir de 1978 os acidentes começaram a reduzir, em razão da aprovação das Normas Regulamentadoras – NR’s (disponível no www.mte.gov.br), tornando‐se de aplicação obrigatória em todo o País. Esta redução pode ser vista como positiva, entretanto, não podemos comemorar esses números, pois a quantidade de acidentes ainda é alarmante e está praticamente estagnada, desde 1994.

E as regiões? Como esses acidentes estão distribuídos nas regiões do país? Qual a pior região? Qual a melhor? Vejamos abaixo em um Cartograma (mapa com dados), SOMENTE NO ANO DE 2005 (491.711 acidentes):

Observa‐se que a região em 1° lugar em número de acidentes é a Sudeste, em 2° está a região Sul, em 3° a região Nordeste, em 4° a região Centro‐Oeste e por último a Norte. Ao analisarmos este gráfico podemos tomar diversas conclusões, porém, tais conclusões somente são possíveis através de um estudo, o que demanda tempo. Todavia, observa‐se que a quantidade de acidentes acompanha a porcentagem da participação do PIB da região. Esta correlação pode ser resultado do reflexo da economia da região. Ora, a região Sudeste, por exemplo, corresponde a 56,5% do PIB do País. Logicamente esta região possui um maior número de empresas e, consequentemente, maior número de mão‐de‐obra e atividades produtivas, fato que pode justificar a enorme quantidade de acidentes comparada com as demais regiões. Esses dados também podem estar relacionados com as políticas dos estados e das empresas, a atuação das fiscalizações do Ministério do Trabalho, as culturas das regiões, os investimentos empresariais, a capacitação de mão de obra (treinamentos) entre outros fatores. Entende‐se por Produto Interno Bruto (PIB) a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos em uma determinada região.

Mais dados vocês encontrarão na Apostila “Ergonomia, higiene e segurança do trabalho”, do profº Uanderson Rebula, disponível no portal www.uandersonrebula.blogspot.com ou no “Anuário Estatístico de Acidentes do Trabalho”, disponível no portal www.previdencia.gov.br, na seção “Estatística”. Tradicionalmente, no Brasil, as políticas de desenvolvimento têm se restringido aos aspectos econômicos e vêm sendo traçadas de maneira paralela ou pouco articuladas com as políticas sociais, cabendo a estas últimas arcarem com os ônus dos possíveis danos gerados sobre a saúde da população, dos trabalhadores em particular e a degradação ambiental. Para que o Estado cumpra seu papel para a garantia desses direitos, é mister a formulação e implementação de políticas e ações de governo.

Distribuição da quantidade e porcentagem de acidentes de trabalho no Brasil por Regiões, correlacionados com o Produto Interno Bruto ‐ PIB ‐ ano 2005.

FONTE: Adaptado da Revista Proteção e do IBGE (www.ibge.gov.br)

NORDESTE • Acidentes: 49.010 (10% do total) • PIB: 13,1% de participação

SUDESTE • Acidentes: 279.689 (57% do total) • PIB: 56,5% de participação

NORTE • Acidentes: 19.117 (4% do total) • PIB: 5% de participação

CENTRO‐OESTE • Acidentes: 31.470 (6% do total) • PIB: 8,9% de participação

SUL • Acidentes: 112.425 (23% do total) • PIB: 16,6% de participação

Espírito Santo ‐ 11.039 acidentes Minas Gerais ‐ 52.335 acidentes Rio de Janeiro ‐ 34.610 acidentes São Paulo ‐ 181.705 acidentes

São campeões de acidentes no Brasil, participando com 181.705, o que corresponde a 37% do total; por conseguinte o seu PIB também é o maior do País, com 33,9% de participação.

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POSSÍVEIS SOLUÇÕES PARA REDUZIR OS ACIDENTES A partir da análise dos dados podemos concluir que a política de segurança do trabalho adotada no País está estagnada. A simples aplicação da norma regulamentadora não está sendo suficiente para reduzir o índice de acidentes. Os dados nos mostram que não haverá mudanças significativas se não forem feitas alterações nessa política. Para contornar a situação, os Ministérios do Trabalho, da Saúde e da Previdência Social publicaram, para consulta pública, em 29.12.2004 a PNSST ‐ POLÍTICA NACIONAL DE SEGURANÇA E SAÚDE DO TRABALHADOR, com a finalidade de promover a melhoria da qualidade de vida e da saúde do trabalhador. Esse plano está disponível no portal www.mte.gov.br.

Os Ministérios reconheceram a deficiência da segurança do trabalho no país, carecendo de mecanismos que:

• Incentivem medidas de prevenção; • Responsabilizem os empregadores; • Propiciem o efetivo reconhecimento dos direitos do trabalhador; • Diminuam a existência de conflitos institucionais; • Tarifem de maneira mais adequada as empresas e possibilite um melhor gerenciamento dos fatores

de riscos ocupacionais.

Face ao exposto, a PNSST propõe, dentre outras, as seguintes ações a serem desenvolvidas de modo articulado e cooperativo pelos três Ministérios:

Área Ações

Tributos1, financiamentos e licitações.

Estabelecer política tributária que privilegie empresas com menores índices de acidentes e que invistam na melhoria das condições de trabalho;

Criar linhas de financiamento para a melhoria das condições de trabalho, incluindo máquinas e equipamentos, em especial para as pequenas e médias empresas;

Incluir requisitos de Segurança do Trabalho ‐ SST para concessão de financiamentos públicos e privados;

Incluir requisitos de SST nos processos de licitação dos órgãos públicos; Instituir a obrigatoriedade de publicação de balanço de SST para as empresas, a exemplo do que já

ocorre com os dados contábeis;

Educação e pesquisa

Incluir conhecimentos básicos em SST no currículo do ensino fundamental e médio; Incluir disciplinas em SST no currículo de ensino superior, em especial nas carreiras de profissionais

de saúde, engenharia e administração; Estimular a produção de estudos e pesquisas na área de interesse desta Política; Articular instituições de pesquisa e universidades para a execução de estudos e pesquisas em SST,

integrando uma rede de colaboradores para o desenvolvimento técnico ‐ cientifico na área; Desenvolver um amplo programa de capacitação dos profissionais, para o desenvolvimento das

ações em segurança e saúde do trabalhador;

Ambientes nocivos

Eliminar as políticas de monetarização dos riscos (adicionais de riscos). Outras ações

Coleta de dados

Compatibilizar os instrumentos de coleta de dados e fluxos de informações. Incluir nos Sistemas e Bancos de Dados as informações contidas nos relatórios de intervenções e análises dos ambientes de trabalho, elaborados pelos órgãos de governo envolvidos nesta Política.

A gestão do PNSST prevê o seu desenvolvimento pelo Grupo Executivo Interministerial de Segurança e Saúde do Trabalhador – GEISAT, integrado por representantes do Ministério do Trabalho, da Saúde e da Previdência Social. Ressalta‐se que no PNSST não está previsto o prazo para execução das ações propostas. Infelizmente este plano permanece no papel até os dias de hoje e sem sinais de sua saída desta condição tão cedo. _________________ 1. Tributo: Impostos; taxas e contribuições de melhoria, devida ao poder público.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O ESTUDO DE ACIDENTES O que acabamos de ver é um estudo estatístico. Como vimos, os dados sobre acidentes do trabalho no Brasil são controladas pelo Ministério da Previdência Social, junto ao INSS (Instituto Nacional de Seguridade Social). A comunicação de acidentes permite ao INSS estimar e acompanhar o real impacto do trabalho sobre a saúde e a segurança da população brasileira. O INSS coleta, organiza, apresenta e publica as estatísticas de acidentes do trabalho no Brasil. Conforme observado, quando ocorre um acidente, a empresa, por força de lei, é obrigada a enviar a CAT ao INSS, alimentando, assim, o seu grande banco de dados.

As estatísticas de acidentes no Brasil podem ser visualizadas no site da Previdência Social através do endereço eletrônico www.previdencia.gov.br. O interessante neste site é a existência de um documento, disponível para download, denominado “Anuário estatístico da previdência social”. Nele estão contidos todos os dados estatísticos da Previdência Social, inclusive os dados referentes a acidentes do trabalho, distribuídos por região, idade, tipos, parte do corpo mais atingida dentre outros. É um importante documento para os estudiosos no assunto.

É importante ressaltar que os dados de acidentes de trabalho não se constituem, tão somente, num importante registro histórico, mas sim numa ferramenta inestimável para os profissionais que desempenham atividades nas áreas de saúde e segurança do trabalhador, assim como pesquisadores e demais pessoas interessadas no tema. A análise desses dados possibilita a construção de um diagnóstico mais preciso acerca da epidemiologia dos acidentes, propiciando, assim, a elaboração de políticas mais eficazes para as áreas relacionadas com o tema, como vimos no PNSST.

TÓPICO PARA REFLEXÃO

Acidente do Trabalho: o

problema do Brasil.

Os acidentes de trabalho afetam a produtividade econômica, são responsáveis por um impacto substancial sobre o sistema de proteção social e influenciam o nível de satisfação do trabalhador e o bem estar geral da população. Estima‐se que a ausência de segurança nos ambientes de trabalho no Brasil tenha gerado, no ano de 2003, um custo de cerca de R$32,8 bilhões para o país. Deste total, R$ 8,2 bilhões correspondem a gastos com benefícios acidentários e aposentadorias especiais, equivalente a 30% da necessidade de financiamento do Regime Geral de Previdência Social ‐ RGPS verificado em 2003, que foi de R$ 27 bilhões. O restante da despesa corresponde à assistência à saúde do acidentado, indenizações, retreinamento, reinserção no mercado de trabalho e horas de trabalho perdidas. Isso sem levar em consideração o sub‐dimensionamento na apuração das contas da Previdência Social, que desembolsa e contabiliza como despesas não acidentárias os benefícios por incapacidade, cujas CAT não foram emitidas. Ou seja, sob a categoria do auxílio doença não ocupacional, encontra‐se encoberto um grande contingente de acidentes que não compõem as contas acidentárias. Parte deste “custo segurança no trabalho” afeta negativamente a competitividade das empresas, pois ele aumenta o preço da mão‐de‐obra, o que se reflete no preço dos produtos. Por outro lado, o incremento das despesas públicas com previdência, reabilitação profissional e saúde reduz a disponibilidade de recursos orçamentários para outras áreas ou induz o aumento da carga tributária sobre a sociedade. De outro lado, algumas empresas afastam trabalhadores, e muitas vezes os despedem logo após a concessão do beneficio. Com isso, o trabalhador se afasta, já sendo portador de doença crônica contraída no labor, e o desemprego poderá se prolongar na medida em que, para obter o novo emprego, será necessária a realização do exame admissional, no qual serão eleitos apenas aqueles considerados como “aptos” e, portanto, não portadores de enfermidades. Fonte: RESOLUÇÃO CNPS Nº 1.269, DE 15 DE FEVEREIRO DE 2006

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CONCEITO DE ESTATÍSTICA

É A CIÊNCIA QUE SE DEDICA EM COLETAR, ORGANIZAR, APRESENTAR, ANALISAR E INTERPRETAR DADOS (INFORMAÇÕES) PARA TOMADA DE DECISÃO.

Estatística é a ciência dos dados. A Estatística lida com a coleta, o processamento e disposição de dados (informações), atuando como ferramenta fundamental nos processos de soluções de problemas. A Estatística facilita o estabelecimento de conclusões confiáveis sobre algum fenômeno que esteja sendo estudado (WERKEMA, 1995).

É por meio da análise e interpretação dos dados estatísticos que é possível o conhecimento de uma realidade, de seus problemas, bem como, a formulação de soluções apropriadas por meio de um planejamento objetivo da ação, para além dos “achismos” e “casuismos” comuns.

No uso diário o termo “estatística” refere‐se a fatos numéricos. Tenha em mente, entretanto, que estatística é bem diferente de matemática. Estatística é, antes de qualquer coisa, um método científico que determina questões de pesquisa; projeta estudos e experimentos; coleta, organiza, resume e analisa dados; interpreta resultados e esboça conclusões. Ou seja, utiliza‐se dados como evidências para responder a interessantes questões sobre o mundo. A matemática só é utilizada para calcular a estatística e realizar algumas das análises, mais isso é apenas uma pequena parte do que realmente é a estatística. Portanto, a estatística mantém com a matemática uma relação de dependência, solicitando‐lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver‐se.

A Estatística é uma ciência interdisciplinar, ou seja, é comum a duas ou mais disciplinas ou ramos de conhecimento. Assim, a Estatística é aplicada na Medicina, Administração, Engenharias, Economia, Contabilidade, Direito, Segurança do Trabalho, Qualidade, Marketing entre outras áreas. Veja abaixo.

Medicina. Estudos de epidemiologia, inter‐relações dos determinantes da freqüência e distribuição de doenças populacionais

*Engenharia de Produção. Estudos de um conjunto de dados de todas as fases de um processo produtivo.

Segurança do Trabalho. Estudos de acidentes e doenças, suas causas, quantidade, parte atingida, setores, % de afastamentos etc.

Contabilidade. Estudos das informações financeiras das empresas públicas e privadas.

Finanças. Estudos de uma série de informações estatísticas para orientar investimentos.

Economia. Estudos de taxas de inflação, índice de preços, taxa de desemprego, futuro da economia.

*Engenharia de Produção – A aplicação da Estatística na produção merece especial atenção. A atual ênfase na qualidade torna o controle da qualidade uma importante aplicação da estatística na área da produção. Usa‐se uma série de mapas estatísticos de controle de qualidade para monitorar o resultado (output) de um processo de produção. Suponha, por exemplo, que uma máquina preencha recipientes com 2 litros de determinado refrigerante. Periodicamente, um operador do setor de produção seleciona uma quantidade de recipientes e verifica a exatidão, ou seja, se não há desvios. A Estatística também é usada na Engenharia de Produção para Estratificação, que consiste no agrupamento da informação (dados) sob vários pontos de vista, de modo a focalizar a ação, considerando os fatores equipamento, tempo entre outros. Exemplo:

Tipo de dano: Operador: Máquina de lavar: Roupas danificadas em uma lavanderia Tipo de roupa: Marca do sabão: Máquina de secar:

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UM POUCO DE HISTÓRIA E ATUALIDADE O termo “Estatística” provém da palavra “Estado” e foi utilizado originalmente para denominar levantamentos de dados (riquezas, impostos, nascimentos, mortalidade, batizados, casamentos, habitantes etc.), cuja finalidade era orientar o Estado em suas decisões.

Segundo Costa (2005, p. 5) em 1085, Guilherme “O Conquistador”, ordenou que se fizesse um levantamento na Inglaterra, que deveria incluir informações sobre terras, proprietários, uso da terra, empregados, animais e serviria, também, de base para cálculo de impostos. Tal levantamento originou um volume intitulado “domesday book”.

No século XVIII o estudo dos dados foi adquirindo, aos poucos, feição verdadeiramente científica. A palavra Estatística apareceu pela primeira vez no século XVIII e foi sugerida pelo alemão Godofredo Achenwall (1719‐1772), onde determinou o seu objetivo e suas relações com as ciências.

Desde essa época, a Estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos coletivos e se tornou o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo, partindo da observação e análise de partes desse todo. Essa é sua maior riqueza.

Atualmente a sociedade está completamente tomada pelos números. Eles aparecem em todos os lugares para onde você olha, de outdoors mostrando as últimas estatísticas sobre aborto, passando pelos programas de esporte que discutem as chances de um time de futebol chegar à final do campeonato, até o noticiário da noite, com reportagens focadas no índice de criminalidade, na expectativa de vida de uma pessoa que não come alimentos saudáveis e no índice de aprovação do presidente.

Em um dia comum, você pode se deparar com cinco, dez ou, até mesmo, vinte diferentes estatísticas (ou até muito mais em um dia de eleição). Se você ler todo o jornal de domingo, irá se deparar com centenas de estatísticas em reportagens, propagandas e artigos sobre todo tipo de assunto: desde sopa (quanto em média uma pessoa consome por ano?) até castanhas (quantas castanhas você precisa comer para aumentar seu QI?). Nas empresas a Estatística desempenha um papel cada vez mais importante para os Gerentes. Esses responsáveis pela tomada de decisão utilizam a estatística para:

Apresentar e descrever apropriadamente dados e informações sobre a empresa;

Tirar conclusões sobre grandes populações, utilizando informações coletadas a partir de amostras;

Realizar suposições confiáveis sobre a atividade da empresa; Melhorar os processos da empresa.

A estatística é um instrumento eficiente para a compreensão e interpretação da realidade e não deve ser subestimada. Realmente existem pesquisas feitas de forma incorreta e que, por isso, não são confiáveis. Mas, em geral, quando um estudo estatístico é feito com critério, seus resultados permitem obter conclusões e prever tendências sobre fatos e fenômenos. Um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita‐o a uma margem, procurando torná‐la o menor possível.

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1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO Um estudo estatístico confiável depende do planejamento e da correta execução das seguintes etapas: 1. Definir o que será estudado e a natureza dos dados, como exemplo:

ESTUDO NATUREZA DOS DADOS

Acidentes do Trabalho no Brasil

Quantidade e período Por regiões, estados ou municípios Por atividade econômica Por idade dos acidentados Por parte do corpo atingida Por causas dos acidentes etc.

Peças danificadas na linha A

Tipo de peça | Tipo de defeito Quantidade Período Turnos Máquinas Operadores Matéria prima etc.

É preciso definir com clareza os objetivos da pesquisa, ou seja, o que se pretende apurar, que tipo de problema buscará detectar.

2. Coletar dados Após a definição do que será estudado e o estabelecimento do planejamento do trabalho (forma de coleta dos dados, cronograma das atividades, custos envolvidos, levantamento das informações disponíveis), o passo seguinte é o da coleta de dados, que consiste na busca ou compilação dos dados, componentes do fenômeno a ser estudado. Nessa etapa recolhem‐se os dados tendo o cuidado de controlar a qualidade da informação. O sucesso de uma pesquisa depende muito da qualidade dos dados recolhidos. Podem ser por meio de:

• Criação de Softwares, a exemplo da CAT; • Uso de Softwares da empresa; • Dados históricos da empresa (físicos); • Pesquisas com questionários etc.

3. Organizar e contar dados

À procura de falhas e imperfeições, os dados devem ser cuidadosamente organizados e contados, a fim de não incorrermos em erros grosseiros que possam influenciar nos resultados. No exemplo da “Estatística na prática”, após a coleta da quantidade de acidentes por meio da CAT, organiza‐os por período, regiões etc. Da mesma maneira, se você usa um questionário para coletar dados na empresa, organiza‐os da forma necessária à pesquisa, além da contagem a ser feita.

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4. Apresentação de dados Os dados devem ser apresentados sob a forma de tabelas ou gráficos, a fim de tornar mais fácil e rápido o exame daquilo que está sendo estudado. 5. Análise dos dados e tomada de decisão

Chegamos à fase mais complexa do processo estatístico, que consiste na análise dos dados. Por fim, a partir da análise realizada, poderemos chegar a uma tomada de decisão. Observe o estudo “Estatística na prática”. O que resultou a análise dos acidentes no Brasil, no período de 1970 a 2005? Veja que os Ministérios do Trabalho, Previdência Social e da Saúde se mobilizaram para resolverem essa questão de saúde pública, com diversas ações a serem implementadas no país.

A partir dessa discussão, fica claro que um profissional com conhecimentos de Estatística terá maior facilidade em identificar um problema em sua área de atuação, determinar os tipos de dados que irão contribuir para sua análise, coletar esses dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar um plano de ação para a solução do problema detectado.

1.220.111

1.504.723

1.796.6711.743.825

1.551.4611.464.211

1.178.472

961.575

1.207.859

991.581

693.572

532.514

388.304 395.455414.341

363.868340.251393.071 399.077465.700 491.711

0

250.000

500.000

750.000

1.000.000

1.250.000

1.500.000

1.750.000

2.000.000

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005


Anos FONTE: Revista Proteção

Aprovação das NR’s

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1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA O vocabulário utilizado em estudos estatísticos teve sua origem nos primeiros estudos feitos pela humanidade e que eram relativos à demografia (estudo estatístico das populações). Por isso a Estatística emprega termos próprios dessa área de conhecimento, mas com um sentido diferenciado. Assim, para dar prosseguimento, é de extrema importância destacar alguns termos utilizados no jargão estatístico.

VARIÁVEL – É o termo usado para aquilo que você está pesquisando, estudando, analisando.

No estudo representado no gráfico abaixo a variável é o acidente do trabalho. Utilizada como um adjetivo do vocabulário do dia‐a‐dia, variável sugere que alguma coisa se modifica ou varia.

São exemplos de Variáveis

Doenças, Sexo, Estaturas, Peso, Idade, Renda, Natalidade, Mortalidade, PIB, Inflação, Exportações brasileiras, Produção de café, Alimentação, Peças produzidas por hora, Paradas de produção no mês, Rotatividade de estoque por ano, Poluição, Clima na região sudeste, Consumo de energia no mês, Vendas mensais de uma empresa, Produção diária de automóveis etc.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO: A associação dos moradores de um bairro queria traçar um perfil dos freqüentadores de um parque ali situado. Uma equipe de pesquisa elaborou questões a fim de reunir as informações procuradas. Numa manhã de quarta‐feira, 6 pessoas foram entrevistadas e cada uma respondeu a questões para identificar idade, número de vezes que freqüenta o parque por semana, estado civil, meio de transporte utilizado para chegar ao parque, tempo de permanência no parque e renda familiar mensal. Os resultados são mostrados na tabela a seguir:

Cada um dos aspectos investigados — os quais permitirão fazer a análise desejada — é denominado variável.

1.220.111

1.504.723

1.796.6711.743.825

1.551.4611.464.211

1.178.472

961.575

1.207.859

991.581

693.572

532.514

388.304 395.455414.341

363.868340.251393.071 399.077465.700 491.711

0

250.000

500.000

750.000

1.000.000

1.250.000

1.500.000

1.750.000

2.000.000

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005


FONTE: Revista Proteção Anos

VARIÁVEL

Variáveis

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TIPOS DE VARIÁVEIS Há, pois, uma divisão principal para as variáveis estatísticas, que consiste em considerá‐las como Variáveis Quantitativas (contínuas ou discretas) e Variáveis Qualitativas. Esta divisão é de facílima compreensão! Veja o esquema abaixo.

Esquema básico Tipo de VARIÁVEL Resposta fornecida à pesquisa Exemplos

Quantitativa Em números Discreta Inteiros 0,1, 2, 3,...,9 Gols de futebol, Idade (anos) Contínua Não inteiros 0,12 1,64 Altura (cm), Peso (kg), Tempo

Qualitativa Em nomes, atributos Sexo, Cor, Nacionalidade, Raça Tipos de Variáveis da pesquisa em um parque:

Se a dúvida persiste, no quadro abaixo você pode observar os esclarecimentos do Esquema básico.

Esclarecimentos do Esquema básico

Tipo de VARIÁVEL Resposta fornecida à pesquisa

Quantitativa (Em números)

Será Quantitativa a variável para a qual se possa atribuir um valor numérico. Se a resposta fornecida à pesquisa estiver expressa por um número, então a variável é quantitativa. Por exemplo: quantos livros você lê por ano? A resposta é um número? Então, variável quantitativa. Quantas pessoas moram em sua casa? A resposta é um número? Então, novamente, variável quantitativa. Exemplo. No caso do estudo “ACIDENTE DO TRABALHO”, é uma variável quantitativa, pois o objeto do estudo foi a quantidade de acidentes no período de 1970 a 2005

Discreta (números inteiros)

(contagem)

Variável Quantitativa Discreta é a variável quantitativa que assume somente números inteiros. Resulta, geralmente, de contagem. Esta variável não pode assumir qualquer valor, dentro de um intervalo de valores de resultados possíveis. Por exemplo, se eu pergunto quantos irmãos você tem, a resposta jamais poderia ser “tenho 3,75 irmãos”, ou “tenho 4,8 irmãos”, ou seja, a resposta não poderia assumir todos os valores de um intervalo! Este acima é o conceito formal de variável discreta! O conceito para memorizar é o seguinte: aquela variável obtida por meio de uma contagem. Em outras palavras: a variável discreta você conta!. Exemplos: quantas pessoas moram na sua casa? Quantos livros você tem? Quantos carros você tem? Se, para responder à pergunta, você faz uma contagem, então está diante de uma variável quantitativa discreta.

Contínua (Números não inteiros)

(medição)

Variável Quantitativa Contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Se eu pergunto quantos quilos você pesa, a resposta pode ser 65,35kg. Se eu pergunto qual a temperatura na cidade hoje, a resposta pode ser 27,35°C. Para facilitar a memorização, basta lembrar que a variável quantitativa contínua pode ser obtida por uma medição, ou seja, a variável contínua você mede! Exemplos: peso, altura, duração de tempo para resolução de uma prova, pressão, temperatura etc.

Qualitativa (nomes, atributos)

Se a pergunta é “qual a sua cor preferida?”, logicamente a resposta não será um número, daí estaremos tratando de uma variável qualitativa, ou seja, aquela para a qual não se atribui um valor numérico. Exemplos: Sexo: masculino ou feminino

Qualitativa

Quantitativa discreta

Quantitativa contínua

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1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA

Quando você quer saber se a sopa ficou boa, o que você faz? Mexe a panela, retira um pouco com uma colher e prova. Depois tira uma conclusão sobre todo o conteúdo da panela sem, na verdade, ter provado tudo. Portanto, é possível ter uma idéia de como a sopa está sem ter que comer tudo. Isso é o que se faz em estatística. A estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos e se tornou o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação e análise de partes desse todo (amostra). Essa é sua maior riqueza. Assim, podemos conceituar população e amostra como:

POPULAÇÃO É UM CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS EM ESTUDO.

AMOSTRA É UMA PARTE DA POPULAÇÃO.

Muitas vezes quando queremos fazer um estudo estatístico, não é possível analisar toda a população envolvida com o fato que pretendemos investigar, como exemplo o sangue de uma pessoa ou a poluição de um rio. É impossível o teste do todo. Há situações também em que é inviável o estudo da população, por exemplo, a pesquisa com todos os torcedores em um estádio de futebol durante uma partida. Nesses casos, o estatístico recorre a uma amostra que, basicamente, constitui uma redução da população a dimensões menores, sem perda das características essenciais.

Os resultados fundamentados em uma amostra não serão exatamente os mesmos que você encontraria se estudasse toda a população, pois, quando você retira uma amostra, você não obtém informações a respeito de todos em uma dada população. Portanto, é importante entender que os resultados da amostra fornecem somente estimativas dos valores das características populacionais. Com métodos de amostragens apropriados, os resultados da amostra produzirão “boas” estimativas da população, ou seja, um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita‐o a uma margem, procurando torná‐la o menor possível. Quando aprendemos estatística inferencial, também aprendemos técnicas para controlar esses erros de amostragem.

4 razões para selecionar uma amostra

O número de elementos em uma população é muito grande; Demanda menos tempo do que selecionar todos os itens de uma população; É menos dispendioso (caro) do que selecionar todos os itens de uma população; Uma análise amostral é menos cansativa e mais prática do que uma análise da população inteira.

Podemos visualizar o conceito de população e amostra na figura ao lado. Quando pesquisamos toda a população, damos o nome de censo. A precisão depende do tamanho da amostra, e quanto maior é o tamanho amostral, maior será a precisão das informações.

AMOSTRA(uma parte da população)

POPULAÇÃO(todos os elementos em estudo)



N é designado para População n é designado para Amostra

“N”

“n”

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São exemplos de População e Amostra: MEDICINA. Pretende‐se estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença. É selecionado um grupo de 50 doentes, administrando‐se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitual aos restantes.

População: Todos os 50 doentes com a doença que o medicamento a estudar pretende tratar. Amostra: Os 10 doentes selecionados.

CONTROLE DE QUALIDADE. O Gerente de Produção de uma fábrica de parafusos pretende assegurar‐se de que a porcentagem de peças defeituosas não excede um determinado valor, a partir do qual determinada encomenda poderia ser rejeitada.

População: Todos os parafusos fabricados ou a fabricar, utilizando o mesmo processo. Amostra: Parafusos escolhidos ao acaso entre os lotes produzidos.

ESTUDOS DE MERCADO. O gerente de uma fábrica de produtos desportivos pretende lançar uma nova linha de esquis, pelo que encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de “estimar“ a porcentagem de potenciais compradores desse produto.

População: conjunto de todos os praticantes de desportos de neve. Amostra: conjunto de alguns praticantes inquiridos pela empresa.

SISTEMAS DE PRODUÇÃO. Um fabricante de pneus desenvolveu um novo tipo de pneu e quer saber o aumento da durabilidade em termos de kilometragem em relação à atual linha da empresa. Produz diariamente 1000 pneus e selecionou 120 para testes.

População: 1000 pneus. Amostra: 120 pneus.

A amostra na prática - Oxford Cereais (Levine et al, 2008, p.218)

A Oxford Cereais abastece milhares de caixas de cereais durante um turno de oito horas. Como gerente de operações da unidade de produção, você é responsável por monitorar a quantidade de cereal colocada em cada caixa. Para ser coerente com o conteúdo especificado na embalagem, as caixas devem conter 368 gramas de cereal. Em razão da velocidade do processo, o peso do cereal varia de caixa para caixa, fazendo com que algumas caixas fiquem mal abastecidas enquanto outras ficam hiperabastecidas. Se o processo não estiver funcionando de maneira apropriada, o peso das caixas pode se desviar demasiadamente do peso especificado no rótulo, 368 gramas, e se tornar inaceitável. Uma vez que a pesagem de cada caixa individual consome uma quantidade

demasiadamente grande de tempo, é dispendiosa e ineficiente, você deve extrair uma amostra de caixas. Para cada amostra selecionada, você planeja pesar caixas individuais. Com base em sua análise, você terá que decidir entre manter, alterar ou interromper o processo.

MÉTODOS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICOS

Amostragem Aleatória Simples – É a técnica de amostragem em que cada um dos elementos da população tem a mesma chance de ser selecionado.

Uma característica importante de uma boa pesquisa é que a amostra da população alvo seja selecionada aleatoriamente. Aleatoriamente significa que todos os membros da população alvo devem ter as mesmas chances de serem incluídos na amostra. Ou seja, o processo usado para a seleção de sua amostra não pode ser parcial. “Aleatório” = Dependente de fatores incertos.

Suponha que você tenha um rebanho com 500 novilhos e precisa retirar uma amostra aleatória de 50 deles para fazer um exame para uma doença. Retirar os 50 primeiros novilhos que vierem em sua direção não se encaixaria na definição de amostra aleatória. Os primeiros novilhos que forem capazes de vir em sua direção, provavelmente são os que têm menos chances de apresentarem qualquer tipo de doença ou, talvez, sejam os mais velhos e mais amigáveis, que realmente são os mais suscetíveis a doenças. De qualquer forma, a pesquisa foi tendenciosa. Como coletar uma amostra aleatória dos novilhos? Os animais provavelmente possuem etiquetas com um número de identificação, assim você deve conseguir uma lista com todos os números de identificação, selecione uma amostra aleatória desses números e localize os animais.

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Uma amostra aleatória é boa; ela dá a mesma chance a todos os membros de uma população de ser selecionado, além de utilizar mecanismos de casualidade para escolhê‐los, como a tabela de números aleatórios. O método é semelhante a um sorteio.

Tabela de números aleatórios

Um dos mecanismos utilizados para seleção é a tabela de números aleatórios, que consiste em uma série de números listados em uma sequência aleatoriamente gerada. Esta tabela tem duas características que a tornam particularmente adequada: primeiro, os números estão dispostos de tal maneira que a chance de qualquer um deles aparecer em determinada sequência é igual à chance do aparecimento em qualquer outra posição; segundo, cada uma de todas as combinações de dois algarismos tem a mesma chance de ocorrência, como também todas as combinações de três algarismos, e assim por diante.

Sistemas computacionais elaboram números aleatórios. O Excel dispõe da função “ALEATÓRIO” para gerar números aleatórios (veja figura ao lado).

A tabela de números aleatórios abaixo foi construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso, pelo Excel, identificadas pelas linhas (1, 2, 3, 4...) e colunas (A, B, C, D ...):

Tabela de números aleatórios A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a b c d e f g h i j k l 1 9 3 3 1 2 1 6 6 3 3 9 0 7 0 4 0 4 4 1 3 8 1 6 5 8 8 9 8 6 5 0 6 3 3 1 2 4 82 0 7 6 8 1 4 5 0 5 8 6 6 1 4 2 6 7 5 6 0 5 7 7 9 6 3 2 6 3 4 5 9 8 6 5 2 1 13 6 5 1 5 3 4 4 2 3 7 9 1 4 8 5 8 7 2 4 7 3 7 0 6 2 2 1 3 5 0 8 9 4 7 1 6 4 44 9 7 0 2 6 7 3 2 6 7 4 9 1 6 2 7 7 8 6 8 4 7 8 1 5 7 1 2 6 6 6 3 5 6 0 8 2 15 5 5 6 5 1 6 4 8 3 3 1 5 3 8 8 2 3 8 8 7 7 4 5 0 4 5 1 8 7 2 3 2 9 6 4 7 7 96 8 3 4 8 8 3 8 0 6 4 8 2 3 5 2 5 3 7 1 7 6 8 2 9 5 3 4 3 7 0 3 9 7 0 1 5 7 27 3 1 2 7 5 4 7 1 3 5 2 4 1 5 1 3 1 8 0 5 8 8 6 0 6 6 9 5 5 5 3 5 8 5 6 7 1 28 3 6 3 1 1 7 6 9 5 3 3 5 3 5 6 3 3 3 4 3 6 8 4 5 5 8 8 1 9 2 5 7 8 7 7 5 8 79 4 2 0 4 7 2 7 9 3 3 3 3 3 2 8 7 1 8 0 6 1 5 3 4 0 6 3 2 8 3 3 0 7 2 7 2 4 210 6 8 7 0 3 9 9 9 8 6 8 2 1 5 8 7 4 5 5 2 6 3 4 1 1 2 2 1 2 9 4 0 5 8 7 0 6 811 7 9 1 6 5 8 1 4 3 7 9 1 2 5 3 4 1 6 3 1 6 3 2 5 1 9 5 7 7 5 6 6 8 4 6 5 7 112 8 1 4 6 3 8 8 4 7 1 3 6 3 7 7 5 2 6 2 4 8 6 3 2 1 4 8 3 1 7 0 8 1 9 4 1 2 313 8 1 7 9 3 4 3 6 9 5 9 2 1 7 3 8 7 5 2 2 7 6 0 6 1 8 1 2 1 4 8 5 2 7 3 3 8 514 2 8 8 4 4 0 4 3 2 2 8 1 1 0 2 8 1 8 1 4 5 1 8 1 8 3 3 4 5 6 6 8 1 4 7 4 3 315 3 3 7 2 0 0 2 9 5 5 6 8 2 4 5 7 4 0 6 7 3 2 6 3 7 6 7 2 7 2 2 7 6 4 1 6 1 116 0 2 7 8 1 7 7 6 0 4 3 4 5 8 7 8 3 0 3 1 2 7 8 5 2 3 2 5 7 5 7 4 3 5 2 9 4 617 1 1 0 5 9 6 6 2 7 2 2 7 1 8 5 5 2 7 5 9 5 0 3 7 0 3 1 5 4 2 9 7 4 4 2 6 0 518 1 9 0 4 1 1 4 3 3 1 5 6 7 0 1 2 2 2 4 4 9 2 2 1 9 7 1 5 9 1 1 5 8 9 7 2 2 219 6 9 7 4 5 0 1 0 6 6 2 1 5 2 1 8 8 2 5 2 2 2 8 1 2 3 8 1 3 5 7 6 7 8 1 6 7 120 2 7 1 2 1 6 3 1 1 7 1 2 3 4 8 8 1 1 7 1 1 1 3 6 2 1 1 7 9 2 2 5 3 2 2 2 7 621 9 5 5 5 2 2 0 1 3 6 9 6 5 3 2 2 6 3 1 4 4 4 3 1 6 7 0 5 5 1 0 7 3 1 2 1 5 322 4 2 4 9 7 3 1 8 3 4 8 3 7 1 3 1 1 6 4 8 2 3 3 1 4 7 3 8 6 3 1 8 0 2 8 1 0 823 5 8 3 1 1 3 8 2 5 3 8 6 2 2 7 8 1 1 1 3 4 4 8 8 6 4 2 3 1 8 6 1 8 4 9 1 5 624 8 4 3 2 1 3 5 7 6 7 3 3 6 1 9 4 7 6 5 6 6 7 2 6 5 7 0 8 2 6 4 9 1 4 7 7 3 425 1 2 8 1 0 5 4 3 8 5 1 1 8 9 1 3 8 7 4 5 0 4 7 0 8 3 8 9 6 2 3 7 1 4 6 2 9 426 7 7 5 7 9 2 4 5 7 8 7 1 4 8 4 1 6 4 9 7 5 9 4 1 4 4 3 2 2 5 8 0 2 3 4 5 4 227 7 2 8 8 8 3 8 5 5 4 4 5 9 4 9 2 3 1 1 1 2 7 6 3 5 1 4 0 6 2 7 7 7 7 7 7 0 428 8 7 7 1 9 6 7 6 6 5 5 9 1 6 5 6 1 2 2 3 2 5 7 5 6 9 5 0 3 1 7 1 1 5 5 2 6 629 1 4 8 2 2 1 9 5 2 6 6 3 4 0 1 3 0 5 5 6 9 1 7 8 8 8 2 7 7 9 7 5 0 3 6 2 4 430 7 6 1 9 0 5 1 4 4 4 1 0 1 6 4 3 7 3 7 1 0 7 4 1 6 8 9 9 7 9 6 2 7 6 3 7 0 131 1 5 8 1 0 4 3 9 2 4 5 6 6 8 2 2 3 1 2 8 4 5 9 1 7 4 7 6 7 1 6 1 8 0 4 6 2 932 3 2 2 2 1 1 4 5 8 0 2 4 5 8 3 3 0 9 3 9 8 9 6 9 8 8 4 5 9 8 1 3 3 5 8 9 0 633 6 5 4 6 5 9 5 1 0 0 1 4 2 7 7 7 7 8 0 3 2 7 7 2 8 7 5 8 1 3 8 7 6 4 0 0 2 634 5 0 8 7 8 1 3 5 1 4 6 1 5 5 6 6 0 3 5 5 0 3 6 5 4 1 4 1 4 0 6 9 5 2 2 0 5 5

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Como usar a tabela de números aleatórios

1º Numerar todos os elementos da população N;

2º Determinar as combinações dos algarismos para assegurar correspondência entre os dígitos aleatórios e os elementos da população (ex.: se o último número da população for 80, por exemplo, devem ser lidos números de dois algarismos; caso o último número seja 456, devem ser lidos números de três algarismos, e assim por diante;

3º Escolher um ponto de partida arbitrário da tabela. A leitura pode ser feita horizontalmente →← (da direita para a esquerda ou vice‐versa), verticalmente ↓↑ (de cima para baixo ou vice‐versa), diagonalmente ↗↙↖↘ (no sentido ascendente ou descendente) ou formando o desenho de uma letra qualquer. A opção, porém, deve ser feita antes de iniciado o processo;

4º Descartar os números maiores que o tamanho da população e/ou numeral repetido;

5º Usar os números escolhidos para identificar os elementos da população. EXEMPLO. Uma empresa pecuária possui uma população de novilhos de tamanho N = 80 e precisa retirar amostras de tamanho n = 12 (15% da população) para fazer exame de uma determinada doença. Utilize o método de amostragem aleatória simples, considerando a tabela, a partir da 4ª linha, coluna D, sentido horizontal, da esquerda para direita (→). Informar, também, os números descartados.

SOLUÇÃO. Como a população N=80 teve dois algarismos, então combinamos dois algarismos na tabela (00), descartando os números repetidos e/ou maiores que o tamanho da população (Ex.: 81, 82, 83...) e escolhendo outra combinação de algarismos. Este procedimento é repetido até a amostra de tamanho n=12 ser escolhida. Então: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a b c d e f g h i j k l 1 9 3 3 1 2 1 6 6 3 3 9 0 7 0 4 0 4 4 1 3 8 1 6 5 8 8 9 8 6 5 0 6 3 3 1 2 4 82 0 7 6 8 1 4 5 0 5 8 6 6 1 4 2 6 7 5 6 0 5 7 7 9 6 3 2 6 3 4 5 9 8 6 5 2 1 13 6 5 1 5 3 4 4 2 3 7 9 1 4 8 5 8 7 2 4 7 3 7 0 6 2 2 1 3 5 0 8 9 4 7 1 6 4 4

4 9 7 0 2 6 7 3 2 6 7 4 9 1 6 2 7 7 8 6 8 4 7 8 1 5 7 1 2 6 6 6 3 5 6 0 8 2 1

5 5 5 6 5 1 6 4 8 3 3 1 5 3 8 8 2 3 8 8 7 7 4 5 0 4 5 1 8 7 2 3 2 9 6 4 7 7 9

6 8 3 4 8 8 3 8 0 6 4 8 2 3 5 2 5 3 7 1 7 6 8 2 9 5 3 4 3 7 0 3 9 7 0 1 5 7 2

n = 26 73 74 62 77 78 15 71 66 35 60 56

Descartados por repetição: 26 26 15

Descartados por serem maiores que a população: 91 86 84 82

Amostragem Aleatória Estratificada – É a técnica de amostragem em que dividimos todos os elementos da população em grupos (estratos) de idênticas características.

Às vezes, a população é heterogênea (ex.: sexo masculino e feminino; peça A, B e C) e a amostra aleatória simples não apresentaria esta heterogeneidade. Seria, então, necessário homogeneizar as amostras em grupos, estratos. Neste caso recorremos à amostragem aleatória estratificada. “Estratificar” sugere “formar‐se em camadas”.

A estratificação mais simples que encontramos na população do rebanho de tamanho N=80 é a divisão entre novilhos e novilhas. Supondo que haja 35 novilhos e 45 novilhas, teremos a seguinte formação dos estratos:

População (80)

Novilhos (35) Novilhas (45)

Estrato 1 Estrato 2

- 21 -


São, portanto, dois estratos (novilhos e novilhas). Como queremos uma amostra de tamanho n=12 (15% da população), por estrato, temos:

Rebanho População 15% Amostra Novilho (estrato 1) 35 35*15% = 5,25 5 Novilha (estrato 2) 45 45*15%= 6,75 7

TOTAL 80 80*15% = 12 12 O próximo passo é extrair as amostras dentro de cada estrato. Então, numeramos o rebanho de 01 a 80, sendo que de 01 a 35 correspondem novilhos e de 36 a 80, as novilhas. Tomando na tabela de números aleatórios, a partir da 4ª linha, coluna D, sentido horizontal, da esquerda para direita (→), obtemos os seguintes números: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a b c d e f g h i j k l 1 9 3 3 1 2 1 6 6 3 3 9 0 7 0 4 0 4 4 1 3 8 1 6 5 8 8 9 8 6 5 0 6 3 3 1 2 4 82 0 7 6 8 1 4 5 0 5 8 6 6 1 4 2 6 7 5 6 0 5 7 7 9 6 3 2 6 3 4 5 9 8 6 5 2 1 13 6 5 1 5 3 4 4 2 3 7 9 1 4 8 5 8 7 2 4 7 3 7 0 6 2 2 1 3 5 0 8 9 4 7 1 6 4 4

4 9 7 0 2 6 7 3 2 6 7 4 9 1 6 2 7 7 8 6 8 4 7 8 1 5 7 1 2 6 6 6 3 5 6 0 8 2 1

5 5 5 6 5 1 6 4 8 3 3 1 5 3 8 8 2 3 8 8 7 7 4 5 0 4 5 1 8 7 2 3 2 9 6 4 7 7 9

6 8 3 4 8 8 3 8 0 6 4 8 2 3 5 2 5 3 7 1 7 6 8 2 9 5 3 4 3 7 0 3 9 7 0 1 5 7 2

Temos, então: 1 a 35 → Novilhos n = 26 15 35 31 23 36 a 80 → Novilhas n = 73 74 62 77 78 71 66 Descartados

Notas importantes sobre este tipo de amostragem

Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato para estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que a amostragem seja feita por estratos. Portanto, a amostragem estratificada é, em geral, usada para reduzir a variação nos resultados.

A amostragem estratificada é mais eficiente do que a amostragem aleatória simples, uma vez que fica assegurada a representatividade de elementos ao longo de toda a extensão da população. A homogeneidade de itens dentro de cada estrato proporciona maior precisão. Da mesma maneira, em um sistema produtivo, podemos estratificar as amostras em, por exemplo, peça A, peça B, peça C e assim por diante.

Amostragem Aleatória por Conglomerado- É a técnica de amostragem em que dividimos todos os elementos da população em diversos grupos (conglomerados).

A conglomeração mais simples que encontramos na população do rebanho de novilhos de tamanho N=80 é a sua divisão, por exemplo, em 10 grupos (conglomerados), cada um com 8 elementos da população. Depois numeramos cada conglomerado, como mostrado na figura abaixo:

O próximo passo é extrair uma amostra aleatória simples dos conglomerados. Supondo o tamanho amostral n=24, teremos, portanto, 3 conglomerados a considerar. Partindo da 1ª linha, coluna A, sentido horizontal e da esquerda para direita (→) da tabela aleatória, temos, então:

Conglomerados selecionados: 06 07 02 Agora, é só coletar todos os elementos desses conglomerados selecionados e estudar todos os itens.

População (80)

Conglomerado 1 Conglomerado 2 Conglomerado 3 Conglomerado 5 Conglomerado 4

Conglomerado 6 Conglomerado 7 Conglomerado 8 Conglomerado 10 Conglomerado 9

8 novilhos (as) para cada conglomerado

Número de amostras

estratificadas

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Uma amostra por conglomerado é uma amostra aleatória simples na qual cada unidade de amostragem é um grupo de elementos. Uma das principais aplicações da amostragem por conglomerados é a amostragem por áreas geográficas, como cidades, municípios, setores de uma empresa, quarteirões de cidades, domicílios, território de vendas etc. Segundo Levine et al (2008, p. 222) e Anderson et al (2009, p.263) a amostragem por conglomerados têm as seguintes características:

Todos os elementos contidos em cada conglomerado amostrado formam a amostra; Cada conglomerado é uma versão representativa em pequena escala da população inteira; Tende a produzir melhores resultados quando os elementos neles contidos não são similares; De um modo geral, é mais eficaz em termos de custo do que a amostragem aleatória simples, particularmente se a população estiver dispersa ao longo de uma extensa área geográfica. Entretanto, a amostragem por conglomerado geralmente demanda um maior tamanho de amostra para que sejam produzidos resultados tão precisos quanto aqueles que seriam obtidos da amostragem aleatória simples ou estratificada.

Segundo Triola (2008, p. 23) outro exemplo de amostra por conglomerado pode ser encontrado nas pesquisas eleitorais, onde selecionamos aleatoriamente 30 zonas eleitorais dentre um grande número de zonas e, em seguida, entrevistamos todos os eleitores daquelas seções (zonas selecionadas). Isso é muito mais rápido e muito menos dispendioso do que selecionar uma pessoa de cada uma das zonas na área populacional.

ATENÇÃO!

É fácil confundir amostragem estratificada com a amostragem por conglomerado, porque ambas envolvem a formação de grupos. Porém, a amostragem por conglomerado usa todos os elementos de um grupo selecionado, enquanto a amostragem estratificada usa amostras de elementos de todos os estratos.

Figura. Amostragem por Conglomerados em quarteirões de um bairro.

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Amostragem Sistemática - É a técnica de amostragem em que retiramos os elementos da população periodicamente, definida pelo pesquisador.

Utilizamos este tipo de amostragem quando os elementos de uma população se encontram ordenados, por exemplo, a coleta de amostras de um determinado produto em uma linha de produção.

Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando o tamanho amostral de 10% da população.

Uma amostragem é sistemática quando a retirada dos elementos da população é feita periodicamente, sendo o intervalo de seleção calculado, por meio da divisão do tamanho da população pelo tamanho da amostra a ser selecionada. EXEMPLO. Deseja‐se retirar uma amostra de n = 10 unidades de peças de uma população de tamanho N = 800. O intervalo de seleção é, então, 800/10 = 80. Desse modo, 80 seria o primeiro elemento a ser considerado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 80 em 80. Nesse caso escolhem‐se aquelas que estiverem nas seguintes posições: 80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800.

Outras amostragens (não probabilísticas) Amostragem por julgamento – A pessoa que conhece mais profundamente o tema do estudo escolhe os elementos que julga serem mais representativos da população. Por exemplo, um repórter pode tomar como amostra dois ou três senadores, julgando que eles refletem a opinião geral de todos os senadores. A qualidade dos resultados depende do julgamento da pessoa que a seleciona. Amostragem por conveniência – a amostra é identificada primeiramente por conveniência (cômodo, útil, favorável). Como exemplo estudantes de uma universidade voluntários para compor uma amostra de uma determinada pesquisa escolar.

Amostras Coleta de Amostras

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Amostra

Nº da peça

População = 800Amostra = 10

800/10 = 80

80 80 80 80 80 80 80 80 80

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Amostra

Nº da peça

População = 800Amostra = 10

800/10 = 80

80 80 80 80 80 80 80 80 80

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1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INFERENCIAL Estatística descritiva – É o ramo da estatística que envolve a organização, o resumo e a representação dos dados para tomada de decisão. Estatística inferencial – É o ramo da estatística que envolve o uso da amostra para chegar a grandes conclusões sobre a população. Uma ferramenta básica no estudo da estatística inferencial é a probabilidade. Algumas ferramentas aplicadas à Estatística Inferencial:

Probabilidades Uma Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer. Ex.: Ao lançar um dado, qual a probabilidade de obter o valor 4? R = 1/6 = 16%

Estimação, margem de erro e intervalo de confiança Suponha que o tempo médio que você leva para chegar ao trabalho de carro é de 35’, com uma margem de erro

de 5’ para mais ou para menos. A estimativa é de que o tempo médio gasto até chegar ao trabalho fica em algum ponto entre 30’ e 40’. Esta estimativa é um intervalo de confiança, pois leva em consideração o fato de que os resultados da amostra irão variar e dá uma indicação de uma variação esperada.

A margem de erro é uma medida de quão próximo você espera que seus resultados representem toda a população que está sendo estudada. Vários fatores influenciam a amplitude de um intervalo de confiança, tais como o tamanho amostral, a variabilidade da população e o quanto você espera obter de precisão. A maioria dos pesquisadores contenta‐se com 95% de confiança em seus resultados. Estar 95% confiante indica que se você coletar muitas, mas muitas amostras e calcular o intervalo de confiança para todas, 95% dessas amostras terão intervalos de confiança que abrangerão o alvo.

Teste de hipótese Teste de hipótese é um procedimento estatístico em que os dados são coletados e medidos para comprovar uma alegação feita sobre uma população. Por exemplo, se uma pizzaria alega entregar as pizzas dentro de 30’ a partir do pedido, você pode testar se essa alegação é verdadeira, coletando uma amostra aleatória do tempo de entrega durante um determinado período de tempo e observar o tempo médio de entrega para essa amostra.

- 25 -


2

SÉRIES ESTATÍSTICAS

- 26 -


2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES

As tabelas e gráficos constituem um importante instrumento de análise e interpretação de um conjunto de dados. Diariamente é possível encontrar tabelas e gráficos nos mais variados veículos de comunicação (jornais, revistas, televisão, Internet), associadas a assuntos diversos do nosso dia‐a‐dia, como resultados de pesquisas de opinião, saúde e desenvolvimento humano, economia, esportes, cidadania, etc. A importância das tabelas e dos gráficos está ligada sobretudo à facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações por parte do leitor e também às inúmeras possibilidades de ilustração e resumo dos dados apresentados. TABELAS

São quadros que resumem um conjunto de dados.

Tipos de Tabelas

SÉRIE HISTÓRICA Descreve os valores da variável, discriminados por TEMPO (anos, meses, dias, horas, etc.

SÉRIE GEOGRÁFICA Descreve os valores da variável, discriminados por REGIÕES (países, cidades, bairros, ruas, layout, etc)

SÉRIE ESPECÍFICA Descreve os valores da variável, discriminados por temas ESPECIFICOS.

SÉRIE CONJUGADA É utilizado quando temos a necessidade de apresentar em uma única tabela a variação de valores DE MAIS DE UMA VARIÁVEL, isto é, fazer de forma conjugada de duas ou mais séries. Esta série, por exemplo, é GEOGRÁFICA – HISTÓRICA

Título – conjunto de informações sobre o estudo.

Cabeçalho –especifica o conteúdo das colunas

Coluna indicadora –especifica o conteúdo das linhas

Coluna numérica ‐–especifica a quantidade das linhas

Linhas – retas imaginárias de dados

Célula – espaço destinado a um só número

Rodapé – simplesmente a fonte dos dados

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GRÁFICOS

A importância dos gráficos está ligada à facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações e também às inúmeras possibilidades de ilustração e resumo dos dados apresentados. Eis os mais usados:

Gráfico em Linha (para séries históricas) É a representação dos valores por meio de linhas. Usamos quando precisamos de uma informação rápida de um valor ao longo do tempo.

Gráfico em Colunas É a representação dos valores por meio de retângulos, dispostos verticalmente. Utiliza‐se muito quando necessitamos saber a quantidade de valor.

ACIDENTES DO TRABALHO EM SÃO PAULO: 1989 ‐ 1991

0

500

1000

1500

2000

2500

1989 1990 1991

anos

Quantidade

São Paulo

Guarulhos

Campinas

Osasco

Santos

FONTE: Dados fictícios

QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHOSÃO PAULO: 1989 ‐ 1994

62547265

63255458

86589578

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

1989 1990 1991 1992 1993 1994

Anos

Qua

ntidad

e


ACIDENTES DO TRABALHOSÃO PAULO: 1989 ‐ 1994

6254

7265

6325

5458

8658 9578

0

2000

4000

6000

8000

10000

1989 1990 1991 1992 1993 1994

Anos

Qua

ntidad

e


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Gráfico em Barras É o mesmo conceito que o de Colunas, porém utiliza‐se sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos.

Gráfico em Setores Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação de um dado no total, geralmente na forma de porcentagem.

Gráfico Polar É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, isto é, séries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade, por exemplo, o mês de janeiro a dezembro.

QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHOEM SÃO PAULO ‐ POR TIPO ‐ 1989

55

1396

698

3578

598

0 1000 2000 3000 4000

Impacto

Perfuração

Atrito

Queda

Corte

Tipo

QuantidadeFONTE: Dados fictícios

ACIDENTES DO TRABALHOSÃO PAULO ‐ 1989


ACIDENTES DO TRABALHOSÃO PAULO ‐ 1989


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Número de cada Delegacia

Gráfico de Pareto É um gráfico de colunas na qual a altura de cada barra representa os dados, porém na ordem de altura decrescente, com a coluna mais alta posicionada à esquerda. Tal posicionamento ajuda a enfatizar dados importantes e é frequentemente usado nos negócios.

Os cinco veículos mais vendidos no Brasil em janeiro de 1995

Veículo Quantidade (milhões)

Ômega 34 Monza 30 Gol 25 Corsa 22 Fusca 15

FONTE: dados fictícios

Gráfico de Dispersão É usado para representar a relação entre duas variáveis quantitativas, por meio de pontos e linhas.

Investimentos versus vendas no setor da empresa X

Anos Investimentos Vendas 1999 500 3000 2000 3000 2000 2001 1300 4000 2002 2000 2500

FONTE: dados fictícios

Gráfico Cartograma Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas (mapas), corpo humano entre outras figuras

Os cinco veículos mais vendidos no Brasil em janeiro de 1995

15

2225

3034

0

10

20

30

40

Ômega Monza Gol Corsa Fusca

VeículosQuantidade (m

ilhõe

s)FONTE: Dados fictícios

FONTE: SSP/SP

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2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

FREQUÊNCIA ABSOLUTA E HISTOGRAMA

Ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados, em geral é útil organizá-los e resumi-los em uma tabela, chamada Distribuição de frequência.

Na distribuição de frequência listamos todos os valores coletados, um em cada linha, marcam‐se as vezes em que eles aparecem, incluindo as repetições, e conta‐se a quantidade de ocorrências de cada valor. Por este motivo, tabelas que apresentam valores e suas ocorrências denominam‐se distribuição de freqüências.

O termo “freqüência” indica o número de vezes que um dado aparece numa observação estatística.

EXEMPLO 1

Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos da seguinte forma: Notas dos 25 alunos Comentário

4,0 5,0 7,0 9,0 9,0 4,0 5,0 7,0 9,0 9,0 4,0 5,0 7,0 9,0 9,0 4,0 6,0 8,0 9,0 9,0 4,0 6,0 8,0 9,0 9,0

Agora ele pode fazer uma representação gráfica para analisar o desempenho da turma. Em primeiro lugar, o professor pode fazer uma tabulação dos dados, ou seja, organizá‐los de modo que a consulta a eles seja simplificada. Então, faremos a distribuição de freqüência destas notas, por meio da contagem de dados.

Distribuição de freqüência Comentário

Nota Freqüência absoluta, f (nº de alunos)

4,0 5 5,0 3 6,0 2 7,0 3 8,0 2 9,0 10 ∑f=25

Esta forma de organizar dados é conhecida como distribuição de frequência, e o número de vezes que um dado aparece é chamado de frequência absoluta, representado por f. Exemplos:

A frequência absoluta da nota 4,0 é 5. A freqüência absoluta da nota 9,0 é 10.

O símbolo grego ∑ “sigma” significa “somatório”, muito usado em Estatística. Portanto, ∑f=25 significa a soma de 5+3+2+3+2+10. Representamos a freqüência por um gráfico, chamado Histograma.

HISTOGRAMA Comentário

ESTA FREQUÊNCIA QUE ACABAMOS DE ESTUDAR É DENOMINADA FREQUENCIA

ABSOLUTA (f), QUE É SIMPLESMENTE A CONTAGEM DOS DADOS.

Em Estatística não trabalhamos somente com frequência absoluta (f), mas também com outros tipos de freqüências, que são: freqüência relativa (fr), frequência absoluta acumulada (Fa) e frequência relativa acumulada (FRa).

Estudaremos agora cada uma delas.

Quando os dados numéricos são organizados, eles geralmente são ordenados do menor para o maior, divididos em grupos de tamanho razoável e, depois, são colocados em gráficos para que se examine sua forma, ou distribuição (no exemplo: 4,0 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0). Este gráfico é chamado de Histograma.

Um histograma é um gráfico de colunas juntas. Em um histograma não existem espaços entre as colunas adjacentes, como ocorre em um gráfico de colunas. No exemplo, a escala horizontal (→) representa as notas e a escala vertical (↑) as freqüências.

O histograma ao lado indica que cinco alunos tiraram a nota 4,0; três alunos tiraram a nota 5,0; dois alunos tiraram a nota 6,0; três alunos tiraram a nota 7,0; dois alunos tiraram 8,0 e dez alunos tiraram 9,0.

5

32

32

10

0

2

4

6

8

10

12

Núm

ero de alun

os

4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

Nota

Desempenho dos alunos na prova

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FREQUENCIA RELATIVA (fr) % Conceito. Representado por fr, significa a relação existente entre a frequência absoluta (f) e a soma das freqüências (∑f). É a porcentagem (%) do número de vezes que cada dado aparece em relação ao total. EXEMPLO 1a

f/∑f*100→5/25*100= 20% freqüência relativa (fr)% Comentários aos cálculos Nota f fr(%) 4,0 5 20% 5,0 3 12% 6,0 2 8% 7,0 3 12% 8,0 2 8% 9,0 10 40% ∑f=25 100

A frequência relativa (fr) é obtida por f/∑f *100, conforme abaixo:

A fr(%) da nota 4,0 é fr = 5/25 = 0,2 = 20%. A fr(%) da nota 5,0 é fr = 3/25 = 0,12 = 12% A fr(%) da nota 6,0 é fr = 2/25 = 0,08 = 8% A fr(%) da nota 7,0 é fr = 3/25 = 0,12 =12% A fr(%) da nota 8,0 é fr = 2/25 = 0,08 = 8% A fr(%) da nota 9,0 é fr = 9/25 = 0,4 = 40%.

FREQUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Fa) Conceito. Representado por Fa, significa a soma das freqüências absolutas até o elemento analisado. EXEMPLO 1b

Fa2=5+3 = 8 frequência absoluta acumulada (Fa) Comentários aos cálculos

Nota f fr(%) Fa 4,0 5 20% 5 5,0 3 12% 8 6,0 2 8% 10 7,0 3 12% 13 8,0 2 8% 15 9,0 10 40% 25 ∑f=25 100 ‐

A frequência absoluta acumulada (Fa) é obtida conforme abaixo:

A “Fa” da nota 4,0 é 5 (sempre repete a primeira). A “Fa” das notas 4,0 e 5,0 é 5+3=8. A “Fa” das notas 4,0, 5,0 e 6,0 é 5+3+2=10. A “Fa” das notas 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 5+3+2+3=13. A “Fa” das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 5+3+2+3+2=15. A “Fa” das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 5+3+2+3+2+10=25

FREQUENCIA RELATIVA ACUMULADA (FRa) % Conceito. Representado por FRa, significa soma das freqüências relativas (fr) até o elemento analisado. EXEMPLO 1c

20%+12% = 32% frequência relativa acumulada (FRa) Comentários aos cálculos

Nota f fr(%) Fa FRa(%) 4,0 5 20% 5 20% 5,0 3 12% 8 32% 6,0 2 8% 10 40% 7,0 3 12% 13 52% 8,0 2 8% 15 60% 9,0 10 40% 25 100% ∑f=25 100 ‐ ‐

A frequência relativa acumulada (FRa) é obtida conforme abaixo:

A “FRa” de 4,0 é 20% (sempre repete a primeira). A “FRa” de 4,0 e 5,0 é 20+12 = 32% A “FRa” de 4,0, 5,0 e 6,0 é 20+12+8 = 40% A “FRa” de 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 20+12+8+12 = 52% A “FRa” de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 20+12+8+12+8 = 60% A “FRa” de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 20+12+8+12+8+40=100%

NOTA IMPORTANTE SOBRE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA:

Nota f fr(%) Fa FRa(%) 25 100 ∑f=25 100 ‐ ‐

Para saber se o desenvolvimento da distribuição de freqüência por completo está correto, os valores ao lado, em vermelho, deverão coincidir.

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AGRUPAMENTO EM CLASSES

Em uma distribuição de frequência, ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados e com valores dispersos, podemos agrupá-los em classes.

Se um conjunto de dados for muito disperso, uma representação melhor seria através do agrupamento dos dados com a construção de classes de frequência. Caso isso não ocorresse, a tabela ficaria muito extensa. Veja abaixo:

EXEMPLO 2

Um radar instalado na Dutra registrou a velocidade (em Km/h) de 40 veículos, indicadas abaixo:

Velocidade de 40 veículos (Km/h)

Distribuição de frequência

É fácil ver que a distribuição de frequências diretamente obtida a partir desses dados é dada uma tabela razoavelmente extensa.

70 90 100 110 123 71 93 102 115 123 73 95 103 115 123 76 97 105 115 123 80 97 105 117 124 81 97 109 117 124 83 99 109 121 128 86 99 109 121 128

Nota f

70 1 71 1 73 1 76 1 80 1 81 1 83 1 86 1 90 1 93 1 95 1 97 3 99 2 100 1 102 1 103 1 105 2 109 3 110 1 115 3 117 2 121 2 123 4 124 2 128 2 ∑f=40

Distribuição de freqüência com classes

i Velocidade (Km/h) f

1 70 |⎯ 80 4 2 80 |⎯ 90 4 3 90 |⎯ 100 8 4 100 |⎯ 110 8 5 110 |⎯ 120 6 6 120 |⎯ 130 10 ∑f=40

A criação de grupos de frequências, chamado de ”classes”, é como se fosse uma compressão dos dados. Imagine se fizéssemos uma distribuição de freqüência de todas velocidades, desde 70 até 128. A distribuição ficaria imensa! Por este motivo existe a distribuição de frequência com classes.

Como criar uma Distribuição de Freqüência com classes 1. Calcule a quantidade de classes (i), obtida por meio da raiz da

quantidade de dados. Neste exemplo: 40 = 6,3 ≅ i = 6 classes. 2. Calcule a amplitude de classe (h) que nada mais é o tamanho da

classe, representado por “h”, sendo:

Maior valor – Menor valor = 128 – 70 = 9,6 ≅ h=10 quantidade de classes (i) 6

Nota: o Maior valor e o Menor valor são obtidos da relação das velocidades dos 40 veículos, ou seja,o maior valor é 128 e o menor valor é 70.

3. Montar as classes a partir do Menor valor (70 no exemplo), somando com a amplitude de classe (10 no exemplo) até que se chegue na 6ª classe, assim:

CONCEITOS IMPORTANTES: TIPOS DE INTERVALO DE CLASSE: No Brasil costuma‐se utilizar o intervalo |⎯ (Resolução 866/66 do IBGE). Já na literatura estrangeira, a exemplo de Triola (2008), Anderson et al (2009) e Levine et al (2008), utiliza‐se somente com intervalo fechado.

LIMITES DE CLASSE ‐ São os extremos de cada classe, no exemplo 70 |⎯ 80, temos que o limite inferior é 70 e o limite superior 80.

Classes

i Velocidade (Km/h) 1 70 +10 80 2... 80 +10 90 ...6 120 +10 130

Tipo Representação Dados do intervalo Aberto 70 ⎯ 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80

Fechado à esquerda 70 |⎯ 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 Fechado 70 |⎯| 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80

Fechado à direita 70 ⎯| 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80

- 33 -


0

2

4

6

8

10

12

Quantidade de

veículos

Resultados dos registros de um radar

70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130

Velocidade (Km/h)

AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT) – É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe, no exemplo 130 – 70 = 60. AMPLITUDE AMOSTRAL (AA) – É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra, no exemplo 128 – 70 = 58.

Abaixo vemos as distribuições de frequências absoluta, relativa, absoluta acumulada e relativa acumulada, bem como o Histograma desta distribuição.

Distribuição de freqüência com classes f, fr, Fa e FRa

OUTRAS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA – É um gráfico em linha que representa os pontos centrais dos intervalos de classe.

Calcule o ponto central de classe (x), que é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Por exemplo, a velocidade dos veículos da 1ª classe pode ser representada por 70 + 80 = 75Km/h 2

A construção de um polígono de frequências é muito simples. Primeiro, construímos um histograma; depois marcamos no “telhado” de cada coluna o ponto central e unimos sequencialmente esses pontos. OGIVA – (pronuncia‐se o’jiva). Conhecida também por polígono de frequência acumulada. É um gráfico em linha que representa freqüências acumuladas (FRa), levantada nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

i Velocidade (Km/h) f Fr(%) Fa FRa(%)

1 70 |⎯ 80 4 10% 4 10%

2 80 |⎯ 90 4 10% 8 20%

3 90 |⎯ 100 8 20% 16 40%

4 100 |⎯ 110 8 20% 24 60%

5 110 |⎯ 120 6 15% 30 75%

6 120 |⎯ 130 10 25% 40 100%

∑f=40 100%

i Velocidade (Km/h) f x

1 70 |⎯ 80 4 75

2 80 |⎯ 90 4 85

3 90 |⎯ 100 8 95

4 100 |⎯ 110 8 105

5 110 |⎯ 120 6 115

6 120 |⎯ 130 10 125

∑f=40

i Velocidade (Km/h) f FRa

1 70 |⎯ 80 4 4

2 80 |⎯ 90 4 8

3 90 |⎯ 100 8 16

4 100 |⎯ 110 8 24

5 110 |⎯ 120 6 30

6 120 |⎯ 130 10 40

∑f=40

4 4

8 8

6

10

0

2

4

6

8

10

12

Quantidade de

veículos


70 80 90 100 110 120 130

Velocidade (Km/h)

70 |⎯ 80

Ponto central 75Km/h

Velocidade (Km/h)

4 48 8 6

10

0

510

15

20

25

3035

40

Quantidade de

veículos


70 80 90 100 110 120 130

4 8

16

24

30

40

- 34 -


3

MEDIDAS

Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, os estatísticos definem medidas que descrevem, através de um só elemento, características dos dados. Algumas medidas descrevem a tendência central, isto é, a tendência que os dados têm de se agrupar em torno de certos valores.

- 35 -


3.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

São medidas que utilizamos para obter um número que represente o valor central de um conjunto de dados. As Medidas de Tendência Central mais utilizadas são: Média, Mediana e Moda.

Uma maneira de pensar o que o centro de um conjunto de dados significa é perguntar: “qual seria um valor normal”? ou, “onde está o meio dos dados”?

Por exemplo, pode‐se, ao identificar‐se um grupo de idosos, referir‐se ao grupo como tendo “em torno de 70 anos”. O que se quer dizer com isso? Por certo que as idades dos membros que formam o grupo estão próximas de 70 anos, para mais ou para menos.

Quando as pessoas conversam sobre “um valor normal” ou “valor do meio” ou “valor mais freqüente”, elas estão falando informalmente sobre a média, a mediana e a moda.

MÉDIA

MÉDIA SIMPLES

É uma medida que representa um valor típico ou normal num conjunto de dados.

A média simples serve como um “ponto de equilíbrio” em um conjunto de dados (como o ponto de apoio de uma gangorra). Cada dado tem igual importância e peso. Sofre a influência de todos os dados.

A Média simples é obtida pela seguinte fórmula:

x = ∑x → soma dos valores dos dados n → quantidade de dados

A Média é representada por

x (lê‐se “x barra”)

EXEMPLO

Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0 e, considerando as quatro notas de João e Maria durante o ano, informe se foram aprovados.

Notas de João: 3,5 | 6,0 | 9,5 | 9,0 |

x = ∑x 3,5 + 6,0 + 9,5 + 9,0 n 4

x = 7,0 → aprovado

Notas de Maria: 3,5 | 4,0 | 5,5 | 9,5 |

x = ∑x 3,5 + 4,0 + 5,5 + 9,5 n 4

x = 5,6 → reprovada

Média de João

Média de Maria

Média exigida

3,5

6,07,0

9,5 9,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas

1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º BimBimestres

Média das notas de João

3,5 4,0

5,6 5,5

9,5

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas


Média das notas de Maria

- 36 -


MÉDIA APARADA Semelhante à Média simples, porém, descartando-se em partes iguais alguns

números nos extremos inferior e superior.

Também chamada de Média podada, truncada, ajustada. A média simples possui uma deficiência por ser facilmente influenciada por valores discrepantes (valores muito grandes ou muito pequenos em um conjunto de dados) Ex.: x de 10, 15, 13, 18, 525 = 116. Assim, devido a maneira como a média é calculada (cada dado tem igual importância e peso), os valores discrepantes muito altos tendem a elevar a média, enquanto que valores discrepantes muito baixos tendem a reduzir a média. Portanto, a média sempre será atraída para o valor mais afastado dos demais.

Por isso, dizemos que a média simples não é uma medida robusta de tendência central. A média aparada é

mais resistente. Segundo Anderson et al (2009, p. 77) e Triola (2007, p. 74) ela é obtida ordenando os dados e excluindo‐se igualmente uma porcentagem (entre 5% e 10%) dos valores menores e maiores de um conjunto de dados e calculando‐se então a média dos valores restantes.

Exemplo: Supondo a Média simples dos salários de 12 empregados de uma empresa: $500 $2.000 $2.050 $2.100 $2.150 $2.200

$2.200 $2.250 $2.300 $2.300 $2.350 $6.000

x = ∑x 12

x = 2.366

Supondo a Média aparada em 5% dos salários de 12 empregados de uma empresa:

5% de 12 = 0,6 ≅ 1 $500 $2.000 $2.050 $2.100 $2.150 $2.200

$2.200 $2.250 $2.300 $2.300 $2.350 $6.000

ax = ∑x 10

ax = 2.190

Neste caso, 5% de 12 = 0,6. O arredondamento desse valor para 1 indica que a média aparada de 5% significa eliminar 1 menor valor (no exemplo, $500) e 1 maior valor (no exemplo, $6.000). A média aparada de 5%, usando‐se as 10 observações restantes será, então, 2.190.

MÉDIA PONDERADA

Semelhante a Média simples, porém, atribuindo-se a cada dado um peso que

retrate a sua importância.

O termo “ponderação” é sinônimo de peso, importância, relevância. Sugere, então, a atribuição de um peso a um determinado dado. Em alguns casos, os valores variam em grau de importância, de modo que podemos querer ponderá‐los apropriadamente. É calculada multiplicando‐se um peso por cada valor, fazendo com que alguns valores influenciem mais fortemente a média do que outros.

500

2000 2050 2100 2150 2200 2200 2250 2300 2300 23502366

6000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Quantidade

Salários dos empregados

Média aritmética simples salarial de uma empresa

Média simples

2000 20502100 2150 2190 2200 2200 2250 2300 2300 2350

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Quantidade

Salários dos empregados

Média aritmética aparada (5%) salarial de uma empresa

Médiaaparada

$6.000

$500

- 37 -


A Média ponderada é obtida pela seguinte fórmula:

px = ∑(x . p) → soma dos valores . pesos ∑ p → soma dos pesos

p representa o peso e x representa o valor do dado

Vamos representar a Média ponderada por

px

EXEMPLO

Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0, sendo que as provas bimestrais são ponderadas com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente para o 1º bim, 2º bim, 3º bim e 4º bim. Considerando as notas de João (na ordem bimestral crescente), informe se foi aprovado. Notas de João: | 9,0 | 8,0 | 6,0 | 5,0

px = ∑(x . p) ∑ p

px = (9,0.1) + (8,0.2) + (6,0.3) + (5,0.4) 1+2+3+4

px = 6,3 → reprovado Nota. Em uma média simples ele seria aprovado por 7,0.

Algumas vezes, em especial nos colégios, é comum que sejam atribuídos “pesos” às notas de determinadas provas. A atribuição de pesos visa fazer com que determinados valores tenham mais influência no resultado final do que outros. Também pode aplicado, por exemplo, em cálculos de índices de inflação, atribuindo pesos para setor de vestuário, alimentação, etc.

MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Quando trabalhamos com dados resumidos em uma distribuição de frequência, não sabemos os valores exatos que caem em determinada classe. Para tornar possíveis os cálculos, consideramos que, em cada classe, todos os valores amostrais sejam iguais ao ponto central de classe. Por exemplo, considere o intervalo de classe 70 |⎯ 80, com uma frequência de 4. Admitimos que todos os 4 valores sejam iguais a 75 (o ponto central de classe). Com o total de 75 repetido 4 vezes, temos um total de 75 x 4 = 300. Podemos, então, somar esses produtos obtidos de cada classe para encontrar o total de todos os valores, os quais, então, dividimos pela quantidade de dados.

É importante salientar que a distribuição de frequência resulta em uma aproximação de x porque não se baseia na lista original exata dos valores amostrais.

i Velocidade (Km/h) f x f . x

1 70 |⎯ 80 4 75 300 2 80 |⎯ 90 4 85 340 3 90 |⎯ 100 8 95 760 4 100 |⎯ 110 8 105 840 5 110 |⎯ 120 6 115 690 6 120 |⎯ 130 10 125 1250 ∑f=40 ‐ ∑(f.x) = 4180

Procedimento: 1. Multiplicar as frequências f pelos pontos

centrais de classe x e adicionar os produtos. 2. Somar as frequências f; 3. Somar os produtos (f.x); 4. Aplicar a fórmula abaixo:

x = ∑(f.x) → 4180 = 104,5 Km/h ∑f → 40

Ponto central de classe

x =

9,0

1

8,0

2

6,36,0

3

5,0

4

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas e pesos


Média ponderada das notas de João

Média ponderada

- 38 -


Nota (x) f (nº de alunos)

f . x

4,0 5 20 5,0 3 15 6,0 2 12 7,0 3 21 8,0 2 16 9,0 10 90 ∑f=25 ∑(f.x) = 174

Quando a distribuição não tem agrupamento de classes, consideraremos as frequências como sendo os pesos dos elementos correspondentes:

x =∑(f.x) → 174 = 6,96 ∑f → 25

MÉDIA GEOMÉTRICA

Medida que representa as taxas médias de variações de uma variável ao longo dos

anos.

A Média geométrica é obtida pela seguinte fórmula:

Gx = n x∏

O símbolo grego ∏ (lê‐se “PI”) representa produtório (multiplicação)

Vamos representar a Média geométrica por

Gx

Exemplo Supondo que a categoria de operários de uma fábrica teve um aumento salarial de 20% em 1999, 12% em 2000 e 7% em 2001. Qual o percentual médio anual de aumento? Para acumularmos aumento de 20%, 12% e 7%, devemos multiplicá‐lo por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os *fatores correspondentes a tais percentuais.

Então: Gx = 3 07,1 . 12,1 . 2,1

Gx = 3 43808,1 = 1,1287 = 12,87%

Use a calculadora científica: Introduza 3 x 1,43808

Um fator de 1,1287 corresponde a 12,87% de aumento. Este é o valor percentual médio anual do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12,87%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%. Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando‐se os sucessivos aumentos temos:

Salário inicial + % informado Salário final // Salário inicial + % médio Salário final

R$ 1.000 20% R$ 1.200 R$ 1.000 12,87% R$ 1.128

R$ 1.200 12% R$ 1.344 R$ 1.128 12,87% R$ 1.274

R$ 1.344 7% R$ 1.438 R$ 1.274 12,87% R$ 1.438

Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média simples no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média simples de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12,87% da média geométrica.

X =

20%

12%

7%

12,87%

0

10

20

30

Porcentagem

%

1999 2000 2001 MédiaAnos

Percentual médio anual dos salários dos operários

- 39 -


*FATOR DE MULTIPLICAÇÃO: É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Exemplo: A gasolina teve um aumento de 15% → Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15, logo: R$115

Se há um acréscimo de 15% a um valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando‐o por 1,15, que é o fator de multiplicação.

EXEMPLO Se o preço da gasolina é R$2,55 e teve aumento de 15%;

então 2,55 *1,15 = R$2,93. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo Fator de Multiplicação 6% 1,06 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

MEDIANA Medida que representa exatamente o valor do MEIO de um conjunto de dados.

Uma desvantagem da Média simples é que ela é sensível a qualquer valor, de modo que um valor excepcional pode afetar drasticamente a média. A Mediana supera grandemente essa desvantagem, pois não é afetada pelos valores extremos. Pelo fato de a Mediana não ser tão sensível a valores extremos, ela é, em geral, usada para conjunto de dados com um número relativamente pequeno de valores extremos. Por exemplo, segundo Triola (2008, p. 65), a agência do Censo dos Estados Unidos registrou recentemente que a renda familiar mediana anual é 36.078 dólares. A mediana foi usada porque há um pequeno número de famílias com renda realmente alta.

A Mediana é o valor que está no meio de tal no sentido de que cerca de metade dos valores no conjunto de dados está abaixo da mediana e metade está acima dela. É representada por Md.

Para encontrar a Mediana basta ordenar os valores e depois siga um dos procedimentos seguintes:

Se o número de valores for ímpar, a mediana será o número localizado no meio exato da lista.

Mediana = 138

Se o número de valores for par, a mediana será encontrada pelo cálculo da média dos dois números do meio.

Mediana = 138 + 140 = 139 2

Para encontrar, por exemplo, a mediana do conjunto de dados {03, 36, 41, 22, 59, 43, 12, 07, 17} NÃO ESQUEÇA DE ORDENÁ‐LOS PRIMEIRO!

- 40 -


MODA Medida que representa o valor que mais se REPETE em um conjunto de dados.

Na linguagem coloquial, moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê bastante! Na Estatística, como o próprio nome sugere, a Moda é aquele elemento que mais vezes aparece no conjunto! (é o elemento de maior freqüência). Sua determinação é simples, como se verá adiante.

Repete uma vez = Moda Repete duas vezes = Bimodal Repete + de duas vezes = Polimodal Não repete = Amodal

Da mesma maneira, a Moda pode ocorrer com dados quantitativos. Exemplo: Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos, conforme abaixo. Determine a Moda.

A Moda será 9,0, pois é a nota que

mais se repete no conjunto de dados.

4,0 5,0 7,0 9,0 9,04,0 5,0 7,0 9,0 9,0 4,0 5,0 7,0 9,0 9,0 4,0 6,0 8,0 9,0 9,0 4,0 6,0 8,0 9,0 9,0

Outro exemplo: Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos, conforme abaixo. Determine a Moda.

A Moda será 4,0 e 7,0, pois são as

notas que mais se repetem. Portanto o conjunto será Bimodal.

4,0 4,0 6,0 7,0 8,04,0 4,0 6,0 7,0 9,0 4,0 5,0 7,0 7,0 9,0 4,0 5,0 7,0 7,0 9,0 4,0 5,0 7,0 8,0 9,0

José Kelly Maria João Mário Kelly Lúcio → Moda = Kelly

José Kelly Maria João Mário Kelly José → Bimodal = Kelly e José

José Kelly Maria João José Kelly José → Moda = José

José Kelly Maria Mário Mário Kelly José → Polimodal = Kelly, José e Mário

José Kelly Maria João Mário Kátia Lúcio → Amodal

5

32

32

10

0

2

4

6

8

10

12

Núm

ero de

aluno

s

4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0Nota


Moda9,0

7

32

7

2

4

0

2

4

6

8

10

12

Núm

ero de

aluno

s

4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0Nota


Bimodal4,0 e 7,0

- 41 -


RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA.

Quando a Média, Mediana e Moda se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de simétrica.

Média = 70(3) + 80(4) + 90(7) + 100(4) + 110(3) = 90

3+4+7+4+3

Mediana = 90 Moda = 90

Quando a Média, Mediana e Moda não se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de assimétrica.

Assimétrica à direita Média = 70(1) + 80(3) + 90(6) + 100(9) + 110(2) = 94

3+4+7+4+3


Assimétrica à esquerda Média = 70(2) + 80(9) + 90(6) + 100(3) + 110(1) = 86

3+4+7+4+3


34

7

43

0

2

4

6

8

10

Quantidade de

veículos


70 80 90 100 110

Velocidade (Km/h)

MédiaMediana Moda

1

3

6

9

2

0

2

4

6

8

10

12

Quantidade de

veículos


70 80 90 100 110 Velocidade (Km/h)

MedianaModa

Média

2

9

6

3

1

0

2

4

6

8

10

12

Quantidade de

veículos


70 80 90 100 110 Velocidade (Km/h)

Mediana Moda

Média

- 42 -


3.2 MEDIDAS DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO)

O termo “variação” sugere tornar vário ou diverso; alterar, diversificar; mudar; ser inconstante; não ser conforme, discrepar. Na maioria dos casos existirá variação em um conjunto de dados, independente da característica que você esteja medindo, pois nem todos os indivíduos terão o mesmo exato valor para todas as variáveis.

EXEMPLO

Durante o ano letivo a Média das notas de João, Mário, Maria e José foi 7,0. Se considerarmos apenas a Média, não notaremos qualquer diferença entre os quatro alunos. No entanto, observa‐se que as notas são muito diferentes em relação a Média. Há variação de notas e, no caso de João e José, é bem discrepante. Veja abaixo:

Diante deste contexto, podemos questionar: qual o aluno é mais estável? Qual teve melhor desempenho? Qual o aluno com pior desempenho? Notadamente o aluno de melhor desempenho é o Mário, pois todas as suas notas foram 7,0 e, portanto, não houve nenhuma variação em relação a Média. Já José e João tiveram o pior desempenho pois suas notas estiveram muito distantes da Média.

Neste capítulo vamos desenvolver maneiras específicas de realmente medirmos a variação, de modo que possamos usar números específicos em lugar de julgamento subjetivo.

Outros exemplos de variações:

Os preços das casas variam de casa para casa, de ano para ano e de estado para estado. Os preços de um produto variam de supermercado para supermercado. O tempo que você leva para chegar ao trabalho varia dia a dia. O tamanho das peças produzidas em uma empresa também varia. A renda familiar varia de família para família, de país para país e de ano para ano. Os resultados das partidas de futebol, de temporada para temporada, variam. As notas que você tira nas provas, não diferente, também variam. Seu saldo bancário também varia, podendo ser de hora em hora, dia a dia, mês a mês.

3,5

6,07,0

9,5 9,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas


Média das notas de João

7,0 7,0 7,0 7,0 7,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas


Média das notas de Mário

6,5 6,5 7,0 7,5 7,5

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas


Média das notas de Maria

4,0

9,5

7,08,5

6,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas


Média das notas de José

Nenhuma variação a partir da Média

Grande variação a partir da Média

Pequena variação a partir da Média

Grande variação a partir da Média

- 43 -


VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO (amostral)

São medidas que representam “um valor médio de variação” em torno da média.

O desvio padrão é um modo que se usa para medir a variabilidade entre os números em um conjunto de dados. Assim como o termo sugere, um desvio padrão é um padrão (ou seja, algo típico) de desvio (ou distância) da média. O desvio padrão é uma estatística importante, mas, frequentemente, é omitida quando os resultados são relatados. Sem ele, você está recebendo apenas uma parte da história sobre os dados. Os estatísticos gostam de contar a história do homem que estava com um dos pés em um balde de água gelada e o outro em um balde de água fervendo. O homem dizia que, na média, ele estava se sentindo ótimo! Mas imagine a variabilidade da temperatura para cada um dos pés. Agora, colocando os pés no chão, o preço médio de uma casa, por exemplo, não lhe diz nada sobre a variedade de preços de casas com a qual você pode se deparar enquanto estiver procurando uma casa para comprar. A média dos salários pode não representar o que realmente está se passando em sua empresa se os salários forem extremamente discrepantes.

Entendendo a Variância e o Desvio Padrão Calculando a Variância e o Desvio Padrão

Desvios em torno da Média das notas de João

No gráfico percebemos que o desvio determina o quanto cada elemento do conjunto de dados se distancia da média 7,0. No 1º Bim. faltam ‐3,5 para se chegar a Média e no 2º Bim. ‐1,0. Já nos 3º e 4º Bim. temos +2,5 e +2,0 acima da média, respectivamente. Transpondo essas informações para uma tabela, temos:

Notas (x)

Média ( x )

Desvios (x ‐ x )

3,5 ‐3,5 6,0 ‐1,0 9,5 2,5 9,0

7,0

2,0 ‐ ‐ ∑=0

Perceba que a soma dos desvios é igual a zero. Esta característica não é exclusiva deste exemplo. Ela sempre ocorre e prende‐se ao fato de que a média é o ponto de equilíbrio em um conjunto de dados. Como os desvios indicam o grau de variação dos valores em relação à média, seria interessante poder encontrar um único número que o representasse. Algo como a média dos desvios. Mas, para fazer essa média, precisamos somar os desvios e acabamos de ver que essa soma é sempre igual a zero.

Este problema foi resolvido pelos matemáticos: basta elevar cada desvio ao quadrado antes de somá‐los. Um número ao quadrado é sempre positivo, portanto a soma não se anula mais, e a média dos desvios ao quadrado pode ser calculada:

Notas (x)

Média ( x )

Desvios (x ‐ x )

Desvios elevado ao quadrado (x ‐ x )2

3,5 ‐3,5 (‐3,5)2 = 12,25 6,0 ‐1,0 (‐1,0)2 = 1 9,5 2,5 (2,5)2 = 6,25 9,0

7,0

2,0 (2,0)2 = 4 n=4 ‐ ∑=0 ∑ = 23,5

Variância amostral Agora podemos calcular a média dos quadrados dos desvios, chamada de Variância, representada por S2:

S2 = ∑ − )( xx 2 →

n ‐ 1

23,5 = 7,8 4 ‐ 1

A divisão por n−1 aparece por fornecer um melhor resultado do que a divisão por n.

Desvio padrão amostral Mas, se elevamos os desvios ao quadrado para poder calcular sua média, não seria correto que agora fizéssemos a raiz quadrada dessa média, para desfazer a potenciação? Sim, e o valor dessa raiz é chamado Desvio padrão, representado por S:

Desvio padrão → S = 8,7 = 2,8

O desvio padrão indica que a maioria das notas de João estão concentradas dentro dos limites de ± 2,8 em torno da média 7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,2 e 9,8.

Fórmula da Variância e do Desvio padrão Podemos concluir, então, o uso das fórmulas:

da Variância

S2 = ∑ − )( xx 2

n ‐ 1

do Desvio padrão

S = 2S

3,5

6,0

7,0

9,5 9,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

Notas


‐3,5 ‐1,0

2,5

2,0

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Interpretação do Desvio padrão O desvio padrão é sempre um valor que está na mesma unidade dos dados originais. Um desvio padrão pequeno, basicamente, significa que os valores do conjunto de dados estão, na média, próximos do centro desse conjunto, enquanto um desvio padrão grande significa que os valores do conjunto de dados estão, na média, mais afastados do centro. Então, quanto mais espalhados ou dispersos forem os dados, maior será o desvio padrão e, quanto mais concentrados ou homogêneos forem os dados, menor será o desvio padrão. Se os valores forem iguais, ou seja, sem variação, o desvio padrão será zero. Um desvio padrão pequeno pode ser um bom objetivo em determinadas situações, onde os resultados são restritos, como exemplo, na produção e no controle de qualidade de uma indústria. Uma determinada peça de carro que deve ter centímetros de diâmetro para encaixar perfeitamente não pode apresentar um desvio padrão grande, nesse caso, significaria que acabariam sendo jogadas fora, pois ou não se encaixariam adequadamente ou os carros teriam problemas. Observe que o desvio padrão das notas de João indica que estão concentradas dentro dos limites de ± 2,4 em torno da média 7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,6 e 9,4. Isto representa um desvio padrão grande.

Calculando a Variância e o Desvio padrão das notas de Maria, José e Mário – passo a passo

Notas de Maria (x) 6,5 6,5 7,5 7,5 1º Calcular a Média

n

xx

∑=

x = 6,5+6,5+7,5+7,5 4

=x 428 → 7,0

2º Calcular a Variância

S2 = 1

)( 2

−

−∑n

xx

S2 = (6,5 – 7,0)2 + (6,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2 4 – 1

S2 = (– 0,5)2 + (– 0,5)2 + (0,5)2 + (0,5)2 = 0,33 3

3º Calcular o Desvio padrão

S = 2S

S = 33,0

S = 0,5

Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de Maria estão concentradas dentro dos limites de ± 0,5 em torno da Média 7,0. Ou seja, se concentrando entre 6,5 e 7,5.

Notas de José (x) 4,0 9,5 8,5 6,0

1º Calcular a Média

n

xx

∑=

x = 4,0+9,5+8,5+6,5 4

=x 428 → 7,0


S2 = 1

)( 2

−

−∑n

xx

S2 = (4,0 – 7,0)2 + (9,5 – 7,0)2 + (8,5 – 7,0)2 + (6,0 – 7,0)2 4 ‐ 1

S2 = (–3,0)2 + (2,5)2 + (1,5)2 + (–1,0)2 = 6,16 3


S = 2S

S = 16,6

S = 2,5

Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de João estão concentradas dentro dos limites de ± 2,5 em torno da Média 7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,5 e 9,5.

Notas de Mário (x) 7,0 7,0 7,0 7,0

1º Calcular a Média

n

xx

∑=

x = 7,0+7,0+7,0+7,0 4

=x 428 → 7,0


S2 = 1

)( 2

−

−∑n

xx

S2 = (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 = 0 4 ‐ 1


S = 0

Interpretação: O resultado indica que todas as notas de João estão dentro do limite de ± 0 em torno da Média 7,0. Ou seja, se concentrando exatamente na média 7,0. Portanto, sem variação.

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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO É a medida relativa de variação que é sempre expressa sob a forma de

porcentagem (%).

Em algumas situações, podemos estar interessados em uma estatística que indique qual é o tamanho do desvio padrão em relação à média. A melhor forma de representá‐la é através do coeficiente de variação por ser expressa na forma de porcentagem.

O coeficiente de variação, representado por Cv, é calculado da seguinte maneira:

Cv = S x 100%

x Ou seja:

CV = Desvio padrão x 100% Média

Exemplo: Considerando a Média 7,0 de João e o Desvio padrão de 2,8, temos:

Cv = S x 100% →

x

Cv = 2,8 x 100% → 40% 7,0

O resultado indica que a Média 7,0 de João teve um desvio padrão em torno de 40%.

Fazendo a Distribuição de Variabilidade das notas de João, Maria, José e Mário, temos:

Alunos

Média ( x )

Desvio padrão (S) Cv (%) Memória de cálculo

de Cv (%)

João 2,8 40% → 2,8/7,0 x 100 Maria 0,5 7% → 0,5/7,0 x 100 José 2,5 36% → 2,5/7,0 x 100 Mário

7,0

0 0% ‐

Assim, podemos concluir que o desempenho dos alunos será: 1º ‐ Mário 2º ‐ Maria 3º ‐ José 4º ‐ João

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIANS, Thomas A. Estatística aplicada à administração e economia. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 597 p. BRUNI, Adriano Leal. Estatística para concursos. São Paulo: Atlas, 2008. 197p. COSTA, Sérgio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 4 ed. São Paulo: Harbra, 2005. 399 p. CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 17 ed. São Paulo: Saraiva, 1999. 224 p. FARIAS, Alfredo Alves et al. Introdução à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003, 320 p. GIOVANNI José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática fundamental: uma nova abordagem – volume único. São Paulo: FTD, 2002. 712 p. HAZZAN, Samuel. Fundamentos da matemática elementar: Matemática financeira, comercial e estatística descritiva. Volume 11. 1 ed. São Paulo: Atual editora, 2004. 230p. HELP! Sistema de consulta interativa. Matemática. Rio de Janeiro: O globo, 1997. 319 p. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE. A instituição. Disponível em <http://www.ibge.gov.br/home/disseminacao/eventos/missao/default.shtm>. Acesso em 06 abr 2010. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. 476 p. LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 4 ed. São Paulo: Pearson, 2010. 637 p. LEVINE, David M. et al. Estatística: teoria e aplicações. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 752 p. LOPES, Paulo Afonso. Probabilidade e estatística: conceitos, modelos e aplicações em Excel. Ernesto Reichmann, 1999. 174 p. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 465 p. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica e probabilidade. 7 ed. São Paulo: Makron books,1999. 209 p. OLIVEIRA, Uanderson Rebula de. Ergonomia, higiene e segurança do trabalho. Resende-RJ: Apostila. Universidade Estácio de Sá, 2009. 199 p.. Resumão – estatística. 2 ed. São Paulo: Barros, fischer & Associados, novembro 2006. 6 p. RUMSEY, Deborah. Estatística para leigos. Rio de Janeiro: Alta books, 2009. 350 p. SILVA, Ermes Medeiros et al. Estatística: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis - volume 1. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1996. 189 p. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática–ensino médio. 5 ed. São Paulo: Saraiva, 2005. 558p. TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 696 p. VASCONCELLOS, Maria José Couto; SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha; CÂNDIDO, Suzana Laino. Coleção Matemática. 1ª e 3ª série do ensino médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2004. 232 p. WERKEMA, Maria Cristina Catarino. As ferramentas da qualidade no gerenciamento dos processos. Belo Horizonte: EDG, 1995. 128 p.

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SITES PARA CONSULTA www.brasilescola.com Instituto de pesquisa econômica aplicada - http://www.ipea.gov.br Instituto brasileiro de geografia e estatística - http://www.ibge.gov.br Associação Brasileira de Estatística - http://www.ime.usp.br/~abe/ www.ibope.com.br

ANEXO I - LIVROS RECOMENDADOS

Um livro introdutório de estatística que inclui um estilo de escrita amigável, conteúdo que reflete as características importantes de um curso introdutório moderno de estatística, o uso da tecnologia computacional mais recente, de conjuntos de dados interessantes e reais, e abundância de componentes pedagógicos. O CD-ROM inclui os conjuntos de dados do Apêndice B do livro. Esses conjuntos de dados encontram-se armazenados em formato texto, planilhas do Minitab, planilhas do Excel e uma aplicação para a calculadora TI-83. Inclui também programas para a calculadora gráfica TI-83 Plus®, o Programa Estatístico STATDISK (Versão 9.1) e um suplemento do Excel, desenvolvido para aumentar os recursos dos programas estatísticos do Excel.

Este livro diferencia-se dos tradicionais livros, materiais de referência e manuais de estatísticas, pois possui: Explicações intuitivas e práticas sobre conceitos estatísticos, ideias, técnicas, fórmulas e cálculos. Passo a passo conciso e claro de procedimentos que intuitivamente explicam como lidar com problemas estatísticos. Exemplos interessantes do mundo real relacionados ao cotidiano pessoal e profissional. Respostas honestas e sinceras para perguntas como “O que isso realmente significa?” e “Quando e como eu vou usar isso?” Neste livro você encontrará: Explicações em português de fácil entendimento. Informações fáceis de localizar e passo-a-passo. Ícones e outros recursos de identificação e memorização. Folha de cola para destacar com informações práticas. Listas dos 10 melhores relacionados ao assunto. Um toque de humor e diversão.

Onde comprar: www.submarino.com.br

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ANEXO II - SOFTWARE BIOESTAT

Texto extraído da tese de doutorado em Engenharia de Ualison Rebula de Oliveira

Existem inúmeros recursos tecnológicos para a análise estatística de dados, que vão desde calculadoras, a exemplo da TI – 83 PLUS, a aplicativos específicos, tais como o STATDISK e o MINITAB (TRIOLA, 2005). Assim, buscando‐se recursos computacionais que facilitassem o tratamento de dados, vários aplicativos e softwares estatísticos foram pesquisados, dos quais se destacam a planilha Excel, o STATDISK, o MINITAB, o BioEstat, o SPSS e algumas páginas na Internet que oferecem programas em Javascript para cálculos on‐line, a exemplo da página na Internet www.stat.ucla.edu. Após análise de pós e contras de cada aplicativo pesquisado, selecionou‐se o pacote estatístico BioEstat, disponível para download no site www.mamiraua.org.br, por possuir as seguintes características positivas: i) serventia tanto para a Estatística descritiva como para testes estatísticos não‐paramétricos; ii) ser em português; iii) possuir manual em PDF com diversos exemplos; iv) ser de fácil utilização; v) ser gratuito; vi) ser referenciado em vários livros, sites e entidades de pesquisa – conforme Siegel & Castellan Junior (2006), o BioEstat é o melhor programa disponível na atualidade para o cálculo do qui‐quadrado; vii) possuir apoio do CNPQ; e viii) estar na versão 5.0 e possuir mais de 20 anos de criação.

INTERFACE BIOESTAT

Baixar software: www.mamiraua.org.br

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Anexo III - ESTATÍSTICA NO EXCEL O Excel dispõe da função “Estatística”. Assim, tudo que vimos poderá ser desenvolvido pelo excel, bastando inserir os valores da variável de interesse.

Para saber mais, basta adquirir o livro “Estatística usando o excel”, de Juan Carlos Lapponi. WWW.SUBMARINO.COM.BR

4ª Edição, Edição 2005, 496 págs. Editora Elsevier Campus ‐ Acompanha CD‐ROM com Planilhas, Modelos, Simuladores etc. para Excel. O conteúdo deste livro é útil para: Estudantes que cursam Estatística nas diversas áreas do conhecimento e em diferentes níveis de graduação como, em ordem alfabética, Administração, Biologia, Contabilidade, Economia, Engenharia, Finanças, Marketing, Medicina, etc. Estudantes que necessitam aprimorar ou complementar seus conhecimentos de Estatística utilizando o Excel. Profissionais das diversas áreas que utilizam os conceitos de Estatística e necessitam, ou gostariam, de utilizar as funções estatísticas, as ferramentas de análise, planilhas, modelos e simuladores de estatística em Excel. Todos aqueles que poderão utilizar as planilhas, modelos e simuladores de estatística em Excel da forma como estão no CD‐Rom, ou modificando‐os, para atender às suas necessidades. Alunos de áreas correlatas que utilizarão estatística e

desejam antecipar seu aprendizado e agregar valor ao seu conhecimento visando o mercado de trabalho. Usuários de Excel que desejam conhecer e aprender a utilizar os recursos de Estatística disponíveis. TÓPICOS • DADOS, VARIÁVEIS E AMOSTRAS • DESCRIÇÃO DE AMOSTRAS COM TABELAS E GRÁFICOS • MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL • MEDIDAS DE DISPERSÃO/VARIAÇÃO • PROBABILIDADE • CORRELAÇÃO • VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS • DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS • COMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS • DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL • ESTIMAÇÃO • TESTE DE HIPÓTESES • TESTES DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS • ANÁLISE DA VARIÂNCIA • REGRESSÃO LINEAR • AJUSTE NÃO LINEAR

Engineering

1 apostila de estatística eng.2010