Text of 2013 simulacao 3 d_por_dipolos_magnéticos_henriquegasparoto_2013
1. Henrique Fagundes Gasparoto Simulao Magnetosttica 3D por
Dipolos Magnticos Equivalentes 47/13 CAMPINAS 2013 i
2. Ficha catalogrfica Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca da rea de Engenharia e Arquitetura Rose Meire da Silva -
CRB 8/5974 Gasparoto, Henrique Fagundes, 1984- G213s GasSimulao
magnetosttica 3D por dipolos magnticos equivalentes / Henrique
Fagundes Gasparoto. Campinas, SP : [s.n.], 2013. GasOrientador:
Luiz Otvio Saraiva Ferreira. GasDissertao (mestrado) Universidade
Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecnica. Gas1.
Magnetismo - Simulao por computador. 2. Magnetosttica. 3. Dipolos
magnticos. 4. Ampre, Fora de. 5. Clculos numricos - Programas de
computado. I. Ferreira, Luiz Otvio Saraiva,1956-. II. Universidade
Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecnica. III. Ttulo.
Informaes para Biblioteca Digital Ttulo em outro idioma:
Magnetostatics simulation by equivalent magnetic dipoles
Palavras-chave em ingls: Magnetism - Computer simulation
Magnetostatics Magnetic dipoles Ampre's force Numerical
calculations - Computer programs rea de concentrao: Mecnica dos
Slidos e Projeto Mecnico Titulao: Mestre em Engenharia Mecnica
Banca examinadora: Luiz Otvio Saraiva Ferreira [Orientador] Renato
Pavanello Samuel Euzdice de Lucena Data de defesa: 02-07-2013
Programa de Ps-Graduao: Engenharia Mecnica Powered by TCPDF
(www.tcpdf.org) iv
3. Dedicatria Dedico este trabalho aos autores da minha criao e
formao at aqui: a Deus, minha famlia, ao meus amigos, aos meus
professores e sociedade brasileira. vii
4. Agradecimentos Agradeo s pessoas que me construram, que me
afetaram e me inspiraram com suas qualidades, suas atitudes, seus
pensamentos. Ao meu orientador por me permitir perceber o quo
importante ter, em qualquer poca do apren- dizado, um guia que
compartilha vises mais longnquas. Ao professores das disciplinas de
ps graduao da FEM que compartilharam comigo aulas enri- quecedoras
e desaos que me permitiram transcender minhas competncias. A todos
os meus demais professores que empenharam tempo e energia na
ampliao do meu saber. Ao Dr. Giancarlo Tosin (LNLS, Laboratrio
Nacional de Luz Sncrotron), membro suplente da banca examinadora,
pela atenciosa avaliao do texto e importantes apontamentos,
considerados na construo da verso nal. Aos funcionrios da Unicamp
que cordialmente me auxiliaram na utilizao da estrutura que a
universidade oferece. minha famlia, pela vida de aprendizado
conjunto e pelo conforto que conferem minhalma. minha me Zenilda,
primeira e mais importante professora que me ensinou dentre tantas
outras coisas: acreditar sem medida, dar ateno aos desfavorecidos e
exercitar a solidariedade, e que conhecimento necessrio vida tanto
quo po e gua. minha esposa Bianka pelo carinho, companheirismo,
pela conana, por me ajudar a compor um cenrio mais adequada para o
desenvolvimento deste trabalho e por revelar o melhor em mim. Aos
meus irmos Bruno e Rodrigo, e ao meu pai Altair que sempre
acreditaram indubitavelmente. Aos amigos que a vida me presenteou e
que com o tempo permaneceram, por me conferirem completude.
sociedade brasileira que mantem com seus impostos a estrutura do
ensino pblico, em especial a to importante Universidade Estadual de
Campinas: local de bons semeadores e boas sementes para uma nao
melhor. ix
5. Amai-vos uns aos outros, como eu vos amo. Ningum tem maior
amor do que aquele que d a sua vida por seus amigos. Joo 15:12-13
Eu quero saber como Deus criou este mundo. No estou interessado
neste ou naquele fenmeno, no espectro deste ou daquele elemento. Eu
quero conhecer os pensamentos Dele, o resto so detalhes. Albert
Einstein xi
6. RESUMO Motivado pelo projeto de dispositivos
magnetomecnicos, este trabalho consiste na mode- lagem e simulao
macroscpicas de corpos constitudos de materiais magnticos, em
frequncia nula, representados por arranjos de dipolos magnticos
elementares em interao mtua, baseando- se no mtodo das fontes
equivalentes (ESM, Equivalent Source Methods). O objetivo de
modela- gem e simulao se divide basicamente: na determinao do campo
magntico - inclusive com o traado das linhas de induo magntica; na
determinao da fora magntica e na obteno do torque magntico sobre os
corpos. A soluo da fora magntica e do torque magntico garante o elo
de interao do magnetismo com a mecnica, permitindo assim o estudo
de dispositivos mag- netomecnicos tais como acoplamentos e mancais
magnticos passivos. Os corpos contemplados no estudo so do tipo m
permanente, ferromagntico mole, paramagntico ou diamagntico. Um
simulador denominado DipMag foi implementado em MATLAB . Casos de
sistemas magnetostti- cos foram reproduzidos para a validao do
simulador. Foram considerados sistemas com modelos algbricos, um
sistema com modelo fenomenolgico, e sistemas com modelos numricos,
inclusive com o uso do software FEMM. Constam casos como a
determinao da fora e torque magntico entre ms paralelepipedais,
atrao entre m e corpos ferromagntico mole e paramagntico, e a
repulso entre m e corpo diamagntico. Em especial, na modelagem e
simulao para compara- o com o caso experimental, onde um m
paralelepipedal foi utilizado, obteve-se a polarizao magntica
equivalente com o uso de um medidor de campo magntico (Gaussmeter
ou Teslameter) juntamente com formulao analtica (modelo de
Coulomb). Diante das comparaes o simulador DipMag foi bem sucedido
na determinao do campo magntico externamente aos corpos, na ob-
teno da fora magntica e do torque magntico sobre os corpos. Tendo
em vista a forma adotada de representao magntica dos corpos, com a
discretizao em dipolos magnticos dispostos em esferas, espera-se
que o simulador DipMag possa evoluir da simulao esttica para a
simulao dinmica, inclusive com acoplamento a mtodos de partculas
(por exemplo o DEM, Discrete Ele- ment Method). Contudo, espera-se
ainda que, no futuro, o desempenho do DipMag seja melhorado com o
uso do FMM (Fast Multipole Method) e com o processamento paralelo
em GPUs. Palavras-chave: Magnetomecnica; Magnetosttica; Mtodo dos
Dipolos Magnticos Equivalen- tes; Clculo de Fora Magntica; Clculo
de Torque Magntico; Traado das Linhas de Campo Magntico. xiii
7. ABSTRACT Aiming magnetomechanical devices projects, this
master thesis approaches the modeling and macroscopic simulation of
bodies composed by basic magnetic materials at null frequency,
represented by arrays of elementary magnetic dipoles in mutual
interaction, based on the equiva- lent sources method (ESM). The
objectives are: determination of the magnetic eld - including
mapping of magnetic induction lines, and computation of force and
magnetic torque on bodies. The solution of force and magnetic
torque ensures the interaction bond between magnetism and
mechanics, allowing the study of magnetomechanical devices such as
passive magnetic bearings and couplings. The kinds of materials
included in this study are: permanent magnets, soft ferromagnetic,
paramagnetic or diamagnetic. A simulator called DipMag was
implemented in MATLAB . Cases of magnetostatic systems were
reproduced to validate the simulator. Were considered: systems with
algebraic models, phenomenological models and numerical models,
including the use of the FEMM simulator. Were studied the
determination of force and magnetic torque between parallelepipedal
magnets, the attraction between a magnet and a soft ferromagnetic
and a paramagnetic bodies, and repulsion between a magnet and a
diamagnetic body. When in modeling and simulating for comparing our
method to the experimental case where a parallelepi- pedal magnet
was used, its equivalent magnetic polarization was calculated from
measumerents using a magnetic eld meter (Teslameter or Gaussmeter)
together with analytical formulation (Coulombian model). Our DipMag
simulator was successful on determining magnetic eld outside the
bodies, obtaining the magnetic force and torque on the magnetic
bodies. The method used for representing the magnetic bodies by
magnetic dipoles in spheres, opens a pathway for DipMag simulator
evolution, from static simulation to dynamic simulation, including
the coupling with particle methods like DEM (Discrete Element
Method). And it is expected that the DipMag simulator performance
can be improved by using FMM (Fast Multipole Method) with parallel
processing on GPUs (Graphics Processing Unit). Keywords:
Magnetomechanics; Magnetostatics; Equivalent Magnetic Dipole
Method; Magnetic Force Computation; Magnetic Torque Computation;
Plotting Magnetic Field Lines. xv
8. Lista de Ilustraes 2.1 Duas espiras de corrente. Determinao
da fora (SADIKU, 2004). . . . . . . . . . 9 2.2 Geometria relativa
a dois dipolos magnticos (YUNG; LANDECKER; VILLANI, 1998). . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 11 3.1 Cilindro magnetizado por correntes eltricas
elementares (adaptado de Tipler e Mosca (2005)). . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Sntese
do modelo das correntes ctcias de Ampre, em um material com magne-
tizao homognea (adaptado de Tipler e Mosca (2005)). . . . . . . . .
. . . . . . 20 4.1 Linha de induo em cada ponto tangente aos
vetores induo magntica B (USP, 2004). . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2
Semelhana dos tringulos formados pelo vetor induo magntica e seus
com- ponentes; e o deslocamento elementar sob a linha de campo e
seus componentes (adaptado de Sadiku (2004)). . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 Erro na mudana de direo
da tangente linha de campo. . . . . . . . . . . . . . 28 5.1
Representao de um m permanente polarizado verticalmente por
superfcies com cargas magnticas: modelo de Coulomb (YONNET, 1996).
. . . . . . . . . . . . . 31 5.2 Disposio geomtrica de ms
paralelepipedais, com magnetizaes verticais per- pendiculares s
faces horizontais dos ms (AKOUN; YONNET, 1984; YONNET; ALLAG,
2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 32 5.3 m paralelepipedal com seus vrtices indicados por
suas coordenadas em funo dos parmetros binrios: (i, k, p) para o
primeiro m (inferior na Figura 5.2) e (j, l, q) para o segundo m
(superior na Figura 5.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.4
Disposio de ms paralelepipedais para clculo de foras. As faces dos
ms so paralelas. O m inferior tem faces 2A, 2B e 2C. O m superior
tem faces 2a, 2b e 2c. 37 5.5 O m superior apresenta deslocamentos
d assumindo posies nas quais a fora entre os ms paralelepipedais
ser avaliada: deslocamento mximo dmax = 30 com a posio x = [4; 26]
mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.6
Resultado grco da fora magntica Fx e Fy em funo do deslocamento d,
para o clculo analtico e pontos experimentais (AKOUN; YONNET,
1984). Os pontos experimentais so representados por cruzes e o
clculo analtico representado por linhas contnuas. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 xvii
9. 5.7 Grco dos resultados do exemplo de Akoun e Yonnet (1984)
refeito com a deter- minao de Fz(d). Os valores calculados podem
ser observados na Tabela 7.25 para Fx(d), na Tabela 7.26 para Fy(d)
e na Tabela 7.27 para Fz(d). . . . . . . . . . . . . 39 5.8
Disposio de ms cbicos para o exemplo de clculo de torque. Os dois
ms possuem as mesmas coordenadas x e y para seus vrtices e seus
centros geomtricos esto distantes 20 mm no eixo z. Desta forma h a
presena de uma lacuna de ar de altura h = 10 mm. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.9 Deslocamento
d proposto para avaliao da variao do torque entre ms cbicos: dmax =
40 com x = [20; 20] mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 43 5.10 Resultado grco do torque magntico Ty em funo do
posicionamento em x, para o clculo analtico e resultados numricos
com o FLUX3D (ALLAG; YONNET, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.11 Grco dos
resultados do exemplo de Allag e Yonnet (2009) refeito. A curva
equivalente quela obtida com o clculo analtico original cujo
resultado est apre- sentado na Figura 5.10, indicando assim a
validao das equaes aqui utilizadas. Os valores calculados para Ty
podem ser observadas na Tabela 7.29. . . . . . . . . 45 5.12
Geometria do m paralelepipedal que produz a induo magntica B no
ponto P (adaptado de Yonnet e Allag (2009)). Os vrtices do m
paralelepipedal so caracterizados por suas coordenadas em funo dos
parmetros binrios (i, j, k). . . 46 5.13 Fotograa do aparato
experimental para medio da fora entre um m cbico e uma esfera de
ao, com espaamento de uma chapa de alumnio: vista lateral. . . . 48
5.14 Desenho em perspectiva do aparato experimental para medio da
fora entre um m cbico e uma esfera de ao, com espaamento de trs
chapas de alumnio, apresentadas sob corte parcial. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.15 Visualizao somente
do m cbico, da esfera de ao e dos espaadores de alu- mnio nas seis
conguraes para a medio da fora magntica, com o aparato apresentado
na Figura 5.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 50 5.16 Grco da fora magntica mdia observada em funo do
espaamento d entre o m cbico e a esfera de ao. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.17 Grco de 1/ 4 F(d)
para pontos experimentais e reta ajustada com parmetros da Tabela
5.5 (a + b d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 52 5.18 Grco da funo F(d) (Equao (5.35)) ajustada s
medidas de fora magntica observadas no experimento. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 xix
10. 5.19 Arranjos para a medio da induo magntica a pequenas
distncias d do centro da face norte do m cbico. Os mesmos
espaadores de alumnio usados para a medio da fora magntica foram
usados na medio da induo magntica. . . . 54 5.20 Grco da induo
magntica observada a distncias d. . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.21 Grco de 1/ 3 B(d) para pontos do experimento e reta encontrada
com parmetros da Tabela 5.7 (a + b d). . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.22 Grco da funo B(d) (Equao
(5.37)) ajustada s medidas de induo magntica observadas no
experimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 57 5.23 Grco da induo magntica Bcalc em funo da coordenada z
e da polarizao Jexp. 59 5.24 Grco da diferena de rea A em funo da
polarizao do m utilizado no experimento Jexp. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.25 Grco de
comparao entre a induo magntica calculada Bcalc e a induo mag-
ntica medida no experimento Bexp, em funo da cota z. Coeciente de
determi- nao entre as curvas R2 = 0.9150. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 61 5.26 Arranjos para a medio da fora
magntica entre m cilndrico e esfera para- magntica e diamagntica.
Cilindro com dimetro = 10 [mm] e comprimento L = 20 [mm] e esfera
tambm com dimetro = 10 [mm]. . . . . . . . . . . . . 62 5.27
Valores da Induo magntica B tomadas a distncias dz =]0; 10] mm nas
proximi- dades do polo norte do m cilndrico de NdFeB, a partir da
simulao no software FEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.28 Resultado grco da
simulao de um m cilndrico de NdFeB, no FEMM. Le- genda a direita
indicando a colorao correspondente aos valores do mdulo da induo
magntica. Simulao com simetria axial (axisymmetric) tendo como con-
torno um arco com raio R = 5 cm, cuja condio de contorno emula o
espao aberto de acordo com as orientaes indicadas em Meeker (2006,
p. 5). . . . . . . . 65 5.29 Grco do mdulo das foras entre o m
cilndrico e a esfera paramagntica de gadolnio, obtidas nas simulaes
com o programa FEMM, para as disposies apresentadas na Figura 5.26.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.30
Resultado da simulao no FEMM da interao magntica entre um m
cilndrico e uma esfera paramagntica de gadolnio, distantes 6 mm.
Legenda a direita in- dicando a colorao correspondente aos valores
do mdulo da induo magntica. Simulao com simetria axial
(axisymmetric) tendo como contorno um arco com raio R = 7.5 cm,
cuja condio de contorno emula o espao aberto de acordo com as
orientaes indicadas em Meeker (2006, p. 5). . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 68 xxi
11. 5.31 Grco do mdulo das foras entre o m cilndrico e a esfera
diamagntica, obti- das nas simulaes com o programa FEMM, para as
disposies apresentadas na Figura 5.26. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.32 Resultado
da simulao no FEMM da interao magntica entre um m cilndrico e uma
esfera diamagntica, em contato. Legenda a direita indicando a
colorao correspondente aos valores do mdulo da induo magntica.
Simulao com si- metria axial (axisymmetric) tendo como contorno um
arco com raio R = 7.5 cm, cuja condio de contorno emula o espao
aberto de acordo com as orientaes indicadas em Meeker (2006, p. 5).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1 Momentos
magnticos em um dado volume (LOWRIE, 2007). . . . . . . . . . . .
74 6.2 Cubo representado por dipolos magnticos em esferas. . . . .
. . . . . . . . . . . 75 6.3 Paraleleppedo representado por (a) ms
elementares e (b) laos de corrente eltrica elementares (LOWRIE,
2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.4 Corpo cbico representado por dipolos magnticos em esferas e um
nico dipolo magntico em uma esfera externa. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 83 6.5 Corpos cbicos representados por
dipolos magnticos em esferas. . . . . . . . . . . 83 6.6
Paraleleppedo reto seccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 85 6.7 Cilindro reto seccionado. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.8 Esferas
dispostas em uma seo circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 88 6.9 Esferas dispostas em uma circunferncia j interna
seo circular. . . . . . . . . . 89 6.10 Trecho de tubo seccionado.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.11
Esferas dispostas em um aro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 92 6.12 Esfera seccionada. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.13 Relaes
entre RS, RE, Rdip e zS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 96 6.14 Cone seccionado. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.15 Toroide seccionado. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99 6.16 Cunha seccionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 100 6.17 Grco do nmero total de dipolos
nP em funo do raio dos dipolos Rdip, para um cubo de lado igual a
10 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103 6.18 Comparao entre tempos de processamento em CPU e GPU para:
avaliao direta, FMM e Treecode (BARBA; YOKOTA, 2010). . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 106 7.1 m cbico representado por quatro
aglomerados de dipolos magnticos em esferas com diferentes raios:
2.5 mm, 1.25 mm, 1.0 mm e 0.5 mm. . . . . . . . . . . . . 110
xxiii
12. 7.2 Grco de comparao entre os valores de induo magntica
obtidos experimen- talmente Bexp e os valores obtidos com o
simulador DipMag para o m modelado por 8, 64, 125, 1000, 8000 e
125000 dipolos. Pode-se observar a melhor deli- dade da simulao com
o experimento quando o raio dos dipolos menor, devido hiptese de
campo distante adotada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 112 7.3 Grco de comparao entre os valores de induo magntica
obtidos por clculo analtico Bcalc e os valores obtidos com o
simulador DipMag para o m modelado por 8, 64, 125, 1000, 8000 e
125000 dipolos. Pode-se observar a melhor delidade da simulao com a
modelagem algbrica (modelo de Coulomb) quando o raio dos dipolos
menor, devido hiptese de campo distante adotada. . . . . . . . . .
. . 113 7.4 Grco de comparao entre a curva de induo magntica
ajustada aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores
calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o
programa DipMag para o m modelado por 8 dipolos. . . . . 114 7.5
Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos
pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados
analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa
DipMag para o m modelado por 64 dipolos. . . . 115 7.6 Grco de
comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos
experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m
modelado por 125 dipolos. . . 116 7.7 Grco de comparao entre a
curva de induo magntica ajustada aos pontos experimentais (Bexp),
entre os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos
obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 1000 dipolos. .
. 117 7.8 Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada
aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados
analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa
DipMag para o m modelado por 8000 dipolos. . . 118 7.9 Grco de
comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos
experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m
modelado por 125000 dipolos. 119 7.10 Resultado grco do traado das
linhas de induo magntica do m cbico repre- sentado por 125 dipolos
magnticos equivalentes, no programa DipMag. . . . . . . 122 7.11 m
cbico representado por 125 dipolos e esfera de ao representada por
501 di- polos na simulao FDipMag125x501. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 123 7.12 m cbico representado por 1000
dipolos e esfera de ao representada por 1000 dipolos na simulao
FDipMag1000x1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
xxv
13. 7.13 Curva M(H) para esferas constitudas do ao cromo AISI
52100 (SHAH et al., 2011).126 7.14 Curva M(H) e B(H) para esferas
constitudas do ao cromo AISI 52100. . . . . . 128 7.15 Grco dos
resultados das foras obtidas nas simulaes com o programa DipMag em
comparao com os resultados obtidos experimentalmente. . . . . . . .
. . . . 130 7.16 Resultado grco do traado das linhas de induo
magntica da interao, com d = 2 mm, entre um m cbico de NdFeB e uma
esfera de ao AISI 52100, modelados por dipolos magnticos
equivalentes, no programa DipMag. . . . . . . . 132 7.17 Resultado
grco do traado das linhas de induo magntica da interao, com d = 4
mm, entre um m cbico de NdFeB e uma esfera de ao AISI 52100,
modelados por dipolos magnticos equivalentes, no programa DipMag.
Parte das linhas que emanam do hemisfrio superior da esfera de ao
aparecem com traado interrompido pelo limite da gura: a continuao
destas tem como destino o polo sul do m cbico. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.18 Exemplo
de discretizao de m cilndrico e esfera no simulador DipMag. . . . .
. 134 7.19 Coeciente de desmagnetizao para ms cilndricos com
magnetizao axial (PARKER, 1990). . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.20 Representao do m
cilndrico no simulador DipMag por 160 dipolos magnticos
equivalentes, com mz = 10.033 [mA.m2 ]. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 137 7.21 Grco de comparao entre os valores de induo
magntica obtidos numerica- mente BFEMM e os valores obtidos com o
simulador DipMag para o m modelado por 20, 160, 1500, 12280 e 99600
dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.22 Grco
de comparao entre os valores de induo magntica obtidos numerica-
mente com o FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa
DipMag para o m cilndrico modelado por 20 dipolos de raio Rdip =
2.0 mm. . . . . . . . . . 141 7.23 Grco de comparao entre os
valores de induo magntica obtidos numerica- mente com o FEMM (BFEMM
) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m cilndrico
modelado por 160 dipolos de raio Rdip = 1.0 mm. . . . . . . . . .
142 7.24 Grco de comparao entre os valores de induo magntica
obtidos numerica- mente com o FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos
com o programa DipMag para o m cilndrico modelado por 1500 dipolos
de raio Rdip = 0.5 mm. . . . . . . . . 143 7.25 Grco de comparao
entre os valores de induo magntica obtidos numerica- mente com o
FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m
cilndrico modelado por 99600 dipolos de raio Rdip = 0.125 mm. . . .
. . . 144 xxvii
14. 7.26 Esquerda: m cilndrico representado por 504 dipolos e
esfera representada por 599 dipolos na simulao FDipMag504x599.
Direita: m cilndrico representado por 1008 dipolos e esfera
representada por 1000 dipolos na simulao FDip- Mag1008x1000. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148 7.27 Grco de comparao entre os resultados de foras entre m
cilndrico e esfera paramagntica de gadolnio, obtidas nas simulaes
com o programa FEMM e com o simulador DipMag. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.28 Grco de
comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e esfera
diamagntica hipottica, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e
com o simulador DipMag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 153 7.29 ms paralelepipedais representados
por aglomerados de dipolos magnticos em esferas, com Rdip = 1.0 mm.
Existncia de um air gap entre os corpos com altura h = 2 mm. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 155 7.30 Grco de comparao entre os resultados (pontos) obtidos
nas simulaes com o programa DipMag e as curvas calculadas
analiticamente com a proposta de Akoun e Yonnet (1984). . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.31 Resultado grco do traado das linhas de induo magntica da
interao entre dois ms paralelepipedais, modelados por dipolos
magnticos equivalentes, no pro- grama DipMag. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.32 ms
cbicos representados por aglomerados de dipolos magnticos em
esferas, com polarizao vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 163 7.33 Grco de comparao entre os
resultados (pontos) obtidos nas simulaes com o programa DipMag e as
curvas calculadas analiticamente com a proposta de Allag et al.
(2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 166 7.34 Resultado grco do traado das linhas de
induo magntica da interao entre dois ms cbicos, modelados por
dipolos magnticos equivalentes, no simulador DipMag. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167 A.1 Experincia de ersted (USP, 2004). . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 184 A.2 Campo magntico em torno de um o
conduzindo corrente eltrica (LOWRIE, 2007).184 A.3 Campo magntico
elementar dH devido ao elemento de corrente Idl (adaptado de
Jackson (1962)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 185 A.4 ms partidos sempre geram novos ms com
polos norte e sul (baseado em Sadiku (2004)). . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
xxix
15. B.1 Nuvem eletrnica orbitando o ncleo atmico (baseado em
Konrad e Chanberlain (1987)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 B.2 Movimento orbital
do eltron em torno do ncleo atmico e em uma espira (baseado em
Konrad e Chanberlain (1987)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 195 B.3 Dipolo magntico pelo movimento orbital do
eltron. . . . . . . . . . . . . . . . . 195 B.4 Dipolo magntico
pelo movimento spin do eltron (baseado em Konrad e Chanber- lain
(1987)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 196 B.5 Dipolos no tomo (baseado em Konrad e
Chanberlain (1987)). . . . . . . . . . . . 197 B.6 Grco da
magnetizao M num material diamagntico em funo do campo mag- ntico H
aplicado (adaptado de Butler (1992)). . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 198 B.7 Comportamento do uxo magntico diante de um material
diamagntico envolto pelo espao livre (LAPLACE.US.ES, 2009). . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.8 Grco da magnetizao M num
material paramagntico em funo do campo magntico H aplicado
(adaptado de Butler (1992)). . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
B.9 a) Magnetizao paramagntica em funo de a. b) Magnetizao
paramagntica em funo da temperatura T (TAUXE, 2010). . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 202 B.10 Grco da funo de Langevin L(a)
(BUTLER, 1992). . . . . . . . . . . . . . . . 203 B.11 Diviso
energeticamente vivel em domnio magnticos (WIKIPEDIA, 2013). . . .
208 B.12 Parede entre domnios com gradual alterao da orientao dos
dipolos magnticos (CALLISTER; RETHWISCH, 2010). . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 208 B.13 Curva de primeira imantao de
um corpo ferromagntico (adaptado de Callister e Rethwisch (2010)).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210 B.14 Ciclo de histerese (adaptado de Callister e Rethwisch
(2010)). . . . . . . . . . . . 211 B.15 Ciclo de histerese
esquemtico para materiais ferromagnticos duros e moles (adap- tado
de Callister e Rethwisch (2010)). . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 212 B.16 Ciclo de histerese de um m com distino da
curva normal e curva intrnseca (PARKER, 1990). . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 B.17 Exemplo
de circuito magntico (BASTOS, 2004). . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 216 B.18 Curvas de desmagnetizao com indicao da reta de carga
(adaptado de Parker (1990)). O ndice i na gura refere-se a
intrnseco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 B.19 Ponto de
Operao com mximo produto entre a induo magntica Bd e a intensi-
dade de campo magntico Hd: BHmax (adaptado de Constantinides
(2013)). . . . . 217 C.1 Exemplo 1 para o clculo de U, B, F e T. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 C.2 Exemplo 2 para o
clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220 xxxi
16. C.3 Exemplo 3 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 221 C.4 Exemplo 4 para o clculo de U,
B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 C.5
Exemplo 5 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 223 C.6 Exemplo 6 para o clculo de U, B, F e T. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 C.7 Exemplo 7 para o
clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225 C.8 Exemplo 8 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 226 xxxiii
17. Lista de Tabelas 5.1 Dados de dois ms permanentes
paralelepipedais do exemplo apresentado por Akoun e Yonnet (1984).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Dados de dois ms permanentes cbicos do exemplo apresentado por
Allag e Yon- net (2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Especicao da clula de
carga, de ponto nico, utilizada no experimento (HBM, 2012). . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 48 5.4 Mdia dos valores de fora magntica de interao entre o m
cbico e a esfera de ao, obtidos experimentalmente em funo do
espaamento d. S indica o desvio padro das medies obtidas em cada
congurao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.5 Parmetros a e b
da reta de ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 51 5.6 Valores de induo magntica observados para diferentes
espaamentos d. . . . . . 54 5.7 Parmetros a e b da reta de ajuste.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.8
Parmetros do m utilizado no experimento de acordo com as variveis
utilizadas no modelo de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 58 5.9 Correspondncia entre as
distncias d e coordenadas z, de acordo com o experi- mento e o
modelo de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 58 5.10 Propriedades magnticas do m de NdFeB 40MGOe. . . .
. . . . . . . . . . . . . 62 5.11 Alguns valores da Induo magntica
B determinados nas proximidades do polo norte do m cilndrico de
NdFeB, a partir da simulao no software FEMM. . . . . 63 5.12
Resultados de foras entre m cilndrico e esfera paramagntica de
gadolnio, ob- tidas nas simulaes com o programa FEMM. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 66 5.13 Resultados de foras entre m
cilndrico e esfera diamagntica, obtidas nas simu- laes com o
programa FEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 69 7.1 Propriedades dos dipolos magnticos nas simulaes para a
determinao do campo magntico, realizadas com o programa DipMag. O
raio do dipolo determina o re- namento da discretizao, que implica
em um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do
momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao
uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 Determinao da induo magntica de um im cbico no simulador DipMag
(DM), com diferentes quantidades de dipolos magnticos equivalentes.
. . . . . . . 111 xxxv
18. 7.3 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos
experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os valores obtidos com o pro- grama DipMag para o m
modelado por 8 dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.4
Comparao entre os valores de induo magntica obtidos
experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os valores obtidos com o pro- grama DipMag para o m
modelado por 64 dipolos (Rdip = 1.25 mm). . . . . . . 115 7.5
Comparao entre os valores de induo magntica obtidos
experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os valores obtidos com o pro- grama DipMag para o m
modelado por 125 dipolos (Rdip = 1 mm). . . . . . . . 116 7.6
Comparao entre os valores de induo magntica obtidos
experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os valores obtidos com o pro- grama DipMag para o m
modelado por 1000 dipolos (Rdip = 0.5 mm). . . . . . . 117 7.7
Comparao entre os valores de induo magntica obtidos
experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os valores obtidos com o pro- grama DipMag para o m
modelado por 8000 dipolos (Rdip = 0.25 mm). . . . . . 118 7.8
Comparao entre os valores de induo magntica obtidos
experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente
(Bcalc) e os valores obtidos com o pro- grama DipMag para o m
modelado por 125000 dipolos (Rdip = 0.1 mm). . . . . 119 7.9 Nmero
de dipolos no m cbico e na esfera de ao para as simulaes realizadas
no DipMag, para a determinao de fora magntica. . . . . . . . . . .
. . . . . . 123 7.10 Propriedades dos dipolos magnticos dos
aglomerados com 125 e 1000 dipolos que representam o m cbico de
NdFeB, nas simulaes para determinao da fora magntica, realizadas
com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o renamento da
discretizao, que implica em um determinado nmero de dipolos no m,
que implica no valor do momento magntico em cada dipolo, que tambm
funo da magnetizao uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 125 7.11 Pontos da curva M(H) e B(H) obtidos a partir
da Figura 7.13 . . . . . . . . . . . 127 7.12 Fora magntica em funo
do espaamento d entre o m cbico e a esfera de ao, resultado das
simulaes no DipMag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 128 7.13 Resultados das foras obtidas nas simulaes com o programa
DipMag (FDipMag125x501) em comparao com os resultados obtidos
experimentalmente (FExp). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 xxxvii
19. 7.14 Propriedades dos dipolos magnticos dos aglomerados de
dipolos que representam o m cilndrico de NdFeB, nas simulaes para
determinao da induo magn- tica, realizadas com o programa DipMag. O
raio do dipolo determina o renamento da discretizao, que implica em
um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do
momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao
uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 138 7.15 Determinao da induo magntica de um im cilndrico no
simulador DipMag (DM), com diferentes quantidades de dipolos
magnticos equivalentes. . . . . . . . 139 7.16 Comparao entre os
valores de induo magntica obtidos com o software FEMM (BFEMM ) e os
valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 160
dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 145 7.17 Comparao entre os valores de induo
magntica obtidos com o software FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos
com o programa DipMag para o m modelado por 99600 dipolos. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146 7.18 Nmero de dipolos no m cilndrico e na esfera para as
simulaes realizadas no DipMag, para a determinao de fora magntica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.19 Propriedades dos
dipolos magnticos dos aglomerados de dipolos que representam o m
cilndrico de NdFeB, nas simulaes para determinao da fora magntica,
realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o
renamento da discretizao, que implica em um determinado nmero de
dipolos no m, que implica no valor do momento magntico em cada
dipolo, que tambm funo da magnetizao uniforme equivalente. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.20 Comparao entre
os resultados de foras entre m cilndrico e esfera paramagn- tica de
gadolnio, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e com o DipMag
FDipMag504x599. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 149 7.21 Comparao entre os resultados de foras
entre m cilndrico e esfera paramagn- tica de gadolnio, obtidas nas
simulaes com o programa FEMM e com o DipMag FDipMag1008x1000. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.22 Comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e
esfera diamagn- tica, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e
com o DipMag FDipMag504x599.152 7.23 Comparao entre os resultados
de foras entre m cilndrico e esfera dia- magntica, obtidas nas
simulaes com o programa FEMM e com o DipMag FDipMag1008x1000. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
xxxix
20. 7.24 Propriedades dos dipolos magnticos dos aglomerados que
representam os ms paralelepipedais, nas simulaes para determinao da
fora magntica, realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo
determina o renamento da discretiza- o, que implica em um
determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do momento
magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetiza- o uniforme
equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 156 7.25 Comparao entre os resultados dos valores de fora
na direo x, obtidos nas si- mulaes com o programa DipMag e os
valores calculadas analiticamente com a proposta de Akoun e Yonnet
(1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.26
Comparao entre os resultados dos valores de fora na direo y,
obtidos nas si- mulaes com o programa DipMag e os valores
calculadas analiticamente com a proposta de Akoun e Yonnet (1984).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.27 Comparao
entre os resultados dos valores de fora na direo z, obtidos nas si-
mulaes com o programa DipMag e os valores calculadas analiticamente
com a proposta de Akoun e Yonnet (1984). . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 159 7.28 Propriedades dos dipolos magnticos
dos aglomerados que representam os ms cbicos, nas simulaes para
determinao do torque magntico, realizadas com o programa DipMag. O
raio do dipolo determina o renamento da discretizao, que implica em
um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do
momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao
uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 164 7.29 Comparao entre os resultados (pontos)
obtidos nas simulaes com o programa DipMag e as curvas calculadas
analiticamente com a proposta de Allag et al. (2011). 165 xli
27. Reta de Carga de ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 214 C Exemplos: Determinao de Energia, Induo, Fora e
Torque Magnticos de Inte- rao Dipolar 219 lv
28. 1 INTRODUO Inicialmente, esclareceremos os motivos, os
objetivos, as principais referncias e de que forma o trabalho est
estruturado. 1.1 Motivao A motivao encontra-se no estudo de
acoplamentos e mancais magnticos passivos baseados em ms
permanentes. Uma tcnica de modelagem do magnetismo em materiais
baseada na discretizao por dipo- los magnticos equivalentes
permitiria a implementao de um simulador da dinmica de sistemas
magnetomecnicos com mtodo de partculas, considerando foras e
torques magnticos na intera- o entre os corpos. No h qualquer
motivao na substituio de mtodos consagrados como o mtodo de ele-
mentos nitos (FEM, Finite Element Method), mas h motivao na ampliao
do caminho para o uso de mtodos de partculas em problemas
multifsicos que envolvam magnetismo. Alm disso, os mtodos de
partculas so muito favorveis distribuio do cmputo em processadores
paralelos, tema que tambm objeto de pesquisa de nosso grupo. 1.2
Objetivos Modelar, macroscopicamente, os principais comportamentos
magnticos (ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo) de
corpos, em frequncia nula ou quase nula, especialmente os casos
onde no haja contato entre os corpos, onde exista ao menos uma
lacuna de ar (air gap). Este objetivo principal pode ser subdivido
nos seguintes objetivos intermedirios: 1. Representar ms
permanentes por dipolos magnticos equivalentes, apresentando
inclusive uma forma de determinao experimental da polarizao
magntica uniforme equivalente do 1
29. m com uso da formulao para a induo magntica de acordo com o
modelo de Coulomb (YONNET; ALLAG, 2009); 2. Representar corpos
ferromagnticos moles por dipolos magnticos equivalentes; 3.
Representar corpos paramagnticos e diamagnticos por dipolos
magnticos equivalentes; 4. Determinar o campo magntico criado no
entorno dos corpos magnticos; 5. Determinar a fora magntica de
interao entre os corpos; 6. Determinar o torque magntico de interao
entre os corpos; 7. Mapear o campo magntico que permeia os corpos,
atravs do traado das linhas de induo magntica; 8. Implementar o
simulador DipMag que simule a interao magnetosttica entre corpos,
com base nos objetivos descritos acima. 1.3 Reviso Bibliogrca A
presente seo tem o objetivo de relacionar as principais referncias
deste texto. Tendo em vista o interesse do nosso grupo de pesquisa,
trs textos trouxeram especial moti- vao ao presente trabalho:
Kotera et al. (1997) utilizou um mtodo de partculas associado ao
clculo de fora mag- ntica para modelar o comportamento de compactao
de partculas magnticas. A ideia de modelagem da interao magntica
entre as partculas juntamente com o tratamento da coli- so entre
estas partculas com um mtodo de partcula trouxe grande motivao ao
presente trabalho. A forma de cmputo da fora magntica apresentada
muito semelhante que ser adotada no presente trabalho; Tatsuishi et
al. (2011) estudam o comportamento de uma grande quantidade de
partculas magnticas (problema de N-Corpos) utilizando uma combinao
do mtodo de elementos discretos (DEM, Discret Element Method) com
clculo de interao magntica, utilizando o algoritmo FMM (Fast
Multipole Method) para a reduo da complexidade do problema; 2
30. Baseado no natural paralelismo presente nos problemas de
N-Corpos, Barba e Yokota (2010) implementaram o algoritmo FMM (bem
como o Treecode) em um processador paralelo (GPU com CUDA,
ferramenta que j est introduzida em nosso grupo de pesquisas) para
a reduo da complexidade e promoo da celeridade na soluo dos
problemas desta natureza. As referncias de base para o estudo do
magnetismo concentraram-se em Jackson (1962), Bastos (2004) e
Sadiku (2004). Em Bastos (2004) temos a apresentao do magnetismo
(em baixa frequncia) j a partir das equaes de Maxwell. Em Jackson
(1962) so apresentados casos impor- tantes como do comportamento de
esferas magnticas na presena de campos magnticos. Em Sadiku (2004),
alm dos fundamentos do magnetismo, o autor apresenta um mtodo
relativamente simples para o traado de linhas de campo eltrico, que
levaram aos textos especcos e fundamentais de Merrill (1971),
Kirkup (1985) e Liu et al. (2008): referncias para o traado das
linhas de campo magntico apresentado no Captulo 4. Em Oliveira
(2010) encontram-se fundamentos do magnetismo na matria, com
conceitos da mecnica quntica. Alguns textos em paleomagnetismo e
geofsica contriburam pelo cuidado ao apresentar o magnetismo em
meios materiais. Especialmente Tauxe (2010), Butler (1992) e Lowrie
(2007). Callister e Rethwisch (2010) apresentam de forma objetiva e
interessante os materiais magnticos. Parker (1990) apresenta
importantes detalhes a respeito da aplicao de ms permanentes. Para
este trabalho em especial, destaca-se a apresentao do conceito de
permencia magntica e as tabelas prticas para a determinao desta
permencia em circuito aberto. Yung, Landecker e Villani (1998) e
Landecker, Villani e Yung (1999) apresentam os funda- mentos para a
determinao analtica da fora e do torque entre partculas magnticas.
Tipler e Mosca (2005) trazem uma apresentao rpida e clara a
respeito dos fundamentos da modelagem a partir das correntes de
Ampre. Delno et al. (2001) revisam os principais mtodos de fontes
magnticas equivalentes para a determinao da fora magntica sobre ms
e os compara com os mtodos tradicionais: mtodo 3
31. do trabalho virtual e mtodo de tensor de Maxwell. Akoun e
Yonnet (1984), Yonnet e Allag (2009), Allag e Yonnet (2009), Allag
et al. (2011) apresentam os fundamentos do modelo Coulomb para a
determinao analtica da energia magn- tica, campo magntico, fora e
torque magnticos em ms paralelepipedais. Tais referncias foram
importantes inclusive por conterem exemplos calculados com o modelo
Coulomb utilizados na validao do simulador DipMag. 1.4 Estrutura do
Trabalho A dissertao est estruturada da seguinte forma: A REVISO
BIBLIOGRFICA vai do Captulo 2 primeira seo do Captulo 5. No en-
tanto, aos leitores no iniciados em magnetosttica e nos principais
materiais magnticos, recomenda-se iniciar a leitura pelo Apndice A
e Apndice B; Os MATERIAIS E MTODOS vo da segunda seo do Captulo 5
ao Captulo 6; Os RESULTADOS E DISCUSSES apresentam-se no Captulo 7;
A CONCLUSO est no Captulo 8. O contedo dos captulos apresentado
brevemente a seguir: Apndice A: CAMPO MAGNTICO - MAGNETOSTTICA
Revisa as ideias fundamentais do magnetismo em frequncia nula
(magnetosttica), obser- vando principalmente as equaes de Maxwell
pertinentes, e a Lei de Biot-Savart. Apndice B: MAGNETISMO EM MEIOS
MATERIAIS Revisa os conceitos mais difundidos a respeito do
magnetismo em meios materiais, abor- dando os principais
comportamentos magnticos: ferromagnetismo, paramagnetismo e dia-
magnetismo. 4
32. Captulo 2: FORA E TORQUE MAGNTICOS Revisa os conceitos para
o clculo da fora magntica sobre cargas, condutores e dipolos
magnticos, e do torque magntico sobre dipolos; Captulo 3: MODELAGEM
DE CORPOS MAGNTICOS Apresenta as principais ideias de modelagem de
corpos magnticos por fontes magnticas equivalentes, com especial
ateno ao mtodo dos dipolos magnticos equivalentes; Captulo 4:
MAPEAMENTO DO CAMPO MAGNTICO: TRAADO DAS LINHAS DE INDUO MAGNTICA B
Descreve um mtodo para o mapeamento do campo magntico (traado das
linhas de induo magntica); Captulo 5: CASOS DE SISTEMAS
MAGNETOSTTICOS PARA COMPARAO Apresenta casos (sistemas) analticos
(modelo de Coulomb), experimentais e numricos para a validao do
simulador DipMag; Captulo 6: IMPLEMENTAO DO SIMULADOR DIPMAG
Discorre sobre a metodologia adotada para a implementao do
simulador DipMag; Captulo 7: RESULTADOS DAS SIMULAES NO DIPMAG E
DISCUSSES Apresenta as simulaes realizadas com o simulador DipMag e
discute estes resultados em comparao com os casos colecionados no
Captulo 5; Captulo 8: CONCLUSO Avalia o alcance dos objetivos
propostos, observa e resume pontos importantes esclarecidos pelo
trabalho, e aponta rumos para o aprimoramento do simulador
implementado; Apndice C: Exemplos: Determinao de Energia, Induo,
Fora e Torque Magnticos de Interao Dipolar Adicionalmente,
apresenta alguns exemplos de clculos de acordo com o contedo
apresen- tado no Captulo 2. 5
33. 2 FORA E TORQUE MAGNTICOS No presente captulo so
apresentados os conceitos fundamentais para o clculo da fora
magntica sobre cargas, condutores e dipolos magnticos, bem como
para o clculo do torque magntico. A determinao da fora e do torque
magnticos fundamental no projeto de dispositivos magnetomecnicos.
atravs destas grandezas que podemos iniciar a avaliao do
comportamento e da ecincia de uma suspenso magntica, por exemplo.
Uma vez determinadas as foras e torques magnticos que agem sobre um
corpo, pode-se som-los s demais foras e torques atuantes para
determinar o estado de movimento deste corpo. O fato deste trabalho
tratar da obteno de foras e torques magnticos a partir de corpos
modelados por dipolos magntico elementares viabiliza uma futura
integrao a um simulador multifsico baseado em partculas, que seja
capaz de somar estas foras e torques com foras e torques oriundos
de outros fenmenos fsicos. 2.1 Fora Magntica 2.1.1 Fora de Lorentz
- Carga Da experincia se verica-se que uma carga q se movimentando
com velocidade v numa regio do espao onde exista uma induo magntica
B experimenta uma fora magntica Fm dada pela Equao (2.1). Fm = qv B
(2.1) Esta fora magntica sobre a partcula perpendicular tanto induo
magntica B quanto ao vetor velocidade da partcula carregada v, j
que resultado de um produto vetorial. Assim, esta fora no realiza
trabalho e no contribui para o aumento da energia cintica (SADIKU,
2004). Ainda, de acordo com a lei experimental de Coulomb, uma
carga eltrica q na presena de 7
34. um campo eltrico E experimenta uma fora eltrica Fe expressa
pela Equao (2.2). Fe = qE (2.2) Assim, se a carga eltrica se
movimenta imersa num campo magntico e tambm num campo eltrico a
Equao (2.3) determina a fora total sobre a carga, e conhecida como
equao de fora de Lorentz: a soma da Equao (2.1) com a Equao (2.2).
FL = q(E + v B) (2.3) A soluo da equao de fora de Lorentz
fundamental para a determinao do movimento de partculas carregadas
na presena de campos magnticos e eltricos. Sem a presena de campo
eltrico, para os objetivos deste trabalho a extenso da Equa- o
(2.1) nos levar determinao da fora magntica elementar sobre
condutores eltricos. 2.1.2 Fora de Laplace - Condutor Em um
condutor eltrico, uma quantidade elementar de carga eltrica dq, que
se desloca com velocidade v, num intervalo de tempo dt, percorre um
elemento de linha dl apresentado corrente eltrica I, dados por: dl
= vdt (2.4) I = dq dt (2.5) Ao multiplicarmos estas duas equaes
teremos: Idl = dq dt dtv = dqv (2.6) A substituio desta identidade
na Equao (2.1) nos levar fora elementar de Laplace para o elemento
de condutor dl. dF = Idl B (2.7) A Equao (2.7) sob a forma
integral, para a corrente eltrica I percorrendo um caminho 8
35. (circuito) fechado L imerso em B nos prov a fora sobre
condutores como no caso de uma espira circular (lao de corrente): F
= L Idl B (2.8) Finalmente, tendo que um condutor produz uma induo
B no seu entorno podemos com a Equao (2.8) determinar a fora de
interao entre condutores. 2.1.3 Fora entre Condutores Ampre se
ocupou de estudos a respeito da fora magntica de interao entre
condutores (JACKSON, 1962). Observando que a induo B na Equao (2.8)
no gerada pelo prprio ele- mento de corrente Idl, e sim gerada por
outro elemento de corrente, podemos reescrever esta equa- o com
insero de mais um elemento na anlise. Na interao entre dois
elementos de corrente Iidli e Ijdlj, como ilustra a Figura 2.1,
ambos geram campos magnticos que podemos calcular atravs do modelo
de Biot-Savart (ver Equao (A.1)). Desta forma podemos determinar a
fora elementar d(dFij) agindo sobre o elemento Ijdlj devido induo
elementar dBij gerado pelo elemento de corrente Iidli: d(dFij) =
Ijdlj dBij (2.9) Figura 2.1: Duas espiras de corrente. Determinao
da fora (SADIKU, 2004). 9
36. Para o clculo de dBij (dBij = 0dHij) utilizamos a lei de
Biot-Savart (ver Equao (A.1) e Equao (A.5)): dB = 0I dl r 4r3
(2.10) dBij = 0Iidli rij 4rij 3 (2.11) Substituindo na Equao (2.9)
teremos a lei de fora entre dois elementos: d(dFij) = 0Ijdlj (Iidli
rij) 4rij 3 (2.12) Onde: rij = rj ri (2.13) Para a obteno da fora
total Fij sobre o lao de corrente j (Lj) devida ao da induo
magntica Bij gerada pelo lao de corrente i (Li), integramos a Equao
(2.12): Fij = 0IiIj 4 Lj Li dlj (dli rij) rij 3 (2.14) 2.1.4 Fora
de Interao Dipolar O m mais elementar o dipolo magntico. No Apndice
B so analisados o spin do eltron e o movimento orbital do eltron
congurando dipolos magnticos elementares. Do movimento orbital do
eltron observamos um pequeno lao de corrente como um dipolo, como
ilustra a Fi- gura B.2. Trabalhando com dois dipolos magnticos como
laos circulares de correntes podemos conceber uma interao geomtrica
como ilustra a Figura 2.2. 10
37. Figura 2.2: Geometria relativa a dois dipolos magnticos
(YUNG; LANDECKER; VILLANI, 1998). Pelo exposto nas subsees
anteriores, com a Equao (2.14) podemos calcular a fora mag- ntica
de interao entre dipolos do tipo laos de corrente. No entanto, a
soluo da Equao (2.14) no elementar e geralmente a busca por uma
soluo numrica ou por uma soluo analtica aproximada so apreciveis.
Em Yung, Landecker e Villani (1998) apresentada uma proposta de
soluo analtica para a Equao (2.14), mas contemplando apenas os
casos onde a distncia entre os dipolos (rij) consideravelmente
maior (campos distantes) que os raios dos dipolos (ai ou aj): rij
ai;j. Yung, Landecker e Villani (1998) chegam esta expresso
analtica aproximada a partir de duas abordagens: Por integral de
linha; Por clculo vetorial. Pela compactao e concordncia com o
presente texto, a abordagem pelo clculo vetorial se faz mais
adequada. Para tanto, examinamos a determinao de B a partir da
integrao da Equa- o (2.10) de Biot-Savart: Bij = 0 4 Li Iidli rij
r3 ij (2.15) Alm de Yung, Landecker e Villani (1998), outros
autores (por exemplo Sadiku (2004), Tat- suishi et al. (2011),
Imaino e Alward (1986)) comumente propem uma aproximao para a Equa-
11
38. o (2.15) tendo em vista a soluo para campos distantes (rij
ai;j). Em Yung, Landecker e Villani (1998) esta aproximao est
expressa na Equao (2.16). Bij = 0 4 mi rij r3 ij (2.16) Os
interessados em mais informaes a respeito da possibilidade de soluo
da Equa- o (2.15) para campos prximos, podem consultar Jackson
(1962, p.147). Com base na Equao (B.5) podemos determinar a energia
potencial magntica de interao dipolar: U = Bij mj (2.17) Das equaes
anteriores e do conceito de trabalho realizado num deslocamento
elementar pelas foras de interao (dU = F dl) podemos expressar a
fora de interao dipolar: Fij = U = (Bij mj) = (Bij mj) = 0 4 mi rij
r3 ij mj Fij = 0 4 mi rij r3 ij mj (2.18) A Equao (2.18) explcita
com a considerao das seguintes relaes: r = x2 + y2 + z2 (2.19) r =
rr (2.20) 12
39. 1 rn = /x /y /z 1 rn = /x /y /z 1 x2 + y2 + z2 n 1 rn = nx
x2+y2+z2 n+1 x2+y2+z2 ny x2+y2+z2 n+1 x2+y2+z2 nz x2+y2+z2 n+1
x2+y2+z2 = nx x2+y2+z2 n+2 ny x2+y2+z2 n+2 nz x2+y2+z2 n+2 = nx
rn+2 ny rn+2 nz rn+2 1 rn = n rn+2 x y z = nr rn+2 (2.21) (v1 r) =
/x /y /z (v1 r) = /x(v1xx + v1yy + v1zz) /y(v1xx + v1yy + v1zz)
/z(v1xx + v1yy + v1zz) = v1x v1y v1z = v1 (2.22) Com a Equao
(2.21), Equao (2.22) e outras propriedades mais elementares do
clculo vetorial, podemos simplicar a Equao (2.18) para a determinao
da fora magntica de interao dipolar. 13
40. Fij = 0 4 mi rij r3 ij mj = 0 4 1 r3 ij (mi rij) + (mi rij)
1 r3 ij mj = 0 4 mi r3 ij (mi rij) 3rij r5 ij mj = 0 4 (mi mj) r3
ij 3 (mi rij)(mj rij) r5 ij = 0 4 (mi mj) 1 r3 ij 3(mi rij)(mj rij)
1 r5 ij 3 (mj rij) r5 ij (mi rij) 3 (mi rij) r5 ij (mj rij) = 0 4
(mi mj) 3rij r5 ij + 3(mi rij)(mj rij) 5rij r7 ij 3 (mj rij)mi r5
ij 3 (mi rij)mj r5 ij = 0 4 3(mi mj) rij r4 ij + 3(mi rij)(mj rij)
5rij r4 ij 3 (mj rij)mi r4 ij 3 (mi rij)mj r4 ij Fij = 30 4r4 ij
[(mi mj)rij + (mj rij)mi + (mi rij)mj 5rij(mi rij)(mj rij)] (2.23)
Da Equao (2.23), expresso nal da fora magntica de interao dipolar,
observamos que esta fora depende fundamentalmente da interao entre
os vetores momentos magnticos (miemj) e inversamente proporcional
quarta potncia da distncia entre os dipolos 1 r4 ij . Em Moon
(2004) tal expresso tambm apresentada, mas j em formato nal. Para a
expresso de fora magntica de interao dipolar temos ainda que a fora
sobre o dipolo i pela interao com o dipolo j, ou seja Fji, deve ser
oposta fora Fij sobre o dipolo j pela interao com o dipolo i: Fji =
Fij (2.24) Para a vericao desta proposio, algumas relaes precisam
ser observadas. rji = rij rji = rij (2.25) ||rij|| = ||rji|| (2.26)
mj mi = mi mj (2.27) 14
41. E assim Fji = 30 4r4 ji [(mj mi)rji + (mi rji)mj + (mj
rji)mi 5rji(mj rji)(mi rji)] = 30 4r4 ij [(mi mj)rij (mj rij)mi (mi
rij)mj + 5rij(mi rij)(mj rij)] Fij = 30 4r4 ij [(mi mj)rij + (mj
rij)mi + (mi rij)mj 5rij(mi rij)(mj rij)] (2.28) tornando legtima a
Equao (2.24). Adicionalmente, exemplos do clculo de fora de interao
dipolar esto disponveis no Apndice C. 2.2 Torque Magntico Um dipolo
magntico caracterizado por seu momento magntico m, sob induo
magntica B, experimenta um torque magntico T dado pela seguinte
expresso. T = m B (2.29) Pela Equao (2.29), temos que o torque s
nulo quando o vetor momento magntico m possui orientao paralela
induo B. Tendo dois dipolos num espao, um dipolo magntico est sob a
inuncia da induo B proveniente do outro dipolo. Assim, podemos
buscar o modelo que representa o torque magntico desta interao
dipolar. 2.2.1 Torque de Interao Dipolar Na busca por um modelo
capaz de representar a interao entre dois dipolos magnticos, alm da
fora, o torque magntico de interao dipolar igualmente importante. A
partir dele podemos determinar a adequada orientao do dipolo
magntico, bem como sua acelerao e velocidade 15
42. angular. Partindo da Equao (2.29) determinaremos o torque
de interao dipolar Tij sob o dipolo j por conta do dipolo i. Tij =
mj Bij (2.30) Como o torque Tij de interao dipolar depende da soluo
da induo magntica, expressa- mos uma soluo para Bij, a partir da
Equao (2.16), com uso das propriedades apresentadas na Equao (2.21)
e Equao (2.22) (IMAINO; ALWARD, 1986; LANDECKER; VILLANI; YUNG,
1999)). Bij = 0 4 mi rij r3 ij = 0 4 (mi rij) 1 r3 ij + 1 r3 ij (mi
rij) = 0 4 (mi rij) 3rij r5 ij + mi r3 ij = 0 4 3(mi rij)rij r5 ij
+ mi r3 ij = 0 4 3(mi rij)rij r3 ij mi r3 ij Bij = 0 4r3 ij [3(mi
rij)rij mi] (2.31) Com a soluo apresentada na Equao (2.31) podemos
reescrever a Equao (2.30). Tij = mj 0 4r3 ij [3(mi rij)rij mi] = 0
4r3 ij [3mj (mi rij)rij mj mi] Tij = 0 4r3 ij [3(mi rij)(mj rij) +
(mi mj)] (2.32) Da Equao (2.32) - expresso nal do torque magntico
de interao dipolar - observamos que este torque depende
fundamentalmente da interao entre os vetores de momento magntico
16
43. dos dipolos (miemj) e inversamente proporcional terceira
potncia da distncia entre os dipolos 1 r3 ij . Diferentemente do
que avaliamos com a expresso nal para a fora magntica de interao
dipolar, na seo anterior, Landecker, Villani e Yung (1999) observa
a assimetria da Equao (2.32) para o torque. Tij = Tji (2.33)
Landecker, Villani e Yung (1999) orienta que esta assimetria no
reete a violao da conservao do momento angular do sistema, j que
alm dos torques Tij e Tji (associados aos centros de massa dos
dipolos j e i, respectivamente) temos o torque gerado pela fora
magntica de interao dipolar (Fij rij); que juntamente com os
anteriores, quando considerados no centro de massa comum aos
dipolos, revelam a conservao do momento angular global, como tambm
explicita a Equao (2.34). rij Fij + Tij + Tji = 0 (2.34)
Adicionalmente, de posse da soluo para a induo magntica B ( Equao
(2.31)), dentro das condies j observadas, convm tambm expressarmos
uma soluo para a Equao (2.17). Uij = Uji = 0 4r3 ij [3(mi rij)(mj
rij) (mi mj)] (2.35) Exemplos do clculo de torque de interao
dipolar esto disponveis no Apndice C. Tendo apresentado as
necessrias formas de determinao da fora e do torque magnticos,
avanaremos no prximo captulo para a apresentao dos fundamentos dos
mtodos de fontes equivalentes. 17
44. 3 MODELAGEM DE CORPOS MAGNTICOS No presente captulo
analisaremos as ideias de modelagem de corpos magnticos, com espe-
cial ateno para o magnetismo em escala macroscpica, modelado pelo
mtodo das fontes mag- nticas equivalentes. Ampre acreditava que o
comportamento magntico dos corpos se dava por correntes el- tricas
microscpicas existentes nos materiais. A histria mostrou que Ampre
estava no caminho certo, mas muitos outros cientistas foram e so
necessrios para detalhar como este movimento de cargas eltricas se
d no interior dos materiais, atravs de modelos atmicos luz da
mecnica quntica. Ainda assim, a conjetura de Ampre motiva mtodos
para a modelagem de corpos magnti- cos (HENNEBERGER, 1992). A
Figura 3.1 apresenta um cilindro magntico dotado de correntes
circulares elementares (laos de correntes), que justicam seu
comportamento magntico. Figura 3.1: Cilindro magnetizado por
correntes eltricas elementares (adaptado de Tipler e Mosca (2005)).
No modelo de Ampre, para um material homogneo, as correntes
interiores ao corpo se cancelam de tal forma que, praticamente,
apenas uma corrente supercial resta, como ilustra a Figura 3.2
(TIPLER; MOSCA, 2005). 19
45. Figura 3.2: Sntese do modelo das correntes ctcias de Ampre,
em um material com magnetizao homognea (adaptado de Tipler e Mosca
(2005)). Sabemos que o real estado de magnetizao de um corpo
depende de um complexo arranjo de inmeros dipolos magnticos
presentes na estrutura do material (ver Apndice B). Com os avanos
na nanotecnologia, muitos textos trazem como tema o micro
magnetismo ou magnetismo em pe- quenas dimenses, modelando o
comportamento detalhado de corpos nesta escala (COSTA, 2010;
FIDLER; SCHREFL, 2000; FRUCHART; THIAVILLE, 2005). Contudo, para
uma modelagem interessada nos fenmenos magnticos macroscpicos - com
especial ateno para o clculo de foras - todos os detalhes da
estrutura do material no precisam ser conhecidos, se pudermos
representar o corpo magntico por fontes magnticas equivalentes
(HENNEBERGER, 1992). 3.1 Modelagem Magntica em Escala Macroscpica
3.1.1 Mtodos das Fontes Magnticas Equivalentes Na literatura,
encontramos os Mtodos das Fontes Equivalentes como forma de
representao de corpos magnticos por adequadas correntes eltricas,
cargas magnticas ou dipolos magnticos equivalentes. A maioria dos
textos consultados aponta para o trabalho de Kabashima et al.
(1988) como sendo um dos precursores nesta linha de modelagem com o
conceito de correntes magneti- zantes, com soluo no mtodo de
elementos nitos (FEM). Delno et al. (2001) revisam os principais
mtodos para o clculo de fora magntica sobre 20
46. ms - incluindo os mtodos das fontes equivalentes - e os
divide como segue: Mtodo do trabalho virtual (VWM, Virtual Work
Method); Mtodo do tensor de Maxwell (MST, Maxwells Stress Tensor);
Mtodos das fontes equivalentes (ESM, Equivalent Source Method):
Mtodo das cargas magnticas equivalentes (ESMQ, Equivalent Magnetic
Charge Method) ou "Modelo de Coulomb"; Mtodo das correntes
magnetizantes equivalentes (ESMI, Equivalent Magnetizing Cur- rent
Method) ou "Modelo de Ampre"; Mtodo dos dipolos magnticos
equivalentes (ESMD, Equivalent Magnetic Dipole Method). Delno et
al. (2001) focam essencialmente a determinao da fora magntica sobre
ms perma- nentes, os representando por adequadas distribuies
superciais ou volumtricas de cargas magn- ticas ESMQ, dipolos
magnticos ESMD, ou correntes magnetizantes ESMI. Como referncias
para as formulaes do ESMQ, ESMI e ESMD, Delno et al. (2001) apontam
os trabalhos de Bobbio (1999), Bobbio et al. (2000), Brown (1966),
Landau, Pitaevskii e Lifshitz (1984). Delno et al. (2001) ainda
dividem os mtodos para clculo de foras em trs grupos, quanto denio
da integrao: Integrao em Volume: VWM; Integrao em Superfcie: MST;
Integrao em Volume e em Superfcie: ESM. Em sua reviso, Botelho
(2008) tambm denomina: o mtodo das cargas magnticas equivalentes
como mtodo das cargas magnticas ligadas; 21
47. e o mtodo das correntes magnetizantes equivalentes como
mtodo das correntes "amperia- nas"ctcias. Como caractersticas
importantes dos mtodos das fontes equivalentes (ESM), temos que: A
fora sobre os corpos magnticos se d pela imerso em um campo
magntico externo Hext; Os corpos so caracterizados pela magnetizao
M que tambm pode ser representada por densidades de correntes
(ESMI) ou cargas magnticas (ESMQ), superciais e/ ou volumtri- cas;
A expresso de fora total sobre os corpos depende de uma integrao
sobre a superfcie do corpo S e outra integrao sobre a regio que o
corpo ocupa (volume) V . O processo de cmputo geralmente realizado
com o mtodo de elementos nitos (FEM). Complementando a reviso
bibliogrca a respeito dos mtodos de fontes equivalentes, apre-
sentaremos a seguir o mtodo dos dipolos magnticos equivalentes.
Este o mtodo encontrado na literatura que mais se aproxima dos
objetivos propostos para o simulador DipMag, implementado neste
trabalho. Mtodos dos Dipolos Magnticos Equivalentes (ESMD) No mtodo
dos dipolos equivalentes o corpo magntico representado como um
agregado de dipolos e a fora total dada pela frmula de Kelvin
(BOBBIO et al., 2000; DELFINO et al., 2001). F = V M HdV + 1 20 S
(M n)2 ndS (3.1) Ou com base somente no campo magntico externo Hext
ao corpo: F = V M HextdV (3.2) 22
48. Onde: H o campo magntico efetivo; Hext o campo magntico
externo; n o versor normal superfcie do corpo; M o vetor magnetizao
do corpo; S refere-se integrao na superfcie do corpo; V refere-se
integrao volumtrica; 0, a permeabilidade magntica do espao livre.
Delno et al. (2001) observam que para no caso do corpo magntico ser
rgido, linear e isotrpico, somente a contribuio do volume na Equao
(3.1) suciente para a determinao da fora total no corpo: F = V M
HdV (3.3) 23
49. 4 MAPEAMENTO DO CAMPO MAGNTICO: TRAADO DAS LINHAS DE INDUO
MAGNTICA B Neste captulo descreveremos o mtodo de mapeamento do
campo magntico pelo traado das linhas de induo magntica, tendo em
vista o objetivo de implementar tal funo no simulador DipMag
(Captulo 6). Visualizar as linhas de campo magntico especialmente
importante no projeto de dispo- sitivos. Antes do advento e da
popularizao dos softwares baseados em FEM (Finite Element Method),
eram mais facilmente encontradas na literatura representaes grcas
que apresentam as linhas de campos em torno de distribuies comuns
de cargas eltricas e dipolos magnticos. Preocupado com o ensino e
buscando facilitar a trajetria de iniciantes no estudo de
eletromagne- tismo, Merrill (1971) apresentou um algoritmo para
processamento em computador que permite o mapeamento de campos
eltricos e magnticos no plano a partir de conguraes arbitrrias de
fontes (cargas eltricas ou dipolos magnticos), permitindo assim o
traado de linhas de campos para arranjos mais complexos, compatveis
com aplicaes reais em fsica e engenharia. Dentre os mtodos
conhecidos, este peculiar pela sua simplicidade. Permite certa
liberdade anlise, tendo em vista a possibilidade de escolha de
qualquer ponto no espao para a avaliao do traado de uma linha de
campo. Alm do fato de que apenas os pontos na linha de campo em
questo so avaliados, descartando a necessidade de uma maior avaliao
do domnio, nos dirigindo assim reduo no processamento total. Ainda,
para a computao paralela, ca a possibilidade de melhoria de
desempenho no traado de linhas de campo, pois cada ponto que compem
a linha pode ser processado de forma independente. 4.1 O Mtodo O
mtodo est baseado no fato da tangente em um ponto de qualquer linha
de induo mag- ntica ser paralela ao vetor induo neste ponto, como
ilustra a Figura 4.1. 25
50. Figura 4.1: Linha de induo em cada ponto tangente aos
vetores induo magntica B (USP, 2004). Este fato conveniente na
anlise de uma linha de induo magntica e do vetor induo B, como
mostrado na Figura 4.2, onde a semelhana de tringulos a base para a
determinao de um novo ponto a partir de um ponto conhecido. Figura
4.2: Semelhana dos tringulos formados pelo vetor induo magntica e
seus componentes; e o deslocamento elementar sob a linha de campo e
seus componentes (adaptado de Sadiku (2004)). Esta observao nos
permite escrever equaes importantes para o mtodo (KIRKUP, 1985;
MERRILL, 1971; SADIKU, 2004). Podemos calcular a norma do vetor B
com a seguinte expres- so. ||B|| = B = Bx 2 + By 2 (4.1) Da
semelhana entre os tringulos da Figura 4.2 escrevemos: x l = Bx B
(4.2) 26
51. Com a Equao (4.1) chegamos a: x = l Bx Bx 2 + By 2 (4.3) y
= l By Bx 2 + By 2 (4.4) Com estas equaes podemos relacionar as
etapas do mtodo (KIRKUP, 1985; MERRILL, 1971): 1. Escolher um ponto
inicial para a linha de campo (x, y); 2. Calcular neste ponto (x,
y) as componentes do vetor induo magntica B nas direes x e y: (Bx,
By); 3. Tomando um deslocamento elementar l sob a linha de campo e
fazendo uso das Equa- o (4.3) e Equao (4.4), calcular as
coordenadas de um novo ponto (x + x, y + y) (ver Figura 4.2); 4.
Retornar ao passo 2 e continuar com os demais passos para o novo
ponto. 4.2 Considerao sobre Preciso O mtodo apresentado na subseo
anterior foi escolhido pelo baixo custo computacional e facilidade
na implementao. Contudo, o mtodo est associado a certa impreciso.
Liu et al. (2008) denem o mtodo aqui apresentado como mtodo de
Euler, reputando ao mesmo caracte- rsticas de impreciso por conta
do uso da direo (tangente) do campo no ponto conhecido para a
determinao de um novo ponto vizinho na linha. Ainda observa que
este erro mais latente em mudanas mais rpidas de direo. A Figura
4.3 ilustra este desvio. 27
52. l Erro B Figura 4.3: Erro na mudana de direo da tangente
linha de campo. Contudo, o valor de l pode ser ajustado a contento
de maneira a mitigar este impacto em trechos onde ocorra maior
mudana de direo, satisfazendo assim o objetivo de visualizao das
linhas de campo. Liu et al. (2008) propem um mtodo mais preciso
para o traado de linhas de campo, base- ado em expanso de Taylor de
alta ordem, que mais complexo mas ainda de fcil implementao quando
comparado ao mtodo CPF (Complex Potential Function): que tambm mais
preciso, porm de difcil implementao e ineciente processamento.
Desta forma conclumos a reviso do mtodo para o traado das linhas de
induo magntica. Na Seo 6.9 temos as consideraes para o uso deste
mtodo no simulador DipMag implementado. Nesta seo tambm consta a
ampliao das equaes aqui apresentadas, para o traado das linhas
induo no espao (3D). No prximo captulo abordaremos os casos de
sistemas magnetostticos que sero utilizados no Captulo 7 para a
validao do simulador DipMag, fruto desta dissertao. 28
53. 5 CASOS DE SISTEMAS MAGNETOSTTICOS PARA COMPARAO Neste
captulo sero relacionados casos de sistemas magnetostticos que sero
utilizados posteriormente para a validao do simulador DipMag. Os
sistemas foram escolhidos pela presena na literatura e por serem
fundamentais em dis- positivos magnetomecnicos. Estes sistemas esto
apresentados da seguinte forma: Casos com Modelo Analtico (Modelo
de Coulomb): Fora Magntica entre ms Paralelepipedais Torque
Magntico entre ms Paralelepipedais Casos Experimentais com Modelo
Fenomenolgico: Fora Magntica entre m Cbico de NdFeB e Esfera de Ao
Avaliao do Campo Magntico do m Cbico de NdFeB Casos com Modelos
Numricos: Avaliao da Induo Magntica de um m Cilndrico de NdFeB
Atrao entre m Cilndrico e Esfera Paramagntica Repulso entre m
Cilndrico e Esfera Diamagntica Ainda constam os seguintes tpicos
complementares: Determinao Analtica da Induo Magntica B de um m
Paralelepipedal Determinao da Polarizao J Uniforme Equivalente do m
Cbico de NdFeB 5.1 CASOS COM MODELO ANALTICO: MODELO DE COULOMB A
interao magnetosttica entre ms permanentes paralelepipedais um caso
importante a ser avaliado, tendo em vista o projeto de dispositivos
magnetomecnicos, pois interessantes arranjos 29
54. magnticos podem ser produzidos com estes ms. Os seguintes
textos serviram de referncia para esta seo: Em Akoun e Yonnet
(1984) temos a apresentao, de uma forma completamente analtica, do
clculo da fora pela interao magntica entre dois ms permanentes
paralelepipedais, de faces e polarizaes paralelas, validado
experimentalmente. Em Allag e Yonnet (2009) consta a determinao
analtica do torque entre ms permanentes paralelepipedais, de faces
e polarizaes paralelas, com validao numrica. Yonnet e Allag (2009)
apresentam os fundamentos para a determinao analtica da fora e do
torque magnticos entre ms paralelepipedais, nos casos onde as
polarizaes so per- pendiculares. Nesta trabalho ainda consta no
apndice fundamentos para a determinao do campo magntico
(intensidade H ou induo B) gerado por um m paralelepipedal. Allag
et al. (2011) focam a determinao do torque entre ms
paralelepipedais com polari- zaes orientadas arbitrariamente. Para
a determinao analtica da induo, fora e torque magnticos pela
interao entre os ms paralelepipedais, a forma de modelagem adotada
nas referncias apontadas acima tem como fundamento a ideia de
modelagem por cargas (ou polos) magnticas equivalentes: tambm
denominado por modelo de Coulomb. 5.1.1 Fora Magntica entre ms
Paralelepipedais Em Akoun e Yonnet (1984) os ms permanentes so
paraleleppedos com faces paralelas, ou perpendiculares entre si. Os
dois ms so dotados de magnetizaes constantes e uniformes,
polarizadas verticalmente e paralelas entre os ms. A magnetizao
nestes ms representada (modelada) por superfcies preenchidas com
polos magnticos (cargas magnticas) equivalentes, como ilustra a
Figura 5.1. 30
55. Figura 5.1: Representao de um m permanente polarizado
verticalmente por superfcies com cargas magnticas: modelo de
Coulomb (YONNET, 1996). A Figura 5.2 indica a disposio geomtrica
dos ms paralelepipedais, que so caracterizados por suas:
Magnetizaes: Akoun e Yonnet (1984) indicam J e J como as polarizaes
(ou as mag- netizaes) no primeiro e segundo ms, respectivamente.
Cabe observar que a relao entre a polarizao J e a magnetizao M de
um m direta atravs da Equao (B.24) onde J equivale induo magntica
intrnseca do m Bin, sendo assim Tesla [T] a unidade de J; Dimenses:
os ms paralelepipedais possuem as trs dimenses, comprimento,
largura e altura, dispostas nos eixos x, y, z. O primeiro m possui
ao longo dos eixos: x a dimenso denotada por 2a; y a dimenso
denotada por 2b; z a dimenso denotada por 2c. O segundo m possui ao
longo dos eixos: x a dimenso denotada por 2A; y a dimenso denotada
por 2B; z a dimenso denotada por 2C. Posies: o centro do primeiro m
est localizado no ponto (0, 0, 0). J o centro do segundo m est
disposto no ponto (, , ). 31
56. Figura 5.2: Disposio geomtrica de ms paralelepipedais, com
magnetizaes verticais perpen- diculares s faces horizontais dos ms
(AKOUN; YONNET, 1984; YONNET; ALLAG, 2009). Akoun e Yonnet (1984)
determinam a fora magntica entre os ms paralelepipedais a partir da
energia magnetosttica U de interao entre estes ms, utilizando a
seguinte relao, j indicada na Equao (2.18): F = U (5.1) A partir
das variveis e parmetros apresentados na Figura 5.2 podemos
entender a deter- minao da energia magnetosttica U de interao entre
as faces dos paraleleppedos carregadas magneticamente. Como a
magnetizao nos ms vertical e perpendicular s suas faces horizon-
tais, cada m paralelepipedal tem sua magnetizao representada por
suas duas faces horizontais carregadas com polos magnticos
equivalentes. Assim: O primeiro m possui suas duas faces
horizontais com dimenses 2a 2b; E o segundo m possui suas duas
faces horizontais com dimenses 2A 2B. 32
57. A distribuio de polos magnticos nas faces considerada
uniforme e sua intensidade indicada por que corresponde densidade
supercial de cargas magnticas, que se relaciona com a magnetizao
uniforme que caracteriza o m atravs da Equao (5.2). = J n (5.2)
Onde n o versor normal superfcie. Para o caso ora tratado, onde a
magnetizao vertical perpendicular s faces horizontais temos: =
||J|| = J = 0M (5.3) Como o vetor polarizao J (ou magnetizao M)
vertical voltada para cima, as faces superiores (polo norte)
possuem densidade supercial de cargas magnticas positiva: = +J. Ao
contrrio, as faces inferiores (polo sul) possuem densidade
supercial de cargas magnticas negativa: = J (ALLAG; YONNET, 2009).
Para a determinao da energia magnetosttica de interao entre duas
faces paralelas U2f carregadas Akoun e Yonnet (1984) apresentam a
Equao (5.4). U2f = +a a dx +b b dy +A A dX +B B dY . 40r (5.4)
Onde: r = ( + X x)2 + ( + Y y) + 2 (5.5) Como as duas faces do
primeiro m interagem com as duas faces do segundo m, quatro
avaliaes da Equao (5.4) so necessrias (AKOUN; YONNET, 1984).
Considerando tambm a Equao (5.3), a energia magnetosttica total U
de interao entre os dois ms com polarizaes verticais dada pela
Equao (5.6), que contem 256 termos. U = J J 40 1 i=0 1 j=0 1 k=0 1
l=0 1 p=0 1 q=0 (1)(i+j+k+l+p+q) (Uij, Vkl, Wpq, r) (5.6) 33
58. Onde: (Uij, Vkl, Wpq, r) = Uij(V 2 kl W2 pq) 2 ln(r Uij) +
Vkl(U2 ij W2 pq) 2 ln(r Vkl) + UijVklWpq tan1 UijVkl Wpq r + r 6
(U2 ij + V 2 kl 2W2 pq) (5.7