2013 simulacao 3 d_por_dipolos_magnéticos_henriquegasparoto_2013

1. Henrique Fagundes Gasparoto Simulao Magnetosttica 3D por Dipolos Magnticos Equivalentes 47/13 CAMPINAS 2013 i

2. Ficha catalogrfica Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da rea de Engenharia e Arquitetura Rose Meire da Silva - CRB 8/5974 Gasparoto, Henrique Fagundes, 1984- G213s GasSimulao magnetosttica 3D por dipolos magnticos equivalentes / Henrique Fagundes Gasparoto. Campinas, SP : [s.n.], 2013. GasOrientador: Luiz Otvio Saraiva Ferreira. GasDissertao (mestrado) Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecnica. Gas1. Magnetismo - Simulao por computador. 2. Magnetosttica. 3. Dipolos magnticos. 4. Ampre, Fora de. 5. Clculos numricos - Programas de computado. I. Ferreira, Luiz Otvio Saraiva,1956-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecnica. III. Ttulo. Informaes para Biblioteca Digital Ttulo em outro idioma: Magnetostatics simulation by equivalent magnetic dipoles Palavras-chave em ingls: Magnetism - Computer simulation Magnetostatics Magnetic dipoles Ampre's force Numerical calculations - Computer programs rea de concentrao: Mecnica dos Slidos e Projeto Mecnico Titulao: Mestre em Engenharia Mecnica Banca examinadora: Luiz Otvio Saraiva Ferreira [Orientador] Renato Pavanello Samuel Euzdice de Lucena Data de defesa: 02-07-2013 Programa de Ps-Graduao: Engenharia Mecnica Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) iv

3. Dedicatria Dedico este trabalho aos autores da minha criao e formao at aqui: a Deus, minha famlia, ao meus amigos, aos meus professores e sociedade brasileira. vii

4. Agradecimentos Agradeo s pessoas que me construram, que me afetaram e me inspiraram com suas qualidades, suas atitudes, seus pensamentos. Ao meu orientador por me permitir perceber o quo importante ter, em qualquer poca do aprendizado, um guia que compartilha vises mais longnquas. Ao professores das disciplinas de ps graduao da FEM que compartilharam comigo aulas enri- quecedoras e desaos que me permitiram transcender minhas competncias. A todos os meus demais professores que empenharam tempo e energia na ampliao do meu saber. Ao Dr. Giancarlo Tosin (LNLS, Laboratrio Nacional de Luz Sncrotron), membro suplente da banca examinadora, pela atenciosa avaliao do texto e importantes apontamentos, considerados na construo da verso nal. Aos funcionrios da Unicamp que cordialmente me auxiliaram na utilizao da estrutura que a universidade oferece. minha famlia, pela vida de aprendizado conjunto e pelo conforto que conferem minhalma. minha me Zenilda, primeira e mais importante professora que me ensinou dentre tantas outras coisas: acreditar sem medida, dar ateno aos desfavorecidos e exercitar a solidariedade, e que conhecimento necessrio vida tanto quo po e gua. minha esposa Bianka pelo carinho, companheirismo, pela conana, por me ajudar a compor um cenrio mais adequada para o desenvolvimento deste trabalho e por revelar o melhor em mim. Aos meus irmos Bruno e Rodrigo, e ao meu pai Altair que sempre acreditaram indubitavelmente. Aos amigos que a vida me presenteou e que com o tempo permaneceram, por me conferirem completude. sociedade brasileira que mantem com seus impostos a estrutura do ensino pblico, em especial a to importante Universidade Estadual de Campinas: local de bons semeadores e boas sementes para uma nao melhor. ix

5. Amai-vos uns aos outros, como eu vos amo. Ningum tem maior amor do que aquele que d a sua vida por seus amigos. Joo 15:12-13 Eu quero saber como Deus criou este mundo. No estou interessado neste ou naquele fenmeno, no espectro deste ou daquele elemento. Eu quero conhecer os pensamentos Dele, o resto so detalhes. Albert Einstein xi

6. RESUMO Motivado pelo projeto de dispositivos magnetomecnicos, este trabalho consiste na modelagem e simulao macroscpicas de corpos constitudos de materiais magnticos, em frequncia nula, representados por arranjos de dipolos magnticos elementares em interao mtua, baseando- se no mtodo das fontes equivalentes (ESM, Equivalent Source Methods). O objetivo de modelagem e simulao se divide basicamente: na determinao do campo magntico - inclusive com o traado das linhas de induo magntica; na determinao da fora magntica e na obteno do torque magntico sobre os corpos. A soluo da fora magntica e do torque magntico garante o elo de interao do magnetismo com a mecnica, permitindo assim o estudo de dispositivos magnetomecnicos tais como acoplamentos e mancais magnticos passivos. Os corpos contemplados no estudo so do tipo m permanente, ferromagntico mole, paramagntico ou diamagntico. Um simulador denominado DipMag foi implementado em MATLAB . Casos de sistemas magnetostticos foram reproduzidos para a validao do simulador. Foram considerados sistemas com modelos algbricos, um sistema com modelo fenomenolgico, e sistemas com modelos numricos, inclusive com o uso do software FEMM. Constam casos como a determinao da fora e torque magntico entre ms paralelepipedais, atrao entre m e corpos ferromagntico mole e paramagntico, e a repulso entre m e corpo diamagntico. Em especial, na modelagem e simulao para compara- o com o caso experimental, onde um m paralelepipedal foi utilizado, obteve-se a polarizao magntica equivalente com o uso de um medidor de campo magntico (Gaussmeter ou Teslameter) juntamente com formulao analtica (modelo de Coulomb). Diante das comparaes o simulador DipMag foi bem sucedido na determinao do campo magntico externamente aos corpos, na obteno da fora magntica e do torque magntico sobre os corpos. Tendo em vista a forma adotada de representao magntica dos corpos, com a discretizao em dipolos magnticos dispostos em esferas, espera-se que o simulador DipMag possa evoluir da simulao esttica para a simulao dinmica, inclusive com acoplamento a mtodos de partculas (por exemplo o DEM, Discrete Ele- ment Method). Contudo, espera-se ainda que, no futuro, o desempenho do DipMag seja melhorado com o uso do FMM (Fast Multipole Method) e com o processamento paralelo em GPUs. Palavras-chave: Magnetomecnica; Magnetosttica; Mtodo dos Dipolos Magnticos Equivalen- tes; Clculo de Fora Magntica; Clculo de Torque Magntico; Traado das Linhas de Campo Magntico. xiii

7. ABSTRACT Aiming magnetomechanical devices projects, this master thesis approaches the modeling and macroscopic simulation of bodies composed by basic magnetic materials at null frequency, represented by arrays of elementary magnetic dipoles in mutual interaction, based on the equivalent sources method (ESM). The objectives are: determination of the magnetic eld - including mapping of magnetic induction lines, and computation of force and magnetic torque on bodies. The solution of force and magnetic torque ensures the interaction bond between magnetism and mechanics, allowing the study of magnetomechanical devices such as passive magnetic bearings and couplings. The kinds of materials included in this study are: permanent magnets, soft ferromagnetic, paramagnetic or diamagnetic. A simulator called DipMag was implemented in MATLAB . Cases of magnetostatic systems were reproduced to validate the simulator. Were considered: systems with algebraic models, phenomenological models and numerical models, including the use of the FEMM simulator. Were studied the determination of force and magnetic torque between parallelepipedal magnets, the attraction between a magnet and a soft ferromagnetic and a paramagnetic bodies, and repulsion between a magnet and a diamagnetic body. When in modeling and simulating for comparing our method to the experimental case where a parallelepipedal magnet was used, its equivalent magnetic polarization was calculated from measumerents using a magnetic eld meter (Teslameter or Gaussmeter) together with analytical formulation (Coulombian model). Our DipMag simulator was successful on determining magnetic eld outside the bodies, obtaining the magnetic force and torque on the magnetic bodies. The method used for representing the magnetic bodies by magnetic dipoles in spheres, opens a pathway for DipMag simulator evolution, from static simulation to dynamic simulation, including the coupling with particle methods like DEM (Discrete Element Method). And it is expected that the DipMag simulator performance can be improved by using FMM (Fast Multipole Method) with parallel processing on GPUs (Graphics Processing Unit). Keywords: Magnetomechanics; Magnetostatics; Equivalent Magnetic Dipole Method; Magnetic Force Computation; Magnetic Torque Computation; Plotting Magnetic Field Lines. xv

8. Lista de Ilustraes 2.1 Duas espiras de corrente. Determinao da fora (SADIKU, 2004). . . . . . . . . . 9 2.2 Geometria relativa a dois dipolos magnticos (YUNG; LANDECKER; VILLANI, 1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 Cilindro magnetizado por correntes eltricas elementares (adaptado de Tipler e Mosca (2005)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Sntese do modelo das correntes ctcias de Ampre, em um material com magnetizao homognea (adaptado de Tipler e Mosca (2005)). . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1 Linha de induo em cada ponto tangente aos vetores induo magntica B (USP, 2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Semelhana dos tringulos formados pelo vetor induo magntica e seus componentes; e o deslocamento elementar sob a linha de campo e seus componentes (adaptado de Sadiku (2004)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 Erro na mudana de direo da tangente linha de campo. . . . . . . . . . . . . . 28 5.1 Representao de um m permanente polarizado verticalmente por superfcies com cargas magnticas: modelo de Coulomb (YONNET, 1996). . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 Disposio geomtrica de ms paralelepipedais, com magnetizaes verticais perpendiculares s faces horizontais dos ms (AKOUN; YONNET, 1984; YONNET; ALLAG, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 m paralelepipedal com seus vrtices indicados por suas coordenadas em funo dos parmetros binrios: (i, k, p) para o primeiro m (inferior na Figura 5.2) e (j, l, q) para o segundo m (superior na Figura 5.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.4 Disposio de ms paralelepipedais para clculo de foras. As faces dos ms so paralelas. O m inferior tem faces 2A, 2B e 2C. O m superior tem faces 2a, 2b e 2c. 37 5.5 O m superior apresenta deslocamentos d assumindo posies nas quais a fora entre os ms paralelepipedais ser avaliada: deslocamento mximo dmax = 30 com a posio x = [4; 26] mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.6 Resultado grco da fora magntica Fx e Fy em funo do deslocamento d, para o clculo analtico e pontos experimentais (AKOUN; YONNET, 1984). Os pontos experimentais so representados por cruzes e o clculo analtico representado por linhas contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 xvii

9. 5.7 Grco dos resultados do exemplo de Akoun e Yonnet (1984) refeito com a determinao de Fz(d). Os valores calculados podem ser observados na Tabela 7.25 para Fx(d), na Tabela 7.26 para Fy(d) e na Tabela 7.27 para Fz(d). . . . . . . . . . . . . 39 5.8 Disposio de ms cbicos para o exemplo de clculo de torque. Os dois ms possuem as mesmas coordenadas x e y para seus vrtices e seus centros geomtricos esto distantes 20 mm no eixo z. Desta forma h a presena de uma lacuna de ar de altura h = 10 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.9 Deslocamento d proposto para avaliao da variao do torque entre ms cbicos: dmax = 40 com x = [20; 20] mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.10 Resultado grco do torque magntico Ty em funo do posicionamento em x, para o clculo analtico e resultados numricos com o FLUX3D (ALLAG; YONNET, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.11 Grco dos resultados do exemplo de Allag e Yonnet (2009) refeito. A curva equivalente quela obtida com o clculo analtico original cujo resultado est apresentado na Figura 5.10, indicando assim a validao das equaes aqui utilizadas. Os valores calculados para Ty podem ser observadas na Tabela 7.29. . . . . . . . . 45 5.12 Geometria do m paralelepipedal que produz a induo magntica B no ponto P (adaptado de Yonnet e Allag (2009)). Os vrtices do m paralelepipedal so caracterizados por suas coordenadas em funo dos parmetros binrios (i, j, k). . . 46 5.13 Fotograa do aparato experimental para medio da fora entre um m cbico e uma esfera de ao, com espaamento de uma chapa de alumnio: vista lateral. . . . 48 5.14 Desenho em perspectiva do aparato experimental para medio da fora entre um m cbico e uma esfera de ao, com espaamento de trs chapas de alumnio, apresentadas sob corte parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.15 Visualizao somente do m cbico, da esfera de ao e dos espaadores de alumnio nas seis conguraes para a medio da fora magntica, com o aparato apresentado na Figura 5.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.16 Grco da fora magntica mdia observada em funo do espaamento d entre o m cbico e a esfera de ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.17 Grco de 1/ 4 F(d) para pontos experimentais e reta ajustada com parmetros da Tabela 5.5 (a + b d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.18 Grco da funo F(d) (Equao (5.35)) ajustada s medidas de fora magntica observadas no experimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 xix

10. 5.19 Arranjos para a medio da induo magntica a pequenas distncias d do centro da face norte do m cbico. Os mesmos espaadores de alumnio usados para a medio da fora magntica foram usados na medio da induo magntica. . . . 54 5.20 Grco da induo magntica observada a distncias d. . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.21 Grco de 1/ 3 B(d) para pontos do experimento e reta encontrada com parmetros da Tabela 5.7 (a + b d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.22 Grco da funo B(d) (Equao (5.37)) ajustada s medidas de induo magntica observadas no experimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.23 Grco da induo magntica Bcalc em funo da coordenada z e da polarizao Jexp. 59 5.24 Grco da diferena de rea A em funo da polarizao do m utilizado no experimento Jexp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.25 Grco de comparao entre a induo magntica calculada Bcalc e a induo magntica medida no experimento Bexp, em funo da cota z. Coeciente de determinao entre as curvas R2 = 0.9150. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.26 Arranjos para a medio da fora magntica entre m cilndrico e esfera paramagntica e diamagntica. Cilindro com dimetro = 10 [mm] e comprimento L = 20 [mm] e esfera tambm com dimetro = 10 [mm]. . . . . . . . . . . . . 62 5.27 Valores da Induo magntica B tomadas a distncias dz =]0; 10] mm nas proximidades do polo norte do m cilndrico de NdFeB, a partir da simulao no software FEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.28 Resultado grco da simulao de um m cilndrico de NdFeB, no FEMM. Le- genda a direita indicando a colorao correspondente aos valores do mdulo da induo magntica. Simulao com simetria axial (axisymmetric) tendo como contorno um arco com raio R = 5 cm, cuja condio de contorno emula o espao aberto de acordo com as orientaes indicadas em Meeker (2006, p. 5). . . . . . . . 65 5.29 Grco do mdulo das foras entre o m cilndrico e a esfera paramagntica de gadolnio, obtidas nas simulaes com o programa FEMM, para as disposies apresentadas na Figura 5.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.30 Resultado da simulao no FEMM da interao magntica entre um m cilndrico e uma esfera paramagntica de gadolnio, distantes 6 mm. Legenda a direita indicando a colorao correspondente aos valores do mdulo da induo magntica. Simulao com simetria axial (axisymmetric) tendo como contorno um arco com raio R = 7.5 cm, cuja condio de contorno emula o espao aberto de acordo com as orientaes indicadas em Meeker (2006, p. 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 xxi

11. 5.31 Grco do mdulo das foras entre o m cilndrico e a esfera diamagntica, obtidas nas simulaes com o programa FEMM, para as disposies apresentadas na Figura 5.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.32 Resultado da simulao no FEMM da interao magntica entre um m cilndrico e uma esfera diamagntica, em contato. Legenda a direita indicando a colorao correspondente aos valores do mdulo da induo magntica. Simulao com simetria axial (axisymmetric) tendo como contorno um arco com raio R = 7.5 cm, cuja condio de contorno emula o espao aberto de acordo com as orientaes indicadas em Meeker (2006, p. 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1 Momentos magnticos em um dado volume (LOWRIE, 2007). . . . . . . . . . . . 74 6.2 Cubo representado por dipolos magnticos em esferas. . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.3 Paraleleppedo representado por (a) ms elementares e (b) laos de corrente eltrica elementares (LOWRIE, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.4 Corpo cbico representado por dipolos magnticos em esferas e um nico dipolo magntico em uma esfera externa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.5 Corpos cbicos representados por dipolos magnticos em esferas. . . . . . . . . . . 83 6.6 Paraleleppedo reto seccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.7 Cilindro reto seccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.8 Esferas dispostas em uma seo circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.9 Esferas dispostas em uma circunferncia j interna seo circular. . . . . . . . . . 89 6.10 Trecho de tubo seccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.11 Esferas dispostas em um aro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.12 Esfera seccionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.13 Relaes entre RS, RE, Rdip e zS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.14 Cone seccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.15 Toroide seccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.16 Cunha seccionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.17 Grco do nmero total de dipolos nP em funo do raio dos dipolos Rdip, para um cubo de lado igual a 10 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.18 Comparao entre tempos de processamento em CPU e GPU para: avaliao direta, FMM e Treecode (BARBA; YOKOTA, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.1 m cbico representado por quatro aglomerados de dipolos magnticos em esferas com diferentes raios: 2.5 mm, 1.25 mm, 1.0 mm e 0.5 mm. . . . . . . . . . . . . 110 xxiii

12. 7.2 Grco de comparao entre os valores de induo magntica obtidos experimentalmente Bexp e os valores obtidos com o simulador DipMag para o m modelado por 8, 64, 125, 1000, 8000 e 125000 dipolos. Pode-se observar a melhor delidade da simulao com o experimento quando o raio dos dipolos menor, devido hiptese de campo distante adotada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3 Grco de comparao entre os valores de induo magntica obtidos por clculo analtico Bcalc e os valores obtidos com o simulador DipMag para o m modelado por 8, 64, 125, 1000, 8000 e 125000 dipolos. Pode-se observar a melhor delidade da simulao com a modelagem algbrica (modelo de Coulomb) quando o raio dos dipolos menor, devido hiptese de campo distante adotada. . . . . . . . . . . . 113 7.4 Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 8 dipolos. . . . . 114 7.5 Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 64 dipolos. . . . 115 7.6 Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 125 dipolos. . . 116 7.7 Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 1000 dipolos. . . 117 7.8 Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 8000 dipolos. . . 118 7.9 Grco de comparao entre a curva de induo magntica ajustada aos pontos experimentais (Bexp), entre os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os 101 pontos obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 125000 dipolos. 119 7.10 Resultado grco do traado das linhas de induo magntica do m cbico representado por 125 dipolos magnticos equivalentes, no programa DipMag. . . . . . . 122 7.11 m cbico representado por 125 dipolos e esfera de ao representada por 501 dipolos na simulao FDipMag125x501. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.12 m cbico representado por 1000 dipolos e esfera de ao representada por 1000 dipolos na simulao FDipMag1000x1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 xxv

13. 7.13 Curva M(H) para esferas constitudas do ao cromo AISI 52100 (SHAH et al., 2011).126 7.14 Curva M(H) e B(H) para esferas constitudas do ao cromo AISI 52100. . . . . . 128 7.15 Grco dos resultados das foras obtidas nas simulaes com o programa DipMag em comparao com os resultados obtidos experimentalmente. . . . . . . . . . . . 130 7.16 Resultado grco do traado das linhas de induo magntica da interao, com d = 2 mm, entre um m cbico de NdFeB e uma esfera de ao AISI 52100, modelados por dipolos magnticos equivalentes, no programa DipMag. . . . . . . . 132 7.17 Resultado grco do traado das linhas de induo magntica da interao, com d = 4 mm, entre um m cbico de NdFeB e uma esfera de ao AISI 52100, modelados por dipolos magnticos equivalentes, no programa DipMag. Parte das linhas que emanam do hemisfrio superior da esfera de ao aparecem com traado interrompido pelo limite da gura: a continuao destas tem como destino o polo sul do m cbico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.18 Exemplo de discretizao de m cilndrico e esfera no simulador DipMag. . . . . . 134 7.19 Coeciente de desmagnetizao para ms cilndricos com magnetizao axial (PARKER, 1990). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.20 Representao do m cilndrico no simulador DipMag por 160 dipolos magnticos equivalentes, com mz = 10.033 [mA.m2 ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.21 Grco de comparao entre os valores de induo magntica obtidos numerica- mente BFEMM e os valores obtidos com o simulador DipMag para o m modelado por 20, 160, 1500, 12280 e 99600 dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.22 Grco de comparao entre os valores de induo magntica obtidos numerica- mente com o FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m cilndrico modelado por 20 dipolos de raio Rdip = 2.0 mm. . . . . . . . . . 141 7.23 Grco de comparao entre os valores de induo magntica obtidos numerica- mente com o FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m cilndrico modelado por 160 dipolos de raio Rdip = 1.0 mm. . . . . . . . . . 142 7.24 Grco de comparao entre os valores de induo magntica obtidos numerica- mente com o FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m cilndrico modelado por 1500 dipolos de raio Rdip = 0.5 mm. . . . . . . . . 143 7.25 Grco de comparao entre os valores de induo magntica obtidos numerica- mente com o FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m cilndrico modelado por 99600 dipolos de raio Rdip = 0.125 mm. . . . . . . 144 xxvii

14. 7.26 Esquerda: m cilndrico representado por 504 dipolos e esfera representada por 599 dipolos na simulao FDipMag504x599. Direita: m cilndrico representado por 1008 dipolos e esfera representada por 1000 dipolos na simulao FDip- Mag1008x1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.27 Grco de comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e esfera paramagntica de gadolnio, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e com o simulador DipMag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.28 Grco de comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e esfera diamagntica hipottica, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e com o simulador DipMag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.29 ms paralelepipedais representados por aglomerados de dipolos magnticos em esferas, com Rdip = 1.0 mm. Existncia de um air gap entre os corpos com altura h = 2 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.30 Grco de comparao entre os resultados (pontos) obtidos nas simulaes com o programa DipMag e as curvas calculadas analiticamente com a proposta de Akoun e Yonnet (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.31 Resultado grco do traado das linhas de induo magntica da interao entre dois ms paralelepipedais, modelados por dipolos magnticos equivalentes, no programa DipMag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.32 ms cbicos representados por aglomerados de dipolos magnticos em esferas, com polarizao vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.33 Grco de comparao entre os resultados (pontos) obtidos nas simulaes com o programa DipMag e as curvas calculadas analiticamente com a proposta de Allag et al. (2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.34 Resultado grco do traado das linhas de induo magntica da interao entre dois ms cbicos, modelados por dipolos magnticos equivalentes, no simulador DipMag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.1 Experincia de ersted (USP, 2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A.2 Campo magntico em torno de um o conduzindo corrente eltrica (LOWRIE, 2007).184 A.3 Campo magntico elementar dH devido ao elemento de corrente Idl (adaptado de Jackson (1962)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.4 ms partidos sempre geram novos ms com polos norte e sul (baseado em Sadiku (2004)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 xxix

15. B.1 Nuvem eletrnica orbitando o ncleo atmico (baseado em Konrad e Chanberlain (1987)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 B.2 Movimento orbital do eltron em torno do ncleo atmico e em uma espira (baseado em Konrad e Chanberlain (1987)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 B.3 Dipolo magntico pelo movimento orbital do eltron. . . . . . . . . . . . . . . . . 195 B.4 Dipolo magntico pelo movimento spin do eltron (baseado em Konrad e Chanber- lain (1987)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 B.5 Dipolos no tomo (baseado em Konrad e Chanberlain (1987)). . . . . . . . . . . . 197 B.6 Grco da magnetizao M num material diamagntico em funo do campo magntico H aplicado (adaptado de Butler (1992)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 B.7 Comportamento do uxo magntico diante de um material diamagntico envolto pelo espao livre (LAPLACE.US.ES, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.8 Grco da magnetizao M num material paramagntico em funo do campo magntico H aplicado (adaptado de Butler (1992)). . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 B.9 a) Magnetizao paramagntica em funo de a. b) Magnetizao paramagntica em funo da temperatura T (TAUXE, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 B.10 Grco da funo de Langevin L(a) (BUTLER, 1992). . . . . . . . . . . . . . . . 203 B.11 Diviso energeticamente vivel em domnio magnticos (WIKIPEDIA, 2013). . . . 208 B.12 Parede entre domnios com gradual alterao da orientao dos dipolos magnticos (CALLISTER; RETHWISCH, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 B.13 Curva de primeira imantao de um corpo ferromagntico (adaptado de Callister e Rethwisch (2010)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 B.14 Ciclo de histerese (adaptado de Callister e Rethwisch (2010)). . . . . . . . . . . . 211 B.15 Ciclo de histerese esquemtico para materiais ferromagnticos duros e moles (adaptado de Callister e Rethwisch (2010)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 B.16 Ciclo de histerese de um m com distino da curva normal e curva intrnseca (PARKER, 1990). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 B.17 Exemplo de circuito magntico (BASTOS, 2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 B.18 Curvas de desmagnetizao com indicao da reta de carga (adaptado de Parker (1990)). O ndice i na gura refere-se a intrnseco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 B.19 Ponto de Operao com mximo produto entre a induo magntica Bd e a intensidade de campo magntico Hd: BHmax (adaptado de Constantinides (2013)). . . . . 217 C.1 Exemplo 1 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 C.2 Exemplo 2 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 xxxi

16. C.3 Exemplo 3 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 C.4 Exemplo 4 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 C.5 Exemplo 5 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 C.6 Exemplo 6 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 C.7 Exemplo 7 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 C.8 Exemplo 8 para o clculo de U, B, F e T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 xxxiii

17. Lista de Tabelas 5.1 Dados de dois ms permanentes paralelepipedais do exemplo apresentado por Akoun e Yonnet (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Dados de dois ms permanentes cbicos do exemplo apresentado por Allag e Yon- net (2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Especicao da clula de carga, de ponto nico, utilizada no experimento (HBM, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Mdia dos valores de fora magntica de interao entre o m cbico e a esfera de ao, obtidos experimentalmente em funo do espaamento d. S indica o desvio padro das medies obtidas em cada congurao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.5 Parmetros a e b da reta de ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.6 Valores de induo magntica observados para diferentes espaamentos d. . . . . . 54 5.7 Parmetros a e b da reta de ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.8 Parmetros do m utilizado no experimento de acordo com as variveis utilizadas no modelo de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.9 Correspondncia entre as distncias d e coordenadas z, de acordo com o experimento e o modelo de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.10 Propriedades magnticas do m de NdFeB 40MGOe. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.11 Alguns valores da Induo magntica B determinados nas proximidades do polo norte do m cilndrico de NdFeB, a partir da simulao no software FEMM. . . . . 63 5.12 Resultados de foras entre m cilndrico e esfera paramagntica de gadolnio, obtidas nas simulaes com o programa FEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.13 Resultados de foras entre m cilndrico e esfera diamagntica, obtidas nas simulaes com o programa FEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.1 Propriedades dos dipolos magnticos nas simulaes para a determinao do campo magntico, realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o renamento da discretizao, que implica em um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2 Determinao da induo magntica de um im cbico no simulador DipMag (DM), com diferentes quantidades de dipolos magnticos equivalentes. . . . . . . . 111 xxxv

18. 7.3 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 8 dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.4 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 64 dipolos (Rdip = 1.25 mm). . . . . . . 115 7.5 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 125 dipolos (Rdip = 1 mm). . . . . . . . 116 7.6 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 1000 dipolos (Rdip = 0.5 mm). . . . . . . 117 7.7 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 8000 dipolos (Rdip = 0.25 mm). . . . . . 118 7.8 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos experimentalmente (Bexp), os valores calculados analiticamente (Bcalc) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 125000 dipolos (Rdip = 0.1 mm). . . . . 119 7.9 Nmero de dipolos no m cbico e na esfera de ao para as simulaes realizadas no DipMag, para a determinao de fora magntica. . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.10 Propriedades dos dipolos magnticos dos aglomerados com 125 e 1000 dipolos que representam o m cbico de NdFeB, nas simulaes para determinao da fora magntica, realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o renamento da discretizao, que implica em um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.11 Pontos da curva M(H) e B(H) obtidos a partir da Figura 7.13 . . . . . . . . . . . 127 7.12 Fora magntica em funo do espaamento d entre o m cbico e a esfera de ao, resultado das simulaes no DipMag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.13 Resultados das foras obtidas nas simulaes com o programa DipMag (FDipMag125x501) em comparao com os resultados obtidos experimentalmente (FExp). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 xxxvii

19. 7.14 Propriedades dos dipolos magnticos dos aglomerados de dipolos que representam o m cilndrico de NdFeB, nas simulaes para determinao da induo magntica, realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o renamento da discretizao, que implica em um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.15 Determinao da induo magntica de um im cilndrico no simulador DipMag (DM), com diferentes quantidades de dipolos magnticos equivalentes. . . . . . . . 139 7.16 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos com o software FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 160 dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.17 Comparao entre os valores de induo magntica obtidos com o software FEMM (BFEMM ) e os valores obtidos com o programa DipMag para o m modelado por 99600 dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.18 Nmero de dipolos no m cilndrico e na esfera para as simulaes realizadas no DipMag, para a determinao de fora magntica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.19 Propriedades dos dipolos magnticos dos aglomerados de dipolos que representam o m cilndrico de NdFeB, nas simulaes para determinao da fora magntica, realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o renamento da discretizao, que implica em um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.20 Comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e esfera paramagntica de gadolnio, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e com o DipMag FDipMag504x599. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.21 Comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e esfera paramagntica de gadolnio, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e com o DipMag FDipMag1008x1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.22 Comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e esfera diamagntica, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e com o DipMag FDipMag504x599.152 7.23 Comparao entre os resultados de foras entre m cilndrico e esfera diamagntica, obtidas nas simulaes com o programa FEMM e com o DipMag FDipMag1008x1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 xxxix

20. 7.24 Propriedades dos dipolos magnticos dos aglomerados que representam os ms paralelepipedais, nas simulaes para determinao da fora magntica, realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o renamento da discretiza- o, que implica em um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetiza- o uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7.25 Comparao entre os resultados dos valores de fora na direo x, obtidos nas simulaes com o programa DipMag e os valores calculadas analiticamente com a proposta de Akoun e Yonnet (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.26 Comparao entre os resultados dos valores de fora na direo y, obtidos nas simulaes com o programa DipMag e os valores calculadas analiticamente com a proposta de Akoun e Yonnet (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.27 Comparao entre os resultados dos valores de fora na direo z, obtidos nas simulaes com o programa DipMag e os valores calculadas analiticamente com a proposta de Akoun e Yonnet (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.28 Propriedades dos dipolos magnticos dos aglomerados que representam os ms cbicos, nas simulaes para determinao do torque magntico, realizadas com o programa DipMag. O raio do dipolo determina o renamento da discretizao, que implica em um determinado nmero de dipolos no m, que implica no valor do momento magntico em cada dipolo, que tambm funo da magnetizao uniforme equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.29 Comparao entre os resultados (pontos) obtidos nas simulaes com o programa DipMag e as curvas calculadas analiticamente com a proposta de Allag et al. (2011). 165 xli

21. Lista de Abreviaturas e Siglas Letras Latinas ABC... Letras em negrito: Vetores B Induo Magntica ou Densidade de Fluxo Magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [T] E Intensidade de Campo Eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[V/m] F Fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N] H Intensidade de Campo Magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [A/m] J Polarizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [T] Js Densidade Supercial de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [A/m2 ] M Magnetizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [A/m] m Momento Magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [A/m2 ] n Vetor Normal r Posio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] T Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N.m] v Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] A rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 ] ABC... Letras em itlico: Escalares Bi Induo Magntica Intrnseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[T] Br Induo Magntica Remanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [T] BHmax Mximo Produto BH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kJ/m3 ] dl Elemento diferencial de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] xliii

22. e carga eltrica: 1.6019 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [C] ET Energia Trmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[J] Hc Campo Coercitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [A/m] I Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[A] kB Constante de Boltzmann: 1.3806503 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [J/K] L Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m] P Permencia ou coeciente de auto-desmagnetizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [G/Oe] q Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [C] R Raio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] S Superfcie ou Seo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 ] t Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] U Energia Potencial Magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[J] V Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m3 ] x Coordenada ou direo x y Coordenada ou direo y z Coordenada ou direo z Letras Gregas Suscetibilidade magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[] Permeabilidade magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [H/m] 0 Permeabilidade magntica do espao livre: 4 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [H/m] r Permeabilidade magntica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [] Fluxo Magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Wb] xlv

23. ngulo 0 Permissividade Eltrica do espao livre: 8.854 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[F/m] Abreviaes Operador Nabla max Mximo min Mnimo Siglas DEM Discrete Element Method DMC Departamento de Mecnica Computacional ESM Equivalent Source Method ESMD Equivalent Magnetic Dipole Method ESMI Equivalent Magnetizing Current Method ESMQ Equivalent Magnetic Charge Method FEM Finite Element Method MST Maxwells Stress Tensor VWM Virtual Work Method xlvii

24. SUMRIO Lista de Ilustraes xvii Lista de Tabelas xxxv Lista de Abreviaturas e Siglas xliii SUMRIO xlix 1 INTRODUO 1 1.1 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Reviso Bibliogrca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 FORA E TORQUE MAGNTICOS 7 2.1 Fora Magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Fora de Lorentz - Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Fora de Laplace - Condutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.3 Fora entre Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.4 Fora de Interao Dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Torque Magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Torque de Interao Dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 MODELAGEM DE CORPOS MAGNTICOS 19 3.1 Modelagem Magntica em Escala Macroscpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.1 Mtodos das Fontes Magnticas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Mtodos dos Dipolos Magnticos Equivalentes (ESMD) . . . . . . . . 22 4 MAPEAMENTO DO CAMPO MAGNTICO: TRAADO DAS LINHAS DE IN- DUO MAGNTICA B 25 4.1 O Mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Considerao sobre Preciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 xlix

25. 5 CASOS DE SISTEMAS MAGNETOSTTICOS PARA COMPARAO 29 5.1 CASOS COM MODELO ANALTICO: MODELO DE COULOMB . . . . . . . . 29 5.1.1 Fora Magntica entre ms Paralelepipedais . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Exemplo de Determinao da Fora: Clculo Analtico . . . . . . . . . 36 5.1.2 Torque Magntico entre ms Paralelepipedais . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Exemplo de Determinao do Torque: Clculo Analtico . . . . . . . . 42 5.1.3 Determinao Analtica da Induo Magntica B de um m Paralelepipedal 45 5.2 CASOS EXPERIMENTAIS: MODELO FENOMENOLGICO . . . . . . . . . . 47 5.2.1 Fora Magntica entre m Cbico de NdFeB e Esfera de Ao . . . . . . . 47 5.2.2 Avaliao do Campo Magntico do m Cbico de NdFeB . . . . . . . . . 53 5.2.3 Determinao da Polarizao J Uniforme Equivalente do m Cbico de NdFeB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 CASOS COM MODELOS NUMRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3.1 Avaliao da Induo Magntica de um m Cilndrico de NdFeB . . . . . 63 5.3.2 Atrao entre m Cilndrico e Esfera Paramagntica . . . . . . . . . . . . 66 5.3.3 Repulso entre m Cilndrico e Esfera Diamagntica . . . . . . . . . . . . 69 6 IMPLEMENTAO DO SIMULADOR DIPMAG 73 6.1 Representao Geral de um Corpo Magntico no DipMag . . . . . . . . . . . . . . 74 6.2 Determinao do Campo Magntico no DipMag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Representao de m Permanente no DipMag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.4 Representao de Corpos Ferromagnticos Moles no DipMag . . . . . . . . . . . . 80 6.5 Representao de Corpos Paramagnticos e Diamagnticos no DipMag . . . . . . . 81 6.6 Determinao da Fora Magntica F no DipMag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.7 Determinao do Torque Magntico T no DipMag . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.8 Discretizao dos Corpos em Esferas Elementares no DipMag . . . . . . . . . . . 84 6.8.1 Corpos Paralelepipedais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.8.2 Corpos Cilndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.8.3 Corpos Tubulares ou Anelares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.8.4 Corpos Esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.8.5 Demais Corpos - Slidos Primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.9 Traado das Linhas de Induo Magntica B em 3D no DipMag . . . . . . . . . . 100 6.10 Algoritmo DipMag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.11 Complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.12 Consideraes sobre o uso do FMM com Processamento Paralelo . . . . . . . . . . 105 li

26. 7 RESULTADOS DAS SIMULAES NO DIPMAG E DISCUSSES 109 7.1 Simulaes em Comparao com Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.1.1 Avaliao do Campo Magntico de um m Cbico de NdFeB . . . . . . . 109 7.1.2 Fora Magntica entre m Cbico de NdFeB e Esfera de Ao . . . . . . . 122 7.2 Interaes com m Cilndrico de NdFeB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2.1 Avaliao do Campo Magntico do m Cilndrico . . . . . . . . . . . . . 137 7.2.2 Atrao entre m Cilndrico e Esfera Paramagntica . . . . . . . . . . . . 147 7.2.3 Repulso entre m Cilndrico e Esfera Diamagntica . . . . . . . . . . . . 151 7.3 Interao entre ms Paralelepipedais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.3.1 Fora Magntica entre ms Paralelepipedais . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.3.2 Torque Magntico entre ms Paralelepipedais . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8 CONCLUSO 169 8.1 Perspectivas para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 REFERNCIAS 175 APNDICES 182 A CAMPO MAGNTICO - MAGNETOSTTICA 183 A.1 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.2 Equaes de Maxwell na Magnetosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 A.2.1 Relaes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 A.2.2 Lei Circuital de Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 A.2.3 Lei de Gauss para Campos Magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.2.4 Lei de Faraday-Neumann-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 B MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS 193 B.1 Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 B.2 Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.3 Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 B.3.1 Inuncia da Temperatura: Lei de Curie Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . 205 B.3.2 Domnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 B.3.3 Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 B.3.4 Materiais Ferromagnticos Moles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 B.3.5 Materiais Ferromagnticos Duros (ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 liii

27. Reta de Carga de ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 C Exemplos: Determinao de Energia, Induo, Fora e Torque Magnticos de Inte- rao Dipolar 219 lv

28. 1 INTRODUO Inicialmente, esclareceremos os motivos, os objetivos, as principais referncias e de que forma o trabalho est estruturado. 1.1 Motivao A motivao encontra-se no estudo de acoplamentos e mancais magnticos passivos baseados em ms permanentes. Uma tcnica de modelagem do magnetismo em materiais baseada na discretizao por dipolos magnticos equivalentes permitiria a implementao de um simulador da dinmica de sistemas magnetomecnicos com mtodo de partculas, considerando foras e torques magnticos na intera- o entre os corpos. No h qualquer motivao na substituio de mtodos consagrados como o mtodo de elementos nitos (FEM, Finite Element Method), mas h motivao na ampliao do caminho para o uso de mtodos de partculas em problemas multifsicos que envolvam magnetismo. Alm disso, os mtodos de partculas so muito favorveis distribuio do cmputo em processadores paralelos, tema que tambm objeto de pesquisa de nosso grupo. 1.2 Objetivos Modelar, macroscopicamente, os principais comportamentos magnticos (ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo) de corpos, em frequncia nula ou quase nula, especialmente os casos onde no haja contato entre os corpos, onde exista ao menos uma lacuna de ar (air gap). Este objetivo principal pode ser subdivido nos seguintes objetivos intermedirios: 1. Representar ms permanentes por dipolos magnticos equivalentes, apresentando inclusive uma forma de determinao experimental da polarizao magntica uniforme equivalente do 1

29. m com uso da formulao para a induo magntica de acordo com o modelo de Coulomb (YONNET; ALLAG, 2009); 2. Representar corpos ferromagnticos moles por dipolos magnticos equivalentes; 3. Representar corpos paramagnticos e diamagnticos por dipolos magnticos equivalentes; 4. Determinar o campo magntico criado no entorno dos corpos magnticos; 5. Determinar a fora magntica de interao entre os corpos; 6. Determinar o torque magntico de interao entre os corpos; 7. Mapear o campo magntico que permeia os corpos, atravs do traado das linhas de induo magntica; 8. Implementar o simulador DipMag que simule a interao magnetosttica entre corpos, com base nos objetivos descritos acima. 1.3 Reviso Bibliogrca A presente seo tem o objetivo de relacionar as principais referncias deste texto. Tendo em vista o interesse do nosso grupo de pesquisa, trs textos trouxeram especial motivao ao presente trabalho: Kotera et al. (1997) utilizou um mtodo de partculas associado ao clculo de fora magntica para modelar o comportamento de compactao de partculas magnticas. A ideia de modelagem da interao magntica entre as partculas juntamente com o tratamento da coli- so entre estas partculas com um mtodo de partcula trouxe grande motivao ao presente trabalho. A forma de cmputo da fora magntica apresentada muito semelhante que ser adotada no presente trabalho; Tatsuishi et al. (2011) estudam o comportamento de uma grande quantidade de partculas magnticas (problema de N-Corpos) utilizando uma combinao do mtodo de elementos discretos (DEM, Discret Element Method) com clculo de interao magntica, utilizando o algoritmo FMM (Fast Multipole Method) para a reduo da complexidade do problema; 2

30. Baseado no natural paralelismo presente nos problemas de N-Corpos, Barba e Yokota (2010) implementaram o algoritmo FMM (bem como o Treecode) em um processador paralelo (GPU com CUDA, ferramenta que j est introduzida em nosso grupo de pesquisas) para a reduo da complexidade e promoo da celeridade na soluo dos problemas desta natureza. As referncias de base para o estudo do magnetismo concentraram-se em Jackson (1962), Bastos (2004) e Sadiku (2004). Em Bastos (2004) temos a apresentao do magnetismo (em baixa frequncia) j a partir das equaes de Maxwell. Em Jackson (1962) so apresentados casos importantes como do comportamento de esferas magnticas na presena de campos magnticos. Em Sadiku (2004), alm dos fundamentos do magnetismo, o autor apresenta um mtodo relativamente simples para o traado de linhas de campo eltrico, que levaram aos textos especcos e fundamentais de Merrill (1971), Kirkup (1985) e Liu et al. (2008): referncias para o traado das linhas de campo magntico apresentado no Captulo 4. Em Oliveira (2010) encontram-se fundamentos do magnetismo na matria, com conceitos da mecnica quntica. Alguns textos em paleomagnetismo e geofsica contriburam pelo cuidado ao apresentar o magnetismo em meios materiais. Especialmente Tauxe (2010), Butler (1992) e Lowrie (2007). Callister e Rethwisch (2010) apresentam de forma objetiva e interessante os materiais magnticos. Parker (1990) apresenta importantes detalhes a respeito da aplicao de ms permanentes. Para este trabalho em especial, destaca-se a apresentao do conceito de permencia magntica e as tabelas prticas para a determinao desta permencia em circuito aberto. Yung, Landecker e Villani (1998) e Landecker, Villani e Yung (1999) apresentam os fundamentos para a determinao analtica da fora e do torque entre partculas magnticas. Tipler e Mosca (2005) trazem uma apresentao rpida e clara a respeito dos fundamentos da modelagem a partir das correntes de Ampre. Delno et al. (2001) revisam os principais mtodos de fontes magnticas equivalentes para a determinao da fora magntica sobre ms e os compara com os mtodos tradicionais: mtodo 3

31. do trabalho virtual e mtodo de tensor de Maxwell. Akoun e Yonnet (1984), Yonnet e Allag (2009), Allag e Yonnet (2009), Allag et al. (2011) apresentam os fundamentos do modelo Coulomb para a determinao analtica da energia magntica, campo magntico, fora e torque magnticos em ms paralelepipedais. Tais referncias foram importantes inclusive por conterem exemplos calculados com o modelo Coulomb utilizados na validao do simulador DipMag. 1.4 Estrutura do Trabalho A dissertao est estruturada da seguinte forma: A REVISO BIBLIOGRFICA vai do Captulo 2 primeira seo do Captulo 5. No entanto, aos leitores no iniciados em magnetosttica e nos principais materiais magnticos, recomenda-se iniciar a leitura pelo Apndice A e Apndice B; Os MATERIAIS E MTODOS vo da segunda seo do Captulo 5 ao Captulo 6; Os RESULTADOS E DISCUSSES apresentam-se no Captulo 7; A CONCLUSO est no Captulo 8. O contedo dos captulos apresentado brevemente a seguir: Apndice A: CAMPO MAGNTICO - MAGNETOSTTICA Revisa as ideias fundamentais do magnetismo em frequncia nula (magnetosttica), observando principalmente as equaes de Maxwell pertinentes, e a Lei de Biot-Savart. Apndice B: MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS Revisa os conceitos mais difundidos a respeito do magnetismo em meios materiais, abor- dando os principais comportamentos magnticos: ferromagnetismo, paramagnetismo e diamagnetismo. 4

32. Captulo 2: FORA E TORQUE MAGNTICOS Revisa os conceitos para o clculo da fora magntica sobre cargas, condutores e dipolos magnticos, e do torque magntico sobre dipolos; Captulo 3: MODELAGEM DE CORPOS MAGNTICOS Apresenta as principais ideias de modelagem de corpos magnticos por fontes magnticas equivalentes, com especial ateno ao mtodo dos dipolos magnticos equivalentes; Captulo 4: MAPEAMENTO DO CAMPO MAGNTICO: TRAADO DAS LINHAS DE INDUO MAGNTICA B Descreve um mtodo para o mapeamento do campo magntico (traado das linhas de induo magntica); Captulo 5: CASOS DE SISTEMAS MAGNETOSTTICOS PARA COMPARAO Apresenta casos (sistemas) analticos (modelo de Coulomb), experimentais e numricos para a validao do simulador DipMag; Captulo 6: IMPLEMENTAO DO SIMULADOR DIPMAG Discorre sobre a metodologia adotada para a implementao do simulador DipMag; Captulo 7: RESULTADOS DAS SIMULAES NO DIPMAG E DISCUSSES Apresenta as simulaes realizadas com o simulador DipMag e discute estes resultados em comparao com os casos colecionados no Captulo 5; Captulo 8: CONCLUSO Avalia o alcance dos objetivos propostos, observa e resume pontos importantes esclarecidos pelo trabalho, e aponta rumos para o aprimoramento do simulador implementado; Apndice C: Exemplos: Determinao de Energia, Induo, Fora e Torque Magnticos de Interao Dipolar Adicionalmente, apresenta alguns exemplos de clculos de acordo com o contedo apresentado no Captulo 2. 5

33. 2 FORA E TORQUE MAGNTICOS No presente captulo so apresentados os conceitos fundamentais para o clculo da fora magntica sobre cargas, condutores e dipolos magnticos, bem como para o clculo do torque magntico. A determinao da fora e do torque magnticos fundamental no projeto de dispositivos magnetomecnicos. atravs destas grandezas que podemos iniciar a avaliao do comportamento e da ecincia de uma suspenso magntica, por exemplo. Uma vez determinadas as foras e torques magnticos que agem sobre um corpo, pode-se som-los s demais foras e torques atuantes para determinar o estado de movimento deste corpo. O fato deste trabalho tratar da obteno de foras e torques magnticos a partir de corpos modelados por dipolos magntico elementares viabiliza uma futura integrao a um simulador multifsico baseado em partculas, que seja capaz de somar estas foras e torques com foras e torques oriundos de outros fenmenos fsicos. 2.1 Fora Magntica 2.1.1 Fora de Lorentz - Carga Da experincia se verica-se que uma carga q se movimentando com velocidade v numa regio do espao onde exista uma induo magntica B experimenta uma fora magntica Fm dada pela Equao (2.1). Fm = qv B (2.1) Esta fora magntica sobre a partcula perpendicular tanto induo magntica B quanto ao vetor velocidade da partcula carregada v, j que resultado de um produto vetorial. Assim, esta fora no realiza trabalho e no contribui para o aumento da energia cintica (SADIKU, 2004). Ainda, de acordo com a lei experimental de Coulomb, uma carga eltrica q na presena de 7

34. um campo eltrico E experimenta uma fora eltrica Fe expressa pela Equao (2.2). Fe = qE (2.2) Assim, se a carga eltrica se movimenta imersa num campo magntico e tambm num campo eltrico a Equao (2.3) determina a fora total sobre a carga, e conhecida como equao de fora de Lorentz: a soma da Equao (2.1) com a Equao (2.2). FL = q(E + v B) (2.3) A soluo da equao de fora de Lorentz fundamental para a determinao do movimento de partculas carregadas na presena de campos magnticos e eltricos. Sem a presena de campo eltrico, para os objetivos deste trabalho a extenso da Equa- o (2.1) nos levar determinao da fora magntica elementar sobre condutores eltricos. 2.1.2 Fora de Laplace - Condutor Em um condutor eltrico, uma quantidade elementar de carga eltrica dq, que se desloca com velocidade v, num intervalo de tempo dt, percorre um elemento de linha dl apresentado corrente eltrica I, dados por: dl = vdt (2.4) I = dq dt (2.5) Ao multiplicarmos estas duas equaes teremos: Idl = dq dt dtv = dqv (2.6) A substituio desta identidade na Equao (2.1) nos levar fora elementar de Laplace para o elemento de condutor dl. dF = Idl B (2.7) A Equao (2.7) sob a forma integral, para a corrente eltrica I percorrendo um caminho 8

35. (circuito) fechado L imerso em B nos prov a fora sobre condutores como no caso de uma espira circular (lao de corrente): F = L Idl B (2.8) Finalmente, tendo que um condutor produz uma induo B no seu entorno podemos com a Equao (2.8) determinar a fora de interao entre condutores. 2.1.3 Fora entre Condutores Ampre se ocupou de estudos a respeito da fora magntica de interao entre condutores (JACKSON, 1962). Observando que a induo B na Equao (2.8) no gerada pelo prprio elemento de corrente Idl, e sim gerada por outro elemento de corrente, podemos reescrever esta equa- o com insero de mais um elemento na anlise. Na interao entre dois elementos de corrente Iidli e Ijdlj, como ilustra a Figura 2.1, ambos geram campos magnticos que podemos calcular atravs do modelo de Biot-Savart (ver Equao (A.1)). Desta forma podemos determinar a fora elementar d(dFij) agindo sobre o elemento Ijdlj devido induo elementar dBij gerado pelo elemento de corrente Iidli: d(dFij) = Ijdlj dBij (2.9) Figura 2.1: Duas espiras de corrente. Determinao da fora (SADIKU, 2004). 9

36. Para o clculo de dBij (dBij = 0dHij) utilizamos a lei de Biot-Savart (ver Equao (A.1) e Equao (A.5)): dB = 0I dl r 4r3 (2.10) dBij = 0Iidli rij 4rij 3 (2.11) Substituindo na Equao (2.9) teremos a lei de fora entre dois elementos: d(dFij) = 0Ijdlj (Iidli rij) 4rij 3 (2.12) Onde: rij = rj ri (2.13) Para a obteno da fora total Fij sobre o lao de corrente j (Lj) devida ao da induo magntica Bij gerada pelo lao de corrente i (Li), integramos a Equao (2.12): Fij = 0IiIj 4 Lj Li dlj (dli rij) rij 3 (2.14) 2.1.4 Fora de Interao Dipolar O m mais elementar o dipolo magntico. No Apndice B so analisados o spin do eltron e o movimento orbital do eltron congurando dipolos magnticos elementares. Do movimento orbital do eltron observamos um pequeno lao de corrente como um dipolo, como ilustra a Fi- gura B.2. Trabalhando com dois dipolos magnticos como laos circulares de correntes podemos conceber uma interao geomtrica como ilustra a Figura 2.2. 10

37. Figura 2.2: Geometria relativa a dois dipolos magnticos (YUNG; LANDECKER; VILLANI, 1998). Pelo exposto nas subsees anteriores, com a Equao (2.14) podemos calcular a fora magntica de interao entre dipolos do tipo laos de corrente. No entanto, a soluo da Equao (2.14) no elementar e geralmente a busca por uma soluo numrica ou por uma soluo analtica aproximada so apreciveis. Em Yung, Landecker e Villani (1998) apresentada uma proposta de soluo analtica para a Equao (2.14), mas contemplando apenas os casos onde a distncia entre os dipolos (rij) consideravelmente maior (campos distantes) que os raios dos dipolos (ai ou aj): rij ai;j. Yung, Landecker e Villani (1998) chegam esta expresso analtica aproximada a partir de duas abordagens: Por integral de linha; Por clculo vetorial. Pela compactao e concordncia com o presente texto, a abordagem pelo clculo vetorial se faz mais adequada. Para tanto, examinamos a determinao de B a partir da integrao da Equa- o (2.10) de Biot-Savart: Bij = 0 4 Li Iidli rij r3 ij (2.15) Alm de Yung, Landecker e Villani (1998), outros autores (por exemplo Sadiku (2004), Tat- suishi et al. (2011), Imaino e Alward (1986)) comumente propem uma aproximao para a Equa- 11

38. o (2.15) tendo em vista a soluo para campos distantes (rij ai;j). Em Yung, Landecker e Villani (1998) esta aproximao est expressa na Equao (2.16). Bij = 0 4 mi rij r3 ij (2.16) Os interessados em mais informaes a respeito da possibilidade de soluo da Equa- o (2.15) para campos prximos, podem consultar Jackson (1962, p.147). Com base na Equao (B.5) podemos determinar a energia potencial magntica de interao dipolar: U = Bij mj (2.17) Das equaes anteriores e do conceito de trabalho realizado num deslocamento elementar pelas foras de interao (dU = F dl) podemos expressar a fora de interao dipolar: Fij = U = (Bij mj) = (Bij mj) = 0 4 mi rij r3 ij mj Fij = 0 4 mi rij r3 ij mj (2.18) A Equao (2.18) explcita com a considerao das seguintes relaes: r = x2 + y2 + z2 (2.19) r = rr (2.20) 12

39. 1 rn = /x /y /z 1 rn = /x /y /z 1 x2 + y2 + z2 n 1 rn = nx x2+y2+z2 n+1 x2+y2+z2 ny x2+y2+z2 n+1 x2+y2+z2 nz x2+y2+z2 n+1 x2+y2+z2 = nx x2+y2+z2 n+2 ny x2+y2+z2 n+2 nz x2+y2+z2 n+2 = nx rn+2 ny rn+2 nz rn+2 1 rn = n rn+2 x y z = nr rn+2 (2.21) (v1 r) = /x /y /z (v1 r) = /x(v1xx + v1yy + v1zz) /y(v1xx + v1yy + v1zz) /z(v1xx + v1yy + v1zz) = v1x v1y v1z = v1 (2.22) Com a Equao (2.21), Equao (2.22) e outras propriedades mais elementares do clculo vetorial, podemos simplicar a Equao (2.18) para a determinao da fora magntica de interao dipolar. 13

40. Fij = 0 4 mi rij r3 ij mj = 0 4 1 r3 ij (mi rij) + (mi rij) 1 r3 ij mj = 0 4 mi r3 ij (mi rij) 3rij r5 ij mj = 0 4 (mi mj) r3 ij 3 (mi rij)(mj rij) r5 ij = 0 4 (mi mj) 1 r3 ij 3(mi rij)(mj rij) 1 r5 ij 3 (mj rij) r5 ij (mi rij) 3 (mi rij) r5 ij (mj rij) = 0 4 (mi mj) 3rij r5 ij + 3(mi rij)(mj rij) 5rij r7 ij 3 (mj rij)mi r5 ij 3 (mi rij)mj r5 ij = 0 4 3(mi mj) rij r4 ij + 3(mi rij)(mj rij) 5rij r4 ij 3 (mj rij)mi r4 ij 3 (mi rij)mj r4 ij Fij = 30 4r4 ij [(mi mj)rij + (mj rij)mi + (mi rij)mj 5rij(mi rij)(mj rij)] (2.23) Da Equao (2.23), expresso nal da fora magntica de interao dipolar, observamos que esta fora depende fundamentalmente da interao entre os vetores momentos magnticos (miemj) e inversamente proporcional quarta potncia da distncia entre os dipolos 1 r4 ij . Em Moon (2004) tal expresso tambm apresentada, mas j em formato nal. Para a expresso de fora magntica de interao dipolar temos ainda que a fora sobre o dipolo i pela interao com o dipolo j, ou seja Fji, deve ser oposta fora Fij sobre o dipolo j pela interao com o dipolo i: Fji = Fij (2.24) Para a vericao desta proposio, algumas relaes precisam ser observadas. rji = rij rji = rij (2.25) ||rij|| = ||rji|| (2.26) mj mi = mi mj (2.27) 14

41. E assim Fji = 30 4r4 ji [(mj mi)rji + (mi rji)mj + (mj rji)mi 5rji(mj rji)(mi rji)] = 30 4r4 ij [(mi mj)rij (mj rij)mi (mi rij)mj + 5rij(mi rij)(mj rij)] Fij = 30 4r4 ij [(mi mj)rij + (mj rij)mi + (mi rij)mj 5rij(mi rij)(mj rij)] (2.28) tornando legtima a Equao (2.24). Adicionalmente, exemplos do clculo de fora de interao dipolar esto disponveis no Apndice C. 2.2 Torque Magntico Um dipolo magntico caracterizado por seu momento magntico m, sob induo magntica B, experimenta um torque magntico T dado pela seguinte expresso. T = m B (2.29) Pela Equao (2.29), temos que o torque s nulo quando o vetor momento magntico m possui orientao paralela induo B. Tendo dois dipolos num espao, um dipolo magntico est sob a inuncia da induo B proveniente do outro dipolo. Assim, podemos buscar o modelo que representa o torque magntico desta interao dipolar. 2.2.1 Torque de Interao Dipolar Na busca por um modelo capaz de representar a interao entre dois dipolos magnticos, alm da fora, o torque magntico de interao dipolar igualmente importante. A partir dele podemos determinar a adequada orientao do dipolo magntico, bem como sua acelerao e velocidade 15

42. angular. Partindo da Equao (2.29) determinaremos o torque de interao dipolar Tij sob o dipolo j por conta do dipolo i. Tij = mj Bij (2.30) Como o torque Tij de interao dipolar depende da soluo da induo magntica, expressa- mos uma soluo para Bij, a partir da Equao (2.16), com uso das propriedades apresentadas na Equao (2.21) e Equao (2.22) (IMAINO; ALWARD, 1986; LANDECKER; VILLANI; YUNG, 1999)). Bij = 0 4 mi rij r3 ij = 0 4 (mi rij) 1 r3 ij + 1 r3 ij (mi rij) = 0 4 (mi rij) 3rij r5 ij + mi r3 ij = 0 4 3(mi rij)rij r5 ij + mi r3 ij = 0 4 3(mi rij)rij r3 ij mi r3 ij Bij = 0 4r3 ij [3(mi rij)rij mi] (2.31) Com a soluo apresentada na Equao (2.31) podemos reescrever a Equao (2.30). Tij = mj 0 4r3 ij [3(mi rij)rij mi] = 0 4r3 ij [3mj (mi rij)rij mj mi] Tij = 0 4r3 ij [3(mi rij)(mj rij) + (mi mj)] (2.32) Da Equao (2.32) - expresso nal do torque magntico de interao dipolar - observamos que este torque depende fundamentalmente da interao entre os vetores de momento magntico 16

43. dos dipolos (miemj) e inversamente proporcional terceira potncia da distncia entre os dipolos 1 r3 ij . Diferentemente do que avaliamos com a expresso nal para a fora magntica de interao dipolar, na seo anterior, Landecker, Villani e Yung (1999) observa a assimetria da Equao (2.32) para o torque. Tij = Tji (2.33) Landecker, Villani e Yung (1999) orienta que esta assimetria no reete a violao da conservao do momento angular do sistema, j que alm dos torques Tij e Tji (associados aos centros de massa dos dipolos j e i, respectivamente) temos o torque gerado pela fora magntica de interao dipolar (Fij rij); que juntamente com os anteriores, quando considerados no centro de massa comum aos dipolos, revelam a conservao do momento angular global, como tambm explicita a Equao (2.34). rij Fij + Tij + Tji = 0 (2.34) Adicionalmente, de posse da soluo para a induo magntica B ( Equao (2.31)), dentro das condies j observadas, convm tambm expressarmos uma soluo para a Equao (2.17). Uij = Uji = 0 4r3 ij [3(mi rij)(mj rij) (mi mj)] (2.35) Exemplos do clculo de torque de interao dipolar esto disponveis no Apndice C. Tendo apresentado as necessrias formas de determinao da fora e do torque magnticos, avanaremos no prximo captulo para a apresentao dos fundamentos dos mtodos de fontes equivalentes. 17

44. 3 MODELAGEM DE CORPOS MAGNTICOS No presente captulo analisaremos as ideias de modelagem de corpos magnticos, com especial ateno para o magnetismo em escala macroscpica, modelado pelo mtodo das fontes magnticas equivalentes. Ampre acreditava que o comportamento magntico dos corpos se dava por correntes eltricas microscpicas existentes nos materiais. A histria mostrou que Ampre estava no caminho certo, mas muitos outros cientistas foram e so necessrios para detalhar como este movimento de cargas eltricas se d no interior dos materiais, atravs de modelos atmicos luz da mecnica quntica. Ainda assim, a conjetura de Ampre motiva mtodos para a modelagem de corpos magnticos (HENNEBERGER, 1992). A Figura 3.1 apresenta um cilindro magntico dotado de correntes circulares elementares (laos de correntes), que justicam seu comportamento magntico. Figura 3.1: Cilindro magnetizado por correntes eltricas elementares (adaptado de Tipler e Mosca (2005)). No modelo de Ampre, para um material homogneo, as correntes interiores ao corpo se cancelam de tal forma que, praticamente, apenas uma corrente supercial resta, como ilustra a Figura 3.2 (TIPLER; MOSCA, 2005). 19

45. Figura 3.2: Sntese do modelo das correntes ctcias de Ampre, em um material com magnetizao homognea (adaptado de Tipler e Mosca (2005)). Sabemos que o real estado de magnetizao de um corpo depende de um complexo arranjo de inmeros dipolos magnticos presentes na estrutura do material (ver Apndice B). Com os avanos na nanotecnologia, muitos textos trazem como tema o micro magnetismo ou magnetismo em pequenas dimenses, modelando o comportamento detalhado de corpos nesta escala (COSTA, 2010; FIDLER; SCHREFL, 2000; FRUCHART; THIAVILLE, 2005). Contudo, para uma modelagem interessada nos fenmenos magnticos macroscpicos - com especial ateno para o clculo de foras - todos os detalhes da estrutura do material no precisam ser conhecidos, se pudermos representar o corpo magntico por fontes magnticas equivalentes (HENNEBERGER, 1992). 3.1 Modelagem Magntica em Escala Macroscpica 3.1.1 Mtodos das Fontes Magnticas Equivalentes Na literatura, encontramos os Mtodos das Fontes Equivalentes como forma de representao de corpos magnticos por adequadas correntes eltricas, cargas magnticas ou dipolos magnticos equivalentes. A maioria dos textos consultados aponta para o trabalho de Kabashima et al. (1988) como sendo um dos precursores nesta linha de modelagem com o conceito de correntes magnetizantes, com soluo no mtodo de elementos nitos (FEM). Delno et al. (2001) revisam os principais mtodos para o clculo de fora magntica sobre 20

46. ms - incluindo os mtodos das fontes equivalentes - e os divide como segue: Mtodo do trabalho virtual (VWM, Virtual Work Method); Mtodo do tensor de Maxwell (MST, Maxwells Stress Tensor); Mtodos das fontes equivalentes (ESM, Equivalent Source Method): Mtodo das cargas magnticas equivalentes (ESMQ, Equivalent Magnetic Charge Method) ou "Modelo de Coulomb"; Mtodo das correntes magnetizantes equivalentes (ESMI, Equivalent Magnetizing Cur- rent Method) ou "Modelo de Ampre"; Mtodo dos dipolos magnticos equivalentes (ESMD, Equivalent Magnetic Dipole Method). Delno et al. (2001) focam essencialmente a determinao da fora magntica sobre ms permanentes, os representando por adequadas distribuies superciais ou volumtricas de cargas magnticas ESMQ, dipolos magnticos ESMD, ou correntes magnetizantes ESMI. Como referncias para as formulaes do ESMQ, ESMI e ESMD, Delno et al. (2001) apontam os trabalhos de Bobbio (1999), Bobbio et al. (2000), Brown (1966), Landau, Pitaevskii e Lifshitz (1984). Delno et al. (2001) ainda dividem os mtodos para clculo de foras em trs grupos, quanto denio da integrao: Integrao em Volume: VWM; Integrao em Superfcie: MST; Integrao em Volume e em Superfcie: ESM. Em sua reviso, Botelho (2008) tambm denomina: o mtodo das cargas magnticas equivalentes como mtodo das cargas magnticas ligadas; 21

47. e o mtodo das correntes magnetizantes equivalentes como mtodo das correntes "amperia- nas"ctcias. Como caractersticas importantes dos mtodos das fontes equivalentes (ESM), temos que: A fora sobre os corpos magnticos se d pela imerso em um campo magntico externo Hext; Os corpos so caracterizados pela magnetizao M que tambm pode ser representada por densidades de correntes (ESMI) ou cargas magnticas (ESMQ), superciais e/ ou volumtricas; A expresso de fora total sobre os corpos depende de uma integrao sobre a superfcie do corpo S e outra integrao sobre a regio que o corpo ocupa (volume) V . O processo de cmputo geralmente realizado com o mtodo de elementos nitos (FEM). Complementando a reviso bibliogrca a respeito dos mtodos de fontes equivalentes, apre- sentaremos a seguir o mtodo dos dipolos magnticos equivalentes. Este o mtodo encontrado na literatura que mais se aproxima dos objetivos propostos para o simulador DipMag, implementado neste trabalho. Mtodos dos Dipolos Magnticos Equivalentes (ESMD) No mtodo dos dipolos equivalentes o corpo magntico representado como um agregado de dipolos e a fora total dada pela frmula de Kelvin (BOBBIO et al., 2000; DELFINO et al., 2001). F = V M HdV + 1 20 S (M n)2 ndS (3.1) Ou com base somente no campo magntico externo Hext ao corpo: F = V M HextdV (3.2) 22

48. Onde: H o campo magntico efetivo; Hext o campo magntico externo; n o versor normal superfcie do corpo; M o vetor magnetizao do corpo; S refere-se integrao na superfcie do corpo; V refere-se integrao volumtrica; 0, a permeabilidade magntica do espao livre. Delno et al. (2001) observam que para no caso do corpo magntico ser rgido, linear e isotrpico, somente a contribuio do volume na Equao (3.1) suciente para a determinao da fora total no corpo: F = V M HdV (3.3) 23

49. 4 MAPEAMENTO DO CAMPO MAGNTICO: TRAADO DAS LINHAS DE INDUO MAGNTICA B Neste captulo descreveremos o mtodo de mapeamento do campo magntico pelo traado das linhas de induo magntica, tendo em vista o objetivo de implementar tal funo no simulador DipMag (Captulo 6). Visualizar as linhas de campo magntico especialmente importante no projeto de dispositivos. Antes do advento e da popularizao dos softwares baseados em FEM (Finite Element Method), eram mais facilmente encontradas na literatura representaes grcas que apresentam as linhas de campos em torno de distribuies comuns de cargas eltricas e dipolos magnticos. Preocupado com o ensino e buscando facilitar a trajetria de iniciantes no estudo de eletromagne- tismo, Merrill (1971) apresentou um algoritmo para processamento em computador que permite o mapeamento de campos eltricos e magnticos no plano a partir de conguraes arbitrrias de fontes (cargas eltricas ou dipolos magnticos), permitindo assim o traado de linhas de campos para arranjos mais complexos, compatveis com aplicaes reais em fsica e engenharia. Dentre os mtodos conhecidos, este peculiar pela sua simplicidade. Permite certa liberdade anlise, tendo em vista a possibilidade de escolha de qualquer ponto no espao para a avaliao do traado de uma linha de campo. Alm do fato de que apenas os pontos na linha de campo em questo so avaliados, descartando a necessidade de uma maior avaliao do domnio, nos dirigindo assim reduo no processamento total. Ainda, para a computao paralela, ca a possibilidade de melhoria de desempenho no traado de linhas de campo, pois cada ponto que compem a linha pode ser processado de forma independente. 4.1 O Mtodo O mtodo est baseado no fato da tangente em um ponto de qualquer linha de induo magntica ser paralela ao vetor induo neste ponto, como ilustra a Figura 4.1. 25

50. Figura 4.1: Linha de induo em cada ponto tangente aos vetores induo magntica B (USP, 2004). Este fato conveniente na anlise de uma linha de induo magntica e do vetor induo B, como mostrado na Figura 4.2, onde a semelhana de tringulos a base para a determinao de um novo ponto a partir de um ponto conhecido. Figura 4.2: Semelhana dos tringulos formados pelo vetor induo magntica e seus componentes; e o deslocamento elementar sob a linha de campo e seus componentes (adaptado de Sadiku (2004)). Esta observao nos permite escrever equaes importantes para o mtodo (KIRKUP, 1985; MERRILL, 1971; SADIKU, 2004). Podemos calcular a norma do vetor B com a seguinte expresso. ||B|| = B = Bx 2 + By 2 (4.1) Da semelhana entre os tringulos da Figura 4.2 escrevemos: x l = Bx B (4.2) 26

51. Com a Equao (4.1) chegamos a: x = l Bx Bx 2 + By 2 (4.3) y = l By Bx 2 + By 2 (4.4) Com estas equaes podemos relacionar as etapas do mtodo (KIRKUP, 1985; MERRILL, 1971): 1. Escolher um ponto inicial para a linha de campo (x, y); 2. Calcular neste ponto (x, y) as componentes do vetor induo magntica B nas direes x e y: (Bx, By); 3. Tomando um deslocamento elementar l sob a linha de campo e fazendo uso das Equa- o (4.3) e Equao (4.4), calcular as coordenadas de um novo ponto (x + x, y + y) (ver Figura 4.2); 4. Retornar ao passo 2 e continuar com os demais passos para o novo ponto. 4.2 Considerao sobre Preciso O mtodo apresentado na subseo anterior foi escolhido pelo baixo custo computacional e facilidade na implementao. Contudo, o mtodo est associado a certa impreciso. Liu et al. (2008) denem o mtodo aqui apresentado como mtodo de Euler, reputando ao mesmo caractersticas de impreciso por conta do uso da direo (tangente) do campo no ponto conhecido para a determinao de um novo ponto vizinho na linha. Ainda observa que este erro mais latente em mudanas mais rpidas de direo. A Figura 4.3 ilustra este desvio. 27

52. l Erro B Figura 4.3: Erro na mudana de direo da tangente linha de campo. Contudo, o valor de l pode ser ajustado a contento de maneira a mitigar este impacto em trechos onde ocorra maior mudana de direo, satisfazendo assim o objetivo de visualizao das linhas de campo. Liu et al. (2008) propem um mtodo mais preciso para o traado de linhas de campo, baseado em expanso de Taylor de alta ordem, que mais complexo mas ainda de fcil implementao quando comparado ao mtodo CPF (Complex Potential Function): que tambm mais preciso, porm de difcil implementao e ineciente processamento. Desta forma conclumos a reviso do mtodo para o traado das linhas de induo magntica. Na Seo 6.9 temos as consideraes para o uso deste mtodo no simulador DipMag implementado. Nesta seo tambm consta a ampliao das equaes aqui apresentadas, para o traado das linhas induo no espao (3D). No prximo captulo abordaremos os casos de sistemas magnetostticos que sero utilizados no Captulo 7 para a validao do simulador DipMag, fruto desta dissertao. 28

53. 5 CASOS DE SISTEMAS MAGNETOSTTICOS PARA COMPARAO Neste captulo sero relacionados casos de sistemas magnetostticos que sero utilizados posteriormente para a validao do simulador DipMag. Os sistemas foram escolhidos pela presena na literatura e por serem fundamentais em dispositivos magnetomecnicos. Estes sistemas esto apresentados da seguinte forma: Casos com Modelo Analtico (Modelo de Coulomb): Fora Magntica entre ms Paralelepipedais Torque Magntico entre ms Paralelepipedais Casos Experimentais com Modelo Fenomenolgico: Fora Magntica entre m Cbico de NdFeB e Esfera de Ao Avaliao do Campo Magntico do m Cbico de NdFeB Casos com Modelos Numricos: Avaliao da Induo Magntica de um m Cilndrico de NdFeB Atrao entre m Cilndrico e Esfera Paramagntica Repulso entre m Cilndrico e Esfera Diamagntica Ainda constam os seguintes tpicos complementares: Determinao Analtica da Induo Magntica B de um m Paralelepipedal Determinao da Polarizao J Uniforme Equivalente do m Cbico de NdFeB 5.1 CASOS COM MODELO ANALTICO: MODELO DE COULOMB A interao magnetosttica entre ms permanentes paralelepipedais um caso importante a ser avaliado, tendo em vista o projeto de dispositivos magnetomecnicos, pois interessantes arranjos 29

54. magnticos podem ser produzidos com estes ms. Os seguintes textos serviram de referncia para esta seo: Em Akoun e Yonnet (1984) temos a apresentao, de uma forma completamente analtica, do clculo da fora pela interao magntica entre dois ms permanentes paralelepipedais, de faces e polarizaes paralelas, validado experimentalmente. Em Allag e Yonnet (2009) consta a determinao analtica do torque entre ms permanentes paralelepipedais, de faces e polarizaes paralelas, com validao numrica. Yonnet e Allag (2009) apresentam os fundamentos para a determinao analtica da fora e do torque magnticos entre ms paralelepipedais, nos casos onde as polarizaes so perpendiculares. Nesta trabalho ainda consta no apndice fundamentos para a determinao do campo magntico (intensidade H ou induo B) gerado por um m paralelepipedal. Allag et al. (2011) focam a determinao do torque entre ms paralelepipedais com polarizaes orientadas arbitrariamente. Para a determinao analtica da induo, fora e torque magnticos pela interao entre os ms paralelepipedais, a forma de modelagem adotada nas referncias apontadas acima tem como fundamento a ideia de modelagem por cargas (ou polos) magnticas equivalentes: tambm denominado por modelo de Coulomb. 5.1.1 Fora Magntica entre ms Paralelepipedais Em Akoun e Yonnet (1984) os ms permanentes so paraleleppedos com faces paralelas, ou perpendiculares entre si. Os dois ms so dotados de magnetizaes constantes e uniformes, polarizadas verticalmente e paralelas entre os ms. A magnetizao nestes ms representada (modelada) por superfcies preenchidas com polos magnticos (cargas magnticas) equivalentes, como ilustra a Figura 5.1. 30

55. Figura 5.1: Representao de um m permanente polarizado verticalmente por superfcies com cargas magnticas: modelo de Coulomb (YONNET, 1996). A Figura 5.2 indica a disposio geomtrica dos ms paralelepipedais, que so caracterizados por suas: Magnetizaes: Akoun e Yonnet (1984) indicam J e J como as polarizaes (ou as magnetizaes) no primeiro e segundo ms, respectivamente. Cabe observar que a relao entre a polarizao J e a magnetizao M de um m direta atravs da Equao (B.24) onde J equivale induo magntica intrnseca do m Bin, sendo assim Tesla [T] a unidade de J; Dimenses: os ms paralelepipedais possuem as trs dimenses, comprimento, largura e altura, dispostas nos eixos x, y, z. O primeiro m possui ao longo dos eixos: x a dimenso denotada por 2a; y a dimenso denotada por 2b; z a dimenso denotada por 2c. O segundo m possui ao longo dos eixos: x a dimenso denotada por 2A; y a dimenso denotada por 2B; z a dimenso denotada por 2C. Posies: o centro do primeiro m est localizado no ponto (0, 0, 0). J o centro do segundo m est disposto no ponto (, , ). 31

56. Figura 5.2: Disposio geomtrica de ms paralelepipedais, com magnetizaes verticais perpendiculares s faces horizontais dos ms (AKOUN; YONNET, 1984; YONNET; ALLAG, 2009). Akoun e Yonnet (1984) determinam a fora magntica entre os ms paralelepipedais a partir da energia magnetosttica U de interao entre estes ms, utilizando a seguinte relao, j indicada na Equao (2.18): F = U (5.1) A partir das variveis e parmetros apresentados na Figura 5.2 podemos entender a determinao da energia magnetosttica U de interao entre as faces dos paraleleppedos carregadas magneticamente. Como a magnetizao nos ms vertical e perpendicular s suas faces horizontais, cada m paralelepipedal tem sua magnetizao representada por suas duas faces horizontais carregadas com polos magnticos equivalentes. Assim: O primeiro m possui suas duas faces horizontais com dimenses 2a 2b; E o segundo m possui suas duas faces horizontais com dimenses 2A 2B. 32

57. A distribuio de polos magnticos nas faces considerada uniforme e sua intensidade indicada por que corresponde densidade supercial de cargas magnticas, que se relaciona com a magnetizao uniforme que caracteriza o m atravs da Equao (5.2). = J n (5.2) Onde n o versor normal superfcie. Para o caso ora tratado, onde a magnetizao vertical perpendicular s faces horizontais temos: = ||J|| = J = 0M (5.3) Como o vetor polarizao J (ou magnetizao M) vertical voltada para cima, as faces superiores (polo norte) possuem densidade supercial de cargas magnticas positiva: = +J. Ao contrrio, as faces inferiores (polo sul) possuem densidade supercial de cargas magnticas negativa: = J (ALLAG; YONNET, 2009). Para a determinao da energia magnetosttica de interao entre duas faces paralelas U2f carregadas Akoun e Yonnet (1984) apresentam a Equao (5.4). U2f = +a a dx +b b dy +A A dX +B B dY . 40r (5.4) Onde: r = ( + X x)2 + ( + Y y) + 2 (5.5) Como as duas faces do primeiro m interagem com as duas faces do segundo m, quatro avaliaes da Equao (5.4) so necessrias (AKOUN; YONNET, 1984). Considerando tambm a Equao (5.3), a energia magnetosttica total U de interao entre os dois ms com polarizaes verticais dada pela Equao (5.6), que contem 256 termos. U = J J 40 1 i=0 1 j=0 1 k=0 1 l=0 1 p=0 1 q=0 (1)(i+j+k+l+p+q) (Uij, Vkl, Wpq, r) (5.6) 33

58. Onde: (Uij, Vkl, Wpq, r) = Uij(V 2 kl W2 pq) 2 ln(r Uij) + Vkl(U2 ij W2 pq) 2 ln(r Vkl) + UijVklWpq tan1 UijVkl Wpq r + r 6 (U2 ij + V 2 kl 2W2 pq) (5.7

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