Apostila técnica de mecânica dos fluidos

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SÃO PAULO – CEFET-SPÁREA INDUSTRIAL

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Data:

28/03/08

Disciplina: Mecânica dos FluidosProfessor:

Caruso

Sumário

1 PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS 3

1.1 FLUIDO IDEAL E REAL 31.2 PROPRIEDADES 41.2.1 MOBILIDADE 41.2.2 COMPRESSIBILIDADE 41.2.3 PESO ESPECÍFICO () 51.2.4 MASSA 51.3 VOLUME (V) 71.3.1 VOLUME ESPECÍFICO (V) 71.4 PRESSÃO (P) 71.4.1 PRESSÃO ABSOLUTA E PRESSÃO RELATIVA 91.4.2 PRESSÃO ATMOSFÉRICA 91.5 TEMPERATURA (T) 91.5.1 VARIAÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS COM A TEMPERATURA 101.6 EQUAÇÕES DE ESTADO TÉRMICAS 111.6.1 CONSTANTE DOS GASES 121.7 OUTRAS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 131.7.1 COESÃO 131.7.2 ADESÃO 131.7.3 TENSÃO SUPERFICIAL 13

2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS 14

2.1 TEOREMA DA VARIAÇÃO DA PRESSÃO 142.2 PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 152.3 PRINCÍPIO DE PASCAL 16

3 FLUIDODINÂMICA 17

3.1 DEFINIÇÕES 173.1.1 ESCOAMENTO 173.1.2 CORRENTE FLUIDA 173.1.3 MÉTODO DE EULER PARA O ESTUDO DOS FLUIDOS 173.2 CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO 183.2.1 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO 183.2.2 ESCOAMENTO UNIFORME 193.2.3 ESCOAMENTO VARIÁVEL 193.2.4 ESCOAMENTO PERMANENTE 203.2.5 ESCOAMENTO NÃO PERMANENTE 203.2.6 ESCOAMENTO ROTACIONAL 203.2.7 ESCOAMENTO IRROTACIONAL 203.2.8 LINHA DE CORRENTE 203.2.9 TUBO DE CORRENTE 213.3 VISCOSIDADE 213.3.1 COEFICIENTE DE VISCOSIDADE DINÂMICA () 223.3.2 VISCOSIDADE CINEMÁTICA () 233.3.3 VISCOSIDADE TÉCNICA 243.3.4 SISTEMA PRÁTICO SAE 243.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 253.5 VAZÃO (Q) 27

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3.6 EQUAÇÃO DE BERNOULLI 283.7 EQUAÇÃO DE BERNOULLI NA PRESENÇA DE MÁQUINA 303.8 POTÊNCIA NA CORRENTE FLUIDA 303.9 EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL 313.9.1 PERDA DE CARGA 323.9.2 PERDAS DE CARGA – FÓRMULAS RACIONAIS 34

4 INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES 36

APÊNDICE 54

5 ÍNDICES 63

5.1 ÍNDICE DE TABELAS 635.2 ÍNDICE DE FIGURAS 64

6 REFERÊNCIAS 65


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1 Propriedades Físicas dos FluidosA matéria apresenta-se no estado sólido ou no estado fluido, este compreendendo os esta-dos líquido e gasoso. O espaçamento e a atividade intermoleculares são maiores nos gases,menores nos líquidos e muito reduzidas nos sólidos. Enquanto um fluido é uma substânciaque muda continuamente de forma enquanto existir uma tensão de cisalhamento, ainda queesta seja muito pequena, um corpo elástico quando submetido a uma tensão de cisalhamen-to, deforma-se e eventualmente inicia um deslocamento ou se rompe.O que diferencia os fluidos líquidos dos fluidos gasosos é que certa porção de líquido temvolume próprio enquanto a mesma porção de gás sempre tende a ocupar totalmente o reci-piente que o contém ou expandir-se infinitamente (caso não esteja contido em recipiente).O bloco mostrado na figura 1 (a), muda de forma de maneira conveniente caracterizada peloângulo , quando submetido à tensão . Se fosse um elemento fluido, como o mostrado nafigura 1 (b), não haveria quando submetido a uma tensão de cisalhamento; ao contrário,persistirá uma deformação contínua enquanto for aplicada uma tensão de cisalhamento .Admite-se então que os fluidos são aquelas substâncias que se deformam continuamentequando submetidos a uma tensão de cisalhamento (não apresentando ruptura).

(a) (b)

Figura 1 – Definição de sólido e fluido.

Os fluidos são compostos de moléculas em movimento constante, onde ocorrem colisõesfreqüentes. Para melhor análise, deve-se considerar a ação de cada molécula ou grupo demoléculas, em um escoamento. Tais considerações são pouco práticas na maioria dos pro-blemas que corriqueiramente são encontrados. Interessam as manifestações médias mensu-ráveis de várias moléculas (por exemplo: densidade1, pressão2 e temperatura3). Pode-seconsiderar que essas manifestações surjam de uma distribuição conveniente da matéria,que se denomina de contínuo, ao invés de um aglomerado de moléculas discretas. Ou seja,no estudo dos fluidos, desprezam-se o espaçamento e a atividade intermoleculares, consi-derando-o como um meio contínuo, que pode ser dividido infinitas vezes, em partículas flui-das, entre as quais se supõe não haver vazios4.

1.1 Fluido Ideal e Real

No estudo dos fluidos, considera-se como fluido ideal:a) A pressão e a velocidade de um ponto qualquer da corrente fluida não variam com o

tempo;

1Ver definição nos itens 1.2.4.1 (página 6) e 1.2.4.2 (página 6)

2Ver definição no item 1.4, página 7

3Ver definição no item 1.5, página 9

4Ver também o item 3.1.3, página 17


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b) A viscosidade5 é nula;c) A pressão atua na direção normal à superfície;d) Nenhum trabalho é requerido para modificar a forma do fluido.Por outro lado, o fluido real:a) Geralmente as partículas fluidas deslocam-se segundo trajetórias curvilíneas e irregula-

res;b) A viscosidade não é nula, influenciando o comportamento do fluido;c) A distribuição das pressões não é uniformemente distribuída, não seguindo as leis da

fluidostática6.

1.2 Propriedades

1.2.1 Mobilidade

Os fluidos (líquidos e gases), em estado de repouso, não resistem a tensões transversais,de modo que somente transmitem pressões normais às superfícies dos corpos que os con-têm. Em outras palavras, os líquidos e gases se adaptam à forma dos corpos que os con-têm, sem oferecer resistência.

1.2.2 Compressibilidade

Podemos variar o volume dos gases de uma maneira qualquer, ocupando todo o volume doscorpos em que estão contidos. Já os líquidos são praticamente incompressíveis.Mesmo um gás, que é altamente compressível contudo, poderá sofrer variações desprezí-veis em sua massa específica7. O seu escoamento será assim, praticamente incompressível.Por exemplo, no vôo de aeronaves, em velocidades muito abaixo da velocidade do som, omovimento do ar, relativamente às asas, é aproximadamente incompressível.Nos estudos relativos a grandes pressões, há de se levar em consideração a compressibili-dade dos fluidos líquidos. São os casos de jatos de água para corte de materiais altamenteresistentes, construção de estruturas submersas a grandes profundidades, entre outros e-xemplos.A compressibilidade dos líquidos é expressa pelo seu módulo de elasticidade volumétrica

"E". Sob a ação de uma força F

, seja V o volume de um fluido à pressão unitária p. Ao a-

crescentar-se F

à força, a pressão aumentará de p e o volume diminuirá de V. A varia-ção relativa de volume será V/V e o módulo de elasticidade volumétrico será:

V

ΔV

ΔpE

em que o sinal negativo indica que ao aumento de pressão, corresponde uma diminuição devolume. Usualmente, por se tratar de "módulo", eliminamos o sinal negativo. Outra grandezatambém definida é o coeficiente de compressibilidade "C", que é o inverso do módulo de e-lasticidade volumétrico; assim,

E

1C

O módulo de elasticidade volumétrico da água, por exemplo, é de E = 21800 kgf.cm–2. O co-eficiente de compressibilidade vale C = 4,5872 x 10–5 cm2.kgf–1 0,00005 cm2.kgf–1, o quemostra que a água é praticamente incompressível.

5Ver definição no item 3.3, página 21.

6Ver item 2, página 14

71.2.4.1, página 6


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Tabela 1 – Módulo de Elasticidade volumétrico.

FLUIDOMÓDULO DE ELASTICIDADE

VOLUMÉTRICA E, [kgf.cm–2]Água, 0oC 19900Água, 10oC 20900Água, 20oC 21800Água, 30oC 22000Água, 40oC 22100Água, 50oC 22100Água, 60oC 22200Água salgada, 20oC 23980Álcool 12250Azeite de oliva 16100Benzeno 10500Éter, 14oC 79000Gasolina 13300Glicerina, 20oC 44100Mercúrio, 20oC 266000Óleo 13300Petróleo 12000Querosene 13000

1.2.3 Peso Específico ()

É o peso do fluido por unidade de volume. É a força que a Terra exerce sobre a unidade devolume do fluido.

V

Gγ

onde: G peso, [N]V volume, [m3] peso específico, [N.m–3]

Tabela 2 – Unidades de medida de peso específico.

[N.m–3

] [kgf.m–3

] [dyn.cm–3

] [lbf.in–3

]

1N.m–3

1 0,10197162 0,1 3,6840x10–6

1kgf.m–3

9,80665 1 0,980665 3,6128x10–5

1dyn.cm–3

10 1,01971621298 1 3,6840x10–5

1lbf.in–3

271447,1375 27679,90471 27144,7137 1

1.2.4 Massa

É a quantidade de matéria contida num corpo sólido ou fluido. A unidade de massa no SI é oquilograma ([kg]), que é a massa de um cilindro especial de liga irídio-platina conservadosob vácuo à temperatura de 0oC, no Bureau International des Poids et Mesures em Sèvres,França (chamado Protótipo Internacional do Quilograma)8.

8Ver também a Tabela 26 – Unidades do Sistema Internacional de Unidades.


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Figura 2 – Protótipo Internacional do quilograma.

Tabela 3 – Unidades de medida de massa.

[kg] [g] [kgf.s2.m

–1]9

[lbm]10

[slug]

1kg 1 1000 0,1020 2,2046 6,8522x10–2

1g 0,001 1 9806,65 2,2046x10–3

6,8522x10–5

1kgf.s2.m

–19,8066 9806,65 1 21,6170 0,6720

1lbm 0,4536 453,5924 21,6170 1 3,1081x10–2

1slug 14,5939 14593,9029 1,4882 32,1740 1

1.2.4.1 Massa Específica ou Densidade Absoluta ()

É a massa de fluido contida na unidade de volume.

V

mρ

onde: m massa, [kg] massa específica, [kg.m–3]

Tabela 4 – Unidades de medida de massa específica.

[kg.m–3

] [kgf.s2.m

–4] [g.cm

–3] [lbm.ft

–3]

1kg.m–3

1 0,1020 0,001 6,2428x10–2

1kgf.s2.m

–49,8066 1 9,8066x10

–30,6122

1g.cm–3

1000 101,9716 1 62,42781lbm.ft

–316,0185 1,6334 0,0160 1

1.2.4.2 Densidade Relativa11

()

É a relação entre a massa (ou peso) de determinado volume de um corpo considerado e amassa (ou o peso) de igual volume de um fluido padrão, convencionado internacionalmentecomo sendo a água à temperatura de 4ºC. A densidade é uma grandeza adimensional, co-mo a própria definição nos indica:

1

2

m

m ou

1

2

w

w ou

1

2

onde as grandezas com índice "2" são as do fluido considerado e as de índice "1", as de á-gua.Convenientemente, o fluido padrão poderá ser qualquer fluido que se deseja. Na indústria dopetróleo, por exemplo, adota-se como fluido padrão, por exemplo, óleo cru, convencionadoentre as companhias petrolíferas; para a indústria do álcool, o álcool desidratado (100%).

9Também conhecida como "Unidade Técnica de Massa" [utm].

10É comum a notação "lb", porém é preferível, a notação utilizada (para não ser confundida com a unidade de

força, "lbf")11

O termo mais utilizado é o de "densidade". Somente quando não é óbvio, utiliza-se "densidade relativa".


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A densidade pode ser determinada, para os líquidos, quando necessária uma contínua ava-liação da densidade (como nos processos químicos), por aparelhos denominados aerôme-tros. São constituídos por flutuadores em que o nível de submersão mede a densidade dolíquido no qual estão submersos. Alguns tipos conhecidos são o Alcoômetro, Barkômetro,Aerômetro Baumè, Sacarômetro, Salinômetro, etc.

1.3 Volume (V)

O volume é o espaço ocupado pela massa de um fluido. Sob condições físicas constantes, ovolume é função de sua massa.

1.3.1 Volume Específico (v)

É o volume do fluido referido à sua massa:

m

Vv

onde: v volume esapecífico, [m3.kg–1]

Tabela 5 – Unidades de medida de volume.

[m3] [cm

3] [l] [yd

3]12

[ft3]13

[in3]14

[gal]15

1m3

1 106

1000 1,3080 35,3147 61023,7441 264,17201cm

310

–61 0,001 1,3080x10

–63,531x10

–56,1024x10

–22,642x10

–4

1l 0,001 1000 1 1,3080x10–6

3,531x10–2

61,0237 0,26421yd

30,7646 764554,8580 764,5549 1 27 46656,0000 201,9740

1ft3

0,0283 28316,8466 28,3168 0,0370 1 1728,0000 7.48051in

31,6387x10

–516,3871 0,0164 2,1433x10

–55,7870x10

–41 0,00433

1gal 0,003785 3785,4118 3,7854 0,0050 0,1337 231,0000 1

1.4 Pressão (p)

À grandeza escalar que relaciona uma força normal aplicada sobre uma superfície denomi-namos de pressão:

A

Fp

onde: F força, [N]A área, [m2]p pressão, [Pa]1Pa = 1 [N.m–2]

Tabela 6 – Unidades de medida de pressão.

[Pa] [atm] [bar] [PSI]16

[torr] [inHg] [inH2O]

1Pa 1 9,8692x10–6

10–5

1,4504x10–4

7,5006x10–3

2,9530x10–4

4,0186x10–3

1atm 101325 1 1,0132 14,6959 760 29,9213 407,18941bar 10

50,9869 1 14,5038 750,0617 29,5300 401,8647

1PSI 6894,7573 6,8046x10–2

6,8948x10–2

1 51,7149 2,0360 27,70761torr 133,3224 1,3158x10

–31,3332x10

–31,9337x10

–21 3,9370x10

–20,5358

1inHg 3386,3882 3,3421x10–2

3,3864x10–2

0,4912 25,4 1 13,60871inH2O 248,84 2,4559x10

–30,002488 3,6091x10

–21,8665 0,07348 1

12Abreviatura de jarda ("yard")

13Abreviatura de pé ("foot")

14Abreviatura de polegada ("inch")

15Abreviatura de galão ("gallon")

16Abreviatura de libra-força por polegada quadrada ("pound per square inch")


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Nos fluidos, a pressão atua sobre as superfícies limítrofes e sobre a parte interna do siste-ma. A força 'F' pode ser produzida pelo peso próprio do meio, carga externa ou ambos.A pressão produzida pelo peso próprio "G" da coluna líquida ou gasosa sobre a superfície defundo "A" de um recipiente [figura 3 (a)], é dada por:

h1

h2

Fluido gasoso

Fluidolíquido

A

a) pressão produzidapelo peso próprio

b) pressão produzidapor carga externa

F

Figura 3 – Pressão nos líquidos e gases

Da figura:

A

gm

A

Gp

mas,

A

ghA

A

gVp

e, portanto:p = g h

mas como: = g

temos finalmente:

hp

Vê-se que a pressão devida ao peso próprio é função da altura "h" da coluna líquida (ou ga-sosa). A equação acima é válida quando e forem independentes da altura "h". Em recipi-entes de formato qualquer, esta equação também é aplicada, pois a pressão se propagauniformemente em todas as direções (figura 4). O instrumento que mede pressão é o ma-nômetro.

h

h 1h 2

h 3

Figura 4 – Pressão produzida pelo peso próprio em um recipiente qualquer


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1.4.1 Pressão Absoluta e Pressão Relativa

A pressão ambiente denomina-se pressão de referência (pref) e geralmente (mas nem sem-pre) corresponde à pressão atmosférica (figura 5).Sendo a pressão absoluta dentro de um recipiente maior que a pressão de referência, ummanômetro mede uma diferença de pressão positiva (sobrepressão); sendo menor, medeuma diferença de pressão negativa (subpressão ou vácuo).

pressãoabsoluta

0

So

bre

pre

ssã

oa

So

bre

pre

ssã

ob

Vá

cu

o

Pre

f.

c

Pre

f.a

Pre

f.b

Figura 5 – Definições de pressão

Para caracterizar o estado de uma substância qualquer, usa-se sempre a pressão absoluta.A maioria dos aparelhos de medir pressão, não mede a pressão absoluta, mas sim a dife-rença de pressão em relação a uma pressão de referência, que também precisa ser deter-minada. É o que ocorre com o manômetro de tubo "U". Para a mesma pressão absoluta dosistema, variações de pressão de referência conduzem a diferentes valores da sobrepressãoou do vácuo.

1.4.2 Pressão Atmosférica

A camada mais externa da Terra é gasosa e recebe o nome de atmosfera. Os gases da at-mosfera são mais densos nas altitudes menores e mais rarefeitos à medida que a altura au-menta, atingindo cerca de 100km de altitude. O peso dessa coluna produz a pressão at-mosférica.A pressão atmosférica varia com a altitude de acordo com a seguinte relação:

z

p

g

epp 0

0

0

onde: p0 pressão atmosférica = 101325 Pa, a 20oCar 1,20 kg.m–3, a 20oCg 9,80665 m.s–2

z diferença de altitude, [m]e base dos logarítmos neperianos17. 2,71728...

A pressão atmosférica é medida com o barômetro, instrumento inventado por Torricelli18.

1.5 Temperatura (T)

A temperatura é talvez a grandeza mais freqüentemente avaliada no meio industrial. No en-tanto, a temperatura não pode ser definida em termos simples e é conhecida através da ex-periência que associamos ao conceito de "quente" e "frio", sendo uma das poucas grande-zas físicas que não pode ser derivada de outra. É muito importante fazer-se uma distinção

17John Napier (1550-1617) – matemático britânico

18Evangelista Torricelli (1608 – 1647) – Físico Italiano


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entre temperatura e calor. Uma substância possui energia interna devido à movimentação desuas moléculas, e essa energia é manifestada através da temperatura deste corpo. Conside-rando dois corpos colocados em contato entre si; se estes dois corpos estão a temperaturasdiferentes, uma transferência de energia interna ocorre do corpo que estiver a uma tempera-tura maior para o corpo que estiver com a temperatura menor. A transferência de energia édenominada calor.A quantidade de calor que o corpo contém depende da sua temperatura, massa e da nature-za do material do corpo. O calor flui do corpo de maior temperatura para o de menor tempe-ratura, mesmo que o corpo que estiver a uma temperatura maior possuir mais calor. Assimsendo o corpo que estiver mais frio torna-se mais quente e vice-versa, atingindo-se umatemperatura comum aos dois corpos. Este estado de repouso denomina-se equilíbrio térmi-co. Desse fato resulta a seguinte conseqüência:

"Dois corpos que possuam a mesma temperatura encontram-se emequilíbrio térmico."

Este enunciado recebeu o nome de Princípio Zero da Termodinâmica.Uma definição de temperatura pode ser:

"Temperatura é a medida que dá uma idéia da agitação de átomosou molécula que constituem o corpo, ou seja, quanto maior o estadode agitação das partículas tanto maior será a temperatura."

A temperatura é medida em termômetros e em pirômetros, que em verdade medem grande-zas físicas simples de serem determinadas e que variam com a temperatura, como por e-xemplo, a dilatação de um fluido líquido, a deformação de um metal, a pressão de vapor deum gás, a resistência elétrica de um condutor, a radiação emitida pelo corpo.As temperaturas consideradas são sempre as temperaturas medidas na escala absoluta (emkelvin19 [K] ou rankine20 [R]), embora a maioria dos termômetros estejam graduados na es-cala centígrada (em graus celsius21) ou na escala fahrenheit22.A relação entre cada escala de temperatura é:

T[K] = t[oC] + 273,15T[K] = 9/5 T[R]T[R] = 5/9 T[K]T[R] = to[F] + 459,67t[oC] = 5/9 (t[oF] – 32)t[oF] = 9/5 t[oC] + 32

1.5.1 Variação das Propriedades dos Fluidos com a Temperatura

Supondo constante a massa de um fluido, seu volume aumenta quando há acréscimo natemperatura, sendo válida a afirmação de que diminui quando a temperatura aumenta e

19William Thomson, Lorde Kelvin (1824 – 1907) – matemático e físico britânico.

20William John Macquorn Rankine (1820 – 1872) – engenheiro britânico.

21Anders Celsius (1701 – 174) – astrônomo suíço.

22Gabriel Daniel Fahrenheit (1686 – 1736) – fabricante holandês de instrumentos de medida e previsão do

tempo.


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vice-versa23.A viscosidade diminui, na maioria dos fluidos, quando a temperatura aumenta, e vice-versa.

1.6 Equações de Estado Térmicas

Entre as grandezas de estado térmicas [pressão (p), volume específico (v) e temperatura(T)]de qualquer substância, existe uma interdependência que pode ser expressa pelas relações:

p = (v, T) v = (p, T) T = (p, v).Portanto, por meio de quaisquer duas grandezas de estado térmicas, podemos determinar aterceira. A relação matemática dessas três grandezas denominamos de "equação de estadotérmica".A equação de estado térmica para sistemas em que ocorrem mudanças de estado físico écomplicada e não existe, até o presente, uma equação que forneça resultados suficiente-mente exatos para todos os estados físicos. Verificou-se entretanto, por meio de medidas

experimentais, que em um gás sob pressão muito baixa, a expressãoT

vp assume sempre,

para valores diferentes de "p", "v" e "T" , um valor constante, denominado constante especí-fica do gás, representada por "R".

T

vp R , para p 0

O valor de "R" é diferente para cada gás, mas para determinado gás é independente do seuestado.

1

½

1/3

10

20 30 40

Compressão dofluido

Pressão

Vo

lum

e

100 200 300 400

¼

1

¾

½

¼

Aumento datemperatura do

fluido

Vo

lum

e

Temperatura

Figura 6 – Leis dos gases perfeitos

Um gás que obedeça a esta lei é denominado de gás perfeito. (ou gás ideal). Este gás nãoexiste, porém quando a pressão não é muito elevada, alguns gases podem ser tratados co-

23Para o caso particular da água, esta afirmação é correta para temperaturas acima de 4

oC.; quando a tempe-

ratura da água cresce de 0o

para 4oC, o volume desta diminui, sendo entretanto esta variação muito pequena.

Ver a figura 28


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mo tal.Para a massa gasosa "m", a equação de estado térmica dos gases perfeitos assume a for-ma:

pV = mRTA equação de estado térmica dos gases perfeitos também representa duas leis físicas:1) Lei de Boyle24

Para uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume é constantep V = constante

2) Lei de Gay-Lussac25

Para uma pressão constante, a relação entre o volume e a temperatura é constante.

T

V= constante

Note-se que estas equações são válidas somente para os gases perfeitos.

1.6.1 Constante dos gases

Uma outra maneira de se exprimir a quantidade de massa contida em um corpo é pela quan-tidade de moléculas que o mesmo possui. A quantidade de moléculas de um corpo, apesarde ser conhecido com exatidão é um número muito grande, sendo um tanto inconveniente.Assim, uma nova grandeza foi definida: o "mol".O número de moléculas contidas em 1mol é dado pela constante de Avogadro26:

NA = 6,02252x1023mol–1

Segundo a Lei de Avogadro, todos os gases perfeitos contêm, sob as mesmas condições devolume, pressão e temperatura, a mesma quantidade de moléculas. Isto significa que 1kmolde qualquer gás perfeito, nas mesmas condições físicas, ocupa o mesmo volume, denomi-nado volume molar.Nas condições normais de temperatura e pressão (0oC, 1atm) o volume normal denomina-sevolume normal de gás perfeito.

V0 = 2,24136x10–2m3mol–1

ouV0 = 22,4136m3kmol–1

Nos gases reais, V0 é diferente desse número (tabela 7, página 13).O valor numérico da constante dos gases perfeitos R pode ser calculado:

kmolK

J

molK

J

Kkmol

mm

N

T

V

83143143,8

15,273

1024136,2101325 32

30

R

R

A partir da constante dos gases R, calcula-se a constante específica de determinado gáspela equação:

MR

R

onde: R constante específica do gás. [Jkg–1K–1]M massa molar, [kgkmol–1]

24Robert Boyle (1627 – 1691) – físico e químico inglês.

25Joseph Louis Gay-Lussac (1778 – 1850) – cientista francês.

26Amedeo Avogadro (1776 – 1856) – físico e químico italiano.


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Tabela 7 – Características de gases

CALOR ESPECÍFICO

GÁSFÓRMULA

QUÍMICA

V0

[m3kmol

–1]

M[kgkmol

–1]

R[Jkg

–1K

–1]

[kgm

–3]

PRESSÃO

CONSTANTE, cp

VOLUME

CONSTANTE cv

CONSTANTE

ADIABÁTICA

k = cp/cv

Hélio He 22,42 4,003 2078 0,1785 5,236 3,160 1,660Argônio Ar 22,39 39,944 208,2 1,7834 0,523 0,318 1,660Hidrogênio H2 22,43 28,016 296,8 0,08987 14,38 10,26 1,402Nitrogênio N2 22,40 28,016 296,8 1,2505 1,039 0,743 1,400Oxigênio O2 22,39 32,000 259,8 1,42895 0,908 0,649 1,399Ar - 22,40 28,964 287,0 1,2928 1,004 0,716 1,402Monóxido decarbono

CO 22,40 28,01 296,8 1,2500 1,039 0,743 1,400

Dióxido decarbono

CO2 22,26 44,01 188,9 1,9768 0,821 0,632 1,299

Dióxido deenxofre

SO2 21,89 64,06 129,8 2,9265 0,607 0,477 1,272

Amônia NH3 22,08 17,032 488,3 0,7713 2,055 1,565 1,313Acetileno C2H2 22,22 26,036 319,6 1,1709 1,512 1,216 1,255Metano CH4 22,36 16,042 518,8 0,7168 2,156 1,162 1,219Etileno C2H4 22,24 28,052 296,6 1,2604 1,611 1,289 1,249Etano C2H6 22,16 30,068 276,7 1,3560 1,729 1,444 1,200

Notas para a tabela 7:1) V0 é dado nas condições normais de temperatura e pressão2) M massa molar3) R constante específica do gás4) Os calores específicos são dados em [kJkg–1oC–1 ]

1.7 Outras Propriedades dos Fluidos

Todos os corpos (sólidos ou fluidos) estão submetidos à força devida à gravitação, propostapor Newton27: Existem, entretanto forças internas de origem eletroquímica, que dão origem aoutras propriedades.

1.7.1 Coesão

É a propriedade com que as partículas fluidas resistem a reduzidos esforços de tensão. As-sim, é a coesão que permite a formação de gotas e de jatos de água. Mas, em geral, as for-ças de coesão são tão pequenas que o fluido ainda apresenta mobilidade (fluidez). Os es-forços de coesão são forças de atração entre moléculas de cada substância, variando de umlíquido para outro, sendo maiores no mercúrio do que na água.

1.7.2 Adesão

É a propriedade que permite a um líquido "molhar" uma superfície. Suponhamos um líquidoem contato com um sólido. Entre as moléculas do líquido existe uma atração (coesão). Poroutro lado, entre as moléculas do líquido e as do sólido com o qual está em contato, existeoutra atração. Quanto maior for a atração entre as moléculas do próprio líquido, ocorrerá apropriedade da adesão. Por exemplo, a água adere ou "molha" o vidro porque a adesão en-tre ambos é maior que a coesão. Ao contrário, o mercúrio não "molha" o vidro pois a coesãomolecular no mercúrio é maior que a atração entre o vidro e o mercúrio.

1.7.3 Tensão Superficial

Suponhamos um líquido em repouso. Qualquer molécula no interior desse líquido está sujei-ta aos esforços que as moléculas vizinhas exercem sobre ela, em todas as direções. Estesesforços variam com o movimento (ou com a agitação) das moléculas. Porém, devido à si-

27Sir Isaac Newton (1642 – 1727) – cientista e matemático inglês.


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metria nas moléculas vizinhas (de mesma natureza), a resultante é nula em um intervalo detempo determinado. Isto não ocorre quando estão em contato dois fluidos não miscíveis, dedensidades diferentes. Nesta situação as moléculas da superfície que separa os dois meiosfluidos não estão submetidos à ação de forças simétricas (figura 7).

LíquidoAR

Figura 7 – Tensão superficial

Agora, as moléculas da superfície líquida são solicitadas para o interior da massa líquida,devido à coesão. Assim a resultante dos esforços moleculares não é nula, o que dá origem àtensão superficial. Na superfície de separação, devido a essa tensão, aparece uma curva,denominada menisco.Quando o líquido está no interior de um tubo de pequeno diâmetro (capilar), a tensão super-ficial poderá provocar a depressão [figura 8 (a)] ou ascensão capilar [figura 8 (b)].

(a) (b)

Figura 8 – Capilaridade

2 Estática dos FluidosTambém conhecida como Hidrostática ou Fluidostática, é a parte da física que estuda ocomportamento dos fluidos e as leis que regem este comportamento, quando o fluido encon-tra-se em repouso.

2.1 Teorema da Variação da Pressão

O Teorema de Stevin28 (ou Lei de Stevin ou ainda Teorema Fundamental da Fluidostática),pode ser assim enunciado:

28Simon Stevin (1548 – 1620), matemático flamengo


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"A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido emrepouso é igual ao produto do peso específico do fluidoem questão e a diferença de cotas dos dois pontos."

Isto é: a pressão varia linearmente com a altura da coluna de fluido (figura 9).

y 0

y 1

y 2

P3

P0

P1

P2

Figura 9 – Teorema de Stevin

Segundo esse teorema, temos que:P1 – P0 = (y0 – y1)P2 – P0 = (y0 – y2)P2 – P1 = (y1 – y2)

P3 = P0 + (y0 – y3) (pressão absoluta)

P3 = (y0 – y3) (pressão relativa)

Em outras palavras, a pressão absoluta é o valor da pressão manométrica acrescida dapressão atmosférica ou de referência.

2.2 Princípio de Arquimedes

Arquimedes29 descobriu que todo o corpo, total ou parcialmente imerso em um fluido, recebedeste forças de compressão cuja resultante é não nula que chamou empuxo, e enunciou aseguinte lei:

"Um fluido em equilíbrio age sobre um corpo total ou parcial-mente nele imerso com uma força vertical, orientada de baixopara cima, chamada empuxo. Ela é a resultante das forças devi-das à pressão que o fluido exerce sobre o corpo. A intensidadedo empuxo é igual ao peso do fluido que o corpo desloca."

29Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), filósofo, matemático e "engenheiro" grego.


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G

P

E

Figura 10 – Princípio de Arquimedes

Vemos pela figura 10 que:E = líquido Vlíquido g

porém,P = corpo Vcorpo g

Como há equilíbrio, P = E. Portanto temos:

líquido

corpo

corpo

líquido

V

V

2.3 Princípio de Pascal

Em meados do século XVII, Pascal30 enunciou o seguinte princípio:

"Quando se produz uma variação de pressão num ponto de umlíquido em equilíbrio, essa variação se transmite integralmentepara todos os pontos do líquido."

Este princípio é amplamente utilizado atualmente em diversas aplicações importantes comoprensas hidráulicas, freios de automóveis e elevadores hidráulicos, entre outros.

30Blaise Pascal (1623 – 1662), matemático e físico francês.


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A1

A2

F1

F2

Figura 11 – Lei de Pascal

Observando a máquina hidrostática da figura 11, temos que, conforme o princípio de Pascal:

p1 = p2

mas, p1 = F1 A1 e p2 = F2 A2

portanto, F1 A1 = F2 A2

E, finalmente:

1

212

A

AFF

3 FluidodinâmicaA cinemática dos fluidos estuda o escoamento dos fluidos líquidos ou gasosos, sem consi-derar as suas causas. A dinâmica preocupa-se com as causas e conseqüências do escoa-mento.

3.1 Definições

3.1.1 Escoamento

O cisalhamento deforma permanentemente o fluido dando a este a propriedade de escoar,isto é, de mudar de forma, facilmente. É portanto a mudança de forma do fluido sob a açãode um esforço tangencial.

3.1.2 Corrente Fluida

É o escoamento orientado do fluido, com direção e sentido bem determinados.

3.1.3 Método de Euler31 para o Estudo dos Fluidos

Diversos métodos são utilizados para o estudo cinemático dos fluidos; dentre eles, podemoscitar o método de Lagrange32 e o método de Euler.O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a na suatrajetória. O observador desloca-se simultaneamente com a partícula. Este método é muito

31Leonhard Euler (1705 – 1783) – Matemático e engenheiro suíço.

32Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) – matemático e físico francês.


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simples no que diz respeito à descrição do movimento da partícula, porém grandes dificul-dades nas aplicações práticas.Já no método de Euler, adota-se um certo intervalo de tempo, escolhendo-se um ponto noespaço e considerando todas as partículas que passam por esse ponto, sendo o observadorfixo e de um modo geral, a pressão e a velocidade de cada partícula serão função do tempoe das coordenadas do ponto considerado.

3.2 Classificação do Escoamento

O escoamento dos fluidos pode ser classificado quanto à:

a) Direção da trajetória Laminar Turbulento

b) Variação na trajetória Uniforme Variado

c) Variação com o tempo Permanente Não permanente

d) Movimento de rotação Rotacional Irrotacional

3.2.1 Escoamento Laminar e Turbulento

Diz-se que o escoamento é laminar quando as partículas descrevem trajetórias paralelas. Oescoamento é turbulento quando as trajetórias são irregulares.Esta diferenciação foi primeiramente equacionada por Reynolds33, com o experimento des-crito a seguir (figura 12):

V

R

T

t

Figura 12 – Experimento de Reynolds

A água do reservatório "R" passa por um tubo "T" de vidro. A válvula "t" regula a saída dolíquido, ao mesmo tempo em que se injeta um tênue filete de líquido colorido, proveniente doreservatório "V". Para o escoamento com pequenas velocidades, o filete colorido apresenta-se retilíneo, no eixo longitudinal do tubo. Abrindo "t", a velocidade da água aumenta e o filetetorna-se irregular, difundindo-se na água. Fechando a válvula, diminui-se a velocidade, e ofilete volta à forma retilínea.Reynolds concluiu que variando-se a velocidade do líquido, dentro de certos limites, aspartículas do líquido descrevem trajetórias retilíneas, paralelas.O escoamento caracteristicamente retilíneo, foi denominado "escoamento laminar". Ocorre

33Osborne Reynolds (1842-1912) – físico inglês.


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poucas vezes na prática. Um exemplo é o da fumaça que uma vela exala. Inicialmente afumaça é retilínea mas, ao misturar-se com o ar, o escoamento torna-se turbulento.Ao escoamento irregular, deu-se o nome de "escoamento turbulento". Neste tipo deescoamento, as trajetórias são curvelíneas e irregulares, cujo traçado não é possível prever.Elas se entrecruzam, formando uma série de redemoinhos. As trajetórias emaranham-se detal modo que é impossível identificá-las na prática. Em cada ponto da corrente fluida, avelocidade varia em módulo, direção e sentido.Ainda experimentalmente, Reynolds desenvolveu diversas equações empíricas para adeterminação do tipo de escoamento (laminar ou turbulento) em que se apresenta o fluido.

Figura 13 – Escoamento turbulento num vulcão em erupção

3.2.2 Escoamento Uniforme

Neste tipo de escoamento, todos os pontos da mesma trajetória têm a mesma velocidade,podendo variar de uma trajetória para outra. Este tipo ocorre no escoamento de líquidos sobpressão constante em tubulações longas, de diâmetro constante.

3.2.3 Escoamento Variável

Neste caso, os diversos pontos da mesma trajetória não apresentam velocidade constantenum intervalo de tempo considerado. Este tipo de escoamento ocorre:a) Nas correntes convergentes (originárias de orifícios) e nas divergentes (provocadas por

alargamento da seção) – figura 14.b) No golpe de aríete, que se verifica ao fechar-se rapidamente uma válvula por onde passa

o líquido.

(a) Corrente divergente

(b) Corrente convergente

Fluxo

Figura 14 – Escoamento variado


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3.2.4 Escoamento Permanente

Neste caso, a velocidade e a pressão em determinado ponto não variam com o tempo. Avelocidade e a pressão podem variar de um ponto para outro, mas são constantes em cadaponto.O escoamento permanente ocorre:a) Num líquido em um recipiente em que se mantém constante a superfície livreb) No tubo que interliga dois reservatórios.

Aos consumidores

Do provedor

Figura 15 – Escoamento permanente típico

3.2.5 Escoamento Não Permanente

Neste caso, a velocidade e a pressão variam, em determinado ponto, com o tempo. Variamtambém de um ponto a outro. Ocorre quando se esvazia um recipiente através de um orifí-cio: à medida que a superfície livre vai baixando, a pressão e a velocidade diminuem.

3.2.6 Escoamento Rotacional

É aquele em que cada partícula fluida está sujeita à velocidade angular , em relação aoseu centro de massa. O escoamento rotacional é bem caracterizado no fenômeno do equilí-brio relativo em um recipiente cilíndrico aberto, que contém um líquido e que gira em tornode seu eixo vertical (em uma centrífuga, por exemplo). Em virtude da viscosidade, o escoa-mento dos fluidos é sempre rotacional.

3.2.7 Escoamento Irrotacional

Este tipo de escoamento é utilizado teoricamente para fins de simplificação, pois aqui as par-tículas não se deformam e se faz a consideração matemática de que todos os escoamentosserem irrotacionais.

3.2.8 Linha de Corrente

No método de Euler, tomemos os vetores 1v

, 2v

, 3v

, etc., que representam as diversas velo-

cidades da partícula nos instantes considerados, no interior da massa fluida. Tracemos acurva que seja tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade. A curva resultanteé denominada de "linha de corrente" ou "linha de fluxo". São nulas as componentes da velo-cidade perpendiculares à trajetória considerada (figura 16).


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1v

2v

3v

4v

5v

Figura 16 – Linha de Corrente

A linha de corrente é uma linha imaginária tomada através do fluido, para indicar a direção ea velocidade em diversos pontos.As linhas de corrente não podem cortar-se pois cada ponto poderá somente ter uma únicavelocidade. Em cada instante e em cada ponto passa uma e somente uma linha de corrente.

3.2.9 Tubo de Corrente

Suponhamos duas curvas fechadas "A1" e "A2", que não sejam linhas de corrente (figura 17).Ao se considerar todas as linhas de corrente que toquem nestas duas superfícies fechadasem um instante dado, forma-se o "tubo de corrente", que não pode ser atravessado pelo flui-do nesse instante pois não há componente normal à velocidade, apenas a componente tan-gencial.

Linha deCorrent e

Tubo de

Corrent e

A1

A2

P2

P1

Figura 17 – Tubo de Corrente

3.3 Viscosidade

Devido à fluidez, ocorre a fácil alteração na forma do fluido, sob a ação de uma força de ci-salhamento. Em virtude da coesão molecular, no entanto, o fluido real apresenta certa resis-tência ao escoamento. Esta resistência ao escoamento é denominada de viscosidade. Osfluidos mais viscosos (óleo não refinado, glicerina, tinta de impressão), apresentam menorfluidez, e vice-versa. Ambas as propriedades (viscosidade e fluidez) são características decada fluido, manifestando-se no seu interior, independente do material sólido em que estiverem contato.


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3.3.1 Viscosidade nos Gases

Em um gás, as moléculas estão em média longe umas das outras de modo que as forças decoesão não são efetivas. A viscosidade do gás não vem do atrito interno, mas da transferên-cia de momentum (quantidade de movimento) entre camadas adjacentes que se movemcom velocidade relativa não nula. As moléculas que cruzam a fronteira entre as camadaspartindo da camada que se move mais rapidamente transferem uma quantidade de movi-mento maior à camada que se move menos rapidamente do que a quantidade de movimentoque as moléculas desta camada transferem àquela ao cruzarem, por sua vez, a fronteiraentre as camadas. Assim, a velocidade da camada mais rápida tende a diminuir e a veloci-dade da camada mais lenta, a aumentar, de modo que a velocidade relativa tende a diminu-ir.

3.3.2 Coeficiente de Viscosidade Dinâmica ()

Suponhamos duas placas planas, paralelas, ambas com área "A" e distantes de "y". Admi-tamos que a placa inferior seja fixa e a superior se mova com velocidade constante "v

", sob

a ação de uma força "F

" (figura 18). Suponhamos ainda que o espaço entre as duas placasseja ocupado por um fluido, cuja variação de velocidade na seção "B-C" é o observado na-quela figura.

y

U

A

A

y

vv

B

C

D

Placa

Placamóvel

F

v

Figura 18 – Definição de viscosidade

As partículas do fluido estarão aderidas às respectivas placas. Na parte inferior, a velocidade

do fluido é nula (a placa é fixa) e na parte superior, a velocidade do fluido é U

.Admitindo que a variação da velocidade do fluido seja linear34 (representado pela reta "C-D")e que o escoamento seja laminar, desde que a distância "y" não seja grande, experimental-

mente verifica-se que a força F

, aplicada à placa móvel, é diretamente proporcional à área A

da placa e à sua velocidade U

. Verifica-se também que F

é inversamente proporcional à

distância y que separa as duas placas; então, F

é proporcional a AU/y.Agora, no interior do fluido, separemos duas lâminas paralelas (ideais) de fluido, ambas coma mesma área "A" e separadas y, as quais têm velocidade v

e vv

(parte hachurada da

figura 18).Por semelhança de triângulos, podemos escrever:

y

v

y

U

34Na realidade, o perfil de velocidade é parabólico.


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Mas F

é proporcional a (A U y) e, então, podemos afirmar que F

também é proporcionala (A v y) uma vez que o escoamento foi suposto laminar.O módulo da força, então, pode ser escrita da forma:

y

vAF

em que é o coeficiente de proporcionalidade.Sendo que a tensão de cisalhamento vale:

A

F

ficamos com:

y

v

ou de outra forma,

y

v

onde: tensão de cisalhamento, [N.m–2]

y

v

gradiente de velocidade, [s–1]

coeficiente de viscosidade dinâmica, [N.s.m–2]Esta expressão foi desenvolvida por Newton e expressa o coeficiente de viscosidade dinâ-mica. Os fluidos que não obedecem a essa lei são chamados de não-newtonianos (piche,pasta dental, vidro, etc.).

Tabela 8 – Unidades de medida de viscosidade dinâmica.

[N.s.m–2

] [kgf.s.m–2

] [Poise]35, 36

[lbf.s.ft–2

]37

1Nsm–2 1 0,1019716 10 2,0885x10

–2

1kgfsm–2 9,80665 1 98,0665 0,2048

1Poise 0,1 1,0197 1 2,0885x10–3

1lbfsft–2 47,8803 4,8824 478,8026 1

3.3.3 Viscosidade Cinemática ()

Já que a massa de um corpo é a quantidade de matéria contida nesse corpo, tratando-se deuma característica da inércia que esse corpo se opõe ao movimento, os efeitos da viscosi-dade serão tanto maiores quanto menor a inércia desse corpo, ou seja, quanto menor suamassa específica.Define-se então o coeficiente de viscosidade cinemática como:

onde: coeficiente de viscosidade cinemática, [m2.s–1]

351 Poise = 1dyn.s.cm

–2.

36Louis Poiseuille – físico francês

37Esta unidade é denominada de reyn (derivado do nome do pesquisador Osrborne Reynolds)


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Tabela 9 – Unidades de medida de viscosidade cinemática.

[m2s

–1] [m

2h

–1] [St]

38, 39[cSt] [ft

2s

–1] [ft

2h

–1]

1m2s

–1 1 3600 104

106

10,7639 38750,0775

1m2h

–1 2,7778x10–4

1 2.7778 2,7778x102

2,98997x103

10,7639

1St 10–4

0,36 1 100 3,87501cSt 10

–60,0036 0,01 1 1,0764x10

–53,8750x10

–2

1ft2s

–1 0,0929 334,4509 929,0304 92903,04 1 3600

1ft2h

–1 2,5806x10–5

0,0929 0,258064 25,8064 2,7778x10–4

1

3.3.4 Viscosidade Técnica

As unidades de medida fisicamente definidas são aplicáveis, em princípio, para o estudoteórico dos fluidos. Na prática, outras unidades de medida são utilizadas, com conceituaçãosemelhante à teórica. Os métodos utilizados pelas indústrias de petróleo, ramo muito difun-dido e tecnicamente bastante significativo, são definidos a partir do conceito inicial de visco-sidade, que é o inverso da fluidez, ou seja, a maior ou menor dificuldade que um fluido tempara escoar.Popularmente a viscosidade é o "corpo" de um lubrificante. Um óleo viscoso ou de grandeviscosidade é "grosso" e flui com dificuldade; um óleo de pouca viscosidade é "fino". Esta noentanto, é uma prática muito grosseira.Tecnicamente a viscosidade de um fluido é medida avaliando-se o tempo, em segundos,que uma determinada quantidade deste fluido leva para escoar.Diversos métodos foram propostos e os mais conhecidos são os viscosímetros Saybolt (utili-zado nos Estados Unidos), Engler (utilizado na Alemanha) e Redwood (utilizado no ReinoUnido). Todos os três compõem-se, basicamente, de um tubo cilíndrico com um estreitamen-to calibrado na parte inferior. Uma determinada quantidade de fluido é colocada no tubo, quefica mergulhado em um banho com temperatura controlada. Na temperatura escolhida, dei-xa-se escoar o fluido através do orifício, medindo-se o tempo de escoamento.

Tabela 10 – Parâmetros utilizados em alguns viscosímetros.

VISCOSÍMETRO UNIDADE SÍMBOLO VOLUME TEMPERATURA [OF]

Universal SUS ou SSU40

70, 100, 130,210Saybolt

Furol SFS ou SSF41 60ml

77, 100, 122, 210I Redwood 70, 100, 140, 200

RedwoodII Redwood II

50ml77, 86

Segundos -Engler

GrausoE

200ml 20oC, 50

oC, 100

3.3.5 Sistema Prático SAE42

A SAE criou uma classificação para óleos lubrificantes, baseada exclusivamente na viscosi-dade. Um extrato da tabela da recomendação SAE pode ser observada na figura 19:

381St = 1Stoke.

39Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903) – matemático e físico inglês

40SSU: Saybolt Seconds Universal – Segundos Universais Saybolt (SUS).

41SSF: Saybolt Seconds Furol – Segundos Saybolt Furol (SSF)

42Society of Automotive Engineers – Sociedade (americana) de engenheiros (de veículos) automotores.


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Figura 19 – Fac símile da Tabela 1 da SAE J30043

Observe-se que o número SAE não é um índice de viscosidade, mas sim uma faixa de vis-cosidade a uma dada temperatura.

Figura 20 – Fac-símile da Tabela 1 da SAE J30643

43Ver também a norma SAE J183 – Engine Oil Performance and Engine Service Classification


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3.4 Lei de Poiseuille

Quando a velocidade de um fluido, em qualquer ponto, é constante no tempo, o escoamentoé dito estacionário ou permanente. Então, cada partícula que passa por um determinadoponto o faz sempre com a mesma velocidade. Em um outro ponto, as partículas podem pas-sar com outra velocidade, mas aí, também, a velocidade é sempre a mesma. Essas condi-ções podem ser conseguidas em fluidos com baixa velocidade de escoamento.Consideremos, agora, o escoamento de um fluido viscoso através de um tubo cilíndrico, comuma velocidade não muito grande, de modo que o escoamento é lamelar e estacionário. Acamada mais externa, chamada camada limite, adere à parede e tem velocidade nula. A pa-rede exerce sobre esta camada uma força de sentido contrário ao movimento do fluido e ela,por sua vez, exerce uma força de mesmo sentido sobre a camada seguinte, e assim por di-ante. A camada central tem a velocidade máxima. O escoamento do fluido é como o movi-mento de vários tubos encaixados, cada qual deslizando com velocidade maior que o vizinhoexterno.XxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVamos ver como varia a velocidade das camadas de fluido com o afastamento do centro deum tubo cilíndrico de raio R.Consideremos um elemento cilíndrico de fluido, de raio r e comprimento L, coaxial com otubo (Fig.6), que se escoa por efeito de uma diferença de pressão. A força que impulsiona ofluido tem módulo . Esta força deve estar em equilíbrio com a força de viscosidade que atuana superfície do elemento cilíndrico considerado, com área , de modo que:

ou

Integrando esta expressão desde um r genérico, para o qual a correspondente camada defluido tem uma velocidade v, até r = R, para o qual a correspondente camada de fluido tem v= 0, obtemos:

Assim, a velocidade de uma dada camada cilíndrica do fluido é diretamente proporcional aogradiente de pressão e inversamente proporcional ao coeficiente de viscosidade. Ainda, avelocidade das partículas do fluido é máxima em (no centro do tubo), diminuindo até zeroem r = R (junto às paredes).Considerando agora uma camada cilíndrica de fluido, com raio interno r e raio externo r + dr,que se move com velocidade de módulo v. No intervalo de tempo dt, o volume de fluido queatravessa uma seção reta do tubo é , onde . Portanto, levando em conta a expressão aci-ma, temos:

O volume de fluido que escoa através de toda seção reta do tubo de raio R durante o inter-valo de tempo dt é obtido pela integração em r, desde até :

A vazão, ou seja, o volume de fluido que passa através de uma seção reta do tubopor unidade de tempo, , é dada por:


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Esta equação é conhecida como equação de Poiseuille. Note que a vazão é diretamenteproporcional ao gradiente de pressão sobre o fluido e inversamente proporcional à viscosi-dade, como era esperado. Escrevendo estas expressão como:

podemos interpretar a constante entre parênteses como uma espécie de resistência ao es-coamento. Assim, esta equação guarda certa analogia com a equação , que representa aqueda de potencial elétrico através de um resistor.

4 Equação da ContinuidadeNa figura 17 (página 21), consideremos ter um tubo de corrente delgado. A velocidade dofluido no interior do tubo, embora paralela ao mesmo em cada ponto, pode ter intensidadediferente em pontos diferentes. Seja v1 o módulo da velocidade da partícula em P1 e v2 emP2. Sejam A1 e A2 as áreas das seções retas do tubo, perpendiculares às linhas de correnteem P1 e P2 respectivamente. No intervalo de tempo t, um elemento do fluido percorre apro-ximadamente a distância (v t). Assim, a massa m do fluido que atravessa A1 no tempo té aproximadamente:

m = 1 A1 v1 tou, a massa que escoa na unidade de tempo será, aproximadamente,

1111 vA

t

m

Equação 1

Quando t é suficientemente pequeno de modo que "v" e "A" não variem muito ao longo dadistância percorrida, teremos que, no limite ( 0t ), a equação 1 é correta e rigorosa.Analogamente,

2222 vA

t

m

Equação 2

Igualando a equação 1 à equação 2, e tendo em vista que o fluido não pode passar atravésdas paredes do tubo e não havendo fontes ou consumidores onde o fluido possa ser forne-cido ou consumido no interior do tubo, a massa que atravessa cada seção transversal, naunidade de tempo, deve ser constante, daí:

1 A1 v1 = 2 A2 v2

ou A v = constante

que é denominada equação da continuidade.Quando o fluido é incompressível, a equação da continuidade pode ser simplificada (poisnão há variação da massa específica), ficando de uma forma mais simples:

A v = constante

4.1 Vazão (Q)

Denomina-se vazão ao volume de fluido que atravessa determinada seção transversal naunidade de tempo, ou seja:

t

VQ

onde: t tempo, [s]Q vazão, [m3s–1]

Muitas vezes a vazão é dada em função da massa, isto é, a massa do fluido que atravessauma seção transversal na unidade de tempo. Denomina-se, então, vazão mássica:


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Caruso

t

mQm

onde: Qm vazão de massa, [kgs–1]Em outras ocasiões, é conveniente exprimir a vazão em termos do peso do fluido; temos avazão em peso:

t

GQG

onde: QG vazão em peso, [Ns–1]A relação entre estas grandezas é:

QG = Qmg = Qg

4.2 Equação de Bernoulli44

A equação de Bernoulli (para fluidos ideais) é fundamental no estudo da dinâmica dos flui-dos e consiste essencialmente na aplicação do teorema da transformação energia em traba-lho no escoamento dos fluidos.Considere-se um fluido não viscoso, incompressível, escoando-se em regime permanentepelo tubo representado na figura 21.O trecho à esquerda tem seção reta uniforme de área A1. Este trecho é horizontal e está auma altura z1 de um plano horizontal de referência.

l1

l2

1v

2v

11 Ap

22 Ap

z 1

z 2

Plano deReferência

Figura 21 – Escoamento de um elemento fluido

O tubo se alarga gradualmente elevando-se e à direita, tem seção reta uniforme de área A2,tornando-se horizontal, situando-se na cota z2 do plano de referência.Em todos os pontos da parte estreita do tubo a pressão será p1 e a velocidade v1. Na partelarga, p2 e v2. O trabalho realizado para a seção A1 avançar l1 é igual à força (p1 A1) multi-plicado pelo deslocamento (l1), isto é, (p1 A1 l1). Concomitantemente, a parte direita dosistema avança uma distância l2, contra uma força oposta (p1 A1), sendo (p2 A2 l2) otrabalho realizado pelo sistema. Assim sendo, para movimentar todo o sistema, as pressõesdevem realizar o trabalho:

p1 A1 l1 – p2 A2 l2Ora, (A. l) é o volume (de cada uma das seções), sendo constante pois o fluido foi supostoincompressível. Sendo "m" a massa de cada uma das porções e a massa específica dofluido, tem-se que:

mlAlA 2211

44Daniel Bernoulli (1700 – 1782) – matemático suíço.


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e

m

pp 21 o trabalho realizado sobre o sistema.

As variações das energias cinética e potencial das seções consideradas têm valor, respecti-vamente de:

21

22

2

1

2

1vmvm

em g z2 = m g z1

Daí vem que:

1221

2221

2

1

2

1zgmzgmvmvm

mpp

que reagrupando e entendendo que uma vez que as seções '1' e '2' referem-se a quaisquerpares de pontos, escreve-se:

pvzgH

2

2

Equação 3

que é a Equação de Bernoulli para escoamento permanente de um fluido ideal e "H" é de-nominada constante de Bernoulli.Observando a equação 3, poderemos rescreve-la:

p

g

vzH

2

2

em cada uma das parcelas representa: z energia de posição (potencial);

g

v

2

2

energia de velocidade (cinética);

p energia de pressão;

H energia totalQue significa dizer que a energia total em regime permanente, num ponto qualquer de umfluido é constante.Em condições especiais, as hipóteses fundamentais – escoamento uniforme, permanente,irrotacional e fluido ideal – que regem a equação de Bernoulli podem ser abandonadas:1. Quando todas as linhas de corrente têm origem num reservatório, no qual a energia é a

mesma em todos os pontos, não haverá variação entre as linhas de corrente;2. No escoamento de um gás, como em um sistema de ventilação, onde a variação da

pressão é apenas uma pequena fração da pressão absoluta, o gás pode ser consideradoincompressível. A equação de Bernoulli pode ser aplicada adotando-se o peso específico() como o valor médio entre os pesos específicos da fluido na entrada e na saída;

3. Para um escoamento variado, cujas condições variam gradualmente, como no esvazia-mento de um reservatório, a equação de Bernoulli pode ser aplicada sem erro apreciável;

4. A equação de Bernoulli pode ser aplicada na análise de casos de fluidos reais, despre-zando-se em primeira aproximação as tensões viscosas para a obtenção de resultadosteóricos. Em seguida, pode-se alterar a equação, considerando-se a viscosidade do flui-do no escoamento em estudo.


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Caruso

4.3 Equação de Bernoulli na Presença de Máquina45

Se determinada máquina é inserida num escoamento, teremos os seguintes casos a consi-derar:a) Se H2 > H1, a máquina é uma bomba, retirando energia do fluido, e portanto, H1 + HB =

H2, para se restabelecer o equilíbrio;b) Se H1 > H2, a máquina é uma turbina, fornecendo energia ao fluido; tem-se, para o resta-

belecimento do equilíbrio: H1 – HT = H2.onde:HB carga manométrica de bomba, [m]

HT carga manométrica de turbina, [m]

z 2

z 1

SL M

Plano de referência

Figura 22 – Presença de máquina no escoamento de um fluido

Genericamente teremos:H1 + HM = H2

onde: HM carga manométrica da máquina.

2

222

1

211

22z

g

vpHz

g

vpM

ou ainda:

g

vvppzzHM

2

21

2212

12

que escrita de uma forma às vezes mais conveniente, fica:

g

vvpzH M

2

21

22

4.4 Potência na Corrente Fluida

Numa seção qualquer do tubo de corrente, a potência da corrente fluida é:

g

vpzQN

2

2

ou, substituindo o termo entre parênteses:

HQN

em que "N" é a potência efetivamente fornecida ao fluido ou retirada pela máquina.

45Para o presente caso, máquina é qualquer elemento introduzido no escoamento, apto a fornecer (bomba) ou

retirar energia do fluido, sob a forma de energia mecânica.


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Denominamos de rendimento à relação entre o trabalho (ou potência) útil e o trabalho (oupotência) fornecido (figura 23).

MáquinaNf N

Figura 23 – Definição de rendimento

1f

u

f

u

N

N

W

W

onde: Wu trabalho útil, [J]Wf trabalho fornecido, [J]Nu potência útil, [kW] ou [CV]Nf potência fornecida, [kW] ou [CV]

4.5 Equação de Bernoulli para Fluido Real

A experiência demonstra que, no escoamento dos fluidos reais, uma parte de sua energia sedissipa sob a forma de calor e nos turbilhões que se formam na corrente fluida. Essa partede energia é consumida pelo fluido real ao vencer as diversas resistências, tais como a vis-cosidade do fluido e o atrito entre o fluido e as paredes do conduto.Numa tubulação, diversas resistências ao fluxo são causadas por peças acessórias paraadaptação do duto do provedor ao consumidor do fluido (conexões como curvas, tes, redu-ções, etc.) ou para controle do fluxo (válvulas, registros, válvulas de controle, etc.). Assim, acarga no fluido real não pode ser aquela considerada na equação de Bernoulli para fluidosideais pois uma parte da carga (ou energia) do fluido é dissipada. Esta dissipação de energiaé denominada "perda de carga".

Perda de Carga

SL

M1

R

B C D

M2

Figura 24 – Perda de carga num conduto

Na figura 24, supondo que o reservatório "R" seja alimentado de maneira constante (regimepermanente), as diferenças entre a superfície livre (SL) e os níveis do fluido nos tubos "B","C" e "D", representadas pela linha M1-M2 (linha de carga), é a perda de carga.A equação de Bernoulli para um fluido real é rescrita como:

phg

vpz

g

vpz

22

222

1

211

1

em que hp é a perda de carga e que representa a diferença de energia total entre os pontosquaisquer considerados.


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Esta equação pode ser representada graficamente como mostrado na figura 25.

H=

cons

tant

e

1p

g

v

2

21

g

v

2

22

hp

Linha de carga

Plano de referência

Linhapiezométrica

.z2.z1

2p

Figura 25 – Representação geométrica da Equação de Bernoulli para um fluido real

4.5.1 Perda de Carga

As perdas de carga podem ser divididas em dois grupos:1) Perda de carga distribuída

É quando, a perda de carga se distribui ao longo de um conduto. É calculada por:

g

v

D

Lfh

H

d

2

2

onde: f coeficiente de perda de cargaL comprimento do conduto, [m]DH diâmetro hidráulico, [m]

O número de Reynolds é uma constante adimensional que é calculada pela expressão:

HH

e

DvDvR Equação 4

Observe-se que com o número de Reynolds, consegue-se classificar facilmente o tipo deescoamento (ver o Ábaco de Moody - figura 27):

Re 2320, o escoamento é laminar46;2320 < Re < 4000, o escoamento é de transiçãoRe 4000, o regime é turbulento.

A determinação do diâmetro hidráulico (DH), é feita conforme a expressão:DH = 4RH

em que:

ARH

onde: RH raio hidráulico, [m]A área transversal ao escoamento do fluido, [m2] perímetro do conduto "molhado" pelo fluido, [m]

46Na literatura técnica, encontramos outros valores: Re 2000; Re 2300; Re 2500. O valor mais aceito é o

indicado (Re 2320).


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Tabela 11 – Diâmetros hidráulicos de seções selecionadas

SEÇÃO ÁREA RH DH

d4

2d d

4

dd

a

a

a24 a

4

aa

b

a

a b 2 (a b) ba

ba

2 ba

ba

2

b

a

a b 2 a + bba

ba

2 ba

ba

2

4

a

a

a

4

32 a3 a

12

3a

3

3a

2) Perdas de carga singulares ou localizadasSão as perdas de carga nas conexões (válvulas, reduções, curvas, etc.)

g

vkh ss

2

2

onde: ks coeficiente de perda de carga singularAlguns exemplos de valores de "ks":

Tabela 12 – Valores selecionados do coeficiente de perda de carga singular "ks".

SINGULARIDADE ks

Alargamento abrupto, borda aguda

A1 A2

2

21

221

A

A

Estreitamento abrupto, borda aguda

A1 A2

(A2/A1)Ver tabela

13


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Tabela 12 – Valores selecionados do coeficiente de perda de carga singular "ks".

SINGULARIDADE ks

Cotovelo 90o 0,90Cotovelo 90o raio longo (r = d) 0,60

Cotovelo 90o raio médio (r > 2 d) 0,75

Curva de raio curto (r > 6 d) 2,20Te 1,80Válvula angular (100% aberta) 5,00Válvula de retenção (100% aberta) 2,50Válvula gaveta (100% aberta) 0,20Válvula globo (100% aberta) 10,0

Tabela 13 – Valores de ks para estreitamentos abruptos e bordas agudas.

A2/A1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

ks 0,489 0,446 0,404 0,361 0,319 0,276 0,234 0,191 0,150

4.5.2 Perdas de Carga – Fórmulas Racionais

A teoria e os experimentos mostraram que a resistência ao escoamento de um fluido em umconduto depende principalmente de:a) Forma geométrica do conduto, definida pelo diâmetro hidráulico;b) Propriedades físicas dos fluidos [em particular da massa específica () e da viscosidade

dinâmica ()];c) Aspereza da parede interna do conduto;d) Velocidade média do escoamento.Diversos pesquisadores, ao estudarem os fenômenos do fluxo de fluidos em condutos, de-duziram experimentalmente diversas "fórmulas" aplicáveis aos vários tipos de escoamento.

4.5.2.1 Fórmula Universal da Perda de Carga (Equação de Darcy)

h p..f

L

D

v2

.2 gonde: L distância entre duas seções transversais, [m]

f fator de atrito, dependente de diversos parâmetrosMuitas vezes, é conveniente escrever esta fórmula de maneira a representar a queda depressão entre dois trechos de tubulação. Neste caso, teremos:

p ...fL

D

v2

.2 gque é válida par uma tubulação reta de diâmetro "d" e comprimento "L".A determinação do fator de atrito "f" é realizada conforme abaixo:1. Regime laminar (Re 2320)

No escoamento laminar, o fator de atrito independe da rugosidade do conduto, sendofunção exclusivamente do número de Reynolds

f64

Reou, de acordo com a equação 4 (página 32),


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f.64

.v D H

2. Para os escoamento turbulento e de transição, valem as fórmulas:

Tabela 14 – Fórmulas diversas para o cálculo do fator de atrito

FÓRMULAS PARA CONDUTOS LISOS NO REGIME TURBULENTO

Validade Fórmula

3000 Re 105f

0.314

Re

1

4

104 Re 3,4 106 e 800Re f f .2 log2.51

.Re f

105 Re 108 f 0.00320.221

Re0.237

Turbulência plena (Re > 4000) f = [1,8log(Re)–1,5)–2

FÓRMULAS PARA CONDUTOS RUGOSOS NO REGIME TURBULENTO E DE TRANSIÇÃO

-1

f

1.74 .2 log.2 k

d

18.7

.Re f

200Re14

k

df 1

f

.2 log

k

d

3.71

18.7

.Re f

4000 < Re < 107

f .0.0055 1 .20000k

d

106

Re

1

3

FÓRMULAS PARA CONDUTOS RUGOSOS NO REGIME DE TURBULÊNCIA PLENA

200Re

k

df

1

f

1.74 .2 log.2 k

d

onde:k altura média das irregularidades existentes no conduto (rugosidade), [m]k/d rugosidade relativa

Os valores das alturas médias das irregularidades são dados na tabela 15.

Tabela 15 – Valores das alturas médias das irregularidades "k" para tubos.

Material do conduto Valores de "k", [mm] Valor usual de "k, [mm]

CONDUTOS NOVOS

Aço carbono– preto, soldado 0,0305 a 0,0915 0,0610– polido, soldado 0,0050 a 0,1000 0,0150– revestido com asfalto – 0,0400


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Tabela 15 – Valores das alturas médias das irregularidades "k" para tubos.

Material do conduto Valores de "k", [mm] Valor usual de "k, [mm]

CONDUTOS NOVOS

– qualidade comercial – 0,0460– galvanizado 0,0610 a 0,2440 0,1520Cimento amianto – 0,0250Cobre – 0,0015Concreto– alisado – 0,1700– centrifugado 0,305 a 3,050 1.2200Ferro fundido

– centrifugado 0,062 a 0,300 0,0260– centrifugado revestido de cimento – 0,0240– centrifugado revestido de piche 0,061 a 0,260 0,1220Latão 0,010 a 0,020 0,0152PVC 0,009 a 0,050 0,0152Vidro – 0,0152

CONDUTOS USADOS

Aço carbono muito corroído – 2,0Ferro fundido– corroído 1,0 a 1,5 1,25– incrustado 1,5 a 3,0 2,35

Muitos dados relativos a fluidos (densidade, peso específico, viscosidade, etc.) e perdas decarga singulares ou não, são extraídos de manuais e catálogos de fabricantes de equipa-mentos, tubos, peças e acessórios para a movimentação de fluidos.

5 Informações Complementares

Tabela 16 – Dimensões de tubos padronizados

DIÂMETRO

NOMINAL, [in]DIÂMETRO

EXTERNO, [mm]

DESIGNAÇÃO DA

ESPESSURA

(SCHEDULE)

ESPESSURA DA

PAREDE, [mm]DIÂMETRO

INTERNO, [mm]

17,110SStd, 40,40SXS, 80, 80S

1,652,313,20

13,812,510,7

½ 21

Std, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

2,773,734,757,47

15,813,811,86,4

¾ 27

Std, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

2,873,915,547,82

20,918,815,611,0

1 33

Std, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

2,874,556,359,09

26,624,320,715,2

1 ¼ 42

Std, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

3,564,856,359,70

35,032,529,422,7

1 ½ 48

Std, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

3,685,087,14

10,16

40,838,133,927,9


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Tabela 16 – Dimensões de tubos padronizados

DIÂMETRO

NOMINAL, [in]DIÂMETRO

EXTERNO, [mm]

DESIGNAÇÃO DA

ESPESSURA

(SCHEDULE)

ESPESSURA DA

PAREDE, [mm]DIÂMETRO

INTERNO, [mm]

2 60

Std, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

3,915,548,71

11,07

52,549,242,928,2

2 ½ 73

Std, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

5,167,019,52

14,00

62,759,054,044,9

3 89

10SStd, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

3,055,487,62

11,1015,20

82,877,973,666,758,4

4 114

10SStd, 40,40SXS, 80, 80S160XXS

3,056,028,56

13,5017,10

108,2102,397,287,380,1

6 168

10SStd, 40,40SXS, 80, 80S120160XXS

3,407,11

10,9714,.318,2021,9

161,4154,0146,3139,7131,8124,4

8 219

10SStd, 40,40S60XS, 80, 80S120XXS160

3,768,18

10,3012,7018,2022,2023,00

211,5202,7198,4193,7182,6174,6173,1

10 273

5S10SStd, 40,40SXS, 80, 80S80120160

3,404,199,27

12,7015,1021,4028,60

266,2264,7254,5247,6242,9230,2215,9

12 324

5S10S20Std, 40S40XS, 80S6080120

4,194,576,359,52

10,3012,7014,3017,4025,40

315,5314,7311,1304,8303,2298,4295,3289,9273,0

Notas sobre a tabela 16:1. Os valores estão de acordo com as normas ANSI B.36.10 e 36.192. As designações "Std", "XS" e "XXS" correspondem às denominações "padrão", "extra

forte" (extra strong) e "super extra forte" (super extra strong) da norma ANSI B.36.10. Asdesignações 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 120 e 160 são os "números de série" (schedulenumber) da mesma norma. As designações 5S, 10S, 20S, 40S e 80S são da norma ANSI36.19.

3. A tabela 16 é parcial. Para a tabela completa das características geométricas, vejam-seas normas. É usual a designação de diâmetros nominais de tubos em polegadas.


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Tabela 17 – Velocidades recomendadas para condução de fluidos.

FLUIDO MATERIAL DO CONDUTO VELOCIDADE, [m/s]redes de cidades 1 a 2redes em instalações industriais 2 a 3alimentação de caldeiras 5 a 8

Doce

sucção de bombas

Aço carbono

1 a 1,5Aço com revestimento 1,5 a 2,5Latão 1,5 (máximo)

Água

Salgada

Monel 3,0 (máximo)Amônia (gás) 25 a 25Amônia (líquido)

Aço carbono2,0 (máximo)

Ar comprimido Aço carbono 15 a 20Acetileno Aço carbono 20 a 25Ácido sulfúrico diluído Chumbo 1 a 1,2Ácido sulfúrico concentrado Aço carbono 1,5Cloro (líquido) 1.,5 a 2Cloro (gás)

Aço carbono15 a 20

Cloreto de cálcio Aço carbono 1,5 a 2,0Hidrocarbonetos (líquidos) 1 a 2Hidrocarbonetos (gasosos)

Aço carbono/inoxidável25 a 30

Hidrogênio Aço carbono/inoxidável 20 (máximo)Vapor até 2kgf/cm

2(saturado) 20 a 40

Vapor até 2 a 10kgf/cm2

40 a 80Vapor, mais de 10kgf/cm

2Aço carbono/inoxidável

60 a 100

Nota: Os valores de velocidades da tabela 17 são sugeridos.

Tabela 18 – Comprimentos equivalentes em relação ao diâmetro da tubula-ção (L/D) de válvulas e conexões

PRODUTO TIPO CONDIÇÃO L/DSem obstruções – 100% aberta 340

ConvencionalCom disco de guia – 100% aberta 45060o – 100% aberta 175

"Y"45o – 100% aberta 145Sem obstruções – 100% aberta 145

Válvula de globo

AngularCom disco de guia – 100% aberta 200100% aberta 1375% aberta 3550% aberta 160

Válvula de gaveta Convencional

25% aberta 900De levantamento 100% aberta 135Portinhola 100% aberta 50Válvula de retençãoDe esfera 100% aberta 150

Válvula de pé Convencional 100% aberta 75 a 420Válvula borboleta Convencional 8" – 100% aberta 40

90o 3045o 16Cotovelo90o raio longo 20Fluxo direto 20

Conexões

TeFluxo desviado 60


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Tabela 19 – Viscosidade cinemática da água.

TEMPERATURA, [OC] VISCOSIDADE, [cSt]0 1,7944 1,5685 1,519

10 1,31015 1,14620 1,01130 0,80340 0,65950 0,55660 0,47870 0,41680 0,36790 0,328

100 0,296

Tabela 20 – Coeficiente de viscosidade dinâmica de alguns fluidosgasosos

FLUIDOTEMPERATURA,

[OC]COEFICIENTE DE VISCOSIDADE

DINÂMICA , [cP] 10-3

0 17,120 18,1Ar

100 21,8Água 100 13,2CO2 15 14,5

Tabela 21 – Coeficiente de viscosidade dinâmica de alguns fluidoslíquidos

FLUIDOTEMPERATURA,

[OC]COEFICIENTE DE VISCOSIDADE

DINÂMICA , [cP]Água destilada 20 1,01Álcool etílico 20 1,20Benzeno 20 0,66

15,6 0,31Gasolina

20 0,29Hidrogênio (líquido) –257 0,02

15,6 1,56Mercúrio

20 1,54Óleo cru 20 7,18Querosene 27 1,90


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Tabela 22 – Densidades de substâncias selecionadas

SUBSTÂNCIA DENSIDADE, Carbono 7,85Inoxidável 7,93Aço

Rápido 8,10 a 9,00Destilada a 0

oC 0,99987

Destilada a 4oC 1,0000Água

do mar a 15oC 1,025

Álcool etílico 0,79Eletrolítico 2,70

AlumínioFundido 2,56

Amianto 2,10 a 2,80Asfalto 1,10 a 2,80Baquelite 1,33

de alumínio 7,75 a 8,35Bronze

de estanho 8,70 a 8,90Cádmio 8,64Cal 3,30Carburundum 3,12 a 3,20Carvão vegetal 0,40Chumbo fundido 11,34Chumbo laminado 11,4

eletrolítico 8,88 a 8,95fundido 8,30 a 8,92Cobre

laminado 8,90 a 9,00Coque 1,60 a 1,90

fundido 7,20Estanho

laminado 7,40fundido 7,80

Ferropuro (eletrolítico) 7,85

Gelo a 0oC 0,9167

Glicerina 1,26Grafite 2,30 a 3,10Graxa 0,92 a 0,94Latão 8,10 a 8,60Leite de bovino, desnatado 1,032Leite de bovino, natural 1,028Mercúrio 13,5951Metal duro 14,75Níquel fundido 8,30

de corte 0,89 a 0,94Óleo

mineral 0,77 a 0,98Ouro 19,36Papel 0,70 a 1,20Platina trefilada 21,30 a 21,60Porcelana 2,30 a 2,50Prata fundida 10,42 a 10,53Vidro 2,28Zinco fundido 6,86

Tabela 23 – Alfabeto Grego.

MAIÚSCULA MINÚSCULA EQUIVALENTE A NOME

A Alfa

B Beta


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Caruso

Tabela 23 – Alfabeto Grego.

MAIÚSCULA MINÚSCULA EQUIVALENTE A NOME

G Gama

D Delta

E Epsilon

Z Zeta

H Eta

- Teta

I Iota

K Kappa

L Lambda

M Mu (mi)

N Nu (ni)

X Xi

O Ômicron

P Pi

R Rô

S Sigma

T Tau

U Upsilon

F Phi

Ch Chi (qui)

Ps Psi

O Ômega

Tabela 24 – Conversão de Unidades

PARA CONVERTER DE PARAMULTIPLICAR

PORACELERAÇÃO

pés por segundo ao quadradocentímetros por segundo ao quadradometros por segundo ao quadrado

30,480,3048

metros por segundo ao quadradopés por segundo ao quadradocentímetros por segundo ao quadrado

3,2808100

ÂNGULO

grausgradoradianos

1,1110,017453

graus por segundoradianos por segundorevoluções por minutorevoluções por segundo

0,0174530,16667

0,0027778minutos radianos 0,002909radianos graus 57,296

radianos por segundograus por segundorevoluções por minuto

57,2969,549

revoluções por minutograus por segundoradianos por segundo

60,01472

ÁREA

acrespés quadradosmetros quadradoshectares

435604046,9

0,40469circular mils polegadas quadradas 0,000007854


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Caruso



POR

hectaresacrespés quadradosmetros quadrados

2,471010763910000

centímetros quadrados polegadas quadradas 0,1550

pés quadradosacresmetros quadrados

0,0000229560,092903

polegadas quadradas centímetros quadrados 6,4516

quilômetros quadradosacresmilhas quadradas

247,100,38610

metros quadradosacrespés quadrados

0,0002471010,764

milhas quadradasacresquilômetros quadrados

6402,590

jardas quadradosacresmetros quadrados

0,000206610,83613

COMPRIMENTO

centímetros polegadas 0,3937

fathomspésmetros

61,8288

pés

centímetrospolegadasmetrosjardas

30,48012

0,304800,3333

polegadas

centímetrosmetrosmilímetrosmicrometros

2,5400,02540

25,4025400

quilômetrospésmilhas

3280,80,62137

metrospéspolegadasjardas

3,280839,3701,0936

micrometros metros 0,000001milímetros polegadas 0,039370mills milímetros 0,0254

milhas

pésquilômetrosmetrosjardas

52801,60931609,3

1760milha quilômetros 1,609jardas metros 0,91440

ENERGIA E POTÊNCIAUnidade térmica britânica (British Ther-mal Unit – BTU)

47joules 1055,056

BTU por segundo watts 1055,056

BTU por minutoHPwatts

0,0235817,584

BTU por horaHPwatts

0,0003930,2931

47Há várias definições do Btu, e os valores de e/ou fatores equivalentes aplicáveis, podem variar e podem de-

pender ligeiramente da definição usual, por isto, três ou quatro algarismos significativos são mostrados nestatabela, e na maioria dos casos utilizar um valor próximo da maioria das definições do Btu; porém, para cálculosde alta precisão, deve-se referenciar às listas apropriadas de manuais e de padrões.


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Caruso



POR

calorias

BTUlibras-péjoulesquilogramas-força metrowatt-hora

0,00396833,088

4,18680,4269

0,001163ergs joules 0,0000001

pé-libras-força

BTUcaloriasHP horajoulesquilocaloriasquilogramas-força metroquiilowatt hora

0,0012850,3238

0,00000050501,3558

0,00032380,13825

0,0000003766

HP

BTU por minutopé-libras-força por minutopé-libras-força por segundoquilocalorias por minutoquilowattsCVwatts

42,4333000

55010,69

0,74571,0139745,7

HP hora

(BTU)pé-libras-forçajoulesquilocaloriasquilogramas-força metrosquilowatt horas

2,54519800002684500

641,52732000,7457

joules

BTUcaloriaspés-libras-forçawatt-hora

0,00094840,2390

0,737560,00027778

quilowatts

BTU por minutopé-libras-força por minutopé-libras-força por segundoHPquilocalorias por minuto

56,9244254737,6

1,341014,34

quilowatt hora

BTUpé-libras-forçaHP horajoulesquilocaloriasquilogramas-força metro

34132655000

1,34103600000

860367100

libras-forçaquilogramas-forçanewtons

0,453594,4482

tonelada de refrigeraçãoBTUBTU por 24 horas

12000288000

watts

BTU por minutopés-libras-força por segundopé-libras-força por minutoHPjoules por segundoquilocalorias por minuto

0,056910,7375644,254

0,00134101,0

0,014340

watt-hora

BTUpé-libras-forçaHP horajoulesquilocaloriasquilogramas-força metro

3,4132665

0,00134103600

0,8604367,10


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Caruso



PORBTU/(pés quadrado segundo) watts por metro quadrado 11356,5267BTU/(pés quadrado hora) watts por metro quadrado 3,1546

FORÇAdinas newtons 0,00001gramas-força newtons 0,0098066

quilogramas-forçanewtonslibras-força

9,80662,2046

quilogramas-força

newtonslibras-forçapoundalsquilolibras-força

9,8072,204670,932

0,0022046

quilolibras-força

newtonsquilogramas-forçalibras-forçapoundals

4448453,61000

32174

gramas-força por centímetronewtons por metrolibras-força por polegada

0,98070,005600

quilogramas-força por metronewtonslibras-força por pé

9,80660,6721

newtons

dynesquilogramas-forçapoundalslibras-força

1000000,101977,23300,2248

poundals newtons 0,13826libras-força newtons 4,448

INTENSIDADE LUMINOSAcandela lumens por metro quadrado 10,764

MASSA

drams (avoir)grãosgramasonças

27,3441,77180,0625

grãosgramasonças (avoir)

0,06480,0022857

gramasgrãosonças (avoir)libras (avoir)

15,4320,035274

0,0022046

quilogramaslibrastoneladas (curta)

2,20460,0011023

toneladasquilogramaslibras

10002204,6

onças (avoir)

drams (avoir)grãosgramasquilogramaslibras (avoir)toneladas (longa)toneladas

16437,5

28,34950,028350

0,062500,00002790

0,000028350

libras (avoir)

drams (avoir)grãosgramasquilogramasonças (avoir)toneladastoneladas (longa)toneladas (curta)

2567000

453,590,45359

160,000453590,00044643

0,0005


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Caruso



POR

tonelada (longa)

quilogramastoneladaslibras (avoir)tonelada (curta)

1016,01,0160

22401,120

tonelada (curta)

quilogramaslibras (avoir)toneladas (longa)tonelada

907,182000

0,892860,9072

MASSA ESPECÍFICA

gramas por centímetros cúbicosquilogramas por metro cúbicolibras por polegada cúbicalibras por pé cúbico

0,0010,0361362,427

libra por pé cúbico quilogramas por metros cúbicos 16,018

libras por pé cúbicogramas por centímetro cúbicoquilogramas por metro cúbicoslibras por polegada cúbicas

0,01601816,018

0,0005787

libras-força por polegadas cúbicasgramas-força por centímetro cúbicoquilogramas-força por metro cúbiconewtons por metro cúbico

27,6827,680

1728PRESSÃO E TENSÃO

atmosferas

barcentímetros de mercúrio a 32

oF

pés de água a 68oF

polegadas de mercúrio a 32oF

quilogramas-força por centímetro quadradoquilogramas-força por metro quadradoquilopascallibras-força por polegada quadradatoneladas-força (curta) por pé quadradotorricelli

1,0132576,0

33,9329,921

1,0332210332,2745

10132514,6961,0581

760bar quilopascal 100

centímetros de mercúrio

atmosferasbarpés de água a 68

oF

polegadas de água a 68oF

quilogramas-força por centímetro quadradolibras-força por polegada quadradatorricelli

0,0131580,013330,44685,362

0,1933727,85

10

pés de água (a 68oF)

atmosferasbarpolegadas de mercúrio (a 0

oC)

quilogramas-força por centímetro quadradoquilopascallibras-força por polegada quadradalibras-força por pé quadrado

0,029470,029860,881790,03045

2,9860,43309

62,37

polegadas de mercúrio a 0oC

atmosferas (padrão)barpés de água a 68

oF


quilogramas-força por centímetro quadradoquilogramas-força por metro quadradoquilopascalmilímetros de mercúriolibras-força por pé quadradolibras-força por polegada quadrada

0,003420,033864

1,13513,62

0,034532345,323,386425,4070,73

0,4912


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Caruso



POR


atmosferasbarpolegadas de mercúrioquilogramas-força por centímetro quadradoquilopascallibras-força por pé quadradolibras-força por polegada quadrada

0,0024540,002487

0,073420,002535

0,24875,193

0,03606

quilogramas-força por centímetro qua-drado

atmosferasbarpés de água a 68

oF

polegadas de mercúrio a 0oC

quilopascallibras-força por pé quadradolibras-força por polegada quadrada

0,96780,98066

32,8728,96

98,0662048

14,223quilogramas-força por milímetro qua-drado

quilogramas-força por metro quadradomegapascal

10000009,8066

quilogramas-força por metro quadrado pascal 9,807

quilopascal

dinas por centímetro quadradopés de água a 68

oF


polegadas de água a 68o

Fquilogramas-força por centímetro quadradopascallibras-força por polegada quadrada

100000,33510,29534,021

0,0101971000

0,1450

quilolibras-força por polegada quadrada

quilopascalquilogramas-força por centímetro quadradobarlibras-força por polegada quadrada

6894,870,30768,941000

megapascal

quilogramas-força por milímetro quadradoquilogramas-força por centímetro quadradoquilopascalpascallibras-força por polegada quadrada

0,1019710,197

10001000000

145,0millibars pascal 100

milímetros de mercúrio a 0oC

barpé de água a 68

oF

polegadas de mercúriopolegadas de água a 68

oF

quilogramas por centímetro quadradopascallibras por polegada quadrada

0,00133320,004680

0,039370,53616

0,0013595133,32

0,0193368

onças-força por polegada quadradagramas-força por centímetro quadradopascallibras-força por polegada quadrada

4,39543,1

0,06250

pascal

bardinas por centímetro quadradogramas-força por quadrados centímetroquilogramas-força por centímetro quadradoquilopascalnewtons por metro quadradolibras-força por polegada quadrada

0,0000110,0

0,0101970,000010197

0,0011,0

0,0001450

libras-força por quadrados pé

pés de água a 68oF

quilogramas-força por centímetro quadradoquilopascalpascallibras-força por polegada quadrada

0,016050,00048820,0047880

47,8800,0069444


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47 de 65


Caruso



POR

libras-força por quadrados polegada

atmosferaspés de água a 68

oF



quilogramas força por centímetro quadradoquilopascal

0,068052,31127,732,036

0,070316,8948

libras por quadrados pé quilogramas por metro quadrado 4,8824

libras por quadrados polegadapascalquilopascalmegapascal

68956,895

0,006895POTÊNCIA

BTU/hora watt 0,29307BTU/segundo watt 1055,056HP quilowatt 0,746

TORQUE E MOMENTO DE TORÇÃOlibras-força pé newtons metro 1,356quilogramas-força metro newtons metro 9,807

VAZÃOlibras por minuto quilogramas por minuto 0,4536

pés cúbicos por minuto

centímetros cúbicos por segundometros cúbicos por segundometros cúbicos por horalitros por segundogalões (USA) por segundolibras de água por minuto (a 68

oF)

471,90,0004719

1,6990,47190,224762,32

pés cúbicos por segundo

metros cúbicos por segundometros cúbicos por minutometros cúbicos por horagalões (USA) por minutogalões (imperial) por horalitros por segundo

0,0283171,699101,9448,8

64631528,32

metros cúbicos por hora

metros cúbicos por minutometros cúbicos por segundogalões (USA) por minutolitros por segundo

0,0166670,00027778

4,40330,27778

metros cúbicos por segundometros cúbicos por horagalões (USA) por minuto

360015850

galões (USA) por minuto

metros cúbicos por segundometros cúbicos por minutometros cúbicos por horapés cúbicos por segundopés cúbicos por horalitros por segundo

0,0000630900,0037854

0,27710,002228

8,0210,06309

litros por minuto

pés cúbicos por segundolitros por segundogalões (USA) por segundogalões (USA) por minutogalões (impa) por minuto

0,00058850,01667

0,0044030,26418

0,003666

litros por segundo

metros cúbicos por segundometros cúbicos por minutometros cúbicos por horalitros por minutogalões (USA) por minutogalões (imperial) por minuto

0,0010,06

3,60060

15,8513,20


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Caruso



POR

libras de água por minuto a 60oF

centímetros cúbicos por segundopés cúbicos por segundometros cúbicos por minutoquilogramas por segundo

7,56670,0002675

0,000453980,0075599

normal pés cúbicos por minutometros cúbicos por hora em CNTPlitros por segundo em CNTP

1,69570,47103

polegadas cúbicas por rotaçãolitros por revoluçãomililitros por revolução

0,0163916,39

VELOCIDADE

centímetros por segundo

pés por segundopés por minutomilhas por horaquilômetros por horametros por minuto

0,032811,9685

0,022370,036000,60000

pés por minuto

centímetros por segundoquilômetros por horametros por minutometros por segundomilhas por hora

0,50800,018290,304800,005080,01136

pés por segundo

centímetros por segundoquilômetros por horametros por minutometros por segundomilhas por hora

30,4801,09718,29

0,304800,6818

nós internacionaismetros por segundomilhas por hora

0,51441,1516

quilômetros por hora

centímetros por segundopés por segundopés por minutonós internacionaismetros por minutometros por segundomilhas por hora

27,7780,911354,68

0,5399616,667

0,277780,6214

quilômetros por segundo milhas por minuto 37,28

metros por minuto

centímetros por segundopés por minutopés por segundoquilômetros por horamilhas por hora

1,66673,2808

0,054680,0600

0,03728

metros por segundo

pés por minutopés por segundoquilômetros por horaquilômetros por minutomilhas por horamilhas por minuto

196,83,2813,600

0,06002,237

0,03728

milhas por hora

centímetros por segundopés por minutopés por segundonós internacionaisquilômetros por horametros por minuto

44,7088

1,46670,86901,609326,82

VISCOSIDADE

poises

centipoisespascal-segundolibra-força-segundo por pé quadradolibras por pé-segundo

1000,1000

0,00208850,0672


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49 de 65


Caruso



POR

stokespés quadrados por segundometros quadrados por segundoquilogramas por metro segundo

0,0010760,0001

0,1VOLUME

acre-péspés cúbicosgalões (USA)metros cúbicos

43,5603258511233,5

barris (USA liquido) galões (USA) 31,5

centímetros cúbicos

polegadas cúbicaspés cúbicosjardas cúbicasgalões (USA)galões (imperial)litros

0,061020,0000353150,000001308

0,00026420,00022

0,001

pés cúbicos

centímetros cúbicosmetros cúbicospolegadas cúbicasjardas cúbicasgalões (USA)galões (imperial)litros

283170,028317

17280,037047,48056,22928,32

polegadas cúbicas

centímetros cúbicospés cúbicosmetros cúbicosjardas cúbicasgalões (USA)galões (imperial)litros

16,3870,0005787

0,0000163870,00002143

0,0043290,03605

0,016387

metros cúbicos

polegadas cúbicaspés cúbicosjardas cúbicasgalões (USA)galões (imperial)litros

6102435,3151,3080264,17219,97

1000

jardas cúbicas

centímetros cúbicospés cúbicospolegadas cúbicasmetros cúbicosgalões (USA)galões (imperial)litros

76455027

46,6560,76455201,97168,17764,55

onças fluidas (USA)polegadas cúbicaslitros

1,80460,02957

galões (imperial)

centímetros cúbicosmetros cúbicospés cúbicosjardas cúbicasgalões (USA)litros

4546,0920,0045461

0,160540,005946

1,200954,5461


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50 de 65


Caruso



POR

galões (USA)

centímetros cúbicosmetros cúbicospolegadas cúbicaspés cúbicosjardas cúbicaspintas (líquido)quartos (líquido)galões (imperial)litros

3785,40,0037854

2310,13368

0,004951584

0,83273,7854

litros

centímetros cúbicospés cúbicospolegadas cúbicasmetros cúbicosjardas cúbicasgalões (USA)galões (imperial)

10000,035315

61,0240,001

0,0013080,264180,2200

quartos (seco)centímetros cúbicospolegadas cúbicasmetros cúbicos

1101,267,20

0,0011012

quartos (liquido)centímetros cúbicospolegadas cúbicaslitros

946,3557,75

0,94635


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51 de 65

Disciplina: Máquinas HidráulicasProfessor:

Caruso

Tubos de mate-riais lisos: plásti-cos, vidros, etc.

Aços carbono

Fº Fº com revesti-mento asfáltico

Aço galvanizado

Ferro Fundido

Concreto

Diâmetro do tubo, [in]

Rugo

sid

ad

ere

lativa

,k/d

1 10 100

10-4

10-3

10-2

10-1

Figura 26 – Rugosidade relativa de tubos


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52 de 65


Caruso

Figura 27 – Ábaco de Moody para coeficiente de atrito


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53 de 65


Caruso

Figura 28 – Variação da viscosidade com a temperatura


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54 de 65


Caruso

ApêndiceUnidades de Medida Oficiais – Sistema Internacional de Unidades

Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial CON-METRO

Resolução n.º 12, de 12 de outubro de 1988

O Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO, usando das atribui-ções que lhe confere o artigo 3

oda Lei n.º 5966, de 11 de dezembro de 1973, através de sua 20

oSessão Ordi-

nária realizada em Brasília, em 23/08/1988,Considerando que, as unidades de medida legais no País são aquelas do Sistema Internacional de Unidades –SI, adotado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas, cuja adesão pelo Brasil foi formalizada através doDecreto Legislativo n.º 57, de 27 de junho de 1953,Considerando que, a fim de assegurar em todo o território nacional a indispensável uniformidade na expressãoquantitativa e metrológica das grandezas, cabe privativamente à União, conforme estabelecido na ConstituiçãoFederal, dispor sobre as unidades de medida, o seu emprego e, de modo geral, o aspecto metrológico dequaisquer atividades comerciais, agropecuárias, industriais, técnicas ou científicas, resolve:

1. Adotar o Quadro Geral de Unidades de Medida, em anexo, no qual constarão os nomes, as definições,os símbolos das unidades e os prefixos SI.

2. Admitir o emprego de certas unidades fora do SI, de grandeza e coeficientes sem dimensões físicas quesejam julgados indispensáveis para determinadas medições.

3. Estabelecer que o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – INMETRO,seja encarregado de propor as modificações que se tornarem necessárias ao Quadro anexo, de modo aresolver casos omissos, mantê-lo atualizado e dirimir dúvidas que possam surgir na interpretação e naaplicação das unidades legais.

4. Esta Resolução entrará em vigor na data de sua publicação.

Índice1. Sistema Internacional de Unidades2. Outras Unidades3. Prescrições GeraisTabela 25 – Prefixos do SITabela 26 – Unidades do Sistema Internacional de UnidadesTabela 27 – Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de PrazoTabela 28 – Outras Unidades fora do SI Admitidas Temporariamente

Quadro Geral de Unidades de Medida:Este Quadro Geral de Unidades (QGU) contém:1. Prescrições sobre o Sistema Internacional de Unidades2. Prescrições sobre outras unidades3. Prescrições geraisTabela 25 Prefixos SI.Tabela 26 Unidades do Sistema Internacional de Unidades.Tabela 27 Outras Unidades aceitas para uso com o Sistema Internacional de Unidades.Tabela 28 Outras Unidades, fora do Sistema Internacional de Unidades, admitidas temporariamente.

Nota: São empregadas as seguintes siglas e abreviaturas:CGPM Conferência Geral de Pesos e Medidas (precedida pelo número de ordem e seguida pelo ano de

sua realização)QGU Quadro Geral de UnidadesSI Sistema Internacional de UnidadesUnidade SI Unidade compreendida no Sistema Internacional de Unidades

1. Prescrições sobre o Sistema Internacional de UnidadesO Sistema Internacional de Unidades, ratificado pela 11

aCGPM/1960 e atualizado até a 18

a

CGPM/1987, compreende:a) Sete unidades de base:Unidade Símbolo Grandeza


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metro m comprimentoquilograma kg massasegundo s tempoampère A corrente elétricakelvin K temperatura termodinâmicamol mol quantidade de matériacandela cd intensidade luminosab) duas unidades suplementares:Unidade Símbolo Grandezaradiano rad ângulo planoesterradiano sr ângulo sólidoc) unidades derivadas, deduzidas direta ou indiretamente das unidades de base suplementares;d) os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades acima, cujos nomes são formados peloemprego dos prefixos SI da tabela 25.

2. Prescrições sobre outras unidades2.1 As unidades fora do SI admitidas no QGU são de duas espécies:

a) unidades aceitas para uso com o SI, isoladamente ou combinadas entre si e/ou com unidadesSI, sem restrição de prazo (ver tabela 27);b) unidades admitidas temporariamente (ver tabela 28).

2.2 É abolido o emprego das unidades CGS, exceto as que estão compreendidas no SI e as mencio-nadas na tabela 28.

3. Prescrições gerais3.1 Grafia dos nomes de unidades3.1.1 Quando escritos por extenso, os nomes de unidades começam por letra minúscula, mesmo

quando têm o nome de um cientista (por exemplo, ampère, kelvin, newton, etc.), exceto o grauCelsius.

3.1.2 Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita porextenso ou representada pelo seu símbolo (por exemplo, quilovolts por milímetro ou kV/mm), nãosendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolo.

3.2 Plural dos nomes de unidadesQuando os nomes de unidades são escritos ou pronunciados por extenso, a formação do pluralobedece às seguintes regras básicas:a) os prefixos SI são invariáveis;b) os nomes de unidades recebem a letra "s" no final de cada palavra, exceto nos casos da alíneac, quando são palavras simples. Por exemplo, ampères, candelas, curies, farads, grays, joules,

kelvins, quilogramas, parsecs, roentgens, volts, webers, etc.; quando são palavras compostas em que o elemento complementar de um nome de unidade

não é ligado a este por hífen. Por exemplo, metros quadrados, milhas marítimas, unidadesastronômicas, etc.;

quando são termos compostos por multiplicação, em que os componentes podem variar in-dependentemente um do outro. Por exemplo ampères-horas, newtons-metros, ohms-metros,pascals-segundos, watts-horas, etc.;

Nota: Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso vulgar, o plural nãodesfigura o nome que a unidade tem no singular (por exemplo, becquerels, decibels, henrys,mols, pascals, etc.), não se aplicando aos nomes de unidades certas regras usuais de formaçãodo plural de palavras.c) os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem a letra "s" no final, quando terminampelas letras s, x ou z. Por exemplo, siemens, lux, hertz, etc.; quando correspondem ao denominador de unidades compostas por divisão. Por exemplo,

quilômetros por hora, lumens por watt, watts por esterradiano, etc.; quando, em palavras compostas, são elementos complementares de nomes de unidades e

ligados a estes por hífen ou preposição. Por exemplo, anos-luz, elétron-volts, quilogramas-força, unidades (unificadas) de massa atômica, etc.

3.3 Grafia dos símbolos de unidades3.3.1 A grafia dos símbolos de unidades obedece às seguintes regras básicas:

a) os símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, seja ponto de abre-viatura, seja "s" de plural, sejam sinais, letras ou índices. Por exemplo, o símbolo do watt é sem-pre W, qualquer que seja o tipo de potência a que se refira: mecânica, elétrica, térmica, acústica,etc.;b) os prefixos SI nunca são justapostos no mesmo símbolo. Por exemplo, unidades com GWh,nm, pF, etc., não devem ser substituídas por expressões em que se justaponham, respectivamen-te, os prefixos mega e quilo, mili e micro, micro e micro, etc.,


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c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão. Por exem-plo, kNcm, KmA, kV/mm, M cm, kV/s, W/cm

2etc.;

d) os símbolos de uma mesma unidade podem coexistir num símbolo composto por divisão. Porexemplo, mm

2/m, kWh/h, etc.;

e) o símbolo é escrito no mesmo alinhamento do número a que se refere, e não como expoenteou índice. São exceções, os símbolos das unidades não SI de ângulo plano (º ' "), os expoentesdos símbolos que têm expoente, o sinal º do símbolo do grau Celsius e os símbolos que têm divi-são indicada por traço de fração horizontal;f) o símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado pela justaposição dossímbolos componentes e que não cause ambigüidade (VA, kWh, etc.), ou mediante a colocaçãode um ponto entre os símbolos componentes na base da linha ou a meia altura (Nm ou Nm, ms

–1

ou ms–1

, etc.);g) o símbolo de uma unidade que contém divisão pode ser formado por uma qualquer das trêsmaneiras exemplificadas a seguir:

W/(srm2), Wsr

–1m

–2,

2msr

W

não devendo ser empregada esta última forma quando o símbolo, escrito em duas linhas diferen-tes puder causar confusão.

3.3.2 Quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que esse expoente afeta oconjunto prefixo-unidade, como se esse conjunto estivesse entre parênteses. Por exemplo:dm

3= 10

–3m

3

mm3

= 10–9

m3

3.4 Grafia dos númerosAs prescrições desta seção não se aplicam aos números que não representam quantidades (porexemplo, numeração de elementos em seqüência, códigos de identificação, datas, números detelefones, etc.).

3.4.1 Para separar a parte inteira da parte decimal de um número, é empregada sempre uma vírgula;quando o valor absoluto do número é menor que 1, coloca-se 0 à esquerda da vírgula.

3.4.2 Os números que representam quantias em dinheiro, ou quantidades de mercadorias, bens ouserviços em documentos para efeitos fiscais, jurídicos e/ou comerciais, devem ser escritos comos algarismos separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para direita,com pontos separando esses grupos entre si.Nos demais casos é recomendado que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal dosnúmeros sejam separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para a direi-ta, com pequenos espaços entre esses grupos (por exemplo, em trabalhos de caráter técnico oucientífico), mas é também admitido que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal se-jam escritos seguidamente (isto é, sem separação em grupos).

3.4.3 Para exprimir números sem escrever ou pronunciar todos os seus algarismos:a) para os números que representam quantias em dinheiro, ou quantidades de mercadorias, bensou serviços, são empregadas de uma maneira geral as palavras:mil = 10

3= 1 000

milhão = 106

= 1 000 000bilhão = 10

9= 1 000 000 000

trilhão = 1012

= 1 000 000 000 000podendo ser opcionalmente empregados os prefixos SI ou os fatores decimais da tabela 25, emcasos especiais (por exemplo, em cabeçalhos de tabelas);b) para trabalhos de caráter técnico ou científico, é recomendado o emprego dos prefixos SI oufatores decimais da tabela 25.

3.5 Espaçamentos entre número e símboloO espaçamento entre um número e o símbolo da unidade correspondente deve atender à conve-niência de cada caso, assim, por exemplo:a) em frases de textos correntes, é dado normalmente o espaçamento correspondente a uma oua meia letra, mas não se deve dar espaçamento quando há possibilidade de fraude;b) em colunas de tabelas, é facultado utilizar espaçamentos diversos entre os números e os sím-bolos das unidades correspondentes.

3.6 Pronúncia dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidadesNa forma oral, os nomes dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades são pronunciadospor extenso, prevalecendo a sílaba tônica da unidade. As palavras quilômetro, decímetro, centí-metro e milímetro, consagradas pelo uso com o acento tônico deslocado para o prefixo, são asúnicas exceções a esta regra; assim sendo, os outros múltiplos e submúltiplos decimais do metrodevem ser pronunciados com acento tônico na penúltima sílaba (mé), por exemplo, megametro,micrometro (distinto de micrômetro, instrumento de medição), nanometro, etc.


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3.7 Grandezas expressas por valores relativosÉ aceitável exprimir, quando conveniente, os valores de certas grandezas em relação a um valordeterminado da mesma grandeza tomado como referência, na forma de fração ou percentagem,tais são, dentre outras, a massa específica, a massa atômica ou molecular, a condutividade, etc.

Tabela 25 – Prefixos do SI

Nome Símbolo Fator pelo qual a Unidade é Multiplicadayotta

48Y 10

24= 1 000 000 000 000 000 000 000 000

zetta48

Z 1021

= 1 000 000 000 000 000 000 000exa E 10

18= 1 000 000 000 000 000 000

peta P 1015

= 1 000 000 000 000 000tera T 10

12= 1 000 000 000 000

giga G 109

= 1 000 000 000mega M 10

6= 1 000 000

quilo k 103

= 1 000hecto h 10

2= 100

deca da 10deci d 10

–1= 0,1

centi c 10–2

= 0,01mili m 10

–3= 0,001

micro 10–6

= 0,000 001

nano n 10–9

= 0,000 000 001pico p 10

–12= 0,000 000 000 001

femto f 10–15

= 0,000 000 000 000 001atto a 10

–18= 0,000 000 000 000 000 001

zepto48

z 10–21

= 0,000 000 000 000 000 000 001yocto

48y 10

–18= 0,000 000 000 000 000 000 000 001

Observações:1. Por motivos históricos, o nome da unidade SI de massa contém um prefixo; excepcionalmente e por

convenção os múltiplos e submúltiplos dessa unidade são formados pela adjunção de outros prefixos SIà palavra grama e ao símbolo g.

2. Os prefixos da tabela 25 podem ser também empregados com unidades que não pertencem ao SI.3. Sobre os símbolos de unidades que têm prefixo e expoente, ver 3.3.2.4. As grafias fento e ato serão admitidas em obras sem caráter técnico.

Tabela 26 – Unidades do Sistema Internacional de Unidades.

UnidadesGrandezas Nome Símbolo Definição Observações

Unidades Geométricas e Mecânicas49

Comprimento metro mMetro é o comprimento do trajeto percorridopela luz no vácuo, durante um intervalo detempo de 1/299 792 458 de segundo

Unidade de Base – definiçãoadotada pela 17

a(CGPM) de

1983.

Áreametroquadrado

m2 Área de um quadrado cujo lado tem 1 metro

de comprimento

Volumemetrocúbico

m3 Volume de um cubo cuja aresta tem 1 metro

de comprimento

Ângulo plano radiano radÂngulo central que subtende um arco de cír-culo de comprimento igual ao do respectivoraio.

Ângulo sólido esterradiano srÂngulo sólido que, tendo vértice no centro deuma esfera, subtende na superfície uma áreaigual ao quadrado do raio da esfera.

Tempo segundo s

Duração de 9 192 631 770 períodos da radia-ção correspondente à transição entre os doisníveis hiperfinos do estado fundamental doátomo de césio 133

Unidade de Base – definiçãoratificada pela 13

a

GPM/1967.

48Conforme a Resolução 4, adotada pela 19

aCGPM

49Além dos exemplos de unidades derivadas sem nomes especiais que constam desta Tabela, estão também

compreendidas no SI todas as unidades derivadas que se formarem mediante combinações adequadas deunidades SI.


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Freqüência hertz HzFreqüência de um fenômeno periódico cujoperíodo é de 1 segundo.

Velocidademetro porsegundo

m/sVelocidade de um móvel que em movimentouniforme, percorre a distância de 1 metro em1 segundo.

Velocidadeangular

radiano porsegundo

rad/sVelocidade angular de um móvel que, emmovimento de rotação uniforme, descreve 1radiano em 1 segundo

Aceleraçãometro porsegundo, porsegundo

m/s2

Aceleração de um móvel em movimento retilí-neo uniformemente variado, cuja velocidadevaria de 1 metro por segundo em 1 segundo

Aceleraçãoangular

radiano porsegundo, porsegundo

rad/s2

Aceleração angular de um móvel em movi-mento de rotação uniformemente variado, cujavelocidade angular varia de 1 radiano porsegundo em 1 segundo

Massa quilograma kgMassa do protótipo internacional do quilogra-ma

1) Unidade de Base –definição ratificada pela3

aCGPM/1901.

2) Esse protótipo é con-servado no Bureau In-ternacional de Pesos eMedidas em Sèvres naFrança.

Massa especí-fica

quilogramapor metrocúbico

kg/m3

Massa específica de um corpo homogêneo,em que um volume igual a 1 metro cúbicocontém massa igual a 1 quilograma.

Vazãometro cúbicopor segundo

m3/s

Vazão de um fluido que, em regime perma-nente através de uma superfície determinada,escoa o volume de 1 metro cúbico do fluídoem 1 segundo.

Fluxo de mas-sa

quilogramapor segundo

kg/s

Fluxo de massa de um material que, em regi-me permanente através de uma superfíciedeterminada, escoa a massa de 1 quilogramado material em 1 segundo.

Esta grandeza é designadapelo nome do material cujoescoamento está sendoconsiderado (por exemplofluxo de vapor).

Momento deinércia

quilograma-metro qua-drado

kg.m2

Momento de inércia, em relação a um eixo deum ponto material de massa igual a 1 quilo-grama, distante 1 metro do eixo.

Momento linearquilograma-metro porsegundo

kg.m/sMomento linear de um corpo de massa igual a1 quilograma que se desloca com velocidadede 1 metro por segundo.

Esta grandeza é tambémchamada quantidade demovimento linear.

Momento an-gular

quilograma-metro qua-drado porsegundo

kg.m2/s

Momento angular em relação a um eixo, deum corpo que gira em torno desse eixo comvelocidade angular uniforme de 1 radiano porsegundo, e cujo momento de inércia, em rela-ção ao mesmo eixo, é de 1 quilograma-metroquadrado.

Esta grandeza é tambémchamada quantidade demovimento angular.

Quantidade dematéria

mol mol

Quantidade de matéria de um sistema quecontém tantas entidades elementares quantossão os átomos contidos em 0,012 quilogramade carbono 12.

1) Unidade de Base –definição ratificada pela14

aCGPM/1971.

2) Quando se utiliza o mol,as entidades elementa-res devem ser especifi-cadas, podendo ser á-tomos, moléculas, íons,elétrons ou outras partí-culas, bem como agru-pamentos especificadosde tais partículas.

Força newton NForça que comunica a massa de 1 quilogramaà aceleração de 1 metro por segundo, porsegundo.

Momento deuma força,torque

newton-metro

N.mMomento de uma força de 1 newton, em rela-ção a um ponto distante 1 metro de sua linhade ação.


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Pressão pascal Pa

Pressão exercida por uma força de 1 newton,uniformemente distribuída sobre uma superfí-cie plana de 1 metro quadrado de área, per-pendicular à direção da força.

Pascal é também unidadede tensão mecânica (tração,compressão, cisalhamento,tensão tangencial e suascombinações).

Viscosidadedinâmica

pascal-segundo

Pa.s

Viscosidade dinâmica de um fluido que seescoa de forma tal que sua velocidade variade 1 metro por segundo, por metro de afasta-mento na direção perpendicular ao plano dedeslizamento, quando a tensão tangencial aolongo desse plano é constante e igual a 1pascal.

Trabalho, E-nergia, Quanti-dade de calor

joule JTrabalho realizado por uma força constante de1 newton que desloca seu ponto de aplicaçãode 1 metro na sua direção.

Potência, Fluxode energia

watt WPotência desenvolvida quando se realiza, demaneira contínua e uniforme, o trabalho de 1joule em 1 segundo.

Densidade defluxo de ener-gia

watt pormetro qua-drado

W/m2

Densidade de um fluxo de energia uniformede 1 watt, através de uma superfície plana de1 metro quadrado de área, perpendicular àdireção de propagação da energia.

Unidades Elétricas e Magnéticas50

Corrente elétri-ca

ampère A

Corrente elétrica invariável que mantida emdois condutores retilíneos, paralelos, de com-primento infinito e de área de seção transver-sal desprezível e situados no vácuo a 1 metrode distância um do outro, produz entre essescondutores uma força igual a 2x10

–7newton,

por metro de comprimento desses condutores.

1) Unidade de Base -definição ratificação pe-la 9

aCGPM/1948.

2) 2) O ampère é tambémunidade de força mag-netomotriz; nesses ca-sos, se houver possibi-lidade de confusão, po-derá ser chamado am-père-espira, porém semalterar o símbolo A.

Carga elétrica(quantidade deeletricidade)

coulomb CCarga elétrica que atravessa, em 1 segundo,uma seção transversal de um condutor percor-rido por uma corrente invariável de 1 ampère.

Tensão elétri-ca, diferençade potencial,força eletromo-triz

volt V

Tensão elétrica entre os terminais de umelemento passivo de circuito, que dissipa apotência de 1 watt quando percorrido por umacorrente invariável de 1 ampère.

Gradiente depotencial, in-tensidade decampo elétrico

volt pormetro

V/m

Gradiente de potencial uniforme que se verifi-ca em um meio homogêneo e isótropo, quan-do é de 1 volt a diferença de potencial entredois planos equipotenciais situados a 1 metrode distância um do outro.

A intensidade de campoelétrico pode ser tambémexpressa em newtons porcoulomb.

Resistênciaelétrica

ohm

Resistência elétrica de um elemento passivode circuito que é percorrido por uma correnteinvariável de 1 ampère, quando uma tensãoelétrica constante de 1 volt é aplicada aosseus terminais.

O ohm é também unidadede impedância e de reatân-cia em elementos de circuitopercorridos por correntealternada.

Resistividade ohm-metro .m

Resistividade de um material homogêneo eisótropo, do qual um cubo com 1 metro dearesta apresenta uma resistência elétrica de 1ohm entre faces opostas.

50Unidades Elétricas e Magnéticas

Para as unidades elétricas e magnéticas, o SI é um sistema de unidades racionalizado, para o qual foi definidoo valor da constante magnética. o = 4 x 10

–7henry por metro


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Condutância siemens SCondutância de um elemento passivo decircuito cuja resistência elétrica é de 1 ohm

O siemens é também unida-de de admitância e de sus-ceptância em elementos decircuito percorridos por cor-rente alternada.

Condutividadesiemens pormetro

S/mCondutividade de um material homogêneo eisótropo cuja resistividade é de 1 ohm-metro.

Capacitância farad F

Capacitância de um elemento passivo decircuito entre cujos terminais a tensão elétricavaria uniformemente à razão de 1 volt porsegundo, quando percorrido por uma correnteinvariável de 1 ampère.

Indutância henry H

Indutância de um elemento passivo de circui-to, entre cujos terminais se induz uma tensãoconstante de 1 volt, quando percorrido poruma corrente que varia uniformemente à ra-zão de 1 ampère por segundo.

Potência apa-rente

volt-ampère VA

Potência aparente de um circuito percorridopor uma corrente alternada senoidal com valoreficaz de 1 ampère, sob uma tensão elétricacom valor eficaz de 1 volt.

Potência reati-va

var var

Potência reativa de um circuito percorrido poruma corrente alternada senoidal com valoreficaz de 1 ampère, sob uma tensão elétricacom valor eficaz de 1 volt, defasada de /2radianos em relação à corrente.

Indução mag-nética

tesla T

Indução magnética uniforme que produz umaforça constante de 1 newton por metro de umcondutor retilíneo situado no vácuo e percorri-do por uma corrente invariável de 1 ampère,sendo perpendiculares entre si as direções daindução magnética, da força e da corrente.

Fluxo magnéti-co

weber Wb

Fluxo magnético uniforme através de umasuperfície plana de área igual a 1 metro qua-drado, perpendicular à direção de uma indu-ção magnética uniforme de 1 tesla.

Intensidade decampo magné-tico

ampère pormetro

A/m

Intensidade de um campo magnético unifor-me, criado por uma corrente invariável de 1ampère, que percorre um condutor retilíneo,de comprimento infinito e de área de seçãotransversal desprezível, em qualquer ponto deuma superfície cilíndrica de diretriz circularcom 1 metro de circunferência e que temcomo eixo o referido condutor.

Relutânciaampère porweber

A/Wb

Relutância de um elemento de circuito magné-tico, no qual uma força magnetomotriz invariá-vel de 1 ampère produz um fluxo magnéticouniforme de 1 weber.

Unidades Térmicas

Temperaturatermodinâmica

kelvin KFração 1/273,16 de temperatura termodinâmi-ca do ponto tríplice da água.

TemperaturaCelsius

grau Celsius ºCIntervalo de temperatura unitário igual a 1kelvin, numa escala de temperaturas em queo ponto 0 coincide com 273,15 kelvins.

1) kelvin é unidade debase, definição ratifica-da pela 13

aCGPM/1967

2) kelvin e grau Celsiussão também unidadesde intervalo de tempe-raturas.

3) t (em grau Celsius) = Tem kelvins) –273,15

Gradiente detemperatura

kelvin pormetro

K/m

Gradiente de temperatura uniforme que severifica em um meio homogêneo e isótropo,quando é de 1 kelvin a diferença de tempera-tura entre dois planos isotérmicos situados àdistância de 1 metro um do outro.


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Capacidadetérmica

joule porkelvin

J/K

Capacidade térmica de um sistema homogê-neo e isótropo, cuja temperatura aumenta de1 kelvin quando se lhe adiciona 1 joule dequantidade de calor.

Calor específi-co

joule porquilograma epor kelvin

J/(kgK)

Calor específico de uma substância cuja tem-peratura aumenta de 1 kelvin quando se lheaciona 1 joule de quantidade de calor porquilograma de sua massa.

Condutividadetérmica

watt pormetro e porkelvin

W/(mK)

Condutividade térmica de um material homo-gêneo e isótropo, no qual se verifica um gra-diente de temperatura uniforme de 1 kelvin pormetro, quando existe um fluxo de calor cons-tante com densidade de 1 watt por metroquadrado.

Unidades Ópticas

Intensidadeluminosa

candela cd

Intensidade luminosa, numa direção dada, deuma fonte que emite uma radiação monocro-mática de freqüência 540 x 10

12hertz, e cuja

intensidade energética naquela direção é1/683 watt por esterradiano.

Unidade de base – definiçãoratificada pela 16

a

CGPM/1979.

Fluxo luminoso lúmen m

Fluxo luminoso emitido por uma fonte punti-forme e invariável de 1 candela, de mesmovalor em todas as direções, no interior de umângulo sólido de 1 esterradiano.

Iluminamento lux x

Iluminamento de uma superfície plana de 1metro quadrado de área, sobre a qual incideperpendicularmente um fluxo luminoso de 1lúmen, uniformemente distribuído.

Luminânciacandela pormetro qua-drado

cd/m2

Luminância de uma fonte com 1 metro qua-drado de área e com intensidade luminosa de1 candela.

Exitância lumi-nosa

lúmen pormetro qua-drado

m/m2

Exitância luminosa de uma superfície plana de1 metro quadrado de área, que emite unifor-memente um fluxo luminoso de 1 lúmen.

Esta grandeza era denomi-nada "emitância luminosa".

Exposiçãoluminosa, Exci-tação luminosa

lux-segundo xsExposição (Excitação) luminosa de uma su-perfície com iluminamento de 1 lux, durante 1segundo.

Eficiência lumi-nosa

lúmen porwatt m/W

Eficiência luminosa de uma fonte que conso-me 1 watt para cada lúmen emitido.

Número deonda

1 por metro m–1

Número de onda de uma radiação monocro-mática cujo comprimento de onda é igual a 1metro.

Intensidadeenergética

watt poresterradiano

W/sr

Intensidade energética, de mesmo valor emtodas as direções, de uma fonte que emite umfluxo de energia uniforme de 1 watt, no interiorde um ângulo sólido de 1 esterradiano.

Luminânciaenergética

watt poresterradianoe por metroquadrado

W/(sr.m2)

Luminância energética em uma direção de-terminada, de uma fonte superficial de intensi-dade energética igual a 1 watt por esterradia-no, por metro quadrado de sua área projetadasobre um plano perpendicular à direção con-siderada.

Convergência dioptria diConvergência de um sistema óptico com dis-tância focal de 1 metro, no meio considerado.

Unidades de Radioatividade

Atividade becquerel BqAtividade de um material radioativo noqual se produz uma desintegração nucle-ar por segundo.

Exposiçãocoulombpor quilo-grama

C/kg

Exposição a uma radiação X ou gama, talque a carga total dos íons de mesmosinal produzidos em 1 quilograma de ar,quando todos os elétrons liberados porfótons são completamente detidos no ar,é de 1 coulomb em valor absoluto.


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Dose absor-vida

gray Gy

Dose de radiação ionizante absorvidauniformemente por uma porção de maté-ria, à razão de 1 joule por quilograma desua massa.

Equivalentede dose

sievert SvEquivalente de dose de uma radiaçãoigual a 1 joule por quilograma.

Nome especial para aunidade SI de equivalen-te de dose adotado pela16

aCGPM/1979.

Tabela 27 – Outras unidades aceitas para uso com o SI, sem restrição de prazo.51

Unidades

Grandezas Nome Símbolo DefiniçãoValores em

unidades do SIObservações

unidadeastronômi-ca

UA Distância média da terra aosol

149600x106m Valor adotado pela União

Astronômica Internacio-nal.

Comprimento

parsec pc Comprimento do raio deum círculo no qual o ângu-lo central de 1 segundosubtende uma corda iguala 1 unidade astronômica.

3,0857x1016

m(aproximado)

A União AstronômicaInternacional adota comoexato o valor 1 pc =206265UA

Volume litro ou L Volume igual a 1 decímetrocúbico.

0,001m3

A título excepcional a 16a

CGPM/1979 adotou os

dois símbolos (letra eleminúscula) e L (letra elemaiúscula) como símbo-los utilizáveis para o litro.O símbolo L será empre-gado sempre que asmáquinas de impressãonão apresentem distin-ção entre o algarismo ume a letra ele minúscula, eque tal coincidênciaacarrete probabilidade deconfusão.

Ângulo plano grau º Ângulo plano igual à fração1/360 do ângulo central deum círculo completo.

/180 rad

minuto ' Ângulo plano igual à fração1/60 de 1 grau.

/10800 rad

segundo " Ângulo plano igual à fração1/60 de 1 minuto.

/648000 rad

Intervalo de fre-qüências

oitava Intervalo de duas freqüên-cias cuja relação é igual a2.

O número de oitavas deum intervalo de freqüên-cia é igual ao logaritmode base 2 da relaçãoentre as freqüênciasextremas do intervalo.

Massa Unidade(unificada)de massaatômica

u Massa igual à fração 1/12da massa de um átomo decarbono 12.

1,66057x10–27

kg,aproximadamen-te.

Tonelada tMassa igual a 1 000 quilo-gramas

Tempominuto min

Intervalo de tempo igual a60 segundos.

60s

hora hIntervalo de tempo igual a60 minutos.

3 600s

51São implicitamente incluídas nesta Tabela outras unidades de comprimento e de tempo estabelecidas pela

Astronomia para seu próprio campo de aplicação, e as outras unidades de tempo usuais do calendário civil.


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Tabela 27 – Outras unidades aceitas para uso com o SI, sem restrição de prazo.51

Unidades

Grandezas Nome Símbolo DefiniçãoValores em

unidades do SIObservações

dia dIntervalo de tempo igual a24 horas.

86 400s

Velocidade angu-lar

rotação porminuto

rpm Velocidade angular de ummóvel que, em movimentode rotação uniforme apartir de uma posição inici-al, retorna à mesma posi-ção após 1 minuto.

/30 rad/s

Energia elétron-volt eV Energia adquirida por umelétron ao atravessar, novácuo, uma diferença depotencial igual a 1 volt.

1,60219 10–19

J(aproximadamen-te)

Nível de potência decibel dB Divisão de uma escala loga-rítmica cujos valores são 10vezes o logaritmo decimal darelação entre o valor de potên-cia considerado, e um valor depotência especificado, tomadocomo referência e expresso namesma unidade.

dBP

PN ,log10

0

Decremento loga-rítmico

neper Np Divisão de uma escala loga-rítmica cujos valores são oslogaritmos neperiano da rela-ção entre dois valores detensões elétricas, ou entredois valores de correnteselétricas.

NpV

VN ,ln

2

1

ou

NpI

IN ,ln

2

1

Tabela 28 – Outras unidades, fora do SI, admitidas temporariamente.

Nome da Unidade Símbolo Valor em Unidades SI Observaçõesangstrom Å 10

–10m

*atmosfera atm 101 325 Pabar bar 10

5Pa

barn b 10–28

m2

–

*caloria cal 4,1868 JEste valor é o que foi adotado pela 5

aConferência Inter-

nacional sobre as Propriedades do Vapor, Londres,1956.

*cavalo-vapor cv 735,5 Wcurie Ci 3,7 x 10

10Bq

gal Gal 0,01 m/s2

*gauss Gs 10–4

Thectare ha 10

4m

2

*quilograma-força kgf 9,806 65 N

–

*milímetro de mercúrio mmHg 133,322 Pa Aproximadamentemilha marítima – 1852 m –nó – (1852/3600) m/s Velocidade igual a 1 milha marítima por hora.

*quilate – 2 x 10–4

kgNão confundir esta unidade com o "quilate" da escalanumérica convencional do teor em ouro das ligas deouro.

rad 0,01 Gyroentgen R 2,58 x 10

–4C/kg

–

rem rem 1 rem=1cSv=10–2

S vO rem é uma unidade especial empregada em radiopro-teção para exprimir o equivalente de dose.

* A evitar e a substituir pela unidade SI correspondente.

6 Índices

6.1 Índice de Tabelas

Tabela 1 – Módulo de Elasticidade volumétrico. ..................................................................... 5


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Tabela 2 – Unidades de medida de peso específico. .............................................................. 5Tabela 3 – Unidades de medida de massa. ............................................................................ 6Tabela 4 – Unidades de medida de massa específica. ........................................................... 6Tabela 5 – Unidades de medida de volume. ........................................................................... 7Tabela 6 – Unidades de medida de pressão. .......................................................................... 7Tabela 7 – Características de gases ..................................................................................... 13Tabela 8 – Unidades de medida de viscosidade dinâmica.................................................... 23Tabela 9 – Unidades de medida de viscosidade cinemática. ................................................ 24Tabela 10 – Parâmetros utilizados em alguns viscosímetros. ............................................... 24Tabela 11 – Extrato da tabela de óleos de cárter SAE............. Erro! Indicador não definido.Tabela 12 – Extrato da tabela de óleos para transmissão SAE Erro! Indicador não definido.Tabela 13 – Diâmetros hidráulicos de seções selecionadas ................................................. 33Tabela 14 – Valores selecionados do coeficiente de perda de carga singular "ks"................ 33Tabela 15 – Valores de ks para estreitamentos abruptos e bordas agudas. ......................... 34Tabela 16 – Fórmulas diversas para o cálculo do fator de atrito ........................................... 35Tabela 17 – Valores das alturas médias das irregularidades "k" para tubos. ........................ 35Tabela 18 – Dimensões de tubos padronizados.................................................................... 36Tabela 19 – Velocidades recomendadas para condução de fluidos...................................... 38Tabela 20 – Comprimentos equivalentes em relação ao diâmetro da tubulação (L/D) de

válvulas e conexões ....................................................................................................... 38Tabela 21 – Viscosidade cinemática da água. ...................................................................... 39Tabela 22 – Coeficiente de viscosidade dinâmica de alguns fluidos líquidos........................ 39Tabela 23 – Densidades de substâncias selecionadas ......................................................... 40Tabela 24 – Alfabeto Grego................................................................................................... 40Tabela 25 – Conversão de Unidades .................................................................................... 41Tabela 26 – Prefixos do SI .................................................................................................... 57Tabela 27 – Unidades do Sistema Internacional de Unidades. ............................................. 57Tabela 28 – Outras unidades aceitas para uso com o SI, sem restrição de prazo................ 62Tabela 29 – Outras unidades, fora do SI, admitidas temporariamente.................................. 63

6.2 Índice de Figuras

Figura 1 – Definição de sólido e fluido..................................................................................... 3Figura 2 – Pressão nos líquidos e gases................................................................................. 8Figura 3 – Pressão produzida pelo peso próprio em um recipiente qualquer.......................... 8Figura 4 – Definições de pressão ............................................................................................ 9Figura 5 – Leis dos gases perfeitos....................................................................................... 11Figura 6 – Tensão superficial ................................................................................................ 14Figura 7 – Capilaridade ......................................................................................................... 14Figura 8 – Teorema de Stevin ............................................................................................... 15Figura 9 – Princípio de Arquimedes ...................................................................................... 16Figura 10 – Lei de Pascal ...................................................................................................... 17Figura 11 – Experimento de Reynolds .................................................................................. 18Figura 12 – Escoamento turbulento num vulcão em erupção................................................ 19Figura 13 – Escoamento variado........................................................................................... 19Figura 14 – Escoamento permanente típico .......................................................................... 20Figura 15 – Linha de Corrente............................................................................................... 21Figura 16 – Tubo de Corrente ............................................................................................... 21Figura 17 – Definição de viscosidade.................................................................................... 22Figura 18 – Escoamento de um elemento fluido ................................................................... 28Figura 19 – Presença de máquina no escoamento de um fluido........................................... 30Figura 20 – Definição de rendimento..................................................................................... 31Figura 21 – Perda de carga num conduto ............................................................................. 31Figura 22 – Representação geométrica da Equação de Bernoulli para um fluido real .......... 32Figura 23 – Rugosidade relativa de tubos ............................................................................. 51


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Figura 24 – Ábaco de Moody para coeficiente de atrito ........................................................ 52Figura 25 – Variação da viscosidade com a temperatura...................................................... 53

7 Referências1) STEER, V. L. – Mecânica dos Fluidos – Editora McGraw Hill do Brasil.2) SILVA TELLES, P. C. – Tubulações Industriais – Livros Técnicos e Científicos Editora.3) VIEIRA, R. C. DE – Atlas de Mecânica dos Fluidos – Editora Edgar Blücher Ltda.4) BRAN, R. & SOUZA, Z. – Máquinas de Fluxo – Ao Livro Técnico S/A.5) DUBBEL et al – Manual do Construtor de Máquinas – Editora Hemus.6) FORGIEL, M. et al – Fluid Mechanics – Research and Education Association.7) CHIQUETTO, M. et al – Aprendendo Física – 3 volumes – Editora Scipioni.8) DELMÉE, GÉRARD J. – Manual de Medição de Vazão – Editora Edgar Blücher Ltda.9) SHELL BRASIL S/A PETRÓLEO – Tabelas técnicas – Shell Brasil S/A Petróleo10)FOGIEL, M – Handbook of Mathematical, Scientific and Engineering Formulas, Tables,

Functions, Graphs and Transforms – Research and Education Association.