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Universidade Federal do Pará - UFPA Instituto de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil Prof.: Bernardo Moraes Neto 1/58 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 5. Torção: A Torção diz respeito à rotação que sofre o eixo longitudinal de uma peça retilínea quando esta é solicitada por momentos/torques. O sentido do momento de torção é indicado pela regra da mão direita. 5.1. Introdução: Nota: Unidade de momento: [T]=[F]·[d].

Aula 02 torcao

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5. Torção:

● A Torção diz respeito à rotação que sofre o eixo longitudinal de uma peça retilínea

quando esta é solicitada por momentos/torques.

● O sentido do momento de torção é indicado pela regra da mão direita.

5.1. Introdução:

Nota: Unidade de momento: [T]=[F]·[d].

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T

n

n

5. Torção:

● Torção Pura: Este tipo de torção ocorre em peças que apresentam seção transversal

idêntica ao longo do seu eixo longitudinal e que estão sujeitas ao mesmo

momento/torque interno.

5.1. Introdução:

T

n

n

a) Seção circular b) Seção retangular

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T

n

5. Torção:

● Hipóteses adotadas na teoria de torção pura:

a) As deduções de torção pura aplicam-se às barras prismáticas com seção transversal

circular (cheia ou vazada).

b) Os materiais que constituem as barras obedecem a Lei de Hooke;

5.1. Introdução:

c) As seções transversais das barras torcidas permanecem

inalteradas ao longo do seu eixo longitudinal, ou seja, todas as seções

transversais permanecem planas e circulares e todos os raios

permanecem retos;

d) O ângulo de rotação entre as extremidades da barra é

pequeno. Desta forma, nem o comprimento e nem o raio da seção

transversal da peça variam;

e) As formulações das tensões são válidas apenas para seções

transversais distantes de concentrações de tensões (regiões com furos, variação

abrupta da seção, pontos de aplicação das cargas, etc).

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T

b

b'

dx

d

Ta

c

d

d'

b

d

a

c

b'

d'

T

n

n'

Lx(x)

dx

5. Torção:

● Admitindo que a extremidade esquerda da barra esteja fixa e que a extremidade direita

rotaciona de um pequeno ângulo de torção/rotação , tem-se:

5.2. Deformações de torção de uma barra circular:

Nota 1: Se todas as seções transversais

apresentam o mesmo raio e o mesmo torque T, o

ângulo (x) varia linearmente ao longo da peça.

Nota 2: O elemento

torcido encontra-se em

cisalhamento puro.

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T

b

b'

dx

d

Ta

c

d

d'b

b'

d

r

5. Torção:

● Deformação (distorção) de cisalhamento : É a diminuição do ângulo no ponto a, ou

seja, do ângulo bac.

5.2. Deformações de torção de uma barra circular:

ab

'bb

dx

dr

● Razão/Ângulo de torção por unidade

de comprimento :

dx

d

r

Lr

Seção transversalNota: As equações de são válidas apenas na

superfície externa da barra.

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() T

b

b'

dx

d

Ta

5. Torção:

5.2. Deformações de torção de uma barra circular:

r

Nota: As equações de deformações são baseadas

apenas em conceitos geométricos. Assim, estas são

válidas para qualquer material, para comportamento

elástico ou inelástico e linear ou não linear.

● As deformações de cisalhamento no interior da barra () podem ser encontrados de

forma análoga, uma vez que os raios nas seções transversais permanecem retos e não

distorcidos durante a rotação. Sendo assim, têm-se:

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b

d

a

c

b'

d'

()

r

Seção transversalElemento abcdT

n

m'

m

n'

a

bc

d

ac

b'd'

5. Torção:

5.3. Tensões de cisalhamento de uma barra circular torcida:

G

rG

● Aplicando a Lei de Hooke em cisalhamento (material

elástico linear), obtêm-se:

rG (superfície externa da barra)

(superfície interna

da barra)

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0 0

0

0

x

y

45°

xy

0 0

0

0

x

y

45°

xy

5. Torção:

5.3. Tensões de cisalhamento de uma barra circular torcida:

Nota: No caso de cisalhamento puro 2D, a análise das tensões e deformações mostra:

()

r

Seção transversal

TT

1)

2)

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5. Torção:

5.4. Relação entre as tensões e o torque:

dAF

● Força de cisalhamento F e o momento M de F:

()

r

dA

F

dAM

T

A

MT

dAr

M 2

● Torque T (fórmula de torção):

PIr

T

24 /rI

:Sendo

P ou

PI

rT

Nota 1: IP é o momento de inércia polar da seção circular;

Nota 2: A tensão de cisalhamento no interior da barra:

PI/Tr/

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y

x

C

dA

x

y

5. Torção:

5.4. Relação entre as tensões e o torque:

A

P dAI 2

● Momento de inércia polar IP de seções circulares:

222 yx yxP III

y

x

C

d

rdA ddA 2

A

P dAI 2

2

4rIP

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5. Torção:

5.5. Relação entre o ângulo de torção e o torque:

● Ângulo de torção :

● Fórmula de torção:

24 /rI

:Sendo

P PI

rT Nota 1: A quantidade G∙IP/L, rigidez de torção linear kT, é

o torque necessário para produzir uma unidade de ângulo

de rotação. A flexibilidade de torção, fT=L/G∙IP, é o ângulo

de rotação produzido por uma unidade de torque;

Nota 2: O valor do módulo de elasticidade de

cisalhamento G de um material pode ser estabelecido

através de ensaios de torção utilizando-se a seguinte

expressão:

rG

● Relação entre e T:

PIG

T

ou

PIG

LT

PIG/LT

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5. Torção:

5.6. Tubos circulares:

● Relação entre as tensões e o torque:

r1

r2

(r1)(r2)

PI

rTr 22

● Relação entre o ângulo de torção e o torque:

PIG

T

ou

PIG

LT

● Tensões de cisalhamento:

2

2

rr

G

22 rGr ou

24

1

4

2 /rrI

:Sendo

P

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Tr

5.7. Exemplo 1: Aplicação didática.

● A barra de aço sólida é submetida à torção T, determine: a) A tensão de cisalhamento

máxima e o ângulo de torção entre as extremidades para um torque T=340 kN·mm e b) O

torque T máximo permitido se a tensão de cisalhamento máxima é 40 MPa e o ângulo de

torção admissível é 2,5º.

Dados: r=20 mm; L=1400 mm e G=80 GPa.

a.1) A tensão de cisalhamento máxima :

PI

rT MPa 27

a.2) O ângulo de torção :

PIG

LT 3610240 ,rad ,

b) O torque T máximo:

P

adm

P

admmaxI

rT,

IG

LTminT

mmkN Tmax 503

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5.8. Exemplo 2: Aplicação didática.

● Uma barra de aço deve transmitir um torque de 1200 kN∙mm sem exceder a adm=40 MPa

e adm=0,75∙10-3 o/mm. Dado G=78 GPa, determinar: a) O diâmetro ds necessário quando

utiliza-se uma barra sólida, b) O diâmetro externo dt necessário quando utiliza-se um tubo

de espessura t=dt/10 e c) As razões entre os diâmetros dt/ds e os pesos Pt/Ps.

a) O diâmetro ds: O valor de ds será determinado

através de IP, sendo assim:

,P

adm

,P

,s

admsIG

T,

I

rTmaxd

mm ,rI ,s,P 027

mm ,rI ,s,P 529

mm mm rd ,ss 60592

()

r

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5.8. Exemplo 2: Aplicação didática.

b) O diâmetro dt: O valor de dt será determinado

através de IP, sendo assim:

,P

adm

,P

,t,

admtIG

T,

I

rTmaxd 2

mm ,rI ,t,,P 0322

mm ,rI ,t,,P 5332

mm rd ,t,t, 672 22

r1

r2

(r1)(r2)

c) As razões dt/ds e os pesos Pt/Ps:

12160

672 ,d

d

s

t,

45060

6780672

22

2

2

1

2

222 ,,

d

dd

A

A

P

P

s

t,t,

s

t,

s

t,

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5.9. Exemplo 3: Aplicação didática.

● Duas barras, uma sólida e outra vazada, são construídas do mesmo material, têm o

mesmo comprimento e o mesmo raio externo r. Assumindo que as barras são submetidas

ao mesmo torque, determine: a) A razão entre as tensões de cisalhamento, os ângulos de

torção e os pesos da barra vazada e sólida, b) A razão de peso-resistência para ambas as

barras.

a) A razão entre as tensões de cisalhamento, os ângulos de torção e os pesos:

0,6r

rr

PI

rT

PIG

LT

44

5712

r,r

I s,P

4

44

3712

60r,

r,rI v,P

151,I

I

v,P

s,P

s

v

s

v

640

602

22

,r

r,r

A

A

P

P

s

v

s

v

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5.9. Exemplo 3: Aplicação didática.

b) A razão peso-resistência: Para uma barra em torção esta razão é definida como o torque admissível

dividido pelo peso. Sendo assim, têm-se:

0,6r

rr

3371 r,r

IT adm

v,Padm

v

3571 r,

r

IT adm

s,Padm

s

222 260 rLLr,rPv

22 3 rLLrPs

L

r,

P

T adm

v

v

70

L

r,

P

T adm

s

s

50

41,P/T

P/T

ss

vv

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T4T3

T2

T1

T

T

T(x)

a) b) c)

5. Torção:

5.10. Torção não uniforme:

● Na torção não uniforme a barra não precisa ser prismática e os torques podem ser

aplicados em qualquer seção transversal ao longo do eixo da barra.

● Barras sujeitas a torção não uniforme podem ser analisadas pela teoria de torção pura,

mediante análises apropriadas.

● Casos de torção não uniforme:

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T4T3

T2

T1 LAB

LBC

LCD

A

B

C

D

5. Torção:

5.11. Barra com segmentos prismáticos e torque constante entre

segmentos:

● Estrutura: A barra apresenta diâmetros diferentes e está carregada em A, B, C e D.

● Análise: Divide-se a barra em segmentos prismáticos e sujeitos a torques constantes.

Desta forma, obtêm-se os trechos AB, BC e CD.

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5. Torção:

5.11. Barra com segmentos prismáticos e torque constante entre

segmentos:

● Torque interno em cada segmento: Aplicam-se as equações de equilíbrio.

Nota: Cada torque é constante ao

longo do comprimento de seu

segmento.

T4T3

T2

T1

A

B

C

D

A

C

T3

T2

T1

B

TCD

A

T1

TAB

A

T2

T1

B

TBC

321 TTTTCD 21 TTTBC 1TTAB

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A

B

C

T3

T2

T1

A

T2

T1

B

TBC

A

T2

T1

B

TBC

a) Positivo b) Negativo

5. Torção:

5.11. Barra com segmentos prismáticos e torque constante entre

segmentos:

● Convenção de sinal para os torques internos:

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A

B

C

T3

T2

T1

A

T2

T1

B

TBC

r

5. Torção:

5.11. Barra com segmentos prismáticos e torque constante entre

segmentos:

● Tensão de cisalhamento máxima : A tensão de cisalhamento é obtida aplicando-se a

fórmula de torção em cada segmento da barra.

24

/rI

:Sendo

BCBC,P BC,P

BCBCBC

I

rT Nota: A tensão máxima da barra é a

máxima tensão obtida nos segmentos.

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5. Torção:

5.11. Barra com segmentos prismáticos e torque constante entre

segmentos:

● Ângulo de torção : O ângulo de torção para cada segmento é calculado por:

● O ângulo de torção total de uma extremidade da barra em relação à outra é determinado

por:

i,Pi

iii

IG

LT

.nalisadoa egmentos od ãodentificaçi Ai

:Sendo

n

i i,Pi

iin

i

iIG

LT...

11

321

.segmentos de total número On

:Sendo

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5.12. Exemplo 1: Aplicação didática.

● O eixo apresentado é comandado pela engrenagem C, a qual aplica um torque T2=450

N·m, e gira livremente nos mancais A e E. Sabendo que as engrenagens B e D são giradas

pelo eixo e têm torque T1=275 N·m e T3= 175 N·m, determinar: a) A tensão máxima de

cisalhamento em cada parte do eixo e b) O ângulo de torção entre as engrenagens B e D.

AB

C

D

E

Dados:d=30 mm; LBC=500 mm; LCD=400 mm e G=80 GPa.

B

D

CT3

T1

T2

LBC

LCD

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5.12. Exemplo 1: Aplicação didática.

a.1) Tensão máxima no segmento CD:

B

D

CT3

T1

T2

LBC

LCD

27545012 TTTCD mN TCD 175

4

3

10957

23010175

,

/

I

rT

CD,P

CDCDCD MPa CD 33

44

4

109572

mm ,r

I

:Sendo

CDCD,P

TCD

B

C

T1

T2

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5.12. Exemplo 1: Aplicação didática.

a.2) Tensão máxima no segmento BC:

B

D

CT3

T1

T2

LBC

LCD

1TTBC mN TBC 275

4

3

10957

23010275

,

/

I

rT

BC,P

BCBCBC MPa BC 52

44

4

109572

mm ,r

I

:Sendo

BCBC,P

B

T1

TBC

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TBC

B

C

BC

TBC LBC

TCD

C

D

CD

TCD LCD

5.12. Exemplo 1: Aplicação didática.

b) O ângulo de torção entre as engrenagens B e D:

CDBCBD

43

3

109571080

50010275

,IG

LT

BC,PBC

BCBCBC 24102160 ,rad ,BC

43

3

109571080

40010175

,IG

LT

CD,PCD

CDCDCD 6300110 ,rad ,CD

630241 ,,BD 610,BD

Nota: O sinal negativo de indica que a engrenagem D

rotaciona no sentido oposto

(em relação à engrenagem

B) ao indicado na figura.

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T

T

B

A

Lx

dx

5. Torção:

5.13. Barra com seção transversal variável e torque constante:

● Tensão de cisalhamento máxima : Uma vez que o torque é constante, a tensão de

cisalhamento máxima ocorre na seção transversal de menor raio.

PI

rT

3

2

r

T

● Ângulo de torção : O ângulo de torção é calculado por:

)x(IG

dxTd

P

L

d0

L

P

dx)x(IG

T

0

Nota: As fórmulas da tensão de

cisalhamento e do ângulo de torção são

aplicáveis satisfatoriamente as seções

transversais que variam gradualmente.

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x dx

L

T T

rA rB

A B

r(x)

5.14. Exemplo 1: Aplicação didática.

● Sabendo que uma barra com seção transversal variável é torcida, determinar: a) A tensão

de cisalhamento máxima e b) A equação que descreve o ângulo de torção .

T

T

B

A

Lx

dx

a) A tensão de cisalhamento máxima :

A,P

A

I

rT

2

4

AA,P

rI

:Sendo

Nota: Sendo rB>rA.

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x dx

L

T T

rA rB

A B

r(x)

5.14. Exemplo 1: Aplicação didática.

b) A equação que descreve o ângulo de torção :

L

P

dxxIG

T

0

2

4xr

xIP

L

xrrrxr

:Sendo

ABA

L

ABA

L

L

xrrr

dx

G

Tdx

xrG

T

0

4

0

4

22

L

ABA

AB

L

xrrr

L

rrG

T

0

3

3

12

33

111

3

2

BAAB rrrrG

TL

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B

A

Lx

dx

t(x)

TB

TA

A

x

t(x) T(x)

TA

5. Torção:

5.15. Barra com seção transversal e torque variável:

● Tensão de cisalhamento máxima : Conhecendo os

valores de T(x) e de IP(x), a tensão de cisalhamento

máxima é determinada através da fórmula de torção,

conforme segue:

xI

xrxTx

P

● Ângulo de torção : O ângulo de torção é calculado por:

)x(IG

dxxTd

P

L

d0

L

P

dx)x(IG

xT

0

Nota: As fórmulas da tensão de cisalhamento e do ângulo de torção são

aplicáveis satisfatoriamente as seções transversais que variam

gradualmente.

t(x): Torque por unidade

de comprimento

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L

B

AtAL/2

tAx

t(x)T(x)

L

B

A

t(x)

tA

5.16. Exemplo 1: Aplicação didática.

● Uma barra é torcida por um torque que varia linearmente. Determinar: a) A tensão de

cisalhamento máxima e b) O ângulo de torção entre as extremidades da barra.

a.1) O torque por unidade de comprimento t(x):

L

xtxt A 1

t(x): Torque por unidade

de comprimento

L

x L-x

tAt(x)

A B

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L

B

AtAL/2

tAx

t(x)T(x)

5.16. Exemplo 1: Aplicação didática.

a.2) O torque interno T(x):

L

x L-x

tAt(x)

A B

22

xxtt

LtxT A

A

L

xxL

txT A

2

22

L

xtxt

:Sendo

A 1

T(x)

x

L

A B

tAL/2

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5.16. Exemplo 1: Aplicação didática.

a.3) A tensão de cisalhamento máxima :

2

22

4

2

rI

L

xxL

txT

:Sendo

P

A

PI

rxTx

L

xxL

r

tx A

2

32

3

0r

Ltx A

b) O ângulo de torção entre as extremidades da barra:

L

P

dxIG

xT

0

43

2

rG

LtA

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 35/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

5. Torção:

5.17. Estruturas torcidas estaticamente indeterminadas:

● A Estrutura: Quando os torques internos e as reações podem ser obtidas a partir das

equações de equilíbrio, trata-se de uma estrutura estaticamente determinada. Entretanto, se

restrições adicionais (redundantes) são adicionadas à estrutura, as equações de equilíbrio

não serão suficientes para determinar os torques, tratando-se assim de uma estrutura

estaticamente indeterminada.

● A análise: A análise deste tipo de estrutura exige a consideração dos deslocamentos

rotacionais para obterem-se equações de compatibilidade que suplementem as equações

de equilíbrio.

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 36/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

L

B

A

T

A

5.18. Exemplo 1: Aplicação didática.

● Uma estrutura é formada por uma barra sólida (barra interna) e um tubo (barra externa),

constituindo assim uma barra composta. Estas barras, interna e externa, são unidas apenas

em suas extremidades (pontos A e B) e então carregadas por um torque T na extremidade

B. Determinar: a) os torques que se desenvolvem na barra sólida TS e no tubo TT.

TS TTT

Seção transversal

rS

rT

a.1) Aplicação da equação de equilíbrio:

B

A

TT

B

TS

A

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 37/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

Seção transversal

5.18. Exemplo 1: Aplicação didática.

a.2) Aplicação da equação de compatibilidade:

B

A

T

A

PIG

LT

:Sendo

TS

T,PT

T

S,PS

S

IG

T

IG

T

a.3) Os torques TS e TT:

T,PT

T

S,PS

S

TS

IG

T

IG

T

TTTT,PTS,PS

S,PS

SIGIG

IGTT

T,PTS,PS

T,PT

TIGIG

IGTT

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 38/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

LA

CA

B

LB

TC

5.19. Exemplo 2: Aplicação didática.

● A estrutura apresentada é engastada nos extremos (pontos A e B) e solicitada no ponto

C pelo torque TC. Esta estrutura é formada por dois tipos de barras, com raios rA e rB,

ambas do mesmo material. Sendo assim, determinar: a) As reações de apoio TA e TB, b)

As tensões de cisalhamento máximas nas duas barras AC e CB e c) O ângulo de rotação

no ponto C C.

BAC TTT

a) As reações de apoio TA e TB:

CA

B

TC

TB

TA

)equilíbrio de Equação(

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 39/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

5.19. Exemplo 2: Aplicação didática.

a) As reações de apoio TA e TB:

CA

B

TC

TB

TBTC )dadeompatibilic de Equação(

B,P

BB

A,P

AB

A,P

AC

IG

LT

IG

LT

IG

LT

A,P

AC

B,P

BB

A,P

AB

I

LT

I

LT

I

LT

Seção transversal no ponto B

TC TB

TC TBB B

A,PBB,PA

B,PA

CBILIL

ILTT

BAC TTT

A,PBB,PA

A,PB

CAILIL

ILTT

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 40/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

C

A

TA LA

C

C

BTB

LB

C

CA

B

TC

TB

TA

b) As tensões de cisalhamento máximas nas duas barras AC e CB:

5.19. Exemplo 2: Aplicação didática.

A,P

AAAC

I

rT

22

44

BB,P

AA,P

rI;

rI

:Sendo

B,P

BBCB

I

rT

c) O ângulo de rotação no ponto C C:

B,P

BB

A,P

AAC

IG

LT

IG

LT

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TL

t

T

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● A Estrutura: Os tubos de paredes finas, com seções transversais circulares ou não, são

frequentemente utilizados em estruturas leves.

● Análise: Admite-se um tubo cilíndrico de

parede fina com seção transversal

arbitraria e sujeito ao torque T nas

extremidades (torção pura). A espessura t

do tubo pode variar ao longo da seção

transversal, porém, é considerada

pequena em relação à largura total do

tubo.

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 42/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

T

T

x

t

L

dxa

d b

c

T

T

dxa

db

c

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Tensões de cisalhamento: As tensões de cisalhamento que agem na seção do tubo

podem ser visualizadas quando se consideram duas seções transversais distantes dx uma

da outra. Estas tensões, que atuam no plano da seção, apesar de consideradas uniformes

ao longo da espessura da parede, podem variar ao longo do seu contorno.

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 43/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

T

T

dxa

db

c

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Tensões de cisalhamento: A magnitude das tensões de cisalhamento é obtida a partir

do equilíbrio do elemento abcd. Na face bc do elemento atuam as tensões , as quais

assumisse variar de b a c do ponto b ao ponto c, respectivamente. Para que o corpo esteja

em equilíbrio é necessário que nas faces ab e cd atuem, respectivamente, as tensões b e

c, as quais produziram as forças Fb e Fc, conforme segue:

dxtF bbb dxtF ccc a

d b

c b

c

b

c

c

b

a

d b

c

Fb

FcF1

F1

Do equilíbrio, tem-se que Fb=Fc,

assim:

ccbb tt

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 44/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

T

T

dxa

db

c

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Fluxo de cisalhamento: Visto que a análise do elemento abcd é genérica, conclui-se que

o produto t é o mesmo para qualquer ponto da seção transversal. Este produto é definido

como fluxo de cisalhamento f.

tetanconstf

Nota 1: O produto t mostra que a maior tensão de

cisalhamento ocorre no menor valor de t, ou vice-versa.

Nota 2: O fluxo de cisalhamento é a força de cisalhamento por

unidade de comprimento ao longo da seção transversal.

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 45/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

sds

O

t

fds

rAm

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Fórmula de torção para tubos de paredes finas: Para relacionar o fluxo de

cisalhamento f, ou a tensão , ao valor do torque T aplicado ao tubo, analisa-se a seção

transversal do tubo.

● A força de cisalhamento atuando no elemento de área:

dsfdF

● O valor do torque T:

dsfrdT mL

dsrfT0

mAfT 2

● A fórmula de torção:

mA

Tf

2 mAt

T

2

Linha mediana ou de centro

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sds

O

t

fds

rAm

O

Am

r

t

Ob

ht1 t1

t2

t2

Am

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Aplicação do conceito Am:

2rAm hbAm

222 rt

T

At

T

m

hbt

T;

hbt

T

At

Thorizvert

m

21 222

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 47/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

O

T

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Ângulo de torção: O ângulo de torção para um tubo de parede fina com seção

transversal arbitrária pode ser determinado equacionando o trabalho W realizado pelo

torque aplicado à energia de deformação U do tubo. Sendo assim, tem-se:

UW

● O trabalho W realizado pelo torque:

2

TW

JG

LTT

22

2

JG

LT

mL

mt

ds/Atorção de tetanconsJ

:Sendo

0

24

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 48/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

T

T

dxa

db

c

a

d b

c

dx

t

ds

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● A energia de deformação U do tubo: O valor de U

pode ser determinado encontrando-se a energia de

deformação de um elemento abcd e então integrando

ao longo do volume da barra, ou seja, a energia de

deformação total do elemento é igual à densidade de

energia de deformação vezes o volume do elemento,

conforme segue: .

dxdstVabcd

● O volume do elemento abcd:

abcdVudU

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 49/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

2htV

:Sendo

abcd

(/2)-

V

V

V

V

t

hh

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

2htVabcd

● A densidade de energia de deformação u do elemento abcd: Da análise de um

elemento em estado de cisalhamento puro, tem-se:

thV

h/tg

22

2

htU

VU

2

u

V

U

abcd

G

:Sendo

Gu

2

2

h

O

V

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 50/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

T

T

dxa

db

c

a

d b

c

dx

t

ds

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● A energia de deformação U do tubo: Conforme dito, a energia de deformação total do

elemento é igual à uVabcd. Sendo assim, tem-se:

dxdstG

VudU abcd

2

2

tf

:Sendo

dxt

ds

G

fdU

2

2

LL

dxt

ds

G

fdUU

m

00

2

2

mL

t

ds

G

LfU

0

2

2

mA/Tf

:Sendo

2

mL

mt

ds

AG

LTU

0

2

2

8 JG

LTU

2

2

mL

mt

ds/AJ

:Sendo

0

24

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 51/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

O

Am

r

t

Ob

ht1 t1

t2

t2

Am

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Aplicação do conceito J: Tubo circular.

2rAm rLm 2

mL

m

t

ds

AJ

0

24

t

r

r

t

ds

AJ

mL

m

2

4422

0

2

trJ 32

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 52/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

O

Am

r

t

Ob

ht1 t1

t2

t2

Am

5. Torção:

5.20. Tubo de parede fina:

● Aplicação do conceito J: Tubo retangular.

hbAm

mL

m

t

ds

AJ

0

24

21

2

0

2

2

44

t

b

t

h

hb

t

ds

AJ

mL

m

21

21

222

thtb

tthbJ

210 20 10

222t

b

t

h

t

ds

t

ds

t

dsbhLm

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 53/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

5.21. Exemplo 1: Aplicação didática.

● Dado um tubo circular, determinar a tensão máxima de cisalhamento segundo: a) Teoria

de torção, b) Teoria aproximada para tubo de parede fina e c) Relação entre as teorias.

P

ext

I

rT

a) Teoria de torção:

rt

PI

t,rT

50

2

44

intextP

rrI

t,rr

t,rr

:Sendo

int

ext

50

50

2

505044

t,rt,rIP

441

5050

502

t,rt,r

t,rT

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 54/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0 20 40 60

t2/1t

r

5.21. Exemplo 1: Aplicação didática.

mAt

T

2

b) Teoria aproximada para tubo de parede fina:

rt

2rA

:Sendo

m

222 rt

T

c) Relação entre as teorias: Admitindo torque unitário, obtém-se:

mm t

mm r

20

100

mm t

mm r

40

100

mm t

mm r

60

100

T=Unitário

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 55/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

5.22. Exemplo 2: Aplicação didática.

● Um tubo circular e outro retangular, além de serem do mesmo material, também

apresentam a mesma espessura, comprimento e seção transversal. Sabendo que os tubos

são submetidos ao mesmo torque, determinar a razão entre: a) as tensões de

cisalhamento c/r e b) os ângulos de torção c/r.

mAt

T

2

a) As tensões de cisalhamento c/r: rt

b

t

2

22

2

2

4 r

r

r

b

A

A

c,m

r,m

r

c

790,

r

c

2222

5050 t,rt,rtbtbAA cr 2/rb

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Prof.: Bernardo Moraes Neto 56/58Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

5.22. Exemplo 2: Aplicação didática.

b) os ângulos de torção c/r:

rt

b

t

JG

LT

3

3

42

4

0

2

0

2

22

4

44

4

4

r

b

rtr

btb

t

ds

A

t

ds

A

J

J

m

m

L

c

c,m

L

r

r,m

c

r

r

c

620,

r

c