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Prof. Felipe de Almeida UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA AMBIENTAL e ENERGIAS RENOVÁVEIS Belém Pará 2014 CIÊNCIA & TECNOLOGIA DE MATERIAIS

Demonstração da equação de schrodinger

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Page 1: Demonstração da equação de schrodinger

Prof. Felipe de Almeida

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA AMBIENTAL e ENERGIAS

RENOVÁVEIS

Belém – Pará

2014

CIÊNCIA & TECNOLOGIA DE MATERIAIS

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Equação de Schrödinger

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Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger

Nasceu em 12 de agosto de 1887, em Viena;

Físico da área de Física Quântica;

Em 1933, em Oxford, juntamente com Paul Dirac,

ganhou o Prêmio Nobel pela formulação da equação

de onda chamada Equação de Schrödinger ;

Participou da 1ª Guerra Mundial como oficial

de artilharia;

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• Max Planck – Radiação de corpo Negro:

- “A energia é quantizada e não contínua”.

E = h.ν = h.ω/2π = h/2π.ω = ħ.ω

Assim,

E = ħ.ω ou ω = E/ħ

• Albert Einstein – Efeito Fotoelétrico:

- “A luz, onda eletromagnética, é formada por pequenas partículas, ‘quantum de

luz’, os fótons”.

E = h. ν = ħ.ω (energia do fóton)

Pela Teoria da Relatividade, temos que para uma partícula sem massa de repouso (fótons):

P = E/ c (momento de p. sem massa)

Demonstração da equação de Schrödinger

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Sendo E = h. ν e c = λ. ν, temos:

P = E/c = h.ν/λ.ν = h/2π/k = h/2π/k = ħ.k

Assim,

P = ħ.k ou k = P/ħ k é o n° de onda

Em resumo:

“A luz seria ENERGIA de caráter ondulatório (λ) e formada por partículas,

matéria, representada pelo momento (P) e também MATÉRIA com a mesma

característica dual”.

Teoria incompreendida por Schrödinger, o que o levou a

formulação da famosa Mecânica Ondulatória.

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Função de onda:

- Derivando em t: - Derivando em x:

então:ou

Antes da Equação de Schrödinger avaliemos que:

Parte-se a partir dessa equação.

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k = P/ħsubstituindo

Tem-se:

Mult. o lado direito

Sendo que,Subst.

Resultando em:

1º Caso

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Se,

lembre-se de que,

Então, substituindo no lado esquerdo, tem-se que:

Equação de Schrödinger

para partícula livre.

2º Caso

Em sistemas conservativos, as partículas estão sujeitas

a um dado Potencial de energia.

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Potencial de uma partícula

numa dada trajetória

n

Índice de refração de um raio

de luz numa dada trajetória

Sendo, Então o número de onda é dado por:

Substituindo esses valores, na equação de partida anterior, é dado:

Subst. n e

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Mult.Tem-se:

Multiplicando a EQ. anterior por,

x

Lembre:

com

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Finalmente:

Equação de Schrödinger para uma partícula

sob um potencial V qualquer.

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