Dinâmica cap17c

MECÂNICA - DINÂMICA

Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:

Força e AceleraçãoCap. 17

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

Exemplo 17.13

A barra esbelta de massa m e comprimento l é liberada do repouso quando q=00. Determine as componentes horizontal e vertical da reação de apoio no pino no instante em que q=900.


Exemplo 17.13 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético:



Equações de movimento:2 2

2

sin ( / 2) (1)

cos ( / 2) (2)

1cos ( / 2) ( ) (3)

3Para um dado ângulo existirão 4 incógnitas

A quarta equação será:

(4)

Substitui

n G n

t

n n

t

A

G tt

A

F ma

F ma

M I

d d

F m r A mg m

F m r A mg m

mg m

l

l

l l

ndo da equação (3) em (4):

(1.5 / )cosd g d

l



90

0 0

290 2

0

Desde que 0 em 0 :

(1.5 / ) cos

(1.5 / ) sin2

Substituindo na equação (1):

sin 3 / ( / 2) 1.5

Isolando na equação (3)

3 /

modificada fica:

(90 ) 01.5 cos

Da equaç

n

d g d

g

A mg m g mg

g

g

l

l

l

l

l

l

ão (2): Da equação (1): 0 2.5 t nA A mg



2

2

2

0 rad/s;

Valores par

7.5 ra

a conferência no W

d/s ; 0 N; 2.5 N

3.87 rad/s; 0 rad/s ; 25 N;

M:

Para 2 m; 1 kg, 10 m/s

0 :

90

N

:

0

n t

n t

m g

A A

A A

l



Se quisermos calcular o tempo t do instante considerado

tomamos a equação (3) modificada :

1.5 cos

Que se for reescrita substituindo por 90 - e alterado o

sinal do segundo termo para compatibilidad

g

l

2

2

e de eixos:

1.5 sin

que é a equação do movimento do pêndulo já resolvida no

Exemplo 17.8b.

g tdt

dt

l


Problema 17.B

Uma menina senta-se acomodada no interior de um pneu largo de forma que a menina e o pneu têm um peso total de 185 lb, um centro de massa em G e um raio de giração 1.65 ft em relação a G. Se o pneu rola livremente plano abaixo, determine as forças normal e de atrito que ele exerce sobre o plano quando passa pela posição mostrada com uma velocidade angular de 6 rad/s. Admita que o pneu não deslize enquanto rola.


Problema 17.B - Solução

Diagrama do corpo livre e cinético

xG

a )(

NatF

yGa )(

P20

x

y

O

Arad/s 6

ft 65.1

ft/s 2.32

lb 1852

ω

k

g

P

G


16.5 Análise do Movimento Relativo: Velocidade

ABAB /rωvv

Velocidade



Dados decorrentes

Como (Exemplo 16.4):

2(6) 12.000 ft/s

No ponto G:

12.000 6 0.75

7.5000 ft/s

Nas direções horizontal e vertical:

12.000cos 20 11.276 ft/s

12.000sin 20 4.1042 ft/s

7.5000co

O O

G O O/G G

G

Oh

Ov

Gh

v r v

v v ωr v

v

v

v

v

s 20 7.0477 ft/s

7.5000sin 20 2.5652 ft/sGvv



2

2

2

Cálculo da massa do corpo:

185 (32 2)

Cálculo do momento de inércia de massa:

5.7

5.7453 slug

15.642 slug.

453(1.65)

ftG

G G G

P mg m .

I mk I

m

I



Aplicação das equações de movimento

( )

x G x

y G y

A k A

F m a

F m a

M M



sin 20 5.7453( ) (1)

cos 20 5.7453 (2)

x G x

y G y

at G x

G y

P F a

F m a

F m a

P N a





sin 20 1 25

15 642 5 7453 1 25 5 7453 0 (3)

A G G x G y

G

A

x

k A

G y

M

M I α m(a ) d m

(M

(a ) d

P .

. α . (a ) . . )

)

(a



Aplicação das equações da cinemática

xGa )(

yGa )(

OGr

/

Oa

O

A

y

x


16.7 Análise do Movimento Relativo: Aceleração

Aceleração

/

/

2/

acel. do ponto B

acel. do ponto A

acel. angular do corpo

veloc. angular do corpo

vetor posição relativo de A para B

B

B

A

A B B A

B A

A ω

ω

a

a

α

r

a a α r r



2

2

2

Aplicação das equações da cinemática:

Como não ocorre deslizamento,

2 0.75 6 0,75

1.2500 27.000

(4)

1.2500

27.000 f (t/ 5s

)

O

G O G/

G x

O G /O

G Gx y

G Gx

G y

y

a αr

ω

a i

a α

a j

α i α k j j

a i a j α i j

a

a a α r r



Substituindo (4) em (3)

2

sin 20 1.25

15.642 5.7453 1.25 5.7453 0

79.0921 15

3

.642 5.7453 1.25 1.25

.2127 rad/s (6)

A G G Gx y

G x G

A A

y

k

M I α m a d m a d

P

α (a ) a

α

(M )

α

α

M



Substituindo (6) em (4)

2

1.25

1.25 3.212

4.0159 f

7

s 7t/ ( )G x

G x

G x

(a ) α

a

(a )

( )



40.2 l

Substituindo (7) em (1):

sin 20 5.7453 63.274 5.7453 4.0159

Su

b

bstituindo (5) em (2):

cos 20 5.7453 173.84 5.7453 27

329 lb

x G x

y

at G x at

G

G

y

at

y

P F (a ) F

P N (a )

F

a

F a

N

F m

m

N


Problema 17.C

O pêndulo mostrado na figura consiste em uma placa uniforme de 5 Kg e uma barra esbelta de 2 Kg. Determine as componentes horizontal e vertical da reação que o pino O exerce sobre a barra no instante = 30º, quando sua velocidade angular é = 3 rad/s.

= 3 rad/s

0,2 m

0,3 m0,5 m

O


Problema 17.C - Solução

Posição do centro de massa

0,5 m

0,3 m

0,15 m

0,25 mxCG

0.15-xCG 5 0.15 2 0.25

0.75 5

0.035714 m

2 0.5

7 0.25

CG CG

CG CG

CG CG

x x

x x

x x

CG



Momentos de Inércia

2

2

2 2

2

2 2

2

Barra:

12 0.5

12

0.041667 kg.m

Placa:

15 0.2 0.3

12

0.054167 kg.m

Conjunto:

2 0.25 5 0.65

0.041667 0.12500 0.054167 2.1125

2.3333 kg.m

B CG

B CG

P CG

P CG

O B PCG CG

O

O

I

I

I

I

I I I

I

I

0,5 m

0,3 mO



Diagrama de corpo livre e cinético

0,53571 m

O

7 Kg

At

An

G = 3 rad/s

a



2 2

2

68.08

sen θ

7 9.81 sen 30 7 3 0.53571

cos

7 9.81 cos30 7 0.53571

cos

7 9.81 cos30 0.53571

5 N

3.7500 59.470

n

n G n G

n

t G t G

t

O o G o

o

t

F m r A mg m r

A

F m r A mg m r

A

M

A

m

A

I g r I

I

Equações de Movimento



2

68.085 N

3.7500 59.470

7 9.81 cos30 0.53571

31.859 2.333 13.3 654 rad/s

8.2673 N

n

t

o

t

A

A

I

A



68.085 N

8.2673 N

cos30 sin 30

68.085 0.86603 8.2673 0.50000

sin 30 cos30

68.085 0.50000 8.2673 0.

54

8

.8 N

41.2 N

6603

n

t

x n t

x

y n t

y

x

y

A

A

A A A

A

A A

A

A

A

A

Nos eixos x e y



Placa

3 0.65 1.9500 m/s

sin 30 1.9500 0.50000 0.97500 m/s

cos30 1.9500 0.86603 1.6887 m/s

Barra

3 0.25 0.75000 m/s

sin 30 0.75000 0.50000 0.37500 m/s

cos30 0.7500 0.86604 0.

x x

y y

x x

y y

v r

v

v v v

v v v

v

v v v

v v v

64952 m/s

Velocidade inicial nos eixos x e y


Problema 17.D

O bloco retangular de massa 100 kg, altura 6 m,

largura 2 m e espessura 1 m possui uma velocidade

inicial de 8 m/s conforme mostra a figura. Assumindo

que os coeficientes de atrito dinâmico e estático com

o solo são iguais a 0.4, estude o movimento do bloco

no momento inicial.

8 m/s


Problema 17.D - Solução

Assumindo que o bloco se move sem girar (ver aulas 14 e 15 de Mec. Geral II).


d <= 1 m

8 m/s

a

N

Fad

P

2 m

6 mG

m = 0.4

a = 0

w = 0

x

y

m


8 m/s

a

N

Fad

P

2 m

6 mG

m = 0.4

a = 0

w = 0

x

y

m


d <= 1 m

60 (1)

2

0.4

9

(2)

100 9.81

100

81.00 N

(3)

a G

a

G

a

a

G

x G x

a

M

Nd F I

F N

P mg

F ma F a

αI

F N

F m

P

a



2 2

0

Substituindo em (2):

0.4 981.00

Substituindo em (3):

392.40

100

981.00 N

392.40 N

3.924

981 N

392 N

3.92 m

Substituindo em (1)

0 m

:

39

/s

2.40 3

981.001.200

/

0 m

s

1

y

aa a

G y

NN P m N P N

F

a

F

a

F m a

F

d

a

d d

Como 1, então o bloco vai girar enquanto de

.20

sl

m

iza.d



2 2

Supondo que fosse igual a 0.3, por exemplo:

0.3 981.00

Substituindo em

294 N

2.94 m/s

0.900

294.30 N

(3):

294.30

100Substituindo em (1):

294.30 3

981.00Nes

2.9430 m/s

0.9000

e

0 m m

s

a aa F

a

d

a

F

d

a

F

d

caso, como 1, então o bloco iria somente deslizar,

como pode ser verificado no modelo WM.

d



Assumindo que o bloco se move enquanto gira em torno do ponto A (ver aulas 14 e 15 de Mec. Geral II).


8 m/s

aGx

N

Fa

P

2 m

6 mG

m = 0.4

aw

A

aGy

x

ym


12.8 * Aceleração


16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo

Movimento do Ponto P

Aceleração:



Movimento de rotação em torno de um eixo fixo:

2 m

6 mG

aw

A x

y

raGq

aGr

g

q






Transformação do sistema de coordenadas:

aGq

aGr

qq

aGxR

aGyR

A

rq




Transformação do sistema de coordenadas:



Movimento geral plano:


17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano

Equação do Movimento de Rotação escrita em função do momento de inércia em relação ao centro de massa G:

Diagrama cinéticoDiagrama de corpo livre















Para estudar o movimento após o momento inicial as equações devem ser escritas em função do ângulo q:

aGq

aGr

qq

aGxR

aGyR

A

rq



Movimento geral plano:







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