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MECÂNICA - DINÂMICA
Exercícios
Cap. 13, 14 e 17
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2
Problema 13.90
O pino de 5 lb é guiado ao longo de uma
trajetória circular usando-se uma barra com
uma fenda. A barra tem velocidade angular
q = 4 rad/s e aceleração angular q = 8 rad/s2
no instante em que q = 30o. Determine a
força da barra sobre o pino. O movimento
se dá num plano horizontal.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 3
Problema 13.90 - Solução
Massa da carga:
m =5
32.174
æ
èç
ö
ø÷ = 0.15540 slugs
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 4
Problema 13.90 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético do pino:
r
a
ra
N
F0.15540 slugs
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 5
Problema 13.90 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético do pino
Observações importantes:
N está na direção do raio da fenda circular e não
na direção do raio da barra.
F é perpendicular à barra e não tangente à fenda circular.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 6
Problema 13.90 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético do pino:
r a
ra
N
F0.50.5
r
0.15540 slugs
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 7
Problema 13.90 - Solução
r a
ra
N
F0.50.5
r
Equações de Movimento:
SFr=ma
r
-N cosq = 0.15540ar 1( )
SFq
=maq
F - N senq = 0.15540aq 2( )
0.15540 slugs
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 8
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
Aceleração:
a = arur+ a
qu
q
onde
ar= r - r q 2
aq
= r q + 2r q
Aula 6
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 9
Problema 13.90 - Solução
Fórmula do Ângulo :
0.5cos2
cos ft
r
r
r
0.5
0.5
r
/ 2r
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 10
Problema 13.90 - Solução
r = cosq ft
Derivadas temporais de r e q:
q = 4 rad/s r = -sinq q( ) ft/s
q = 8 rad/s2 r = -cosq q( )2
- sinq q( ) ft/s2
Para q = 300:
r = cos300 ft\r = 0.86602 ft
r = -sin300 4( )\r = -2.0000 ft/s
r = -cos300 4( )2
- sin300 8( )\r = -17.856 ft/s2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 11
Problema 13.90 - Solução
Substituindo as derivadas temporais, para obter ar e a
q:
ar= r - r q 2 \ a
r= -17.856 -0.86602 4( )
2
\ ar= -31.713 pés/s2
aq
= r q + 2r q \ aq
= 0.86602 8( ) + 2 -2( )4 \ aq
= -9.0718 pés/s2
Substituindo ar e q=30o na equação 1( ) para obter N:
-N cos30o = 0.15540(-31.713) \ N = 5.6906 lb
Substituindo aq e N na equação 2( ) para obter F:
F -5.6906sen30o = 0.15540 -9.0718( ) \ F =1.44 lb
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 12
Problema 13.97
A pequena esfera de 80 g está presa a um
elástico que se estende de O a P e devido à
fenda na barra move-se ao longo da
trajetória horizontal r = 0.8senq m. Se o
elástico tem rigidez k = 30 N/m e comprimento
quando não deformado de 0.25 m, determine
a força da barra sobre a esfera quando q = 600.
A barra tem velocidade angular constante
q = 5 rad/s.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 13
Problema 13.97 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético da esfera:
r
a ra
N
SF
F80 g
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Problema 13.97 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético da esfera
Observações importantes:
N está na direção do raio do círculo e não
na direção do raio da barra.
F é perpendicular à barra e não tangente ao círculo.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 15
Problema 13.97 - Solução
Diagrama de corpo livre da esfera:
r
a ra
N
SF
F
0.4090
0.4090
r
80 g
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Problema 13.97 - Solução
0
0
Equações de Movimento:
cos 90 0.08
sen 30 0.25 0.08 1
sen 90 0.08
cos 0.08 2
r r
S r
r
F ma
F m
N F a
N r a
F N a
F N a
a
r
a ra
N
SF
F
0.4090
0.4090
r80 g
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 17
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
Aceleração:
a = arur+ a
qu
q
onde
ar= r - r q 2
aq
= r q + 2r q
Aula 6
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 18
Problema 13.97 - Solução
0
Fórmula do Ângulo :
0.4cos 902
0.4sen
0.8sen f
2
t
r
r
r
r
0.4090
0.4090
r
/ 2r
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Problema 13.97 - Solução
r = 0.8senq ft
Derivadas temporais de r e q:
q = 5 rad/s
q = 0 rad/s2
r = 0.8cosq q( ) m/s
Como q é nulo, pode-se substituir o valor de q em r
para calcular a segunda derivada:
r = 4cosq m/s
r = -4sinq q( ) m/s2 \r = -20sinq m/s2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 20
Problema 13.97 - Solução
q = 5 rad/s
q = 0 rad/s2
r = 0.8senq m
r = 4cosq m/s;
r = -20senq m/s2
Para q = 600:
r = 0.8sen600 \r = 0.69282 m
r = 4cos600 \r = 2.0000 m/s
r = -20sen600 \r = -17.321 m/s2
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Problema 13.97 - Solução
Substituindo as derivadas temporais, para obter ar e a
q:
ar= r - r q 2 \ a
r= -17.321- 0.69282 5( )
2
\ ar= -34.641 m/s2
aq
= r q + 2r q \ aq
= 0.69282 0( ) + 2 2( )5 \ aq
= 20 m/s2
Substituindo ar e q=60o na equação 1( ) para obter N:
N sen60o - 30 0.69282 -0.25( ) = 0.08(-34.461) \ N =12.140 N
Substituindo aq e N na equação 2( ) para obter F:
F -12.140cos60o = 0.08 20( ) \ F = 7.65 N
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 22
Problema 14.56
O engradado de 50 kg é puxado para
cima numa rampa de 30°, por meio
de um sistema de polias e de um
motor . O engradado parte do repouso
e, com aceleração constante, atinge
uma velocidade de 4 m/s após u
M
m
deslocamento de 8 m ao longo do plano.
Determine a potência que deve ser
fornecida ao motor no instante em que
essa velocidade é atingida. Despreze
o atrito ao longo do plano e considere
que o motor tem rendimento 0.74.
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Problema 14.56 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético:
T
T
PN
030
a
50 kg
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Problema 14.56 - Solução
2
2
0 0
2 2
0
2
2
0
Cálculo da aceleração:
4 0 2 8 0 16 16
Tempo de duração do movimento (para mostrar no WM)
1 m/s
4
:
2
2
18 0
( )
2
s
c
a a
atx x v t
v
t
v s
t
s
a
a
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 25
Problema 14.56 - Solução
Equação de Movimento:
2 sen 30 50 1
2 50 9.8066 0.
147.5
5 5
N
0
8
1
T P
T
F a
T
m
2T
PN
030
a
50 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 26
Problema 14.56 - Solução
2
Sistema de polias:
2
2
2 4
8 m/s
2 m s
2
/
2
1
P M
P M
M
P M
M
M
M
S S
v v
v
a a
a
v
a
l
PSMS
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 27
Problema 14.56 - Solução
Potência de saida:
147.58 8
Potência de entrada:
16001180.6
1180
W 0.74
.6 W
ii
i
P
P Fv
P
P
P
P
Tv
P
P
P
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Problema 14.72
A menina tem massa de 40 kg e centro de massa , como indicado na figura.
Se o desvio máximo em seu movimento oscilatório é de 60 ,determine a força
desenvolvida ao longo de cada um dos quatro supor
G
tes, tal como o suporte , no
instante em que 0 . O movimento é simétrico relativamente aos suportes.
AB
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Problema 14.72 – Solução
2m
0=0
Diagrama de corpo livre e cinético:
2T
P
v
na
ta
n
t40 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 30
Problema 14.72 – Solução
60
60
2
0 0
0
1 1 2 2
60 60 0 0
2
0
0
0
60
0
2
0 0
0
Cálculo da velocidade quando 0 :
Para 60
0
392.26
1
2
:
40 9.8066 2cos 60
Para 0 :
140 2
2
0 0
0
04
T V T V
T V T V
T
T
V
T
mv
V
V
T v
V V
Wy
v
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Problema 14.72 – Solução
60 60 0
0
2
0
0
0
Cálculo da velocidade quando 0 :
0 392.26
4.
2
4287 m
0
s
0
/
T V T V
v
v
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 32
Problema 14.72 - Solução
2
2
2
Equação de Movimento:
2 402
2 40 9.8066 20 4.42
392.27 N
87
n n
n
F ma
va
r
T
vT P
T
2T
P
v
na
ta
n
t40 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 33
Problema 14.72 - Solução
30
Força em cada suporte do balanço :
2 cos30 0
2 0.86
0
603 392.27 0
226 N
yF
F
F
F T
F
30
F FT
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Problema 17.30
O mecanismo de elevação tem massa de 70 kg e
centro de massa em . Determine a máxima
aceleração para cima, da bobina de 120 kg,
de forma que nenhuma reação das rodas sobre o
piso exceda 600 N. O carregam
G
ento é simétrico.
Despreze a massa do braço móvel .CD
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Problema 17.30 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético:
2 AN
BP
a
MP
2 BN
120
kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 36
2 AN
BP
a
MP
2 BN
Problema 17.30 - Solução
600
Equ
N
ação de Movimento:
2 2 120
Supondo :
2 600 2 120 9.8066 70 9.8066 120
60 331.63 (1)
A
A B B M
B
B
N N P PF m a
N a
N
a
N
a
120
kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 37
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
PyPxPP αIamxamyM
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 38
2 AN
BP
a
MP
2 BN
Problema 17.30 - Solução
223.9 3.96 m/
60 331.63 (1)
Equação de movimento de Momentos:
2 600 1.25 0.7 0.5 120 0.7
1500 120 9.8066 0.7 70 9.8066 0.5 84
Substitu
645 m/s
indo em
s
(1
B
B k B
B M
P k BP yM M x
a
N a
M
P P a
a
a
a
a
m
M M
):
60 3.9645 331.63
Como é menor do que 600 N,
então o res
569.5
ultado é váli
N
do.
B
B
BNN
N
120
kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 39
Problema 17.79
1
A roda tem massa de 25 kg e raio de giração
0.15 m. Ela está girando inicialmente
com velocidade angular 40 rad/s. Se a
roda é então posta no solo, para o qual o
coeficiente de atrito cinético é
b
c
k
0.5,
determine o tempo necessário para cessar
o movimento. Quais são os componentes
horizontal e vertical da reação que o pino
exerce em durante esse tempo?
Despreze a massa de .
A AB
AB
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 40
Problema 17.79 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético:
Observar que a barra
é um elemento de duas
forças, portanto a reação
em , representada por
está na direção de .A
AB
A
F AB
CF
xA P
CN
yA
AF
25 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 41
17.1 Momento de Inércia
Raio de Giração
2 ou I mkI
km
Observe-se a semelhança com a equação do
diferencial do momento de inércia:
dmrdI 2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 42
17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
Equações de Movimento:
x G x
y G y
G G
P k P
m a
m a
M αI
M
F
F
M
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 43
Problema 17.79 - Solução
CF
xA P
CN
yA
AF
Equações de Movimento:
425 0 5 0.5 4 0
5
2.5 4 0 (1)
325 0 5 3 5 25 9.8066 0
5
5 3 1225.8 (2)
Resolvendo
111.44
(
N
1) e (2):
e 178.30 N
C A C A
C A
C A C A
C A
x G x
y G
A C
y
F F N F
N F
N F P N F
m
N
m
F N
F
a
a
F
F
25 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 44
Problema 17.79 - Solução
CF
xA P
CN
yA
AF
2 2
2
2 25 0.15
Equação de movimento de momento:
0.2 0.5625
0.5 178.30 0.2 0.5625
4 4111.44
5 5
3 3111.
89.2 N
66.
0.5625 kg.m
31.698 rad/s
44
95
5
N
G G B B
x
y
C
x A
y A
I mk
M α
A
A
I
F
A F
A F
I
I
M αI
25 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 45
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento Angular
0
2
0 0
2 2
0 0
1
2
2
C
C
C
C
t
t t
Aceleração Angular Constante:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 46
Problema 17.79 - Solução
CF
xA P
CN
yA
AF
2
0
31.698 rad/s
0 40 31.698
1.26 s
C
t
t
t
25 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 47
Problema 17.102
O cortador de grama mostrado na figura tem uma massa de 80 kg e um raio de giração k = 0,175 m. Se ele é empurrado para frente com uma força de 200 N quando sua haste está a 45º com a horizontal, determine sua aceleração angular. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o solo e o cortador são e = 0.12 e d = 0.1, respectivamente.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 48
Problema 17.102 - Solução
Cálculos preliminares
29.81 m/sg
P mg
80 9.81P
784.8 NP
, sen45º 200x yF
, 141.42 Nx yF
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 49
Problema 17.102 - Solução
Diagrama de corpo livre
80 kg
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 50
Problema 17.102 - Solução
Calculando o momento de inércia de massa
2
gI mk
2
80 0.175gI
22.45 kg.mgI
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 51
Problema 17.102 - Solução
Equações de movimento
x gxF ma 141.42 80a gF a
y gyF ma 141.42 784.8 0aN
0.2 2.45aF g gM I
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 52
Problema 17.102 - Solução
A 4ª equação
Utiliza-se a hipótese de que a roda anda sem deslizamento, apenas girando.
Testa-se mais tarde se é verdadeira ou não.
Assim sendo utiliza-se:
ga r
0.2ga
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 53
Problema 17.102 - Solução
Resolvendo-se as 4 equações
Na
= 926.22 N
Fa
= 61.324 N
ag
=1.0012 m/s2
a = 5.006 rad/s2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 54
Problema 17.102 - Solução
Teste para confirmar o resultado
Para ter certeza de que a roda não desliza ao mesmo tempo que
gira utiliza-se a equação:
a d aF N
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 55
Problema 17.102 - Solução
Testando
61.324 £ 0.1 926.22( )61.324 £ 92.622
Conclui-se que os resultados obtidos são verdadeiros
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 56
Problema 17.102 - Solução
Resultados finais
Na
= 926.22 N
Fa
= 61.324 N
ag
=1.0012 m/s2
a = 5.006 rad/s2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 57
Problema 17.102 - Solução
Calculando coeficiente de atrito para que o cortador não apenas gire, mas também deslize
Fa ³ meNa
61.324 ³ me 925.42( )
me £ 0, 0663
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 58
Problema 17.102 - Solução
Com o fato da roda deslizar e não apenas rolar, descarta-se a 4º equação, utilizada anteriormente, e usa-se outra
Fa = mdNa
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 59
Problema 17.102 - Solução
Considerando e=0,065 (<0,0663) e d=0,06 calculam-se as 4 equações
Na = 925.42N
Fa = 55.53N
ag =1.07 m/s2
a = 4.53 rad/s2