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MECÂNICA - DINÂMICA Exercícios Cap. 13, 14 e 17

Dinâmica cap17d

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Page 1: Dinâmica cap17d

MECÂNICA - DINÂMICA

Exercícios

Cap. 13, 14 e 17

Page 2: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90

O pino de 5 lb é guiado ao longo de uma

trajetória circular usando-se uma barra com

uma fenda. A barra tem velocidade angular

q = 4 rad/s e aceleração angular q = 8 rad/s2

no instante em que q = 30o. Determine a

força da barra sobre o pino. O movimento

se dá num plano horizontal.

Page 3: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

Massa da carga:

m =5

32.174

æ

èç

ö

ø÷ = 0.15540 slugs

Page 4: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético do pino:

r

a

ra

N

F0.15540 slugs

Page 5: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético do pino

Observações importantes:

N está na direção do raio da fenda circular e não

na direção do raio da barra.

F é perpendicular à barra e não tangente à fenda circular.

Page 6: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético do pino:

r a

ra

N

F0.50.5

r

0.15540 slugs

Page 7: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

r a

ra

N

F0.50.5

r

Equações de Movimento:

SFr=ma

r

-N cosq = 0.15540ar 1( )

SFq

=maq

F - N senq = 0.15540aq 2( )

0.15540 slugs

Page 8: Dinâmica cap17d

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16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo

Movimento do Ponto P

Aceleração:

a = arur+ a

qu

q

onde

ar= r - r q 2

aq

= r q + 2r q

Aula 6

Page 9: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

Fórmula do Ângulo :

0.5cos2

cos ft

r

r

r

0.5

0.5

r

/ 2r

Page 10: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

r = cosq ft

Derivadas temporais de r e q:

q = 4 rad/s r = -sinq q( ) ft/s

q = 8 rad/s2 r = -cosq q( )2

- sinq q( ) ft/s2

Para q = 300:

r = cos300 ft\r = 0.86602 ft

r = -sin300 4( )\r = -2.0000 ft/s

r = -cos300 4( )2

- sin300 8( )\r = -17.856 ft/s2

Page 11: Dinâmica cap17d

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Problema 13.90 - Solução

Substituindo as derivadas temporais, para obter ar e a

q:

ar= r - r q 2 \ a

r= -17.856 -0.86602 4( )

2

\ ar= -31.713 pés/s2

aq

= r q + 2r q \ aq

= 0.86602 8( ) + 2 -2( )4 \ aq

= -9.0718 pés/s2

Substituindo ar e q=30o na equação 1( ) para obter N:

-N cos30o = 0.15540(-31.713) \ N = 5.6906 lb

Substituindo aq e N na equação 2( ) para obter F:

F -5.6906sen30o = 0.15540 -9.0718( ) \ F =1.44 lb

Page 12: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97

A pequena esfera de 80 g está presa a um

elástico que se estende de O a P e devido à

fenda na barra move-se ao longo da

trajetória horizontal r = 0.8senq m. Se o

elástico tem rigidez k = 30 N/m e comprimento

quando não deformado de 0.25 m, determine

a força da barra sobre a esfera quando q = 600.

A barra tem velocidade angular constante

q = 5 rad/s.

Page 13: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético da esfera:

r

a ra

N

SF

F80 g

Page 14: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético da esfera

Observações importantes:

N está na direção do raio do círculo e não

na direção do raio da barra.

F é perpendicular à barra e não tangente ao círculo.

Page 15: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97 - Solução

Diagrama de corpo livre da esfera:

r

a ra

N

SF

F

0.4090

0.4090

r

80 g

Page 16: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97 - Solução

0

0

Equações de Movimento:

cos 90 0.08

sen 30 0.25 0.08 1

sen 90 0.08

cos 0.08 2

r r

S r

r

F ma

F m

N F a

N r a

F N a

F N a

a

r

a ra

N

SF

F

0.4090

0.4090

r80 g

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16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo

Movimento do Ponto P

Aceleração:

a = arur+ a

qu

q

onde

ar= r - r q 2

aq

= r q + 2r q

Aula 6

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Problema 13.97 - Solução

0

Fórmula do Ângulo :

0.4cos 902

0.4sen

0.8sen f

2

t

r

r

r

r

0.4090

0.4090

r

/ 2r

Page 19: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97 - Solução

r = 0.8senq ft

Derivadas temporais de r e q:

q = 5 rad/s

q = 0 rad/s2

r = 0.8cosq q( ) m/s

Como q é nulo, pode-se substituir o valor de q em r

para calcular a segunda derivada:

r = 4cosq m/s

r = -4sinq q( ) m/s2 \r = -20sinq m/s2

Page 20: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97 - Solução

q = 5 rad/s

q = 0 rad/s2

r = 0.8senq m

r = 4cosq m/s;

r = -20senq m/s2

Para q = 600:

r = 0.8sen600 \r = 0.69282 m

r = 4cos600 \r = 2.0000 m/s

r = -20sen600 \r = -17.321 m/s2

Page 21: Dinâmica cap17d

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Problema 13.97 - Solução

Substituindo as derivadas temporais, para obter ar e a

q:

ar= r - r q 2 \ a

r= -17.321- 0.69282 5( )

2

\ ar= -34.641 m/s2

aq

= r q + 2r q \ aq

= 0.69282 0( ) + 2 2( )5 \ aq

= 20 m/s2

Substituindo ar e q=60o na equação 1( ) para obter N:

N sen60o - 30 0.69282 -0.25( ) = 0.08(-34.461) \ N =12.140 N

Substituindo aq e N na equação 2( ) para obter F:

F -12.140cos60o = 0.08 20( ) \ F = 7.65 N

Page 22: Dinâmica cap17d

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Problema 14.56

O engradado de 50 kg é puxado para

cima numa rampa de 30°, por meio

de um sistema de polias e de um

motor . O engradado parte do repouso

e, com aceleração constante, atinge

uma velocidade de 4 m/s após u

M

m

deslocamento de 8 m ao longo do plano.

Determine a potência que deve ser

fornecida ao motor no instante em que

essa velocidade é atingida. Despreze

o atrito ao longo do plano e considere

que o motor tem rendimento 0.74.

Page 23: Dinâmica cap17d

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Problema 14.56 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético:

T

T

PN

030

a

50 kg

Page 24: Dinâmica cap17d

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Problema 14.56 - Solução

2

2

0 0

2 2

0

2

2

0

Cálculo da aceleração:

4 0 2 8 0 16 16

Tempo de duração do movimento (para mostrar no WM)

1 m/s

4

:

2

2

18 0

( )

2

s

c

a a

atx x v t

v

t

v s

t

s

a

a

Page 25: Dinâmica cap17d

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Problema 14.56 - Solução

Equação de Movimento:

2 sen 30 50 1

2 50 9.8066 0.

147.5

5 5

N

0

8

1

T P

T

F a

T

m

2T

PN

030

a

50 kg

Page 26: Dinâmica cap17d

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Problema 14.56 - Solução

2

Sistema de polias:

2

2

2 4

8 m/s

2 m s

2

/

2

1

P M

P M

M

P M

M

M

M

S S

v v

v

a a

a

v

a

l

PSMS

Page 27: Dinâmica cap17d

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Problema 14.56 - Solução

Potência de saida:

147.58 8

Potência de entrada:

16001180.6

1180

W 0.74

.6 W

ii

i

P

P Fv

P

P

P

P

Tv

P

P

P

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Problema 14.72

A menina tem massa de 40 kg e centro de massa , como indicado na figura.

Se o desvio máximo em seu movimento oscilatório é de 60 ,determine a força

desenvolvida ao longo de cada um dos quatro supor

G

tes, tal como o suporte , no

instante em que 0 . O movimento é simétrico relativamente aos suportes.

AB

Page 29: Dinâmica cap17d

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Problema 14.72 – Solução

2m

0=0

Diagrama de corpo livre e cinético:

2T

P

v

na

ta

n

t40 kg

Page 30: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 30

Problema 14.72 – Solução

60

60

2

0 0

0

1 1 2 2

60 60 0 0

2

0

0

0

60

0

2

0 0

0

Cálculo da velocidade quando 0 :

Para 60

0

392.26

1

2

:

40 9.8066 2cos 60

Para 0 :

140 2

2

0 0

0

04

T V T V

T V T V

T

T

V

T

mv

V

V

T v

V V

Wy

v

Page 31: Dinâmica cap17d

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Problema 14.72 – Solução

60 60 0

0

2

0

0

0

Cálculo da velocidade quando 0 :

0 392.26

4.

2

4287 m

0

s

0

/

T V T V

v

v

Page 32: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 32

Problema 14.72 - Solução

2

2

2

Equação de Movimento:

2 402

2 40 9.8066 20 4.42

392.27 N

87

n n

n

F ma

va

r

T

vT P

T

2T

P

v

na

ta

n

t40 kg

Page 33: Dinâmica cap17d

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Problema 14.72 - Solução

30

Força em cada suporte do balanço :

2 cos30 0

2 0.86

0

603 392.27 0

226 N

yF

F

F

F T

F

30

F FT

Page 34: Dinâmica cap17d

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Problema 17.30

O mecanismo de elevação tem massa de 70 kg e

centro de massa em . Determine a máxima

aceleração para cima, da bobina de 120 kg,

de forma que nenhuma reação das rodas sobre o

piso exceda 600 N. O carregam

G

ento é simétrico.

Despreze a massa do braço móvel .CD

Page 35: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 35

Problema 17.30 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético:

2 AN

BP

a

MP

2 BN

120

kg

Page 36: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 36

2 AN

BP

a

MP

2 BN

Problema 17.30 - Solução

600

Equ

N

ação de Movimento:

2 2 120

Supondo :

2 600 2 120 9.8066 70 9.8066 120

60 331.63 (1)

A

A B B M

B

B

N N P PF m a

N a

N

a

N

a

120

kg

Page 37: Dinâmica cap17d

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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano

Equação do Movimento de Rotação:

PyPxPP αIamxamyM

Page 38: Dinâmica cap17d

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2 AN

BP

a

MP

2 BN

Problema 17.30 - Solução

223.9 3.96 m/

60 331.63 (1)

Equação de movimento de Momentos:

2 600 1.25 0.7 0.5 120 0.7

1500 120 9.8066 0.7 70 9.8066 0.5 84

Substitu

645 m/s

indo em

s

(1

B

B k B

B M

P k BP yM M x

a

N a

M

P P a

a

a

a

a

m

M M

):

60 3.9645 331.63

Como é menor do que 600 N,

então o res

569.5

ultado é váli

N

do.

B

B

BNN

N

120

kg

Page 39: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 39

Problema 17.79

1

A roda tem massa de 25 kg e raio de giração

0.15 m. Ela está girando inicialmente

com velocidade angular 40 rad/s. Se a

roda é então posta no solo, para o qual o

coeficiente de atrito cinético é

b

c

k

0.5,

determine o tempo necessário para cessar

o movimento. Quais são os componentes

horizontal e vertical da reação que o pino

exerce em durante esse tempo?

Despreze a massa de .

A AB

AB

Page 40: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 40

Problema 17.79 - Solução

Diagrama de corpo livre e cinético:

Observar que a barra

é um elemento de duas

forças, portanto a reação

em , representada por

está na direção de .A

AB

A

F AB

CF

xA P

CN

yA

AF

25 kg

Page 41: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 41

17.1 Momento de Inércia

Raio de Giração

2 ou I mkI

km

Observe-se a semelhança com a equação do

diferencial do momento de inércia:

dmrdI 2

Page 42: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 42

17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral

Equações de Movimento:

x G x

y G y

G G

P k P

m a

m a

M αI

M

F

F

M

Page 43: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 43

Problema 17.79 - Solução

CF

xA P

CN

yA

AF

Equações de Movimento:

425 0 5 0.5 4 0

5

2.5 4 0 (1)

325 0 5 3 5 25 9.8066 0

5

5 3 1225.8 (2)

Resolvendo

111.44

(

N

1) e (2):

e 178.30 N

C A C A

C A

C A C A

C A

x G x

y G

A C

y

F F N F

N F

N F P N F

m

N

m

F N

F

a

a

F

F

25 kg

Page 44: Dinâmica cap17d

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 44

Problema 17.79 - Solução

CF

xA P

CN

yA

AF

2 2

2

2 25 0.15

Equação de movimento de momento:

0.2 0.5625

0.5 178.30 0.2 0.5625

4 4111.44

5 5

3 3111.

89.2 N

66.

0.5625 kg.m

31.698 rad/s

44

95

5

N

G G B B

x

y

C

x A

y A

I mk

M α

A

A

I

F

A F

A F

I

I

M αI

25 kg

Page 45: Dinâmica cap17d

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16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo

Movimento Angular

0

2

0 0

2 2

0 0

1

2

2

C

C

C

C

t

t t

Aceleração Angular Constante:

Page 46: Dinâmica cap17d

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Problema 17.79 - Solução

CF

xA P

CN

yA

AF

2

0

31.698 rad/s

0 40 31.698

1.26 s

C

t

t

t

25 kg

Page 47: Dinâmica cap17d

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Problema 17.102

O cortador de grama mostrado na figura tem uma massa de 80 kg e um raio de giração k = 0,175 m. Se ele é empurrado para frente com uma força de 200 N quando sua haste está a 45º com a horizontal, determine sua aceleração angular. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o solo e o cortador são e = 0.12 e d = 0.1, respectivamente.

Page 48: Dinâmica cap17d

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Problema 17.102 - Solução

Cálculos preliminares

29.81 m/sg

P mg

80 9.81P

784.8 NP

, sen45º 200x yF

, 141.42 Nx yF

Page 49: Dinâmica cap17d

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Problema 17.102 - Solução

Diagrama de corpo livre

80 kg

Page 50: Dinâmica cap17d

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Problema 17.102 - Solução

Calculando o momento de inércia de massa

2

gI mk

2

80 0.175gI

22.45 kg.mgI

Page 51: Dinâmica cap17d

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Problema 17.102 - Solução

Equações de movimento

x gxF ma 141.42 80a gF a

y gyF ma 141.42 784.8 0aN

0.2 2.45aF g gM I

Page 52: Dinâmica cap17d

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Problema 17.102 - Solução

A 4ª equação

Utiliza-se a hipótese de que a roda anda sem deslizamento, apenas girando.

Testa-se mais tarde se é verdadeira ou não.

Assim sendo utiliza-se:

ga r

0.2ga

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Problema 17.102 - Solução

Resolvendo-se as 4 equações

Na

= 926.22 N

Fa

= 61.324 N

ag

=1.0012 m/s2

a = 5.006 rad/s2

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Problema 17.102 - Solução

Teste para confirmar o resultado

Para ter certeza de que a roda não desliza ao mesmo tempo que

gira utiliza-se a equação:

a d aF N

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Problema 17.102 - Solução

Testando

61.324 £ 0.1 926.22( )61.324 £ 92.622

Conclui-se que os resultados obtidos são verdadeiros

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Problema 17.102 - Solução

Resultados finais

Na

= 926.22 N

Fa

= 61.324 N

ag

=1.0012 m/s2

a = 5.006 rad/s2

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Problema 17.102 - Solução

Calculando coeficiente de atrito para que o cortador não apenas gire, mas também deslize

Fa ³ meNa

61.324 ³ me 925.42( )

me £ 0, 0663

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Problema 17.102 - Solução

Com o fato da roda deslizar e não apenas rolar, descarta-se a 4º equação, utilizada anteriormente, e usa-se outra

Fa = mdNa

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Problema 17.102 - Solução

Considerando e=0,065 (<0,0663) e d=0,06 calculam-se as 4 equações

Na = 925.42N

Fa = 55.53N

ag =1.07 m/s2

a = 4.53 rad/s2