PROJETO AUXILIADO POR COMPUTADOR II

PROGRAMA

1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

1.1. O que é Elementos Finitos.

2. CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1. Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

2.2. Idealização de Sistemas – Modelos Discretizados;

2.3. MEF – Sistema Discreto Padrão;

2.4. Tipos de Modelos Discretizados;

2.5. Matriz de Rigidez de um Elemento.

2.6. Leis Fundamentais – Matriz de Rigidez da Estrutura

3. ELEMENTOS UTILIZADOS NA DISCRETIZAÇÃO:

3.1. Mola;

3.2. Treliça;

3.3. Viga;

3.4. Casca;

3.5. Solido.

4. MALHA DE ELEMENTOS FINITOS:

4.1. Degeneração;

4.2. Convergência.

PROJETO AUXILIADO POR COMPUTADOR II

PROGRAMA

5. ANÁLISE CAE (COSMOSWorks):

5.1. Elementos Unidimensionais;

5.2. Elementos Bidimensionais;

5.3. Elementos Tridimensionais;

6. ANÁLISE DINÂMICA por ELEMENTOS FINITOS:

6.1. Estudo de Frequência;

6.2. Formas Modais e Efeitos da Carga;

6.3. Análise com Cargas Dinâmicas.

7. ANALISES:

7.1. Estudo de Flambagem;

7.2. Estudo Térmico;

7.3. Estudo de Impacto.

7.4. Estudo de Fadiga.

7.5. Extensometria.

BIBLIOGRAFIA INDICADA

- ALVES FILHO, Avelino. Elementos finitos: a base da tecnologia CAE : análise dinâmica. São Paulo:

Érica, 2005. 301 p.

- AGOSTINHO, A. L., et al. Tolerâncias, ajustes, desvios e análise de dimensões. São Paulo: Edgar

Blücher, 1995.

- MELCONIAN, Sarkis. Elementos de maquinas. 5. ed. São Paulo: Érica, 2004. 358 p.

LEITURA COMPLEMENTAR

- BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell; PEREIRA, Celso Pinto Morais. Resistencia dos

materiais. 3. ed. São Paulo: Makron, 1995-19961255 p.

- FIALHO, Arivelto Bustamante. COSMOS Plataforma CAE do SolidWorks 2008, 1ª. Ed. São Paulo –Editora Érica Ltda 2008.

CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO

N1 – 04/10/2011 – 1º avaliação individual sendo realizada em sala de aula;

N2 – 22/11/2011 – 2º avaliação individual sendo realizada no computador;

N3 – 13/12/2011 – 3º avaliação individual sendo realizada no computador;

MS – média do semestre;

A média do semestre (MS) será calculada pela média aritmética das duas maiores notas

entre N1, N2 e N3.

Para que o aluno seja aprovado: MS > 6,0 - Se MS < 6,0 o aluno será reprovado.

A avaliação N3 tem caráter supletivo e/ou substitutivo podendo ou não ser realizada pelo

aluno a fim de substituir N1 ou N2 na composição de MS.

1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

1.1. O que é Elementos Finitos.

O Método dos Elementos Finitos (MEF) ou Finite Element Method (FEM).

- É uma técnica para resolver equações diferenciais parciais.

Equação de Poisson,

Equação de Laplace,

Equação de Helmholtz,

Equação de Navier- Stokes, etc...

Devido às suas características de flexibilidade e estabilidade numérica, ele pode ser

implementado na forma de um sistema computacional de forma consistente e sistemática,

fato que explica a sua grande popularidade nos dias atuais.

Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento foi dado pela indústria

aeroespacial, onde o método vem tendo larga aplicação desde os anos 50, sendo

utilizado, entre outros, para o projeto e análise de estruturas complexas de aeronaves,

as quais certamente não poderiam ser analisadas e projetadas de forma segura usando-

se apenas técnicas tradicionais analíticas.

1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

Aplicações:

Entre as áreas que usam o MEF em projeto e análise se destacam:

- Estruturas oceânicas e navios.

- Veículos rodoviários e ferroviários.

- Hidrogeradores.

- Estruturas aeroespaciais e aviões.

- Mecânica estrutural.

- Mecânica dos fluídos computacional.

- Condução de calor.

-Eletromagnetismo.

O MEF envolve ferramentas matemáticas das mais simples (envolvendo algebra vetorial)

até as mais avançadas (como teoremas integrais), o uso de pacotes comercias, como o

COSMOSWORKS, para análise é muito corriqueiro.

Deve ficar claro que um engenheiro que não sabe modelar um problema via MEF sem o

computador não saberá como proceder tendo uma máquina e os mais avançados dos

programas. As facilidades gráficas de ferramentas CAD, CAE, CAM traz a sensação que

basta "decorar"meia dúzia de comandos para se dizer especialista em MEF. Porém, isto é

um conceito errado.

1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

Etapas de solução usando MEF:

O FEM é um procedimento bem metódico dividido em várias etapas:

-Desenvolvimento das equações do elemento.

-Discretização do domínio de solução dentro de uma malha de elementos finitos.

-Montagem das equações do elemento.

-Introdução das condições de contorno (restrições físicas e geométricas).

-Solução para os nós desconhecidos.

-Cálculo da solução e das quantidades (grandezas) em cada elemento.

1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

Etapas de soluçãousandoMEF:

Soluções dos problemas de análise estrutural em engenharia.

Problema real(Estrutura a ser analisada)

Modelo para análise

(Representação da estrutura

que se possa analisá-la) A viga foi idealizada como bi apoiada, pois os vínculos

permitem rotação nas extremidades; caso contrário, teríamos viga bi engastada.

Equações de Equilíbrio aplicáveis ao modelo

(Relações matemáticas conhecidas do Estudo da

Mecânica que traduzem um dado comportamento físico)

Equilíbrio de Forças: ∑Forças = 0 → ∑Fy = 0

R1 + R2 – q.L = 0Equilíbrio de Momentos: ∑Momentos = 0

R1.L = q.L.(L/2)

Solução das Equações de Equilibrio

(Manipulação matemática das equações para determinação

das incógnitas e Estudo de Resistência Interna da Estrutura –

Deslocamentos, Deformações e Tensões).

Interpretação dos Resultados

(Análise dos resultados em função das expectativas do

Modelo Proposto e Verificação da Coerência do Modelo com

o problema real).

Reações: R1 = q.L / 2; R2 = q.L / 2

Momento Fletor: Mx = (q.L/2).x – q.x.(x/2)Força Cortante: Qx = (q.L/2) – q.x

Deslocamentos: ∆x = (q.x/24E.I).(L3-2L.x2 + x3)

1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

A “solução pronta” do problema encontradas nos livros de Resistências dos Materiais,

é produto do tratamento matemático clássico baseado no estudo das Equações

Diferenciais, que descrevem o equilíbrio da estrutura. Há outros problemas, tais como:

- Teoria das Vigas.

- Teoria Geral de Placas e Cascas;

- Teoria Matemática da Elasticidade (estuda o comportamento dos sólidos

deformáveis).

Métodos Analíticos Clássicos

Permite o Cálculo da Resposta Exata dos Deslocamentos, Deformações e Tensões na

estrutura em todos os seus pontos. (infinitos pontos), porém essas soluções são

conhecidas para alguns casos.

Métodos dos Elementos Finitos

Procedimentos aproximados aplicados em caráter geral, independente da forma da

estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão aceitável do problema

de engenharia.

Estruturas com Geometria,

Carregamento e Condição

de Apoio Simples.

Estruturas Complexas

Solução Exata

Solução Aproximada

Método dos

Elementos

Finitos

ALTERNATIVAS PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ESTRUTURAIS

Equação Diferencial

Teoria das Placas

Solução da Equação

Diferencial

Solução

Exata

ALTERNATIVA

Método

Numérico

Método dos

Elementos

Finitos

Solução Exata Impossível

Nos trabalhos que envolvem

ANÁLISE PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Por intermédio de Técnicas Numéricas, como o Método dos

Elementos Finitos, pode-se determina o comportamentoestrutural de componentes com formas complexas, utilizando‘softwares’ de análise. Os programas requerem o

conhecimento das propriedades dos componentes(espessuras, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson,

densidade de massa, etc.). O carregamento atuante (Forças,Pressão, Cargas gravitacionais) e as fixações da estrutura.Pode-se determinar as regiões mais solicitadas do

componente, estabelecendo-se previsões a respeito do seucomportamento.

Assim podemos fazer as devidas correções no âmbito dodesenvolvimento do projeto, evitando gastos excessivos emferramental, inerentes à execução de projetos desenvolvidos

pelo processo de Tentativae Erros.

O uso do Método dos Elementos Finitos revela-se

como um grande diferencial, reduzindo os prazos e enxugando os custos.

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Para se aplicar MEF é necessária uma base sólida em procedimentos matemáticos que

vão dos mais simples, como manipulação de matrizes, até os mais avançados,

envolvendo por exemplo teoremas de cálculo vetorial.

- Uma grandeza vetorial, como uma força, deslocamento, fluxo, etc. é necessário se

definir três componentes: módulo, direção e sentido.

- Um vetor a pode ser descrito em coordenadas cartesianas em função de vetores

unitários (i, j, k):

- A idéia básica do cálculo vetorial é considerar cada ponto no espaço como uma função

vetorial, o que forma um campo vetorial.

-Um campo vetorial pode ser um deslocamento, fluxo de um fluído, força

gravitacional ou eletromagnética, etc.

- O campo escalar significa associar cada ponto no espaço com um funcional escalar.

- Um exemplo de campo escalar é um campo de temperatura em um ponto no espaço,

campo de pressão, etc.

- O operador diferencial (del) é muito usado para definir operações matemáticas

fundamentais em campos escalares e vetoriais).

- O operador diferencial é dado por:

representa um operador diferencial de 1ª. ordem.

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

- Um operador de 2ª. ordem é conhecido como Laplaciano e dado por:

- O operador é usado para definir três operações básicas envolvendo campos

escalares e vetoriais:

- Gradiente;

- Divergente;

- Rotacional.

Estas operações são usadas na definição de teoremas fundamentais de integrais de

vetores tais como o Teorema da Divergência e o Teorema de Green-Gauss. Estes dois

teoremas são a base matemática para compreender o método de Galerkin, que por sua

vez é uma das bases fundamentais de MEF.

Produto vetorial

O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido por:

O resultado da operação de produtor vetorial é um vetor

perpendicular ao plano onde estão contidos os vetores a e

b. Note que i x i = 0 e que i x j = k. Importante observar que

i x j ≠ j x i.

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Gradiente

O gradiente de uma função escalar ϕ(x; y; z)1 é dado por:

Note que o resultado do gradiente é um

vetor. Esta operação representa uma

diferença entre níveis de um campo

escalar, representando a variação de uma

grandeza escalar por unidade de espaço.

O significado físico pode ser interpretado como a diferença de temperatura nas faces de

um bloco.

Divergente

O divergente já é uma operação envolvendo um campo vetorial dado por uma função

vetorial do tipo a(x; y; z)2 e calculado por:

O que leva a seguinte expressão:

Note que . a = a . uma vez que o operador deve agir sobre a.

O divergente pode ser interpretado como um escalar que mostra, se um campo vetorial

está se expandindo ("fonte") ou comprimindo ("ralo"). É uma medida de magnitude da

dispersão de um campo vetorial.

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Rotacional

O rotacional representa um vetor resultante entre o produto vetorial envolvendo o

operador diferencial r e um campo vetorial a(x; y; z). Seu resultado pode ser escrito na

forma de um tensor cartesiano. Esta operação é calculada da seguinte forma:

O rotacional tem este nome pois esta operação representa uma transformação linear de

coordenadas (rotação) do campo vetorial a(x; y; z) que visa observar suas características

nestas novas coordenadas.

Teorema da divergência

O Teorema da divergência é definido como:

sendo V um volume, uma superfície de área S e n um vetor ortonormal à esta

superfície S. O teorema da divergência relaciona o divergente total de um campo vetorial

a em um volume V com o fluxo total deste campo vetorial atravessando uma superfície S.

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Teorema de Green-Gauss

Muitos problemas de engenharia podem ser escritos em uma forma unidimensional e

considerando as derivadas de funções escalares e com um valor k constante.

Assim:

Aplicando integral de ambos os lados, temos:

(2.1)

Nota-se que o lado esquerdo da eq. acima, forma uma integral perfeita, tem-se que:

(2.2)

Substituindo a eq. (2.2) em (2.1) e rearranjando tem-se:

(2.3)

Considerando que a = β.b, o teorema da divergência, eq. do teorema da divergência ,

pode ser reescrito como:

(2.4)

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Uma vez que . βb = β . b + β . b, tem-se que:

(2.5)

A eq. (2.5) é um resultado clássico do teorema de Green-Gauss. Em MEF a eq. (2.3) é

uma extensão da eq. (2.5) sendo que e são matrizes representando funções de

interpolação (funções aproximadoras) dos elementos empregados em uma discretização.

ÁLGEBRA MATRICIAL USADO NO MEF.

Utilizando a álgebra matricial, as relações entre um grande conjunto de números podem

ser estabelecidas de forma clara e compacta.

Matriz do tipo m x n – formada por m (linhas) e n (colunas) – sujeita a certas regras de

operação.

Genericamente representamos uma matriz indicando cada um de seus elementos por

uma letra com dois índices:

- Primeiro índice indica em que linha está o elemento;

- Segundo índice indica em que coluna está o elemento.

Quando a matriz possui o mesmo número de linhas e colunas (m = n), diz-se que ela é

Matriz Quadrada de Ordem n.

Quando a matriz possui apenas uma coluna, é chamada Matriz-Coluna.

Quando a matriz possui apenas uma linha, é chamada Matriz-Linha.

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Desta forma, a matriz K do tipo 3 x 3 pode ser representada da seguinte forma:

Em que:

k11 é o elemento localizado na 1ª. linha e 1ª. coluna.

k23 é o elemento localizado na 2ª. linha e 3ª. coluna.

E de modo geral kij é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna.

De forma compacta, podemos escrever:

[K] = [Kij]3x3

Nos trabalhos que envolvem

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Multiplicação de Matrizes.

Uma das manipulações com matrizes mais utilizadas no Método dos Elementos Finitos é

a Multiplicação de Matrizes.

Multiplicação de uma Matriz por uma Constante

Basta multiplicar cada um dos elementos da matriz por este número.

Multiplicação de uma Matriz por outra Matriz

É possível somente se o n° de colunas da primeira matriz (m x r) for igual ao n° de linhas

da segunda matriz (r x n). O resultado será uma Matriz (m x n).

A Matriz Produto [C] = [A].[B] é obtida da seguinte forma: cada linha da matriz [A] é

multiplicada uma vez e somente uma vez por cada coluna da matriz [B].(Linha 1 por coluna 1) c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31

(Linha 1 por coluna 2) c12=a11.b12+a12.b22+a13.b32

(Linha 2 por coluna 1) c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31

(Linha 2 por coluna 2) c22=a21.b12+a22.b22+a23.b32

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Um caso particular, porém de muita importância nas aplicações do Método dos

Elementos Finitos, é a Multiplicação de uma Matriz Quadrada por uma Matriz Coluna.

* =

Seguindo a regra da Multiplicação de Matrizes e fazendo o produto das linhas pela única

coluna, teremos:

[ K ] . { u } = { f }

Matriz Simétrica

Uma matriz quadrada é dita Simétrica se kij = kji

k11 k12 k13 k14

k21 k22 k23 k24

k31 k32 k33 k34

k41 k42 k43 k44

u1

u2

u3

u4

f1

f2

f3

f4

É interessante observar que a Multiplicação da

matriz K pela matriz coluna u corresponde a umSistema de Equações Algébricas. Inversamente, umamaneira compacta e elegante de representar o

Sistema de Equações é por intermédio da NotaçãoMatricial, separando a Matriz dos Coeficientes da

Matriz coluna que contém as incógnitas a sedeterminar.

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Muitos destas manipulações são triviais, como por exemplo, cálculo de determinante,

mínimo de uma matriz, cofatores, adjuntos, etc.

Outros são mais avançados, como por exemplo, técnicas para inversão de matrizes

visando solucionar sistemas lineares de grande dimensão.

Uma operação usada em MEF se refere a eliminação de linhas e colunas de uma matriz,

que corresponde na prática a aplicação de uma condição de contorno ou restrição no

sistema em estudo. Suponha uma matriz A dada por:

Se uma restrição for imposta de tal forma que a segunda linha e coluna sejam eliminadas

temos uma matriz M22 dada por:

Este conceito também é usado para cálculo do cofator Cij :

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Já o adjunto de uma matriz é

Uma aplicação comum em MEF é ter que resolver sistemas lineares do tipo:

Onde o vetor x representa as incógnitas do problemas que são os graus de liberdade em

cada nó de um elemento (por exemplo, deslocamento), a matriz A os parâmetros

conhecidos representando uma matriz de rigidez e o vetor f representando as fontes ou

forças atuantes. A solução deste problema é feita a partir da inversão da matriz de

rigidez:

Porém este método é ineficiente para solucionar sistemas de grandes equações.

Uma maneira mais efetiva e elegante é propor uma decomposição da matriz de rigidez A,

como por exemplo, o método de eliminação de Gauss.

Exemplo: Use o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema simultâneo de

equações:

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Este sistema de equações pode ser descrito na forma matricial como:

Primeiro é dividido a 1ª. linha por 4 e subtraindo esta nova linha pela 2ª. linha. Na

sequência a nova linha 1 é dividida por 0.5 e subtraída da linha 3. Por fim, a linha 1 é

dividida por -4 e subtraída da linha 4. O resultado é:

Agora neste novo sistema a linha 2 é dividida por 1.5, a nova linha 2 é multiplicada por

-1.25 e subtraída da linha 3. Como um zero já apareceu na linha 4 nenhuma modificação

é exigida. Este resultado é:

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Por fim, a linha 3 é dividida por 5.5. Multiplicando esta nova linha por 3 por -2 é subtraindo

da linha 4:

Agora a solução do sistema é trivial e é dada por: x1 = 0,0794, x2 = -1,0066, x3 = 3,9338 e

x4 =-1,6954.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

É primordial que o engenheiro saiba modelar fisicamente o seu problema com o

conhecimento necessário para construir este sistema de equações diferenciais.

Vale apenas lembrar que a maioria dos problemas de engenharia podem ser escritos

através da equação (para o caso unidimensional):

Sendo (x) um parâmetro do material, C(x) uma fonte externa e A(x) a área da secção

transversal. Se estes parâmetros forem variantes significa que o sistema varia de

elemento a elemento. A forma básica é assumir homogeneidade, assim a eq. acima

torna-se:

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.

Inúmeros métodos analíticos podem ser usados para solucionar este tipo de problema,

como separação de variáveis, coeficientes desconhecidos, transformada de Laplace, etc.

TENSORES CARTESIANOS

Quando se trabalha com MEF envolvendo sistemas complexos, normalmente são encontradas

equações de grande dimensão. Nestes casos a notação de subscritos pode ser útil. Em primeiro lugaré preciso lembrar a definição de tensor. Tensor é uma grandeza que precisa de 9 elementos parapoder ser completamente conhecida. Em alguns casos com 6 elementos é possível descrever um

tensor, como por exemplo, no caso de um estado de tensões, onde as tensões cisalhantes no mesmoplano são iguais. A notação tensorial pode ser usada como forma de propor uma notação compacta

para uma notação vetorial. Um vetordescrito nesta notaçãoé um tensorde primeira ordem.Imagine um vetor f escrito em função do sistema de coordenadas (x; y; z):

Agora em vez do sistema de coordenadas (x; y; z) imagine um equivalente (x1; x2; x3). Neste novo

sistema de coordenadas este vetor é descrito como:

Em uma notação tensorial este vetor pode ser dado por:

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.2 – Idealização de Sistemas – Modelos Discretizados.

As limitações da mente humana são tais que ela não consegue compreender o

comportamento dos sistemas ao seu redor e os fenômenos em uma só operação. É próprio

da mente humana querer subdividir os sistemas em seus componentes individuais, ou

em seus elementos. Assim, surge a ideia de que, a partir do entendimento do comportamento

de cada elemento, é possível entender o comportamento do conjunto por mais complexo que

possa parecer. Esse raciocínio tem implicações também nos métodos matemáticos utilizados

para a descrição do comportamento dos sistemas. Surge então, naturalmente, uma questão

fundamental: como identificar os elementos de um sistema?

2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS

Pretende-se fazer a análise preliminar de uma estrutura de ponte, constituída basicamente

de apoios flutuantes, sobre os quais são montadas plataformas em que se movimenta um

veículo. O primeiro passo corresponde à Idealização da Estrutura, definindo um Modelo de

Cálculo.

Fig. 7

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS

A definição desse modelo passa pelo entendimentodo problema físico a ser simulado.À medida que o veículo se movimenta sobre a

estrutura, os apoios flutuantes sofremafundamento, e quanto maior esse afundamento,

maior a força de empuxo decorrente da águadeslocada pelo bote.Resumidamente, em termos de comportamento

global da plataforma, os botes comportam-secomo apoios elásticos, isto é, como "molas" que

servem de apoio para a estrutura da ponte.A Fig. 7 representa o problema real, que mostra umtrecho de ponte sendo montado, e a Fig. 8 o

esquema oumodelo decálculo.Uma das técnicas de abordagem deste problema

clássico baseia-se na hipótese de que haja umsuporte elástico continuosobre a plataforma.Esta hipótese é considerada adequada do ponto de

vista de engenharia, desde que a distância entre osapoios seja pequena quando comparada ao

comprimento de onda da linha elástica que seforma.Esse tipo de problema é semelhante ao caso da

flexão de um trilho sob a ação da roda de umalocomotiva, em que a distância entre os dormentes

é pequena.Fig. 8

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS

Embora não seja o objetivo discutir a formulação analítica do problema anterior, é importante teceralgumas considerações a respeito do desenvolvimento das soluções propostas para os SISTEMASCONTÍNUOS, e que justificam a busca de uma outra alternativa de cálculo, como o Método dos Elementos

Finitos.

O DIAGRAMADE CORPO LIVRE

O conceito de diagrama de corpo

livre, intensamente utilizado nosproblemas de mecânica, constitui um

poderoso aliado no entendimento doequilíbrio da estrutura e dos seuselementos. A Fig. 9 ilustra esse

conceito. Ao analisarmos o equilíbrioestático ou dinâmico do bloco, nós

o isolamos do resto do sistema,substituindo a ação dos demaiscomponentes sobre o bloco pelas

forças que esses componentesexercemnele.

Assim, focalizamos a atenção apenas no "elemento" alvo de interesse, e justificamos a sua condiçãode equilíbrio.

Fig. 9

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS

EQUILÍBRIO DE UM ELEMENTO DAESTRUTURA

A viga da Fig. 10 está em equilíbrio, portanto cadatrecho dela também está em equilíbrio. Podemos

justificar o equilíbrio de um elemento diferencial decomprimento dx, representando o carregamentoexterno nesse trecho e as forças e momentos que são

trocados com o resto da viga, fazendo também umdiagrama de corpo livre do elemento diferencial.

Como esse diagrama envolve termos diferenciais,como um aumento "muito pequeno" (diferencial) demomento dM e força cortante dQ de uma seção para

outra da viga, as Equações de Equilíbrio e as relaçõesque envolvem momento e curvatura conterão esses

termos diferenciais. Essas equações envolvemderivadas e não relações diretas entre as grandezas,e são, portanto, equações diferenciais. Para resolvê-

las, teremos de submetê-las a um processo deintegração.

Neste exemplo, bem como no exemplo anterior da ponte flutuante, a solução da equação diferencial,embora trabalhosa, é possível por procedimento analítico exato, que em última análise contabiliza oefeito dos infinitos elementos diferenciais. Em resumo, a partir do entendimento do comportamento

de um elemento diferencial, é possível entender o comportamento da viga inteira. Esse tipo desolução analítica, infelizmente não está disponível para a maioria dos problemas práticos, o que leva à

busca de outra estratégia para resolvê-los.

Fig. 10

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS

A abordagem do equilíbrio da estruturapode ser efetuada considerando-a um

Sistema Discreto. A idéia dadiscretização de um sistema contínuo

considera a divisão da estrutura empartes separadas distintas, conectadasentre si nos pontos discretos O, A, B,

C... etc., como mostra a Fig.11.Neste caso, a solução aproximada

simula a estrutura como umamontagem de elementos que têm umcomprimento finito (e não diferencial!).

Assim, o sistema é subdividido em umnúmero finito de partes ou

elementos, sendo que a estruturainteira é modelada por um agregadode estruturas "simples". Os pontos de

conexão entre os elementos sãochamados de nós do modelo.

Fig. 11

LABORATÓRIO

2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS

Estamos diante da questão central do Método dos Elementos Finitos. Em uma primeira abordagem

podemos observarque:

-No sistema discretizado não se pretende calcular os deslocamentos dos infinitos pontos da viga,

como no caso contínuo. São calculados somente os deslocamentos de alguns pontos, que são os nósdo modelo. Porém, julgamos que o número de pontos discretos escolhidos é suficiente para

representar o deslocamento do conjunto inteiro de forma aproximada. A escolha desse númeroconstitui um ponto muito importante no Método dos ElementosFinitos.

- O modo como a estrutura se comporta entre os nós do modelo depende das propriedades atribuídasao elemento escolhido, que representa aquele trecho da estrutura entre os nós. Assim, a partir do

conhecimento dos deslocamentos dos nós, podemos calcular o comportamento interno de cadaelemento. Quanto mais bem especificado for esse comportamento interno, mais a resposta domodelo se aproxima do comportamento real da estrutura. Ou seja, o elemento discreto que representa

um dado trecho da estrutura entre os nós deve ser muito bem definido. A rigor, vamos nos valer davelha ideia matemáticada interpolação tanto utilizada pêlos engenheirosnas suas aplicações.

- Um dos motivos pelo qual o Método dos Elementos Finitos obteve sucesso desde o início de suaformulação até os dias de hoje é que o seu conceito básico, a discretização, produz muitas

equações algébricas simultâneas, que são geradas e resolvidas com o auxílio de computadoresdigitais. Assim, é possível utilizar procedimentos padrão, aplicáveis aos sistemas discretos, que não

envolvem decisões de engenharia durante o procedimento computacional. Todas as decisões sãotomadas pelo analista na etapa de elaboração do modelo, antes de "disparar" a análise, escolhendoo elemento adequado que represente uma dada situação física.