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PROJETO AUXILIADO POR COMPUTADOR II PROGRAMA 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS 1.1. O que é Elementos Finitos. 2. CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO 2.1. Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF. 2.2. Idealização de Sistemas Modelos Discretizados; 2.3. MEF Sistema Discreto Padrão; 2.4. Tipos de Modelos Discretizados; 2.5. Matriz de Rigidez de um Elemento. 2.6. Leis Fundamentais Matriz de Rigidez da Estrutura 3. ELEMENTOS UTILIZADOS NA DISCRETIZAÇÃO: 3.1. Mola; 3.2. Treliça; 3.3. Viga; 3.4. Casca; 3.5. Solido. 4. MALHA DE ELEMENTOS FINITOS: 4.1. Degeneração; 4.2. Convergência.

Elementos finitos 1 a parte

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  • PROJETO AUXILIADO POR COMPUTADOR II

    PROGRAMA

    1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

    1.1. O que Elementos Finitos.

    2. CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1. Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    2.2. Idealizao de Sistemas Modelos Discretizados;

    2.3. MEF Sistema Discreto Padro;

    2.4. Tipos de Modelos Discretizados;

    2.5. Matriz de Rigidez de um Elemento.

    2.6. Leis Fundamentais Matriz de Rigidez da Estrutura

    3. ELEMENTOS UTILIZADOS NA DISCRETIZAO:

    3.1. Mola;

    3.2. Trelia;

    3.3. Viga;

    3.4. Casca;

    3.5. Solido.

    4. MALHA DE ELEMENTOS FINITOS:

    4.1. Degenerao;

    4.2. Convergncia.

  • PROJETO AUXILIADO POR COMPUTADOR II

    PROGRAMA

    5. ANLISE CAE (COSMOSWorks):

    5.1. Elementos Unidimensionais;

    5.2. Elementos Bidimensionais;

    5.3. Elementos Tridimensionais;

    6. ANLISE DINMICA por ELEMENTOS FINITOS:

    6.1. Estudo de Frequncia;

    6.2. Formas Modais e Efeitos da Carga;

    6.3. Anlise com Cargas Dinmicas.

    7. ANALISES:

    7.1. Estudo de Flambagem;

    7.2. Estudo Trmico;

    7.3. Estudo de Impacto.

    7.4. Estudo de Fadiga.

    7.5. Extensometria.

  • BIBLIOGRAFIA INDICADA

    - ALVES FILHO, Avelino. Elementos finitos: a base da tecnologia CAE : anlise dinmica. So Paulo:

    rica, 2005. 301 p.

    - AGOSTINHO, A. L., et al. Tolerncias, ajustes, desvios e anlise de dimenses. So Paulo: Edgar

    Blcher, 1995.

    - MELCONIAN, Sarkis. Elementos de maquinas. 5. ed. So Paulo: rica, 2004. 358 p.

    LEITURA COMPLEMENTAR

    - BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell; PEREIRA, Celso Pinto Morais. Resistencia dos

    materiais. 3. ed. So Paulo: Makron, 1995-19961255 p.

    - FIALHO, Arivelto Bustamante. COSMOS Plataforma CAE do SolidWorks 2008, 1. Ed. So Paulo Editora rica Ltda 2008.

    CRITRIOS DE AVALIAO

    N1 04/10/2011 1 avaliao individual sendo realizada em sala de aula;

    N2 22/11/2011 2 avaliao individual sendo realizada no computador;

    N3 13/12/2011 3 avaliao individual sendo realizada no computador;

    MS mdia do semestre;

    A mdia do semestre (MS) ser calculada pela mdia aritmtica das duas maiores notas

    entre N1, N2 e N3.

    Para que o aluno seja aprovado: MS > 6,0 - Se MS < 6,0 o aluno ser reprovado.

    A avaliao N3 tem carter supletivo e/ou substitutivo podendo ou no ser realizada pelo

    aluno a fim de substituir N1 ou N2 na composio de MS.

  • 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

    1.1. O que Elementos Finitos.

    O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) ou Finite Element Method (FEM).

    - uma tcnica para resolver equaes diferenciais parciais.

    Equao de Poisson,

    Equao de Laplace,

    Equao de Helmholtz,

    Equao de Navier- Stokes, etc...

    Devido s suas caractersticas de flexibilidade e estabilidade numrica, ele pode ser

    implementado na forma de um sistema computacional de forma consistente e sistemtica,

    fato que explica a sua grande popularidade nos dias atuais.

    Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeioamento foi dado pela indstria

    aeroespacial, onde o mtodo vem tendo larga aplicao desde os anos 50, sendo

    utilizado, entre outros, para o projeto e anlise de estruturas complexas de aeronaves,

    as quais certamente no poderiam ser analisadas e projetadas de forma segura usando-

    se apenas tcnicas tradicionais analticas.

  • 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

    Aplicaes:

    Entre as reas que usam o MEF em projeto e anlise se destacam:

    - Estruturas ocenicas e navios.

    - Veculos rodovirios e ferrovirios.

    - Hidrogeradores.

    - Estruturas aeroespaciais e avies.

    - Mecnica estrutural.

    - Mecnica dos fludos computacional.

    - Conduo de calor.

    -Eletromagnetismo.

    O MEF envolve ferramentas matemticas das mais simples (envolvendo algebra vetorial)

    at as mais avanadas (como teoremas integrais), o uso de pacotes comercias, como o

    COSMOSWORKS, para anlise muito corriqueiro.

    Deve ficar claro que um engenheiro que no sabe modelar um problema via MEF sem o

    computador no saber como proceder tendo uma mquina e os mais avanados dos

    programas. As facilidades grficas de ferramentas CAD, CAE, CAM traz a sensao que

    basta "decorar"meia dzia de comandos para se dizer especialista em MEF. Porm, isto

    um conceito errado.

  • 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

    Etapas de soluo usando MEF:

    O FEM um procedimento bem metdico dividido em vrias etapas:

    -Desenvolvimento das equaes do elemento.

    -Discretizao do domnio de soluo dentro de uma malha de elementos finitos.

    -Montagem das equaes do elemento.

    -Introduo das condies de contorno (restries fsicas e geomtricas).

    -Soluo para os ns desconhecidos.

    -Clculo da soluo e das quantidades (grandezas) em cada elemento.

  • 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

    Etapas de soluousandoMEF:

    Solues dos problemas de anlise estrutural em engenharia.

    Problema real(Estrutura a ser analisada)

    Modelo para anlise

    (Representao da estrutura

    que se possa analis-la) A viga foi idealizada como bi apoiada, pois os vnculos permitem rotao nas extremidades; caso contrrio,

    teramos viga bi engastada.

    Equaes de Equilbrio aplicveis ao modelo

    (Relaes matemticas conhecidas do Estudo da

    Mecnica que traduzem um dado comportamento fsico)

    Equilbrio de Foras: Foras = 0 Fy = 0

    R1 + R2 q.L = 0Equilbrio de Momentos: Momentos = 0

    R1.L = q.L.(L/2)

    Soluo das Equaes de Equilibrio

    (Manipulao matemtica das equaes para determinao

    das incgnitas e Estudo de Resistncia Interna da Estrutura

    Deslocamentos, Deformaes e Tenses).

    Interpretao dos Resultados

    (Anlise dos resultados em funo das expectativas do

    Modelo Proposto e Verificao da Coerncia do Modelo com

    o problema real).

    Reaes: R1 = q.L / 2; R2 = q.L / 2

    Momento Fletor: Mx = (q.L/2).x q.x.(x/2)Fora Cortante: Qx = (q.L/2) q.x

    Deslocamentos: x = (q.x/24E.I).(L3-2L.x2 + x3)

  • 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS

    A soluo pronta do problema encontradas nos livros de Resistncias dos Materiais,

    produto do tratamento matemtico clssico baseado no estudo das Equaes

    Diferenciais, que descrevem o equilbrio da estrutura. H outros problemas, tais como:

    - Teoria das Vigas.

    - Teoria Geral de Placas e Cascas;

    - Teoria Matemtica da Elasticidade (estuda o comportamento dos slidos

    deformveis).

    Mtodos Analticos Clssicos

    Permite o Clculo da Resposta Exata dos Deslocamentos, Deformaes e Tenses na

    estrutura em todos os seus pontos. (infinitos pontos), porm essas solues so

    conhecidas para alguns casos.

    Mtodos dos Elementos Finitos

    Procedimentos aproximados aplicados em carter geral, independente da forma da

    estrutura e da condio de carregamento, dentro da preciso aceitvel do problema

    de engenharia.

    Estruturas com Geometria,

    Carregamento e Condio

    de Apoio Simples.

    Estruturas Complexas

    Soluo Exata

    Soluo Aproximada

    Mtodo dos

    Elementos

    Finitos

  • ALTERNATIVAS PARA SOLUO DE PROBLEMAS ESTRUTURAIS

    Equao Diferencial

    Teoria das Placas

    Soluo da Equao

    Diferencial

    Soluo

    Exata

    ALTERNATIVA

    Mtodo

    Numrico

    Mtodo dos

    Elementos

    Finitos

    Soluo Exata Impossvel

  • Nos trabalhos que envolvem

    ANLISE PELO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

    Por intermdio de Tcnicas Numricas, como o Mtodo dos

    Elementos Finitos, pode-se determina o comportamentoestrutural de componentes com formas complexas, utilizandosoftwares de anlise. Os programas requerem o

    conhecimento das propriedades dos componentes(espessuras, mdulo de elasticidade, coeficiente de Poisson,

    densidade de massa, etc.). O carregamento atuante (Foras,Presso, Cargas gravitacionais) e as fixaes da estrutura.Pode-se determinar as regies mais solicitadas do

    componente, estabelecendo-se previses a respeito do seucomportamento.

    Assim podemos fazer as devidas correes no mbito dodesenvolvimento do projeto, evitando gastos excessivos emferramental, inerentes execuo de projetos desenvolvidos

    pelo processo de Tentativae Erros.

    O uso do Mtodo dos Elementos Finitos revela-se

    como um grande diferencial, reduzindo os prazos e enxugando os custos.

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Para se aplicar MEF necessria uma base slida em procedimentos matemticos que

    vo dos mais simples, como manipulao de matrizes, at os mais avanados,

    envolvendo por exemplo teoremas de clculo vetorial.

    - Uma grandeza vetorial, como uma fora, deslocamento, fluxo, etc. necessrio se

    definir trs componentes: mdulo, direo e sentido.

    - Um vetor a pode ser descrito em coordenadas cartesianas em funo de vetores

    unitrios (i, j, k):

    - A idia bsica do clculo vetorial considerar cada ponto no espao como uma funo

    vetorial, o que forma um campo vetorial.

    -Um campo vetorial pode ser um deslocamento, fluxo de um fludo, fora

    gravitacional ou eletromagntica, etc.

    - O campo escalar significa associar cada ponto no espao com um funcional escalar.

    - Um exemplo de campo escalar um campo de temperatura em um ponto no espao,

    campo de presso, etc.

    - O operador diferencial (del) muito usado para definir operaes matemticas

    fundamentais em campos escalares e vetoriais).

    - O operador diferencial dado por:

    representa um operador diferencial de 1. ordem.

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    - Um operador de 2. ordem conhecido como Laplaciano e dado por:

    - O operador usado para definir trs operaes bsicas envolvendo camposescalares e vetoriais:

    - Gradiente;

    - Divergente;

    - Rotacional.

    Estas operaes so usadas na definio de teoremas fundamentais de integrais de

    vetores tais como o Teorema da Divergncia e o Teorema de Green-Gauss. Estes dois

    teoremas so a base matemtica para compreender o mtodo de Galerkin, que por sua

    vez uma das bases fundamentais de MEF.

    Produto vetorial

    O produto vetorial entre dois vetores a e b definido por:

    O resultado da operao de produtor vetorial um vetor

    perpendicular ao plano onde esto contidos os vetores a e

    b. Note que i x i = 0 e que i x j = k. Importante observar que

    i x j j x i.

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Gradiente

    O gradiente de uma funo escalar (x; y; z)1 dado por:

    Note que o resultado do gradiente um

    vetor. Esta operao representa uma

    diferena entre nveis de um campo

    escalar, representando a variao de uma

    grandeza escalar por unidade de espao.

    O significado fsico pode ser interpretado como a diferena de temperatura nas faces de

    um bloco.

    Divergente

    O divergente j uma operao envolvendo um campo vetorial dado por uma funo

    vetorial do tipo a(x; y; z)2 e calculado por:

    O que leva a seguinte expresso:

    Note que . a = a . uma vez que o operador deve agir sobre a.

    O divergente pode ser interpretado como um escalar que mostra, se um campo vetorial

    est se expandindo ("fonte") ou comprimindo ("ralo"). uma medida de magnitude da

    disperso de um campo vetorial.

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Rotacional

    O rotacional representa um vetor resultante entre o produto vetorial envolvendo o

    operador diferencial r e um campo vetorial a(x; y; z). Seu resultado pode ser escrito na

    forma de um tensor cartesiano. Esta operao calculada da seguinte forma:

    O rotacional tem este nome pois esta operao representa uma transformao linear de

    coordenadas (rotao) do campo vetorial a(x; y; z) que visa observar suas caractersticas

    nestas novas coordenadas.

    Teorema da divergncia

    O Teorema da divergncia definido como:

    sendo V um volume, uma superfcie de rea S e n um vetor ortonormal esta

    superfcie S. O teorema da divergncia relaciona o divergente total de um campo vetorial

    a em um volume V com o fluxo total deste campo vetorial atravessando uma superfcie S.

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Teorema de Green-Gauss

    Muitos problemas de engenharia podem ser escritos em uma forma unidimensional e

    considerando as derivadas de funes escalares e com um valor k constante.

    Assim:

    Aplicando integral de ambos os lados, temos:

    (2.1)

    Nota-se que o lado esquerdo da eq. acima, forma uma integral perfeita, tem-se que:

    (2.2)

    Substituindo a eq. (2.2) em (2.1) e rearranjando tem-se:

    (2.3)

    Considerando que a = .b, o teorema da divergncia, eq. do teorema da divergncia ,

    pode ser reescrito como:

    (2.4)

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Uma vez que . b = . b + . b, tem-se que:

    (2.5)

    A eq. (2.5) um resultado clssico do teorema de Green-Gauss. Em MEF a eq. (2.3)

    uma extenso da eq. (2.5) sendo que e so matrizes representando funes de

    interpolao (funes aproximadoras) dos elementos empregados em uma discretizao.

    LGEBRA MATRICIAL USADO NO MEF.

    Utilizando a lgebra matricial, as relaes entre um grande conjunto de nmeros podem

    ser estabelecidas de forma clara e compacta.

    Matriz do tipo m x n formada por m (linhas) e n (colunas) sujeita a certas regras de

    operao.

    Genericamente representamos uma matriz indicando cada um de seus elementos por

    uma letra com dois ndices:

    - Primeiro ndice indica em que linha est o elemento;

    - Segundo ndice indica em que coluna est o elemento.

    Quando a matriz possui o mesmo nmero de linhas e colunas (m = n), diz-se que ela

    Matriz Quadrada de Ordem n.

    Quando a matriz possui apenas uma coluna, chamada Matriz-Coluna.

    Quando a matriz possui apenas uma linha, chamada Matriz-Linha.

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Desta forma, a matriz K do tipo 3 x 3 pode ser representada da seguinte forma:

    Em que:

    k11 o elemento localizado na 1. linha e 1. coluna.

    k23 o elemento localizado na 2. linha e 3. coluna.

    E de modo geral kij o elemento localizado na i-sima linha e j-sima coluna.

    De forma compacta, podemos escrever:

    [K] = [Kij]3x3

  • Nos trabalhos que envolvem

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Multiplicao de Matrizes.

    Uma das manipulaes com matrizes mais utilizadas no Mtodo dos Elementos Finitos

    a Multiplicao de Matrizes.

    Multiplicao de uma Matriz por uma Constante

    Basta multiplicar cada um dos elementos da matriz por este nmero.

    Multiplicao de uma Matriz por outra Matriz

    possvel somente se o n de colunas da primeira matriz (m x r) for igual ao n de linhas

    da segunda matriz (r x n). O resultado ser uma Matriz (m x n).

    A Matriz Produto [C] = [A].[B] obtida da seguinte forma: cada linha da matriz [A]

    multiplicada uma vez e somente uma vez por cada coluna da matriz [B].(Linha 1 por coluna 1) c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31(Linha 1 por coluna 2) c12=a11.b12+a12.b22+a13.b32(Linha 2 por coluna 1) c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31(Linha 2 por coluna 2) c22=a21.b12+a22.b22+a23.b32

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Um caso particular, porm de muita importncia nas aplicaes do Mtodo dos

    Elementos Finitos, a Multiplicao de uma Matriz Quadrada por uma Matriz Coluna.

    * =

    Seguindo a regra da Multiplicao de Matrizes e fazendo o produto das linhas pela nica

    coluna, teremos:

    [ K ] . { u } = { f }

    Matriz Simtrica

    Uma matriz quadrada dita Simtrica se kij = kji

    k11 k12 k13 k14k21 k22 k23 k24k31 k32 k33 k34k41 k42 k43 k44

    u1u2u3u4

    f1f2f3f4

    interessante observar que a Multiplicao da

    matriz K pela matriz coluna u corresponde a umSistema de Equaes Algbricas. Inversamente, umamaneira compacta e elegante de representar o

    Sistema de Equaes por intermdio da NotaoMatricial, separando a Matriz dos Coeficientes da

    Matriz coluna que contm as incgnitas a sedeterminar.

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Muitos destas manipulaes so triviais, como por exemplo, clculo de determinante,

    mnimo de uma matriz, cofatores, adjuntos, etc.

    Outros so mais avanados, como por exemplo, tcnicas para inverso de matrizes

    visando solucionar sistemas lineares de grande dimenso.

    Uma operao usada em MEF se refere a eliminao de linhas e colunas de uma matriz,

    que corresponde na prtica a aplicao de uma condio de contorno ou restrio no

    sistema em estudo. Suponha uma matriz A dada por:

    Se uma restrio for imposta de tal forma que a segunda linha e coluna sejam eliminadas

    temos uma matriz M22 dada por:

    Este conceito tambm usado para clculo do cofator Cij :

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    J o adjunto de uma matriz

    Uma aplicao comum em MEF ter que resolver sistemas lineares do tipo:

    Onde o vetor x representa as incgnitas do problemas que so os graus de liberdade em

    cada n de um elemento (por exemplo, deslocamento), a matriz A os parmetros

    conhecidos representando uma matriz de rigidez e o vetor f representando as fontes ou

    foras atuantes. A soluo deste problema feita a partir da inverso da matriz de

    rigidez:

    Porm este mtodo ineficiente para solucionar sistemas de grandes equaes.

    Uma maneira mais efetiva e elegante propor uma decomposio da matriz de rigidez A,

    como por exemplo, o mtodo de eliminao de Gauss.

    Exemplo: Use o mtodo de eliminao de Gauss para resolver o sistema simultneo de

    equaes:

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Este sistema de equaes pode ser descrito na forma matricial como:

    Primeiro dividido a 1. linha por 4 e subtraindo esta nova linha pela 2. linha. Na

    sequncia a nova linha 1 dividida por 0.5 e subtrada da linha 3. Por fim, a linha 1

    dividida por -4 e subtrada da linha 4. O resultado :

    Agora neste novo sistema a linha 2 dividida por 1.5, a nova linha 2 multiplicada por

    -1.25 e subtrada da linha 3. Como um zero j apareceu na linha 4 nenhuma modificao

    exigida. Este resultado :

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Por fim, a linha 3 dividida por 5.5. Multiplicando esta nova linha por 3 por -2 subtraindo

    da linha 4:

    Agora a soluo do sistema trivial e dada por: x1 = 0,0794, x2 = -1,0066, x3 = 3,9338 e

    x4 =-1,6954.

    EQUAES DIFERENCIAIS

    primordial que o engenheiro saiba modelar fisicamente o seu problema com o

    conhecimento necessrio para construir este sistema de equaes diferenciais.

    Vale apenas lembrar que a maioria dos problemas de engenharia podem ser escritos

    atravs da equao (para o caso unidimensional):

    Sendo (x) um parmetro do material, C(x) uma fonte externa e A(x) a rea da seco

    transversal. Se estes parmetros forem variantes significa que o sistema varia de

    elemento a elemento. A forma bsica assumir homogeneidade, assim a eq. acima

    torna-se:

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.1 - Fundamentos Matemticos Bsicos para MEF.

    Inmeros mtodos analticos podem ser usados para solucionar este tipo de problema,

    como separao de variveis, coeficientes desconhecidos, transformada de Laplace, etc.

    TENSORES CARTESIANOS

    Quando se trabalha com MEF envolvendo sistemas complexos, normalmente so encontradas

    equaes de grande dimenso. Nestes casos a notao de subscritos pode ser til. Em primeiro lugar preciso lembrar a definio de tensor. Tensor uma grandeza que precisa de 9 elementos parapoder ser completamente conhecida. Em alguns casos com 6 elementos possvel descrever um

    tensor, como por exemplo, no caso de um estado de tenses, onde as tenses cisalhantes no mesmoplano so iguais. A notao tensorial pode ser usada como forma de propor uma notao compacta

    para uma notao vetorial. Um vetordescrito nesta notao um tensorde primeira ordem.Imagine um vetor f escrito em funo do sistema de coordenadas (x; y; z):

    Agora em vez do sistema de coordenadas (x; y; z) imagine um equivalente (x1; x2; x3). Neste novo

    sistema de coordenadas este vetor descrito como:

    Em uma notao tensorial este vetor pode ser dado por:

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.2 Idealizao de Sistemas Modelos Discretizados.

    As limitaes da mente humana so tais que ela no consegue compreender o

    comportamento dos sistemas ao seu redor e os fenmenos em uma s operao. prprio

    da mente humana querer subdividir os sistemas em seus componentes individuais, ou

    em seus elementos. Assim, surge a ideia de que, a partir do entendimento do comportamento

    de cada elemento, possvel entender o comportamento do conjunto por mais complexo que

    possa parecer. Esse raciocnio tem implicaes tambm nos mtodos matemticos utilizados

    para a descrio do comportamento dos sistemas. Surge ento, naturalmente, uma questo

    fundamental: como identificar os elementos de um sistema?

    2.2.1. SISTEMAS CONTNUOS

    Pretende-se fazer a anlise preliminar de uma estrutura de ponte, constituda basicamente

    de apoios flutuantes, sobre os quais so montadas plataformas em que se movimenta um

    veculo. O primeiro passo corresponde Idealizao da Estrutura, definindo um Modelo de

    Clculo.

    Fig. 7

  • LABORATRIO

    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.2.1. SISTEMAS CONTNUOS

    A definio desse modelo passa pelo entendimentodo problema fsico a ser simulado. medida que o veculo se movimenta sobre a

    estrutura, os apoios flutuantes sofremafundamento, e quanto maior esse afundamento,

    maior a fora de empuxo decorrente da guadeslocada pelo bote.Resumidamente, em termos de comportamento

    global da plataforma, os botes comportam-secomo apoios elsticos, isto , como "molas" que

    servem de apoio para a estrutura da ponte.A Fig. 7 representa o problema real, que mostra umtrecho de ponte sendo montado, e a Fig. 8 o

    esquema oumodelo declculo.Uma das tcnicas de abordagem deste problema

    clssico baseia-se na hiptese de que haja umsuporte elstico continuosobre a plataforma.Esta hiptese considerada adequada do ponto de

    vista de engenharia, desde que a distncia entre osapoios seja pequena quando comparada ao

    comprimento de onda da linha elstica que seforma.Esse tipo de problema semelhante ao caso da

    flexo de um trilho sob a ao da roda de umalocomotiva, em que a distncia entre os dormentes

    pequena.Fig. 8

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    2 - CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

    2.2.1. SISTEMAS CONTNUOS

    Embora no seja o objetivo discutir a formulao analtica do problema anterior, importante teceralgumas consideraes a respeito do desenvolvimento das solues propostas para os SISTEMASCONTNUOS, e que justificam a busca de uma outra alternativa de clculo, como o Mtodo dos Elementos

    Finitos.

    O DIAGRAMADE CORPO LIVRE

    O conceito de diagrama de corpo

    livre, intensamente utilizado nosproblemas de mecnica, constitui um

    poderoso aliado no entendimento doequilbrio da estrutura e dos seuselementos. A Fig. 9 ilustra esse

    conceito. Ao analisarmos o equilbrioesttico ou dinmico do bloco, ns

    o isolamos do resto do sistema,substituindo a ao dos demaiscomponentes sobre o bloco pelas

    foras que esses componentesexercemnele.

    Assim, focalizamos a ateno apenas no "elemento" alvo de interesse, e justificamos a sua condiode equilbrio.

    Fig. 9

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    2.2.1. SISTEMAS CONTNUOS

    EQUILBRIO DE UM ELEMENTO DAESTRUTURA

    A viga da Fig. 10 est em equilbrio, portanto cadatrecho dela tambm est em equilbrio. Podemos

    justificar o equilbrio de um elemento diferencial decomprimento dx, representando o carregamentoexterno nesse trecho e as foras e momentos que so

    trocados com o resto da viga, fazendo tambm umdiagrama de corpo livre do elemento diferencial.

    Como esse diagrama envolve termos diferenciais,como um aumento "muito pequeno" (diferencial) demomento dM e fora cortante dQ de uma seo para

    outra da viga, as Equaes de Equilbrio e as relaesque envolvem momento e curvatura contero esses

    termos diferenciais. Essas equaes envolvemderivadas e no relaes diretas entre as grandezas,e so, portanto, equaes diferenciais. Para resolv-

    las, teremos de submet-las a um processo deintegrao.

    Neste exemplo, bem como no exemplo anterior da ponte flutuante, a soluo da equao diferencial,embora trabalhosa, possvel por procedimento analtico exato, que em ltima anlise contabiliza oefeito dos infinitos elementos diferenciais. Em resumo, a partir do entendimento do comportamento

    de um elemento diferencial, possvel entender o comportamento da viga inteira. Esse tipo desoluo analtica, infelizmente no est disponvel para a maioria dos problemas prticos, o que leva

    busca de outra estratgia para resolv-los.

    Fig. 10

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    2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS

    A abordagem do equilbrio da estruturapode ser efetuada considerando-a um

    Sistema Discreto. A idia dadiscretizao de um sistema contnuo

    considera a diviso da estrutura empartes separadas distintas, conectadasentre si nos pontos discretos O, A, B,

    C... etc., como mostra a Fig.11.Neste caso, a soluo aproximada

    simula a estrutura como umamontagem de elementos que tm umcomprimento finito (e no diferencial!).

    Assim, o sistema subdividido em umnmero finito de partes ou

    elementos, sendo que a estruturainteira modelada por um agregadode estruturas "simples". Os pontos de

    conexo entre os elementos sochamados de ns do modelo.

    Fig. 11

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    2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS

    Estamos diante da questo central do Mtodo dos Elementos Finitos. Em uma primeira abordagem

    podemos observarque:

    -No sistema discretizado no se pretende calcular os deslocamentos dos infinitos pontos da viga,

    como no caso contnuo. So calculados somente os deslocamentos de alguns pontos, que so os nsdo modelo. Porm, julgamos que o nmero de pontos discretos escolhidos suficiente para

    representar o deslocamento do conjunto inteiro de forma aproximada. A escolha desse nmeroconstitui um ponto muito importante no Mtodo dos ElementosFinitos.

    - O modo como a estrutura se comporta entre os ns do modelo depende das propriedades atribudasao elemento escolhido, que representa aquele trecho da estrutura entre os ns. Assim, a partir do

    conhecimento dos deslocamentos dos ns, podemos calcular o comportamento interno de cadaelemento. Quanto mais bem especificado for esse comportamento interno, mais a resposta domodelo se aproxima do comportamento real da estrutura. Ou seja, o elemento discreto que representa

    um dado trecho da estrutura entre os ns deve ser muito bem definido. A rigor, vamos nos valer davelha ideia matemticada interpolao tanto utilizada plos engenheirosnas suas aplicaes.

    - Um dos motivos pelo qual o Mtodo dos Elementos Finitos obteve sucesso desde o incio de suaformulao at os dias de hoje que o seu conceito bsico, a discretizao, produz muitas

    equaes algbricas simultneas, que so geradas e resolvidas com o auxlio de computadoresdigitais. Assim, possvel utilizar procedimentos padro, aplicveis aos sistemas discretos, que no

    envolvem decises de engenharia durante o procedimento computacional. Todas as decises sotomadas pelo analista na etapa de elaborao do modelo, antes de "disparar" a anlise, escolhendoo elemento adequado que represente uma dada situao fsica.