Equacoes diferenciais parciais

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  1. 1. Equaes Diferenciais Parciais 1 Equaes Diferenciais Parciais Modelagem de Problemas Fsicos O objetivo da modelagem de problemas fsicos encontrar um conjunto de equaes matemticas que descrevam adequadamente um fenmeno fsico e possibilitem encontrar uma soluo exata ou soluo aproximada. A soluo exata usualmente fruto de um mtodo de soluo analtica encontrado atravs de mtodos algbricos e diferenciais; enquanto que a soluo aproximada resultante da aproximao da soluo analtica empregando-se mtodos numricos, que usualmente baseiam-se em operaes aritmticas elementares. Classificao de Problemas Fsicos A maioria dos problemas fsicos pode ser dividida em sistemas discretos e contnuos. Um sistema discreto consiste de um nmero finito de elementos interconectados, enquanto que um sistema contnuo envolve um fenmeno que ocorre sobre uma regio contnua. Exemplo do primeiro um conjunto de massas conectadas entre si por um sistema de molas. Um exemplo para o segundo tipo de sistema a conduo de calor numa chapa. Problemas de equilbrio: so aqueles em que o sistema permanece constante em relao ao tempo. So tambm conhecidos como problemas em regime permanente ou no estado estacionrio. Exemplos so a esttica de estruturas, o escoamento compressvel em regime permanente e a distribuio de campos eletrosttico e magntico estacionrios. Geralmente so descritos por um sistema de equaes lineares e, em casos particulares, por sistema de equaes no lineares ou por equaes diferenciais ordinrias com condies de contorno fechado. Problemas de autovalores: so considerados como extenso dos problemas de equilbrio nos quais valores crticos ou especficos de certos parmetros adicionais devem ser determinados, alm daqueles correspondentes ao estado estacionrio. Exemplos desta categoria de problemas fsicos so a flambagem e a estabilidade de estruturas, problemas de freqncia natural em sistemas mecnicos e a determinao de ressonncia em circuitos eltricos. A soluo deste tipo de problema envolve tanto a soluo de sistema de equaes lineares com matriz de coeficientes singular ou por equaes diferenciais com as condies de contorno fechado. Problemas de propagao: incluem os fenmenos transitrios e de regime no-permanente e so aqueles nos quais os estados subseqentes de um sistema devem ser relacionados com um estado conhecido inicialmente. So exemplos deste tipo de problema a propagao de ondas em meios elsticos contnuos, vibraes auto-excitadas e a conduo trmica em regime transiente. A tabela I esquematiza as relaes entre os principais tipos de problemas fsicos e as correspondentes equaes matemticas que modelam os fenmenos fsicos. TABELA I - Relao entre os tipos de problemas e o correspondente conjunto de equaes matemticas que governam o fenmeno. Classificao do Equaes que governam o fenmeno fsico
  2. 2. Equaes Diferenciais Parciais 2 problema fsico Discreto Continuo Equilbrio Sistema de equaes algbricas simultneas Equaes diferenciais ordinrias ou parciais com condies de contorno fechadas Autovalores Sistema de equaes algbricas simultneas ou equaes diferenciais ordinrias redutveis forma algbrica Equaes diferenciais ordinrias ou parciais com condies de contorno fechadas Propagao Sistema de equaes diferenciais ordinrias simultneas com condies iniciais conhecidas Equaes diferenciais parciais com condies iniciais prescritas e condies de contorno abertas Neste captulo, trataremos dos problemas descritos por equaes diferenciais parciais de 2 ordem lineares, utilizando o mtodo das diferenas finitas para obter a soluo numrica. Classificao das Equaes Diferenciais Parciais de 2a Ordem As equaes diferenciais parciais (EDP) de 2 ordem podem ser classificadas em trs tipos: elpticas, parablicas e hiperblicas. A classificao das EDPs objetiva especificar os mtodos numricos mais apropriados em sua resoluo. Geralmente, os problemas de fronteira fechada so descritos por equaes elpticas, enquanto que os problemas de fronteira aberta so descritos por equaes parablicas ou hiperblicas. Se a soluo de um problema for descrito pela varivel u = u(x,y), a EDP que expressa a relao entre u e as variveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como: gfueuduucubua yxyyxyxx =+++++ 2 (1) na qual a, b, c, d, f e g so constantes ou funes das variveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c so tais que: 0222 ++ cba (2) Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma anloga s curvas cnicas tridimensionais (Fig. 1) atravs das seguintes relaes: EDPs hiperblicas: b2 ac > 0, razes reais e distintas EDPs parablicas: b2 ac = 0, razes reais e idnticas EDPs elpticas: b2 ac < 0, razes conjugadas complexas
  3. 3. Equaes Diferenciais Parciais 3 x y z Hiprbole Elipse Parbola Fig. 1. Curvas cnicas representativas das EDPs lineares. A classificao das EDPs em trs grupos representativos tem importncia na sua anlise terica, na descrio de mtodos numricos e nas aplicaes. A tabela II apresenta os principais tipos de equaes diferenciais parciais. TABELA II - Tipos de equaes diferenciais parciais NOME TIPO EQUAO Equao de Laplace elptica = + + = 2 0 0 u u u uxx yy zz Equao de Poisson elptica cuuu cu zzyyxx =++ =2 Equao de Fourier parablica 0)( 2 =++ = tzzyyxx uuuu t u u Equao da onda hiperblica 0)(2 2 2 22 =++ = ttzzyyxx uuuuc t u uc Equao de Lorentz hiperblica fuuuuc t,z,y,xf t u c u ttzzyyxx =++ = )( )( 1 2 2 2 2 2
  4. 4. Equaes Diferenciais Parciais 4 Mtodo das Diferenas Finitas O Mtodo das Diferenas Finitas (MDF) um mtodo numrico de clculo de problemas de valor de fronteira bastante popular por causa da sua simplicidade e facilidade de implementao computacional. Ele baseia-se na aproximao das derivadas de primeira e de segunda ordem da funo u(x,y) pelas respectivas equaes de diferenas divididas de primeira e de segunda ordem em x e y: Diferena central: l2 )()( 2 )()( 11 11 11 11 11 11 + + + + + + = = j,ij,i ii jiji j,ij,i ii jiji uu yy y,xuy,xu y u h uu xx y,xuy,xu x u , (3) Diferena de 2 ordem: ( ) ( ) 2 11 2 11 11 2 2 2 11 2 11 11 2 2 2)()(2)( 2)()(2)( l + + + + + + + = + + = + j,ij,ij,i jj jijiji j,ij,iji ii jijiji uuu yy y,xuy,xuy,xu y u h uu,u xx y,xuy,xuy,xu x u (4) Equao de Laplace em coordenadas retangulares A equao de Laplace 02 = u uma tpica EDP elptica que pode ser representada pelo MDF como: 0 22 00 2 11 2 11 2 2 2 2 = + + + = + =+ ++ l j,ij,ij,ij,ij,ij,i yyxx uuu h uuu y u x u uu (5) Se adotarmos o incremento h = , a equao (5) pode ser re-escrita como: { } 04 1 11112 =+++ ++ j,ij,ij,ij,ij,i uuuuu h (6) Se escrevermos o valor da funo u(x,y) no ponto central (xi, yj), vem que:
  5. 5. Equaes Diferenciais Parciais 5 4 1111 ++ +++ = j,ij,ij,ij,i j,i uuuu u (7) A equao (7) mostra que a equao de Laplace calcula o valor da funo u(xi,yj) pela mdia aritmtica dos quatro valores vizinhos ao ponto de coordenadas (xi,yj). Observar que cinco pontos so envolvidos no clculo do valor central ui j na equao (7). O operador laplaciano pode ser representado pictorialmente pelos quatro pontos que circundam o ponto central na forma: = 1 141 1 1 2 2 h u ji (8) A representao pictorial em cinco pontos do operador laplaciano possui erro proporcional h2 . Em adio frmula de cinco pontos, pode-se calcular a frmula do operador laplaciano com nove pontos, com erro proporcional h6 : = 141 4204 141 6 1 2 2 h u ji (9) Exemplo: Problema de transferncia de calor por conduo em regime permanente. um tpico problema bidimensional (2D) que representa a aplicao prtica de uma EDP elptica. O exemplo ilustra como o mtodo das diferenas finitas transforma uma equao diferencial em um sistema de equaes algbricas para calcular o potencial (temperatura) em pontos de uma malha quadrada (h = ). 02 2 2 2 = + y T x T Condies de contorno: 0)0( =,xT 0)10( =,xT 0)0( =y,T 100)20( =y,T
  6. 6. Equaes Diferenciais Parciais 6 x y T = 0 T = 0 T = 100 T = 0 10 20 Fig. 2. Placa retangular com temperaturas definidas na fronteira do problema. [ ] 04 1 11112 =+++ ++ j,ij,ij,ij,ij,i TTTTT h = 1 141 1 1 2 2 h T ji Se o domnio do problema for discretizado com uma malha de diferenas finitas com h = 5 nas duas direes, obtm-se a geometria mostrada na Fig. 3. 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 100 C oT1 T3T2 Fig. 3. Discretizao do domnio do problema de transferncia de calor em uma placa retangular (h = 5). O sistema de equaes descrito por: ( ) 04000 5 1 122 =+++ TT ( ) 0400 5 1 2312 =+++ TTT
  7. 7. Equaes Diferenciais Parciais 7 ( ) 0401000 5 1 322 =+++ TT Na forma matricial, o sistema de equaes pode ser descrito como: = 100 0 0 410 141 014 3 2 1 T T T A soluo deste sistema fornece os valores: T1 = 1,79o C, T2 = 7,14 o C e T3 = 26,79 o C. 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 100 C o 1,79o C 7,14oC 26,79oC Fig. 4. Soluo do problema de transferncia de calor em uma placa retangular. A soluo da equao de Laplace pode ser refinada aumentando o nmero de linhas e colunas, como mostra a Fig. 5. T3T1 T2 T4 T7T6T5 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 0 C o 100 C o 100 C o 100 C o T10T8 T9 T14T13T12T11 T17 T21T20T19T18T16T15 Fig. 5. Discretizao do domnio do problema de transferncia de calor em uma placa retangular. Fazendo-se n = 7 colunas e m = 3 linhas, resulta a matriz A com valores -4 na diagonal principal e 1 nas bandas adjacentes diagonal. A Fig. 6 mostra a matriz banda tridiagonal A, juntamente com os vetores incgnitas Tj e o vetor contendo as condies de contorno.
  8. 8. Equaes Diferenciais Parciais 8 Observar que o padro da matriz esparsa apresenta a seqncia de elementos [1 -4 1] em torno da diagonal e um ou dois valores iguais a 1 fora da banda tridiagonal. A exceo a seqncia so a stima, oitava, a 14 e 15 linhas, por causa do esquema de numerao dos ns (vide Fig. 5). A Fig. 7 mostra o diagrama esquemtico da matriz banda A obtido pela funo Matlab spy(A).