Equacoes diferenciaisordinarias

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  • Equaes Diferenciais Ordinrias

    ISIG 2002

    Eng. de Sistemas Decisionais

    Eng. de Informtica

    Vasco A. Simes

  • Anlise Infinitesimal III Parte II Equaes Diferenciais Ordinrias

    Vasco Simes 2002 ISIG/COCITE

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    Vasco Simes 2002 ISIG/COCITE

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    NDICE

    Pag.

    1. Introduo

    2. Equaes Diferenciais de Primeira Ordem.

    Equaes diferenciais de variveis separveis

    Equaes diferenciais exactas

    Factor Integrante

    Equaes diferenciais lineares

    Mudana de varivel

    Equao de Bernoulli

    3. Equaes Diferenciais Lineares de Ordem n

    Equaes Homogneas de Coeficientes Constantes

    Equaes no Homogneas de Coeficientes Constantes

    3.2.1. Solues Particulares

    3.2.2. Variao das constantes

    3.3. Equao de Euler

    3.4. Reduo de ordem conhecendo uma soluo particular

    Apndice 1 Solues Singulares

    Apndice 2 Exerccios variados

    Apndice 3 Aplicaes

    Apndice 4 Solues e indicaes sobre os Exerccios e Aplicaes dos

    Apndices 2 e 3.

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    1. INTRODUO

    Muitos problemas reais envolvem derivadas. Uma equao onde figurem derivadas

    chamada Equao Diferencial. Se nela figuram Derivadas Parciais chamada Equao Diferencial

    Parcial, caso contrrio diz-se Equao Diferencial Ordinria.

    Neste captulo vamos estudar alguns mtodos para a resoluo de muitas equaes

    diferenciais ordinrias que ocorrem em variadssimos problemas reais. Vejamos alguns exemplos:

    A segunda lei de Newton para partculas de massa constante tem a forma vectorial

    amF rr=

    Se escrevermos a acelerao na forma dtvdr , onde vr a velocidade, ou na forma 2

    2

    tdrd r onde

    rr o vector de posio, obtemos uma equao diferencial (ou um conjunto de equaes

    diferenciais, uma para cada componente do vector).

    A taxa qual o calor Q escapa atravs de uma janela proporcional rea e taxa de

    variao da temperatura T com a distncia na direco do fluxo de calor. Temos ento

    dxdTkA

    dtdQ

    =

    ( k chamada condutividade trmica e depende do material).

    A ordem de uma equao diferencial a ordem da maior derivada que nela figura. Assim, as

    equaes

    VRIdtdIL

    gdtdv

    eyyx

    xyy

    x

    =+

    =

    =+

    =+ 12

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    so equaes de primeira ordem, e

    krdt

    rdm =22

    de segunda ordem.

    A soluo de uma equao diferencial ( com variveis x e y ) a relao entre essas variveis

    que, substituda na equao, a transforma numa identidade.

    Por exemplo, a relao 3sin += xy soluo da equao diferencial xy cos= , uma

    vez que se substituirmos a primeira relao na equao obtemos a identidade xx coscos = .

    Repare-se no entanto que 123sin += xy ou 42sin = xy so tambm soluo da

    equao diferencial proposta, isto , em geral, a soluo de uma equao diferencial no nica.

    EXERCCIO

    Verifique se xxxx BeAeyeyey +=== ,, so ou no solues da equao diferencial

    yy =

    2. EQUAES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

    As equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem envolvem a funo )(xy , a varivel x e a

    primeira derivada )(xy , so pois equaes do tipo:

    0),,( =yyxf

    Este tipo de equaes dividem-se em dois grandes grupos, a saber;

    Equaes resolvidas, se possvel explicitar y em funo de x e de y

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    Por exemplo: 333 xyyx =+ que se pode escrever na forma

    xyxy =

    3

    2

    Equaes no resolvidas, se tal no possvel, como por exemplo no caso

    yxexy y =+ 22

    Comecemos por estudar o caso das equaes resolvidas, que se podem portanto escrever na forma

    ),( yxfy =

    e tentemos tirar algumas concluses a partir do problema invertido, isto , como aparece uma

    equao diferencial.

    Considere-se uma equao em x e y, 0),( =yxg .

    (a) Podemos diferenciar esta equao:

    0=dg

    e obtm-se

    0=

    + dy

    ygdx

    xg

    Chamemos ),( yxP e ),( yxQ respectivamente s derivadas xg e

    yg , ento, a equao

    diferencial ter a forma

    0=+ dyQdxP (1.1)

    (b) Podemos deriv-la em ordem a x e obter

    [ ] 0))(,( = xyxgx

    isto :

    0=

    +

    dxdy

    yg

    xg (1.2)

    e as equaes obtidas em (a) e em (b) so idnticas, so a equao diferencial ordinria de primeira

    ordem correspondente equao inicial 0),( =yxg .

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    EXEMPLO

    A partir da equao 5332 =+ xeyyx obtm-se por diferenciao

    0)33()32( 223 =+++ dyeyxdxeyxy xx

    ou, por derivao em ordem a x:

    0)33()32( 223 =+++dxdyeyxeyxy xx

    O problema que nos propomos resolver o de encontrar a equao inicial 0),( =yxg , dadas

    qualquer uma das equaes (1.1) ou (1.2).

    2.1. Equaes diferenciais de variveis separveis

    Sempre que se avalia o integral = dxxfy )( est-se a resolver a equao diferencial

    )(xfdxdyy ==

    trata-se de um exemplo simples de uma equao que se pode escrever

    dxxfdy )(=

    onde em cada membro apenas figuram termos com uma s das variveis x ou y. Sempre que

    podemos separar as variveis numa equao diferencial, dizemos que a equao separvel e obtm-

    se a soluo por integrao dos dois membros da equao separada.

    EXEMPLO

    A taxa qual uma substncia radioactiva decai proporcional ao nmero de tomos dessa

    substncia que restam depois do decaimento. Se tivermos inicialmente 0N tomos (no instante

    0=t ), quantos tomos teremos num instante qualquer posterior t ?

    A equao diferencial NdtdN = onde apenas uma constante de

    proporcionalidade. Esta equao separvel, com efeito podemos escrev-la

    dtN

    dN =

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    e, integrando ambos os membros obtm-se

    = dtNdN

    CtN += log

    que a soluo geral da equao. Agora, obvio que esta soluo deve depender do nmero 0N de

    tomos de que dispnhamos partida. Como, para 0=t 0NN = , a soluo fica

    CCN =+= 0log 0

    e temos assim determinada a constante C a partir das condies particulares do problema em questo

    0log NC =

    obtemos ento uma soluo particular da equao substituindo C na soluo geral:

    0loglog NtN +=

    ou seja

    tNN =

    0

    log

    ou ainda teNN = 0

    EXEMPLO

    Considere-se a equao 1+= yyx .

    Podemos escrev-la xy

    y 11=

    +

    e ficou assim separada. Integrando ambos os membros

    fica:

    =+ xdx

    ydy

    1

    Cxy +=+ log)1log(

    que a soluo geral procurada. Esta soluo geral uma famlia de curvas planas. Se chamarmos

    constante C = Alog podemos simplificar a soluo obtida:

    )log(loglog)1log( xAAxy =+=+

    e a soluo geral tambm se pode escrever

    xAy =+1 ou 1= xAy

    que a famlia de rectas que passam pelo ponto (0, -1).

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    Neste mesmo caso, encontrar uma soluo particular significa pois seleccionar uma destas

    rectas o que se consegue estabelecendo um valor fixo para a constante A, o declive das rectas1.

    EXERCCIOS ( resolvidos)

    Determine a soluo geral de cada uma das equaes diferenciais seguintes, e para cada uma delas

    seleccione a soluo particular que satisfaz a condio dada.

    (a) xyx = , com 3)2( =y

    Resposta:

    1== yxyx , portanto Cxy += ( ou +=== Cxydxdydxdy ) Soluo geral: Cxy +=

    Para obter a soluo particular, devemos seleccionar de entre as solues em geral, aquela que

    verifica a condio 3)2( =y , isto , aquela que passa no ponto (2, 3):

    123 =+= CC

    e a soluo particular procurada ser:

    1+= xy

    (b) 011 22 =+ dyxydxyx com 21

    =y se 21

    =x

    Resposta:

    A equao separvel: 22 11 y

    dyy

    x

    dxx

    =

    Integrando ambos os membros:

    = 22 11 y

    dyy

    x

    dxx Cyx += 22 11 que a soluo geral.

    Quanto soluo particular, tem-se

    C== 323

    23

    e a soluo particular ser

    311 22 = yx

    ou: 311 22 =+ yx

    1 Veja Apndice 1 Solues Singulares

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    (c) yyxy logsin = com ey =)3(

    Resposta:

    A equao pode escrever-se

    Cxxydxxyy

    dy+== )cotgcoseclog(loglogcosec

    log

    ou:

    Axxy log)cotgcoseclog(loglog +=

    )cotgcosec(logloglog xAxAy =

    =ylog xAxA cotgcosec

    Usando agora a condio ey =)3( obtm-se 3=A e a soluo particular ser

    =ylog xx cotg3cosec3

    EXERCCIOS (propostos)