Mecânica dos Fluidos

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Prof. João Felipe Bassane

Engenharias

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Escoamento incompressível de fluidos não viscosos

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Capítulo 4 – Escoamento incompressível de fluidos

não viscosos

Neste capítulo, em vez das equações de Navier-Stokes, nós vamos estudar a

equação de Euler, que se aplica a um fluido sem viscosidade. Embora não

existam fluidos reais sem viscosidade, muitos problemas de escoamento

(especialmente em aerodinâmica) podem ser analisados com sucesso pela

aproximação de μ = 0.

4.1) Equação da quantidade de movimento para

escoamento sem atrito: a equação de Euler

A equação de Euler é dada por:

𝜌𝐷𝑉

𝐷𝑡= 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 →

𝐷𝑉

𝐷𝑡=

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ (𝑉 ∙ 𝛻)𝑉

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• Em termos das coordenadas retangulares:

4.1) Equação da quantidade de movimento para

escoamento sem atrito: a equação de Euler

𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑥 −

𝜕𝑝

𝜕𝑥

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• Em termos das coordenadas cilíndricas:

4.1) Equação da quantidade de movimento para

escoamento sem atrito: a equação de Euler

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4.2) As equações de Euler em coordenadas de

linhas de corrente

A equação de Euler na direção da linha de corrente, com o eixo z dirigido

verticalmente para cima é dada por:

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4.2) As equações de Euler em coordenadas de

linhas de corrente

A equação de Euler na direção da linha de corrente, com o eixo z dirigido

verticalmente para cima é dada por:

−1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑠− 𝑔

𝜕𝑧

𝜕𝑠=

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑠

Para escoamento permanente:

−1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑠− 𝑔

𝜕𝑧

𝜕𝑠= 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑠

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4.3) A equação de Bernoulli – Integração da

equação de Euler ao longo de uma linha de

corrente. A equação de Euler apesar de ser mais simples que outras equações

equivalentes de escoamentos viscosos ainda apresenta dificuldades

consideráveis para a sua solução. Uma aproximação conveniente para um

problema de escoamento em regime permanente é integrar a equação de

Euler ao longo de uma linha de corrente.

−1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑠− 𝑔

𝜕𝑧

𝜕𝑠= 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑠

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4.3) A equação de Bernoulli – Integração da

equação de Euler ao longo de uma linha de

corrente.

−1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑠− 𝑔

𝜕𝑧

𝜕𝑠= 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑠

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4.3) A equação de Bernoulli – Integração da

equação de Euler ao longo de uma linha de

corrente.

𝑝

𝜌+

𝑉2

2+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Equação de Bernoulli

Restrições para o uso da equação de Bernoulli:

1) Escoamento permanente;

2) Ausência de atrito;

3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente;

4) Escoamento incompressível

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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de

Estagnação e Dinâmica

Pressão estática – É a pressão utilizada na dedução da equação de

Bernoulli (pressão termodinâmica). É a pressão “sentida” pela partícula

fluida em movimento.

Como medir a pressão de um fluido em movimento?

Nestes casos a tomada de pressão é um

pequeno orifício perfurado na parede do

tubo de modo a ter seu eixo perpendicular

à superfície.

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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de

Estagnação e Dinâmica

Como medir a pressão de um fluido em movimento?

Numa corrente de fluido afastada da

parede, ou onde as linhas de corrente são

curvas, medições precisas da pressão

estática podem ser feitas com o emprego

criterioso de uma sonda de pressão

estática.

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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de

Estagnação e Dinâmica

Pressão de estagnação – É a pressão obtida quando um fluido em

escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um

processo sem atrito.

Este termo é usualmente

chamado de pressão dinâmica

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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de

Estagnação e Dinâmica Pressão de estagnação – É a pressão obtida quando um fluido em

escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um

processo sem atrito.

A equação acima estabelece que

a pressão de estagnação (ou

total) é igual à pressão estática

mais a pressão dinâmica.

Exemplo: Uma maneira de

descrever as três pressões é

imaginar o vento batendo contra

a palma de sua mão em regime

permanente. A pressão estática

será a pressão atmosférica; a

pressão maior que você sente no

centro da palma da sua mão será

a pressão de estagnação; e o

acréscimo de pressão (em

relação pressão atmosférica)

será a pressão dinâmica.

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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de

Estagnação e Dinâmica Resolvendo a equação para V temos:

Assim, se a pressão de estagnação e a pressão estática puderem ser medidas

em um ponto, a equação acima dará a velocidade local do escoamento. A

pressão de estagnação é medida por meio de um sonda com orifício posicionada

na direção do escoamento e em sentido oposto a ele. Tal instrumento é chamado

de sonda de pressão total (ou de estagnação) ou tubo pitot (ou tubo de Pitot)

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Exemplo 1

Dados:

𝜌𝑎𝑟 = 1,23 𝑘𝑔/𝑚3

𝜌𝐻𝑔 = 13600 𝑘𝑔/𝑚3

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Exemplo 2

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Exemplo 3

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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e

Piezométrica Se dividirmos a equação de Bernoulli por g, obtemos:

𝑝

𝜌𝑔+

𝑉2

2𝑔+ 𝑧 = 𝐻

Onde H é altura de carga total do escoamento. Ela mede a energia

mecânica total em unidades de metros. Definindo a altura de carga total

como sendo a linha de energia LE e através dela encontramos uma

aproximação gráfica muito útil.

𝑝

𝜌𝑔+

𝑉2

2𝑔+ 𝑧 = 𝐿𝐸

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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e

Piezométrica A linha de energia pode ser medida usando um tubo pitot (carga total).

Colocando este tubo no escoamento mede-se a pressão total,

𝑝0 = 𝑝 +𝜌𝑉2

𝑣, de modo que isso causará um aumento de altura na coluna

de um mesmo fluido ℎ =𝑝0

𝜌𝑔=

𝑝

𝜌𝑔+

𝑉2

2𝑔.

Definindo z como a posição vertical do tubo pitot medida a partir de algum

ponto referencial, a altura de coluna de fluido, medida a partir do ponto

referencial, será:

ℎ + 𝑧 =𝑝

𝜌𝑔+

𝑉2

2𝑔+ 𝑧 = 𝐿𝐸 = 𝐻

Ou seja, a altura da coluna, medida a partir do ponto referencial,

anexado a um tubo Pitot indica diretamente a LE.

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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e

Piezométrica A Linha Piezométrica é definida por:

𝐿𝑃 =𝑝

𝜌𝑔+ 𝑧

Ela pode ser medida utilizando a tomada de pressão estática, que causará

um aumento de altura na coluna de um mesmo fluido ℎ =𝑝

𝜌𝑔.

Se a posição da tomada é também z então a altura da coluna do fluido,

medida a partir do ponto referencial será h + z =𝑝

𝜌𝑔+ 𝑧 = 𝐿𝑃

Ou seja, a altura da coluna anexada à tomada de pressão estática

indica diretamente a LP.

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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e

Piezométrica A partir das linhas de energia e

piezometrica podemos obter:

𝐿𝐸 − 𝐿𝑃 =𝑉2

2𝑔= 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎

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