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Torção
Prof. Eng. André SoaresDisciplina: Resistência dos Materiais II
Torção
• Definições:Torque: O que é?É o momento que tende a torcer o membro emtorno de seu eixo longitudinal.
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• Definições:Momento: O que é?É uma grandeza que representa a magnitude daforça aplicada a um sistema rotacional a umadeterminada distância de um eixo de rotação
FrMrrr
×=
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• Definições:Torque: O que é?É força aplicada a uma determinada distanciaque tende a torcer o membro em torno de seueixo longitudinal.
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Se o eixo estiver preso emuma extremidade e foraplicado um torque naoutra extremidade, oplano sombreado sedistorcerá e assumirá umaforma obliqua.
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• Premissas básicas:1. Uma seção inicialmente plana, perpendicular ao eixo de seção circular,
permanece plana após a aplicação dos torques.2. Em um membro circular sujeito à ação de um torque, as deformações
angulares g variam linearmente a partir do eixo central. Isto significa queas linhas radiais nos planos ao longo do eixo x permanecem retas após adeformação.
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ATENÇÃOEstas premissas são válidas somente para eixos circulares.
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• Aplicação do Método das Seções:Esse método é utilizado para determinação dos esforços internos em eixosde seção circular solicitados por torques externos
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• Aplicação do Método das Seções:Exemplo: O torque interno no trecho AB é igual a 2 kgf.m
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• A fórmula da Torção:A partir desse torque interno tem‐se uma distribuição de tensões decisalhamento na seção transversal de um eixo circular.
γτ ⋅= GLei de Hooke
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• A fórmula da Torção:O torque interno na seção transversal é a soma dos torques infinitesimaisatuantes em cada área dA.
Onde o momento polar de inércia de área J é dado da forma:
(1)
(2)
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• A fórmula da Torção:O momento polar de inércia para o caso particular de uma seção circular éda seguinte forma:
Substituindo a eq. (3) na eq. (1), a expressão da tensão máxima atuando nasuperfície mais externa do eixo é:
(3)
(4)
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• A fórmula da Torção:A tensão num ponto qualquer da seção circular distante ρ do centro é:
(5)
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• A fórmula da Torção:Para tubos circulares de raio interno ρ e raio externo c, o momento polar deinércia pode ser calculado como segue:
(6)
(7)
Torção
• A fórmula da Torção:Para tubos circulares de raio interno ρ e raio externo c, o momento polar deinércia pode ser calculado como segue:
eixo. do externo raioal; transversseção da área dapolar inércia de momento
eixo; do allongitudin centro de linha da tornoem aplicada equilibrio de momento do equação pela e seções das método
pelo odeterminad éSeu valor al. transversseção na atua que internop torque; externa superfície na ocorre que eixo, no máxima tocisalhamen de tensão
==
==
cJ
Tτ
JCT ⋅
=maxτ
TorçãoO torque interno T não só desenvolve uma distribuição linear da tensão decisalhamento ao longo de cada reta radial do plano da área da seçãotransversal, como também desenvolve uma distribuição da tensão decisalhamento associada ao longo de um plano axial.
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TorçãoPara o caso de materiais anisotrópicos (diferentes propriedades mecânicasnas direções x, y e z ) como por exemplo a madeira, o eixo se rompe aolongo de um plano paralelo ao eixo x.
Plano de ruptura em eixos em madeira
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• Atenção!
O conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para o estudo deeixos maciços de seção transversal não circular.
O conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para estudos detorção em tubos de paredes finas com seções diferentes de círculos.
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Exercício 1O eixo mostrado na figura é suportado por dois mancais e está sujeito a trêstorques. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B,localizados na seção a‐a do eixo conforme mostra a figura.
Torção
Exercício 1O eixo mostrado na figura é suportado por dois mancais e está sujeito a trêstorques. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B,localizados na seção a‐a do eixo conforme mostra a figura.
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Exercício 2O tubo mostrado na figura 12‐a tem diâmetro interno de 80 mm e diâmetroexterno de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra oapoio A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão decisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longodo tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro
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Exercício 2O tubo mostrado na figura 12‐a tem diâmetro interno de 80 mm e diâmetroexterno de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra oapoio A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão decisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longodo tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro
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• Transmissão de PotênciaEixos e tubos de seção circular são freqüentementeutilizados para transmissão de potência. Quandoutilizados para esse propósito os eixos são submetidos atorques que dependem da potência gerada pelamáquina e da velocidade angular do eixo.
fTPTP πω =⇒= 2
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• Transmissão de PotênciaA potência P é definida como o trabalho realizado porunidade de tempo, no SI a potência é expressa em watts,quando o torque é medido em (N . m) e ω é medido em(rad/s),temos então 1W = 1N.m/s. No Sistema FPS temos: 1 hp=550 pés.lb/s
fTPTP πω =⇒= 2
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• Transmissão de Potência
CV014,1HP 1 W5,735CV 1
==
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• Projeto de elementos circulares em torçãoUma vez conhecido o torque a ser transmitido pelo eixo,e selecionado a máxima tensão de cisalhamento, asproporções do membro tornam‐se fixas. Assim, tem‐se:
J/C é utilizado para projetar eixosmaciços ou perfurados
maxτT
CJ=
admττ =max
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Exercício 3
Selecione dois eixos maciços para transmitir 200 cv de potência cada um, deforma que nenhum deles ultrapasse a tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm2.Um desses eixos deve operar a 20 rpm, e o outro a 20.000 rpm.
(1CV = 4500 kgf.m/min, ω (rad/min) = 2π ƒ(rpm))
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Exercício 4Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm =12 ksi. Supondo que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torquemáximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fossefeiro um furo de 1 pol de diâmetro ao longo do eixo? Traçar o gráfico dadistribuição de cisalhamento‐tensão ao longo de uma reta radial em cada caso.
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• Ângulo de torção de membros circularesAlém do fato do membro dever resistir aos torquesaplicados, ele não deve se deformar excessivamente.Assim, considere um elemento submetido a um torque.
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• Ângulo de torção de membros circularesExpressão geral para o ângulo de Torção.
Quando temos o torque e a seção transversal constanteao longo do comprimento do eixo, tem‐se:
GJLT⋅⋅
=φØ = ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra, medido emradianosТ = torque interno, determinado pelo método das seções e pela equação do momento na condição de equilíbrio aplicada em torno da linha de centro do eixo.L = comprimentoJ = momento de inércia polar do eixoG = módulo de elasticidade ao cisalhamento do material
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ATENÇÃOO conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para o estudo de eixos maciços de seção transversal não circular.
O conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para estudos de torção em tubos de paredes finas com seções diferentes de círculos.
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Exercício 5No conjunto mostrado abaixo, os dois eixos estão acoplados por duasengrenagens C e B. Determine o ângulo de torção na extremidade A do eixo ABonde um torque T = 45 N.m é aplicado. Cada eixo tem diâmetro de 20mm e G =80GPa.
Torção
Exercício 6Uma barra circular em torção consiste de 2 partes. Determine o máximo torquepossível se o ângulo de torção entre as extremidades da barra não deve exceder0,02 radianos e a tensão de cisalhamento não deve exceder 28 MPa.Assumir G = 83 MPa.
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Exercício 7O eixo está sujeito aos torques como apresentado abaixo. Se o módulo decisalhamento é G = 80 GPa e o diâmetro do eixo é 14 mm, determine odeslocamento do dente P na engrenagem A. O eixo está engastado em E e omancal B permite que o eixo gire livremente.
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Elementos Estaticamente IndeterminadosCarregados com Torque
∑ Mx = 0
L = LAC + LBC
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Elementos Estaticamente IndeterminadosCarregados com Torque
ØA/B = 0
Condição de Compatibilidade Necessária
TA LAC / JG ‐ TB LBC / JG = 0
TA = T (LBC / L)
TB = T (LAC / L)
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Exercício 8O Eixo de aço maciço mostradoao lado tem diâmetro de 20mm. Se for submetido aos doistorques , quais serão as reaçõesnos apoios fixos A e B ?
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Exercício 9O Eixo mostrado na figura ao lado estacomposto por um tubo de aço unido aum núcleo de latão.Supondo que sejaaplicado um torque de T = 250 lb.pés àsua extremidade, esquematizar adistribuição cisalhamento tensão aolongo de uma reta radial da área daseção transversal.Supor, também, queGaço = 11,40(103) ksi e Glatão= 5,20(103) ksi.
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Exercício 9Um motor de 200 kW gira a 250 rpm. Para a engrenagem em B é transmitido90 kW e para a engrenagem em C 110 kW. Determine o menor diâmetropermissível d se a tensão admissível é de 50 MPa e o ângulo de torção entre omotor e a engrenagem C é limitado a 15°. Considerar G = 80 Gpa e 1kW »60000 Nm/mim.
TorçãoExercício 10O conjunto consiste em doissegmentos de tubos de açogalvanizados acoplados por umaredução em B. O tubo menor temdiâmetro externo de 0,75 pol ediâmetro interno de 0,68 pol,enquanto o tubo maior temdiâmetro externo de 1 pol ediâmetro interno de 0,86 pol.Supondo que o tubo estejafirmemente preso à parede em C,determinar a tensão decisalhamento máxima desenvolvidaem cada seção do tubo quando oconjugado mostrado é aplicado aocabo da chave
TorçãoExercício 11Um tubo de aço com diâmetro externo de 2,5 pol transmite 35 hp quando giraa 2700 rev/min. Determinar o diâmetro interno do tubo com aproximação de1/8 pol se a tensão de cisalhamento admissível é τ adm = 10 ksi
TorçãoExercício 12Um eixo maciço tem diâmetro de 0, 75 pol. Supondo que seja submetido aostorques mostrados, determinar a tensão de cisalhamento máximadesenvolvida nas regiões BC, DE,CD e EF. Os mancais A e F permitem rotaçãolivre do eixo.
TorçãoExercício 13O eixo de aço está submetido àcarga de torção mostrada, a)Determinar a tensão decisalhamento desenvolvida nospontos A e B. o eixo onde A e Bestão localizados tem raioexterno de 60 mm.b) Determinara tensão de cisalhamentomáxima absoluta neledesenvolvida e desenhar adistribuição cisalhamento‐tensãoao longo de uma reta radial emque ele atinja o máximo.
TorçãoExercício 14O Eixo de aço A‐36 tem 2 m de comprimento e diâmetro externo de 40 mm.Quando gira a 80 rad/s, transmite 32 kW de potência do motor E para o geradorG . Determinar a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamentoadimissível τadm = 140 MPa e o eixo não pode ter uma torção maior que 0,05 rad.
TorçãoExercício 15O Eixo de aço A‐36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 mm.Requer‐se que transmita 35 kW de potência do motor E para o gerador G .Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torçãoadmissível é de 1 grau.
TorçãoExercício 16O eixo de aço tem diâmetro de 40 mm e suas extremidades A e B são fixas. Se elefor submetido a um conjugado, Conforme o desenho ao lado, qual será a tensãode cisalhamento máxima em suas regiões AC e CB. Considerar Gaço = 10,8(103)ksi.
TorçãoExercício 17O eixo de aço é feito de dois segmentos: AC tem diâmetro de 0,5 pol e CB temdiâmetro de de 1 pol . Se ele estiver fixo em suas extremidades A e B e forsubmetido a um torque de 500 lb.pés , qual será a tensão de cisallahmentomáxima nele desenvolvida Gaço = 10,8(103) ksi.
TorçãoExercício 18O conjunto de aço A‐36 consiste em um tubo com raio externo de 1 pol eespessura parede de 0,125 pol. Por meio de uma chapa rígida em B, ele éacoplado ao eixo maciço AB de 1 pol de diâmetro. Determinar a rotação daextremidade C do tubo se um torque de 200 lb.pol for aplicado nessa extremidade.A extremidade A do eixo tem apoio fixo
TorçãoExercício 19As extremidades estriadas e asengrenagens acopladas ao eixo deaço A‐36 estão submetidas aostorques mostrados. Determinar oângulo de torção da extremidadeB em relação à extremidade A. Oeixo tem diâmetro de 40 mm.Considerar G= 75x109 N/m2.
