Exercícios Mecânica vetorial para Engenheiros

Mecânica II.Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: [email protected], site: www.joaoflf.poli.br

Mecânica IIParte II

Análise vetorial: Movimento curvilíneo de um ponto material, derivadas vetoriais, movimentos de projeteis.

Referências: [1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Mecânica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996. [2] P. A. Tripler, Física, vol 1, Guanabara Dois., Rio de Janeiro, 1978.[3] F. P. Beer, E R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros, Cinemática e Dinâmica, ed. 5º, Makron Books editora, Rio de Janeiro, 1991.[4] J. L. Meriam, L. G. Kraige, Mecânica Dinâmica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. [5] George Arfken, Mathematical Methods for Physics, 3ed., Academic Press, Inc. San Diego, 1985.

Movimento curvilíneo de um ponto material. (Coordenadas cartesianas)

Quando um ponto descola-se em uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo.

Vetor posição r .Vetor posição em termos dos vetores unitários cartesianos i , j e k , isto é, ∣i∣=∣j∣=∣k∣ .

Observe que estas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço cartesiano.

r=x i y j z k

∣r∣=r=x i y j z k ⋅x i y jz k r= x2 y2 z2

Velocidade de um ponto material (coordenadas retangulares).

v=r= lim t0

r t

=d rdt

r= ddt

x i y jz k =dxdt

i dydt

j dzdt

k=x i y j z k

v= limt 0

s t

=dsdt

= limt0

∣r∣ t

=∣ limt 0

r t ∣=∣d r

dt ∣=∣r∣

v= x2 y2 z2

Obs.: sempre que temos derivadas temporais podemos usar a nomenclatura x= dxdt ,

x i=d 2 x i

dt 2 ,onde x i é uma variável qualquer de um sistema de coordenas.

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Aceleração de um ponto material (coordenadas retangulares).

a=v= lim t 0

v t

= d vdt

=d 2rdt2

r= ddt

x i y j z k = d xdt

i d ydt

j d zdt

k= x i y j z k

a=r=d vdt

= d 2rdt 2

a=∣r∣= x2 y2 y2

Movimento relativo.

Seja S e S ' dois referenciais com movimento relativo entre si. Observe a figura abaixo:

Posição relativa r A/ B r B=r Ar B / A

Velocidade relativa v A/B ddt

r B=ddt r Ar B /A

r B=r Ar B /A⇒v B=v AvB / A

Aceleração relativa a A /B r B=r Ar B /A⇒a B=a AaB /A

Exercícios.

1. Dispara-se um projétil de uma colina de 150 m de altura, com uma velocidade inicial de 180 m/ s , num ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo.

Resposta:Consideremos separadamente o movimento vertical e horizontal.(a) Movimento vertical (direção y ).

y0=150 m , y0=v cosθ=180cos30º m /s

y= y0 y0 t12

g t2

0=2y02 y0 tg t 2⇒ t=−2 y0± 2 y0

2−4g 2y0

2gt=19,9 s tempo de queda da bala.

Movimento na horizontal (direção x).x0=0, x0=v sen =180 sen 30º m / s

x=x0 x0 t ⇒ x=3,10 km

(b) Elevação máxima

Quando a elevação é máxima temos um ponto de retorno da variável y , sendo que y=0 , assim, temos:

y= y0g t⇒0= y0g t⇒ t=− y0

gy= y0 y0 t1

2g t2⇒


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ymax= y0− y0y0

g1

2g− y0

g 2

= y0−y0

2

2gymax=413 m

Outro método mais direto seria pela equação de Torricelli.

y2= y022g y−y0 ⇒0= y0

22g ymax− y0

ymax=y0−y0

2

2g=413 m

2. Um automóvel A está trafegando para leste com uma velocidade constante de 25 km /h . Quando passa pelo cruzamento ilustrado na figura, um automóvel B , que estava parado a 30 m ao norte dirige-se para o sul com uma aceleração constante de 1,2 m / s2 . Determine a posição, velocidade e aceleração de B relativos à A 5,0 s após A passar pelo cruzamento.

Resposta:Escolhemos a origem no cruzamento das duas ruas com os sentidos, para leste e norte.Movimento do automóvel A .xA=0, x A=6,94 m / s , xA=x0A x t=6,94 t

Para t=5 s , temos: xA=6,94 t=34,7 m

Movimento do automóvel B .a B=1,3 m / s2 , y B= y0BaB t=−1,2 t ,

y B= y0B y0 t12 a B t 2=30−1

21,2 t 2

Para t=5 s , temos yB=6 m/ s , yB=15 m

Movimento relativo de B em relação à A . Determinando o triangulo correspondente à equação vetorial r B=r Ar B /A , obteremos o modulo, direção e sentido do vetor B em relação à A .

r A/ B=37,8 m⇒=23,4 º

Procedendo de forma análoga temos:v A/B=9,17 m/ s⇒=40,8 º

aA/ B=1,2 m / s2

3. O movimento de um ponto material é dado pelas equações x=2t2−4t e y=2 t−12−4 t−1 , onde x e y são dados

em metros e t em segundos. Determinar (a) o mínimo valor da velocidade escalar do ponto e (b) o instante, a posição e a direção da velocidade correspondente.

4. Um ponto material descreve uma elipse de equação: r=Acos t iBsen t j . Mostre que a aceleração (a) aponta para a origem e (b) é proporcional a r .


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5. As equações dadas definem o movimento de um ponto material: r=2 t1 2 i2 t1 −2 j , onde r é dado em metros e t em segundos. Mostrar que a trajetória do ponto é o segmento de hipérbole mostrado na figura abaixo e determinar a aceleração quando (a) 0=t e (b)

st 5= .

6. O movimento vibratório de um ponto material é definido pela equação r=4sin t i−cos 2t j , onde r é dado em metros e t em segundos. (a) Determinar a velocidade e a aceleração em t=1 s e (b) mostre que a trajetória limita-se a um arco de parábola:

7. O movimento tridimensional de um ponto material é definido por r=R sen t ict jR cos t k . Determinar os módulos da velocidade e da aceleração do ponto (A curva descrita pelo ponto é um hélice).

8. Um jogador de handebol atira uma bola do ponto A , com velocidade horizontal v0 . A distância d vale 6,1 m . Determine (a) o valor de v0 para o qual a bola atingira o vértice C e (b) o intervalo de valores de v0 para os quais a bola atingira a região BCD .

9. Descarrega-se areia do ponto A de uma esteira horizontal, com velocidade inicial v0 . Determine o intervalo de valores de v0 para os quais a areia entrara no tubo vertical.

10. Uma bomba localiza-se na barreira de uma plataforma. O bocal A expele uma água a uma velocidade inicial de 7,6 m/ s formando um ângulo de 50º com a vertical. Determine o intervalo de alturas h para as quais a água atinge a abertura BC .

11. Considerando-se que a esteira se move com velocidade constante v0 , (a) determinar o valor mínimo de v0 para o qual a areia pode ser depositada em B . Determina também o correspondente valor de .

12. Os instrumentos de um avião indicam que ele está se movendo para o norte com velocidade de 500 km /h , em relação ao ar. Simultaneamente, um radar terrestre indica que


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o avião se move com velocidade de 530 km /h numa direção que faz um ângulo de 5º voltado para o leste. Determina a magnitude e a direção da velocidade do ar.

13. Dispara-se um projétil com velocidade inicial v0 , a um ângulo de 20º com a horizontal. Determine v0 para o projétil atingir (a) B (b) C.

14. Num dado instante, a peça A tem velocidade de 16 mm /s e uma aceleração de 24 mm/ s2 , ambas para baixo. Determina (a) velocidade do bloco B e (b) sua aceleração, no mesmo instante.

15. Um jogador atira uma bola com velocidade v0=15 m /s , de um ponto A localizado a 1,5 m do solo. Sabendo-se que o pé direito do ginásio de esportes mede 6,0 m , determine a máxima altura do ponto B que pode ser atingida pela bola.

16. Dois aviões A e B coando a uma mesma altitude; o avião A está voando para o leste a uma velocidade constante de 900 km /h , enquanto B está coando para sudoeste a uma velocidade constante de 600 km /h . Determine a mudança de posição de B relativamente a A, que ocorre durante um intervala de 2 min .

17. No instante t=0 , a cunha A põe-se em movimento em movimento para a direita, com aceleração constante de 100 mm / s2 e o bloco B, por sua vez, põe-se em movimento ao longo da cunha, indo para a esquerda com uma aceleração de 150 mm / s2 relativamente a cunha. Determine (a) a aceleração do bloco B e (b) sua velocidade no instante t=4 s .

18. Esguicha-se água de A com velocidade inicial de 12 m / s , atingindo-se uma série de pás em B. Sabendo-se que as pás se movem para baixo com velocidade constante de 1,5 m / s , determine a velocidade e a aceleração em relação à pá em B.


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Movimento curvilíneo de um ponto material (Coordenadas generalizadas).

Um pouco de calculo vetorial:

Seja A um vetor de um espaço vetorial qualquer, com a seguinte restrição:A⋅A=constante

Seja q uma coordenada do espaço que define A : temos:ddq

A⋅A =0⇒d Adq

⋅AA⋅d A

dq=2 A⋅d A

dq=0

⇒ A⋅d Adq

=0⇔A⊥ d Adq

Logo para qualquer vetor de norma constante tem sua derivada em relação em relação a uma de suas coordenadas como um vetor perpendicular ao mesmo.

Seja eqi um vetor unitário, eqi⋅eq j

=ij onde ij={1 se i= j0 se i≠ j , na direção da coordenada

qi , assim temos

eqi⋅eq i

=1⇒ ddq j

eq i⋅eq i=0⇒eqi

⋅d eq i

dq j

d eq i

dq j⋅eq i

=2 eq i⋅

d eqi

dq j=0⇔eq i

⊥d eqi

dq j

Logo podemos definir eq j como o vetor unitário que orienta a coordenada q j da forma:

eq j=1

kd eqi

dq j.

onde k=∣d eqi

dq j ∣ é conhecido como curvatura da curva.

Sendo o espaço tridimensional devemos ter um trio de vetores unitários que orientam os vetores nesse espaço. Assim devemos obter vetor unitário na direção eqk que orienta a terceira coordenada, chamemos de coordenada qk . Esse vetor deve ser construído de tal forma que forme um conjunto linearmente independente com eqi e eq j . Podemos construir esse vetor kqe da forma:

jik qqq eee ˆˆˆ ×=

Observe que

∣eqk∣=∣eqi×eq j∣=∣eq i∣∣eq j∣sen2 =1

Esta é uma receita básica para criação de um espaço vetorial tridimensional qualquer.

Movimento curvilíneo de um ponto material em um plano.

Seja um ponto material em um movimento plano dado por:r=r s , t

Assim se desejamos calcular a velocidade do ponto material temos:

v=r= d rdt

= dsdt

d rds

=v et , com et=d rds

onde et é o vetor unitário na direção tangencial ao vetor deslocamento. Observe que o vetor d rds

é unitário.Calculando a aceleração temos:

a=v=d vdt

= ddt v e t = v e tv et= v e tv ds

dtd e t

ds=v e tv2 d e t

ds= v e t

v2

en , com en=

1

d e t

ds


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a= v e tv2

en

onde =∣d e t

ds ∣ é a curvatura da curva r=r s , t . Os vetores et e en formam um plano que

contem o vetor aceleração da partícula. Este plano recebe o nome de plano osculador.

O modulo da aceleração a=∣a∣= v2 v2

2

.

Exercícios.

1. Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na estrada, o motorista de um carro aplica os freios para produzir uma desaceleração uniforme. Sua velocidade é de 100 km/h no ponto A da depressão e de 50 km/h no ponto C no topo da elevação, que se encontra 120 m de A ao longo da pista. Se os passageiros do carro experimentam uma desaceleração total de 3 m / s2 em A e se o raio de curvatura da elevação em C é de 150 m , calcule (a) o raio de curvatura em A , (b) a aceleração no ponto de inflexão B e (c) a aceleração total em C .

Respostav A=100 km /h=27 ,8 m /s

smhkmvC 89,1350 ==Calculo da desaceleração uniforme ao longo da trajetória:

∫ vdv=∫a t ds⇒ 12 vC

2 −v A2 =a t s

a t=12s vC

2 −v A2 =−2,41 m /s2

(a) Condição em Aa2=at

2an2⇒an

2=a2−a t2=32−2,412=3,19

an2=3,19⇒an=1,785 m / s2

an=v 2

⇒= v2

an= 27,82

1,785=432 m

(b) Condição em B

Uma vez que o raio de curvatura é infinito em um ponto de reflexão, pode-se facilmente calcular an=0 e:

a=a t=−2,41 m /s2

(c) Condição em C

an=v2

⇒an=

13,892

150=1,286 m / s2

a=an ena t e t=−1,286 en2,41 et m /s2 a=an

2a t2=2,73 m /s2

2. Um carro a uma velocidade constante v0 encontra-se numa rampa circular de um trevo, movendo-se no sentido de A para B . O odômetro do carro indica uma distância de 0,6 km entre o ponto A e o ponto B . Determine v0 para que a componente normal da aceleração seja 0,08 g .

Resposta:=0.6⇒≈191 m

an=v0

2

¿⇒ v0

2=an=191⋅0.08g≈150

⇒ v0=12,25 m / s

3. Uma fita de computador move-se sobre dois tambores, a uma velocidade v0 . A componente normal da aceleração da porção da fita em


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contato com o tambor B é 122 m / s2 . Determinar (a) a velocidade v0 e (b) a componente normal da aceleração da porção da fita em contato como o tambor A .

4. Um ônibus parte do repouso descrevendo uma circunferência de 250 m de raio. Sua aceleração a t constante é igual a 0,6 m/ s2 . Determinar (a) o tempo necessário para que o módulo da aceleração total do ônibus atinja 0,75 m / s2 . Determinar (b) também à distância percorrida nesse tempo.

Resposta:a t=0,6 m / s2 , r=250 m , v0=0,a t=?=0,75 m /s2 , s t=?=?

(a)

a2=at2an

2⇒an=v2

r=a2−a t

2

v=r a2−a t2

v=v0a t t⇒ r a2−a t=a t t

⇒t=r a2−a t2

a t

(b) s=v0 t12

a t t2 ⇒ s=12

r a2−a t2

a t

5. A velocidade inicial do jato d’água na figura é 7,62 m / s . Determine o raio de curvatura do jato (a) na saída A e (b) no seu ponto de máxima.

6. Um trem entra em uma seção curva horizontal dos trilhos a uma velocidade de

100 km /h , e diminui a velocidade com uma desaceleração constante para 50 km /h em 12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem grava a aceleração horizontal de 22 sm quando o trem já está há 6 s na curva. Calcule o raio de curvatura dos trilhos nesse instante.

7. Um satélite irá se manter em orbita circular em torno da Terra, desde que a componente normal de sua aceleração seja igual a g R /r 2 , onde g=9,81 m / s2 , R=6,37⋅103 km e r distância entre o satélite e o centro da Terra. Determine a altitude de um satélite para que ele possa orbitar a uma velocidade de 2,65⋅104 km / h .

7. A velocidade de um carro aumenta uniformemente com o tempo de 50 km /h em A para 100 km /h em B durante 10 s . O raio

de curvatura da elevação em A é de 40 km . Se o módulo da aceleração total do centro de massa do carro é o mesmo em B e em A , determine o raio de curvatura B da depressão na estrado em B . O centro de massa do carro está a 0,6 m da

estrada.

Resposta: B=163,0 m

8. O carro C aumenta sua velocidade a uma taxa constante de 1,5 m / s2 conforme percorre a curva mostrada. Se o módulo da aceleração total do carro é 2,5 m /s2 no ponto A , onde o raio de curvatura é de 200 m , determine a velocidade v do carro nesse ponto.


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9. O pino P da manivela PO conecta-se a ranhura horizontal na guia C que controla seu movimento sobre a haste vertical fixa. Determine a velocidade y e a aceleração y da guia C para um dado valor do ângulo se (a) = e =0 (b) =0 e = .

Resposta: (a) y=r sen , y=r 2cos (b) y=0, y=r sen

Movimento em coordenadas polares:

Em um sistema de coordenadas polares r , temos como escrever a posição da partícula por r r , da forma:

x=r cos , y=r sen r=x i y j=r cos ir sen j=r cos isen j =r r

r=cos isen jCalculando a velocidade temos:

v=r= ddt [r cos isen j ]= r rr −sen icos j

v= r rr

onde =d rd

=−sen icos j .

Observe também que

r=−d θd

, θ= d rd

Calculando a aceleração temos:

a=v= ddt

r rr θ θ = r rr d rdt

θ ddt

r θ r θ d θdt

=r r r dθdt

d rdθ

θ ddt

r θ r θ dθdt

d θdθ

a= r rr θ θθ r θr θ −r θ 2 ra= r−r θ2 rr θ2 r θ θ

Tendo como módulos:v= r 2rθ 2

a= r−r θ22r θ2 r θ 2


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Movimento em coordenadas cilíndricas:

Em movimentos cilíndricos temos:

r=x i y jz k=r cos θ irsen θ jz k v=r= r rr θ θ z k

a= r−r θ2 rr θ2 r θ θ z k

Tendo como módulos:v= r 2rθ 2 z 2

( ) ( ) 2222 2 zrrrra +++−= θθθExercícios.

1. O braço OA de 0,9 m comprimento gira ao redor de O e seu movimento está definido pela relação =0,15 t 2 onde e expresso em radianos e t em segundos. O curso B desliza ao longo do braço, sendo o seu deslocamento em relação a O dado por r=0,9−0,2 t 2 , onde r está em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a aceleração do curso B após ter girado por 30º .

Resposta:=0,15 t 2 rad ⇒=0,30 t rad / s

⇒=0,30 rad / s2 r=0,9−0,2 t 2 m ⇒ r=−0,4 t m / s

⇒ r=−0,4 m / s2Velocidade:v= r rr

v=−0,4 t r0.90,2 t 2 0.3t v=−0,4 t r0.27t0,6 t3

Aceleração:a= r−r 2 rr 2 r

a=−0,4−0,9−0,2 t2 0,30 t 2 r0,9−0,2 t 2 0,302 −0,4 t 0,30 t

a=−0,4−0,081 t20,018 t 4 r0,27−0,06 t 2 −0,24 t 2

a=−0,4−0,081 t20,018 t 4 r0,27−0,30 t 2

Para =30º

=0,15 t 2=30180

=6⇒ t=1,867 s

Assim:v=−0,747 r4,41 m / s v= −0,747 24,41 2=4,72 m / s

a=−0,464 r−0,775 m /s2 a=−0,464 2−0,775 2=0.903 m/ s2

2. O movimento de um ponto material é definido por r=2b cos t , = t , onde b e são constantes positivas. Determine (a) a velocidade e a aceleração do ponto e (b) o raio de curvatura de sua trajetória. Que conclusão pode tirar sobre a trajetória do ponto material.

3. A trajetória de um ponto P é uma espiral de Arquimedes. As relações r=10t e =2 t definem o ponto P , onde r é expresso em metros e t em segundos. e radianos.


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Determine a velocidade e a aceleração do ponto, nos instantes (a) t=0 e (b) t=0,25 s

4. O pino B pode deslizar livremente pela abertura circular DE e também pela abertura feita na barra OC . A barra OC gira uniformemente a uma razão (a) Mostre que a aceleração de B tem módulo constante e (b) determine sua direção.

Resposta, Usando a lei dos senos ou dos cosenos, temos:

r=2b cos ⇒ r=−2b sen⇒r=−2b sen −2b 2 cos⇒ r=−2b 2cos = t⇒=⇒ θ=0

a= r−r 2 rr 2 r a=−2b 2 cos −2b 2 cos r−2⋅2b 2 sen

a=−4b 2 sen rcos Porem sabemos que:r=cos isen j=−sen icos j

Assim temos:sen rcos =ja=−4b 2 j⇒a=4b 2=const.

5. O movimento de um ponto material sobre a superfície de um cone circular reto é definido por R=ht tg , =2t e z=ht , onde é o ângulo do vértice do cone e h é o avanço em altura que o ponto sofre em cada volta completa. Determine os módulos da

velocidade e da aceleração do ponto, em função do tempo t .

6. O movimento tridimensional de um ponto é definido por R=A , =2t , e z=Asen 2 2t . Determine a (a) velocidade e a

(b) aceleração, em modulo.

v=R erR e z ka= R−R 2 er R 2 R eθ z k2sen x cos x =sen 2x

RespostaR=A⇒ R=0, R=0=2 t ⇒=2 , =0z=Asen 2 2 t ⇒ z=2A 2sen 2t cos 2 t z=2Asen 4 t ⇒ z=8A2 cos 4 t

(a) v=2A e2A sen 4 t kv=4 A 24 A2 sin2 4t

v=2A1sen 2 4 t

(b) a= R−R θ2 er R θ2 Rθ eθ z kv=R e rR θ eθ z kv=0 er2A eθ2Aπ sen 4 t ka=A 2 2 er8A2cos 4 t k

( )kteAa rˆ)4cos(ˆ4 2 ππ +=

)4(cos14 22 tAa ππ +=

7. O movimento tridimensional de um ponto é definido por R=A 1−e−t , =2 t , e z=B 1−e−t . Determine a (a) velocidade e (b)

a aceleração, em modulo, para t=0 e t∞ .

Respostas:R=A 1−e−t ⇒ R=Ae−t , R=−Ae−t


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=2 t ⇒=2 , =0z=B 1−e−t ⇒ z=Be−t , z=−Be−t

(a) v=R erR θ eθ z kv=Ae−t er2A1−e−t eθBe−t k

v=A2e−2t4A221−e−t 2B2e−2t

Para t=0 v=A2B2

Para t∞ v=2A .

(b) a= R−R θ2 er R θ2 R θ eθ z ka=−Ae−t4π21−e−t e r4π Ae−t eθ−Be−t k

Para t=0 a=−A er4πA eθ−B ka=A2B216 A2 π 2

Para ∞→t reAa 24 π−= .a=16 A2 π 4=4Aπ2

8. Um elétron sobre a ação de um campo magnético espacialmente não uniforme o movimento em um espiral hiperbólico r =b , mostrado na figura abaixo. Determine o modulo da velocidade em termos de b , e =

Respostas: r=bθ

r=− b2

=− b2

,

(a) v= r err e

v= b2

err e

v= b2

4 2r 22=

2 b2r 24

v=2 b2b22=b

2 12

9. Um elétron sobre a ação de um campo magnético espacialmente não uniforme o movimento em um espiral r=r 0eb , mostrado na figura abaixo. Sabendo-se que θ=0 . Determine o modulo da aceleração em termos de b , r e =

Respostas: r=r 0 eb

r=r 0 b eb=r0 bωeb

r=r 0 b eb=r0 b22 eb

a=r 0 b2 2 eb−r02 eb er2r0 b2 eb e

a=r0 2 eb[ b2−1 er2b e]

a=2 r b2−124b2=2 r b4−2b214b2

a=2 r b42b21=2r b212

a=2 r b21

9. Uma partícula realiza um movimento obedecendo a equação r t =a t−t ' cos t ia t−t ' sen t j−b t−t ' j onde a ,b , e t ' são constantes. (a) Esboce um gráfico tridimensional xyz a trajetória da partícula no intervalo de 0≤t≤t ' , (b) e calcule o módulo de sua aceleração.

10. Uma partícula realiza um movimento obedecendo a equação r t =at cos t iat sen t jbt k , onde e a ,b e são constantes. (a) Esboce um gráfico tridimensional xyz a trajetória da partícula, (b) e calcule o módulo de sua aceleração.


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Exercícios Mecânica vetorial para Engenheiros