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Departamento de Engenharia de Minas - EEUFMG CURSO: INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E OPERAÇÃO DE LAVRA (A CÉU ABERTO E SUBTERRÂNEA) I Etapa – Introdução ao Planejamento de Lavra Universidade Corporativa Chemtech Professores: Cláudio Lúcio Lopes Pinto Prof. Associado, Dr. Universidade Federal de Minas Gerais José Ildefonso Gusmão Dutra Prof. Associado, Dr. Universidade Federal de Minas Gerais Setembro de 2008 Departamento de Engenharia de Minas - EEUFMG Rua Espírito Santo, 35 – Sala 702 - Belo Horizonte, MG

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CURSO:

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E OPERAÇÃO DE LAVRA (A CÉU ABERTO E SUBTERRÂNEA)

I Etapa – Introdução ao Planejamento de Lavra

Universidade Corporativa Chemtech

Professores:

Cláudio Lúcio Lopes Pinto Prof. Associado, Dr.

Universidade Federal de Minas Gerais

José Ildefonso Gusmão Dutra Prof. Associado, Dr.

Universidade Federal de Minas Gerais

Setembro de 2008

Departamento de Engenharia de Minas - EEUFMG Rua Espírito Santo, 35 – Sala 702 - Belo Horizonte, MG

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CURSO DE INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E OPERAÇÃO DE LAVRA

PROGRAMA I Etapa – Introdução ao Planejamento de Lavra (8 horas-aula)

Pág. 1. Fundamentos do planejamento ...............................................................................3

1.1. Conceito de planejamento...............................................................................3 1.2. Aspectos gerais de um empreendimento em mineração.................................5 1.3. Fases do planejamento ...................................................................................7

1.3.1. Estudo conceitual ....................................................................................7 1.3.2. Estudo preliminar ....................................................................................7 1.3.3. Estudo de viabilidade ..............................................................................8

1.4. Custos do planejamento...................................................................................9 2. Planejamento a longo, médio e curto prazos ........................................................13

2.1. Planejamento a longo prazo..........................................................................14 2.2. Planejamento a médio prazo.........................................................................14 2.3. Planejamento a curto prazo...........................................................................15

3. Modelo geológico ..................................................................................................16 4. Modelo econômico de blocos ................................................................................17

4.1. Valor econômico de blocos ...........................................................................19 5. Determinação dos limites da cava.........................................................................20

5.1. Métodos manuais ..........................................................................................20 5.2. Técnica do cone flutuante .............................................................................23 5.3. Algorítmo de Lerchs-Grossmann...................................................................30

5.3.1. Abordagens para o planejamento da cava final ....................................30 5.3.2. Aspectos relevantes da otimização de cava final ..................................41

5.4. Parametrização de jazidas ............................................................................42 5.5. Razão de extração ........................................................................................46

5.5.1. Relação estéril/minério (aspectos geométricos)....................................46 5.5.2. Relação estéril/minério (aspectos econômicos) ....................................48

6. Bibliografia.............................................................................................................51

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I ETAPA – INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO DE LAVRA 1. Fundamentos do Planejamento

1.1. Conceito de planejamento

O planejamento de lavra é o resultado de um conjunto de tarefas que visam ao melhor aproveitamento dos recursos minerais. Melhor aproveitamento esse que se dá sob o ponto de vista da otimização da recuperação do bem mineral útil em função da maximização do lucro. Os modelos matemáticos e computacionais atualmente empregados no planejamento de lavra buscam exatamente a otimização da quantidade de bem mineral útil recuperada em função do lucro máximo. E embora possa parecer que a busca por lucro máximo conduza a um baixo aproveitamento dos recursos, esses modelos têm mostrado que o melhor aproveitamento desses recursos é conseguido com a maximização do lucro.

Entretanto, deve-se ressaltar que o lucro máximo não consiste no lucro percentual máximo, mas sim no volume de lucro máximo. Isso somente é conseguido com a utilização do efeito de escala.

Fisicamente o planejamento de lavra objetiva extrair a maior quantidade de minério e a menor quantidade de estéril. Contudo, muitas vezes a extração do minério ou a sua liberação (minério pronto para extração, livre de estéril, mas que não foi ainda extraído) só é possível quando o estéril é retirado dentro de um cronograma planejado economicamente.

Seguem abaixo algumas definições importantes:

Minério: Mineral ou composto de minerais que pode ser recuperado (conhecido, lavrado e processado) com resultados lucrativos.

Estéril: Mineral ou composto de minerais desprovido de valor econômico, lavrado para

liberação do minério.

O conceito de extração dirigida para os engenheiros pode ser simplificado por:

Beneficio = receita – custos

Receita = material recuperado x preço unitário

Custo = material lavrado x custo unitário

O valor do minério é, salvo considerações especiais como minerais de interesse estratégico, função do mercado (oferta e demanda). Novas tecnologias, continuamente em desenvolvimento, interferem nas relações acima reduzindo custos (novos equipamentos, por exemplo) e aumentando ou reduzindo a receita (competição ou

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substituição de matérias primas, por exemplo). Como conseqüência novas tecnologias podem transformar estéril em minério, e vice-versa. Pesquisa: Fase de um empreendimento minério que compreende a prospecção (procura)

e exploração (conhecimento) dos bens minerais. Desenvolvimento: Procedimentos realizados para permitir o início do processo de lavra

do minério (acessos, energia, construções civis, insumos, decapeamento, etc.)

Produção: Recuperação, extração, lavra ou explotação dos bens minerais e sua

adequação (beneficiamento ou tratamento) as condições do mercado. Ocorrência Mineral: Presença de um ou mais minerais em local definido e em condições

(qualidade e quantidade) distintas de uma situação comum (anomalia).

Jazida: ocorrência mineral com potencialidade de recuperação econômica. Mina: Jazida mineral em que ocorrem processos de recuperação mineral (lavra).

As informações mais importantes decorrentes da pesquisa mineral são as definições de Recursos Minerais: inferido, indicado e medido e Reserva Mineral: provável e provada. Essas informações serão mais precisas quanto maior for o conhecimento sobre as ocorrências.

Para demonstrar a variação e o grau de certezas geológicas, os recursos podem ser divididos em medidos, indicados e inferidos.

• Medidos: A quantidade (tonelagem e/ou volume) e a qualidade (teor) são

calculadas a partir das informações de afloramentos, trincheiras, furos de sondagem. Por analogia, valores interpolados.

• Indicados: As informações são obtidas de forma similar àquela dos recursos medidos, mas amostragem e medidas são mais distantes e com menor grau de confiabilidade. Por analogia, valores extrapolados.

• Inferidos: As estimativas são baseadas em evidencias geológicas assumindo uma continuidade generalizada na qual a confiança nas informações é menor que nas duas definições anteriores.

O termo reserva refere-se à existência, e as características físico-químicas de uma

ocorrência mineral e não se refere aos equipamentos, estruturas, etc. necessários para recuperação mineral.

As reservas são classificadas como:

• Reserva provada: Parte do recurso mensurado como reserva (medida e indicada) que se pode provar sua viabilidade técnica e econômica de explotação.

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• Reserva provável: Parte dos recursos inferidos e indicados que se pode definir a possibilidade, futura talvez, de explotação.

Atualmente esses conceitos estão sendo amplamente discutidos. A revisão destes

conceitos introduzida no código de mineração Australiano de Recursos e Reservas (JORC), assim como o texto Classificação de recursos minerais de autoria do engenheiro Sergio Martins são leituras recomendadas. 1.2. Aspectos gerais de um empreendimento em mineração

O diagrama da figura abaixo mostra o processo de suprimento de substâncias minerais no mercado. Como se pode notar, uma mudança positiva no mercado local cria uma nova demanda ou aumenta a demanda existente para os produtos minerais. Em resposta a novas demandas, recursos financeiros são aplicados na pesquisa mineral resultando em novas descobertas de depósitos. Outro aspecto a considerar é que por meio do aumento de preço, os minerais podem tornar-se economicamente viáveis. É importante salientar ainda que depósitos antes economicamente inviáveis, podem passar a sê-lo, por exemplo, com o desenvolvimento tecnológico.

Processo de suprimento mineral

Os processos envolvidos na recuperação dos bens minerais são geralmente subdivididos em quatro fases: Prospecção, Exploração, Desenvolvimento e Explotação (lavra). As duas primeiras fases constituem a pesquisa mineral, a qual é responsável pelo estudo e caracterização da ocorrência mineral.

As informações obtidas na pesquisa mineral são fundamentais para a avaliação do depósito mineral bem como para o estudo de viabilidade da mineração. Após a avaliação e a viabilização do depósito mineral, tais informações passam a constituir a base para o planejamento e o projeto do empreendimento mineiro.

Durante o processo de modelagem do depósito, dependendo do porte do empreendimento, uma grande quantidade de informações é gerada. Com os modelos

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computacionais disponíveis atualmente é possível organizar estas informações para produzir um modelo tri-dimensional do depósito. Esse modelo considera as seguintes características: topografia, capeamento, geologia, estrutura, geomecânica, espessuras dos corpos, teores, tipologias etc..

O planejamento da mina envolve um processo complexo que depende, além dos aspectos técnicos, da localização, da experiência em gerenciamento de mina, das condições econômicas e da legislação. De maneira resumida, pode-se dizer que o planejamento de lavra deve buscar o método melhor e mais econômico possível para extrair o minério. Em outras palavras, o planejamento deve procurar o processo ótimo de mineração que possa resultar no lucro máximo. Entretanto, para maximizar o lucro torna-se necessário minimizar os custos e aumentar a recuperação na lavra ou buscar uma combinação das duas coisas.

O detalhamento dos processos utilizados, os “lay-out”, as especificações de equipamentos, o método de lavra, entre outros fatores dependem dos seguintes fatores:

1. características naturais e geológicas do corpo mineral: Tipo de minério, distribuição espacial, topografia, hidrologia, características ambientais de sua localização características metalúrgicas, etc.

2. fatores econômicos: Custos operacionais e de investimento, razão de produção, condições de mercado, etc.

3. fatores legais: regulamentações locais, regionais e nacionais, políticas de incentivo a mineração, etc.

4. fatores tecnológicos: equipamentos, ângulos de talude, altura de bancada, inclinação de rampas etc.

A dificuldade na determinação desses fatores torna evidente a complexidade das operações envolvidas na recuperação do bem mineral e, por conseqüência, também a importância do planejamento de tais operações. O objetivo do planejamento mineiro é, portanto, a recuperação organizada do bem mineral, de forma a obter o máximo lucro possível e otimizar a quantidade dos recursos extraídos.

A figura abaixo representa a capacidade relativa de influenciar os custos de cada fase do empreendimento de mineração.

EstudoPreliminar

EstudoConceitual

Estudode

Viabilidade

Projetoe

ConstruçãoComissio-

"Start Up" Operação

PLANEJAMENTO IMPLEMENTAÇÃO PRODUÇÃOFASES

ESTÁGIOS

DECISÃODE

INVESTIMENTO

namento

Fechamento

Capacidade relativa de influência nos custos

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Como mostra a figura, a fase de planejamento apresenta a melhor oportunidade de

minimizar o capital de investimento e os custos operacionais do projeto final pela maximização da operacionalidade e da lucratividade do empreendimento. O contrário também é verdade. Nenhuma outra fase do projeto apresenta a mesma possibilidade de conduzir a um desastre técnico ou financeiro como a fase do planejamento.

No início do estudo conceitual, a capacidade de influência nos custos do projeto é relativamente grande. Quando as decisões são tomadas corretamente, durante a fase de planejamento, a influência das fases seguintes nos custos do empreendimento diminui rapidamente. A capacidade de influenciar no custo do projeto diminui ainda mais quando novas decisões são tomadas durante o estágio de projeto na fase de implementação. No final desta fase não existe, praticamente, mais chance de influenciar nos custos das fases seguintes.

1.3. Fases do planejamento O planejamento, como mostra a figura anterior, pode ser constituído por três

fases: Estudo Conceitual, Estudos Preliminares e Estudos de Viabilidade. 1.3.1. Estudo Conceitual

O primeiro estágio, estudo conceitual, representa a transformação das idéias

iniciais do projeto em proposições de investimento. Utiliza-se, nesta fase, situações comparativas e técnicas de estimação de custo, como por exemplo, os casos históricos. Em termos de precisão dos resultados de estimação de custos, tanto de investimento quanto de operação, apresentados no relatório de avaliação preliminar, são, normalmente considerados aceitáveis se apresentam erros da ordem de 30%.

1.3.2. Estudo preliminar

Os estudos preliminares apresentam um nível de detalhamento, cujos

resultados ainda não são suficientes para se tomar uma decisão de investimento. Seu principal objetivo é determinar se o projeto conceitual justifica uma análise mais detalhada através de um estudo de viabilidade. Esse estudo deve ser visto como o intermediário entre um estudo conceitual de baixo custo e um estudo de viabilidade de alto custo. Alguns desses estudos são realizados por duas ou três pessoas da empresa com acesso a consultores de vários campos de conhecimento. A lista seguinte apresenta as seções importantes que compõem um relatório intermediário de avaliação.

1. Objetivo 2. Conceitos Técnicos 3. Conhecimento Inicial 4. Tonelagem e Teor

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5. Programação de Lavra e Produção 6. Estimação de Custos de Investimento 7. Estimação de Custos Operacionais 8. Estimação de Receita 9. Impostos e Aspectos Financeiros 10. Fluxo de caixa A precisão das estimações de custo, nesta fase, situa-se em torno de 20%,

dependendo do grau de detalhamento dos itens relacionados acima, que por sua vez dependem da quantidade e da qualidade das informações disponíveis.

1.3.3. Estudo de viabilidade

O estudo de viabilidade é a essência do processo de avaliação de mina. No

projeto de mineração esse estudo representa uma estimação de engenharia econômica à viabilidade comercial do referido projeto. É o resultado de um procedimento relativamente formal obtido por meio da análise das várias relações que existem entre a grande quantidade de fatores que afetam o projeto em questão direta ou indiretamente. Em essência, o objetivo desse estudo é refinar os fatores básicos que regem as mudanças para o sucesso do projeto. Uma vez definidos e estudados todos os fatores relativos ao projeto, um esforço deve ser feito no sentido de quantificar o maior número possível de variáveis, visando à determinação de um valor potencial ou custo para o bem mineral.

Como um projeto progride a partir dos resultados iniciais da exploração, até que as decisões para desenvolver e lavrar os recursos sejam tomadas, um número considerável de análises deve ser realizado, cada qual baseado numa quantidade crescente de informações, requerendo tempo adicional para essas tarefas, com o objetivo de aumentar a precisão dos resultados.

Supondo uma decisão favorável para continuação do projeto, a próxima seqüência de decisões deve ser fundamentada em estudos que utilizem informações muito mais detalhadas. Esse estudo designado de pré-viabilidade ou estudo econômico intermediário é baseado em quantidades crescentes de dados relativos a informações geológicas, projetos preliminares de engenharia, planejamento de lavra e de instalações de beneficiamento e estimação inicial de receitas e custos.

Os estudos econômicos intermediários devem considerar as informações e análises dos itens seguintes: projeto descritivo, geologia, lavra, beneficiamento, necessidades operacionais, transporte, cidades próximas e vantagens relativas, necessidade de mão-de-obra, legislação e análise econômica.

O estudo de viabilidade considera uma análise detalhada de todos os parâmetros incluídos no estudo econômico intermediário, justamente com outros fatores pertinentes relativos a aspectos legais e políticos que afetam a viabilidade do projeto.

O estudo de viabilidade deve fornecer todos os conhecimentos técnicos, ambientais e comerciais (capacidade de produção, aporte tecnológico, custos de investimento e operacional, receitas, taxa de retorno, etc.) para a tomada de decisão de implementação ou não do projeto. O relatório (ou os resultados) produzido nesta fase será o documento básico para todas as fases subseqüentes do projeto.

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Uma metodologia proposta para o estudo de viabilidade compreende onze itens distribuídos em três fases:

• Fase I - Planejamento: Itens 01 Estabelecimento de um comitê gerencial 02 Estabelecimento da equipe de estudos 03 Desenvolvimento e sistematização do estudo 04 Desenvolvimento de um plano de ação

• Fase II - Organização:

Itens 05 Identificação dos requerimentos adicionais 06 Identificação de membros para a equipe de trabalho 07 Desenvolvimento da estrutura organizacional e definição de

responsabilidades 08 Desenvolvimento de planos e programações secundárias 09 Identificação dos especialistas necessários 10 Avaliação e contratação dos consultores

• Fase III - Execução:

Itens 11 Execução, Monitoramento e Controle

1.4. Custos do planejamento

O custo desses estudos varia substancialmente de acordo com o porte, natureza do projeto, tipos de estudos e pesquisas, numero de alternativas a serem investigadas, etc.. Dessa forma, a ordem de grandeza em termos de estudos técnicos, excluindo itens como sondagens, testes metalúrgicos, estudos de impacto ambiental podem ser expressos ( Hustrulid 1995) em termos do capital para o investimento total:

• Estudo conceitual: 0.1 a 0.3 % • Estudo preliminar : 0.2 a 0.8 % • Estudo de viabilidade : 0.5 a 1.5%

Conteúdo de um relatório intermediário de avaliação

• Breve descrição sobre o conhecimento existente sobre o investimento. • Conceitos técnicos • Conclusões com comentários e recomendações • Tonelagem de minério e qualidade • Escala de produção • Capital e estimativa de custo • Lucro estimado

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• Taxas de financiamento • Fluxo de caixa

Taylor 1977 apresenta uma proposta de conteúdo detalhado para o relatório

intermediário, conforme a tabela mostrada a seguir:

Conteúdo de um relatório intermediário de avaliação

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Conteúdo de um relatório de estudo de viabilidade

As principais funções desse relatório são: • Prover através de uma estrutura compreensível de fatos detalhados e

comprovados concernentes ao projeto mineral. • Apresentar um esquema apropriado de lavra contendo desenhos ou figuras ou

fotos e lista de equipamentos, com detalhamento de previsão de custos e resultados.

• Indicar aos proprietários do projeto a lucratividade do projeto considerando que

os equipamentos operam dentro das especificações

• Mostra de forma inteligível e concisa aos proprietários, parceiros, sócios ou fontes de financiamento.

Apresenta-se, na seqüência, uma proposta de Taylor (1977) para o detalhamento do estudo:

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Conteúdo de um estudo de viabilidade

2. Planejamento a longo, médio e curto prazos

Uma das principais tarefas do engenheiro no desenvolvimento de um empreendimento mineiro a céu aberto é o planejamento da cava. Há basicamente três grupos de fatores envolvidos nesse planejamento.

a) Fatores naturais e geológicos: condições geológicas, tipos de minérios, condições hidrológicas, topografia e características metalúrgicas do minério.

b) Fatores econômicos: teor e tonelagem do minério, razão de extração, teor de corte, custo operacional, custo de investimento, lucro desejado, razão de produção e condições de mercado.

c) Fatores tecnológicos: equipamentos, ângulo de talude, altura da bancada, rampa da estrada, limites de propriedade e limites da cava.

Pode-se afirmar, sem sombra de dúvida, que a determinação do limite da cava final é a consideração mais importante e trabalhosa no planejamento de lavra. Para

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confirmar esta afirmação basta lembrar que todas as decisões no projeto de lavra são baseadas neste limite final de cava. Igual importância deve ser dada ao desenvolvimento de uma seqüência ótima de lavra e de um cronograma de produção ao longo da vida da mina.

Como um primeiro passo, tanto para o planejamento a longo prazo como no médio prazo, os limites da cava devem ser determinados. Esses limites definem a quantidade de bem mineral lavrável e a quantidade de rejeito e estéril associados que devem ser movimentados durante as operações de produção. O tamanho, geometria e locação da cava final são importantes para o planejamento de bota-foras, barragens de rejeito, plantas de concentração e demais instalações industriais.

2.1. Planejamento a longo prazo No planejamento longo prazo, procura-se definir o limite da cava final. Ao longo

do tempo esse plano deve sofrer mudanças como conseqüência de mudanças na economia de mercado, aumento do conhecimento do corpo de minério e melhoria na tecnologia de mineração. Deste modo, o planejamento longo prazo deve sofrer atualizações a intervalos de tempo visando adequá-lo a novas situações.

O limite final da cava define a fronteira além da qual a lavra de um determinado bem mineral deixa de ser econômica. Portanto, dentro deste limite não podem ser construídas estruturas permanentes da mina, tais como: plantas de beneficiamento, barragem de rejeito etc.

Existem basicamente três grupos principais de abordagem para o planejamento de cava final:

a) Abordagem manual b) Abordagem computacional c) Combinação de ambas

2.2. Planejamento a médio prazo

No planejamento médio prazo, a escala e a seqüência de produção devem merecer atenção especial. Os equipamentos e os sistemas de operação da mina são implantados visando a atender a produção dentro de critérios ótimos de produtividade, buscando manter a viabilidade operacional e a exposição de minério de modo a garantir a continuidade da lavra para atender aos compromissos de produção da empresa.

O objetivo da programação de produção é a maximização do valor presente líquido e o retorno do investimento que pode ser derivado da extração, concentração e venda de algum produto do depósito mineral. O método e a seqüência de extração, o teor de corte e a estratégia de produção são afetados pelos seguintes fatores primários:

a) Locação e distribuição do minério com relação a topografia e cota b) Tipos de minério, características físicas e teor c) Despesas diretas com operação associadas com a lavra e o beneficiamento

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d) Custo de capital inicial e de reposição necessários para iniciar e manter a operação

e) Custos indiretos f) Fatores de recuperação dos produtos e valores g) Restrições de mercado e de capital h) Considerações ambientais e políticas

2.3. Planejamento a curto prazo

Esse planejamento tem como objetivo, uma lavra para um mínimo de seis meses

e um máximo de um ano. De uma maneira geral esse planejamento não está baseado no conceito de cava ótima, mas sim em determinar áreas de lavra e desenvolvimento no curto prazo, com o maior fluxo de caixa, contudo limitado pelo conceito econômico e geométrico da cava ótima.

Desta forma o planejamento de curto prazo é uma serie de seqüências de expansões que o seu somatório deverá ser fisicamente a exaustão da reserva lavrável e o resultado econômico a relação estéril minério global. Cada planejamento curto prazo objetiva a relação custo benefício teórica:

Rb = rendimentos / todos os custos > 1 O engenheiro de Minas através do estudo da distribuição de teores e

conhecimento topográfico poderá chegar a um planejamento estratégico de curto prazo com o benefício máximo.

A figura abaixo mostra uma seqüência de lavra. A sequência de extração para uma relação custo beneficio alta seria a seqüência de lavra de A a G.

Sequenciamento de lavra

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3. Modelo geológico

O modelo geológico é utilizado para caracterizar os recursos minerais. Atualmente usa-se o modelo geológico tri-dimensional, que consiste em uma compilação de todas as informações geológicas, observações e estudos disponíveis, organizados de forma a representar e esclarecer as particularidades geológicas do depósito, sob um ponto de vista empírico e genético.

O modelo pode ser extremamente simples ou altamente complexo, dependendo da natureza dos recursos, da disponibilidade de informações, ou do grau de sofisticação do modelo de estudo empregado.

O modelo empírico representa a compilação e integração de numerosos tipos de informações químicas, mineralógicas, estruturais e não raramente numericamente quantificáveis. O modelo genético ou conceitual procura esclarecer a distribuição e origem das características importantes de modo útil e prático. O modelo geológico sempre deve ser atualizado ou revisto à medida que novas informações são obtidas.

Os problemas fundamentais da caracterização de recursos minerais com o objetivo de avaliar e estimar a reserva mineral são a quantidade de informação geológica, a análise e interpretação desta informação e a extensão dessa interpretação a partes não pesquisadas da área. Tais informações muitas vezes não apresentam um grau de representatividade aceitável e, mesmo assim, a partir delas são feitas sínteses dos valores quantitativos e qualitativos que servem para a elaboração do relatório final sobre a área pesquisada.

Em termos mais simples, a imprecisão dos resultados está nos questionamentos: onde está localizado o recurso mineral (minério), quais são seus limites (forma do corpo), qual é sua qualidade e quantidade (teor) e qual é a natureza do ambiente associado a este recurso. Infelizmente essa simplificação no modelo conduz a modelos de corpos com limites bem definidos, que somente acontecem em poucos tipos específicos de depósitos. Mais comumente, os depósitos são irregulares e apresentam uma distribuição de teores bastante irregular.

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A figura a seguir é uma representação simples e objetiva que ilustra a estimação da definição de um modelo geológico.

Em resumo, um levantamento geológico bem conduzido com base numa interpretação criteriosa das informações é a única receita para uma boa caracterização do depósito. 4. Modelo econômico de blocos

Com a evolução dos computadores e o crescente desenvolvimento de modelos matemáticos empregados no planejamento e projeto de lavra, o modelo de blocos tornou-se uma ferramenta indispensável para o engenheiro de minas. A divisão em blocos é uma maneira de discretizar o domínio a ser estudado por meio de um modelo matemático sendo o tamanho do bloco a menor porção que o “olho” matemático do modelo consegue “enxergar”.

A representação de corpos de minério por meio de modelo de blocos ao invés da representação por seções e o armazenamento das informações em computadores de alta capacidade de memória e velocidade de processamento tem oferecido novas possibilidades ao planejamento de lavra. O uso de computadores possibilita a atualização rápida dos planos de lavra como também permite a abordagem de um grande número de parâmetros por meio da análise de sensibilidade.

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O dimensionamento do bloco unitário leva em conta as características da mineralização e a quantidade de informações disponíveis. O tamanho do bloco é uma função da quantidade de informações disponíveis para a estimação das variáveis de interesse contidas no mesmo. De um modo geral pode-se afirmar que, para uma determinada quantidade de informações (por exemplo, amostras de sondagem), quanto menor for o tamanho do bloco, maior será o erro na estimação do bloco e, conseqüentemente, menor será a confiabilidade do modelo.

O modelo de blocos é, portanto, a base para a grande maioria dos projetos de cava desenvolvidos por computador (modelos).

Para definir todo o domínio é necessário determinar um bloco retangular grande o suficiente para conter todo o volume do depósito mineral a ser estudado. Os blocos do domínio podem ser de vários tamanhos e formas.

Domínio global e discretizado em blocos

A posição geométrica de um bloco é fixada em relação a um sistema coordenado apropriado. A cada bloco são atribuídas informações relativas à geologia, mecânica de rochas, processamento mineral e custo. Há vários tipos de modelos de blocos, entretanto, o modelo de bloco regular tridimensional é o mais largamente utilizado na prática. A altura do bloco normalmente é coincidente com a altura da bancada de lavra ou múltiplo dela. A seção horizontal normalmente tem a forma de um quadrado ou retângulo. A principal característica de um modelo de bloco tridimensional é que todos os blocos possuem as mesmas dimensões e forma.

A atribuição de valores para cada bloco pode ser feita por meio de várias técnicas de interpolação. Dentre elas, as mais utilizadas são:

a) Geoestatística usando Krigagem; b) Inverso da potência da distância, e c) Método dos polígonos.

No sentido físico de utilização, o modelo de blocos toma a forma de um arquivo

de computador, no qual são armazenadas as informações relativas a posição, dimensões e variáveis de interesse. A figura mostra um modelo de blocos com representação dos blocos extraídos.

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Modelo de blocos com representação de blocos extraídos

Modelo de blocos com representação da superfície topográfica e geologia

4.1. Valor econômico de blocos

Na busca de um critério de otimização para maximizar o valor total da cava, o principal problema enfrentado no planejamento da cava se restringe a encontrar uma

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coleção de blocos que forneçam o valor máximo possível; sujeito, naturalmente, às restrições impostas ao projeto. Deste modo, o valor econômico de cada bloco é de fundamental importância no planejamento de lavra.

Cada bloco dentro do domínio pode ser caracterizado por: a) Receita = R = Valor da porção recuperável e vendável do bloco; b) Custos diretos = CD = custos que podem ser atribuídos diretamente ao bloco

(ex. Custos de perfuração, desmonte, carregamento e transporte) c) Custos indiretos = CI = custos totais que não podem ser alocados

individualmente a cada bloco. Tais custos são dependentes do tempo (ex: salários de pessoal administrativo e de gerência, custos de pesquisa etc.)

Considerando estes parâmetros de custo, o valor econômico do bloco (VEB) pode

ser definido como: VEB = R – CD

Na fórmula acima é possível notar que o lucro ou prejuízo não é contemplado no

valor econômico do bloco. Para determinar o lucro ou prejuízo é necessário considerar também os custos indiretos (CI):

Lucro (ou prejuízo) = Σ(VEB) -CI

Blocos de estéril e rejeito da mina apresentam VEB negativo, uma vez que não

apresentam receita. Blocos de minério e blocos contendo tanto minério como estéril (ou rejeito de mina) podem apresentar VEB menor igual ou maior do que zero dependendo da quantidade e qualidade do minério neles contido.

Qualquer critério de otimização para o planejamento da cava final deve pois considerar:

Máximo Z = Σ (VEB)j

Deve ser considerado que esse máximo sempre está sujeito às restrições impostas pela estabilidade de taludes e operações mineiras. 5. Determinação dos limites da cava 5.1. Métodos manuais

A abordagem manual para o planejamento de cava final é um método tradicional de planejamento. Ela é baseada fundamentalmente no conceito de relação estéril/minério. Constitui-se num método de tentativa e erro cujo sucesso depende muito mais da habilidade e decisão do engenheiro de minas que executa o planejamento.

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Diversos detalhes preliminares são requeridos antes de iniciar o planejamento manual da cava, incluindo:

a) Seções verticais mostrando claramente os limites do minério e a distribuição de teores dentro do minério e o estéril;

b) Planta de cada nível da mina mostrando os limites correspondentes de minério e de estéril;

c) Ângulo de talude máximo admissível para os vários tipos de rocha; d) Largura mínima do fundo da cava proposta; e) Curvas de extração relevantes mostrando a variação da razão de extração

com o teor de minério e possíveis preços de venda. Normalmente, o método manual utiliza três tipos de seções verticais (conforme a

figura abaixo) para representar o depósito mineral: seção vertical, seção longitudinal e seção radial.

Tipos de seções verticais usados no método manual de planejamento de cava

Em cada seção deverão estar representados os teores de minério, a topografia da superfície, a geologia, o controle estrutural e qualquer outra informação importante para o planejamento. A relação estéril/minério é usada para traçar os limites da cava em cada seção. Os limites da cava são colocados em cada seção de modo que a quantidade de bem mineral nessa seção apresente uma receita que cubra as despesas, inclusive com o estéril. Uma vez lançado o minério e o estéril na seção calcula-se a relação estéril/minério na seção e compara-se com a relação estéril/minério econômica. Se a relação estéril/minério calculada é menor do que a relação econômica, a cava pode ser ampliada na referida seção. Caso a relação estéril minério seja maior, o limite da cava na seção é diminuído. Esse processo continua até que o limite da cava seja colocado num ponto onde a relação estéril/minério calculada seja igual à relação estéril/minério econômica. Vale lembrar que a relação econômica é aquela de lucro máximo. O lucro máximo não é necessariamente aquele que maximiza a quantidade de minério nem o lucro percentual mas sim ao volume máximo de lucro.

Na primeira figura, o teor do lado direito da cava foi estimado em 0,6% de cobre. Com um preço de $ 2,25 por kg de cobre, a relação de extração limite (na figura seguinte)

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é de 1,3:1. A linha para o limite da cava final foi encontrada usando o ângulo de talude e locada num ponto que forneça uma relação estéril/minério de 1,3:1. No limite

Comprimento no estéril (XY) / Comprimento no minério (YZ) = 1,3/1

Limites da cava em seção vertical

Razões de extração para diferentes teores de minério e preços de metal

No lado esquerdo da seção, o limite da cava para o teor de 0,7% de cobre é

determinado da mesma forma usando uma relação de extração de 1,7:1. Se o teor do minério muda, a razão de extração de corte também muda.

Do mesmo modo, os limites da cava são estabelecidos na seção longitudinal com as mesmas curvas de razão de extração.

Uma vez definida a cava em cada seção, o próximo passo é transferir os limites da cava de cada seção para um mapa do depósito. Após a transferência dos limites da cava em cada seção para o mapa, deve ser feita a suavização da curva para os limites da cava na superfície e para cada nível considerado.

Após ter concluído a suavização dos limites em planta, a razão de extração deve ser revista par verificar se continua satisfazendo a razão de extração econômica.

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5.2. Técnica do cone flutuante

O método consiste numa pesquisa do contorno ótimo por tentativas. O ápice do cone é movido de um bloco de minério para outro, sendo feito o cálculo do valor do cone para cada posição explorada. Quando o valor calculado é positivo, o cone é dito como contribuição positiva para o lucro da cava, e armazenado para ser lavrado, com os blocos de minério e estéril contidos no cone. O método identifica e conserva em memória os sucessivos cones fortes e fracos. Os sucessivos cones vão sendo transformados com adições e subtrações de blocos tal como na normalização das árvores construídos no ALG.

O método apresenta um grave problema, conhecido como “cones fracos, que em determinadas situações de decisão de lavra de blocos de minério, remove significativo excesso de estéril ou não remove o bloco de minério que em outros algoritmos otimizadores (como Lerch-Grossmann) seriam lavrados. Na verdade, o programa não é otimizador.

Tão logo foi divulgado, o método de Lerchs & Grossmann foi possível a operacionalização do método clássico de Cones Deslizantes (“moving coning methods”), que até então como aplicação isolada, frustrava as primeiras tentativas de otimização de cavas.

O cálculo é feito a partir de uma matriz de blocos em que os teores dos blocos são calculados por métodos consagrados como krigagem ou inverso do quadrado da distância. A continuidade do procedimento conduz a um teor mínimo de explotação e, um ângulo determinado para a inclinação das paredes da cava. Coloca-se o cone no primeiro bloco econômico (maior que o teor mínimo de explotação) que exista na matriz de blocos, começando de cima para baixo e da esquerda para a direita fazendo-se a avaliação de todos os blocos com valores positivos acima do teor mínimo estabelecido para a explotação, como mostra a figura 7.4.1. A viabilidade econômica do cone é calculada utilizando a seguinte fórmula:

B = (Pr x RM x G x NB - (MM + P) x NB - (ME x NE)) x VB x DA

onde B = Benefício Pr = Preço de venda do metal (mineral) RM = Recuperação Metalúrgica (metálica) G = Teor médio NB = Número de blocos com G como teor médio MM = Custo de extração e transporte de cada tonelada de minério P = Custo de processamento para cada tonelada de minério ME = Custo de extração e transporte para cada tonelada de estéril NE = Número de blocos estéreis VB = Volume do bloco DA = Densidade aparente

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Se o benefício é positivo, todos os blocos incluídos dentro do cone são selecionados e retirados da matriz de blocos, originando uma nova superfície. Pelo contrário, se o benefício é negativo, a matriz permanece como está e o vértice do cone translada-se ao segundo bloco cujo valor está acima do teor mínimo de lavra, e o processo é repetido.

Otimização econômica pelo método dos cones flutuantes

No exemplo da figura acima, se o primeiro cone gera resultados positivos, o

segundo cone apenas geraria blocos já avaliados positivamente, pois a sua economicidade é mais do que provável. Se o benefício é negativo no primeiro cone e positivo no segundo, o cone volta a transladar-se ao primeiro cone, pois a extração dos blocos do segundo cone pode viabilizar a extração do primeiro cone. A técnica é portanto, interativa e termina quando forem avaliados todos os blocos que possuam teores acima do teor mínimo de explotação, e não se possa aumentar mais o tamanho da cava, nem lateralmente nem para baixo. Economicamente, o algoritmo finaliza a sua avaliação quando os valores líquidos de todos os blocos avaliados não apresentarem mais nenhum valor positivo acima de um teor mínimo determinado para a cava de explotação.

Na figura seguinte é mostrada uma matriz representativa de um modelo de blocos cuja otimização se realizará seguindo o método dos cones flutuantes. O processo se realiza da seguinte forma:

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Matriz de blocos representativa do método dos cones flutuantes

a) O primeiro nível apresenta um bloco com valor positivo; posto que não existem

blocos superiores, sua extração geraria resultados positivos, sendo o valor do cone do bloco (+1), conforme a seguinte figura:

Primeiro cone incremental para o método dos cones flutuantes.

b) O cone seguinte será definido pelo bloco do nível 2 e coluna 4 (+4). O valor do cone

será: -1-1-1+4 = +1

Como o valor do cone é positivo, o cone é extraído (figura abaixo).

Segundo cone incremental para o método dos cones flutuantes

c) O bloco seguinte a ser analisado será o do nível 3 e coluna 3 (+7). O valor desse

cone é:

-1-1-2-2+7 = +1

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Novamente o valor do cone é positivo, portanto também será extraído (figura abaixo).

Terceiro cone incremental para o método dos cones flutuantes.

d) Finalmente, o último cone será definido pelo nível 3 e coluna 4 (+1), cuja extração

gerará o seguinte valor:

-2+1 = -1 Neste caso, o valor é negativo por isso não será extraído (figura abaixo).

Quarto cone incremental para o método dos cones flutuantes.

O desenho final da cava é o mostrado na figura que segue:

Desenho final da cava de explotação para o método dos cones flutuantes

O valor total da cava será dado por:

-1-1-1-1-1+1-2-2+4+7 = +3

Nessa simulação simples, o desenho final obtido é o ótimo.

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Contudo, esse método de otimização nem sempre oferece a situação ótima, pois podem apresentar-se diferentes situações problemáticas. De certo, duas possíveis segundo BARNES, 1982:

a) O primeiro problema se apresenta quando blocos positivos são analisados individualmente. A extração de um único bloco positivo pode não se justificar, mas a combinação deste bloco com outros blocos que se sobrepõem pode-se gerar um cone com valores positivos. JOHNSON (1973, apud JIMENO, 1997) havia denominado essa situação como o problema do suporte mútuo. Na primeira e na quarta figuras da seqüência é representada essa situação (HUSTRULID e KUCHTA, 1995). O cone definido pelo bloco do nível 3 e coluna 3 (+10) tem um valor de:

-1-1-1-1-1-2-2-2+10 = -1

Matriz inicial de blocos para análise do primeiro

tipo de problema do método dos cones flutuantes.

Já que o resultado final do cone é negativo, não se extrai (figura abaixo). De igual forma, o cone estabelecido segundo o bloco do nível 3 e coluna 5 (+10) terá um valor de:

-1-1-1-1-1-2-2-2+10 = -1

Primeiro cone cuja extração não se realiza para o método dos cones flutuantes

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Também neste caso não se realizaria a sua explotação (figura abaixo). Portanto, usando a análise simples dos cones flutuantes, nenhum bloco será extraído nas duas simulações realizadas. Entretanto, devido à superposição (suporte mútuo) que apresentam ambos os cones anteriores, o valor de suas combinações apresentariam resultados positivos:

-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2+10+10 = +3 (10)

Segundo cone cuja extração não se realiza

para o método dos cones flutuantes.

Este desenho seria a autêntica otimização (figura abaixo). Esta situação pode-se apresentar com grande facilidade em jazidas reais, e a otimização simples pelo método dos cones flutuantes não a considera. Portanto, contemplar a técnica interativa, comentada anteriormente, resulta no único caminho para resolver situações deste tipo.

Desenho ótimo autêntico para o para o método dos cones flutuantes.

b) A segunda situação problemática se apresenta quando o método inclui blocos sem

benefício no desenho final da cava. Esta discussão pode reduzir o valor líquido da explotação. A primeira e a terceira figuras da seqüência mostram o problema. Dada a matriz da primeira figura, o cone correspondente ao bloco do nível 3 e coluna 3, (vide segunda figura da seqüência) definirá um valor de:

-1-1-1-1-1+5-2-2+5 = +1

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Matriz de blocos para análise do segundo tipo de

problema para o método dos cones flutuantes

Cone de tamanho maior para o bloco do nível 3 e coluna 3 do

segundo tipo de problema do método dos cones flutuantes

Desde que o valor deste cone seja positivo, não implica que deva ser extraído. Como se observa na figura abaixo, o valor do bloco correspondente ao nível 2 e coluna 2 terá um valor de:

-1-1-1+5 = +2 que será o valor do desenho ótimo, pois, uma vez extraído este, o seguinte gerará resultados negativos (nível 3 e coluna 3):

-1-1-2-2+5 = -1

Cone menor para o bloco do nível 2 e coluna 2 do segundo tipo de

problema para o método dos cones flutuantes.

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Nesse caso, o valor do cone menor (nível 2 e coluna 2) é maior que o valor do cone maior (nível 3 e coluna 3).

Apesar destes problemas, o método é muito simples em seu conceito, fácil de programar e de resolver num curto espaço de tempo. Apesar das variações que têm sido publicadas não terem produzido uma verdadeira otimização existe um número importante de aspectos positivos que possibilita a esta técnica ser uma das mais utilizadas.

a) O método é uma informatização das técnicas manuais, e por isso os usuários

podem utilizá-lo, entender o que estão fazendo e sentirem-se satisfeitos com os resultados.

b) O algoritmo é muito simples, permitindo uma fácil e ágil interface com outros programas de mineração.

c) O algoritmo gera resultados suficientemente seguros e confiáveis.

5.3. Algorítmo de Lerchs-Grossmann 5.3.1. Abordagens para o planejamento da cava final

Vários tipos de abordagem têm sido utilizados no planejamento da cava final. A

preferência por um método particular normalmente é baseada na familiaridade e na disponibilidade de um aplicativo do modelo a ser utilizado. Outro fator determinante é a disponibilidade de informações exigidas pelo modelo.

A tabela a seguir mostra vários tipos de métodos para projeto de cava final de acordo com a abordagem empregada. Esses métodos foram desenvolvidos entre 1964 e 1987. A simulação e a programação dinâmica são as técnicas mais empregadas. As técnicas de simulação incluem os cones móveis e as técnicas de programação dinâmica incluem o algorítmo de Lerchs & Grossman e suas modificações incluindo algorítmos bi e tridimensionais.

Tipos de abordagem para planejamento de cava final

Métodos básicos

Autor

Man

ual

Sim

ulaç

ão

Pro

gram

açã

o lin

ear

Pro

gram

açã

o di

nâm

ica

Teor

ia d

e G

rafu

s

Par

amet

riza

-ção

Axelson (1964 X Lerchs & Grossman (1965) X X Pana (1965) X Meyer (1966) X Erikson (1968) X Fairfield & Leigh (1969) X

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Métodos básicos Johnson & Sharp (1971) X Francois-Bongarçon & Marechal (1976) X

Lee & Kim (1979) X Koenigsberg (1982) X Wilke & Wright (1984) X Shenggui & Starfield (1985) X Wright (1987) X

Métodos computacionais e mistos Uma vez que os detalhes a serem considerados no planejamento de uma mina a

céu aberto normalmente são numerosos, o uso do computador torna-se necessário. Esses detalhes incluem:

a) O teor e a distribuição de teores dentro do depósito; b) Os custos de mineração; c) Propriedades das rochas e o correspondente ângulo de talude admissível por

tipo de rocha; d) Recuperação metalúrgica e e) Preço de venda. As informações importantes são inicialmente registradas no modelo de blocos. As

velocidades envolvidas no armazenamento das informações, no processamento das mesmas e na apresentação dos resultados são importantes para o planejamento de lavra para:

a) Aplicar algoritmos de planejamento cuja implementação seria impossível sem o computador e;

b) Examinar muito mais opções de projeto e assim possibilitar resultados melhores.

A utilização de métodos computacionais no planejamento de cava pode ser

dividida em dois grupos: a) Métodos assistidos por computador. O cálculo é feito pelo computador sob o

controle direto do engenheiro. O computador não executa o projeto inteiro mas somente realiza o trabalho de cálculo com o engenheiro controlando o processo. Exemplo disso é a utilização da técnica de Lerchs-Grossman.

b) Métodos automáticos. Eles são capazes de executar o planejamento da cava final para um dado conjunto de restrições físicas econômicas sem a intervenção do engenheiro. Uma categoria de métodos automáticos compreende técnicas matematicamente ótimas usando programação linear e dinâmica ou fluxo de rede. Uma segunda categoria utiliza os métodos heurísticos, tal como o método dos cones flutuantes que produz uma cava aceitável mais não necessariamente produz uma cava ótima.

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Algoritmos de otimização A implementação computacional de modelos para determinação de cava final

ótima em mineração a céu aberto avançou consideravelmente nos últimos anos. Quatro famílias genéricas de métodos computadorizados são utilizadas na indústria mineral:

a) Método por Incrementos, uma variante computadorizada do tradicional método

manual de “push-back”; b) Algoritmo utilizando Teoria dos Grafos, o mais conhecido é o Algoritmo de

Lerch & Grossman (ALG); c) Algoritmo dos Cones Móveis também chamado de Cones Flutuantes; d) Método de Parametrização Técnica de Reservas.

Método por incrementos

Dentro deste grupo enquadram-se os métodos gráficos e alguns métodos

algébricos para efetuar a otimização da cava final. Esse método tradicional, descrito por Pana e Daverey (1973), considera a área

delimitada pela jazida dividida em seções verticais paralelas, obtidas por meio de um método bidimensional, para cada uma das quais determina-se a cava final ótima pelo deslocamento das linhas que possam representar suas paredes (observado o ângulo de talude) e os “push&back” necessários. As seções adjacentes são, então, aproximadas para que passem a atender, no sentido longitudinal, à inclinação pré-fixada para as suas paredes.

Este método tem uso clássico no cálculo manual, porém dentro de um grau aceitável de exatidão, tem servido também a implementações que embora explorem as capacidades do computador, exigem considerável esforço técnico do usuário.

O processo pode ser bem ajustado para depósitos com características pouco variáveis numa determinada direção, e cujas seções estudadas sejam perpendiculares a essa direção. Caso contrário, o ajuste para três dimensões, a partir de seções otimizadas, pode fugir da solução ótima procurada.

Algoritmo de Lerchs & Grossman (ALG)

Usando a técnica de Programação Dinâmica, Lerchs, H. e Grossman, I. (1965)

introduzem, juntamente com um algoritmo de otimização bi-dimensional de cavas, o tratamento algébrico para a discretização da jazida em blocos tecnológicos.

Lerchs e Grossmann propuseram um algoritmo matemático que permite desenhar o contorno de uma explotação a céu aberto de tal forma que se maximize a diferença entre o valor total da mineralização explotada e o custo total da extração do minério e estéril. Este trabalho foi o começo das aplicações da informática na otimização de explotações a céu aberto, sendo o artigo que tem tido maior incidência nesta temática aplicada à indústria mineira. Contudo, seu uso não é universalmente aceito provavelmente pelas seguintes razões:

a) Complexidade do método em termos de compreensão e programação.

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b) Tempo requerido, em termos de ordenação para obtenção do desenho. Este fato tem gerado a criação de um grande número de algoritmos alternativos, como o algoritmo de KOROBOV, que reduz o tempo necessário para a otimização do desenho. Este problema aumenta se existe a necessidade de realizar uma análise de sensibilidade que gera múltiplos desenhos em função de mudanças nas variáveis tais como custos, preços, teores mínimos de lavra etc. Contudo, a chegada, nos últimos anos, de equipamentos de informática potentes a baixo custo tem minimizado, notavelmente, este problema.

c) Dificuldade para incorporar mudanças nos ângulos de taludes da cava de explotação. d) O critério de otimização se baseia no benefício total, enquanto deveria ser baseado

no Valor Atual Líquido (VAL). Esta dificuldade é comum na maior parte dos algoritmos existentes e tem uma solução difícil.

Considerando insatisfatoriamente a extensão deste método para três dimensões,

devido à necessidade de manterem-se as aproximações que em última análise afastam a solução do ótimo, estes autores apresentam no mesmo trabalho um segundo algoritmo, derivado da Teoria dos Garfos, que trata do problema, colocado sob as hipóteses características de discretização da jazida em blocos, através da procura do fecho máximo em um grafo associado. O benefício B associado de lavra i é representado por Bi, o problema de otimização em pauta pode ser formulado como sendo a busca da combinatória de blocos que maximizaram ΣiBi , respeitando os constrangimentos pertinentes ao caso em estudo. O contorno que satisfaz as restrições geométricas impostas, é representado por um fecho do grafo G=(X,v).

O algoritmo de Lerchs & Grossman (ALG) (1965), demonstrou que atinge o objetivo desejado com um número finito de iterações.

A grande vantagem obtida com a introdução dos conceitos de Programação Dinâmica na resolução dos problemas da cava final ótima, sem duvida, está relacionada com a rapidez na obtenção da solução, particularmente interessante para a avaliação de alternativas na programação da produção.

Método de Lerchs & Grossmann bidimensional (D)

O modelo bi-dimensional desenvolvido por Lerchs & Grossmann, acumula

características de simplicidade e precisão, sendo aplicável à determinação das configurações ótimas para a extração de blocos de cada seção vertical de um depósito mineral assim discretizado.

A figura abaixo mostra os procedimentos básicos para o uso do algoritmo de Lerchs & Grossmann para o planejamento de cava final. O esquema da figura a mostra uma seção vertical de um modelo de blocos com os valores econômicos de cada bloco, mij, escritos em cada bloco. Adicionalmente uma linha de “blocos de ar” foi sobreposta na seção como a linha 0. Essa linha serve como a linha de partida. Ela é necessária para determinar o limite da cava como a soma máxima dos valores econômicos dos blocos na seção, sujeita à restrição do ângulo máximo de talude de 1:1 bloco para ambos os lados da seção.

Na ordem para extrair um bloco no nível “i”, todos os blocos diretamente acima dele na coluna “j” , devem ser extraídos primeiro, designadamente os blocos nos níveis “i-

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1”, “i-2” etc. O valores econômicos dos blocos, mij , dos blocos em qualquer coluna, abaixo incluindo o bloco em consideração devem ser somados para dar o valor da coluna de blocos, Mij , sendo:

Mij = Σmij , para j = 1,2,...

Entretanto, para lavrar um bloco particular do nível “i”, é necessário não somente a extração de todos os blocos diretamente acima desse bloco na mesma coluna, mas também todos os blocos dentro do cone de remoção mínimo formado pelo ângulo de talude.

Agora, considerando qualquer bloco, bij , na coluna “j” em relação à coluna vizinha “j-1”, a restrição de talude assumida de 1:1 obriga que o bloco bij pode somente ser lavrado juntamente com o bloco bi-1, j-1 , bloco bi, j-1 ou o bloco bi+1, j-1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2

2 -6 5 5 5 5 5 5 -6

3 -7 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -7

4 -8 -8 -8 3 -8 -8 -8 -8 a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2

2 -8 3 3 3 3 3 3 -8

3 -15 1 1 1 1 1 1 -15

4 -23 -7 -7 4 -7 -7 -7 -23 b)

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 -2 -2 -1 2 5 8 11 14

2 X 1 4 7 10 13 16 X

3 X X 2 5 8 11 X X

4 X X X 7 0 X X X c)

Ilustração do uso do algoritmo de Lerchs & Grossmann

Evidentemente, deve-se procurar extrair esse bloco bij com a melhor combinação possível com os três blocos vizinhos para a maximização do valor econômico da cava no referido bloco.

Com Pij representando o valor ótimo obtido pela extração dos blocos que procuram maximixar o valor, incluindo o bloco bij , Pij pode ser escrito como:

Pi -1, j –1 Pij = Mij + Max Pi, j –1 Pi +1, j –1 A equação acima é a fórmula recursiva que dá a relação aplicável a qualquer

bloco na seção. Portanto, é possível usar esta equação para derivar todas as fronteiras de cava possíveis na seção e a partir delas determinar a cava limite com valor máximo.

Na prática deve-se começar a partir do bloco superior esquerdo da seção (por exemplo, com o bloco b00 ) e continuar aplicando a equação de Pij de modo descendente nas colunas da esquerda para a direita.

A determinação do valor econômico do bloco na cava, Pij , para cada bloco é feita durante a sequência. Os blocos são examinados na seguinte ordem: nível a nível dentro de cada coluna. Seguindo as colunas da esquerda para a direita. No fim da sequência, cada bloco terá seu valor na cava, Pij , e uma seta apontando para o vizinho ótimo na direção contrária ( aquele Pi, j –1 Max, escolhido para o cálculo de Pij .

Por exemplo, para o bloco b24 , figura 7.4.15 três possíveis combinações podem ser feitas. Sendo elas com os blocos b13, b23 ou b33 conduzindo aos valores:

P13 P24 = M24 + Max P23 P33

dando:

-1 P24 = 3 + Max 4 2

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A partir da fórmula acima o bloco vizinho b23 é o ótimo entre os vizinhos, sendo

indicado pela seta que sai do bloco b24 apontando para o bloco b23 na figura 7.4.15c. O traçado da fronteira da cava ótima é feito a partir do último bloco de ar da direita

(bloco b09 na figura 7.4.15c) seguindo as setas que apontam para o bloco ótimo na coluna da esquerda.

O ALG deu margem a verdadeira revolução, impulsionando a pesquisa de novos métodos e permitindo-se o apoio de outros, como os propostos por Vallet (1976) ou ainda por Bongarcon e Marechal (1976).

Embora inicialmente não tenha sido completamente aceito na prática por requerer, como os demais métodos então utilizados, um esforço subjetivo de aproximação das paredes laterais e fundo das cavas com relação as secções verticais vizinhas , esse método foi estendido posteriormente para otimização tri-dimensional com perspectivas favoráveis a obtenção de resultados mais satisfatórios como no método de Johnson e Sharp (1971), seguindo o esquema do ALG, sendo adaptado à obtenção de uma solução analítica para substituir a aproximação empírica das cavas estabelecidas nas seções transversais do depósito, por otimização bi-dimensional.

O problema de suavização da cava no sentido longitudinal surge em virtude dos cálculos das cavas transversais serem desenvolvidos isoladamente, sem qualquer preocupação quanto à compatibilidade dos resultados com respeito às seções contíguas. Em conseqüência, os contornos resultantes dificilmente se ajustam devido a inevitável defasagem dos níveis estabelecidos para exploração econômica em cada seção transversal.

Johnson e Sharp (1971), propuseram um método para estender estes cálculos ao levantamento dos contornos para cada possível nível de exploração que venha a ser fixado visando a composição da cava conjuntamente com as demais seções contíguas. Evidentemente a cava resultante observará as imposições quanto à inclinação máxima, já que estará fundamentada nos cálculos parciais de cavas viáveis possíveis.

No mercado, o ALG encontra-se implementado em programas como Whittle ( Whittle Programming) e Maxpit (Earthworks) com suas devidas modificações.

O algoritmo de programação dinâmica bidimensional (2D) de LERCHS e GROSSMANN, que determina, em seções, a configuração ótima dos blocos a extrair, tem como a grande maioria das técnicas bidimensionais, seu maior problema na complexidade e notável esforço que deve ser realizado para suavizar o fundo da cava, assim como para assegurar que as seções, nas diferentes direções, possam unir-se umas as outras, pois, como o método trabalha a duas dimensões de forma independente, não possibilita nenhuma segurança de que uma seção apresente um desenho compatível, geometricamente, com a seguinte. Ainda mais, a suavização que se pode realizar para conseguir a desejada tridimensionalidade jamais gerará uma solução ótima.

Existem diferentes opções para solucionar este problema. Uma delas é recorrer ao algoritmo tridimensional (3D) de LERCHS e GROSSMANN. A outra é optar por algoritmos que, sem possuir o caráter tridimensional, proporcionem uma solução que acrescente, ao menos parcialmente, uma tridimensionalidade ao problema. Um exemplo é o algoritmo denominado por BARNES como 2 ½ D.

Na figura seguinte são mostradas cinco seções consecutivas de um hipotético bloco tridimensional a otimizar. Começando com a primeira seção, se determinam os

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desenhos ótimos de explotação para cada um dos níveis considerados (quatro no presente exemplo, figura 7.4.17). Uma vez calculados estes (definidos com uma versão ligeiramente modificada do algoritmo de LERCHS e GROSSMANN 2D), se obtém os valores líquidos para cada um dos desenhos, que são:

Nível 1 → 2, Nível 2 → -3, Nível 3 → 1 e Nível 4 → -7

Seções para o desenvolvimento do método de Lerchs&Grossmann 2½ D.

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Desenhos de explotações ótimas para análise da seção 1 da figura anterior

Esse processo se repete com as quatro seções restantes. Para combinar as cinco

seções e gerar, portanto, um efeito tridimensional, é necessário obter uma seção longitudinal que cruze, de forma perpendicular, as cinco seções consecutivas. Observando a figura acima, pode-se verificar que a extração mais profunda na primeira seção alcança a coluna de no 4. Por isso, cria-se uma coluna com quatro valores que correspondem aos valores líquidos para cada nível, já calculados anteriormente (2, -3, 1 e -7). Da mesma forma se faz com as seções restantes, obtendo a figura abaixo, a qual se otimiza de forma semelhante às anteriores.

Seção longitudinal para o método de Lerchs&Grossmann 2 ½ D

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Contorno longitudinal ótimo para o método de Lerchs&Grossmann 2 ½ D

O valor líquido para o material presente na explotação a céu aberto se obtém

somando os valores dos blocos presentes ao longo do contorno final figura anterior, isto é:

Valor da cava = 2 + 0 + 5 + 0 + (-1) = 6 (15)

Uma vez que os níveis do fundo da cava para as seções transversais tenham sido calculados, giram-se as seções originais e selecionam as correspondentes, de acordo com os valores mostrados anteriormente (vide figura abaixo).

Dessa forma se consegue obter o efeito tridimensional desejado, ao combinar as duas dimensões das seções originais com a terceira dimensão definida pela seção longitudinal transversal (vide duas últimas figuras).

Seções longitudinais ótimas da cava para o método de Lerchs&Grossmann 2 ½ D

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Dado o grande número de operações que o programa necessita realizar para

otimizar a cava, o tamanho dos blocos a serem estudados constitui um ponto crucial no desenvolvimento do método. A escolha dos tamanhos dos blocos deve considerar as quatro etapas a seguir:

a) Desenho do corpo mineralizado: o tamanho dos blocos é função, logicamente, da

forma e tamanho do corpo de minério, assim como do suporte utilizado. Em qualquer caso, o tamanho pode ser pequeno, gerando-se, freqüentemente, modelos com milhões de blocos.

b) Estimação dos valores dos blocos: nesta etapa deve-se buscar uma solução de compromisso considerando os dois fatores seguintes: (1o) a menor Unidade Seletiva de Lavra (USL), de tal forma que não se possa estabelecer um tamanho de bloco tão pequeno que não possa ser extraído seletivamente e, (2o) a suavização, não elegendo tamanhos tão grandes que gerem valores de teores artificiais pela forte suavização. Em geral, o tamanho do bloco pode ser maior que na etapa anterior.

c) Desenho da cava: de acordo com grande experiência que existe no desenho das cavas a partir da técnica de otimização, um modelo que inclua entre 100.000 e 200.000 blocos pode ser mais que suficiente para os objetivos almejados. Isto conduz para que o tamanho do bloco, novamente, seja maior que na etapa anterior.

d) Análise de sensibilidade: quando se quer realizar um série de otimizações considerando, p. ex., diferentes preços da matéria prima, um modelo de 20.000 a 50.000 blocos dá, praticamente, os mesmos resultados de um modelo constituído pelos 100.000 a 200.000 blocos da etapa anterior. Esta nova diminuição do número de blocos economiza uma notável quantidade de tempo e gera resultados bastante satisfatórios. Na próxima figura será mostrado o tipo de curva que se obtém quando se

representa o valor total da cava em função das tonelagens correspondentes. Como se pode observar, o valor máximo apresenta-se em uma zona de comportamento suave, não existindo um pico claramente definido. Este fato tem um efeito muito importante no processo de otimização. Assim, se os pequenos desvios são produzidos em zonas que correspondem aos desenhos não ótimos (figura abaixo 17, zona A), estas mudanças podem ter conseqüências importantes no valor final da cava. Pelo contrário, se os desvios são definidos a partir do desenho ótimo (figura abaixo, zona B), desenho gerado pelo algoritmo de LERCHS e GROSSMANN 3D, o efeito que é produzido no valor final da cava é mínimo. A diminuição no número de blocos de 200.000 a 25.000 gera, em termos médios e considerando um grande número de tipos de jazidas diferentes, erros que não superam 1% (segundo WHITTLE, 1992).

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Representação do valor final da cava em função de suas correspondentes tonelagens.

5.3.2. Aspectos relevantes da otimização de cava final

a) É importante ressaltar que a etapa de modelagem geológica e avaliação de reservas deve ser realizada adequadamente independente do método de otimização de cava a ser utilizado;

b) Os dois principais métodos de otimização de cava final são: Lerchs&Grossmann e Parametrização Técnica de Reservas;

c) O método dos cones flutuantes não é otimizante devido ao problema dos cones fracos;

d) Os métodos que utilizam Lerchs&Grossmann já têm embutido uma função econômica para maximizar o valor presente líquido do empreendimento e partindo da premissa de um sequenciamento previamente executado. Entretanto, cuidados especiais deverão ser tomados para se ter uma função econômica que realment retrate as condições do projeto em estudo. Fatores como escala de produção, custos variáveis durante a vida do empreendimento, variação do preço de venda do minério etc. devem ser analisados com o devido cuidado.

e) A parametrização técnica de reservas é um método prático e flexível. Possibilita a consideração de diversos parâmetros técnicos antecedendo a análise econômica, dando então enfoque a condições de engenharia que não podem ser sub-avaliadas.

f) A técnica de parametrização de reservas possibilita programar geometrias parciais ótimas, fornecendo o sequenciamento ótimo da mina até a exaustão.

g) Em qualquer método de otimização de cava final a etapa de operacionalização (ou suavização) do contorno da cava final é obrigatória. Esta etapa exige do engenheiro e projetista, especial cuidado para não fugir da solução ótima obtida pelo programa, devido à colocação de acesso, cristas e bermas.

h) No contexto de sequenciamento de lavra, a principal condicionante é a maximização do valor presente líquido do empreendimento. Porém objetivos em termos de qualidade, relação estéril/minério e quantitativos de produção podem ser atingidos.

i) O valor do bloco depende fortemente de quando ele vai ser movimentado, ou seja, seu valor é função do tempo.

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5.4. Parametrização de jazidas

Em uma proposta inovadora, Bongarçon e Marechal (1976), baseados em estudos de G. Matheron (1975), abandonam o ponto de vista geométrico e combinatório para tratarem do problema de cava final por meio de uma aproximação funcional. Utilizaram para isso a técnica de Análise Convexa.

A idéia básica sintetiza-se em voltar o problema para a determinação de uma função de parametrização, a partir da qual torna-se possível a obtenção imediata de uma família de cavas ótimas, independente da conjuntura econômica subjacente ao problema, o que é mais uma das vantagens destes métodos de otimização.

O estudo de variabilidade de soluções relativamente a um dado parâmetro passa a ser imediato, sem exigir qualquer processamento adicional de cálculo do programa. Em outras palavras, o conhecimento de todos os projetos potencialmente ótimos do ponto de vista da maximização da quantidade de metal, permite a comparação dos mesmos com antecedência às flutuações de mercado.

A maximização da quantidade de metal contido, com a minimização de remoção de material, garante soluções ótimas, em que a escolha da cava entre a família de cavas ótimas pode ser obtida, por exemplo, pela cava de maior benefício.

A Parametrização Técnica de Reservas é então, em resumo, a procura dos projetos que pertençam à superfície convexa que sobrepõe ao conjunto de todas as cavas possíveis. A figura 7.6.1 ilustra as disposições dos diferentes projetos.

Como se pode verificar na figura a seguir, as cavas máximas estão contidas numa serie que define o chamado envelope superior do domínio das cavas possíveis.

Na modelagem adotada por Vallet, R. (1976), há uma pequena variação na definição do grafo G=(V,A) associado à jazida discretizada em blocos de lavra: a lei de antecedência de que o bloco j deva preceder o bloco i no processo de extração, gera o arco (vi,vj)∈A.

O conceito básico é encontrar todos os projetos que maximizem a seguinte fórmula:

Q - θT - λV

onde:

Q é a quantidade de metal θ é o teor de corte

T é a tonelagem de minério λ é similar ao teor e representa parâmetros de ligação do tamanho da cava ou a relação

entre custos de mineração e preço do metal V é a tonelagem total de minério e estéril

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O conjunto de projetos e as cavas tecnicamente ótimas (curva do envelope)

Uma aproximação alternativa para a otimização da cava é parametrizar a geometria da cava como uma função do número de variáveis. Esta aproximação foi desenvolvida por MATHERON (1975) e tem sido utilizada em inúmeras situações. A aproximação divide o problema em duas partes distintas - técnica e econômica. Numa primeira etapa as geometrias são pré-selecionadas e, posteriormente são avaliadas do ponto de vista econômico/financeiro.

O algoritmo que permite a aplicação desta técnica foi concebido por BONGARÇON e MARECHAL (1976).

A parametrização assume que somente a geometria da cava de algum interesse é que maximiza a quantidade de recurso (mineral, metal). A hipótese é baseada na observação de que a maioria das funções de rendimento, de forma complexa, aumenta com a quantidade de recurso (mineral, metal) e que a cava para um corpo de minério particular pode então ser definida por um número mínimo de parâmetros técnicos: quantidade de recurso (mineral, metal), tonelagem total e tonelagem selecionada.

Embora o método produza soluções paramétricas que são inteiramente consistentes, ele não é rigorosamente ótimo e tem encontrado resistência para sua utilização em processos de otimização de cava.

Ao contrário das técnicas de otimização clássicas a Parametrização Técnica trabalha a partir do conteúdo metálico recuperável de cada bloco de lavra e dos volumes de minério e estéril.

O modelo visa obter geometrias com diferentes volumes totais, maximizando seu conteúdo metálico em cada caso, ou seja, num caso real é possível definir inúmeras

Cavas técnicas ótimas no topo em um gráfico Q(T,V)

OTIMIZAÇÃO DE CAVAParametrização Técnica de Reservas

Análise convexa

Cavas técnicas ótimas

Cavas possíveis

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cavas com mesmo volume V (minério + estéril), porém apenas uma delas maximiza a quantidade de metal contido recuperável.

Esse método adota a função:

K=Q -λV - θT

para a determinação do valor de cada bloco de lavra, onde Q é a quantidade de metal recuperável, V é o volume total (minério + estéril), T é o volume de minério e λ e θ são parâmetros técnicos definidos anteriormente.

Segundo DAGDELEN E BONGARÇON (1982), os parâmetros λ e θ, não devem ser entendidos como as relações entre custos e preços, mas sim como parâmetros de corte, fazendo com que a função K represente famílias de planos, tangentes á superfície formada pelas cavas de metal recuperável máximo.

A figura a seguir mostra o universo de cavas de um depósito hipotético, onde cada cava é representada por seu volume total V e respectiva quantidade de metal recuperável Q. A linha S representa as cavas de quantidade máxima de metal recuperável, como aquelas de número 1, 2, 3, 4 e 5, porém, somente as cavas 1, 3 e 5 são otimizadas, pois encontram-se na envoltória convexa C, definida pela da variação dos parâmetros λ e θ,.

Por outro lado, o valor de K conforme expresso na equação anterior tem todas as características de uma função beneficio pois é inegável que é crescente com Q e é decrescente com V e T. COLÉOU (1989, apud PRATTI, 1995), chega a fazer analogia entre a expressão K e a função beneficio clássica:

B = aQ - bV - cT

onde

a é o preço unitário do metal

b é o custo unitário de extração c é o custo unitário de beneficiamento

Assim, o parâmetro λ corresponderia aos possíveis valores a serem assumidos

por b/a e θ corresponderia a c/a. Seja qual for a interpretação dada aos parâmetros λ e θ, para cada par deles

estabelece-se uma cava otimizada, que é obtida pela aplicação do algoritmo de LERCHS e GROSSMANN aos blocos de lavra com valores atribuidos pela função K, ou pelo algoritmo de BONGARÇON. Em qualquer dos casos obtém-se como resultado final um conjunto de cavas otimizadas subsequentes.

Na etapa seguinte, essas cavas otimizadas de diferentes volumes V serão avaliadas por critério econômico/financeiro, finalizando assim a escolha da cava a ser seguida como meta de longo prazo.

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Superfície C envoltória de máximos convexos

O algoritmo estabelecido promove soluções para o contorno final de uma cava. Há, contudo, virtualmente, números ilimitados de maneiras de procura por um contorno final, cada maneira tendo um modelo de fluxo de caixa diferente. A figura abaixo mostra alguns fluxos de caixa possíveis a título ilustrativo.

Modelos de fluxos de caixa em função do tempo.

Q

V

1

3 5

S

C

2

4

K

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Como mostra a figura acima, existem duas sequências extremas de lavra, ou seja, sequências de lavra por cavas e por níveis. A sequência no 1 é realizada com a divisão da cava global otimizada em várias outras cavas menores, e assim, a lavra é realizada passando por cada uma destas cavas menores. A sequência no 2 é definida pela lavra por níveis, onde cada nível é esgotado antes do inicio da lavra do nível subsequente. Essas duas estratégias de lavra diferem na velocidade de remoção de estéril e evolução do teor médio do minério de interesse, provocando diferenças sensíveis no fluxo de caixa do negocio.

Do ponto de vista estritamente financeiro, a primeira estratégia apresenta melhores resultados pelo adiamento de custos de remoção de estéril e antecipação de resultados pela lavra com teores de corte decrescentes. Porém, esse critério pode vir a ser conflitante com a necessidade operacional relativa ao número de frentes disponíveis com materiais distintos que permitam a manutenção da “estacionarização” conforme especificado pelo processo de beneficiamento e com as condições de espaço operacional para que os custos e a produtividade não sejam afetados negativamente. A complexidade do problema pode atingir maiores proporções se houverem tipologias diferentes perante às exigências de processo de beneficiamento.

O compromisso entre os diversos requisitos citados pode conduzir ao estabelecimento de uma sequência intermediária como, por exemplo, a sequência de no 3 que atenda de forma satisfatória às necessidades operacionais sem comprometer o fluxo de caixa da empresa . Um dos caminhos para sua definição é o de simulações, servindo-se das cavas otimizadas como guia para o seqüenciamento da lavra.

5.5. Razão de extração

5.5.1. Relação estéril/minério (aspectos geométricos)

Para analisarmos a considerações geométricas envolvidas na relação

Estéril/Minério considere um corpo mineral hipotético com a forma de um cilindro perfeito de raio (r) e comprimento (L). O seu volume (VM) pode ser calculado por:

No processo de lavra do corpo é, quase sempre, necessário a utilização de um

ângulo de talude da cava menor que os noventa graus apresentados pelas paredes do cilindro mineralizado (vide próxima figura). Admitindo-se um ângulo de talude igual a β o volume total escavado pode ser definido por:

LrV 2M π=

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Onde:

e

A relação estéril/Minério global pode ser definida então por:

ou:

Representação de um cone de extração

Dessa mesma forma, pode-se definir relações estéril/minério, ditas instantâneas,

para cada fase da lavra, através de, por exemplo, cones aninhados.

( )[ ]LLrLR31V T

2T

2T −−π=

( )β+= TanrLLT

( ) rTan

LR +β

=

M

MTEM V

VVR

−=

( )[ ]Lr3

Lr3LLrLRR 2

2T

2T

2

EM−−−

=

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5.5.2. Relação estéril/minério (aspectos econômicos)

A figura abaixo mostra um exemplo da relação estéril/ minério em uma cava idealizada com um corpo de minério com mergulho de ângulo ∝ º. O parâmetro e/m é amplamente usado no ramo da mineração e representa o montante de material desprovido de valor econômico (estéril) que deverá ser removido, para liberar uma unidade de minério. A relação gobal é definida como :

R= (volume de estéril removido a uma profundidade d) / (volume de minério

recoberto a uma profundidade d) Para a figura R= ABD/BCED

Representação da relação E / M global numa seção

Uma vez determinada a cava final ótima e a relação E/M gobal, o planejamento de lavra pode ser detalhado. A seguir, na elaboração da seqüência de extração é imprescindível a determinação da evolução da relação E/M no tempo. Basicamente existem três modos de executar a extração com relação à razão de extração:

a. Relação estéril / minério crescente; b. Relação estéril / minério decrescente; c. Relação estéril / minério constante. d.

Método de retirada decrescente do estéril

Esse método requer que cada bancada de minério seja lavrada em seqüência e

que todo o estéril associado em particular a este banco seja removido até os limites da cava ótima.

As vantagens desse método são: criar espaço suficiente para os trabalhos, o acesso ao minério é feito pelo banco subseqüente, todo o equipamento está no mesmo

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nível, não há contaminação do minério pelos bancos ou estéril dos bancos superiores, os equipamentos requeridos estão na direção sempre da cava final.

A maior desvantagem desse método é que os custos referentes a remoção do estéril são maximizados nos anos iniciais, quando benefícios são necessários para o pagamento do investimento ou retorno de capital.

Método da diminuição da relação E/M

Nesse método a liberação só é realizada quando há a necessidade imediata do minério. Os trabalhos nos taludes de estéril são mantidos essencialmente paralelos aos taludes da cava final. Esse método permite um máximo de benefícios nos primeiros anos reduzindo o risco do investimento, através da redução do "pay-back". A desvantagem deste método é que a operação de mina é sacrificada em um grande numero de frentes de lavra, e em bancos de produção estreitos e simultâneos.

Método de relação E/M constante

Esse método procura realizar a operação de remoção do estéril uma razão aproximada da relação Estéril/Minério global. Os trabalhos de taludes de corte no estéril começam muito rasos e aumentam com a profundidade, até que os trabalhos atinjam os limites de cava final.

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Os equipamentos e os trabalhos necessários do início ao final da vida da mina são relativamente constantes.

Uma combinação dos modos acima também é possível. A escolha pelo melhor modo de conduzir a relação estéril/minério depende de

vários fatores e deve ser criteriosamente definida uma vez que uma escolha não adequada pode conduzir inclusive a não inviabilidade do projeto.

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