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1. Princípios básicos de hidráulica Nesta aula abordaremos as definições básicas, as propriedades dos fluidos e os conceitos fundamentais da Mecânica dos Fluidos. Serão abordados os seguintes itens: 1.1. FLUIDO 1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E DENSIDADE 1.3. VISCOSIDADE 1.4. PRESSÃO 1.5. ESCOAMENTO 1.6. VAZÃO E VELOCIDADE 1.7. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 1.8. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 1.9. ENERGIA 1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA 1.11. EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Mecanica fluidos usp

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1. Princípios básicos de hidráulica

Nesta aula abordaremos as definições básicas, as propriedades dos fluidos e os conceitos fundamentais da Mecânica dos Fluidos.

Serão abordados os seguintes itens:1.1. FLUIDO1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E DENSIDADE1.3. VISCOSIDADE1.4. PRESSÃO1.5. ESCOAMENTO1.6. VAZÃO E VELOCIDADE1.7. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE1.8. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE

MOVIMENTO1.9. ENERGIA1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA1.11. EQUAÇÃO DE BERNOULLI

1.1. Fluido

▫ DEFINIÇÃO: Fluido é qualquer substância não sólida capaz de escoar e assumir a forma do recipiente que o contém.Os fluidos podem ser divididos em líquidos e gases.De uma forma prática, os líquidos são aqueles que, quando colocados num recipiente, tomam o formato deste, apresentando porém uma superfície livre; enquanto que os gases preenchem totalmente orecipiente, sem apresentar nenhuma superfície livre.

Em nosso estudo daremos maior destaque às características dos líquidos

1.1. Fluido

▫ FLUIDO IDEAL: Fluido ideal é aquele no qual a viscosidade é nula, isto é, entre suas moléculas não se verificam forças tangenciais de atrito.

▫ FLUIDO INCOMPRESSÍVEL: Fluido incompressível é aquele em que seu volume não varia em função da pressão. A maioria dos líquidos tem um comportamento muito próximo a este podendo na prática, serem considerados como fluidos incompressíveis.

▫ LÍQUIDO PERFEITO: Fluido ideal, incompressível, perfeitamente móvel contínuo e de propriedade homogênea.

1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E 1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E DENSIDADEDENSIDADE

▫ PESO ESPECÍFICO

O Peso Específico de uma substância é o seu peso por unidade de volume.

As unidades mais usuais são: kgf/m3, kgf/dm3, N/m3 e lbf/ft3.

VG

=γγ : peso específicoG : pesoV : volume

1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E 1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E DENSIDADEDENSIDADE

▫ MASSA ESPECÍFICA

A massa específica de uma substância é a sua massa por unidade de volume.

ρ : massa específicam : massaV : volumeV

m=ρ

As unidades mais usuais são: kg/m3, kg/dm3 e lb/ft3.

Como o peso específico de uma substância é o produto de sua massa pela constante aceleração da gravidade, resulta a seguinte relação entre peso específico e massa específica:

γ : peso específicoρ : massa específicag : aceleração da gravidade

ggVm

VG

⋅ρ=⋅==γ

1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E 1.2. PESO ESPECÍFICO, MASSA ESPECÍFICA E DENSIDADEDENSIDADE

▫ DENSIDADEAdotaremos como definição de densidade de uma substância, a relação entre seu peso específico e o peso específico de uma substância padrão. No caso de líquidos, a substância padrão utilizada é a água à temperatura de 15 ºC ao nível do mar, cujo peso específico é 1,0 kg/dm3.

água d

γγ

=d : densidadeγ : peso específicoγ água : peso específico da água

A densidade assim definida é um adimensional e é também denominada peso específico relativo.NOTA IMPORTANTE: O termo “densidade” é de certa forma ambíguo, podendo ser encontrado com definição aqui utilizada. Assim em literaturas estrangeiras, por exemplo, o termo densidade (density) pode ser encontrado com a definição de massa específica (ρ). Este fato, contudo, em geral não apresenta maiores implicações.

1.3. VISCOSIDADE1.3. VISCOSIDADE▫ DEFINIÇÃO: Viscosidade é a propriedade física de um fluido que

exprime sua resistência ao cisalhamento interno, isto é, a qualquer força que tenda produzir o escoamento entre suas camadas.

Assim, num fluido real, as forças internas de atrito tendem a impedir o livre escoamento.

A viscosidade tem importante influência ao fenômeno do escoamento, notadamente nas perdas de pressão no escoamento dos fluidos. A magnitude do efeito depende principalmente da temperatura e da natureza do fluido. Assim, qualquer valor indicado para a viscosidade de um fluido deve sempre especificar a temperatura bem como a unidade em que a mesma é expressa.

Notar que nos líquidos a viscosidade diminui com o aumento da temperatura.

1.3. VISCOSIDADE1.3. VISCOSIDADE

▫ A LEI DE NEWTON: Newton descobriu que em muitos fluidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente da velocidade, chegando à seguinte formulação:

τ : tensão de cisalhamento

µ : coeficiente de proporcionalidadedtdv : gradiente de velocidade

dtdv

µ=τ

Os fluidos que obedecem esta lei são chamados Fluidos Newtonianos e os que não obedecem são chamados não Newtonianos.

A maioria dos fluidos que são de interesse em nosso estudo, tais como a água, vários óleos, etc, comportam-se de forma a obedecer esta lei, portanto considerados Fluidos Newtonianos.

1.3. VISCOSIDADE1.3. VISCOSIDADE

▫ VISCOSIDADE DINÂMICA OU ABSOLUTA: A viscosidade dinâmica ou absoluta exprime a medida das forças internas de atrito do fluido e é justamente o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade da Lei de Newton.O símbolo normalmente utilizado para indicá-lo é a letra “µ” e as unidades mais usuais são o Centipoise (cP), o Poise (1P = 1dyn.s/m2), kgf.s/m2, o Pascal (Pa).

▫ VISCOSIDADE CINEMÁTICA: A viscosidade cinemática leva também em consideração a inércia e é definida como o quociente entre a viscosidade dinâmica e a massa específica, ou seja:

ρµ

=ν ν : viscosidade cinemáticaµ : viscosidade dinâmicaρ : massa específica

Como indicado acima, o símbolo normalmente utilizado para Viscosidade Cinemática é a letra “ν” e as unidades mais usuais são o Centistoke (cSt) e o Stoke (1St = 1cm2/s).

1.3. VISCOSIDADE1.3. VISCOSIDADE▫ OUTRAS ESCALAS: Na prática, além das unidades mais usuais já indicadas (principalmente o Centistoke), a viscosidade pode ser especificada de acordo com escalas arbitrárias de um dos vários instrumentos (viscosímetros) utilizados para a sua medição.Algumas dessas escalas (tais como a Saybolt e a Redwood) são baseadas no tempo em segundos requerido para que uma dada quantidade de líquido passe através de um orifício ou tubo padronizado e são dessa forma uma medida de viscosidade cinemática.O viscosímetro do “tempo girante” expressa viscosidade absoluta, enquanto o Engler tem escala em graus e indica o quociente entre o tempo do escoamento de um dado volume de um líquido e o tempo de escoamento de um mesmo volume de água.As escalas mais usuais são as seguintes:

-ALEMANHA: Engler (expressa em graus: ºE)

-INGLATERRA: Redwood l e Redwood Admiralty (expressa em segundos)

-EUA: Saybolt Universal (SSU) e Saybolt Furol (SSF) (expressa em segundos)

-FRANÇA: Barbey (expressa em cm3/h)

1.4. PRESSÃO1.4. PRESSÃO

▫ DEFINIÇÃO: É a força exercida por unidade de área, ou seja:

P : pressãoF : forçaA : áreaA

FP =

As unidades mais usuais são kgf/cm2, kgf/m2, bar (1bar = 1,02 kgf/cm2), psi (1psi = 0,0689 kgf/cm2), Pascal (1Pa = 1,02x10-5 kgf/cm2), Atmosfera (1atm = 1,033 kgf/cm2), mmHg (1mmHg = 0,00136 kgf/cm2).

▫ LEI DE PASCAL: “A pressão aplicada sobre um fluido contido em um recipiente fechado age igualmente em todas as direções do fluido e perpendicularmente às paredes do recipiente”.

1.4. PRESSÃO1.4. PRESSÃO

hPP BA γ=−

Para determinar a pressão que age em um ponto A qualquer de um líquido em equilíbrio, podemos aplicar o teorema acima entre o ponto A e um ponto na superfície desse líquido. Assim, no caso de um reservatório aberto, teremos:

▫ TEOREMA DE STEVIN: A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas entre dois pontos, ou seja:

PA : pressão no ponto APB : pressão no ponto Bγ : peso especifico do fluidoh : diferença de cotas entre os pontos A e B

hPP atmA γ=−portanto

hPP atmA γ+=

1.4. PRESSÃO1.4. PRESSÃOÉ importante observar o seguinte:- Para determinar a diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância entre os mesmos, mas somente a diferença de cotas.

- A pressão de dois pontos em um mesmo nível, isto é, na mesma cota, é a mesma.

- A determinação de pressão é independente do formato, do volume ou da área da base do reservatório.

PA = PC

PB = PD

PA - PB = PC - PD = γ h

1.4. PRESSÃO1.4. PRESSÃO▫ CARGA DE PRESSÃO / ALTURA DA COLUNA DE LÍQUIDO: Carga de pressão é a altura à qual pode ser elevada uma coluna de líquido onde age uma certa pressão. Pelo Teorema de Stevin podemos escrever:

h : carga de pressão ou altura da coluna de líquidoP : pressãoγ : peso específicoγ

=Ph

Pode-se notar que a altura da coluna de líquido independe da área do reservatório, sendounicamente função da pressão e do peso específico. A figura abaixo ilustra este aspecto.

1.4. PRESSÃO1.4. PRESSÃO

Do acima exposto é também importante notar a influência do peso específico na relação entre pressão e altura de coluna do líquido, como indicado nos exemplos a seguir:

a) Para uma mesma altura de coluna de líquido, líquidos de peso específico diferentes têm pressões diferentes.

1.4. PRESSÃO1.4. PRESSÃOb) Para uma mesma pressão atuando em líquidos com pesos específicos diferentes,

as colunas de líquidos são diferentes.

ESCALAS DE PRESSÃO

▫ PRESSÃO ABSOLUTA: É a pressão medida em relação ao vácuo total ou zero absoluto. Notar que todos os valores de pressão na escala absoluta são positivos.▫ PRESSÃO ATMOSFÉRICA: É a pressão exercida pelo peso da atmosfera. A pressão atmosférica normalmente é medida por um instrumento chamado barômetro, daí sendo chamada pressão barométrica.A pressão atmosférica varia com a altitude e depende ainda das condições meteorológicas, sendo que, ao nível do mar, em condições padronizadas, temos:

Patm = 1,033 kgf/cm2

Variação da pressão atmosférica em função da altitude.

ESCALAS DE PRESSÃO

Para simplificação de alguns problemas estabelece-se também uma Atmosfera Técnica, cuja pressão é de 10m, o que corresponde a 1Kgf/cm2.A pressão atmosférica é sempre uma pressão absoluta.

▫ PRESSÃO MANOMÉTRICA: É a pressão medida adotando-se como referência a pressão atmosférica.Esta pressão é normalmente medida através de um instrumento chamado manômetro, daí sua denominação “manométrica” sendo também usualmente chamada de “pressão efetiva” ou “pressão relativa” .Quando a pressão é menor que a atmosférica, temos uma “pressão manométrica negativa” também usualmente chamada de “vácuo” (denominação não muito correta) ou “depressão”.Notar que os instrumentos de medição de pressão atmosférica, isto é, manômetro (que registra somente valores de pressão manométrica positivos), o vacuômetro (que registra somente valores negativos de Pman), e o manovacuômetro (que registra os valores negativos e positivos de Pman), sempre registram zero quando abertos à atmosfera. Assim, esses instrumentos têm como referência (zero da escala) a pressão atmosférica dolocal onde está sendo realizada a medição, seja ela qual for.

▫ RELAÇÃO ENTRE AS PRESSÕES: Pelas definições das escalas de pressão acima, resulta a relação abaixo.

manatmabs PPP +=▫ PRESSÃO DE VAPOR: Pressão de vapor de um fluido a uma

determinada temperatura é aquela na qual coexistem as fases líquido e vapor. Nessa mesma temperatura, quando tivermos uma pressão maior que a pressão de vapor, haverá somente a fase líquida e quandotivermos uma pressão menor que a pressão de vapor haverá somente a fase vapor.

Nota-se também que, à medida que se aumenta a temperatura, a pressão de vapor aumenta. Assim, caso a temperatura seja elevada até um ponto em que a pressão de vapor iguale, por exemplo, a pressão atmosférica, o líquido se vaporiza, ocorrendo o fenômeno de ebulição.A pressão de vapor tem importância fundamental no estudo das bombas, principalmente no NPSH, como veremos mais à frente.

1.5. ESCOAMENTO1.5. ESCOAMENTO

▫ REGIME PERMANENTE: Diz-se que um escoamento se dá em regime permanente quando as condições do fluido (tais como: temperatura, peso específico, velocidade, pressão, etc.) são invariáveis em relação ao tempo.A figura abaixo ilustra um exemplo prático de escoamento permanente. Algumas condições do fluido são diferentes de ponto para ponto (tais como a pressão e a velocidade), porém para um mesmo ponto são constantes em relação ao tempo. A quantidade de água que entra no reservatório é igual à quantidade que sai, de forma que o nível deste permanece constante.

1.5. ESCOAMENTO1.5. ESCOAMENTO

▫ REGIME LAMINAR: Escoamento em regime laminar é aquele no qual os filetes líquidos são paralelos entre si e as velocidades em cada ponto constantes em módulo.

▫ REGIME TURBULENTO: Escoamento em regime turbulento é aquele no qual as partículas apresentam movimentos variáveis, com diferentes velocidades em módulo e direção de um ponto para outro e no mesmo ponto de um instante para outro.

1.6. VAZÃO E VELOCIDADE1.6. VAZÃO E VELOCIDADE

▫ VAZÃO VOLUMÉTRICA: Vazão volumétrica é definida como sendo o volume de fluido que atravessa por uma determinada secção por unidade de tempo. A vazão é quantificada em termos de unidade de volume dividido pela unidade de tempo, dando origem à unidade de vazão. As unidades de vazão mais usadas são :

etc,min

l,sl,

hm,

sm 33

A vazão pode ser calculada pela integração do perfil de velocidade sobre a área transversal do escoamento.

AdvQA

rr⋅= ∫

1.6. VAZÃO E VELOCIDADE1.6. VAZÃO E VELOCIDADE

▫ VAZÃO MÁSSICA OU DESCARGA: Vazão mássica é a massa de fluido que atravessa uma determinada seção por unidade de tempo. As unidades mais usuais são: kg/h, kg/s, t/s, lb/h.A equação abaixo apresenta o cálculo da descarga através da integração do perfil de velocidades.

∫ ρ=A

Ad.vGrr

▫ VELOCIDADE: Existe uma relação importante entre vazão e velocidade,

AQv =

A velocidade é um parâmetro de fundamental importância no projeto de bombas, na determinação das tubulações, etc., como veremos mais à frente.

1.7. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE1.7. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

A equação da continuidade é uma expressão matemática da conservação da massa, isto é, se um fluxo de massa atravessa o volume de controle, então, para um intervalo de tempo ∆t, pode-se escrever:

VCnomassadaiaçãovarmm VCdosaiVCnoentra =−

VCsaientra m

dtd

tm

tm

=∆

−∆

ou matematicamente, dividindo por ∆t,

A massa que atravessa a superfície do V.C., dividido pelo intervalo de tempo ∆t dispendido na operação é a definição da vazão mássica através da superfície ,

( )

=⋅⋅⇒ρ= ∫ s

kgmsm

mkgAd.vG 2

3A

rr

então a equação acima pode ser escrita como:

∫∫∫ ρ=ρ−ρ−VCSSSE

dVdtdAd.vAd.v

rrrr SE : área de entrada do VCSS : área de saída do VC

: vetor velocidade: vetor diferencial de área, perpendicular à superfície e orientado para fora do VC.

vrAdr

Definindo SC como a área total do Volume de Controle, SC=SE+SSDeste modo,

∫∫ ρ=ρ−VCSC

dVdtdAd.v

rr 0dVdtdAd.v

VCSC=ρ+ρ ∫∫

rr

Se o escoamento é em regime permanente, o segundo termo da equação acima é nulo, e equação da continuidade é simplificada para:

0Ad.vSC

=ρ∫rr

Se, ainda, o fluido for incompressível, a massa específica é constante podendo ser eliminada da equação acima, resultando:

0Ad.vSC

=∫rr

Esta última equação tem grande aplicação nos sistemas hidráulicos, e pode ser traduzida como uma equação da conservação da vazão, isto é, a vazão que entra em um sistema é igual à que sai.

1.8. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE 1.8. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTOMOVIMENTO

A equação da conservação da quantidade de movimento é a aplicação da segunda lei de Newton a um volume de controle, ou seja, é a resultante das forças sobre o VC com o escoamento que o atravessa. A equação resultante é a relação vetorial apresentada na equação:

( ) ∫∫∑ ρ+ρ=VCSC

VCdVv

dtdAd.vvF rrrrr

1.9. ENERGIA1.9. ENERGIA

A energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, ou seja, a energia total é constante.Veremos a seguir que a energia pode apresentar-se em diversas formas, das quais destacaremos as de maior interesse em nosso estudo.

▫ ENERGIA POTENCIAL OU DE POSIÇÃO OU GEOMÉTRICA (Hgeo): A energia potencial ou de posição de um ponto de um fluido por unidade de peso é definida como a cota desse ponto em relação a um determinado plano de referência.

1.9. ENERGIA1.9. ENERGIA

▫ ENERGIA DE PRESSÃO: A energia de pressão em um ponto de um determinado fluido, por unidade de peso, é definida como:

γ=

pH prHpr : energia de pressãop : pressão atuante no pontoγ : peso específico do fluido

▫ ENERGIA CINÉTICA OU DE VELOCIDADE (Hv): A energia cinética ou de velocidade de um ponto de um fluido por unidade de peso é definida como:

Hv : energia cinética ou de velocidadev : velocidade do fluidog : aceleração

g.2vH

2

v =

▫ OUTRAS FORMAS DE ENERGIA: Além das formas acima indicadas, a energia pode também apresentar-se em forma de calor (como por exemplo nas perdas de carga por atrito), de ruído, de vibração, etc.

1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA

A equação de transferência da energia, aplicada aos escoamentos, é usada para o entendimento da conversão da energia que o fluido possui em outra forma mais adequada à utilização. A equação de conservação da energia em um volume de controle pode ser apresentada como:

( ) ∫∫ ρ+⋅ρ=−VCSC

dV.e.dtdAdv.e.WQ

rr&&

Onde o símbolo “e” representa a soma das energias específicas presentes no escoamento, no caso são consideradas a energia cinética, a energia potencial e a energia interna, todas por unidade de massa.

Da Primeira Lei da Termodinâmica tem-se que, para um sistema, a variação de sua energia por unidade de tempo é igual ao calor introduzido menos o trabalho retirado do sistema, no mesmo intervalo de tempo.

WQdtdE && −=

1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA

O trabalho (W), ou potência, pode ser separado em trabalho mecânico (Wm) e trabalho das forças de pressão,

( )∫ ⋅⋅=SCp AdvPW

rr

Deste modo a equação anterior torna-se:

( ) ∫∫ ρ+⋅

ρ

+ρ=− m dV.e.dtdAdvPeWQ

rr&& VCSC

Substituindo “e”:

( ) ∫∫ ρ+⋅

ρ

++⋅+ρ=−VCSC

2

m dV.e.dtdAdvPuHg

2vWQ

rr&&

Para escoamentos em regime permanente a derivada no tempo é nula e a equação é simplificada para:

( )∫ ⋅

ρ

++⋅+ρ=−SC

2

m AdvPuHg2vWQ

rr&&

1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA1.10. EQUAÇÃO DA ENERGIA

( )∫ ⋅

ρ

++⋅+ρ=−SC

2

m AdvPuHg2vWQ

rr&&

Nesta equação, o primeiro membro representa as ações externas sobre o VC com positivo para calor introduzido e negativo para trabalho retirado do VC. O segundo membro representa o conjunto de energias contido no fluido, mais o trabalho das forças de pressão sobre a superfície do VC.

As aplicações da equação da energia são muito importantes no estudo das máquinas, principalmente no cálculo das tubulações. A aplicação da equação entre duas seções de uma tubulação fornece a equação de Bernoulli generalizada, uma forma simplificada da equação da energia e com uso altamente disseminado.

1.11. Equação de Bernoulli1.11. Equação de Bernoulli

Considerar o seguinte sistema:

Escoamento em tubulação, aplicação da Equação da Energia aos valores médios.

Supondo o escoamento interno a um duto cilíndrico de diâmetro D, com velocidade média v, conforme a figura, a aplicação da equação

( )∫ ⋅

ρ

++⋅+ρ=−SC

2

m AdvPuHg2vWQ

rr&& entre as seções 1 e 2, é dada por:

( ) ( )∫∫ ⋅

ρ

++⋅+ρ+⋅

ρ

++⋅+ρ=−2A

2

1A

2

m AdvPuHg2vAdvPuHg

2vWQ

rrrr&&

( ) ( )∫∫ ⋅

ρ

++⋅+ρ+⋅

ρ

++⋅+ρ=−2A

2

1A

2

m AdvPuHg2vAdvPuHg

2vWQ

rrrr&&

1.11. Equação de Bernoulli1.11. Equação de Bernoulli

Como a tubulação é continua, não há introdução de trabalho mecânico através da fronteira do Volume de Controle, e com a consideração de escoamento adiabático, pode ser afirmado que:

0WQ == &&

e ainda, como a massa específica é constante:

Q1 = Q2

A equação pode, então, ser simplificada fornecendo:

0QPuHg2vQPuHg

2v

22

22

22

11

11

21 =

ρ

++⋅+ρ+

ρ

++⋅+ρ−

1.11. Equação de Bernoulli1.11. Equação de Bernoulli

ou ( )1222

22

11

21 uuPHg

2vPHg

2v

−ρ++⋅⋅ρ+ρ=+⋅⋅ρ+ρ

O termo final desta última equação mede a diferença da energia interna entre as seções 1 e 2, e em conseqüência da Segunda Lei da Termodinâmica, como a variação de temperatura da água devido ao atrito pode ser desprezada, pode ser considerado igual à energia dissipada por atrito pelo escoamento, sendo portanto uma medida das perdas de energia no conduto. Como a energia cinética depende da equação da continuidade, e a energia potencial depende do posicionamento da tubulação, a perda de energia é traduzida por variação na pressão, assim aquele termo será representado por ∆p ou ∆hp, dependendo das unidades em uso para a equação. A equação abaixo é conhecida como Equação de Bernoulli generalizada. É o resultado da aplicação da equação da energia aos escoamentos confinados, e modificada para uso das grandezas expressas em m.c.a. O termo ∆hp representa a perda de energia (perda de pressão ou perda de carga) entre as seções consideradas do conduto.

p2

2

221

1

21 h

gPH

g2v

gPH

g2v

∆+ρ

++=ρ

++ Equação de Bernoulli