Modelagem e Simulação do Escoamento Multifásico Transiente Composicional com Transferência de Calor em Poços Verticais

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICOTRANSIENTE COMPOSICIONAL COM TRANSFERÊNCIA DE

CALOR EM POÇOS VERTICAIS

BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSELABORATÓRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO

MACAÉ - RJSETEMBRO - 2015




Dissertação apresentada ao Centro de Ci-

ência e Tecnologia da Universidade Esta-

dual do Norte Fluminense, como parte das

exigências para obtenção do título de Mes-

tre em Engenharia de Reservatório e de

Exploração.

Orientador: Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz, Dr. Eng.

Coorientador: Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio, D. Sc.

MACAÉ - RJSETEMBRO - 2015




Dissertação apresentada ao Centro de Ci-

ência e Tecnologia da Universidade Esta-

dual do Norte Fluminense, como parte das

exigências para obtenção do título de Mes-

tre em Engenharia de Reservatório e de

Exploração.

Aprovada em 24 de setembro de 2015.

Comissão Examinadora:

Prof. Adriano dos Santos (D. Sc., Eng. Civil - UFRN)

Prof. Grazione de Souza (D. Sc., Eng. de Reservatório e de Exploração - UERJ)

Prof. Adolfo Puime Pires (D. Sc., Eng. de Reservatório e de Exploração - UENF)

Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio (D. Sc., Mat. Aplicada - UFU) - Coorientador

Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz (Dr. Eng., Eng. Mecânica - UENF) - Orientador

Agradecimentos

Agradeço:

Primeiramente a Deus, por todas as graças alcançadas em minha vida e princi-

palmente pela força, coragem, saúde e sabedoria que me dá a fim de alcançar meus

objetivos.

Aos meus pais, Ana Maria Martins Souza e Bismarck Gomes Souza que con-

tribuíram de todas as formas para o meu êxito, compreendendo minhas ausências,

compartilhando meus ideais e incentivando-me a prosseguir, com um sorriso amigo,

uma palavra de carinho, amor e dedicação. À minha irmã, Bruna Gomes Souza, e à

Walquíria Mazorque Matos por estarem sempre ao meu lado.

Aos amigos e em especial ao Wagner Queiroz Barros e ao Júlio Cesar Santos

Nascimento, que ajudaram diretamente no desenvolvimento do software apresentado

nessa dissertação. Devido à complexidade do tema estudado, sem eles este trabalho

não seria possível.

Aos membros da banca, professores e funcionários do LENEP/CCT/UENF e prin-

cipalmente ao meu orientador, Carlos E. Pico Ortiz, e ao meu coorientador, Santos

Alberto Enriquez Remígio, que estiveram sempre dispostos a me atender e ajudar nas

dificuldades e desafios encontrados durante a realização deste trabalho.

Ao capítulo estudantil UENF-LENEP/SPE-Macaé por disponibilizar o acesso a um

banco de dados, pelo qual foi possível obter grande parte da bibliografia deste tra-

balho. À rede de Simulação e Gerenciamento de Reservatórios (SIGER), uma rede

de pesquisa da Petróleo Brasileiro S/A (Petrobras), por me envolver no projeto intitu-

lado "Modelagem do Acoplamento Poço-Reservatório com Variação de Propriedades

Termodinâmicas em Reservatórios com Alto Teor de CO2" e à Coordenação de Aper-

feiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo suporte financeiro que me

foi dado durante o mestrado.

iv

Epígrafe

"A persistência é o menor caminho do êxito" (Charles Chaplin)

v

Sumário

Nomenclatura xv

Resumo xx

Abstract xxi

1 Introdução 22

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2 Organização do Documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Equações Médias de Transporte 29

2.1 Formulação Instantânea Local do Escoamento Monofásico . . . . . . . 29

2.2 Função Indicadora de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Processos de Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Equações Médias de Conservação do Escoamento Multifásico . . . . . 43

3 Escoamento Multifásico Utilizando o Modelo de Mistura Drift-Flux 53

3.1 Modelos Matemáticos do Escoamento Multifásico . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Modelo de Deslizamento Drift-Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Equações do Modelo de Mistura Drift-Flux . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Transferência de Calor Entre o Poço e a Formação Geológica 66

4.1 Transferência de Calor no Poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Metodologia para o Cálculo do Fluxo de Calor . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Metodologia Numérica 78

Sumário

5.1 Discretização pelo Método de Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Solução do Sistema de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 Fluxograma do Processo de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 Simulações Numéricas de Escoamento de Fluidos em Tubulações 101

6.1 Tubo de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2 Escoamento Vertical Isotérmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3 Escoamento Vertical com Transferência de Calor . . . . . . . . . . . . . 124

6.4 Simulação Vertical Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7 Considerações Finais 142

7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Apêndice A -- Modelagem Termodinâmica 156

A.1 Equação de Estado Volumétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.2 Equação de Estado Para a Água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

A.3 Propriedades do Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.4 Análise da Estabilidade Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.5 Flash Termodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Apêndice B -- Modelagem Computacional 177

B.1 Diagrama de Pacotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.2 Diagrama de Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Apêndice C -- Soluções Analíticas 186

C.1 Tubo de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

C.2 Simulação Vertical Isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

C.3 Simulação Vertical com Troca de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

vii

Sumário

Apêndice D -- Condições de Contorno 196

D.1 Células Virtuais à Esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

D.2 Células Virtuais à Direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

viii

Lista de Figuras

1 Função indicadora de fases em função do tempo, fixando-se uma posi-

ção no espaço (x0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Função indicadora de fases em função do espaço, fixando-se um tempo

(t0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Filtragem de uma propriedade qualquer utilizando a função indicadora

de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Média volumétrica de uma função ruidosa em um instante t0. . . . . . . 38

5 Média volumétrica da função indicadora de fase. . . . . . . . . . . . . . 39

6 Média volumétrica intrínseca da fase p para uma função descontínua. . 40

7 Distribuição não uniforme da fase e da velocidade na seção transversal

de um escoamento vertical gás-líquido. Adaptado de Shi et al. (2005). 55

8 Corte radial de um típico esquema de completação. Adaptado de Hasan

e Kabir (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9 Representação de uma seção cilíndrica na qual ocorre uma troca de

calor entre as superfícies interna e externa. . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10 Convecção natural no interior do anular. Adaptado de Willhite (1967). . 71

11 Fluxograma para o cálculo do fluxo de calor total entre o poço e a for-

mação, conhecendo-se as propriedades do fluido no interior do poço. . 77

12 Volume de controle unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13 Armazenamento das variáveis escalares, φk, e vetoriais, vk+ 12, no vo-

lume de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

14 Volumes de controle para a discretização das equações conservativas. 82

15 Fluxograma para solucionar o sistema não-linear utilizando o método de

Newton-Raphson de forma totalmente implícita. . . . . . . . . . . . . . 92

Lista de Figuras

16 Fluxograma da análise de equilíbrio termodinâmico para cada volume

de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

17 Fluxograma para obter as propriedades do escoamento dado um passo

de tempo ∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

18 Fluxograma do funcionamento do simulador. . . . . . . . . . . . . . . . 100

19 Perfil de pressão inicial do tubo de choque sepadarado por uma mem-

brana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

20 Perfil de pressão do tubo de choque após a membrana ser removida. . 102

21 Perfis de pressão, temperatura, velocidade e massa específica do pro-

blema do tubo de choque após a membrana ser removida. . . . . . . . 103

22 Perfil de pressão do tubo de choque monocomponente. . . . . . . . . . 106

23 Perfil de velocidade do tubo de choque monocomponente. . . . . . . . . 106

24 Perfil de temperatura do tubo de choque monocomponente. . . . . . . . 107

25 Perfil da massa específica do tubo de choque monocomponente. . . . . 107

26 Perfil de pressão do tubo de choque composicional. . . . . . . . . . . . 109

27 Perfil de velocidade do tubo de choque composicional. . . . . . . . . . . 109

28 Perfil de temperatura do tubo de choque composicional. . . . . . . . . . 110

29 Perfil de massa específica do tubo de choque composicional. . . . . . . 110

30 Envelope de fases da simulação do tubo de choque bifásico miscível. . 111

31 Perfil de pressão da simulação do tubo de choque bifásico miscível. . . 113

32 Perfil de temperatura da simulação do tubo de choque bifásico miscível. 113

33 Perfil de velocidade da simulação do tubo de choque bifásico miscível. 114

34 Representação do comportamento do escoamento do tubo de choque

bifásico miscível no diagrama de fases em 1 milissegundo. . . . . . . . 115

35 Perfil de fração volumétrica de gás da simulação do tubo de choque

bifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

36 Perfil de massa específica da simulação do tubo de choque bifásico. . 116

37 Perfil de pressão para a simulação transiente vertical isotérmica. . . . . 119

x

Lista de Figuras

38 Perfil de fração volumétrica para a simulação transiente vertical isotér-

mica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

39 Perfil de velocidade para a simulação transiente vertical isotérmica. . . 120

40 Velocidade da mistura na saída do tubo para a simulação transiente

vertical isotérmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

41 Perfil de pressão para a simulação vertical isotérmica variando-se a ve-

locidade de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

42 Perfil de velocidade de gás para a simulação vertical isotérmica variando-

se a velocidade de deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

43 Perfil de velocidade de líquido para a simulação vertical isotérmica variando-


44 Perfil de fração volumétrica para a simulação vertical isotérmica variando-


45 Perfil de temperatura para a simulação vertical com coeficiente de troca

de calor constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

46 Perfil de temperatura considerando os processos de condução e conve-

ção no anular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

47 Perfil de massa específica do líquido para o escoamento bifásico miscí-

vel vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

48 Perfil de pressão para o escoamento bifásico miscível vertical. . . . . . 131

49 Perfil de velocidade para o escoamento bifásico miscível vertical. . . . . 132

50 Perfil de fração volumétrica de gás para o escoamento bifásico miscível

vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

51 Diagrama de fases do escoamento bifásico miscível vertical. . . . . . . 133

52 Perfil de temperatura para o escoamento bifásico miscível vertical. . . . 134

53 Geometria da simulação de Assmann (1993). . . . . . . . . . . . . . . . 135

54 Perfil de fração volumétrica para a simulação de Assmann (1993) con-

siderando o deslizamento entre as fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

55 Perfil de pressão para a simulação de Assmann (1993) considerando o

deslizamento entre as fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

xi

Lista de Figuras

56 Perfil de temperatura para a simulação de Assmann (1993) conside-

rando o deslizamento entre as fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

57 Perfil de pressão para a simulação sem deslizamento de Assmann (1993).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

58 Perfil de temperatura para a simulação sem deslizamento de Assmann

(1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

59 Perfil de fração volumétrica de gás para a simulação sem deslizamento

de Assmann (1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

60 Fluxograma da análise de estabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

61 Fluxograma para o cálculo do flash termodinâmico. . . . . . . . . . . . 176

62 Diagrama de pacotes do simulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

63 Diagrama de classes do pacode Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

64 Diagrama de classes do pacote Poço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

65 Diagrama de classes do pacote Discretização. . . . . . . . . . . . . . . 184

66 Diagrama de classes do pacote de gerenciamento de dados da célula. 185

67 Diagrama de classes do pacote de Solver. . . . . . . . . . . . . . . . . 185

68 Diagrama de classes do pacote principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

69 Regiões que surgem no comportamento físico de um tubo de choque. 186

70 Condição de contorno à esquerda para as propriedades escalares. . . . 197

71 Condição de contorno à esquerda para as propriedades vetoriais. . . . 198

72 Condição de contorno à direita para as propriedades escalares. . . . . 199

73 Condição de contorno à direita para as propriedades vetoriais. . . . . . 200

xii

Lista de Tabelas

1 Modelos para o parâmetro de distribuição e velocidade de deslizamento 58

2 Variáveis independentes do escoamento multifásico imiscível . . . . . 61

3 Equações do escoamento multifásico imiscível . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Variáveis independentes do escoamento multifásico composicional mis-

cível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Equações do escoamento multifásico composicional miscível . . . . . . 65

6 Dados da geometria da tubulação na simulação do tubo de choque . . 104

7 Condição inicial para a simulação do tubo de choque monocomponente 105

8 Condição inicial para a simulação do tubo de choque composicional . . 108

9 Condição inicial para a simulação do tubo de choque miscível . . . . . . 112

10 Parâmetros da simulação vertical isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . 117

11 Dados do fluido da simulação vertical isotérmica . . . . . . . . . . . . . 117

12 Condição inicial da simulação vertical isotérmica . . . . . . . . . . . . . 118

13 Parâmetros da tubulação do escoamento vertical com troca de calor . . 124

14 Condição inicial para a simulação vertical com coeficiente de troca de

calor constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15 Condições de contorno para a simulação vertical com coeficiente de

troca de calor constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

16 Condições de contorno da simulação com coeficiente de troca de calor

estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

17 Condição inicial da simulação com coeficiente de troca de calor estimado 127

18 Parâmetros da completação da simulação com coeficiente de troca de

calor estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Lista de Tabelas

19 Propriedades do fluido no anular da simulação com coeficiente de troca

de calor estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

20 Condição inicial para a simulação bifásica miscível vertical . . . . . . . 130

21 Condições de contorno para a simulação bifásica miscível vertical . . . 130

22 Parâmetros da simulação vertical transiente . . . . . . . . . . . . . . . . 135

23 Condições de contorno da simulação vertical transiente . . . . . . . . . 136

24 Condição inicial da simulação vertical transiente . . . . . . . . . . . . . 137

25 Parâmetros numéricos da simulação vertical transiente . . . . . . . . . 137

26 Valor do parâmetro ∆ para diferentes equações de estado. Adaptado

de Wei e Sadus (2000) e Sandler (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

27 Propriedades críticas e fator acêntrico de algumas substâncias . . . . . 158

28 Parâmetros utilizados para modelar a água na fase líquida . . . . . . . 159

29 Parâmetros da equação de estado cúbica expresso implicitamente pelo

fator de compressibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

30 Coeficientes do polinômio interpolador da entalpia do gás ideal (Btu/lb

e ◦R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

xiv

Nomenclatura

A nomenclatura está dividida em: alfabeto latino, alfabeto grego, sub-índices, super-

índices, símbolos e acrônimos, sendo apresentada em ordem alfabética.

Alfabeto Latino

A Área [m²]

c Capacidade calorífica mássica [J/(kg.K)]

C Capacidade calorífica molar [J/(mol.K)]

C0 Parâmetro de distribuição [-]

D Diâmetro [m]

e Energia por unidade de massa [J/Kg]

f Fugacidade [Pa]

f Fator de atrito [-]

F Função qualquer

g Aceleração da gravidade [m/s²]

gs Função de superfície

g Vetor aceleração da gravidade [m/s²]

h Coeficiente de convecção [W/(m².K)]

h Entalpia específica molar [J/mol]

I Termo fonte devido a interface

I Tensor unitário

j Velocidade volumétrica [m/s]

J Fluxo de uma propriedade

J Matriz Jacobiana

K Tensor de condutividade térmica [W/(m.K)]

m Massa [kg]

m Vazão mássica [kg/s]

M Massa molar [kg/mol]

n Número de mols [mol]

Nomenclatura

n Vetor normal a superfície

Nc Número de componentes

Np Número de fases

Nu Número de Nusselt [-]

par Número de Parachor

P Pressão [Pa]

Pr Número de Prandtl [-]

q Termo fonte da propriedade por unidade de volume

Q Fluxo de calor por unidade de área [W/m²]

r Raio [m]

R Resíduo

R Constante universal dos gases ideais [J/(mol.K)]

R Vetor de resíduos

Re Número de Reynolds [-]

t Tempo [s]

T Temperatura [K]

TD Temperatura adimensional [-]

T Tensor de tensão superficial [Pa]

u Energia interna específica [J/Kg]

u Energia interna específica molar [J/mol]

U Energia interna [J]

U Coeficiente de troca de calor [W/(m².K)]

v Volume molar [m³/mol]

v Velocidade [m/s]

vs Velocidade do som [m/s]

v Vetor de velocidade [m/s]

V Volume [m³]

V Vazão volumétrica [m³/s]

w Velocidade da onda de choque [m/s]

x Fração molar [-]

x Vetor posição [m]

X Função indicadora de fase

X Vetor de incógnitas

z Posição no espaço [m]

zc Fração global do componente c

Z Fator de compressibilidade [-]

xvi

Nomenclatura

Alfabeto Grego

α Fração volumétrica [-]

β Coeficiente de expansão térmica [1/K]

βs Coeficiente interpolador das propriedades escalares [-]

βv Coeficiente interpolador das propriedades vetoriais [-]

γ Coeficiente de expansão adiabática [-]

δ Espessura da interface [m]

ε Coeficiente de emissividade [-]

ε Rugosidade [m]

ζ Coeficiente de difusividade térmica [m²/s]

η Coeficiente de Joule-Thomson [ K/Pa]

θ Ângulo de inclinação [◦]

κ Condutividade térmica [W/(m.K)]

µ Viscosidade [Pa.s]

ξ Massa específica molar [mol/m³]

ρ Massa específica [kg/m³]

σ Tensão superficial [N/m]

σB Coeficiente de Stefan-Boltzmann [W.m−2.K−4]

τ Tensor de tensões viscosas [Pa]

φ Geração de uma propriedade devido a forças de corpo

ψ Propriedade intensiva

Ψ Propriedade extensiva

ω Fator acêntrico [-]

Subscrito

0 Referência

an Anular

c Componente

cas Revestimento

ci Parte interna do revestimento

co Parte externa do revestimento

cem Cimentação

xvii

Nomenclatura

C Ponto crítico, convecção

D Deslizamento da fase gás

e Formação geológica

E Energia

f Fluido

g Gás

i Interface

ins Isolante

j Interface genérica

k Índice da discretização espacial

l Líquido

m Massa, mistura

M Quantidade de movimento

n Número de mols

ni Normal à interface

p Fase

p, c Componente c na fase p

R Radiação

t Total

ti Parte interna de um tubo

to Parte externa de um tubo

tub Tubo

w Poço

Ψ Propriedade extensiva

Sobrescrito

∗ Valor especificado′′ Flutuação instantânea

IG Condição de gás ideal

T Turbulência

(n) Iteração temporal

(λ) Iteração de um método iterativo

(ν) Iteração do Método de Newton-Raphson

xviii

Nomenclatura

Operadores

∆ Variação de uma grandeza

∇ Gradiente de uma grandeza escalar

∇· Divergente da grandeza vetorial∫S

Integral de superfície∫V

Integral de volume

( ) Média de uma propriedade

( )p

Média ponderada na função indicadora de fase

( )ρp Média ponderada na função indicadora de fase e na massa específica

( )ξp Média ponderada na função indicadora de fase e na massa específica

molar

〈〉 Média na área da seção transversal

〈〈〉〉 Média na fração de vazios da seção transversal∑c Somatório de todos os componentes do escoamento∑i Somatório de todos os volumes de controle∑p Somatório de todas as fases do escoamento∑j Somatório de todas as ocorrências da fase p

Acrônimos

CDS Central Difference Scheme

CFL Courant, Friedrichs e Lewy

NR Newton-Rapson

SC Superfície de controle

SI Sistema Internacional

UDS Upwind Difference Scheme

VC Volume de controle

TUFFP Tulsa University Fluid Flow Projects

xix

Modelagem e Simulação do Escoamento Multifásico Transiente Composicional com

Transferência de Calor em Poços Verticais

Resumo

Com a recente produção dos poços do pré-sal diversos desafios tem surgido nas

últimas décadas, dentre os quais pode-se destacar o conhecimento do comporta-

mento do fluido produzido. Geralmente, esse fluido é uma mistura complexa de hidro-

carbonetos que dificultam a modelagem matemática do escoamento. Tal dificuldade

pode ser contornada aplicando-se conceitos de média volumétrica nas equações de

conservação do escoamento multifásico, obtendo-se um conjunto de equações mé-

dias. Além disso, definiu-se diferentes modelos para escoamentos multifásicos, dentre

os quais optou-se pelo modelo de mistura drift-flux. O objetivo do presente trabalho

foi a elaboração de um simulador numérico para estudo do escoamento transiente

multifásico, térmico e composicional que possa lidar com o aparecimento e desapa-

recimento de fases. Para isto, as propriedades físicas das fases foram determinadas

usando-se uma equação de estado cúbica e o equilíbrio termodinâmico estabelecido

através da igualdade das fugacidades de cada componente. A correlação cinemá-

tica entre as fases usada foi o modelo de mistura drift-flux de Choi et al. (2012). O

fluxo de calor entre o poço e o meio externo foi modelado de forma a considerar tanto

um coeficiente de troca de calor constante quanto um esquema de completação tí-

pico da indústria do petróleo. As equações de conservação foram discretizadas no

espaço pelo método dos Volumes Finitos e no tempo, e resolvidas pelo método implí-

cito de Newton-Raphson. A convergência espacial e temporal do método numérico foi

verificada utilizando-se um teste de referência na área da dinâmica dos fluidos compu-

tacionais: o tubo de choque. Além disso, foi analisado o comportamento transiente do

fenômeno de gás retrógrado neste experimento. O correto acoplamento entre a pres-

são, temperatura e velocidade, assim como a implementação do fluxo de calor entre o

poço e o meio externo foram verificados através de soluções analíticas. O comporta-

mento transiente do escoamento, foi verificado com os resultados de uma simulação

presente na literatura adotando um esquema de completação offshore.

Palavras-chave: escoamento multifásico composicional; modelo drift-flux ; si-

mulador de escoamento transiente; formulação implícita; transferência de calor.

xx

Modeling and Simulation of Compositional Transient Multiphase Flow and Wellbore

Heat Transfer in Vertical Wells

Abstract

Several challenges have arisen in recent decades with the recent production of

pre-salt reservoir, among which can be highlight the knowledge of the behavior of the

produced fluids. Usually this fluid is a complex mixture of hydrocarbons that hinder

the mathematical modeling of flow. This difficulty can be overcome by applying con-

cepts of volumetric average in the multiphase flow conservation equations, obtaining

a set of averaged equations. Furthermore, it sets up different models for multiphase

flow, among which it was chosen the drift-flux model. The objective of this study was

the development of a numerical simulator to study compositional transient multiphase

flow that can handle the appearance and disappearance phases. For this, physical

properties of phases was determined using a cubic equation of state, and thermody-

namic equilibrium established through equality of fugacities of each component. Ki-

nematic correlation used between phases was the mixture of drift-flux model of Choi

et al. (2012). Heat flow between the well and the external environment was modeled

in order to consider both a constant coefficient exchange of heat as a typical comple-

tion scheme of the oil industry. The conservation equations were discretized in time

and space (by Finite Volume method) and resolved by the implicit method of Newton-

Raphson. The spatial and temporal convergence of the numerical method was verified

using a benchmark test in the area of computational fluid dynamics: the pipe shock.

Moreover, the transient behavior of the retrograde gas phenomenon was analyzed in

this experiment. The correct coupling between pressure, temperature and velocity, as

well as implementation of the heat flow between the well and the external environment

were checked by analytical solutions. The transient behavior of flow was verified with

the results of a simulation present in literature using an offshore completion scheme.

Keywords: multiphase compositional flow; drift-flux model; transient flow simu-

lation; implicit formulation; heat transfer in wellbores.

xxi

22

1 Introdução

O termo escoamento multifásico denota o fluxo simultâneo de duas ou mais fases

com propriedades diferentes em um mesmo meio. Por fase subentende-se uma região

do espaço delimitada por uma interface de espessura infinitesimal que encerra em seu

interior um material com composição química homogênea (ROSA, 2012).

Este tipo de escoamento ocorre em diversos dispositivos que estão presentes na

maioria das atividades industriais como evaporadores, condensadores e reatores nu-

cleares, na indústria de energia; reatores químicos e unidades de destilação, na in-

dústria de processos, alimentícia e agrícola; sistemas de combustão e células de

combustível, na indústria automotiva; condicionadores de ar e bombas de calor, na

indústria de aquecimento e refrigeração; e tubos de calor, na indústria aeroespacial.

Nestes exemplos, a previsão da queda de pressão, da perda de carga, das taxas de

transferência de massa e energia, da fração de líquido e das mudanças de fases são

imprescindíveis (RODRIGUEZ, 2011).

Na indústria do petróleo, misturas complexas de duas ou mais fases podem sur-

gir como consequência da diminuição da pressão ao longo da tubulação da coluna de

produção, fazendo com que o gás dissolvido no óleo seja liberado e venha a ser produ-

zido com o óleo e a água proveniente da formação. Embora o óleo e o gás produzidos

sejam compostos por mais de um componente, como metano, etano, propano e outros

hidrocarbonetos, existe uma simplificação desse fenômeno que vem sendo utilizada

há anos na indústria do petróleo: o modelo black-oil (BRILL; MUKHERJEE, 1999).

O conceito básico da aproximação black-oil é considerar que existem três compo-

nentes e três fases distintas: gás, óleo e água. As fases gás e óleo são caracterizadas

através dos seus pesos específicos que são considerados constantes em todo o domí-

nio. No modelo black-oil, o gás pode ser dissolvido na fase óleo e suas propriedades

são tratadas como funções simples da pressão e temperatura. Por isso, propriedades

como a massa específica, viscosidade e volume específico do óleo e do gás são deter-

minadas por correlações experimentais para cada pressão e temperatura, bem como

23

a quantidade de gás dissolvido na fase óleo. Neste modelo, os efeitos da composição

com a mudança de pressão e temperatura são negligenciados (POURAFSHARY et al.,

2009).

Embora existam problemas nos quais a aproximação black-oil obtém bons resul-

tados, há situações em que a mesma não é recomendada como, por exemplo, a pro-

dução de hidrocarbonetos de reservatórios ultra profundos com alto teor de contami-

nantes. A grande variação de pressão e temperatura ao longo da coluna de produção

e a dificuldade do modelo black-oil em representar os contaminantes tornam duvi-

doso o uso desta aproximação. Por outro lado, existe a formulação composicional

que considera a existência de mais de um componente por fase. Nessa hipótese,

cada contaminante poderia ser tratado como um componente e a representação do

fenômeno seria mais realista.

O modelo composicional baseia-se na conservação da massa de cada compo-

nente e de uma condição de equilíbrio termodinâmico, visto que é permitida a transfe-

rência de massa entre as fases. Esta condição pode ser estabelecida pela igualdade

dos potenciais químicos, das fugacidades ou dos coeficientes de atividade de cada

componente em todas as fases. Para determinar essas propriedades é necessário re-

correr a uma equação de estado. As equações de estado mais comuns na indústria do

petróleo são as equações cúbicas de Waals (1873), Soave (1972) e Peng e Robinson

(1978).

A fim de obter melhores resultados utilizando-se a formulação composicional é

necessária uma representação correta dos fenômenos que envolvem a pressão e a

temperatura. Por isso, é fundamental a análise da distribuição de temperatura ao

longo do poço, a qual depende da dinâmica do escoamento e da troca de calor com a

formação geológica. O transporte de quantidade de movimento e o de energia estão

fortemente acoplados, já que a composição e fração volumétrica de cada fase é forte-

mente influenciada pelos perfis de pressão e temperatura que, por sua vez, dependem

das propriedades termodinâmicas dos fluidos envolvidos no processo de transferên-

cia de calor. No caso de reservatórios situados a grandes profundidades, estes efeitos

são notórios devido à grande diferença entre a temperatura do reservatório e a do

assoalho marinho (HASAN; KABIR, 1994).

A dinâmica do escoamento das diversas fases até a superfície é complexa e pode

envolver diversos padrões de fluxo que, segundo Rodriguez (2011), podem ser clas-

sificados em: fase(s) dispersa(s), fases separadas e padrões combinados (pseudo-

separados ou intermitentes). Além disso, a transição entre os padrões de fluxo altera

24

inteiramente as características do escoamento, causando descontinuidades na formu-

lação matemática e gerando problemas de estabilidade e convergência na solução

numérica do modelo, em particular, quando o simulador de escoamento multifásico

está acoplado a um simulador numérico de reservatório (LIVESCU et al., 2010).

Os dois principais modelos capazes de representar escoamentos multifásicos são

o modelo de dois fluidos e o modelo de mistura drift-flux. No primeiro, cada fase é

considerada de forma separada, mantendo sua identidade no escoamento. O acopla-

mento entre as fases é dado pelos termos interfaciais. Já o segundo, é um modelo de

mistura que considera a existência de um único fluido homogêneo com característi-

cas reológicas específicas. Dessa forma, o problema é tratado como um escoamento

monofásico da mistura e o acoplamento entre as fases é dado por uma relação cine-

mática denominada drift-flux. Segundo Choi et al. (2013), este modelo é mais aplicável

ao padrão de fluxo de fase(s) dispersa(s), enquanto o modelo de dois fluidos obtém

bons resultados para problemas com padrão de escoamento de fases separadas.

O correto entendimento de como a mistura multifásica se comporta durante a pro-

dução em poços de petróleo, é de fundamental importância para as questões relaci-

onadas com o retorno econômico do campo petrolífero (BANNWART et al., 2005). Na

literatura, é possível encontrar diversas correlações capazes de prever os perfis de

pressão em escoamentos multifásicos, como por exemplo os trabalhos de Duns e Ros

(1963), Dukler et al. (1964), Hagedorn e Brown (1965), Orkiszewski (1967), Beggs e

Brill (1973), Mukherjee e Brill (1983), Taitel Y. (1989) e Ouyang e Aziz (2001). Já o per-

fil de temperatura pode ser determinado através dos trabalhos de Xiao (1987), Sagar

et al. (1991), Alves et al. (1992) e Hasan e Kabir (1994) que assumiram uma condição

de regime estacionário, no qual as propriedades físicas não variam com o tempo.

Para representar os efeitos temporais do escoamento multifásico, geralmente, re-

corre-se aos simuladores numéricos. Isto ocorre porque existe uma grande dificuldade

de obter soluções analíticas ou correlações experimentais para alguns escoamentos

transientes. Os simuladores numéricos resolvem um sistema de equações diferencias,

representativas do fenômeno, através de aproximações numéricas. Estes simuladores

podem representar tanto fenômenos estacionários quanto transientes e podem ser

construídos acoplados a um reservatório de petróleo ou de forma independente.

Alguns autores desenvolveram modelos para o escoamento em poços de petróleo

acoplados a um reservatório como, por exemplo, os estudos de Almehaideb et al.

(1989), Winterfeld (1989), Stone et al. (1989), Stone et al. (2002), Pourafshary et al.

(2009), Livescu et al. (2010) e Shirdel e Sepehrnoori (2011).

25

Almehaideb et al. (1989) e Winterfeld (1989) apresentaram uma modelagem para

um escoamento black-oil isotérmico. Stone et al. (1989) propuseram um modelo black-

oil trifásico no qual o padrão de escoamento é classificado, baseando-se em dados

experimentais. Em um trabalho posterior, Stone et al. (2002) estudaram sistemas com-

posicionais isotérmicos utilizando o modelo drift-flux (BAHONAR et al., 2011; LIVESCU et

al., 2010).

Pourafshary et al. (2009) desenvolveram um modelo composicional trifásico uti-

lizando o modelo drift-flux, para as fases líquida e gasosa, e o modelo homogêneo

para as fases líquidas. Segundo Livescu et al. (2010), este trabalho desconside-

rou os termos de acúmulo (derivadas temporais) das equações de conservação de

massa e energia, embora estes termos sejam fundamentais em simulações transien-

tes. Já o trabalho de Livescu et al. (2010) modelou um escoamento transiente trifásico

utilizando-se do modelo black-oil. Para o acoplamento entre as fases foi utilizado o

modelo drift-flux de Shi et al. (2005) que, segundo o próprio autor, permite capturar

o fenômeno de fluxo contra corrente. Por último, o trabalho de Shirdel e Sepehrnoori

(2011) apresenta uma formulação implícita de um escoamento transiente utilizando

o modelo de dois fluidos e aproximação pseudo-composicional a fim de calcular as

propriedades de cada fase.

Na literatura também são reportados trabalhos mais recentes focados no estudo

de poços de petróleo de forma independente como, por exemplo, os trabalhos de

Soprano et al. (2012), Malekzadeh et al. (2012) e Choi et al. (2013), que representaram

numericamente um escoamento transiente isotérmico utilizando o modelo drift-flux.

Portanto, é possível perceber que há um grande interesse no comportamento de

escoamentos multifásicos e existem diversos estudos numéricos, matemáticos e ex-

perimentais na área.

1.1 Objetivos

A dinâmica do escoamento do fluido do reservatório até a superfície é complexa

e podem surgir diversos padrões de fluxo como consequência da despressurização

do gás ao longo da coluna de produção. Para se descrever o comportamento termo-

dinâmico das misturas complexas de fluidos, será utilizado um modelo multifásico e

composicional. Neste trabalho, para que as propriedades físicas dos hidrocarbonetos

sejam melhor representadas será utilizada a equação de estado cúbica de Peng e

Robinson (1978). Como no modelo composicional existe uma transferência de massa

26

entre as fases, é necessária uma condição de equilíbrio para as fases do escoamento.

Esta condição será dada pelo equilíbrio das fugacidades de cada componente em

todas as fases.

Baseando-se nas equações constitutivas da conservação da massa, da quanti-

dade de movimento, da energia, de uma relação cinemática, do equilíbrio das fases

e de algumas restrições, é possível construir um sistema de equações não-lineares.

As propriedades da simulação, como pressão, temperatura, velocidade, fração molar

e fração volumétrica, serão obtidas a partir da solução deste sistema utilizando o mé-

todo de Newton-Raphson que é capaz de resolver todas as equações em conjunto,

acoplando os efeitos de escoamento e da termodinâmica.

Para a modelagem física do escoamento multifásico será utilizado o modelo cine-

mático drift-flux que é capaz de representar o escorregamento relativo entre diversas

fases do escoamento a partir de correlações já utilizadas com sucesso na indústria

do petróleo. O aparecimento e desaparecimento de fases ocorrerá através de uma

análise de equilíbrio que será discutida no desenvolvimento do presente trabalho.

Sendo o poço vertical, a transferência de calor entre o fluido e a formação geo-

lógica deve ser considerada e será modelada para uma completação convencional.

A influência da troca de calor no anular será discutida considerando as duas princi-

pais formas de transferência de calor: condução e convecção natural. Para garantir

a correta implementação desses fenômenos serão utilizadas soluções analíticas, um

aplicativo computacional comercial e comparações com trabalhos correlatos.

Desta forma, o objetivo principal do trabalho é desenvolver um simulador capaz de

representar um escoamento transiente multifásico térmico composicional em um poço

de petróleo vertical, considerando modelos de transferência de calor do poço com a

formação geológica, utilizando o modelo de mistura drift-flux.

1.2 Organização do Documento

O presente trabalho está dividido em sete capítulos seguidos das referências bi-

bliográficas e de mais quatro apêndices. No Capítulo 1, Introdução, apresenta-se o

escopo do problema, os objetivos e a organização do documento.

No Capítulo 2, Equações Médias de Transporte, são apresentadas as equações

médias de transporte para o escoamento multifásico em tubulações. Inicia-se com

uma abordagem da formulação instantânea local e das equações de conservação,

27

seguida do conceito de função indicadora de fase e dos processos de médias neces-

sários para obter as equações médias que governam o fenômeno físico.

No Capítulo 3, Escoamento Multifásico Utilizando o Modelo de Mistura Drift-Flux ,

discute-se a modelagem do escoamento multifásico através das equações médias de

conservação apresentadas no Capítulo 2. Além disso, apresentam-se os sistemas

de equações capazes de representar os escoamentos multifásicos imiscíveis e mis-

cíveis utilizando o modelo de mistura drift-flux, assim como as correlações empíricas

propostas por diversos autores.

No Capítulo 4, Transferência de Calor Entre o Poço e a Formação Geológica,

realiza-se uma análise das trocas de calor que ocorrem em uma completação con-

vencional de um poço vertical a fim de representar os efeitos que influenciam a tem-

peratura de forma mais realista. Este fenômeno é adicionado de forma implícita ao

sistema de equações através de um termo fonte na equação da energia.

No Capítulo 5, Metodologia Numérica, realiza-se a discretização numérica das

equações do modelo de mistura drift-flux e apresenta-se um método totalmente implí-

cito para solucionar o sistema de equações não-lineares. No final do capítulo, mostra-

se as condições de contorno e um fluxograma do funcionamento do simulador.

No Capítulo 6, Simulações Numéricas de Escoamento de Fluidos em Tubulações,

são apresentadas algumas simulações de tubo de choque a fim de verificar a discre-

tização numérica através de testes de convergência tanto espacial quanto temporal.

Em seguida, é verificada a implementação da mudança de fases com um tubo de cho-

que de gás retrógrado e a transferência de calor entre o poço e a formação geológica

com soluções analíticas. Finalmente, é realizada uma simulação vertical transiente e

comparada com resultados da literatura.

No Capítulo 7, Considerações Finais, apresentam-se as conclusões e sugestões

para trabalhos futuros. Após as referências bibliográficas, acrescentam-se os apên-

dices. No Apêndice A, Modelagem Termodinâmica, mostram-se as equações para o

cálculo das propriedades do fluido dada uma equação de estado e os algoritmos para

realizar uma análise de equilíbrio e o cálculo do flash termodinâmico.

Em seguida, no Apêndice B, Modelagem Computacional, apresenta-se a mode-

lagem computacional utilizada para implementar o código do simulador através do

diagrama de pacotes e dos diagramas de classes.

No Apêndice C, Soluções Analíticas, apresentam-se as soluções analíticas do tubo

de choque, do escoamento vertical isotérmico e do escoamento vertical com troca de

28

calor. Por último, no Apêndice D, Condições de Contorno, apresentam-se as células

virtuais e os cálculos necessários para satisfazer as condições de contorno assumi-

das.

29

2 Equações Médias de Transporte

Neste capítulo, será apresentada a formulação instantânea local para um esco-

amento monofásico e suas equações de conservação. Estas equações e a função

indicadora de fase serão utilizadas para a dedução das equações de conservação do

escoamento multifásico.

Devido as flutuações causadas pela passagem das interfaces, estas equações

são descontínuas. A fim de transformá-las em funções contínuas, serão definidos e

aplicados os processos de média nessas equações, de tal forma a obter as equações

médias de transporte para o escoamento multifásico.

2.1 Formulação Instantânea Local do Escoamento Mo-nofásico

Segundo Kolev (2007), uma fase pode ser definida como um meio contínuo e ho-

mogêneo separado por fronteiras bem definidas. Um escoamento multifásico é ca-

racterizado por apresentar mais de uma fase, separadas por uma ou mais interfaces.

Desta forma, ele pode ser considerado como um escoamento de várias regiões mo-

nofásicas separadas por suas interfaces. Sendo válida a hipótese do contínuo, essas

regiões podem ser consideradas como meios contínuos onde as equações de conser-

vação são válidas em todo o domínio e a transferência de propriedades é dada pelas

interfaces, sendo representadas como uma condição de contorno. Em teoria, essas

equações podem ser formuladas em cada instante de tempo para cada posição do

domínio em que a fase exista. Por isso, segundo Ishii e Hibiki (2010), esta formulação

é conhecida como formulação instantânea local.

A seguir, será apresentada a equação de transporte generalizada para o escoa-

mento de uma fase que permitirá obter as equações de conservação da massa, da

quantidade de movimento e da energia para um escoamento monofásico.

30

2.1.1 Equação de Transporte Generalizada

As leis de conservação podem ser obtidas para uma dada quantidade de matéria,

denominada massa de controle ou sistema, e suas propriedades extensivas como

massa, quantidade de movimento e energia (FOX et al., 2011). Entretanto, devido a

dificuldade de seguir uma parcela da matéria no escoamento, é mais usual observar

o escoamento a partir de uma região no espaço denominada volume de controle.

Dessa forma, a equação de transporte generalizada será deduzida para um volume

de controle fixo contendo uma única fase.

A equação de transporte generalizada representa a conservação de uma pro-

priedade extensiva arbitrária, Ψ, que está associada a uma propriedade intensiva

ψ = dΨ/dm, e é dada por:

Taxa de acúmulo

da propriedade

Ψ no volume

de controle

=

Fluxo convectivo

da propriedade

Ψ pela superfície

de controle

+

Fluxo difusivo da

propriedade Ψ

pela superfície

de controle

+

Taxa de geração da

propriedade Ψ por

fontes externas no

volume de controle

+

Taxa de geração

interna da

propriedade Ψ no

volume de controle

,

ou, matematicamente:

∫VC

∂ (ρψ)

∂tdV = −

∫SC

(ρψ)v · ndS −∫SC

n · JdS +

∫VC

ρφdV +

∫VC

qΨdV, (2.1)

onde VC é o volume de controle; SC, a superfície que delimita este volume; ρ, a

massa específica; n, o vetor normal à superfície; J, o fluxo difusivo da propriedade Ψ

pela superfície de controle; φ, geração da propriedade Ψ devido a forças de corpo; e

qΨ, o termo fonte da propriedade Ψ. Este último surge devido à presença de um meio

externo no volume de controle.

Utilizando-se o teorema da divergência de Gauss, que é capaz de transformar a

integral de superfície em uma integral de volume, a equação pode ser reescrita como:

31

∫VC

[∂

∂t(ρψ) +∇ · (ρψv) +∇ · J− ρφ− qΨ

]dV = 0. (2.2)

Como esta equação deve ser válida para qualquer volume de controle, a função a

ser integrada deve ser nula e a equação de transporte generalizada, na forma diferen-

cial, pode ser escrita como:

∂

∂t(ρψ) +∇ · (ρψv) = −∇ · J + ρφ+ qΨ, (2.3)

tal que o primeiro termo desta equação representa a taxa de acúmulo da propriedade

extensiva Ψ por unidade de volume, enquanto que o segundo termo representa a

taxa de convecção por unidade de volume. No lado direito, estão os termos de fluxo

difusivo, força de corpo e geração interna, respectivamente.

2.1.2 Equações de Conservação

A seguir serão apresentadas as três principais leis de conservação: da massa,

da quantidade de movimento (2ª Lei de Newton) e da energia para um escoamento

monofásico válidas em todo o volume de controle.

2.1.2.1 Conservação da Massa

Na conservação da massa, a propriedade extensiva conservada é a massa, Ψ =

m, e, desconsiderando os fluxos difusivos de massa e de força de corpo, conforme o

trabalho de Ishii e Hibiki (2010), tem-se:

ψ = 1, J = 0, φ = 0. (2.4)

Substituindo-se a relação (2.4) na equação de transporte generalizada, Eq. (2.3),

a equação de conservação da massa é dada por:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = qm, (2.5)

onde qm representa o termo fonte de massa associado a um meio externo atuante no

volume de controle.

A equação de conservação da massa da fase também pode ser expressa, na base

32

molar, como:

∂ξ

∂t+∇ · (ξv) = qn, (2.6)

onde qn é a vazão molar e ξ é a massa específica molar, definida como a razão entre

o número de mols e o volume da fase.

2.1.2.2 Conservação da Quantidade de Movimento

De acordo com a segunda lei de Newton, a propriedade extensiva que se conserva

é a quantidade de movimento, ou seja, Ψ = mv. O fluxo da quantidade de movimento

é dado pelo tensor de tensão superficial, T. Já a força de corpo é dada pela atuação

da aceleração gravitacional, g. Assim, a equação de conservação da quantidade de

movimento, conforme o trabalho de Ishii e Hibiki (2010), pode ser obtida utilizando-se:

ψ = v, J = −T φ = g. (2.7)

Definindo-se I como o tensor unitário, é possível separar o tensor de tensão su-

perficial em um termo de pressão, P , e um termo de tensão viscosa, τ , tal que:

T = −P I + τ. (2.8)

Substituindo-se as Eqs. (2.7) e (2.8) na equação de transporte generalizada, Eq.

(2.3), a equação de conservação da quantidade de momento é dada por:

∂

∂t(ρv) +∇ · (ρvv) = −∇P +∇ · τ + ρg + qM , (2.9)

onde qM representa o termo fonte da quantidade de movimento.

2.1.2.3 Conservação da Energia

Assim como a massa e a quantidade de movimento, a energia também é uma pro-

priedade extensiva que se conserva no volume de controle. Essa energia é composta

pela energia interna, cinética e potencial. Já o fluxo da energia é composto pelo traba-

lho gerado pelas forças de superfícies e pelo fluxo de calor por condução, Q. Assim,

as variáveis da equação de transporte generalizada, conforme o trabalho de Ishii e

33

Hibiki (2010), são tais que:

Ψ = U + 1

2mv2 → ψ = u + 1

2v2

J = Q− T · v

φ = g · v

, (2.10)

onde U representa a energia interna; e u, a energia interna específica da fase p, na

base mássica.

Utilizando-se a equação generalizada do transporte, Eq. (2.3), a equação de con-

servação da energia, é dada por:

∂

∂t

[ρ

(u +

1

2v2

)]+∇ ·

[ρ

(u +

1

2v2

)v

]= −∇ ·Q +∇ · (T · v) + ρg · v + qE, (2.11)

onde qE é o termo fonte de energia.

Denotando a energia interna específica da fase p, na base molar, por u, a energia

interna especifica, na base mássica, pode ser reescrita como:

u =ξ

ρu. (2.12)

Utilizando-se a definição da entalpia específica, na base molar, dada por:

h = u+P

ξ. (2.13)

e a Eq. (2.12), a conservação da energia, Eq. (2.11), pode ser reescrita, em função

da entalpia específica, como:

∂

∂t

(ξh− P +

1

2ρv2

)+∇ ·

[(ξh− P +

1

2ρv2

)v

]= −∇ ·Q +∇ · (T · v)

+ ρg · v + qE. (2.14)

Utilizando-se a definição do tensor de tensão superficial, Eq. (2.8), a equação de

conservação da energia, pode ser expressa por:

34

∂

∂t

(ξh+

1

2ρv2

)+∇ ·

[(ξh+

1

2ρv2

)v

]=∂P

∂t−∇ ·Q +∇ · (τ · v) + ρg · v

+ qE. (2.15)

A metodologia para o cálculo da entalpia depende da equação de estado utilizada,

conforme a Seção A.3.4. Já a troca de calor por condução, considerando a condutivi-

dade térmica do fluido isotrópico, segundo a lei de Fourier, é dada por:

Q = −κ∇T, (2.16)

onde T representa a temperatura do fluido e a condutividade térmica, κ, é calculada

conforme a Seção A.3.7.

2.2 Função Indicadora de Fase

A função indicadora de fase é um recurso utilizado na formulação multifásica para

filtrar apenas a ocorrência de uma fase no escoamento. A função indicadora da fase p

é definida por:

Xp(x, t) =

1 , se existir a fase pno ponto x

0 , se não existir a fase pno ponto x. (2.17)

A função indicadora de fase depende do tempo, t, e da posição espacial, x, e é

essencial para a descrição do escoamento multifásico visto que com ela é possível

alterar o domínio limitado de uma fase para um domínio ocupado por várias fases.

A Fig. 1 ilustra a função indicadora de fase em função do tempo, fixando-se uma

posição no espaço (x0). A parte inferior da referida figura ilustra o comportamento de

um escoamento vertical para cima em cinco momentos diferentes e a parte superior a

respectiva função indicadora da fase dispersa.

A função indicadora de fase também pode ser interpretada fixando-se um tempo

qualquer. A Fig. 2 apresenta a função indicadora da fase dispersa para um escoa-

mento horizontal, percorrendo-se a direção axial do tubo no instante de tempo t0.

Assim, o escoamento multifásico pode ser considerado como um conjunto de es-

coamentos monofásicos, no qual as propriedades de cada fase são filtradas através

35

Figura 1: Função indicadora de fases em função do tempo, fixando-se uma posiçãono espaço (x0).

Figura 2: Função indicadora de fases em função do espaço, fixando-se um tempo (t0).

da função indicadora de fase, tal que:

XpF = Fp, (2.18)

onde F é uma função contínua que representa uma propriedade do escoamento mo-

36

nofásico válida em todo o volume de controle, e Fp é uma função contínua por partes

que representa a propriedade da fase p, apenas nas regiões onde essa fase existe. A

Fig. 3 ilustra o processo de filtragem para uma fase p de um escoamento multifásico,

no instante t0, utilizando a função indicadora de fase para um escoamento unidimen-

sional na direção x.

F(x,t0 )

0

1

Xp (x,t0 )

x

Fp (x,t0 )

Figura 3: Filtragem de uma propriedade qualquer utilizando a função indicadora defase.

A partir das Figs. 2 e 3, é possível notar que quanto maior for a heterogeneidade

do volume de controle, mais descontínua será a função indicadora de fase e, conse-

quentemente, mais descontínua será a função que representa a propriedade da fase.

A fim de tornar essa função contínua, será utilizado um processo de média, que será

discutido a seguir.

2.3 Processos de Média

Na Seção 2.1, deduziram-se as equações de transporte para um escoamento de

uma única fase no volume de controle. As equações válidas para comportamento

de uma fase qualquer, em um escoamento multifásico, podem ser obtida através da

função indicadora de fase. Porém, a intermitente passagem das interfaces produz

37

flutuações nessas equações, tornando-as descontínuas. A fim de transformar essas

equações e as propriedades do escoamento multifásico em funções contínuas, isto é,

sem saltos ou descontinuidades, será introduzido o processo de média.

Serão apresentados os principais tipos de médias Eulerianas e os processos de

média aplicados no produto de funções e nas funções diferenciais descontínuas.

2.3.1 Médias Eulerianas

De acordo com Ishii e Hibiki (2010), os processos de média podem ser classifi-

cados em três grupos principais: média Euleriana, média Lagrangeana e média esta-

tística de Boltzman. A média Lagrangeana está diretamente relacionada a descrição

Lagrangeana do mecanismo, portanto são mais utilizadas quando o foco do estudo

está mais direcionado para o comportamento de uma partícula do que para um grupo

de partículas. Por outro lado, a média estatística de Boltzman é indicada quando há

um grande número de partículas e o comportamento de cada uma delas é tão com-

plexo e caótico que a solução individual se torna impraticável. Essa média é muito

utilizada na modelagem de processos estocásticos com variação aleatória das propri-

edades do sistema.

Já a média Euleriana é a mais importante e usada para o cálculo de média na

mecânica do contínuo, pois é a que melhor se aproxima das observações realizadas

na prática. O conceito básico por trás desse processo é a descrição espaço-temporal

do fenômeno físico baseando-se na descrição Euleriana. Nessa descrição, as coor-

denadas tempo, t, e espaço, x, são variáveis independentes e as outras variáveis são

expressas em função destas (ISHII; HIBIKI, 2010).

As principais médias Eulerianas são a temporal e a volumétrica. Segundo Faghri

e Zhang (2006), para uma função qualquer F (x, t), a média Euleriana temporal em

um certo período de tempo, ∆t, avaliada em qualquer ponto x, é dada por:

F (x, t) =1

∆t

∫ t+ ∆t2

t−∆t2

F (x, t′)dt′, (2.19)

ou ainda, por simplificação de notação:

F =1

∆t

∫∆t

F (x, t)dt, (2.20)

38

tal que o período de tempo ∆t é escolhido de forma a ser maior do que a maior escala

na qual ocorre uma flutuação local da função e menor do que a escala do processo

macroscópico temporal.

Por outro lado, a média Euleriana volumétrica, para um elemento de volume ∆V

ao redor do ponto fixo, em qualquer instante t, é dada por:

F =1

∆V

∫∆V

F (x, t)dV, (2.21)

tal que ∆V , analogamente à ∆t, deve ser escolhido de forma a ser maior do que a

maior escala na qual ocorre uma flutuação local da função e menor do que a escala

do processo macroscópico espacial.

Considerando um escoamento unidimensional na direção axial, na qual as pro-

priedades estão distribuídas uniformemente na seção transversal, a Fig. 4 ilustra o

processo de média volumétrica aplicado a uma função contínua F (x, t0) em um ins-

tante t0. Esta figura pode ser interpretada como a variação de uma propriedade de

um escoamento monofásico turbulento. Neste caso, a média volumétrica é capaz de

suavizar o comportamento da função.

x

∆x

F(x,t0 )

F(x,t0 )

Figura 4: Média volumétrica de uma função ruidosa em um instante t0.

A média volumétrica também pode ser aplicada para um escoamento multifásico,

porém devido a passagem das interfaces, neste caso a função será descontínua, con-

forme a função indicadora de fase. É possível demonstrar, através da definição da

39

função indicadora de fase, Eq. (2.17), que a sua média volumétrica corresponde à

fração volumétrica que a fase ocupa no volume de controle, isto é:

Xp =1

∆V

∫∆V

XpdV =1

∆V

∫∆Vp

dV =∆Vp∆V

= αp, (2.22)

onde ∆Vp representa o volume que a fase p ocupa no volume de controle ∆V ; e αp, a

sua fração volumétrica.

A média volumétrica quando aplicada à função indicadora de fase é capaz de

transformá-la em uma função contínua, visto que o elemento de volume ∆V , escolhido

para a média volumétrica, é grande o suficiente para contemplar a existência de uma

flutuação local, conforme a Fig. 5. Esta figura representa um caso unidimensional, no

instante t0, no qual a função indicadora de fase é indicada pela curva em azul; e a sua

média volumétrica, que representa a fração volumétrica da fase, pela curva preta.

x0

1

∆x

Xp (x,t0 )

Xp (x,t0 )

Figura 5: Média volumétrica da função indicadora de fase.

Para o caso de um escoamento multifásico, existe também a média volumétrica

intrínseca da fase p, definida por:

Fp

p =1

∆Vp

∫∆Vp

Fp(x, t)dV, (2.23)

onde Fp representa a função F avaliada para a fase p.

Esta média avalia a propriedade apenas onde a fase existe, diferentemente da

40

média volumétrica simples, que avalia a propriedade em todo o volume de controle.

A Fig. 6 ilustra esse processo de média aplicado a uma função descontínua Fp no

instante t0. Nota-se que a função média Fp

p é contínua no espaço, diferentemente da

função Fp.

x

∆x

Fp (x,t0 )

Fp

p (x,t0 )

Figura 6: Média volumétrica intrínseca da fase p para uma função descontínua.

Além dessas, existem as médias ponderadas em algumas propriedades físicas

do escoamento. Neste trabalho, serão utilizadas as médias ponderadas na massa

específica da fase e na massa específica molar, definidas, respectivamente, por:

Fρpp =

∫∆Vp

ρpFpdV∫∆Vp

ρpdV=ρpFp

p

ρpp(2.24)

e

Fξpp =

∫∆Vp

ξpFpdV∫∆Vp

ξpdV=ξpFp

p

ξp

p

. (2.25)

2.3.2 Média do Produto de Funções

A média volumétrica de algumas funções é fundamental para o desenvolvimento

da equação média de transporte generalizada como, por exemplo, o produto duas

41

funções. A média volumétrica do produto entre F e Xp, que representa a propriedade

F avaliada para a fase p, é tal que:

XpF =1

∆V

∫∆V

XpFdV =1

∆V

∫∆Vp

FpdV =∆Vp∆V

(1

∆Vp

∫∆Vp

FpdV

). (2.26)

Substituindo-se a definição de fração volumétrica, Eq. (2.22), e de média volumé-

trica intrínseca da fase, Eq. (2.23), tem-se:

XpF = F p = αpFp

p. (2.27)

Através das Eqs. (2.24) e (2.27), é possível escrever a média do produto entre a

função indicadora de fase, a massa específica e a função F , como:

XpρF = αpρpFpp

= αpρppFp

ρp. (2.28)

Analogamente, a média do produto entre a função indicadora de fase, a massa

específica molar e a função F , utilizando-se as Eqs. (2.25) e (2.27), como:

XpξF = αpξppFp

ξp. (2.29)

As Eqs. (2.27)-(2.29) fornecem expressões da média do produto de uma função

com a função indicadora de fase, Xp. Quando esta função não está presente é possí-

vel utilizar uma forma alternativa para representar a média do produto de duas funções

em um produto de médias, através da decomposição de Reynolds.

Na dinâmica de fluidos e na teoria da turbulência, a decomposição de Reynolds é

uma técnica matemática utilizada para separar uma propriedade instantânea, F (x, t),

em um valor médio, F (x, t), mais uma flutuação, F ′′ (x, t), ou seja:

F (x, t) = F (x, t) + F ′′ (x, t) . (2.30)

O valor médio pode ser obtido a partir da definição de média volumétrica, Eq.

(2.21). Já as flutuações ocorrem devido a distribuição espacial das fases e da pre-

sença de vórtices de turbulência. Admitindo-se que o processo de média não altera

os valores médios do escoamento, é possível provar que a média das flutuações é

nula, ou seja:

42

F ′′ (x, t) = 0 (2.31)

e ainda, o produto das médias de duas funções F e G pode ser escrito de várias

formas:

F ·G = F ·G = F ·G = F ·G. (2.32)

Assim, através da decomposição de Reynolds e das Eqs. (2.31) e (2.32), a média

do produto de duas funções F e G é dada por:

F.G = (F + F ′′).(G+G′′) = F .G+ F .G′′ + F ′′.G+ F ′′.G′′

= F .G+ F .G′′ + F ′′.G+ F ′′.G′′

= F .G+ F ′′.G′′. (2.33)

Esta definição pode ser utilizada, por exemplo, no produto entre a velocidade e

uma propriedade qualquer ψ, tal que:

ψ.v = ψ.v + ψ′′.v′′. (2.34)

2.3.3 Médias de Funções Diferenciáveis por Partes

A equação média de transporte, para uma fase qualquer, será deduzida a partir

da filtragem das equações de transporte da fase em questão no volume de controle,

seguida do processo da média volumétrica. Porém, a filtragem de funções diferenciá-

veis, válidas em todo o volume de controle, transforma-as em funções diferenciávies

por partes cujo processo de média será abordado a seguir.

Segundo Rosa (2012), a média volumétrica do produto da função indicadora de

fase com a derivada temporal e com a derivada espacial de uma função F = F (x, t)

é obtida a partir da Regra de Leibniz e do Teorema de Gauss, respectivamente, e são

dadas por:

Xp∂F

∂t=

∂

∂t

(αpF

p

p

)− 1

∆V

∑j

∫Sj

Fp (vi · np) dS (2.35)

e

43

Xp∇F = ∇(αpF

p)+

1

∆V

∑j

∫Sj

FpnpdS, (2.36)

tal que o somatório representa todas as ocorrências da fase p, que é denotada pela

letra j, de tal forma que Sj é a área superfícial e vi é a velocidade interfacial dessa

ocorrência.

Para o caso particular da função F (x, t) ser uma função vetorial, as médias satis-

fazem as seguintes relações:

Xp∂F

∂t=

∂

∂t

(αpF

p

p

)− 1

∆V

∑j

∫Sj

F p (vi · np) dS (2.37)

e

Xp∇ · F = ∇ ·(αpF

p)+

1

∆V

∑j

∫Sj

F p · npdSp. (2.38)

Estas relações serão utilizadas para deduzir as equações médias de transporte,

conforme será visto a seguir.

2.4 Equações Médias de Conservação do EscoamentoMultifásico

O escoamento multifásico pode ser visto como um conjunto de escoamentos mo-

nofásicos. As equações de conservação de uma fase pode ser obtida, utilizando-se a

função indicadora de fase, considerando que esta ocupa todo o volume de controle,

onde são válidas as equações apresentadas na Seção 2.1. Na presente seção, será

aplicado o processo de média volumétrica nas equações de conservação de cada fase

e da mistura, para um escoamento multifásico.

2.4.1 Equação Média de Transporte

A equação de transporte generalizada que representa o escoamento monofásico

em todo o volume de controle, conforme a Seção 2.1.1 , é dada por:

∂

∂t(ρψ) +∇ · (ρψv) = −∇ · J + ρφ+ qΨ. (2.39)

44

Esta equação representa, genericamente, a equação de transporte considerando

que uma fase qualquer ocupa todo o volume de controle. A equação média de trans-

porte, para a fase p, pode ser obtida multiplicando-se esta equação pela função indi-

cadora de fase e aplicando-se o processo de média volumétrica, tal que:

Xp∂

∂t(ρψ) +Xp∇ · (ρψv) = −Xp∇ · J +Xpρφ+XpqΨ. (2.40)

Utilizando-se a regra de Leibniz, conforme as Eqs. (2.35) e (2.36), tem-se:

∂

∂t(Xpρψ) +∇ · (Xpρψv) = −∇ · (XpJ) +Xpρφ+XpqΨ + IΨp , (2.41)

onde IΨp representa a entrada da propriedade Ψ na fase p pela interface e pode ser

visto como um termo fonte, tal que:

IΨp =1

∆V

∑j

∫Sj

(ρpψp)vi · npdS −1

∆V

∑j

∫Sj

(ρpψpvp + Jp) · npdS, (2.42)

ou ainda:

IΨp = − 1

∆V

∑j

∫Sj

[ρp (vp − vi)ψp + Jp] · npdS. (2.43)

Através das relações de médias, Eqs. (2.27) e (2.28), a equação média de trans-

porte pode ser escrita como:

∂

∂t

(αpρ

ppψ

ρpp

)+∇ ·

(αpρ

ppψpvp

ρp)

= −∇ ·(αpJ

p

p

)+ αpρ

ppφp

ρp+ α∗pq

pΨp

+ IΨp , (2.44)

onde o asterísco no penúltimo termo da equação representa que a fração volumétrica,

α∗p, não é necessariamente igual as demais. Este termo está associado ao termo fonte

da propriedade.

A média do produto ψpvp pode ser obtida utilizando-se a decomposição de Rey-

nolds, Eq. (2.34), tal que a equação média de transporte, de um escoamento multifá-

sico, para uma fase p, pode ser expressa como:

45

∂

∂t

(αpρ

ppψ

ρpp

)+∇ ·

(αpρ

ppψ

ρpp vρpp

)= −∇ ·

[αp(Jpp + JTp

)]+ αpρ

ppφ

ρpp + α∗pq

pΨp

+ IΨp ,

(2.45)

tal que o primeiro termo desta equação representa a taxa de acúmulo da propriedade

extensiva média Ψ por unidade de volume, enquanto que o segundo termo representa

a taxa de convecção média por unidade de volume. No lado direito, estão os termos

médios do fluxo superficial, da força de corpo, da geração interna e do termo inter-

facial, respectivamente, e JTp representa o fluxo turbulento devido as flutuações da

velocidade e da propriedade Ψp, sendo definido por:

JTp = ρppψ′′pv′′p

ρp. (2.46)

2.4.2 Equação Média da Conservação da Massa

Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da massa

de um escoamento multifásico para uma fase, para um componente e para a mistura.

2.4.2.1 Conservação da Massa da Fase

A equação média de conservação da massa da fase p é obtida utilizando-se a

equação média de transporte, Eq. (2.45), com:

ψp = 1, Jp = 0, φp = 0, (2.47)

tal que:

∂

∂t

(αpρ

pp

)+∇ ·

(αpρ

ppv

ρpp

)= α∗pq

pmp + Imp , (2.48)

onde Imp representa a transferência de massa pelas interfaces devido a mudança de

fases e é definido, de acordo com a Eq. (2.43), por:

Imp = − 1

∆V

∑j

∫Sj

[ρp (vp − vi)] · npdS. (2.49)

46

A equação média da conservação da massa da fase também pode ser escrita, na

base molar, ao utilizar o processo de média ponderada na massa específica molar,

Eq. (2.29), e considerar que a geração interna, qnp, é dada em mols por segundos, tal

que:

∂

∂t

(αpξ

p

p

)+∇ ·

(αpξ

p

pvξpp

)= α∗pq

pnp + Inp , (2.50)

onde Inp representa a transferência de mols pelas interfaces devido a mudança de

fases e é definido, analogamente à Eq. (2.49), por:

Inp = − 1

∆V

∑j

∫Sj

[ξp (vp − vi)] · npdS. (2.51)

Para simulações imiscíveis este termo é nulo, visto que não há transferência de

propriedade pela interface.

2.4.2.2 Conservação da Massa da Mistura

Somando-se as equações de conservação da massa de cada uma das fases pre-

sentes no escoamento, tem-se:

∑p

∂

∂t

(αpρ

pp

)+∑p

[∇ ·(αpρ

ppv

ρpp

)]=∑p

α∗pqpmp +

∑p

Imp . (2.52)

Considerando que a interface não acumula massa, toda massa que sai de uma

das fases é transferida totalmente para as outras, ou seja:

∑p

Imp = 0. (2.53)

A equação média de conservação da massa, na base mássica, é dada por:

∂

∂t

(∑p

αpρXp

)+∇ ·

(∑p

αpρXp v

Xρp

)=∑p

α∗pqXmp . (2.54)

Analogamente, a equação média de conservação da massa, na base molar, utilizando-

se a Eq. (2.50), é dada por:

47

∂

∂t

(∑p

αpξp

p

)+∇ ·

(∑p

αpξp

pvξpp

)=∑p

α∗pqpnp . (2.55)

2.4.2.3 Conservação da Massa do Componente

Para uma formulação composicional, o sistema é composto por diversos com-

ponentes, com cada um deles ocupando uma porcentagem de cada fase existente.

Quando essa porcentagem é expressa na forma molar, ela é denominada fração mo-

lar e é definida por xp,c, que representa a fração molar do componente c na fase p.

Assim, a conservação média da massa do componente c, analogamente à Eq. (2.55),

utilizando-se a definição de média ponderada na massa específica molar, Eq. (2.29),

é dada por:

∂

∂t

(∑p

αpξp

pxξpp,c

)+∇ ·

(∑p

αpξp

pxξpp,cv

xξpp

)=∑p

α∗pqpnp,c , (2.56)

tal que vxξpp representa a velocidade média volumétrica ponderada no produto da fra-

ção molar e da massa específica molar.

O primeiro termo da Eq. (2.56) representa a taxa de acúmulo do número de mols

do componente c no volume de controle, enquanto que o segundo termo representa

a taxa de entrada de mols por convecção. Já o termo do lado direito, representa a

taxa de geração interna, sendo qnp,c a vazão molar do componente c na fase p. Esta

equação não possui termo interfacial porque não existe transferência de massa entre

componentes.

2.4.3 Equação Média da Conservação da Quantidade de Movimento

Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da quan-

tidade de movimento de um escoamento multifásico, tanto para uma fase quanto para

a mistura.

2.4.3.1 Conservação da Quantidade de Movimento da Fase

A equação média de conservação da quantidade de movimento da fase p é obtida

utilizando-se a equação média de transporte, Eq. (2.45), com:

48

ψp = vp, Jp = −Tp = P − τp, φp = g. (2.57)

tal que:

∂

∂t

(αpρ

ppv

ρpp

)+∇ ·

(αpρ

ppv

ρpp vρpp

)= −∇

(αpP

p)+∇ ·

[αp(τ pp + τTp

)]+ αpρ

ppg + α∗pq

pMp

+ IMp , (2.58)

onde P representa a pressão do sistema que foi considerada igual para todas as fases

presentes no escoamento; τp, o termo de tensão viscosa; e τTp e IMp, o fluxo turbulento

e a transferência de quantidade de movimento pela interface, respectivamente, e são

definidos por:

τTp = −JTp = −ρppv′′pv′′pρp (2.59)

e

IMp = − 1

∆V

∑j

∫Sj

[ρp (vp − vi)vp − Tp] · npdS. (2.60)

2.4.3.2 Conservação da Quantidade de Movimento da Mistura

Somando-se as equações de conservação da quantidade de movimento de cada

uma das fases presentes no escoamento, tem-se:

∑p

∂

∂t

(αpρ

ppv

ρpp

)+∑p

[∇ ·(αpρ

ppv

ρpp vρpp

)]= −

∑p

[∇(αpP

p)]+∑p

{∇ ·[αp(τ pp + τTp

)]}+∑p

αpρppg +

∑p

α∗pqpMp

+∑p

IMp . (2.61)

Desconsiderando-se os efeitos da tensão superficial na interface, toda quantidade

de movimento que sai de uma das fases é transferida totalmente para as outras, ou

seja:

49

∑p

IMp = 0, (2.62)

definindo-se τ pm como o tensor de tensões viscosas médio e suas flutuações, tal que:

τ pm =∑p

αp(τ pp + τTp

)(2.63)

e utilizando-se a restrição das frações volumétricas,∑

p αp = 1, a equação média da

conservação da quantidade de movimento da mistura pode ser expressa por:

∂

∂t

(∑p

αpρppv

ρpp

)+∇ ·

(∑p

αpρppv

ρpp vρpp

)= −∇P p

+∇ · τ pm +∑p

αpρppg

+∑p

α∗pqpMp. (2.64)

O primeiro termo da Eq. (2.64) representa a taxa de acúmulo da quantidade de

movimento no volume de controle, enquanto que o segundo termo representa a taxa

de entrada de quantidade de movimento por convecção. Já os termos do lado direito

representam o fluxo de quantidade de movimento gerado devido a forças superficiais e

de corpo, além da taxa de geração interna, denotada por qMp. Este último termo surge

quando consideramos que a massa que entra no volume de controle como um termo

fonte possui uma velocidade e, consequentemente, uma quantidade de movimento

associada.

2.4.4 Equação Média da Conservação da Energia

Nesta seção, serão apresentadas as equações médias de conservação da energia

de um escoamento multifásico, tanto para uma fase quanto para a mistura.

2.4.4.1 Conservação da Energia da Fase

A equação média de conservação da energia da fase p é obtida utilizando-se a

equação média de transporte, Eq. (2.45), com:

50

ψp = up + 1

2v2p = ep

Jp = Qp − Tp · vp

φp = vp · g

. (2.65)

tal que:

∂

∂t

(αpρ

ppeρpp

)+∇ ·

(αpρ

ppeρpp v

ρpp

)= −∇ ·

[αp(Jpp + JTp

)]− αpρppvρpp · g

+ α∗pqpEp

+ IEp , (2.66)

onde o fluxo de energia, Jpp, e o fluxo turbulento, JTp , são tais que:

Jpp = Qp

p − Tp ·(vp + v′′p

)p= Q

p

p − Tpp · vpp − Tp · v′′pp, (2.67)

JTp = ρppψ′′pv′′p

ρp= ρppe

′′pv′′p

ρp (2.68)

e a transferência de energia pela interface, IEp, de acordo com a Eq. (2.43), é dada

por:

IEp = − 1

∆V

∑j

∫Sj

[ρp (vp − vi) ep + Qp − Tp · vp

]· npdS. (2.69)

Assim, a equação média de conservação de energia da fase p, na base mássica,

pode ser escrita por:

∂

∂t

(αpρ

ppeρpp

)+∇ ·

(αpρ

ppeρpp vρpp

)= −∇ ·

[αp(Qp

p + QTp

)]+∇ ·

(αpT

p

p · vpp)

+ αpρppv

ρpp · g + α∗pq

pEp

+ IEp , (2.70)

onde QTp representa o fluxo turbulento de calor que considera tanto a energia gerada

por convecção turbulenta quanto a energia gerada pelo trabalho turbulento, ou seja:

QTp = JTp − Tp · v′′p

p. (2.71)

A equação de conservação da energia também pode ser expressa em função da

51

entalpia, conforme o procedimento utilizado na Seção 2.1.2.3, tal que:

∂

∂t

(αpξ

p

phξpp +

1

2αpρ

ppv

2p

ρp

)+∇ ·

[αp

(ξp

phξpp +

1

2ρppv

2p

ρp

)vp

]=

∂

∂t

(αpP

p)−∇ ·

[αp(Qp

p + QTp

)]+∇ ·

(αpτ

pp · vpp

)+ αpρ

ppv

ρpp · g + α∗pq

pEp

+ IEp . (2.72)

2.4.4.2 Conservação da Energia da Mistura

Somando-se as equações de conservação da energia de cada uma das fases

presentes no escoamento, Eq. (2.70), tem-se:

∑p

[∂

∂t

(αpρ

ppeρpp

)]+∑p

[∇ ·(αpρ

ppeρpp vρpp

)]= −

∑p

{∇ ·[αp(Qp

p + QTp

)]}+∑p

{∇ ·(αpT

p

p · vpp)}

+∑p

(αpρ

ppv

ρpp · g

)+∑p

α∗pqpEp

+∑p

IEp . (2.73)

Considerando-se que a interface não armazena energia, ou seja, toda energia que

sai de uma das fases é transferida totalmente para as outras, tal que:

∑p

IEp = 0 (2.74)

e admitindo-se que a fonte de calor externa à qual a mistura está submetida é dada

exclusivamente pela perda de calor entre o poço e a formação (veja o Capítulo 4), ou

seja:

∑p

αpqpEp

= −qw, (2.75)

a equação de conservação média da energia da mistura pode ser escrita como:

∂

∂t

[∑p

(αpρ

ppeρpp

)]+∇ ·

[∑p

(αpρ

ppeρpp vρpp

)]= −∇ ·

(Qp

m + QTm

)+∇ ·

[∑p

(αpT

p

p · vpp)]

+∑p

(αpρ

ppv

ρpp · g

)− qw, (2.76)

52

onde Qp

m e QTm representam o fluxo de calor por condução e turbulento da mistura,

respectivamente, e são definidos por:

Qp

m =∑p

αpQp

p (2.77)

e

QTm =

∑p

αpQTp . (2.78)

A equação de conservação da energia, expressa em função da entalpia, pode ser

obtida, analogamente a Eq. (2.76), somando-se a Eq. (2.72) para todas as fases

existentes no volume de controle, tal que:

∂

∂t

[∑p

(αpξ

p

phξpp +

1

2αpρ

ppv

2p

ρp

)]+∇ ·

∑p

[αp

(ξp

phξpp +

1

2ρppv

2p

ρp

)vp

]

=∂P

p

∂t−∇ ·

(Qp

m + QTm

)+∇ ·

[∑p

(αpτ

pp · vpp

)]+∑p

(αpρ

ppv

ρpp · g

)− qw. (2.79)

53

3 Escoamento MultifásicoUtilizando o Modelo de MisturaDrift-Flux

Neste capítulo, será apresentada uma descrição dos principais modelos para o es-

coamento multifásico que são formulados com base nas leis de conservação. Dentre

eles, o modelo de mistura drift-flux, empregado no presente trabalho, será discutido

com mais ênfase, apresentando-se suas equações e correlações empíricas presentes

neste modelo. Dessa forma, será construído um sistema de equações consistente a

partir das equações médias de conservação, da relação cinemática de acoplamento

entre as fases e das equações de restrições, representando tanto um escoamento

multifásico composicional miscível quanto imiscível.

3.1 Modelos Matemáticos do Escoamento Multifásico

Na literatura é possivel encontrar, basicamente, três modelos matemáticos para

representar um escoamento multifásico: o de dois fluidos, o drift-flux e o homogêneo.

Estes modelos baseiam-se nas leis de conservação e serão discutidos a seguir.

No modelo de dois fluidos, cada fase do escoamento é tratada de forma separada

e possui sua própria pressão, temperatura e velocidade, embora existam modelos sim-

plificados que consideram o compartilhamento dos campos de pressão e temperatura

entre as fases. As equações governantes são aplicadas para cada fase e o acopla-

mento entre elas é dado pelos termos interfaciais que representam o grande desafio

dessa modelagem. Segundo Rosa (2012), essas informações adicionais devem ser

supridas por meio de equações de fechamento ou constitutivas obtidas de modelos

e/ou dados experimentais.

De acordo com Shirdel (2010), o modelo de dois fluidos é computacionalmente

mais desafiador e numericamente instável em alguns casos. De fato, quando a velo-

54

cidade de deslizamento entre as fases excede um valor crítico, este modelo pode se

tornar mal condicionado e, consequentemente, instável (LIAO et al., 2008).

Por outro lado, como simplificação ao modelo de dois fluidos, existe o modelo de

mistura drift-flux que considera a existência de um único fluido homogêneo com ca-

racterísticas reológicas específicas. Este fluido hipotético representa a mistura na qual

as equações de conservação são aplicadas. Além disso, utiliza-se a conservação da

massa da fase dispersa e uma relação cinemática capaz de determinar a velocidade

da fase dispersa por correlações empíricas. Esta relação é conhecida como modelo

de deslizamento drift-flux e determina a velocidade da fase através de uma relação

entre a velocidade volumétrica da mistura e a velocidade de deslizamento. A equação

do modelo drift-flux e suas correlações empíricas serão discutidas na seção seguinte.

Devido a sua capacidade de representação do processo físico, relativa facilidade

de implementação e reconhecida estabilidade numérica, o modelo drift-flux e suas

variações constituem a base dos simuladores de fluxo para tubulações aplicados não

só na indústria petrolífera como também na nuclear, como pode ser visto nos trabalhos

de Ishii e Mishima (1984), Masella et al. (1998), Bonizzi e Issa (2003), Hibiki e Ishii

(2003b), Issa e Kempf (2003), Ishii e Hibiki (2006) e Hoeld (2007) (LIVESCU et al., 2010;

ROSA, 2012). Segundo Choi et al. (2013), o modelo drift-flux é mais aplicável ao padrão

de fluxo de fase(s) dispersa(s), enquanto o modelo dois fluidos obtém bons resultados

para problemas com padrão de escoamento de fases separadas.

Já no modelo homogêneo, as fases estão tão intimamente misturadas que é possí-

vel admitir uma mistura homogênea com todas as fases possuindo a mesma pressão,

temperatura e velocidade. Pode ser visto, também, como um modelo de mistura, aná-

logo ao drift-flux, com as mesmas equações governantes e restrições, porém com a

relação cinemática dada pela igualdade das velocidades de todas as fases. Este mo-

delo pode ser admitido em certos escoamentos como, por exemplo, o fluxo vertical

ascendente de gás disperso em um meio líquido na forma de inúmeras bolhas. Neste

caso, o escoamento é aproximadamente homogêneo e tanto o gás quanto o líquido

possuem quase a mesma velocidade.

3.2 Modelo de Deslizamento Drift-Flux

A principal equação do modelo de mistura drift-flux que o diferencia dos outros

é o modelo de deslizamento que é utilizado para modelar a velocidade de uma fase

dispersa (gás) em um escoamento bifásico (gás e líquido). Segundo Shi et al. (2005),

55

o modelo drift-flux descreve o deslizamento entre o gás e o líquido como uma combi-

nação de dois mecanismos. O primeiro é devido a tendência do gás de subir vertical-

mente através do líquido devido à flutuabilidade (empuxo). O segundo ocorre devido

a uma distribuição de fases e de velocidades não uniforme na seção transversal do

tubo, conforme a Fig. 7. Esta distribuição ocorre porque em um escoamento vertical

gás-líquido a concentração do gás tende a ser maior no centro do tubo, onde a velo-

cidade da mistura também é maior. Desta forma, quando é aplicado um processo de

média na seção transversal do tubo, a velocidade média do gás tende a ser maior que

a do líquido.

Perfil de Velocidade

Perfil de Concentração

Figura 7: Distribuição não uniforme da fase e da velocidade na seção transversal deum escoamento vertical gás-líquido. Adaptado de Shi et al. (2005).

Para representar matematicamente o modelo de mistura dritf-flux, é necessário

definir as médias ponderadas da área e da fração de vazios da seção transversal que

são definidas, respectivamente, por:

〈ψ〉 =1

A

∫A

ψdA (3.1)

e

〈〈ψp〉〉 =〈αpψp〉〈αp〉

, (3.2)

onde ψ representa uma propriedade qualquer; A, a área da seção transversal; e αp, a

fração volumétrica da fase p.

Além disso, é necessário o conceito de velocidade superficial e de deslizamento.

56

A velocidade superficial da mistura, j, corresponde a velocidade do centro de volume

da mistura, sendo definida por:

j =∑p

αpvp, (3.3)

onde o somatório com subíndice p representa o somatório de todas as fases existentes

na mistura.

Já a velocidade de deslizamento é a velocidade relativa entre a velocidade super-

ficial da mistura, j, e a velocidade da fase, vp, ou seja:

vD,p = vp − j. (3.4)

O modelo drift-flux é obtido, aplicando-se a média ponderada na fração volumé-

trica da fase p na Eq. (3.4), tal que:

〈〈vp〉〉 = 〈〈j〉〉+ 〈〈vD,p〉〉 . (3.5)

A velocidade de deslizamento pode ser determinada, por exemplo, em um escoa-

mento líquido-gás no qual o líquido encontra-se parado e existe apenas uma pequena

bolha de gás em movimento ascendente devido à flutuabilidade. Nesta situação, a ve-

locidade volumétrica da mistura é quase nula e, consequentemente, a velocidade do

gás será aproximadamente igual à velocidade de deslizamento do mesmo. De acordo

com Zukoski (1966), o cálculo da velocidade da bolha de gás é influenciada pela vis-

cosidade, tensão superficial e inclinação do tubo, conforme será visto nas correlações

empíricas para a velocidade de deslizamento.

Na Eq. (3.5), o primeiro termo do lado direito pode ser escrito em função da média

ponderada na área da seção transversal, tal que:

〈〈j〉〉 =〈αpj〉〈αp〉

= C0 〈j〉 , (3.6)

onde:

C0 =〈αpj〉〈αp〉〈j〉

. (3.7)

Este termo é chamado de parâmetro de distribuição e representa o desvio das

57

médias ponderadas na área e na fração volumétrica da fase p na seção transversal.

Segundo Ishii e Hibiki (2010), este parâmetro pode ser determinado assumindo-se

perfis de fração volumétrica e velocidade volumétrica conhecidos ou a partir de dados

experimentais.

Assim, para um escoamento líquido-gás, a velocidade média da fase gás, vg, pode

ser escrita em função da sua velocidade de deslizamento dessa fase, vD, e do parâ-

metro de distribuição, C0, utilizando-se as Eqs. (3.3), (3.5) e (3.6), como:

vg = C0

∑p

αpvp + vD. (3.8)

Observa-se que as notações de médias foram suprimidas para evitar a sobrecarga

de notação. As correlações empíricas para a determinação do parâmetro de distribui-

ção e da velocidade de deslizamento serão abordadas a seguir.

3.2.1 Correlações Empíricas do Modelo Drift-Flux

O modelo drift-flux tem sido estudado por vários autores. França e Jr (1992) e

Danielson et al. (2009) verificaram o uso desse modelo para todos os padrões ob-

servados no escoamento horizontal gás-líquido. Já Goda et al. (2003) investigaram o

escoamento bifásico a favor da gravidade, enquanto Ishii (1977) verificou a sua apli-

cação no escoamento vertical contra a gravidade (CHOI et al., 2012).

Diversas correlações empíricas para o parâmetro de distribuição, C0, e para a

velocidade de deslizamento, vD, foram desenvolvidos. Coddington e Macian (2002),

Schlegel et al. (2010) e Bhagwat e Ghajar (2014) apresentam uma série de modelos

propostos por outros autores, sendo alguns destes expostos na Tabela 1.

As correlações que determinam C0 e vD também podem ser função do padrão

de escoamento, como pode ser visto nos trabalhos de Ishii (1977), Hasan e Kabir

(1988a), Hasan e Kabir (1988b), Ansari et al. (1990), Hasan e Kabir (1999), Hibiki e

Ishii (2003a) e Hasan et al. (2010). A fim de evitar a implementação de um mapa

que determine o padrão de escoamento para cada posição na tubulação, esses tipos

de correlações não serão discutidos no presente trabalho e nem mesmo os modelos

mais complexos que não dependem do padrão de escoamento, posto que envolvem

diversas funções intermediárias, como por exemplo os trabalhos de Kataoka e Ishii

(1987), Shi et al. (2003), Shi et al. (2004), Shi et al. (2005) e Bhagwat e Ghajar (2014).

Neste trabalho, será utilizado o modelo de Choi et al. (2012) para determinar o

58

Tabe

la1:

Mod

elos

para

opa

râm

etro

dedi

strib

uiçã

oe

velo

cida

dede

desl

izam

ento

Mod

elo

Pad

rão

dedi

strib

uiçã

oVe

loci

dade

dede

sliz

amen

to

Zube

reFi

ndla

y(1

965)

C0

=1,

2v D

=1,

53( ρσ∆

ρρ

2 l

)1 4

Bon

neca

zeet

al.(

1971

)C

0=

1,2

v D=

0,35( ρσ∆

ρρ

2 l

)1 4

Gre

skov

ich

eC

oope

r(19

75)

C0

=1,

0v D

=0,

671√

gD

(senθ)

0,2

63

Sun

etal

.(19

81)

C0

=1

0,8

2+

0,1

8(P/PC

)v D

=0,

41( ρσ∆

ρρ

2 l

)1 4

Shi

pley

(198

4)C

0=

1,2

v D=

0,24

+0,

35( αv g j

) 2 √gDα

Jow

ittet

al.(

1984

)C

0=

1+

0,79

6e

( −0,0

61√ ρ l ρ g

)v D

=0,

034

( √ρl

ρg−

1)C

lark

eFl

emm

er(1

985)

C0

=0,

934

(1+

1,42α

)v D

=1,

53( ρσ ρ

l

)1 4

Son

nenb

urg

(198

9)C

0=

1+( 0,

32−

0,32√ ρ g ρ

l

)v D

=C

0(1−C

0αg)

C0αg

√gD

∆ρ/ρg

+1−

C0αg

√gD

∆ρ/ρl

Bes

tion

(199

0)C

0=

1,0

v D=

0,18

8√ gD∆ρ

ρg

Mis

him

ae

Hib

iki(

1996

)C

0=

1,2

+0,

51e(−

6,9

1×

10−

4D

)v D

=0

Gom

ezet

al.(

2000

)C

0=

1,15

v D=

1,53( ρσ∆

ρρ

2 l

)1 4√

1−αsenθ

Wol

dese

may

ate

Gha

jar(

2007

)C

0=

αvg

j

[ 1+( 1−αα

vl

vg

) (ρ g/ρl)

0,1] v D

=2,

9[ ρσD

∆ρ(1

+co

sθ)

ρ2 l

]1 4(1,2

2+

1,22

senθ)

Patm P

59

parâmetro de distribuição e a velocidade de deslizamento de um escoamento multifá-

sico.

3.2.1.1 Modelo de Choi et al. (2012)

O modelo proposto por Choi et al. (2012) é uma correlação capaz de prever o

parâmetro de distribuição e a velocidade de deslizamento para uma ampla gama de

geometrias e propriedades de fluido. O trabalho foi verificado utilizando mais de 1.000

dados experimentais do TUFFP (Tulsa University Fluid Flow Projects), obtidos através

dos trabalhos de Felizola (1992), Vigneron et al. (1995), Fan (2005), Gokcal (2005),

Gokcal (2008) e Magrini (2009). Além disso, foram utilizados 463 dados sintéticos,

obtidos através do software comercial OLGA (BENDIKSEN et al., 1991).

A correlação proposta por Choi et al. (2012) foi comparada com um simples modelo

linear, com C0 e vD constantes, e outros oito modelos da literatura: Zuber e Findlay

(1965), Ishii (1977), Liao et al. (1985), Jowitt et al. (1984), Sonnenburg (1989), Bestion

(1990), Kataoka e Ishii (1987) e Shi et al. (2004). Cada um destes trabalhos têm as

suas limitações, porém a proposta de Choi et al. (2012) é obter um modelo que seja

aplicável a uma grande variedade de condições.

Na comparação entre a previsão da fração volumétrica entre os oito modelos apre-

sentados com os dados experimentais, Choi et al. (2012) obteve a menor média abso-

luta dos erros (0,09584) e o menor desvio padrão (0,05684). A seguir serão apresen-

tados o parâmetro de distribuição e a velocidade de deslizamento deste modelo.

Parâmetro de Distribuição

O parâmetro de distribuição de Choi et al. (2012) é dado por uma combinação

dos trabalhos de Fabre e Liné (1992) e Ishii (1977). Segundo Choi et al. (2012), o

parâmetro de distribuição no trabalho de Fabre e Liné (1992) depende do número de

Reynolds e é dado por:

C0 =2, 27

1 + (Re/1000)2 +1, 2

1 + (1000/Re)2 . (3.9)

Já Ishii (1977) propôs uma simples e precisa equação para C0 no fluxo turbulento

agitado (churn flow), dada por:

C0 = 1.2− 0.2√ρg/ρl

(1− e−18αg

)(3.10)

60

Assim, Choi et al. (2012) propuseram um novo parâmetro de distribuição dado por:

C0 =2

1 + (Rel/1000)2 +1.2− 0.2

√ρg/ρl (1− e−18αg)

1 + (1000/Rel)2 , (3.11)

onde Rel é definido como o número de Reynolds da fase líquida, sendo calculado

como:

Rel =ρlD

µl

∑p

(αpvp) , (3.12)

onde D representa o diâmetro da tubulação; ρl, a massa específica da fase líquida; e

µl, a viscosidade da fase líquida.

Velocidade de Deslizamento

A velocidade de deslizamento é estimada através de uma modificação do modelo

proposto por Zuber e Findlay (1965) a fim de considerar os efeitos da inclinação, sendo

expressa como:

vD = A cos (θ) +B

[gσ (ρl − ρg)

ρ2l

]1/4

sen (θ) , (3.13)

onde σ é a tensão superficial entre as fases líquida e gasosa e é calculado conforme

a Seção A.3.6; g, a aceleração da gravidade; e θ, o ângulo de inclinação da tubulação.

Os parâmetros A e B foram obtidos por uma regressão nos experimentos analisados

e valem, respectivamente, 0,0246 e 1,606.

3.3 Equações do Modelo de Mistura Drift-Flux

Através das equações médias de conservação da mistura apresentadas no Capí-

tulo 2, é possível representar matematicamente um escoamento multifásico e, através

do modelo de mistura, considerá-lo um único fluido hipotético que representa a mis-

tura. Comumente, a velocidade da mistura e da fase dispersa são escolhidas como

variáveis do sistema e, dessa forma, a conservação da massa é realizada para a mis-

tura e para a fase dispersa, sendo a transferência de massa entre as fases dada pelos

termos interfaciais. Porém, é possível escolher as velocidades de cada uma das fases

como variáveis e, preferencialmente, a conservação da massa pode ser realizada para

cada uma delas. Além das equações de conservação são necessárias outras informa-

61

ções a respeito da interação entre as fases como, por exemplo, a relação cinemática

expressa pelo modelo de deslizamento drift-flux.

Para determinar as equações do modelo de mistura drit-flux, considerou-se dois ti-

pos de escoamentos: miscível e imiscível. No primeiro caso é permitida a miscibilidade

entre as fases. Já o segundo é uma simplificação do primeiro tal que a miscibilidade

é tão pequena que pode ser considerada nula, como por exemplo uma mistura água-

ar em condições normais de temperatura e pressão. Neste caso, a fase líquida será

basicamente composta por água, enquanto que a fase gasosa será composta por ar.

A seguir serão apresentadas as variáveis e as equações governantes envolvidas

na modelagem dos escoamentos imiscíveis e miscíveis.

3.3.1 Modelo de Mistura Drift-Flux Imiscível

No escoamento imiscível, cada fase possui uma porcentagem no volume amostral

e compartilham o mesmo campo de pressão e temperatura, porém suas velocidades

não são necessariamente iguais. Neste modelo, as variáveis independentes são a

pressão, a temperatura, as velocidades e frações volumétricas de cada fase, conforme

a Tabela 2. Como não há miscibilidade, as frações molares dos componentes em

cada fase não se alteram e, por isso, não são consideradas variáveis do problema. As

propriedades das fases são calculadas considerando-se a porcentagem de cada um

desses componentes de acordo com as equações apresentadas no Apêndice A.

Tabela 2: Variáveis independentes do escoamento multifásico imiscívelVariável Notação QuantidadePressão P 1

Temperatura T 1Velocidade vp Np

Fração volumétrica αp Np

No modelo de mistura imiscível, a massa de cada fase se conserva durante o

escoamento. Isso porque não há transferência de massa entre as fases, ou seja,

os termos interfaciais da equação de transporte da massa são nulos. Dessa forma,

a conservação da massa é escrita para cada fase do escoamento, enquanto que a

conservação da quantidade de movimento e da energia são realizadas para a mistura.

A velocidade da fase dispersa será determinada através do modelo cinemático drift-

flux. A equação de restrição é dada pela relação volumétrica entre as fases, visto que

estas compartilham o mesmo volume amostral.

62

Portanto, as equações do modelo de mistura drift-flux para um escoamento imis-

cível, conforme as equações médias de transporte discutida no Capítulo 2, são:

1. Conservação da massa para cada fase:

∂

∂t(αpξp) +∇ · (αpξpvp) = α∗pqnp ; (3.14)

2. Conservação da quantidade de movimento da mistura:

∂

∂t

(∑p

αpρpvp

)+∇ ·

(∑p

αpρpvpvp

)= −∇P +∇ · τm

+∑p

αpρpg +∑p

α∗pqMp; (3.15)

3. Conservação da energia da mistura:

∂

∂t

[∑p

(αpξphp +

1

2αpρpv

2p

)]+∇ ·

∑p

[αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)vp

]=∂P

∂t

−∇ ·(Qm + QT

m

)+∇ ·

[∑p

(αpτp · vp)

]+∑p

(αpρpvp · g)− qw; (3.16)

4. Relação cinemática (modelo drift-flux):

vg = C0

∑p

(αpvp) + vD; (3.17)

5. Restrição das frações volumétricas:

∑p

αp = 1. (3.18)

Estas equações podem ser quantificadas em função do número de fases do es-

coamento, Np, conforme a Tabela 3. Das Tabelas 2 e 3 é possível concluir que este

sistema possui o mesmo número de variáveis e equações: 2Np + 2. Para o escoa-

mento bifásico, o modelo drift-flux é escrito para a fase dispersa que é, geralmente,

a fase gasosa. Para o caso com mais de duas fases, conforme o trabalho de Shi et

al. (2004), há a necessidade de mais de uma relação cinemática e esse estudo está

além do escopo deste trabalho.

63

Tabela 3: Equações do escoamento multifásico imiscívelEquação Quantidade

Conservação da massa da fase Np

Conservação da quantidade de momento da mistura 1Conservação da energia da mistura 1

Relação cinemática (modelo drift-flux) Np − 1Restrição das frações volumétricas 1

3.3.2 Modelo de Mistura Drift-Flux Miscível

No escoamento miscível, ocorre a miscibilidade entre as fases e, dessa forma, é

permitida a transferência de componentes entre elas. Ou seja, as frações molares

dos componentes, assim como a pressão, temperatura, velocidades e frações volu-

métricas, são variáveis independentes do problema. Enquanto a fração volumétrica

representa a porcentagem volumétrica que a fase ocupa no volume amostral, a fração

molar representa a porcentagem molar que o componente ocupa nessa fase. Assim,

em um sistema com Np fases e Nc componentes, existirão Np × Nc frações molares,

conforme a Tabela 4.

Tabela 4: Variáveis independentes do escoamento multifásico composicional miscívelVariável Notação QuantidadePressão P 1

Temperatura T 1Velocidade vp Np

Fração molar xp,c Np ×Nc

Fração volumétrica αp Np

Como ocorre a transferência de componente entre as fases, é possível ocorrer

o desaparecimento e o surgimento de uma fase, sendo este processo denominado

de análise de equilíbrio termodinâmico. O surgimento de uma fase ocorre quando

um sistema monofásico é termodinamicamente menos estável do que um sistema

bifásico. Este processo de separação de uma fase em duas é denominado de flash e

está detalhado no Apêndice A. Já o desaparecimento de fase será discutido na Seção

5.4.

No modelo de mistura miscível, a massa de cada componente se conserva, pois

não existe transferência de massa entre componentes. Dessa forma a conservação da

massa é escrita para cada componente do escoamento, enquanto que a conservação

da quantidade de movimento e da energia são realizadas para a mistura. A velocidade

da fase dispersa será determinada através do modelo cinemático drift-flux.

Para determinar as frações molares de cada componente em cada fase é neces-

64

sário admitir uma condição de equilíbrio termodinâmico. Neste trabalho adotou-se o

equilíbrio instantâneo das fugacidades de cada componente do sistema, utilizando-se

a fase gasosa como referência. A definição de fugacidade e de equilíbrio termodinâ-

mico estão melhor detalhados no Apêndice A.

Além dessas equações, ainda há as restrições das frações molares para cada

componente e a restrição da fração volumétrica. Portanto, as equações do modelo

de mistura drift-flux para um escoamento miscível, conforme as equações médias de

transporte discutida no Capítulo 2, são:

1. Conservação da massa para cada componente:

∂

∂t

(∑p

αpξpxp,c

)+∇ ·

(∑p

αpξpxp,cvp

)=∑p

α∗pqnp,c ; (3.19)

2. Conservação da quantidade de movimento da mistura:

∂

∂t

(∑p

αpρpvp

)+∇ ·

(∑p

αpρpvpvp

)= −∇P +∇ · τm

+∑p

αpρpg +∑p

α∗pqMp; (3.20)

3. Conservação da energia da mistura:

∂

∂t

[∑p

(αpξphp +

1

2αpρpv

2p

)]+∇ ·

∑p

[αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)vp

]=∂P

∂t

−∇ ·(Qm + QT

m

)+∇ ·

[∑p

(αpτp · vp)

]+∑p

(αpρpvp · g)− qw; (3.21)

4. Relação cinemática (modelo drift-flux):

vg = C0

∑p

(αpvp) + vD; (3.22)

5. Equilíbrio termodinâmico:

fp,c = f0,c; (3.23)

6. Restrição das frações molares:

65

∑c

xp,c = 1; (3.24)

7. Restrição das frações volumétricas:

∑p

αp = 1. (3.25)

As equações do modelo de mistura miscível podem ser quantificadas em função

do número de fases, Np, e de componentes, Nc, do escoamento, conforme a Tabela 5.

De acordo com as Tabelas 4 e 5, é possível concluir que este sistema possui o mesmo

número de variáveis e equações: 2Np + 2 +Np ×Nc.

Tabela 5: Equações do escoamento multifásico composicional miscívelEquação Quantidade

Conservação da massa do componente Nc

Conservação da quantidade de movimento da mistura 1Conservação da energia da mistura 1

Relação cinemática (modelo drift-fllux) Np − 1Equilíbrio termodinâmico Nc × (Np − 1)

Restrição das frações molares Np

Restrição das frações volumétricas 1

66

4 Transferência de Calor Entre oPoço e a Formação Geológica

Nas últimas décadas, muitos trabalhos sobre a modelagem térmica de escoamen-

tos em tubulações e, principalmente, em poços de petróleo tem sido publicados na

literatura. Isso inclui tanto modelos analíticos quanto numéricos. Ramey (1962) foi o

primeiro a apresentar um modelo analítico para estimar a temperatura do fluido em

um escoamento vertical no poço, em função da profundidade e do tempo. Entretanto,

este método teórico possui algumas limitações, pois não considera os efeitos do atrito

e da energia cinética, além de considerar o escoamento monofásico. Satter (1965)

estenderam o modelo de Ramey (1962) para escoamentos multifásicos. Sagar et al.

(1991), Alves et al. (1992) e Hasan e Kabir (1994) apresentaram modelos que incluem

o efeito Joule-Thomson e a energia cinética capazes de prever o perfil de temperatura

em poços inclinados.

Embora todos esses trabalhos utilizem a aproximação black-oil, os mesmos são

utilizados como base para o desenvolvimento da formulação do fluxo de calor transi-

ente que a completação de um poço de petróleo e a formação geológica impõe sobre

o fluido multifásico escoando no interior da coluna de produção. Essa troca de calor

será representada como um termo fonte na equação da conservação da energia.

4.1 Transferência de Calor no Poço

De acordo com Hasan e Kabir (1994), um esquema típico de completação é com-

posto por um tubo de produção, isolante térmico, espaço anular, revestimento, zona

cimentada e a própria formação geológica, conforme a Fig. 8. O isolante térmico é

utilizado, por exemplo, quando há o intuito de aplicar métodos térmicos de recupe-

ração de hidrocabonetos, de forma que o fluido injetado ou produzido perca menos

calor com a formação geológica. A troca de calor da configuração adotada ocorre: por

condução no tubo de produção, no isolante térmico, no revestimento, na cimentação

67

e na formação geológica; por convecção no fluido produzido (ou injetado) e no fluido

que preenche o anular; e por radiação, quando o espaço anular está preenchido com

um gás e a diferença de temperatura entre o isolante e o revestimento é significativa.

Tub

ula

ção

Isol

ante

Anular

Rev

estim

ent

o

Cim

enta

ção

Formação Geológica

Fluido

Figura 8: Corte radial de um típico esquema de completação. Adaptado de Hasan eKabir (1994).

O processo de condução é dado pela transferência de energia através de um meio

material, sem transporte de matéria. Esta energia térmica se propaga de partícula

para partícula do meio. Este processo ocorre principalmente em materiais sólidos,

como por exemplo o tubo de produção e seu revestimento.

Já o processo de convecção é dado pela transferência de energia térmica que

se propaga através do transporte de matéria devido a uma diferença de densidade e

à ação da gravidade. Esse processo ocorre somente com os fluidos, por isso será

considerada no interior da coluna de produção e na região do espaço anular.

As seis seções que compõem a completação (Fig. 8) são cilíndricas e possuem

temperaturas diferentes no raio interno e externo, conforme a Fig. 9.

O fluxo de calor devido à condução pode ser descrito pela lei da condução térmica

de Fourier. Considerando uma seção cilíndrica de comprimento ∆z, conforme a Fig.9,

a lei de Fourier, em coordenadas cilíndricas, é:

Q = −2πr∆zκ∂T

∂r, (4.1)

68

Figura 9: Representação de uma seção cilíndrica na qual ocorre uma troca de calorentre as superfícies interna e externa.

onde Q representa o fluxo de calor transmitido radialmente através de um material

cilíndrico de comprimento ∆z e condutividade térmica κ.

Integrando-se a equação do fluxo de calor radial, Eq. (4.1), é possível obter a

diferença de temperatura entre as superfícies externa e interna da seção cilíndrica,

dada por:

Te − Ti =Q

2π∆z

ln(rire

)κ

. (4.2)

Segundo a Lei de resfriamento de Newton, o fluxo de calor transmitido radialmente

por um fluido devido ao processo de convecção, é dado por:

Q = 2πr∆zh∆T, (4.3)

onde h representa o coeficiente de convecção do fluido.

Observando a Fig. 9 e considerando a existência de um fluido entre as superfícies

de raio ri e re, a diferença de temperatura entre essas superfícies, devido à convecção

no interior de uma seção cilíndrica, é dada por:

Te − Ti =Q

2π∆z

1

rih, (4.4)

onde h representa o coeficiente de convecção do fluido.

Considerando que o regime permanente da troca de calor entre o fluido e a cimen-

tação já esteja estabelecido, o fluxo de calor transmitido radialmente, Qw, é constante.

Assim, a variação da temperatura para cada uma das seções representadas na Fig. 8

69

pode ser determinada utilizando-se as Eqs. (4.2) e (4.4), da seguinte forma:

1. Variação da temperatura, por convecção, no interior do tubo de produção:

Tf − Tti =Qw

2π∆z

1

rtihf(4.5)

2. Variação da temperatura, por condução, no tubo de produção:

Tti − Tto =Qw

2π∆z

ln (rto/rti)

κtub(4.6)

3. Variação da temperatura, por condução, no isolante térmico:

Tto − Tins =Qw

2π∆z

ln (rins/rto)

κins(4.7)

4. Variação da temperatura, por convecção e radiação, no anular:

Tins − Tci =Qw

2π∆z

1

rci (hC + hR)(4.8)

5. Variação da temperatura, por condução, no revestimento:

Tci − Tco =Qw

2π∆z

ln (rco/rci)

κcas(4.9)

6. Variação da temperatura, por condução, na cimentação:

Tco − Tw =Qw

2π∆z

ln (rw/rco)

κcem(4.10)

7. Variação da temperatura, por condução, na formação geológica:

Tw − Te =Qw

2π∆z

TD(t)

κe(4.11)

onde TD(t) é uma função adimensional que representa o fenômeno transiente

da condução de calor na formação geológica e Te a temperatura da região não

perturbada pela presença do poço. Estes termos serão discutidos na Seção

4.1.3 .

Nas Eqs. (4.5)-(4.11), os termos κtub, κins, κcas, κcem e κe representam a condu-

tividade térmica do tubo, do isolante, do revestimento, da cimentação e da formação,

respectivamente, e são obtidos empiricamente. Já os termos hf e hC representam o

70

coeficiente de convecção no tubo e no anular, respectivamente; e hR, o coeficiente de

radiação do fluido no anular e estão apresentados nas Seções 4.1.1 e 4.1.2.

Analogamente aos trabalhos de Willhite (1967) e Hasan e Kabir (1994), somando-

se as Eqs. (4.5)-(4.11) é possível expressar a perda total de energia do fluido no

interior do poço, utilizando-se a lei de resfriamento de Newton, por:

Qw = 2πrto∆zUt(Tf − Te), (4.12)

tal que Ut é o coeficiente de transferência de calor total, representando toda a comple-

tação, e é dado por:

1

Ut= rto

[1

rtihf+

ln (rto/rti)

κtub+

ln (rins/rto)

κins+

1

rci (hC + hR)

+ln (rco/rci)

κcas+

ln (rw/rco)

κcem+TD(t)

κe

]. (4.13)

A seguir serão discutidos os cálculos dos coeficientes de convecção forçada no

interior da coluna de produção, hf , da convecção natural no anular, hC , e da radiação

no anular, hR, além da condução de calor na formação geológica.

4.1.1 Convecção Forçada no Interior da Coluna de Produção

O processo de convecção forçada é dado pela transferência de energia no qual o

movimento do fluido é gerado por uma fonte externa. O escoamento no interior da co-

luna de produção, cuja temperatura é diferente do fluido, é um exemplo de convecção

forçada. Nesse processo, o coeficiente de convecção pode ser obtido utilizando-se a

correlação de Dittus e Boelter (apud SHIRDEL; SEPEHRNOORI, 2011), dada por:

hf =κfDNu, (4.14)

onde κf é o coeficiente de condutividade térmica do fluido; e Nu é o número adimen-

sional de Nusselt.

Segundo Kreith (2000) e Bird et al. (2007), o número de Nusselt para um fluxo

turbulento no interior de um fluido pode ser escrito como:

71

Nu = 0, 023Re0,8Prn, (4.15)

tal que, n = 0, 4 para aquecimento (parede mais quente que o fluido) ou n = 0, 33 para

resfriamento (parede mais fria que o fluido); Re representa o número de Reynolds e

Pr é o número de Prandtl que é função da capacidade calorífica, cf , da viscosidade,

µf , e da condutividade térmica do fluido, κf , sendo definido por:

Pr =cfµfκf

. (4.16)

4.1.2 Convecção Natural e Radiação no Anular

A convecção natural ocorre devido à variação da massa específica com a tempe-

ratura no anular, provocando uma movimentação do fluido no seu interior. O fluido

próximo a parede mais quente é mais leve e tende a subir, enquanto que o fluido pró-

ximo a parede mais fria, que é mais denso, tende a descer. A Fig. 10 ilustra este

fenômeno, através dos perfis de temperatura e velocidade do fluido do anular.



Perfil de Temperatura

Figura 10: Convecção natural no interior do anular. Adaptado de Willhite (1967).

Do perfil de temperatura é possível perceber que a temperatura do isolante, lado

esquerdo, é maior do que a do revestimento, lado direito (Fig. 10). Esta diferença de

temperatura, provoca a movimentação do fluido. No perfil de velocidade, nota-se que

próximo ao isolante a velocidade é positiva, ou seja, um deslocamento ascendente,

enquanto que próximo ao revestimento essa é negativa. Esta movimentação cria o

ciclo de convecção que está denotado por uma linha pontilhada na Fig. 10.

72

Embora Sagar et al. (1991) não considerem o processo de convecção natural no

fluido que preenche o espaço anular, Hasan e Kabir (1994) mostram que a convecção

natural deve ser considerada a fim de obter resultados mais realísticos.

Já o processo de transferência de calor por radiação ou irradiação térmica ocorre

através de ondas eletromagnéticas. Enquanto a condução e a convecção ocorrem

somente em meios materiais, a irradiação ocorre também no espaço vazio, ou seja,

sem que haja contato entre os corpos. Admiti-se que esse processo ocorra no espaço

anular, porém será significativo apenas para altas temperaturas. Isso porque quanto

maior a temperatura do corpo, maior a radiação de calor.

4.1.2.1 Coeficiente de Convecção Natural no Anular (hC)

A troca de calor por condução no fluido que preenche o espaço anular, considerando-

se os efeitos de convecção natural entre a superfície externa do isolante e a superfície

interna do revestimento, é dada por:

QC =2πκCeq (Tci − Tins) ∆z

ln(rcirins

) , (4.17)

onde QC representa o fluxo de calor devido à condução e a convecção natural; e κCeq,

a condutividade térmica equivalente do fluido presente no anular. Por outro lado, o

fluxo de calor devido à convecção natural, segundo a lei de resfriamento de Newton,

é dada por:

Q = 2πrinshC (Tci − Tins) ∆z. (4.18)

Considerando-se que o regime permanente de troca de calor esteja estabelecido,

o fluxo de calor é constante e as Eqs. (4.17) e (4.18) devem ser iguais. Para que isso

ocorra é necessário que:

hC =κCeq

rins ln(rcirins

) . (4.19)

Segundo Hasan e Kabir (1994), devido a falta de trabalhos aplicados à convecção

anular em geometria vertical, Willhite (1967) adaptou o trabalho de Dropkin e Somers-

cales (1965) que mediram valores para κCeq entre placas verticais encapsuladas como

função do número de Grashof, Gr, e do número de Prandtl, Pr, tal que:

73

κCeqκan

= 0, 049 (Gr.Pr)1/3 Pr0,074, (4.20)

onde κan representa a condutividade térmica do fluido no anular. Os números de

Grashof e de Prandtl são definidos, respectivamente, por:

Gr =(rci − rins)3gρ2

anβan (Tins − Tci)µ2an

, (4.21)

e

Pr =canµanκan

,

tal que ρan, µan, βan e can são a massa específica, a viscosidade, o coeficiente de

expansão térmica volumétrica e a capacidade calorífica do fluido presente no anular,

respectivamente.

Substituindo-se a Eq. (4.20) na Eq. (4.19), o coeficiente de convecção natural no

anular, segundo Willhite (1967) e Hasan e Kabir (1994), pode ser escrito por:

hC =0, 049 (Gr.Pr)1/3 Pr0,074κan

rins ln(rci/rins). (4.22)

4.1.2.2 Coeficiente de Radiação no Anular (hR)

Segundo Willhite (1967) e Bird et al. (2007), o fluxo de calor devido a radiação

entre a superfície exterior do isolante, cuja temperatura é Tins, e a superfície interna do

revestimento, cuja temperatura é Tci, pode ser calculado utilizando-se a lei de Stefan-

Boltzmann da seguinte forma:

QR = 2πrto∆zσBFan(T 4ins − T 4

ci

), (4.23)

onde σB é a constante de Stefan-Boltzmann (5, 670373 × 10−8Wm−2K−4) e Fan repre-

senta a fração de radiação emitida da superfície externa do isolante, cuja área é Ains,

e interceptada pela superfície interna do revestimento, cuja área é Aci. Segundo Bird

et al. (2007), é possível estabelecer uma relação entre a radiação e um circuito elétrico

de tal forma que Fan pode ser calculada como uma série de resistências em paralelo,

tal que:

74

1

Fan=

1

Fan+

(1

εins− 1

)+AinsAci

(1

εci− 1

), (4.24)

onde εins e εci são os coeficientes de emissão da superfície externa do isolante e

interna do revestimento, respectivamente. O termo Fan representa o fator de interação

entre as duas superfícies e, segundo Willhite (1967), é assumido como sendo 1 para

a transferência de calor no poço. Dessa forma, o fator Fan pode ser reescrito por:

1

Fan=

1

εins+rinsrci

(1

εci− 1

). (4.25)

O coeficiente de transferência de calor por radiação, hR, pode ser definido reescrevendo-

se a Eq. (4.23), tal que:

QR = 2πrto∆zσBFan(T 2ins + T 2

ci

)(Tins + Tci)︸︷︷︸

hR

(Tins − Tci) , (4.26)

onde:

hR =σB (T 2

ins + T 2ci) (Tins + Tci)

1εins

+ rinsrci

(1εci− 1) . (4.27)

4.1.3 Condução de Calor na Formação Geológica

A formação geológica é considerada um meio infinito no qual sempre haverá uma

região não perturbada pela transferência de calor, cujo perfil de temperatura é dado

pelo gradiente geotérmico, que representa a taxa de aumento da temperatura por

unidade de profundidade no sentido do centro da terra. Analogamente aos trabalhos

de Ramey (1962), Alves et al. (1992), Hasan e Kabir (1994) e Charles et al. (2012),

será considerado apenas a transferência de calor radial de tal forma que a troca de

calor vertical será desprezada.

Segundo Ramey (1962), a perda radial de calor entre o poço e a formação geoló-

gica pode ser expressa por:

Qe = 2π∆zκe

TD(t)(Tw − Te) , (4.28)

onde ∆z representa o comprimento da seção do tubo; κe, a condutividade térmica

75

da Terra; Tw, a temperatura da região externa da cimentação; Te, a temperatura da

formação geológica não perturbada; e TD(t), a diferença de temperatura adimensional.

A temperatura da formação geológica em uma região não perturbada pela pre-

sença do poço é dada exclusivamente pelo gradiente geotérmico da Terra. Conside-

rando que o gradiente geotérmico na direção horizontal é nulo e na direção vertical é

constante e igual a gT , a temperatura dessa região pode ser escrita por:

Te = T0 − gT (z − z0) senθ, (4.29)

onde T0 representa a temperatura na posição de referência z0.

A diferença de temperatura adimensional utilizando a solução da linha fonte, se-

gundo Brill e Mukherjee (1999), é dada por:

TD(t) =1

2Ei

(− r2

w

4ζet

), (4.30)

onde ζe representa o coeficiente de difusividade térmica da Terra e é definido em

função da condutividade térmica, κe, capacidade térmica, ce, e da massa específica,

ρe, da formação geológica ao redor do poço, tal que:

ζe =κeceρe

. (4.31)

Ainda de acordo com Brill e Mukherjee (1999), a função exponencial integral, Ei,

pode ser aproximada por uma função logarítmica, porém essa aproximação não apre-

senta bons resultados para tempos menores que uma semana. Hasan e Kabir (1991)

apresentaram equações simplificadas, que são válidas para todos os tempos, defini-

das por:

TD(t) =

1, 1281√tD(1− 0, 3

√tD)

, tD ≤ 1, 5

[0, 4063 + 0, 5 ln(tD)](

1 + 0,6tD

), tD > 1, 5

, (4.32)

de forma que o tempo adimensional, tD, é definido por:

tD =ζer2w

t. (4.33)

76

4.2 Metodologia para o Cálculo do Fluxo de Calor

O fluxo de calor total entre o fluido do poço e a formação geológica, Qw, é repre-

sentado na equação da conservação da energia por um termo fonte, sendo denotado

por qw. Como a equação de conservação da energia, Eq. (2.79), é expressa em fluxo

de energia por unidade de volume, a relação entre qw e o fluxo de calor apresentado

na seção anterior, Qw, é dada por:

qw =Qw

A∆z, (4.34)

onde A representa a área da seção transversal do tubo e ∆z o comprimento do tubo.

Conhecendo-se o coeficiente de troca de calor total, Ut, o fluxo de calor total pode

ser obtido utilizando-se a Eq. (4.12). Quando o coeficiente Ut não é informado, o

seu valor pode ser obtido conhecendo-se os materiais que envolvem a completação,

conforme a Fig. 8 e Eq. (4.13). Este cálculo depende dos coeficientes de convecção e

radiação no anular e consequentemente das temperaturas na parte externa do isolante

e na parte interna do revestimento. Dessa forma, é necessário obter equações que

possibilitem o cálculo destas temperaturas.

A temperatura da parte externa do isolante, Tins, pode ser obtida somando-se as

Eqs. (4.5)-(4.7), de forma que:

Tins = Tf −Qw

2π∆z

[1

rtihf+

ln (rto/rti)

κtub+

ln (rins/rto)

κins

]. (4.35)

Já a temperatura da parte interna do revestimento, Tci, pode ser obtida somando-

se as Eqs. (4.9)-(4.11), tal que:

Tci = Te +Qw

2π∆z

[ln (rco/rci)

κcas+

ln (rw/rco)

κcem+f(t)

κe

]. (4.36)

Como o cálculo de Qw depende de Ut que por sua vez depende de Qw, então o

cálculo do fluxo de calor total é implícito nas variáveis do problema e pode ser obtido

através de um processo iterativo, conforme a Fig. 11.

O processo iterativo inicia-se com a consideração de que a temperatura externa

do isolante e a temperatura interna do revestimento são iguais à temperatura do fluido

no interior da tubulação. Conhecendo-se as temperaturas nas adjacências do anular

é possível determinar os coeficientes de convecção, hC , e radiação, hR, no anular e,

77

consequentemente, o coeficiente de troca de calor total, Ut. Utilizando-se a Eq. (4.12)

é possível determinar o fluxo de calor total, Qw; e, utilizando-se as Eqs. (4.35) e (4.36),

as temperaturas Tci e Tins. Este processo é repetido até que a temperatura interna do

revestimento convirja para um valor aceitável dentro de uma tolerância definida ε. No

presente trabalho foi utilizado ε = 10−5, conforme o fluxograma da Fig. 11.

O fluxo de calor, representado como um termo fonte na equação da energia, será

atualizado sempre que a temperatura do fluido for modificada, conforme será visto na

Seção 5.4.

Calcular 𝑄𝑤𝜆+1

(Eq. 4.12)

Calcular h𝐶𝜆

e h𝑅𝜆

(Eq. 4.23 e 4.28)

Calcular 𝑈𝑡𝜆

(Eq. 4.13)

𝑇𝑐𝑖𝜆=0

= 𝑇𝑖𝑛𝑠𝜆=0

= 𝑇𝑓

Calcular 𝑇𝑐𝑖𝜆

e 𝑇𝑖𝑛𝑠𝜆

(Eq. 4.36 e 4.37)

𝑇𝑐𝑖𝜆+1

− 𝑇𝑐𝑖𝜆

< 𝜖 𝑄𝑤 = 𝑄𝑤𝜆+1

𝜆 = 𝜆 + 1

Figura 11: Fluxograma para o cálculo do fluxo de calor total entre o poço e a formação,conhecendo-se as propriedades do fluido no interior do poço.

78

5 Metodologia Numérica

A metodologia numérica escolhida para resolver as equações de conservação do

Capítulo 3 é baseada no método dos Volumes Finitos, para a discretização espacial,

e em um método totalmente implícito, para a discretização temporal. Além disso,

considera-se que o escoamento é unidimensional. O conjunto de equações algébricas

não-lineares discretizadas será resolvido usando o método de Newton-Raphson.

5.1 Discretização pelo Método de Volumes Finitos

O processo de discretização consiste em transformar as equações diferenciais go-

vernantes do problema em equações algébricas não-lineares. Este sistema de equa-

ções pode ser escrito na forma residual de modo que quando as variáveis do problema

são soluções desse sistema, esses resíduos assumem o valor nulo. Dessa forma, o

problema é determinar o conjunto de variáveis que anulam um vetor de resíduos.

Porém, as variáveis do problema são funções contínuas no espaço e no tempo e

para que seja possível resolvê-las numericamente o domínio temporal será dividido

em um número finito de intervalos de tempo, enquanto que o domínio espacial será

discretizado em um número finito de volumes de controle. No interior de cada um

desses volumes, a distribuição das propriedades escalares é considerada homogênea

e armazenada em um único ponto, geralmente, o seu centróide. Caso seja necessário

avaliar uma propriedade em um ponto desconhecido, por exemplo o ponto de contato

entre dois volumes, será utilizado um esquema de interpolação.

A discretização também deve ser realizada para as equações que serão expressas

em função das variáveis discretas e representarão numericamente o problema físico

dentro de cada um dos volumes de controle. A escolha desse volume, os esquemas de

interpolações e o processo de discretização das equações serão discutidos a seguir.

79

5.1.1 Discretização do Domínio Espacial

O domínio espacial considerado neste trabalho é um cilíndro de comprimento L

e área transversal variável. A Fig.12 ilustra o volume de controle k de comprimento

∆zk e área transversal Ak, além do eixo axial z, cuja inclinação com a horizontal é

θk. Considera-se, também, o escoamento unidimensional na direção axial, isto é, as

propriedades físicas são uniformemente distribuídas na seção transversal.

Figura 12: Volume de controle unidimensional.

As variáveis do problema (pressão, temperatura, velocidade, fração volumétrica e

fração molar), devem ser armazenadas em algum ponto no interior do volume de con-

trole. Porém, quando as variáveis escalares e vetoriais são armazenadas no mesmo

ponto, a influência da pressão na equação discretizada da conservação da quantidade

de movimento não é apropriadamente representada, podendo, segundo Ferziger e Pe-

ric (2002), Versteeg e Malalasekera (2007), Prosperetti e Tryggvason (2007) e Yeoh

e Tu (2010), causar oscilações nos campos de pressão e velocidade. A fim de evitar

esses problemas, será utilizada uma malha deslocada ou staggered grid (FERZIGER;

PERIC, 2002). Nesta malha, as propriedades escalares são armazenadas no centro do

volume, enquanto as vetoriais (velocidades) são armazenadas em uma de suas faces,

conforme a Fig. 13. Para determinar as propriedades em posições onde estas são

desconhecidas será necessário algum tipo de interpolação.

Figura 13: Armazenamento das variáveis escalares, φk, e vetoriais, vk+ 12, no volume

de controle.

80

5.1.2 Esquemas de Interpolação

Como será utilizada malha deslocada, as propriedades escalares (pressão, tem-

peratura, fração molar e fração volumétrica) serão armazenadas no centro do volume

de controle; enquanto as propriedades vetoriais (velocidades), na face do mesmo. A

determinação das propriedades escalares nas faces e vetoriais no centro do volume

de controle são obtidas através de um esquema de interpolação.

Os dois clássicos esquemas de interpolação são a centrada, ou CDS (Central Dif-

ferencing Scheme), e o upwind, ou UDS (Upwind Differencing Scheme). No primeiro,

usa-se o conceito de interpolação linear que, no caso de uma malha igualmente espa-

çada, é uma média aritmética. Enquanto que no segundo, a direção do escoamento

influencia a interpolação. Segundo Versteeg e Malalasekera (2007), o esquema UDS

possui uma formulação conservativa, visto que utiliza expressões consistentes para o

cálculo do fluxo nas faces, além de incorporar o conceito de transporte de propriedade.

Os esquemas de interpolação devem ser escolhidos de acordo com a natureza

física do problema estudado. O esquema CDS, quando aplicado à problemas de

advecção dominante, assim como os esquemas de alta ordem, gera instabilidades,

produzindo soluções que apresentam oscilações numéricas em regiões de grandes

gradientes. Já o esquema UDS produz uma solução estável e fisicamente coerente,

porém suaviza os altos gradientes, por se tratar de um esquema dissipativo (PATANKAR,

1980; LEVEQUE, 2002; MALISKA, 2004; DATE, 2005; VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

Como o problema do escoamento transiente multifásico em tubulações é forte-

mente advectivo, será utilizado o esquema de interpolação upwind para as proprieda-

des transportadas e uma interpolação centrada para as demais. Assim, usando um

modelo de interpolação, as propriedades escalares φ são interpoladas nas interfaces

pela seguinte relação:

φk+ 1

2= βs+

k+ 12

φk + βs−k+ 1

2

φk+1

φk− 12

= βs+k− 1

2

φk−1 + βs−k− 1

2

φk

, (5.1)

onde βs+ e βs− são parâmetros de ponderação para a propriedade φ e dependem do

modelo de interpolação adotado. No caso do esquema CDS, estes parâmetros são

tais que:

81

βs+k+ 1

2

= ∆zk∆zk+∆zk+1

βs+k− 1

2

= ∆zk−1

∆zk+∆zk−1

βs−k± 1

2

= 1− βs+k± 1

2

. (5.2)

Já a interpolação UDS depende da direção da velocidade e os parâmetros de

ponderação são tais que:

βs+k± 1

2

= 12

[1 + sgn (vp)k± 1

2

]βs−k± 1

2

= 1− βs+k± 1

2

, (5.3)

onde sgn representa a função sinal, definida por:

sgn(x) =

1 se x > 0

0 se x = 0

−1 se x < 0

. (5.4)

Para a interpolação da velocidade no centro do volume de controle, será utilizada

a seguinte interpolação de primeira ordem:

(vp)k = βv+k (vp)k− 1

2+ βv−k (vp)k+ 1

2, (5.5)

tal que:

βv+k = 1

2

{1 + sgn

[(vp)

k− 12

+(vp)k+ 1

2

2

]}βv−k = 1− βv+

k

. (5.6)

As propriedades geométricas, como ângulo de inclinação e as dimensões do vo-

lume discreto, serão interpoladas nas faces utilizando-se uma interpolação CDS.

5.1.3 Discretização das Equações Diferenciais Parciais

A discretização das equações será realizada através do método dos Volumes Fi-

nitos que consiste em conservar a propriedade em nível de volumes elementares,

integrando-se as equações com relação ao tempo e ao espaço.

82

No uso de malhas deslocadas, uma vez que a velocidade é armazenada nas faces

dos volumes de controle, a aproximação da equação de conservação da quantidade

de movimento será discretizada no volume deslocado. Desta forma, as discretizações

das equações de conservação serão realizadas conforme a Fig. 14.

Conservação da Massa e da Energia

Conservação da Quantidade de

Movimento

Figura 14: Volumes de controle para a discretização das equações conservativas.

Com relação à discretização temporal, será utilizada uma formulação totalmente

implícita. De acordo com Frepoli et al. (2003), este método é incondicionalmente es-

tável para um escoamento monofásico.

As discretizações das equações de conservação e das equações de restrições,

apresentadas na Seção 3.3, estão expostas abaixo.

5.1.3.1 Conservação da Massa da Fase

Considerando-se que a equação da conservação da massa da fase será utilizada

apenas nas simulações imiscíveis, o termo de transferência de massa pelas interfa-

ces pode ser negligenciado. Assim, aplicando-se o método dos Volumes Finitos na

equação média de conservação da massa da fase, Eq. (3.14), tem-se:

t+∆t∫t

∫VC

∂

∂t(αpξp) dV dt+

t+∆t∫t

∫VC

∇ · (αpξpvp) dV dt =

t+∆t∫t

∫VC

α∗pqnpdV dt. (5.7)

Aplicando-se a regra de Leibniz no primeiro termo e o teorema de Gauss no se-

gundo, tem-se:

83

∫VC

t+∆t∫t

∂

∂t(αpξp) dtdV +

t+∆t∫t

∫SC

(αpξpvp) · ndSdt =

t+∆t∫t

∫VC

α∗pqnc,pdV dt, (5.8)

onde VC representa o volume de controle; e SC, a superfície do volume de controle.

Denotando-se por n e n+1 as informações das propriedades no tempo t(n) e t(n+1),

respectivamente, e utilizando-se o teorema fundamental do cálculo, o integrando do

primeiro termo da Eq. (5.8) pode ser reescrito como:

t(n+1))+∆t∫t(n)

∂

∂t(αpξp) dt = (αpξp)

(n+1) − (αpξp)(n) . (5.9)

Conforme mencionando anteriormente, será utilizado um método totalmente implí-

cito e, por isso, as outras variáveis serão avaliadas no de tempo t(n+1). Dessa forma,

a integral de uma função temporal f qualquer será expressa como:

t+∆t∫t

f(t)dt = f (n+1)∆t, (5.10)

onde ∆t representa o passo de tempo, tal que:

∆t = t(n+1) − t(n). (5.11)

Assim, a Eq. (5.8) pode ser reescrita como:

∫VC

[(αpξp)

(n+1) − (αpξp)(n)]dV + ∆t

∫SC

(αpξpvp) · ndS

(n+1)

= ∆t

∫VC

α∗pqnc,pdV

(n+1)

. (5.12)

Como será utilizado um volume de controle unidimensional, conforme a Fig. 12,

as velocidades e a variação do espaço se reduzem a uma única direção. Assim, a

equação discretizada da conservação da massa da fase p pode ser escrita na forma

residual como:

84

(Rmp

)(n+1)

k= (A∆z)k

[(αpξp)

(n+1)k − (αpξp)

(n)k

]+[(Aαpξpvp)

(n+1)

k+ 12

− (Aαpξpvp)(n+1)

k− 12

]∆t

− (A∆z)k ∆t(α∗pqnp

)(n+1)

k. (5.13)

Utilizando-se as interpolações da Seção 5.1.2, é possível reescrever a equação de

resíduo da conservação da massa da fase p por:

(Rmp

)(n+1)

k= (A∆z)k

[(αpξp)

(n+1)k − (αpξp)

(n)k

]+ Ak+ 1

2∆t[βs+k+ 1

2

(αpξp)(n+1)k + βs−

k+ 12

(αpξp)(n+1)k+1

](vp)

(n+1)

k+ 12

− Ak− 12∆t[βs+k− 1

2

(αpξp)(n+1)k−1 + βs−

k− 12

(αpξp)(n+1)k

](vp)

(n+1)

k− 12

− (A∆z)k ∆t(α∗pqnp

)(n+1)

k. (5.14)

5.1.3.2 Conservação da Massa do Componente

Analogamente ao processo de discretização da equação de conservação da massa

da fase, integrando-se a equação média da conservação da massa do componente,

Eq. (3.19), e utilizando-se o volume de controle unidimensional, conforme a Fig. 12,

a equação da conservação de massa do componente c pode ser escrita na forma

residual como:

(Rmc )

(n+1)k = (A∆z)k

∑p

[(αpxp,cξp)

(n+1)k − (αpxp,cξp)

(n)k

]+ Ak+ 1

2∆t∑p

(αpxp,cξpvp)(n+1)

k+ 12

− Ak− 12∆t∑p

(αpxp,cξpvp)(n+1)

k− 12

− (A∆z)k ∆t∑p

(α∗pqnc,p

)(n+1)

k, (5.15)

Utilizando-se as interpolações da Seção 5.1.2, é possível reescrever a equação de

resíduo da conservação da massa do componente c como:

85

(Rmc )

(n+1)k = (A∆z)k

∑p

[(αpxp,cξp)

(n+1)k − (αpxp,cξp)

(n)k

]+ Ak+ 1

2∆t∑p

{[βs+k+ 1

2

(αpxp,cξp)(n+1)k + βs−

k+ 12

(αpxp,cξp)(n+1)k+1

](vp)

(n+1)

k+ 12

}− Ak− 1

2∆t∑p

{[βs+k− 1

2

(αpxp,cξp)(n+1)k−1 + βs−

k− 12

(αpxp,cξp)(n+1)k

](vp)

(n+1)

k− 12

}− (A∆z)k ∆t

∑p

(α∗pqnc,p

)(n+1)

k. (5.16)

5.1.3.3 Conservação da Quantidade de Movimento


da fase, integrando-se a equação média da conservação da quantidade de movimento

da mistura, Eq. (3.20), tem-se:

∫VC

∑p

[(αpρpvp)

(n+1) − (αpρpvp)(n)]dV +

∆t

∫SC

∑p

(αpξpvp · vp) · ndS

(n+1)

=

−

∆t

∫VC

∇PdV

(n+1)

+

∆t

∫SC

∇ · τXm · ndS

(n+1)

+

∆t

∫VC

∑p

αpρpgdV

(n+1)

+

∆t

∫VC

∑p

α∗pqMp

(n+1)

. (5.17)

Será considerado que toda a quantidade de movimento que entra ou sai no volume

de controle, como um termo fonte, é perpendicular à direção do escoamento e, assim,

qMp = 0. Como o volume de controle é unidimensional, conforme a Fig. 12, as tensões

viscosas atuam somente na parede do tubo e a pressão apenas na seção transversal

ao escoamento. Assim, para a malha deslocada para frente, conforme a Fig. 14,

tem-se:

86

(A∆z)k+ 12

[∑p

(αpρpvp)(n+1)

k+ 12

−∑p

(αpρpvp)(n)

k+ 12

]+ Ak+1∆t

∑p

(αpρpv

2p

)(n+1)

k+1

− Ak−1∆t∑p

(αpρpv

2p

)(n+1)

k−1= Ak+ 1

2∆t(P

(n+1)k+1 − P (n+1)

k

)+ (A∆z)k+ 1

2∆t

(∂τm∂z

)(n+1)

k+ 12

− [A∆zg sen (θ)]k+ 12

∆t∑p

(αpρp)(n+1)

k+ 12

, (5.18)

A derivada do termo de tensão viscosa será modelada de acordo com a proposta

de Darcy-Weisbach (BRILL; MUKHERJEE, 1999; LAROCK et al., 1999), ou seja:

(∂τm∂z

)(n+1)

k+ 12

= −1

2

(f

D

)k+ 1

2

(ρm)(n+1)

k+ 12

(vm)(n+1)

k+ 12

∣∣∣(vm)(n+1)

k+ 12

∣∣∣ , (5.19)

onde D representa o diâmetro da tubulação; e ρm e vm são, respectivamente, a massa

específica e a velocidade da mistura e são definidos como:

(ρm)k+ 12

=1

2

∑p

[(αpρp)k + (αpρp)k+1

], (5.20)

e

(vm)k+ 12

=1

2 (ρm)k+ 12

∑p

{[(αpρp)k + (αpρp)k+1

](vp)

n+1k+ 1

2

}. (5.21)

O fator de atrito, f, foi modelado utilizando-se o modelo de Zigrang e Sylvester

(1985), que é uma aproximação explícita do modelo de Colebrook (1939), dado por:

fk+ 12

=

64Rem

, Rem ≤ 2, 400{−2 log10

[εk+ 1

2

3.7Dk+ 1

2

− 5.02Rem

log10

(εk+ 1

2

3.7Dk+ 1

2

+ 13Rem

)]}−2

, Rem > 2, 400(5.22)

onde ε e D representam a rugosidade e o diâmetro da tubulação; e Rem é o número

de Reynolds da mistura na posição k + 12, sendo definido por:

Rem =(ρm)k+ 1

2

∣∣∣(vm)k+ 12

∣∣∣Dk+ 12

(µm)k+ 12

, (5.23)

onde a viscosidade, µm, é calculada de forma análoga à massa específica da mistura.

87

Os termos convectivos na equação de conservação da quantidade de movimento

são compostos pelo produto entre uma velocidade e a propriedade transportada por

unidade de volume, αpρpvp. Para a interpolação destes termos, será utilizado um es-

quema CDS para a velocidade transportante e um esquema UDS para a propriedade

transportada, ou seja:

(αpρpvp)(n+1)k+1 (vp)

(n+1)k+1 =

[βv+k+1 (αpρp)

(n+1)

k+ 12

(vp)(n+1)

k+ 12

+

+βv−k+1 (αpρp)(n+1)

k+ 32

(vp)(n+1)

k+ 32

](vp)(n+1)

k+ 12

+ (vp)(n+1)

k+ 32

2

. (5.24)

Como o produto αpρp não é conhecido nas faces k± 12, este termo será interpolado

utilizando-se um esquema CDS. Assim, a equação de conservação da quantidade de

movimento da mistura, Eq. (5.18), pode ser expressa na forma residual por:

(RMm

)(n+1)

k=

(A∆z)k+ 12

2

{∑p

[(αpρp)

(n+1)k + (αpρp)

(n+1)k+1

](vp)

(n+1)

k+ 12

−∑p

[(αpρp)

(n)k + (αpρp)

(n)k+1

](vp)

(n)

k+ 12

}

+Ak+1

4∆t∑p

{[βv+k+1

[(αpρp)

(n+1)k + (αpρp)

(n+1)k+1

](vp)

(n+1)

k+ 12

+βv−k+1

[(αpρp)

(n+1)k+1 + (αpρp)

(n+1)k+2

](vp)

(n+1)

k+ 32

] [(vp)

(n+1)

k+ 12

+ (vp)(n+1)

k+ 32

]}− Ak

4∆t∑p

{[βv+k

[(αpρp)

(n+1)k−1 + (αpρp)

(n+1)k

](vp)

(n+1)

k− 12

+βv−k

[(αpρp)

(n+1)k + (αpρp)

(n+1)k+1

](vp)

(n+1)

k+ 12

] [(vp)

(n+1)

k− 12

+ (vp)(n+1)

k+ 12

]}+ Ak+ 1

2∆t(P

(n+1)k+1 − P (n+1)

k

)− (A∆z)k+ 1

2∆t

(∂τm∂z

)(n+1)

k+ 12

+1

2

(Ak+ 1

2∆zk+ 1

2∆t)g sen (θ)k+ 1

2

∑p

[(αpρp)

(n+1)k + (αpρp)

(n+1)k+1

]. (5.25)

5.1.3.4 Equação da Energia

A equação média da conservação da energia da mistura já foi discutida na Seção

2.4.4.2 e é expressa em função da entalpia pela Eq. (3.21). Como hipótese simpli-

ficadora será considerado que tanto o trabalho da tensão viscosa quanto o trabalho

88

realizado pela turbulência, causada pela flutuação da velocidade, podem ser consi-

derados desprezíveis quando comparados com os outros termos da equação. Dessa

forma, a equação média de conservação da energia da mistura pode ser escrita como:

∂

∂t

[∑p

(αpξphp +

1

2αpρpv

2p

)]+∇ ·

∑p

[αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)vp

]=∂P

∂t−∇ ·Qm +

∑p

(αpρpvp · g)− qw. (5.26)


da fase, Seção 5.1.3.1, integrando-se esta equação através do método dos volumes

finitos e utilizando-se a Eq. (4.34), tem-se:

(A∆z)k

{∑p

[(αpξphp)

(n+1)k +

1

2

(αpρpv

2p

)(n+1)

k

]

−∑p

[(αpξphp)

(n)k +

1

2

(αpρpv

2p

)(n)

k

]}

+ Ak+ 12∆t∑p

{[(αpξphp)

(n+1)

k+ 12

+1

2

(αpρpv

2p

)(n+1)

k+ 12

](vp)

(n+1)

k+ 12

}− Ak− 1

2∆t∑p

{[(αpξphp)

(n+1)

k− 12

+1

2

(αpρpv

2p

)(n+1)

k− 12

](vp)

(n+1)

k− 12

}= (A∆z)k

(P

(n+1)k − P (n)

k

)+ Ak+ 1

2(Qm)

(n+1)

k+ 12

− Ak− 12

(Qm)(n+1)

k− 12

− (A∆z senθ)k g∆t∑p

[(αpρpvp)

(n+1)k

]−∆t (Qw)

(n+1)k , (5.27)

onde o cálculo do fluxo de calor entre o fluido e as redondezas da tubulação, Qw, é

discutido no Capítulo 4 e fluxo superficial de calor por condução, Qm, é calculado,

segundo a lei de Fourier, como:

(Qm)k± 12

=

(κm

∂T

∂z

)k± 1

2

= ±[

(κm)k±1 + (κm)k2

](Tk±1 − Tk)

∆zk± 12

. (5.28)

Os termos convectivos na equação de conservação da energia são compostos

pelo produto entre uma velocidade e a propriedade transportada por unidade de vo-

lume. Embora a velocidade transportante não precise ser interpolada, será utilizado

89

um esquema UDS para a propriedade transportada: entalpia e energia cinética. Como

o termo relativo a entalpia possui apenas propriedades armazenadas no centro, sua

interpolação é similar às anteriores. Já o termo da energia cinética possui uma velo-

cidade avaliada no centro que deverá ser interpolada utilizando-se um esquema CDS,

tal que:

(αpρpv

2p

)(n+1)

k+ 12

= βs+k+ 1

2

(αpρp)(n+1)k

(v2p

)(n+1)

k+ βs−

k+ 12

(αpρp)(n+1)k+1

(v2p

)(n+1)

k+1

=1

4

{βs+k+ 1

2

(αpρp)(n+1)k

[(vp)

(n+1)

k− 12

+ (vp)(n+1)

k+ 12

]2

+

+βs−k+ 1

2

(αpρp)(n+1)k+1

[(vp)

(n+1)

k+ 12

+ (vp)(n+1)

k+ 32

]2}. (5.29)

Dessa forma, utilizando-se essas interpolações, é possível reescrever a equação

da conservação da energia da mistura na forma residual da seguinte forma:

(Rhm

)(n+1)

k= (A∆z)k

∑p

{(αpξphp)

(n+1)k +

1

8(αpρp)

(n+1)k

[(vp)

(n+1)

k− 12

+ (vp)(n+1)

k+ 12

]2}

− (A∆z)k∑p

{(αpξphp)

(n)k +

1

8(αpρp)

(n)k

[(vp)

(n)

k− 12

+ (vp)(n)

k+ 12

]2}

+ Ak+ 12∆t∑p

{βs+k+ 1

2

[(αpξphp)

(n+1)k +

1

8(αpρp)

(n+1)k

[(vp)

(n+1)

k− 12

+ (vp)(n+1)

k+ 12

]2]

(vp)(n+1)

k+ 12

+βs−k+ 1

2

[(αpξphp)

(n+1)k+1 +

1

8(αpρp)

(n+1)k+1

[(vp)

(n+1)

k+ 12

+ (vp)(n+1)

k+ 32

]2]

(vp)(n+1)

k+ 12

}− Ak− 1

2∆t∑p

{βs+k− 1

2

[(αpξphp)

(n+1)k−1 +

1

8(αpρp)

(n+1)k−1

[(vp)

(n+1)

k− 32

+ (vp)(n+1)

k− 12

]2]

(vp)(n+1)

k− 12

+βs−k− 1

2

[(αpξphp)

(n+1)k +

1

8(αpρp)

(n+1)k

[(vp)

(n+1)

k− 12

+ (vp)(n+1)

k+ 12

]2]

(vp)(n+1)

k− 12

}− (A∆z)k

(P

(n+1)k − P (n)

k

)− Ak+ 1

2(Qm)

(n+1)

k+ 12

+ Ak− 12

(Qm)(n+1)

k− 12

+1

2(A∆z senθ)k g∆t

∑p

{(αpρp)

(n+1)k

[(vp)

(n+1)

k− 12

+ (vp)(n+1)

k+ 12

]}+ ∆t (Qw)

(n+1)k . (5.30)

O cálculo do fluxo de calor entre o fluido, no interior da tubulação, e o meio externo,

conforme visto no Capítulo 4, é expresso como:

(Qw)(n+1)k = 2π (rto)k ∆zk (Ut)

(n+1)k

[T

(n+1)k − (Te)k

], (5.31)

90

onde rto representa o raio externo da tubulação; Te, a temperatura da formação geo-

lógica em uma região não perturbada; e Ut, o coeficiente de troca de calor total que

depende do valor de Qw. Conforme visto na Seção 4.2, o cálculo de Qw é obtido de

forma iterativa através do fluxograma da Fig. 11, a partir da temperatura T (n+1)k e das

propriedades dos materiais envolvidos na completação.

5.1.3.5 Relação Cinemática

A relação cinemática que será adotada para relacionar as velocidades do esco-

amento multifásico é o modelo drift-flux, Eq. (3.8). Este modelo pode ser escrito na

forma residual, como:(Rvp

)(n+1)

k+ 12

= (vg)(n+1)

k+ 12

− (C0)(n+1)

k+ 12

∑p

(αp)(n+1)

k+ 12

(vp)(n+1)

k+ 12

− (vD)(n+1)

k+ 12

. (5.32)

O cálculo do parâmetro de distribuição, C0, e da velocidade de deslizamento da

fase gás, vD, foram discutidos na Seção 3.2.

5.1.3.6 Equilíbrio Termodinâmico

A equação adotada para representar o equilíbrio termodinâmico é a igualdade das

fugacidades, Eq. (3.23), que pode ser representada na forma residual por:

(Rfp,c

)(n+1)

k= (fp,c)

(n+1)k − (f0,c)

(n+1)k . (5.33)

O cálculo da fugacidade do componente c na fase p, utilizando-se a equação de

estado de Peng e Robinson (1978), é apresentado no Apêndice A, na Eq. (A.70).

5.1.3.7 Restrição das Frações Molares e Volumétricas

A restrição das frações molares para cada fase p, Eq. (3.24), pode ser escrita na

forma residual como:

(Rxp

)(n+1)

k= 1−

∑c

(xp,c)(n+1)k . (5.34)

Analogamente, a restrição das frações volumétricas, Eq. (3.25), pode ser escrita

na forma residual na forma:

91

(Rα)(n+1)k = 1−

∑p

(αp)(n+1)k . (5.35)

5.2 Solução do Sistema de Equações

A partir da discretização das equações do escoamento transiente multifásico com-

posicional unidimensional, determinou-se um conjunto de equações algébricas não-

lineares, definidas na Seção 5.1.3. O sistema não-linear pode ser representado pelas

equações residuais como:

R(X) = 0, (5.36)

onde R representa o vetor de resíduos; X, o vetor de incógnitas; e 0, o vetor nulo.

Conforme visto na Seção 3.3, o número de equações é igual ao número de variáveis,

logo, a dimensão do vetor de resíduos é igual a do vetor de incógnitas. O vetor de resí-

duos é construído a partir das equações residuais apresentadas na Seção 5.1.3, para

cada passo de tempo ∆t, conhecendo-se todas as variáveis no tempo t(n). Utilizou-se

o método de Newton-Raphson que é capaz de resolver sistemas de equações não-

lineares.

O método de Newton-Raphson é um algoritmo capaz de transformar o sistema

não-linear de equações em uma sequência de sistemas lineares (AZIZ; SETTARI, 1979;

ERTEKIN et al., 2001). Para isso, representa-se a variação do vetor de resíduos como

uma expansão de séries de Taylor de primeira ordem ao redor de um ponto conhecido,

X(ν), tal que:

R(ν+1) ≈ R(ν) + J(ν)δX(ν+1) + . . . , (5.37)

onde J(ν) e R(ν) representam a matriz Jacobiana e o vetor de resíduo relativo ao vetor

de incógnitas X(ν), respectivamente; e R(ν+1), ao vetor X(ν+1). A matriz Jacobiana e o

vetor de incrementos, δX(ν+1), são definidos como:

J(ν) =

[∂R

(ν)i

∂X(ν)j

]NR×NX

, (5.38)

92

δX(ν+1) = X(ν+1) −X(ν). (5.39)

A matriz Jacobiana foi construída calculando-se analiticamente a derivada de cada

resíduo com relação a todas as variáveis do problema (pressão, temperatura, veloci-

dade, fração molar e fração volumétrica). Segundo a Eq. (5.37), o vetor de incremen-

tos, δX(ν+1), que torna o vetor de resíduos nulo, R(ν+1) = 0, é obtido resolvendo-se o

sistema linear:

J(ν)δX(ν+1) = −R(ν). (5.40)

Assim, a solução deste sistema linear permite atualizar a estimativa do vetor de

incógnita X(ν+1), utilizando-se a Eq. (5.39). O processo iterativo (5.40) começa com

a solução no passo de tempo anterior, X(n), como estimativa inicial. Após algumas

iterações do processo iterativo, obtém-se um X(ν+1) ≈ X(n+1), caso o método convirja,

isto é, R(ν+1) ≈ 0, conforme o diagrama de atividade apresentado na Fig. 15. A

convergência é assumida quando o erro calculado é inferior a um valor especificado.

Calcular 𝛿𝐗(𝜈+1)

(Eq. 5.40)

𝑿 𝜈=0 = 𝑿(𝑛)

Calcular 𝑹 𝜈 e 𝑱 𝜈

(Seção 5.1.3 e Eq. 5.38)

Calcular 𝐗 𝜈+1

(Eq. 5.39)

erro < 𝜖 𝑿 𝑛+1 = 𝑿 𝜈+1

𝜈 = 𝜈 + 1

Método de Newton-Raphson

𝑿 𝑛

SimNão

Figura 15: Fluxograma para solucionar o sistema não-linear utilizando o método deNewton-Raphson de forma totalmente implícita.

O erro é calculado de uma forma diferente para cada variável, sendo possível

93

especificar um erro mínimo aceitável para cada variável. De forma análoga ao trabalho

de Frepoli et al. (2003), o cálculo do erro é normalizado no número de células, Ncel,

sendo uma média relativa da propriedade em todas as células. Os erros da pressão e

temperatura são obtidos, respectivamente, pelas equações:

erroP =

√√√√ 1

Ncel

∑i

(δP

(ν+1)i

P(ν+1)i

)2

(5.41)

e

erroT =

√√√√ 1

Ncel

∑i

(δT

(ν+1)i

T(ν+1)i

)2

, (5.42)

onde o somatório∑

i representa a soma em todas asNcel células e o cálculo de δP (ν+1)i

e δT (ν+1)i é análogo ao cálculo de δX, conforme a Eq. (5.39).

O cálculo do erro da velocidade e da fração volumétrica depende do número de

fases, Npi, existente em cada célula i e é definido como:

errov,α =

√√√√ 1

Ncel

∑i

[1

Npi

∑p

(Γp)2i

], (5.43)

tal que para o erro da velocidade (Γp)i é definido por:

(Γp)i =

δ(vp)

(ν+1)i

(vp)(ν+1)i

∣∣∣(vp)(ν+1)i

∣∣∣ > 1

δ (vp)(ν+1)i ,

∣∣∣(vp)(ν+1)i

∣∣∣ ≤ 1(5.44)

e para a fração volumétrica:

(Γp)i = δ (αp)(ν+1)i . (5.45)

Já o cálculo do erro da fração molar depende tanto do número de fases, Npi,

quanto do número de componentes, Nci, existentes em cada célula i e é definido por:

errox =

√√√√ 1

Ncel

∑i

{1

Npi ×Nci

∑p

∑c

[δ (xp,c)

(ν+1)i

]2}. (5.46)

94

5.3 Condições de Contorno

A maior parte dos trabalhos reportados na literatura sobre modelagem matemática

de escoamentos multifásicos mostram que para algumas classes de fenômenos de

estudo, as equações são do tipo hiperbólico (STADKE, 2006; MUNKEJORD, 2006).

As equações diferenciais hiperbólicas se caracterizam pela velocidade finita de

propagação da informação ao longo das curvas características (FORTUNA, 2000). No

caso de um domínio espacial [0, L], não há matematicamente a necessidade de espe-

cificar uma condição de contorno para a variável de cálculo nos dois extremos simul-

taneamente (STRIKWERDA, 2004). Porém, em alguns métodos numéricos existe a ne-

cessidade de especificar as condições de contorno para a variável nos dois extremos

do intervalo. A condição de contorno própria do fenômeno de estudo será chamada

de condição de contorno física e a condição de contorno necessária pelo método nu-

mérico será chamada de condição de contorno numérica ou fictícia. Neste trabalho,

será aplicado a condição de contorno do tipo Dirichlet para o caso onde a propriedade

física é conhecida no contorno, caso contrário, será aplicado a seguinte condição de

contorno numérica: derivada segunda da propriedade com relação à variável espacial,

z, igual a zero.

A aplicação numérica das condições de contorno implica, quase sempre, na ne-

cessidade do uso de células virtuais ou fictícias. Para o intervalo espacial [0, L], serão

adotados tanto células virtuais à esquerda quanto à direita. As aproximações usadas

para as variáveis dessas células, assim como a dedução das mesmas, encontram-se

no Apêndice D.

A seguir apresentam-se as condições de contorno consideradas no trabalho.

5.3.1 Condição de Contorno Totalmente Numérica

Esta condição de contorno não impõe nenhuma condição física para a fronteira,

podendo ser utilizada, por exemplo, na simulação do tubo de choque que será discu-

tido no próximo capítulo. Nesta condição de contorno, a derivada espacial segunda

de todas as variáveis é nula na fronteira, ou seja:

∂2P

∂z2=∂2T

∂z2=∂2 (vp)

∂z2=∂2 (xp,c)

∂z2=∂2 (αp)

∂z2= 0. (5.47)

Os valores das propriedades escalares na célula virtual são obtidos pelas Eqs.

95

(D.5) e (D.13); e as velocidades, pelas Eqs. (D.9) e (D.17).

5.3.2 Pressão Especificada

Esta condição de contorno impõe apenas o valor para a pressão na fronteira, P ∗,

sendo as outras propriedades obtidas numericamente, ou seja:

P = P ∗;∂2T

∂z2=∂2 (vp)

∂z2=∂2 (αp)

∂z2=∂2 (xp,c)

∂z2= 0. (5.48)

A pressão na célula virtual é obtida pela Eq. (D.11); as demais propriedades es-

calares, pela Eq. (D.13); e a velocidade, pela Eq. (D.17).

5.3.3 Pressão, Temperatura, Fração Molar e Fração VolumétricaEspecificadas

Esta condição de contorno impõe o valor de pressão, P ∗, temperatura, T ∗, fração

molar, x∗p,c, e fração volumétrica, α∗p, na fronteira, ou seja:

P = P ∗; T = T ∗;∂2 (vp)

∂z2= 0; xp,c = x∗p,c; αp = α∗p. (5.49)

As propriedades escalares na célula virtual são obtidas pela Eq. (D.11); e a velo-

cidade, pela Eq. (D.17).

5.3.4 Vazão Mássica Especificada

Esta condição de contorno impõe apenas o valor da vazão mássica da mistura,

m∗, ou seja:

∂2P

∂z2=∂2T

∂z2=∂2 (αp)

∂z2=∂2 (xp,c)

∂z2= 0; m = m∗. (5.50)

As propriedades escalares da célula virtual são obtidas a partir da Eq. (D.5). Os

valores de pressão, temperatura, fração molar e fração volumétrica na fronteira são

obtidos a partir de uma interpolação CDS, conforme a Eq. (5.1). Para determinar as

velocidades na fronteira é necessário resolver o sistema:

96

m∗ = αgρgvgA+ αlρlvlA

vg = C0 (αgvg + αlvl) + vD

, (5.51)

onde a primeira equação representa a definição de vazão mássica da mistura; e a

segunda, o modelo drift-flux.

5.3.5 Vazão Mássica, Temperatura e Fração Global Especificadas

Esta condição de contorno impõe valores para a vazão mássica da mistura, m∗,

da fração global, z∗c , e da temperatura, T ∗, ou seja:

∂2P

∂z2= 0; T = T ∗; m = m∗; zc = z∗c . (5.52)

A temperatura e a pressão da célula virtual são obtidas utilizando-se as Eqs. (D.3)

e (D.5), respectivamente. A pressão na fronteira é determinada utilizando-se uma

interpolação CDS. Conhecendo-se a pressão, a temperatura e as frações globais na

fronteira, é possível determinar as frações molares e volumétricas, através de um flash

termodinâmico, conforme discutido no Apêndice A. As velocidades na célula virtual

são obtidas resolvendo-se o sistema (5.51).

Para uma simulação imiscível, onde não é possível realizar um flash, visto que

não é permitida a transferência de massa entre as fases, deve-se especificar a vazão

mássica de cada fase (m∗p), ou seja, a condição de contorno é dada por:

∂2P

∂z2= 0; T = T ∗; mp = m∗p. (5.53)

A pressão e a temperatura das células virtuais são calculadas de forma análoga ao

caso miscível. Para determinar as frações volumétricas e as velocidades na fronteira

é necessário resolver o sistema:

mg∗ = ρgvgαgA

ml∗ = ρlvlαlA

vg = C0 [αgvg + αlvl] + vD

αg + αl = 1

, (5.54)

onde as duas primeiras equações representam a definição de vazão mássica do gás

97

(g) e do líquido (l), respectivamente; a terceira representa o modelo drift-flux ; e a

última, a restrição das frações volumétricas. Os valores dessas propriedades serão

estendidas para o centro da célula virtual.

5.3.6 Vazão Volumétrica Especificada

Esta condição de contorno impõe apenas o valor da vazão volumétrica da mistura,

V ∗, ou seja:

∂2P

∂z2=∂2T

∂z2=∂2 (xp,c)

∂z2=∂2 (αp)

∂z2= 0; V = V ∗. (5.55)

As propriedades escalares no centro da célula virtual são obtidas a partir da Eq.

(D.5). O valor da pressão, temperatura, fração molar e fração volumétrica na fronteira

são obtidos a partir de uma interpolação CDS, conforme a Eq. (5.1). Para determinar

as velocidades na fronteira é necessário resolver o sistema:

V ∗ = αgvgA+ αlvlA

vg = C0 (αgvg + αlvl) + vD

, (5.56)

onde a primeira equação representa a definição de vazão volumétrica da mistura; e a

segunda, o modelo drift-flux.

5.3.7 Vazão Volumétrica, Temperatura e Fração Global Especifica-das

Esta condição de contorno impõe valores para a vazão volumétrica da mistura, V ∗,

da fração global, z∗c , e da temperatura, T ∗, ou seja:

∂2P

∂z2= 0; T = T ∗; V = V ∗; zc = z∗c . (5.57)

A temperatura e a pressão da célula virtual são obtidas utilizando-se as Eqs. (D.3)

e (D.5), respectivamente. A pressão na fronteira é determinada utilizando-se uma

interpolação CDS. Conhecendo-se a pressão, a temperatura e as frações globais na

fronteira, é possível determinar as frações molares e volumétricas através de um flash

termodinâmico. As velocidades na célula virtual são obtidas resolvendo-se o sistema

(5.56).

98

Para uma simulação imiscível, onde não é possível realizar um flash, deve-se es-

pecificar a vazão volumétrica de cada fase (V ∗p ), ou seja, a condição de contorno é

dada por:

∂2P

∂z2= 0; T = T ∗; Vp = V ∗p . (5.58)

Para determinar as frações volumétricas e as velocidades na fronteira é necessário

resolver o sistema:

Vg∗

= vgαgA

Vl∗

= vlαlA

vg = C0 [αgvg + αlvl] + vD

αg + αl = 1

, (5.59)

onde as duas primeiras equações representam a definição de vazão mássica do gás

(g) e do líquido (l), respectivamente; a terceira, representa o modelo drift-flux ; e a

última, a restrição das frações volumétricas. Os valores dessas propriedades serão

estendidas para o centro da célula virtual.

5.4 Fluxograma do Processo de Solução

Para representar o avanço temporal do processo de solução aproximada é neces-

sário discretizar o tempo. A variação das propriedades do escoamento, dada uma

variação temporal conhecida, pode ser determinada solucionando-se o sistema de

equações não-lineares apresentado na Seção 5.2. Desta forma, conhecendo-se to-

das as propriedades do escoamento no tempo t(n) e o passo de tempo, ∆t, é possível

determinar todas as propriedades do escoamento no tempo t(n+1), conforme a Fig. 15.

A construção da matriz Jacobiana, J(ν), é dada pelas derivadas analíticas de todos

os resíduos discretos apresentados na Seção 5.1.3. A única simplificação adotada foi

considerar que as derivadas do coeficiente de troca de calor total, Eq. (5.31), com

relação às variáveis do problema são nulas.

Porém, para escoamentos verticais, onde a troca de calor com a formação geo-

lógica é relevante, é necessário alterar o fluxograma do método de Newton-Raphson.

Isso porque o cálculo do fluxo de calor, para cada volume de controle, necessita de

um processo iterativo para ser determinado, conforme o fluxograma da Fig. 11. Além

99

disso, para simulações miscíveis é necessário realizar uma análise de equilíbrio ter-

modinâmico a fim de verificar o surgimento ou desaparecimento de fases. Esta análise

é apresentada em forma de um fluxograma na Fig. 16.

Sim

Monofásica?

Flash Termodinâmico

(Fig. 61)𝛼𝑝 < 0

Recombinação

Não

Sim

Não

Análise de

Estabilidade

(Fig. 60)

Instável

Estável

Figura 16: Fluxograma da análise de equilíbrio termodinâmico para cada volume decontrole.

A análise de equilíbrio é realizada em cada um dos volumes discretos da discre-

tização logo após a determinação das novas estimativas para o vetor de incógnitas.

Dessa forma, se um volume de controle bifásico possui alguma fração volumétrica ne-

gativa será realizada uma recombinação, que consiste em determinar a fração global

de cada componente e atribuí-la à fração molar deste componente na fase cuja fra-

ção volumétrica é positiva. Por outro lado, se o volume de controle é monofásico, é

necessário verificar se o mesmo é termodinamicamente estável através de uma aná-

lise de estabilidade, conforme discutido na Seção A.4. Caso o volume seja instável,

será necessário realizar um flash termodinâmico, conforme discutido na Seção 3.3.2

e apresentado na Seção A.5.

Acrescentando-se o cálculo iterativo do fluxo de calor entre o fluido e o meio ex-

terno e a análise de equilíbrio termodinâmico no algoritmo de Newton-Raphson, a Fig.

17 ilustra a metodologia para determinar os parâmetros da simulação conhecendo-se

um conjunto de propriedades conhecidas e um passo de tempo.

O fluxograma presente na Fig. 18 ilustra como determinar estas propriedades para

todo domínio discreto de tempo a partir de uma condição inicial conhecida (n = 0).

As possíveis condições de contorno às quais a simulação pode estar sujeita estão

descritas na Seção 5.3.

100

Calcular 𝛿𝑿 𝜈+1 e 𝑿 𝜈+1

(Eq. 5.40 e 5.39)

𝑿 𝜈=0 = 𝑿(𝑛)

Calcular 𝑄𝑤𝜈

(Fig. 11)

Análise de Equilíbrio

(Fig. 16)

erro < 𝜖 𝑿 𝑛+1 = 𝑿 𝜈+1

𝜈 = 𝜈 + 1

Método de Newton-Raphson

𝑿 𝑛

SimNão

Figura 17: Fluxograma para obter as propriedades do escoamento dado um passo detempo ∆t.

Determinar 𝑿 𝑛+1

(Fig. 17)

𝑡 𝑛+1 = 𝑡 𝑛 + Δ𝑡 𝑛+1

𝑡 𝑛+1 ≥ 𝑡𝑓

𝑛 = 𝑛 + 1

SimNão

𝑿(𝑛=0)

𝑡 𝑛=0

Figura 18: Fluxograma do funcionamento do simulador.

101

6 Simulações Numéricas deEscoamento de Fluidos emTubulações

Nesse capítulo, serão apresentadas algumas simulações numéricas a fim de veri-

ficar a formulação e a implementação utilizada. Para isso, será utilizada a simulação

do problema da dinâmica do escoamento de fluidos compressíveis, conhecido como

tubo de choque, e a simulação do escoamento bifásico em uma tubulação vertical

tanto em condições isotérmicas quanto considerando a troca de calor com o meio

externo. Os resultados dessas simulações foram comparados com soluções analíti-

cas e numéricas disponíveis na literatura e com simulações empregando um aplicativo

computacional comercial.

6.1 Tubo de Choque

Segundo Kolev (2007), o problema do tubo de choque é largamente utilizado como

um teste de referência para solução de equações diferenciais parciais com compor-

tamento hiperbólico. O tubo de choque consiste em um tubo com seção transversal

constante fechado nas duas extremidades e com uma membrana separando uma re-

gião de baixa pressão (região 1) e outra de alta pressão (região 5), conforme a Fig.

19. O gás no interior do tubo é modelado considerando-se a hipótose de gás ideal e

pode ter diferentes temperaturas e massas moleculares em cada uma dessas regiões.

Segundo Anderson (2003), quando a membrana é subitamente removida, uma

onda de choque se propaga na região 1 (baixa pressão) e uma onda de expansão se

propaga na região 5 (alta pressão). Conforme a onda de choque se propaga para a

direita com velocidade w, ocorre um aumento da pressão atrás dela (região 2). Este

gradiente de pressão provoca uma movimentação da massa nessa região, com velo-

cidade v2. A interface que separa, inicialmente, os gases das regiões 1 e 5 é chamada

102

Alta Pressão Baixa Pressão

Membrana

1 5

Figura 19: Perfil de pressão inicial do tubo de choque sepadarado por uma membrana.

de superfície de contato e, logo após a quebra da membrana, desloca-se com ve-

locidade v2 para a direita, delimitando as regiões 2 e 3. Estas regiões possuem as

mesmas pressões e velocidades, porém temperaturas e, consequentemente, massas

específicas diferentes, conforme a Fig. 20. A onda de expansão se propaga para a

esquerda diminuindo de forma suave e contínua a pressão na região 5, criando uma

região 4 denominada de zona de expansão.

1 5 4 3 2

Superfície de contato

Zona deexpansão

Onda de choque

Figura 20: Perfil de pressão do tubo de choque após a membrana ser removida.

O problema do tubo de choque foi apresentado inicialmente por Sod (1978) e a

metodologia necessária para obter a solução analítica está apresentada no Apêndice

C. Segundo Stadke (2006), este problema é baseado nas equações de Euler e repre-

103

senta, matematicamente, um problema de Riemann, onde as velocidades iniciais em

ambos os lados da membrana são nulas. A solução analítica é obtida determinando-

se três características que descrevem a velocidade de propagação de todas as regiões

do problema.


Zona deexpansão

Onda de choque

1 5 4 3 2

Figura 21: Perfis de pressão, temperatura, velocidade e massa específica do problema

do tubo de choque após a membrana ser removida.

104

A solução analítica considera o processo adiabático, sem atrito e sem condução

térmica e, por isso, nas simulações do tubo de choque essas características foram

desconsideradas no simulador. Além disso, é válida apenas para gases monocompo-

nentes. Porém, mantendo-se as proporções dos componentes, uma mistura de gases

ideais se comporta de acordo com a equação de estado usada para desenvolver a

solução analítica para um único componente, desde que este represente a mistura.

Dessa forma, será analisado o comportamento de um gás monocomponente e de

uma mistura de oxigênio e nitrogêneo, em proporções similares às do ar.

Para comparar as diferentes simulações realizadas será utilizado o número adi-

mensional de Courant (COURANT et al., 1967) sendo definido, segundo Fortuna (2000),

em função da velocidade máxima do escoamento, vmax, da discretização espacial, ∆z,

e da discretização temporal, ∆t, por:

CFL = vmax∆t

∆z. (6.1)

O problema do tubo de choque será utilizado para verificar a consistência numérica

do simulador desenvolvido e a influência do CFL nos perfis de pressão, temperatura,

velocidade e massa específica. O surgimento e desaparecimento de fases será anali-

sado no comportamento transiente do fenômeno da condensação retrógrada no tubo

de choque.

6.1.1 Simulação Monocomponente com CFL Fixo

A simulação do tubo de choque utilizando-se um gás composto exclusivamente por

nitrogênio, N2, será realizada utilizando um CFL constante. Para que isso seja possível

a discretização espacial deve variar proprocionalmente à discretização temporal de

forma que a Eq. (6.1) seja satisfeita.

Como o nitrogênio é um gás diatômico, a solução analtíca foi construída utilizando-

se um coeficiente de expansão adiabática igual a 1,4 e uma massa molecular de

28,013 g/mol . A geometria do tubo está especificada na Tabela 6.

Tabela 6: Dados da geometria da tubulação na simulação do tubo de choqueEsquerda Direita

Comprimento 0, 5 m 0, 5 m

Diâmetro 0, 1 m 0, 1 m

Inclinação 0◦ 0◦

105

Na simulação numérica foi utilizada a equação de estado de Peng e Robinson

(1978), com as propriedades críticas de cada componente apresentadas na Tabela

27 do Apêndice A. Como o nitrogênio é diatômico e respeita as condições de um

gás ideal para o caso dado, a capacidade calorífica foi admitida constante e igual a

29,09 J/(mol.K). Embora a solução analítica seja válida para a hipótese de gás ideal,

espera-se que utilizando baixas pressões e altas temperaturas, conforme a Tabela 7,

a solução numérica aproxime-se da solução analítica. Isso porque nessas condições

o gás tem um comportamento próximo ao do gás ideal.

Tabela 7: Condição inicial para a simulação do tubo de choque monocomponenteEsquerda Direita

Pressão 400 KPa 100 KPa

Velocidade 0 m/s 0 m/s

Temperatura 400 K 400 K

A solução no tempo de simulação de 0,5 milissegundos foi obtida utilizando-se

um erro máximo relativo de 10−5 para todas as variáveis no sistema internacional (SI),

Eqs. (5.41)-(5.46), variando-se o número de células proprocionalmente ao número

de passos de tempo de forma que o CFL seja aproximadamente igual a 0,225. Fo-

ram utilizados quatro números de células diferentes: 50, 100, 500 e 5000. Os perfis

de pressão, temperatura, velocidade e massa específica, variando-se o número de

células, estão expostos nas Figs. 22-25. A linha contínua preta representa a solu-

ção analítica e as outras curvas representam o resultado da simulação numérica para

diferentes números de células.

Nota-se que quanto menor o número de células, mais a difusão numérica atua na

simulação e maior é a suavização nas zonas de grandes gradientes. Embora haja

grande difusão numérica para o caso com 50 células, os patamares característicos da

simulação do tubo de choque nos perfis de pressão e temperatura ainda são evidentes.

Conforme aumenta-se o número de células, a solução numérica tende a se aproximar

da solução analítica, o que indica uma consistência numérica. A simulação com 5000

células (curva azul) e a solução analítica (curva preta) ficaram tão próximas que a

curva preta está sobreposta à azul, sendo a última quase imperceptível.

Analizando-se o perfil de massa específica é possível inferir que a onda de choque

e a superfície de contato encontram-se aproximadamente a 77,4 cm e 60 cm do início

do tubo, respectivamente.

106

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

1,5E+05

2,0E+05

2,5E+05

3,0E+05

3,5E+05

4,0E+05

Pre

ssão [

Pa]

Nx = 50Nx = 100Nx = 500Nx = 5000

Solução Analítica

Figura 22: Perfil de pressão do tubo de choque monocomponente.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

0

50

100

150

200

250

Velo

cidade [

m/s

]

Nx = 50Nx = 100Nx = 500Nx = 5000


Figura 23: Perfil de velocidade do tubo de choque monocomponente.

107

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

Tem

pera

tura

[k]

Nx = 50Nx = 100Nx = 500Nx = 5000


Figura 24: Perfil de temperatura do tubo de choque monocomponente.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Mass

a E

specí

fica

[kg

/m³]

Nx = 50Nx = 100Nx = 500Nx = 5000


Figura 25: Perfil da massa específica do tubo de choque monocomponente.

108

6.1.2 Simulação Composicional com Números Distintos de CFL

A fim de verificar a implementação da simulação de um caso composicional, uti-

lizando a equação de estado de Peng e Robinson (1978), será simulado um tubo de

choque composiconal composto por uma mistura de nitrogênio e oxigênio com uma

fração molar de 0,71 e 0,29, respectivamente. A mistura resultante se assemelha ao

ar e apresenta massa molar igual a 28,85006 g/mol. Sendo uma mistura de dois gases

diatômicos, será considerado que o coeficiente de expansão adiabática é igual a 1,4

e que a capacidade calorífica vale 29,09 J/(mol.K), analogamente ao caso monocom-

ponente.

Com a mesma geometria apresentada na Tabela 6, porém com valores de tempe-

ratura diferentes na condição incial, conforme a Tabela 8, a simulação composicional

será realizada utilizando-se valores de CFL distintos.

Tabela 8: Condição inicial para a simulação do tubo de choque composicionalEsquerda Direita

Pressão 400 KPa 100 KPa


Temperatura 400 K 450 K

Fração global de N2 0, 71 0, 71

Fração global de O2 0, 29 0, 29

A solução no tempo de simulação de 0,5 milissegundos foi obtida utilizando-se um

erro máximo de 10−5, variando-se o passo de tempo e fixando-se o número de células

em 250. Para isso, simulou-se diversos passos de tempo: 0,2 µs; 2 µs; 20 µs; e 50 µs,

tal que o CFL variou de 0,01 a 2,5, conforme as figuras a seguir.

Os perfis de pressão, temperatura, velocidade e massa específica estão expos-

tos nas Figs. 26-29. A curva preta representa a solução analítica e as demais os

resultados obtidos nas simulações numéricas com diferentes passos de tempo. O au-

mento do número de passos de tempo e a consequente diminuição do CFL provoca

uma aproximação da solução numérica com a analítica, o que indica uma consistência

numérica.

109

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

1,0E+05

1,5E+05

2,0E+05

2,5E+05

3,0E+05

3,5E+05

4,0E+05

Pre

ssão [

Pa]

∆t=5,0E−05 s (CFL =2,50)

∆t=2,0E−05 s (CFL =1,00)

∆t=2,0E−06 s (CFL =0,10)

∆t=2,0E−07 s (CFL =0,01)


Figura 26: Perfil de pressão do tubo de choque composicional.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

0

50

100

150

200

250

Velo

cidade [

m/s

]

∆t=5,0E−05

∆t=2,0E−05

∆t=2,0E−06

∆t=2,0E−07


Figura 27: Perfil de velocidade do tubo de choque composicional.

110

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

300

350

400

450

500

550

Tem

pera

tura

[k]

∆t=5,0E−05 s (CFL =2,50)

∆t=2,0E−05 s (CFL =1,00)

∆t=2,0E−06 s (CFL =0,10)

∆t=2,0E−07 s (CFL =0,01)


Figura 28: Perfil de temperatura do tubo de choque composicional.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Mass

a E

specí

fica

[kg

/m³]

∆t=5,0E−05 s (CFL =2,50)

∆t=2,0E−05 s (CFL =1,00)

∆t=2,0E−06 s (CFL =0,10)

∆t=2,0E−07 s (CFL =0,01)


Figura 29: Perfil de massa específica do tubo de choque composicional.

111

6.1.3 Condensação Retrógrada no Tubo de Choque

Com o intuito de analisar o surgimento e desaparecimento de fases, foi simulado

um tubo de choque preenchido por um gás composto de 70% de metano, 25% de

propano e 5% de n-butano. Para isso foi utilizada a equação de estado de Peng e

Robinson (1978), com as propriedades críticas da Tabela 27 e com os coeficientes do

polinômio interpolador da entalpia do gás ideal da Tabela 30.

O envelope de fases dessa mistura está ilustrado na Fig. 30 pela curva verde; e o

ponto crítico, pelo losango laranja. A área dentro do envelope de fases é uma região bi-

fásica, enquanto que a parte à esquerda da curva representa uma região monofásica

de vapor. Na região limitada pela temperatura crítica e a cricondenterma, qualquer

reta vertical interligará duas zonas monofásicas de vapor, cruzando uma zona bifá-

sica. Ao reduzir a pressão à temperatura constante, uma mistura gasosa situada na

zona monofásica superior, ao atingir o envelope de fases, começa a condensar-se. À

medida que a pressão continua a diminuir, a quantidade de líquido aumenta até atingir

um valor máximo. A partir desse máximo, a redução de pressão causa a vaporização

do líquido gerado. Se a pressão diminuir ainda mais, todo o gás que tinha se lique-

feito voltará para o estado vapor, ao cruzar o envelope de fases novamente. Esse

fenômeno é conhecido como condensação retrógrada (ROSA et al., 2006).

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Pre

ssão

(K

Pa)

Temperatura (°C)

Envelope de Fases

Ponto Crítico

Alta Pressão (Região 5)

Baixa Pressão (Região 1)

70% Metano25% Propano

5% n-Butano

Figura 30: Envelope de fases da simulação do tubo de choque bifásico miscível.

112

Como condição inicial para a simulação do tubo de choque de gás retrógrado foram

escolhidas duas regiões monofásicas a uma mesma temperatura, porém a pressões

diferentes, conforme a Fig. 19 e a Tabela 9. A escolha das pressões e das tempe-

raturas foi realizada de forma que todo o escoamento seja inicialmente monofásico e

com o decorrer do escoamento surja uma fração de líquido devido a diminuição de

pressão e temperatura na região atrás da superficie de contato, conforme a Fig. 21.

Assim, utilizando-se a mesma geometria apresentada na Tabela 6, será analisado o

comportamento transiente do escoamento de um gás retrógrado.

Tabela 9: Condição inicial para a simulação do tubo de choque miscívelEsquerda Direita

Pressão 10 MPa 4 MPa


Temperatura 313, 15 K 313, 15 K

Fração global de CH4 0, 70 0, 70

Fração global de C3H8 0, 25 0, 25

Fração global de C4H10 0, 05 0, 05

Os resultados obtidos para os perfis de pressão, temperatura e velocidade são

semelhantes ao tubo de choque monocomponente, com exceção do surgimento de um

novo patamar na zona de alta pressão, conforme as Figs. 31-33. Segundo Thompson

e Kim (1983), ocorre o fenômeno denominado shock splitting, no qual duas ondas se

propagam com velocidades distintas devido a diferença acentuada na velocidade do

som das regiões monofásicas e bifásicas, criando dois patamares. Este novo patamar

representa uma região próxima ao limite do envelope de fases, onde ocorre a mudança

de fases, e possui uma velocidade menor do que a região atrás da onda de choque,

conforme a Fig. 33.

113

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

4,0E+06

5,0E+06

6,0E+06

7,0E+06

8,0E+06

9,0E+06

1,0E+07

Pre

ssão [

Pa]

t=2,5E−04

t=5,0E−04

t=7,5E−04

t=1,0E−03

Figura 31: Perfil de pressão da simulação do tubo de choque bifásico miscível.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

290

300

310

320

330

340

350

Tem

pera

tura

[k]

t=2,5E−04

t=5,0E−04

t=7,5E−04

t=1,0E−03

Figura 32: Perfil de temperatura da simulação do tubo de choque bifásico miscível.

114

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

0

20

40

60

80

100

120

Velo

cidade [

m/s

]

t=2,5E−04

t=5,0E−04

t=7,5E−04

t=1,0E−03

Figura 33: Perfil de velocidade da simulação do tubo de choque bifásico miscível.

Com os perfis de pressão e tempertura é possível traçar o comportamento do es-

coamento no diagrama de fases. A Fig. 34 representa a solução numérica obtida para

o tempo de 1 milissegundo por uma linha preta traçejada. A curva verde representa

o envelope de fases, enquanto que a azul representa a curva de 6,7% de volume de

líquido. O ponto A representa a região de baixa pressão; o ponto B, a região atrás da

onda de choque; o ponto C, a região atrás da superfície de contato, cuja fração volu-

métrica de líquido é 6,7%; o ponto D, o ponto de maior fração volumétrica; o ponto E,

a mudança de fase; e o ponto F, a região de alta pressão. O caminho A-B representa

a descontinuidade provocada pela onda de choque; B-C, a superfície de contato; C-D,

uma região na qual ocorre o aumento na fração de líquido; D-E, uma região que ocorre

a diminuição da fração de líquido, até a a sua total vaporização; e E-F, uma região de

expansão da fase vapor.

115

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Pre

ssão

(K

Pa)

Temperatura (°C)

Ponto Crítico

Envelope de Fases

6,7% de líquido

Solução em 1 ms

70% Metano25% Propano5% n-Butano

A

BC

F

E

D

Figura 34: Representação do comportamento do escoamento do tubo de choque bi-

fásico miscível no diagrama de fases em 1 milissegundo.

No perfil de fração volumétrica, Fig. 35, o patamar de 6,7% de fração volumétrica

de líquido representa a região atrás da superfície de contato, sendo denotado pelo

ponto C na Fig. 34. O aumento da fração volumétrica é explicado pelo aumento

da pressão e temperatura na zona de expansão, o que provoca o deslocamento do

ponto C para o ponto D. A partir desse ponto, um aumento de pressão e temperatura

provocam uma vaporização do líquido, até atingir o ponto E onde ocorre a vaporização

de todo líquido. Como a massa específica do líquido é muito maior do que a do gás,

o perfil da massa específica da mistura possui um comportamento similar ao perfil de

fração volumétrica de líquido, conforme a Fig. 36.

116

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

Fraçã

o V

olu

métr

ica d

e L

íquid

o [

-]

t=2,5E−04

t=5,0E−04

t=7,5E−04

t=1,0E−03

Figura 35: Perfil de fração volumétrica de gás da simulação do tubo de choque bifásico.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Comprimento [m]

0

5

10

15

20

25

30

35

Mass

a E

specí

fica

[K

g/m

³]

t=2,5E−04

t=5,0E−04

t=7,5E−04

t=1,0E−03

Figura 36: Perfil de massa específica da simulação do tubo de choque bifásico.

117

6.2 Escoamento Vertical Isotérmico

Pan et al. (2011) propuseram uma solução analítica para o escoamento isotérmico

vertical bifásico imiscível, admitindo um regime permanente, a partir da equação de

conservação da quantidade de movimento. Uma solução análoga, baseando-se na

equação de conservação da quantidade de movimento apresentada na Capítulo 3, é

construída a partir de valores conhecidos do parâmetro de distribuição e da velocidade

de deslizamento do modelo drit-flux, em uma tubulação vertical com pressão especifi-

cada na parte superior e vazão mássica especificada na parte inferior. Essa solução

está demonstrada no Apêndice C.

Os parâmetros da simulação estão expostos na Tabela 10, enquanto que as pro-

priedades de fluido encontram-se na Tabela 11. Será utilizada uma mistura de água e

ar. A água será modelada utilizando uma equação de estado de líquido ligeiramente

compressível, conforme a Seção A.2; e o ar, com a equação do gás ideal.

Table 10: Parâmetros da simulação vertical isotérmicaParâmetro Valor

Comprimento 1000 m

Diâmetro 0, 10 m

Rugosidade 2, 4× 10−5 m

Inclinação 90◦

Pressão na saída 105 Pa

Vazão mássica de gás na entrada 0, 19625 Kg/s

Vazão mássica de água na entrada 0, 19625 Kg/s

Tabela 11: Dados do fluido da simulação vertical isotérmicaÁgua Ar

EoS Líquido ligeiramente compressível Gás Ideal

Massa Molecular 18, 01524 g/mol 28, 96 g/mol

Capacidade calorífica 75, 4262 J/(mol.K) 28, 96 J/(mol.K)

Viscosidade 0, 957 cP 0, 012 cP

Embora a solução analítica seja válida apenas quando o regime permanente já

esteja estabelecido, o comportamento transiente também será apresentado. Como

condição inicial, os perfis de velocidade e temperatura são admitos constantes, en-

118

quanto que o perfil de pressão é dado pela hidrostática do fluido, admitindo-se uma

fração volumétrica de 90% de gás em toda a tubulação, conforme a Tabela 12.

Table 12: Condição inicial da simulação vertical isotérmicaPropriedade Valor

Pressão Hidrostática

Temperatura 293, 15 K

Velocidade 3, 0 m/s

Fração volumétrica de gás 0, 90

A simulação considerada representa a produção de uma mistura de água e ar situ-

ada a 1000 metros de profundidade, mantendo-se a vazão mássica constante e igual

para as duas fases na entrada e admitindo que a pressão na superfície é aproxima-

damente igual a da atmosfera. A simulação numérica foi construída utilizando-se 40

células, um passo de tempo de 10 segundos e um erro máximo para todas as variá-

vies de 10−5 . Para o modelo drift-flux considerou-se que o parâmetro de distribuição

é igual a unidade e diferentes valores para a velocidade de deslizamento do gás. As

condições estacionárias foram obtidas, a partir da condição inicial, até que as propri-

edades do domínio não variassem com o tempo. O comportamento transiente e as

diferentes condições estacionárias obtidas, para cada velocidade de deslizamento do

gás, serão discutidos a seguir.

6.2.1 Regime Transiente

As simulações transientes para cada velocidade de deslizamento do gás são qua-

litativamente semelhantes e, por isso, será apresentada apenas uma delas. A simu-

lação escolhida foi a de velocidade de deslizamento nula, que representa o modelo

homogêno, no qual a água e o ar escoam com a mesma velocidade.

Nos momentos iniciais da simulação, a pressão vai se ajustando as condições de

velocidade. Conforme o gás preenche a tubulação, a fração volumétrica de líquido

vai diminuindo, o que provoca uma redução no peso do fluido e, consequentemente,

a redução da pressão, conforme a Fig. 37. O perfil final de pressão será devido a

pressão hidrostática do fluido e a perda de carga por atrito. Sendo o último quase

desprezível, visto que a primeira possui um valor mais significativo em simulações

verticais.

No gráfico da fração volumétrica, Fig. 39, nota-se um aumento da fração volumé-

119

2,0E+05 4,0E+05 6,0E+05 8,0E+05 1,0E+06 1,2E+06Pressão [Pa]

0

200

400

600

800

1000

Pro

fundid

ade [

m]

t=0 s

t=30 s

t=100 s

t=150 s

t=200 s

t=250 s

t=1000 s

Figura 37: Perfil de pressão para a simulação transiente vertical isotérmica.

trica de gás tanto na entrada quando na saída do tubo. O aumento na entrada do tubo

é devido a condição de contorno de vazão mássica especificada que aumenta a quan-

tidade de gás. Já o aumento da fração volumétrica de gás na saída do tubo é devido

a expansão do gás provocada pela baixa pressão especificada pela outra condição

de contorno. Este mesmo fenômeno também ocorre na entrada da tubulação a partir

dos 30 segundos de simulação, quando a pressão começa a diminuir. O aumento da

quantidade de gás dar-se-á até os 1000 segundos de simulação quando a tubulação

já está quase toda preenchida de gás.

Inicialmente, o perfil de velocidade se ajusta imediatemente em toda a tubulação

de acordo com a pressão imposta. A partir dos 30 segundos de simulação, com a

diminuição da pressão na entrada e a consequente diminuição da massa específica,

a velocidade tende a aumentar a fim de satisfazer a condição de vazão mássica es-

pecificada, conforme a Fig. 39. Conforme o gás desloca-se na tubulação, a massa

específica da mistura diminui e, por isso, a velocidade aumenta gradativamente dentro

do tubo.

120

0,88 0,9 0,92 0,94 0,96 0,98 1,0Fração Volumétrica de Gás [-]

0

200

400

600

800

1000

Pro

fundid

ade [

m]

t=0 s

t=30 s

t=100 s

t=150 s

t=200 s

t=250 s

t=1000 s

Figura 38: Perfil de fração volumétrica para a simulação transiente vertical isotérmica.

0

0

5

5

10

10

15

15

20

20

25

25

30

30

35

35

40

40

Velocidade [m/s]

0

200

400

600

800

1000

Pro

fundid

ade [

m]

t=0 s

t=30 s

t=150 s

t=250 s

t=1000 s

Figura 39: Perfil de velocidade para a simulação transiente vertical isotérmica.

121

Na saída do tubo, cuja velocidade inicial é igual a 3 m/s, o aumento da velocidade

é resultado da expansão de gás na coluna e a consequente expulsão de fluido. A

partir de um certo momento a condição de vazão mássica especificada é sentida e a

velocidade começa a cair até se estabilizar em aproximadamente 21 m/s, conforme

a Fig. 40. Esta figura ilustra o comportamento da velocidade na saída da tubulação,

onde a pressão é especificada. É possível perceber que a velocidade máxima de

aproximadamente 43 m/s é atingida após 230 segundos de simulação.

0 200 400 600 800 1000Tempo [s]

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Velo

cidade n

a S

aíd

a [

m/s

]

Figura 40: Velocidade da mistura na saída do tubo para a simulação transiente vertical

isotérmica.

6.2.2 Regime Estacionário

Os regimes permanentes foram atingidos utilizando-se uma velocidade de desliza-

mento de 0 m/s, 0,1 m/s e 0,2 m/s. As Figs. 41-44 representam os perfis de pressão,

velocidade de gás, velocidade de líquido e de fração volumétrica, respectivamente.

As linhas contínuas representam as soluções analíticas, enquanto que os símbolos

representam as soluções numéricas.

Os resultados obtidos são qualitativamente semelhantes aos apresentados por

Pan et al. (2011) que afirmam que o aumento da velocidade de deslizamento provoca

uma redução nas velocidade das fases e na fração volumétrica de gás, porém um

aumento da pressão, na entrada da tubulação, conforme as figuras a seguir.

122

1,5E+05 2,0E+05 2,5E+05 3,0E+05 3,5E+05 4,0E+05Pressão [Pa]

0

200

400

600

800

1000

Pro

fundid

ade [

m]

Numérica (vD =0,0)

Numérica (vD =0,1)

Numérica (vD =0,2)

Analítica (vD =0,0)



Figura 41: Perfil de pressão para a simulação vertical isotérmica variando-se a veloci-

dade de deslizamento.

6 8 10 12 14 16 18 20 22Velocidade de Gás [m/s]

0

200

400

600

800

1000

Pro

fundid

ade [

m]




Numérica (vD =0,0)

Numérica (vD =0,1)

Numérica (vD =0,2)

Figura 42: Perfil de velocidade de gás para a simulação vertical isotérmica variando-se

a velocidade de deslizamento.

123

0 5 10 15 20 25Velocidade de Líquido [m/s]

0

200

400

600

800

1000

Pro

fundid

ade [

m]

Numérica (vD =0,2)




Numérica (vD =0,0)

Numérica (vD =0,1)

Figura 43: Perfil de velocidade de líquido para a simulação vertical isotérmica

variando-se a velocidade de deslizamento.

0,965 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000Fração Volumétrica de Gás [-]

0

200

400

600

800

1000

Pro

fundid

ade [

m]




Numérica (vD =0,0)

Numérica (vD =0,1)

Numérica (vD =0,2)

Figura 44: Perfil de fração volumétrica para a simulação vertical isotérmica variando-se

a velocidade de deslizamento.

124

6.3 Escoamento Vertical com Transferência de Calor

Alves et al. (1992) e Hasan e Kabir (1994) propuseram uma solução analítica para

o perfil de temperatura a partir da equação de conservação da energia para um esco-

amento vertical de uma mistura bifásica cujo comportamento pode ser descrito pelo

modelo black-oil. Uma solução análoga, baseada na equação de conservação da

energia, apresentada na Capítulo 3, é construída a partir de valores conhecidos do

coeficiente de troca de calor total, Ut, em uma tubulação vertical com pressão espe-

cificada na parte superior e vazão mássica especificada na parte inferior, e dos perfis

de velocidade e pressão, obtidos através da simulação numérica. A dedução dessa

solução pode ser encontrada no Apêndice C.

Foram realizadas dois tipos de simulações: uma na qual o coeficiente de troca de

calor é considerado constante e outra na qual é estimado a partir da completação ado-

tada ao redor do poço. Em ambas as simulações foram utilizadas a mesma tubulação,

cujas propriedades geométricas estão expostas na Tabela 13, e considerado que a

temperatura da formação na profundidade de 2000 metros é igual a temperatura do

fluido que entra na tubulação e que o gradiente geotérmico é igual a 0,02 K/m.

Table 13: Parâmetros da tubulação do escoamento vertical com troca de calorParâmetro Valor

Comprimento 2000 m

Diâmetro interno 0, 073025 m

Diâmetro externo 0, 076200 m

Rugosidade 2, 4× 10−5 m

Inclinação 90◦

6.3.1 Coeficiente de Troca de Calor Constante

A fim de verificar a implementação do coeficiente total de troca de calor, Ut, simulou-

se uma mistura de 2 % de metano, 48% de n-hexano e 50% de n-decano utilizando-se

a equação de estado de Peng e Robinson (1978) de acordo com as propriedades crí-

ticas apresentadas na Tabela 27. A partir da condição inicial dada pela Tabela 14 e

utilizando-se 40 células, as soluções numéricas foram obtida variando-se o valor de Utde 0 até um valor muito grande, representando uma troca de calor infinita.

125

Table 14: Condição inicial para a simulação vertical com coeficiente de troca de calor

constantePropriedade Valor


Temperatura 350 K

Velocidade 0 m/s

Fração global de CH4 0, 02

Fração global de nC6H14 0, 48


As condições de contorno na entrada (parte inferior) e na saída (parte superior)

do tubo estão apresentadas na Tabela 15. A capacidade calorífica e o coeficiente de

Joule-Thomson da mistura valem, respectivamente, 2281 J/(mol.K) e −4, 5×10−7K/Pa.

Esses valores são necessários para obter a solução analítica e foram calculados para

um ponto meio da tubulação, utilizando-se as equações do Apêndice A.

Table 15: Condições de contorno para a simulação vertical com coeficiente de troca

de calor constanteParâmetro Valor

Entrada

Vazão mássica 1 Kg/s

Temperatura 350 K

Fração molar de CH4 0, 02

Fração molar de nC6H14 0, 48


Saída Pressão na saída 106 Pa

A Fig. 45 representa o perfil de temperatura para diferentes valores de Ut, sendo

seus valores dados em J/(s.m².K). O valor nulo representa um tubo isolado, sem troca

de calor, sendo a diferença de temperatura provocada pela variação da pressão de-

vida ao efeito Joule-Thomson. Já o valor alto para o coeficiente de troca de calor,

Ut=5000 J/(s.m².K), representa a troca de calor infinita, de tal forma que o perfil de

temperatura torna-se igual ao perfil geotérmico. As linhas contínuas representam as

soluções analíticas, enquanto que os símbolos representam as soluções numéricas.

Conforme a troca de calor aumenta, mais o perfil de temperatura se aproxima do perfil

geotérmico. A concordância entre a solução numérica e a solução analítica comprova

a correta implementação do coeficiente de troca de calor constante.

126

315

315

320

320

325

325

330

330

335

335

340

340

345

345

350

350

Temperatura [K]

0

500

1000

1500

2000

Pro

fundid

ade [

m]

Numérica (Ut =0)

Numérica (Ut =2)

Numérica (Ut =10)

Numérica (Ut =5000)

Analítica (Ut =0)

Analítica (Ut =2)

Analítica (Ut =10)

Geotérmico

Figura 45: Perfil de temperatura para a simulação vertical com coeficiente de troca de

calor constante.

6.3.2 Coeficiente de Troca de Calor Estimado

Quando há uma completação ao redor do poço, tal que exista um anular preen-

chido por um fluido, o coeficiente de troca de calor não é constante, devendo ser

estimado para cada profundidade. Isso ocorre se considerarmos a convecção ou a

radiação como uma das formas de troca de calor no anular, conforme discutido no

Capítulo 4. Dessa forma, será utilizada uma completação típica e será analisada a

influência de não considerar a convecção natural no anular.

O fluido utilizado é composto por uma mistura imiscível de água e ar, cujas proprie-

dades estão expostas na Tabela 11, e sujeito as condições de contorno especificadas

pela Tabela 16. Observa-se que a vazão mássica de água é três vezes maior do

que a de gás, porém a solução analítica é construída apenas informando-se a vazão

mássica da mistura que vale 2 kg/s. A diferença entre as vazões de água e gás in-

fluenciará os coeficiente de Joule-Thomson e a capacidade térmica da mistura, que

serão apresentados a seguir.

127

Table 16: Condições de contorno da simulação com coeficiente de troca de calor

estimadoParâmetro Valor

Entrada

Vazão mássica de água 1, 5 Kg/s

Vazão mássica de gás 0, 5 Kg/s

Temperatura 330 K


Considerou-se que, inicialmente, o fluido é composto por 50% de ar e está em re-

pouso a uma temperatura de 350 K, conforme a Tabela 17. Utilizando-se uma simula-

ção numérica com 100 células, o perfil de pressão foi calculado a partir da hidrostática

do fluido.

Table 17: Condição inicial da simulação com coeficiente de troca de calor estimadoPropriedade Valor


Temperatura 350 K

Velocidade 0 m/s


A completação adotada consiste em um tubo, um isolante, o anular, o revestimento,

a cimentação e a formação geológica, conforme a Fig. 8 e a Tabela 18. Na tabela os

valores estão especificados tanto no sistema inglês de unidades quanto no sistema

internacional (SI).

As propriedades do fluido no anular estão apresentadas na Tabela 19, sendo se-

parada em duas partes: condução e convecção. Realizaram-se três simulações: uma

desprezando a troca de calor com o meio externo, outra em que apenas o fenômeno

da convecção é desconsiderado e outra na qual ambos processos (condução e con-

vecção) são considerados. O processo de condução no anular, por ser o mesmo em

todas as profundidades, não varia o coeficiente de troca de calor, sendo constante

durante toda a simulação. Já o processo de convecção natural que depende das tem-

peraturas que cercam o anular, varia com a profundidade.

128

Tabela 18: Parâmetros da completação da simulação com coeficiente de troca de calorestimado

Parâmetro Sistema Inglês Sistema Internacional

TuboDiâmetro interno 2, 875 in 7, 3025× 10−2 mDiâmetro externo 3, 000 in 7, 6200× 10−2 m

Condutividade térmica 35 Btu/(h.ft.◦F) 60, 55 W/(m.K)

Isolante Espessura 0, 25 in 0, 635× 10−2 mCondutividade térmica 0, 2 Btu/(h.ft.◦F) 0, 346 W/(m.K)

RevestimentoDiâmetro interno 6, 46 in 16, 4084× 10−2 mDiâmetro externo 7, 00 in 17, 780× 10−2 m

Condutividade térmica 35 Btu/(h.ft.◦F) 60, 55 W/(m.K)

CimentaçãoEspessura 1, 50 in 3, 810× 10−2 m

Raio do poço 4, 50 in 11, 43× 10−2 mCondutividade térmica 4, 0 Btu/(h.ft.◦F) 6, 92 W/(m.K)

FormaçãoDifusividade térmica 0, 04 ft²/h 1, 032× 10−6 m²/s

Condutividade térmica 1, 5 Btu/(h.ft.◦F) 2, 595 W/(m.K)Gradiente geotérmico 5, 49× 10−3◦F/ft 0, 01 K/m

Tabela 19: Propriedades do fluido no anular da simulação com coeficiente de troca de

calor estimadoPropriedade Valor

Condução Condutividade térmica 0, 7 W/(m.K)

Convecção

Massa específica 900 Kg/m³

Viscosidade 1, 5× 10−3 Pa.s

Capacidade calorífica 4, 187× 103 J/(Kg.K)

Coeficiente de expansão

térmica volumétrica

0, 003 K−1

A solução analítica foi obtida utilizando-se uma capacidade calorífica de 3390

J/(mol.K) e um coeficiente de Joule-Thomson de −9, 4 × 10−9 K/Pa, para a mistura.

Durante a produção dessa mistura imiscíviel de água e ar ocorre a troca de calor com

a formação geológica cuja temperatura varia de 330 K na parte inferior e 290 K na

parte superior. Admitem-se dois possíveis processos de troca de calor no anular: a

convecção e a condução. Essa troca de calor total faz com que o fluido chegue a

superfície a uma temperatura de aproximadamente 307 K quando considerado o pro-

cesso de convecção no anular e 313 K quando a convecção no anular é desprezível.

Esta diferença de temperatura já era esperada, visto que, de acordo com Hasan e

Kabir (1994), quando o processo de convecção não é considerado, a perda de calor

é menor e a diferença de temperatura é subestimada. Ao desconsiderar a troca de

calor com o meio externo o fluido chega à superfície a uma temperatura de aproxima-

129

damente 325 K.

O perfil de temperatura, com o regime permanente já estabelecido, está ilustrado

na Fig. 46. As linhas contínuas representam a solução analítica, enquanto que os

símbolos representam as soluções numéricas. O círculo azul representa o resultado

obtido desconsiderando-se processo de convecção natural no anular; o quadrado la-

ranja, considerando esse processo; e o triângulo vermelho, desprezando-se a troca

de calor com o meio externo. Nota-se uma excelente concordância entre a solução

numérica e a analítica.

310

310

315

315

320

320

325

325

330

330

Temperatura [K]

0

500

1000

1500

2000

Pro

fundid

ade [

m]

Adiabático (Numérico)

Adiabático (Analítico)

Sem Convecção (Numérico)

Sem Convecção (Analítico)

Com Convecção (Numérico)

Com Convecção (Analítico)

Figura 46: Perfil de temperatura considerando os processos de condução e conveção

no anular.

6.3.3 Comparação com Software Comercial

O aplicativo computacional comercial utilizado foi o PIPESIM (SCHLUMBERGER,

2005), que é capaz de determinar o comportamento do escoamento no regime perma-

nente de um escoamento composicional bifásico em tubulações. A geometria utilizada

está apresentada na Tabela 13 e a completação na Tabela 18. Por limitação do soft-

ware comercial, não será considerado a existência do isolante ao redor da tubulação

e a troca de calor no anular é dada exclusivamente por condução térmica. O fluido

130

presente no anular é o mesmo da Tabela 19, ou seja, sua condutividade térmica vale

0,7 W/(m.K).

O fluido escolhido para escoar no interior da tubulação foi uma mistura de 40%

de metano, 30% de n-hexano e 30% de n-decano, sendo representado pela equa-

ção de estado de Peng e Robinson (1978), de acordo com as propriedades críticas

apresentadas na Tabela 27. Como o aplicativo comercial não permite atribuir valores

específicos para o fluido a fim de caracterizá-lo, as propriedades físicas obtidas são

ligeiramente diferentes, principalmente para a fase líquida, como será visto a seguir.

A partir do diagrama de fases, escolheu-se uma condição na qual o escoamento é

totalmente bifásico, conforme a condição inicial apresentada na Tabela 20. Optou-se

pelo modelo cinemático homogêneo, tal que a velocidade do gás é igual a velocidade

do líquido. A condição de contorno é de vazão mássica de 1 kg/s e uma pressão

especificada de 106 Pa, conforme a Tabela 21.

Table 20: Condição inicial para a simulação bifásica miscível verticalPropriedade Valor


Temperatura 350 K

Velocidade 0 m/s

Fração global de CH4 0, 4



Table 21: Condições de contorno para a simulação bifásica miscível verticalParâmetro Valor

Entrada

Vazão mássica 1 Kg/s

Temperatura 350 K

Fração molar de CH4 0, 4




A solução numérica foi obtida utilizando-se 100 células, após 20.000 segundos

de simulação com um passo de tempo de 500 segundos e erro máximo relativo de

10−5, para todas as variáveis. As comparações entre os perfis de obtidos pela simu-

lação numérica e o software comercial estão apresentadas nas Figs. 47-52. Embora

131

as massas específicas da fase gás sejam aproximadamente iguais, as massas es-

pecíficas da fase líquida são ligueiramente diferentes, conforme a Fig. 47, com uma

diferença relativa em torno de 1,2%.

610 620 630 640 650 660Massa Específica de líquido [kg/m³]

0

500

1000

1500

2000

Pro

fundid

ade [

m]

Simulador Comercial

Solução Numérica

Figura 47: Perfil de massa específica do líquido para o escoamento bifásico miscível

vertical.

15 20 25 30 35 40Pressão [bar]

0

500

1000

1500

2000

Pro

fundid

ade [

m]

Simulador Comercial

Solução Numérica

Figura 48: Perfil de pressão para o escoamento bifásico miscível vertical.

132

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5Velocidade [m/s]

0

500

1000

1500

2000

Pro

fundid

ade [

m]

Simulador Comercial

Solução Numérica

Figura 49: Perfil de velocidade para o escoamento bifásico miscível vertical.

Mesmo com uma pequena diferença na massa específica do líquido, utilizando-

se o mesmo modelo de atrito, é possível perceber uma boa concordância nos perfis

de pressão e velocidade, Figs. 48 e 49. No gráfico da fração volumétrica, Fig. 50, é

possivel notar que a conicidência dos resultados aumenta conforme a fração de líquido

diminui, ou seja, conforme as propriedades do líquido deixam de ser significativas no

escoamento.

A Fig. 51 ilustra a solução numérica obtida no regime permanente dentro do enve-

lope de fases. As curvas vermelha e azul representam uma fração volumétrica de gás

de 65% e 90%, respectivamente, enquanto que os círculos branco e vermelho repre-

sentam as condições de entrada e saída, respectivamente. Com os perfis de pressão

(Fig. 48) e temperatura (Fig. 52) é possível representar a solução numérica obtida,

para cada uma das 100 células, no diagrama de fases. A interpolação desses pontos

está representada por uma linha pontilhada que une a condição de entrada e de saída.

Esta linha representa a distribuição de pressão, temperatura e fração volumétrica no

interior do tubo em um único gráfico. Nota-se uma boa concordância entre o gráfico

da fração volumétrica, Fig. 50, e a solução numérica, visto que a condição de entrada

se aproxima de 65% de gás; e a de saída, de 90% de gás.

133

0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95Fração volumétrica de Gás [-]

0

500

1000

1500

2000

Pro

fundid

ade [

m]

Simulador Comercial

Solução Numérica

Figura 50: Perfil de fração volumétrica de gás para o escoamento bifásico miscívelvertical.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

-100 -50 0 50 100 150 200 250 300 350

Pre

ssão

(K

Pa)

Temperatura (°C)

Ponto Crítico

Condição de Saída

Condição de Entrada

Solução Numérica

65% de gás (vol)

90% de gás (vol)

Envelope de Fases

40% Metano30% n-Hexano30% n-Decano

Figura 51: Diagrama de fases do escoamento bifásico miscível vertical.

134

Os perfis de temperatura para o caso em questão estão apresentados na Fig. 52.

Como a temperatura é especificada na parte inferior do tubo, é esperado encontrar a

maior concordância nos primeiros metros da simulação. Conforme o fluido se desloca,

a diferença entre as temperatuas obtidas pelo aplicativo comercial e a solução numé-

rica vai aumentando até que após 2000 metros ela vale 1,0 K, o que representa uma

diferença relativa de 0,3 %.

320 325 330 335 340 345 350Temperatura [K]

0

500

1000

1500

2000

Pro

fundid

ade [

m]

Simulador Comercial

Solução Numérica

Figura 52: Perfil de temperatura para o escoamento bifásico miscível vertical.

6.4 Simulação Vertical Transiente

Assmann (1993) apresentou uma simulação vertical transiente para uma mistura

imiscível de água e ar em uma tubulação composta por três trechos: dois verticais e

um horizontal, conforme a Fig. 53. Os parâmetros utilizados para cada trecho estão

expostos na Tabela 22.

135

1

2 3

Figura 53: Geometria da simulação de Assmann (1993).

Table 22: Parâmetros da simulação vertical transiente

Parâmetro Segmento 1 Segmento 2 Segmento 3

Comprimento 2000 m 1600 m 400 m

Diâmetro 0, 0762 m 0, 0762 m 0, 0762 m

Diâmetro do poço 0, 1778 m - -

Rugosidade 2, 5× 10−5 m 2, 5× 10−5 m 2, 5× 10−5 m

Inclinação 90◦ 5◦ 75◦

Coeficiente de trocade calor

148, 9764J/(s.m².K)

11, 352J/(s.m².K)

11, 352J/(s.m².K)

Gradientegeotérmico

0, 02 K/m −0, 02 K/m −0, 02 K/m

Difusividade térmicada formação

9, 14102× 10−7

m²/s- -

A equação de fluxo de calor entre o fluido e a formação apresentada por Assmann

(1993) é dada por:

Q = 2πU∆z (T − Tw) (6.2)

onde Tw representa a temperatura da formação na parede do poço; e U , o coeficiente

de troca de calor de Assmann (1993). Note que como o fluxo de calor apresentado no

136

presente trabalho, assim como em toda a literatura estudada, é dado, conforme a Eq.

(4.12), por:

Q = 2πrtoUt∆z (T − Tw) (6.3)

Assim, para corrigir o valor do coeficiente de troca de calor apresentado por Ass-

mann (1993), utilizou-se a seguinte relação:

Ut =U

rto(6.4)

e o valor corrigido está apresentado na Tabela 22. No segmento 1, onde há a troca

de calor transiente com a formação, essa correção será aplicada, porém para os co-

eficientes com troca de calor constante não serão realizadas nenhum tipo de corre-

ção, visto que essa formulação apresentada por Assmann (1993) foi aplicada apenas

quando há a troca de calor transiente com o meio externo.

Assmann (1993) considerou a água como um fluido imcompressível, cuja massa

específica vale 1000 kg/m³, e o ar foi considerado como um gás ideal, cujas proprie-

dades estão apresentadas na Tabela 11. Como condição de contorno foi especificada

a vazão volumétrica, a fração volumétrica de gás e a temperatura na entrada (parte

inferior) e a pressão na saída, conforme a Tabela 23.

Table 23: Condições de contorno da simulação vertical transienteParâmetro Valor

Entrada

Vazão volumétrica 0, 0018 m³/s


Temperatura 329, 5 K

Saída Pressão na saída 5× 105 Pa

Como condição incial considerou-se que o perfil de temperatura é igual ao perfil

geotérmico e que o fluido, em repouso, era composto apenas por água. Dessa forma,

o perfil de pressão foi construído considerando-se apenas a hidrostática.

137

Table 24: Condição inicial da simulação vertical transientePropriedade Valor


Temperatura Geotérmica

Velocidade 0 m/s


Embora Assmann (1993) não tenha mencionado os parâmetros numéricos utiliza-

dos, a simulação foi realizada com 66 células, conforme a Tabela 25, e com um passo

de tempo de 25 segundos com um erro máximo relativo de 10−6. O autor considerou

dois tipos de acoplamento cinemático entre as fases: um modelo homogêneo e um

modelo de deslizamento, que se ajusta ao padrão de escoamento.

Table 25: Parâmetros numéricos da simulação vertical transienteParâmetro Segmento 1 Segmento 2 Segmento 3

Comprimento 2000 m 1600 m 400 m

Número de células 20 16 10

Comprimento/célula 100 m 100 m 40 m

6.4.1 Modelo Cinemático Drift-Flux

O modelo drift-flux utilizado na simulação numérica foi o de Choi et al. (2012),

conforme a Seção 3.2.1.1, enquanto que Assmann (1993) utilizou os modelos de Mal-

nes (1983) para o padrão bolhas; e Bendiksen (1984), para o padrão pistonado. Os

resultados obtidos estão apresentados nas Figs. 54-56. As linhas contínuas e os sím-

bolos representam a simulação numérica de Assmann (1993) e do presente trabalho,

respectivamente.

Segundo Assmann (1993), o gás produzido no fundo vai, com o tempo, se pro-

pagando através da coluna e, ao mesmo tempo, expandindo-se devido à despressu-

rização. Nos trechos verticais, ou de grande inclinação, essa expansão é maior, pois

o gradiente de pressão é elevado e dominado pela força gravitacional. No trecho ho-

rizontal, a expansão é pequena, pois o gradiente de pressão é pequeno e dominado

pelo atrito, conforme a Fig. 54. A medida que o gás vai ocupando a coluna, a pressão

no fundo vai diminuindo devido à diminuição do peso da coluna, conforme a Fig. 55.

138

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Comprimento [m]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Fraçã

o V

olu

métr

ica d

e G

ás

[-]

t=100 s

t=1000 s

t=2000 s

t=3000 s

t=10000 s

Assmann (t=100 s)

Assmann (t=1000 s)

Assmann (t=2000 s)

Assmann (t=3000 s)

Assmann (t=10000 s)

Figura 54: Perfil de fração volumétrica para a simulação de Assmann (1993) conside-rando o deslizamento entre as fases.

Conforme a produção do fluido quente do fundo do poço, a temperatura da coluna

vai crescendo. Com a temperatura no interior da coluna maior que a formação geoló-

gica, ocorre um fluxo de calor do poço para a formação, o que faz com que essa última

se aqueça. A medida que a formação se aquece o fluxo de calor diminui, até que seja

atingido um equilíbrio témico, conforme a Fig. 56.

Os resultados apresentadados possuem boa concordância com a simulação de

referência, sendo o trecho horizontal o mais controverso. Acredita-se que como o mo-

delo de drift-flux de Choi et al. (2012), por não depender do padrão de escoamento,

não foi capaz de determinar a velocidade de gás de forma similar ao trabalho de As-

smann (1993), o que provocou uma superestimativa direta na fração volumétrica de

gás.

139

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Comprimento [m]

0,0E+00

5,0E+06

1,0E+07

1,5E+07

2,0E+07

2,5E+07

Pre

ssão [

Pa]

t=2000 s

t=3000 s

t=4500 s

t=10000 s

Assmann (t=2000 s)

Assmann (t=3000 s)

Assmann (t=4500 s)

Assmann (t=10000 s)

Figura 55: Perfil de pressão para a simulação de Assmann (1993) considerando odeslizamento entre as fases.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Comprimento [m]

285

290

295

300

305

310

315

320

325

330

Tem

pera

tura

[K

]

t=100 s

t=1000 s

t=2000 s

t=3000 s

t=10000 s

Assmann (t=100 s)

Assmann (t=1000 s)

Assmann (t=2000 s)

Assmann (t=3000 s)

Assmann (t=10000 s)

Figura 56: Perfil de temperatura para a simulação de Assmann (1993) considerando o

deslizamento entre as fases.

140

6.4.2 Modelo Cinemático Homogêneo

Assmann (1993) apresentou também um resultado para a simulação sem desli-

zamento entre as fases, porém apenas para o tempo de 10.000 segundos. A com-

paração com esse resultado está presente nas Figs. 57-59, onde a linha contínua

representa a solução de Assmann (1993) e os quadrados azuis representam a so-

lução obtida pelo presente trabalho. Nota-se uma boa concordância entre as duas

simulações, inclusive para o perfil de fração volumétrica.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Comprimento [m]

0,0E+00

5,0E+06

1,0E+07

1,5E+07

2,0E+07

Pre

ssão [

Pa]

t=10000 s

Assmann (t=10000 s)

Figura 57: Perfil de pressão para a simulação sem deslizamento de Assmann (1993).

141

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Comprimento [m]

295

300

305

310

315

320

325

330

Tem

pera

tura

[K

]

t=10000 s

Assmann (t=10000 s)

Figura 58: Perfil de temperatura para a simulação sem deslizamento de Assmann

(1993).

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Comprimento [m]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Fraçã

o V

olu

métr

ica d

e G

ás

[-]

t=10000 s

Assmann (t=10000 s)

Figura 59: Perfil de fração volumétrica de gás para a simulação sem deslizamento de

Assmann (1993).

142

7 Considerações Finais

Nesse capítulo, serão apresentadas as conclusões do presente trabalho e algumas

sugestões para trabalhos futuros.

7.1 Conclusões

Aplicando-se os conceitos de média nas leis de conservação e o processo de dis-

cretização das equações diferenciais governantes do escoamento multifásico, foi pos-

sível representar numericamente o escoamento transiente multifásico em tubulações,

inclusive os fenômenos de aparecimento e desaparecimento de fases. As proprieda-

des físicas de cada fase foram determinadas utilizando-se uma equação de estado

cúbica de Peng e Robinson (1978) e o equilíbrio termodinâmico foi estabelecido atra-

vés da igualdade das fugacidades de cada componente.

O modelo de mistura drift-flux foi implementado utilizando-se a correlação de Choi

et al. (2012). O sistema de equações não-lineares foi resolvido utilizando-se o método

totalmente implícito de Newton-Raphson. Para isso, as equações de conservação e

de restrição foram discretizadas na forma residual utilizando-se o método dos Volu-

mes Finitos. O fluxo de calor entre o poço e o meio externo foi modelado de forma a

considerar tanto um coeficiente de troca de calor constante quanto um esquema de

completação típico da indústria do petróleo. A implementação desse termo foi veri-

ficada com soluções analíticas conhecidas e com a comparação com um aplicativo

comercial, obtendo-se uma excelente concordância entre os resultados obtidos.

A consistência numérica do simulador foi verificada utilizando-se o problema do

tubo de choque, no qual foi possível perceber uma melhor aproximação dos resultados

com a solução analítica conforme aumentava-se a discretização espacial e temporal.

Além disso, foi analisado o comportamento transiente do fenômeno da condensação

retrógrada de um gás quando submetido a esse experimento, com o aparecimento e

desaparecimento da fase líquida. O correto acoplamento entre a pressão, temperatura

143

e velocidade, assim como a implementação do fluxo de calor entre o poço e o meio

externo foram verificados através de algumas soluções analíticas. O comportamento

transiente do simulador foi comparado com uma simulação da literatura, adotando um

esquema de completação off-shore, obtendo resultados próximos.

Portanto, o presente trabalho, utilizando-se a formulação matemática e numérica

relatada, desenvolveu um simulador transiente, multifásico, composicional e robusto

capaz de simular o aparecimento e desaparecimento de fases em tubulações, além

de considerar a troca de calor com o meio externo.

7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros

Como sugestões para trabalhos futuros destacam-se alguns estudos como:

• Desenvolver um simulador para estabelecer as condições iniciais em tubulações,

principalmente em simulações verticais multifásicas ;

• Avaliar outras correlações para o modelo drift-flux que considerem o padrão de

escoamento;

• Aplicar outros modelos cinemáticos em alternativa ao modelo de mistura drift-

flux, como o de dois fluidos;

• Implementar modelos de escoamento bifásico água-óleo e trifásico água-óleo-

gás.

144

145

Referências

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ZIGRANG, D.; SYLVESTER, N. A review of explicit friction factor equations. Journalof Energy Resources Technology, American Society of Mechanical Engineers, v. 107,n. 2, p. 280–283, 1985.

ZUBER, N.; FINDLAY, J. A. Average volumetric concentration in two-phase flowsystems. Journal Heat Transfer, v. 87, p. 453–464, 1965.

155

ZUKOSKI, E. E. Influence of viscosity, surface tension, and inclination angle on motionof long bubbles in closed tubes. Journal of Fluid Mechanics, v. 25, n. 04, p. 821–837,1966.

156

APÊNDICE A -- Modelagem Termodinâmica

Neste apêndice serão apresentadas algumas equações de estado, escritas na

forma generalizada, e o cálculo das propriedades de um fluido a partir de uma dessas

equações. Além disso, serão discutidas a análise de estabilidade e o cálculo do flash

termodinâmico adotados no presente trabalho.

A.1 Equação de Estado Volumétrica

As equações de estado volumétricas são aquelas capazes de relacionar a pressão,

a temperatura e o volume molar de um fluido. Uma das equações de estado utilizada

para essa finalidade é a equação do gás ideal. Esta representa melhor os gases a bai-

xas pressões e temperaturas moderadas, porém a altas pressões e a baixas tempe-

raturas torna-se imprecisa. Dessa forma, equações de estados mais representativas

tem sido estudadas desde o século XIX.

De acordo com Peng e Robinson (1976) as equações de estados semi-empíricas

geralmente expressam a pressão como a soma de dois termos: um positivo, represen-

tando a pressão de atração, e outro negativo, representando a pressão de repulsão. O

termo repulsivo foi desenvolvido por Waals (1873) e é frequentemente utilizado por ou-

tras equações. Como a maioria dessas equações modificam apenas o termo atrativo,

é possível escrevê-las de forma genérica por:

P =RT

v − b−∆ (A.1)

onde o primeiro termo do lado direito representa o termo repulsivo; e ∆, o termo

atrativo. A variável P representa a pressão; T , a temperatura; v, o volume molar;

R, a constante universal dos gases perfeitos; e b, uma constante proposta por Waals

(1873).

A Tabela 26 ilustra algumas modelagens para o termo repulsivo, ∆, realizadas por

157

diferentes autores. Esse termo é função dos parâmetros a, b e c e da função θ que

depende da temperatura e que podem ser determinados utilizando-se as restrições do

ponto crítico dadas por:

(∂P

∂v

)T=TC

= 0,

(∂2P

∂v2

)T=TC

= 0, v = vC =ZCRTCPC

(A.2)

onde Z representa o fator de compressibilidade do fluido e o subscrito C denota que

a propriedade é avaliada no ponto crítico. As duas primeiras restrições são utilizadas

para equações de estado de dois parâmetros (a e b); e a terceira, quando existe um

terceiro parâmetro (c).

Tabela 26: Valor do parâmetro ∆ para diferentes equações de estado. Adaptado deWei e Sadus (2000) e Sandler (2006)

Autor ∆Waals (1873) a

v2

Clausius (1880) a/T

(v+c)2

Berthelot (1899) a/Tv2

Redlich e Kwong (1949) a/√T

v(v+b)

Soave (1972) θS(T )v(v+b)

Peng e Robinson (1978) θPR(T )v(v+b)+b(v−b)

Fuller (1976) θFu(T )v(v+cb)

Schmidt e Wenzel (1980) θSWv2+ubv+wb2

Harmens e Knapp (1980) θHa(T )v2+cbv−(c−1)b2

Kubic (1982) θKu(T )

(v+c)2

Patel e Teja (1982) θPT (T )v(v+b)+c(v−b)

Adachi et al. (1983) θAd(T )(v−b2)(v+b3)

Stryjek e Vera (1986) θSV (T )v2+2bv−b2

Yu e Lu (1987) θY L(T )v(v+c)+b(3v+c)

Trebble e Bishnoi (1987) θTB(T )v2+(b+c)v−(bc+a2)

Schwartzentruber et al. (1989) θSR(T )(v+c)(v+2c+b)

Dentre as equações de estados cúbicas apresentadas na Tabela 26, a equação

de Peng e Robinson (1978) é a mais popular e seus parâmetros, utilizando-se as

restrições do ponto crítico, são expressos por:

158

θPR(T ) = 0, 45724R2T 2

C

PCα(T ) (A.3)

e

b = 0, 07780RTCPC

, (A.4)

tal que:

√α(T ) = 1 +m

(1−

√T

TC

)(A.5)

e

m =

0, 37464 + 1, 5422ω − 0, 26992ω2 , ω ≤ 0, 491

0, 37964 + 1, 48503ω − 0, 164423ω2 + 0, 01666ω3 , ω > 0, 491(A.6)

onde ω representa o fator acêntrico. As propriedades críticas (PC , vC e TC) e o fator

acêntrico são conhecidos e obtidos empiricamente para cada substância. A Tabela 27

apresenta os valores das propriedades críticas e do fator acêntrico dos componentes

utilizados nas simulações numéricas.

Tabela 27: Propriedades críticas e fator acêntrico de algumas substânciasM (g/mol) PC (bar) TC (K) vC (cm³/mol) ω

Nitrogênio (N2) 28, 013 33, 5 126, 2 0, 0895 0, 04

Oxigênio (O2) 31, 999 50, 4 154, 58 0, 0734 0, 022

Metano (CH4) 16, 043 45, 4 190, 6 0, 099 0, 008

Propano (C3H8) 44, 097 41, 9 369, 8 0, 203 0, 152

n-Butano (C4H10) 58, 124 37, 5 425, 2 0, 255 0, 193

n-Hexano (C6H14) 86, 178 29, 3 507, 4 0, 370 0, 296

n-Decano (C10H22) 142, 286 20, 8 617, 6 0, 603 0, 490

A.2 Equação de Estado Para a Água

As equações de estado cúbicas não modelam corretamente o comportamento fí-

sico da água na fase líquida. Por isso, para modelar o comportamento da água será

159

utilizada uma equação capaz de representar um fluido ligeiramente compressível que,

segundo Smith et al. (2005), é dada por:

ln (Z) = β (T − T0)− κ (P − P0)− ln(

P0

Z0T0

T

P

), (A.7)

onde Z0 é o fator de compressibilidade do fluido avaliado na pressão e temperatura

de referência (P0 e T0); β, o coeficiente de expansão volumétrica; e κ, o coeficiente de

compressibilidade isotérmica. Os valores desses parâmetros, para as simulações de

água utilizando-se o modelo ligeiramente compressível, estão apresentados na Tabela

28.

Tabela 28: Parâmetros utilizados para modelar a água na fase líquidaParâmetro P0 (bar) T0 (K) Z κ (1/Pa) β (1/K)

Valor 1, 01325 298, 15 7, 38804× 10−4 4, 54× 10−10 2, 57× 10−6

Utilizando-se um modelo de capacidade calorífica constante, a entalpia molar da

água pode ser escrita por:

hp = CpT +1

ξpP, (A.8)

onde ξp representa a massa específica molar da água.

A.3 Propriedades do Fluido

As propriedades do fluido que serão determinadas em função de uma equação

de estado conhecida são: fator de compressibilidade, massa específica, fração glo-

bal, entalpia, viscosidade, tensão superficial e condutividade térmica. A equação de

estado utilizada foi a de Peng e Robinson (1978).

A.3.1 Fator de Compressibilidade

O fator de compressibilidade para um fluido é definido por:

Z =Pv

RT(A.9)

160

e pode ser representado implicitamente a partir de uma equação de estado volumé-

trica. Dessa forma, equações de estado cúbica, como as da Tabela 26, são expressas

por:

Z3 + αZ2 + βZ + γ = 0, (A.10)

onde α, β e γ são parâmetros que variam para cada equação de estado e estão

ilustrados na Tabela 29 para algumas delas.

Tabela 29: Parâmetros da equação de estado cúbica expresso implicitamente pelofator de compressibilidade

α β γWaals (1873) −1−B A −AB

Redlich e Kwong (1949) e Soave (1972) −1 A−B −B2 −ABPeng e Robinson (1978) −1 +B A− 3B2 − 2B −AB +B2 +B3

A =

{aP

(RT )2 van der Waals, Soave e Peng-RobinsonaP

R2T 2.5 Redlich-Kwonge B = bP

RT

Sendo a Eq. (A.10) cúbica, ela possui três raízes: duas reais, quando o fluido está

abaixo do ponto crítico; ou apenas uma raiz real, quando acima do ponto critico. No

caso de duas raízes reais positivas, a menor representará a fase líquida; e a maior, a

fase vapor.

Os parâmetros a e b definidos nas Tabelas 26 e 29 são obtidos empiricamente para

uma substância pura qualquer. Porém, no caso de um sistema multicomponente, os

parâmetros a = ap e b = bp são determinados através de regras de mistura. A regra de

mistura mais utilizada é a de Waals (1873) que diz que:

ap =Nc∑i=1

Nc∑j=1

xp,ixp,j√aiaj (1− δij) (A.11)

e

bp =Nc∑i=1

xp,ibi, (A.12)

onde x representa a fração molar; Nc, o número total de componentes da substância;

e δi,j, o parâmetro de interação binária entre os componentes i e j, sendo obtido

161

empiricamente para cada equação de estado. Segundo Li et al. (1985), este parâmetro

é dado por:

δi,j = 1−

[2(vCivCj

)1/6

v1/3Ci

+ v1/3Cj

]1,2

, (A.13)

tal que o expoente 1,2 foi ajustado para parafinas segundo Oellrich et al. (apud COM-

PUTER MODELLING GROUP LTD., 2009).

A.3.2 Massa Específica

A massa específica de um fluido, utilizando-se uma equação de estado através do

fator de compressibilidade, é dada por:

ρp =PMp

ZpRT, (A.14)

onde Mp representa a massa molecular do fluido e é calculado como a soma das mas-

sas moleculares de cada componente, Mc, ponderado na fração molar desse compo-

nente, xp,c, ou seja:

Mp =∑c

xp,cMc, (A.15)

A massa específica molar também pode ser expressa em função do fator de com-

pressibilidade por:

ξp =ρpMp

=P

ZpRT. (A.16)

A.3.3 Fração Global

A fração global de um componente representa a porcentagem que este ocupa no

volume de controle e pode ser calculado por:

zc =

∑p αpxp,cξp∑p αpξp

. (A.17)

162

A.3.4 Entalpia

Segundo Sandler (2006), a variação da entalpia molar, na forma diferencial, de

uma substância pura é dada por:

dhp,c = CPdT +

[v − T

(∂v

∂T

)P

]dP, (A.18)

onde CP é a capacidade térmica a pressão constante.

Integrando-se a Eq. (A.18) a partir de uma condição inicial, (P0, T0), até a condição

final, (P1, T1), através de dois processos isotérmicos, [T ], e um processo isobárico, [P ],

na condição de gás ideal, ou seja:

(P0, T0)[T ]→ (P = 0, T0)

[P ]→ (P = 0, T1)[T ]→ (P1, T1). (A.19)

Dessa forma, denotando C∗P como a capacidade térmica do gás ideal a pressão

constante, a variação da entalpia molar pode ser representado pela seguinte equação

integral:

∆hp,c =

∫ 0

P0

[v − T

(∂v

∂T

)P

]T0

dP +

∫ T1

T0

C∗PdT +

∫ P1

0

[v − T

(∂v

∂T

)P

]T1

dP. (A.20)

Na termodinâmica é comum utilizar a regra do produto triplo, visto que esta rela-

ciona três variáveis (pressão, temperatura e volume molar) implicitamente através de

uma equação (equação de estado), dada por:

(∂v

∂T

)P

(∂P

∂v

)T

(∂T

∂P

)v

= −1. (A.21)

Desta relação, é possível escrever:

−(∂v

∂T

)P

∂P |T =

(∂P

∂T

)v

∂v|T (A.22)

e, sabendo-se que:

dP =1

vd(Pv)− P

vdv (A.23)

é possível reescrever a Eq. (A.20) como

163

∆hp,c =

∫ RT0

P0v0

d(Pv) +

∫ ∞v0

[T

(∂P

∂T

)v

− P]T0

dv +

∫ T1

T0

C∗PdT+

+

∫ P1v1

RT1

d(Pv) +

∫ v1

∞

[T

(∂P

∂T

)v

− P]T1

dv. (A.24)

Considerando o estado de referência como sendo o gás ideal, ou seja a condição

inicial (P0 = 0, T0) no qual o volume molar, v0, tende ao infinito e é válida a relação

P0v0 = RT0, a entalpia molar na condição (P1 = P, T1 = T ) é dada por:

hp,c = RT (Zp − 1) +

∫ v=v(P, T )

v=∞

[T

(∂P

∂T

)v

− P]T

dv +

∫ T1

T0

CIGP dT. (A.25)

O último termo desta equação representa a variação da entalpia molar do gás

ideal, hIGp,c , e T0 representa a temperatura na qual a entalpia do fluido é nula. Essa

temperatura foi adotada como o zero absoluto, ou seja, T0 = 0K. Esse termo pode ser

aproximado por um polinômio interpolador de quinto grau, tal que:

hIGp,c =

∫ T1

T0

CIGP dT = a0 + a1T + a2T

2 + a3T3 + a4T

4 + a5T5, (A.26)

onde os coeficientes ai são obtidos empiricamente para o componente c e podem

ser obtidos no trabalho de Passut e Danner (1972). A Tabela 30 ilustra os valores

desses coeficientes para os componentes utilizados nas simulações numéricas, com

a entalpia em Btu/lb e as temperaturas em ◦R.

Tabela 30: Coeficientes do polinômio interpolador da entalpia do gás ideal (Btu/lb e◦R)

a0 a1 a2 (103) a3 (106) a4 (1010) a5 (1014)

Metano -2.83857 0.538285 -0.211409 0.339276 -1.164322 1.389612

Propano 0.68715 0.160304 0.126084 0.18143 -0.918913 1.35485

n-Butano 7.22814 0.099687 0.266548 0.054073 -0.429269 0.66958

n-Hexano 12.99182 0.089705 0.265348 0.057782 -0.452211 0.702597

n-Decano -3.02428 0.203437 -0.035383 0.407345 -2.307689 4.2992

A Eq. (A.25) pode ser utilizada para se determinar a entalpia molar para qual-

quer equação de estado. Para a equação de estado volumétrica de Peng e Robinson

(1978), por exemplo, a entalpia molar é dada por:

164

hp,c = RT (Zp − 1) +T(dadT

)− a

2√

2bln

[Zp +

(1 +√

2)B

Zp +(1−√

2)B

]+ hIGp,c , (A.27)

onde o fator de compressibilidade, Z, é obtido resolvendo-se a Eq. (A.10) e o parâme-

tro B é dado por:

B =Pb

RT. (A.28)

No caso de um sistema multicomponente, é necessário uma regra de mistura para

calcular a entalpia molar do fluido. A regra de mistura utilizada neste caso é soma das

entalpias molares de cada componente presente no fluido, ponderada na fração molar

do mesmo, ou seja:

hp =∑c

xp,chp,c (A.29)

A.3.5 Viscosidade

Segundo Poling et al. (2001), a viscosidade do componente puro a baixas pres-

sões, µ0c [µP] , é dada por:

µ0cξµc =

[0, 807T 0,618

R − 0, 357 exp (−0, 449TR) + 0, 340 exp (−4.058TR) + 0, 018]F 0pF

0Q

(A.30)

onde F 0p e F 0

Q são fatores de correção para efeitos polares e quânticos, respectiva-

mente, e são considerados a unidade para hidrocarbonetos; TR representa a tempera-

tura reduzida do componente c; e ξµc é o inverso da viscosidade reduzida e é definido

por:

ξµc = 0, 176

(TC

M3c P

4C

)1/6

(A.31)

tal que TC , PC eMc representam a temperatura crítica [K], pressão crítica [bar] e massa

molecular [g/mol] do componente c, respectivamente.

Para corrigir o valor da viscosidade para altas pressões, Jossi et al. (1962) utiliza-

ram a seguinte expressão:

165

[(µc − µ0

c

)ξµT + 1

]1/4= 1, 0230 + 0, 23364ρR + 0, 58533ρ2

R − 0, 40758ρ3R

+ 0, 093324ρ4R (A.32)

onde µc representa a viscosidade [µP] do componente c corrigida. A massa específica

reduzida, ρR, e ξµT do componente c são definidos, respectivamente, por:

ρR =ρ

ρC=

vCv

(A.33)

e

ξµT =

(TC

M3c P

4C

)1/6

(A.34)

de forma que vC , TC , PC e Mc representam o volume crítico molar, temperatura crí-

tica [K], pressão crítica [atm] e massa molecular [g/mol] do componente c, respectiva-

mente.

Para uma mistura de componentes, segundo Computer Modelling Group Ltd. (2009),

a viscosidade da fase p corrigida para altas pressões, µp, pode ser calculada por:

[(µp − µ0

p

)ξµp + 1

]1/4= 1, 0230 + 0, 23364ρR,p + 0, 58533ρ2

R,p − 0, 40758ρ3R,p

+ 0, 093324ρ4R,p (A.35)

tal que a viscosidade da fase p a baixas pressões, o parâmetro ξµp e a massa específica

reduzida da fase p são definidos, respectivamente, por:

µ0p =

∑c xp,cµ

0c

√Mc∑

c xp,c√Mc

, (A.36)

ξµp =(∑

c xp,cTC)1/6

(∑

c xp,cMc)1/2 (

∑c xp,cPC)2/3

(A.37)

e

166

ρR,p = ξ

[∑c

xp,cvαpC

]1/αp

, (A.38)

onde TC , PC e Mc representam a temperatura crítica [K], pressão crítica [atm] e massa

molecular [g/mol] do componente c, respectivamente.

A.3.6 Tensão Superficial

Segundo Macleod (1923), a tensão superficial [N/m] de um componente c entre

uma fase vapor e uma fase líquida pode ser calculada por:

σc = 10−3 [(par)c (ξL − ξV )]4 , (A.39)

onde ξL e ξV são as massa específicas molares da fase líquida e vapor, respectiva-

mente; e (par)c é um parâmetro, denominado posteriormente por Parachor, que é esti-

mado com base na estrutura interna das moléculas do componente. Para um sistema

de hidrocarbonetos, segundo Computer Modelling Group Ltd. (2009) este parâmetro

pode ser calculado por:

(par)c =

40Cc , Cc ≤ 12

40, 3Cc , Cc > 12(A.40)

onde Cc representa o número de carbonos que o componente c possui e pode ser

obtido em função da massa molecular do mesmo, Mc [g/mol], por:

Cc =Mc

14. (A.41)

Para um sistema composicional, segundo Computer Modelling Group Ltd. (2009),

a tensão superficial entre a fase vapor e a fase líquida é dada por:

σ = 10−3

[∑c

(par)c (xL,cξL − xV,cξV )

]4

. (A.42)

167

A.3.7 Condutividade Térmica

Segundo Roy e Thodos (1968), Roy e Thodos (1970), para um componente c,

a condutividade térmica reduzida, κR, pode ser dividida em duas partes: a primeira

devido a energia translacional, (κcΓc)tr e a segunda devido a energia rotacional e

vibracional, (κcΓc)int, tal que:

κR = κ0cΓc = (κcΓc)tr + (κcΓc)int , (A.43)

onde κ0c representa a condutividade térmica do componente c a baixa pressão e Γc

representa o inverso da condutividade térmica reduzida do componente c [(m.K)/W] e

é definido por:

Γc = 210

[TCM

3c

P 4C

]1/6

, (A.44)

onde TC , Mc e PC representam, respectivamente, a temperatura crítica [K], a massa

molecular [g/mol] e a pressão crítica [bar] do componente c.

A condutividade térmica devido a energia translacional é função da temperatura

reduzida, TR = T/TC , e segundo Poling et al. (2001) é dada por:

(κcΓc)tr = 8, 757[e(0,0464Tr) − e(−0,2412Tr)

]. (A.45)

Já a condutividade térmica devido a energia rotacional e vibracional pode ser re-

presentada por:

(κcΓc)int = C f(TR), (A.46)

onde f é uma função da temperatura reduzida que, assim como a constante C, de-

pende do grupo ao qual o componente pertence. Para hidrocarbonetos saturados,

Roy e Thodos (1968) obtiveram os seguintes ajustes:

f(TR) = −0, 152TR + 1, 191T 2R − 0, 039T 3

R (A.47)

e

168

C ≈ 5, 21× 10−2Mc + 1, 82× 10−3M2c Mc < 120. (A.48)

Para corrigir o valor da condutividade térmica para altas pressões, Stiel e Thodos

(1964) utilizaram a seguinte expressão:

(κc − κ0

c

)ΓcZ

5c =

1, 22× 10−2 [e0.535ρR − 1, 000] , ρR < 0, 5

1, 14× 10−2 [e0.670ρR − 1, 069] , 0, 5 ≤ ρR ≤ 2, 0

2, 60× 10−3 [e1.155ρR + 2, 016] , 2, 0 < ρR

, (A.49)

onde Zc é o fator de compressibilidade do componente c e ρR é a massa específica

reduzida.

Para uma mistura de componentes, segundo Wassiljewa (apud POLING et al., 2001)

a condutividade térmica da fase p a altas pressões é dada por:

(κp − κ0

p

)Γp (0.291− 0.08ωp)

5 =

1, 22× 10−2 [e0.535ρR − 1, 000] , ρR,p < 0, 5

1, 14× 10−2 [e0.670ρR − 1, 069] , 0, 5 ≤ ρR,p ≤ 2, 0

2, 60× 10−3 [e1.155ρR + 2, 016] , 2, 0 < ρR,p

(A.50)

onde a massa específica reduzida da fase p, ρR,p, é dada pela Eq. (A.38), o parâmetro

Γp e o fator acêntrico da mistura são calculados utilizando-se uma regra de mistura

simples, de forma que:

Γp = 210(∑

c xp,cTC)1/6 (∑

c xp,cMc)1/2

(∑

c xp,cPC)2/3(A.51)

e

ωp =∑c

xp,cωc. (A.52)

Já condutividade térmica da fase p a baixas pressões, segundo Wassiljewa (apud

169

POLING et al., 2001), é dada por:

κ0p =

Nc∑i=1

xp,iκ0i∑Nc

j=1 xp,jAi,j, (A.53)

onde Ai,j é definido, segundo Mason e Saxena (1958), por:

Ai,j =

1, 0 , i = j

1, 065

[1+

√κ0iκ0j

√MiMj

]2

√8

(1+

MiMj

) , i 6= j.

A.3.8 Regras de Mistura

Denominando-se a mistura como um conjunto de fases, cada propriedade daquela

é função destas e possuem uma regra para a sua determinação. As regras de mistura

mais simples são ponderadas na fração volumétrica, na massa específica ou na massa

especifica molar de cada fase presente no sistema.

As propriedades que necessitam de uma regra de mistura são: massa específica,

massa específica molar, massa molecular, entalpia, viscosidade e condutividade tér-

mica. Enquanto a massa específica da mistura são ponderadas na fração volumétrica

de cada fase, ou seja:

ρm =∑p

αpρp, (A.54)

sendo a massa molar da mistura, Mm, é ponderada na massa específica molar de

cada fase, ou seja:

Mm =

∑p αpξpMp

ξm, (A.55)

e a viscosidade e a condutividade térmica da mistura são ponderadas pela massa

específica de cada fase, ou seja:

µm =

∑p αpρpµp

ρm(A.56)

170

e

κm =

∑p αpρpκp

ρm. (A.57)

A.3.9 Energia Livre de Gibbs e Fugacidade

A energia livre de Gibbs é uma grandeza que representa a energia disponível em

um sistema termodinâmico para execução de trabalho útil. Segundo Sandler (2006),

a variação da energia livre de Gibbs molar, G, pode ser representada na forma dife-

rencial como função da entropia molar, S, da temperatura, T , do volume molar, v, e da

pressão, P , como:

dG = −SdT + vdP. (A.58)

Dessa forma, a variação da energia livre de Gibbs com a pressão, considerando

um processo isotérmico, é igual ao volume molar da substância, ou seja:

(∂G

∂P

)T

= v. (A.59)

Integrando-se esta relação entre quaisquer pressões P0 e P a uma temperatura

constante, T , tem-se:

G(P, T )−G(P0, T ) =

∫ P

P0

vdP. (A.60)

Para um fluido sob as condições de um gás ideal, onde v = RT/P , tem-se:

GIG(P, T )−GIG(P0, T ) =

∫ P

P0

(RT

P

)dP. (A.61)

Subtraindo a Eq. (A.61) da Eq. (A.60) e considerando P0 = 0, a diferença entre

a energia livre de Gibbs do fluido, à pressão P e temperatura T , e a energia livre de

Gibbs para o gás ideal sob as mesmas condições é dada por:

G(P, T )−GIG(P, T ) =

∫ P

0

(v − RT

P

)dP, (A.62)

ou ainda, escrita em função do volume molar, por:

171

G(P, T )−GIG(P, T ) =

∫ v=ZRT/P

v=∞

(RT

v− P

)dv − lnZ + (Z − 1) . (A.63)

Por conveniência, define-se a função termodinâmica, f , denominada de fugaci-

dade, para uma substância pura, tal que:

ln

(f

P

)=G(P, T )−GIG(P, T )

RT. (A.64)

Analogamente, segundo Sandler (2006), para uma mistura de componentes, a

fugacidade de um componente c na fase p é definida tal que:

ln

(fp,cxp,cP

)=

Gc(P, T, xp,c)−GIGMc (P, T, xp,c)

RT(A.65)

=1

RT

∫ v=ZRT/P

v=∞

[RT

v− nc

(∂P

∂nc

)T,v,ni 6=c

]dv − lnZ, (A.66)

onde o super-índice IGM representa uma mistura de gases ideais e Gc representa a

energia livre de Gibbs parcial com relação ao componente c, ou seja:

Gc =

(∂G

∂nc

)T,P,ni 6=c

. (A.67)

O termo no interior da função logarítmica da Eq. (A.65) é conhecido por coeficiente

de fugacidade e definido por:

φp,c =fp,cxp,cP

. (A.68)

Segundo Sandler (2006), a fugacidade para a equação de estado de Peng e Robin-

son (1978) para um substância pura e para uma mistura de componentes são obtidas,

respectivamente, pelas seguintes equações:

ln

(f

P

)= (Zp − 1)− ln (Zp −B)− A

2√

2Bln

[Zp + (1 +

√2)B

Zp + (1−√

2)B

](A.69)

e

172

ln

(fp,cxp,cP

)=

Bc

Bm

(Zp − 1)− ln (Zp −Bm)

− Am

2√

2Bm

[2∑

j xj,pAcj

Am− Bc

Bm

]ln

[Zp + (1 +

√2)Bm

Zp + (1−√

2)Bm

], (A.70)

onde Am e Bm são calculados conforme A e B, de acordo com a Tabela 29, utilizando-

se as Eqs. (A.11) e (A.12).

A.3.10 Condição de Equilíbrio

Um dos critérios de equilíbrio, segundo Sandler (2006), para um sistema bifásico

a uma temperatura T e pressão P é a igualdade das energias de Gibbs parciais para

cada componente, ou seja, Gc(P, T, x1,c) = Gc(P, T, x2,c). Utilizando-se a Eq. (A.65),

esta igualdade pode ser escrita como:

GIGMc (P, T, x1,c) +RT ln

(f1,c

x1,cP

)= GIGM

c (P, T, x2,c) +RT ln

(f2,c

x2,cP

). (A.71)

De acordo com Sandler (2006), a energia livre de Gibbs de uma mistura de gases

ideais é dada por:

GIGMc (P, T, xp,c) = GIG

p (P, T ) +RT ln (xp,c) . (A.72)

Substituindo-se a Eq. (A.72) na Eq. (A.71), tem-se:

GIG1 (P, T ) +RT ln (x1,c) +RT ln

(f1,c

x1,cP

)= GIG

2 (P, T ) +RT ln (x2,c) +RT ln

(f2,c

x2,cP

).

(A.73)

Como a energia livre de Gibbs para um gás ideal à pressão P e à temperatura

T é sempre a mesma, ou seja, GIG1 (P, T ) = GIG

2 (P, T ), é possível obter a seguinte

relação:

f1,c = f2,c, (A.74)

ou seja, a condição de equilíbrio químico entre várias fases é dada pela igualdade das

173

fugacidades de cada componente c.

A.4 Análise da Estabilidade Termodinâmica

A análise de estabilidade consiste em verificar se uma célula monofásica é estável

ou instável. Uma célula, inicialmente composta unicamente por uma fase p, é con-

siderada estável quando é adicionada hipoteticamente uma outra fase, q, a esta e a

solução trivial (xp,c = xq,c) é obtida ou quando a seguinte relação é satisfeita:

∑c

Yc ≤ 1, (A.75)

tal que Yc é definida por:

Yc =φp,cφq,c

xp,c, (A.76)

onde φp,c e φq,c representam os coeficientes de fugacidade do componente c na fase p

e na fase q, respectivamente. Estes coeficientes podem ser calculados segundo a Eq.

(A.68). A fração molar do componente c na fase q, necessária para o cálculo de φq,c é

dada por:

xq,c =Yc∑c Yc

. (A.77)

Nota-se, então, uma recursividade, pois Yc depende do cálculo de xq,c, que por

sua vez depende de Yc. Por isso, será utilizado um método de substituição sucessiva,

conforme a Fig. 60, tal que a estimativa inicial para Yc depende da fase inicial, p, e é

dada por:

Yc =

Kcxp,c , se p = L

xp,cKc

, se p = V, (A.78)

onde L e V representam a fase líquida e vapor, respectivamente, e Kc é obtido pela

correlação de Wilson (apud DANESH, 1998), dada por:

Kc =PCPe{5,37(1+ωc)[1−TC/T ]}, (A.79)

174

onde PC , TC e ωc são, respectivamente, a pressão crítica, temperatura crítica e fator

acêntrico do componente c.

𝑥𝑞,𝑐𝜆=𝑌𝑐𝜆

𝑌𝑐𝜆

Determinar 𝜙𝑝,𝑐𝜆

e 𝜙𝑞,𝑐𝜆

(Eq. A.68)

𝑌𝑐𝜆+1=𝜙𝑝𝜆

𝜙𝑞𝜆𝑥𝑝,𝑐

𝜆 = 𝜆 + 1

Não SimEstável

𝑃, 𝑇, 𝑥𝑝,𝑐Estimar 𝑌𝑐

𝜆=0

(Eq. A.78)

Sol. trivial ou

𝑐

𝑌𝑐𝜆+1≤ 1

Instável

Não

Sim𝑌𝑐𝜆+1− 𝑌𝑐𝜆

∞< 𝜖

𝜆 < 𝜆max

Figura 60: Fluxograma da análise de estabilidade.

Mais detalhes sobre a análise de estabilidade podem ser encontrados em Whit-

son e Michelsen (1989), Danesh (1998), Firoozabadi (1999) e Michelsen e Mollerup

(2007).

A.5 Flash Termodinâmico

O flash termodinâmico consiste na recombinação de uma fase em duas: líquida

(L) e vapor (V ). O objetivo final de um flash é determinar a fração molar que cada

componente, c, ocupa na fase líquida, xL,c, e na fase vapor, xV,c. Segundo Danesh

(1998), para obter estas frações molares é necessário determinar a fração molar que

a fase vapor ocupa no volume de controle, nV , solucionando-se a equação de Rachford

e Rice (1952), dada por:

∑c

zc (Kc − 1)

1 + (Kc − 1)nV= 0, (A.80)

tal que zc é a fração global do componente c, que é igual a fração molar do componente

c na fase inicialmente existente no volume de controle, e Kc é a razão de equilíbrio. As

175

frações molares da fase líquida e da fase vapor são obtidas pelas seguintes equações:

xL,c =zc

1 + (Kc − 1)nV(A.81)

e

xV,c =zcKc

1 + (Kc − 1)nV. (A.82)

Nota-se então uma recursividade, pois o cálculo das frações molares, xL,c e xV,c,

dependem do cálculo da razão de equilíbrio, Kc, que por sua vez é definida como:

Kc =xV,cxL,c

. (A.83)

Por isso, será utilizado um método de substituição sucessiva, conforme a Fig. 61, tal

que a estimativa inicial da razão de equilíbrio é dada utilizando-se a correlação de

Wilson (apud DANESH, 1998), Eq. (A.79), e sua atualização é dada em função das

fugacidades, tal que:

K(λ+1)c = K(λ)

c

f(λ)L,c

f(λ)V,c

, (A.84)

onde o superíndice λ indica a iteração da substituição sucessiva e as fugacidades

calculadas a partir da determinação das frações molares xL,c e xV,c. Este processo é

realizado enquanto o equilíbrio das fugacidades não é atingido, ou seja:

fL,c = fV,c. (A.85)

Mais detalhes sobre o flash termodinâmico pode ser encontrado em Danesh (1998),

Firoozabadi (1999) e Michelsen e Mollerup (2007).

176

Estimar 𝐾𝑐𝜆=0

(Eq. A.79)

Determinar 𝑥𝐿,𝑐𝜆

e 𝑥𝑉,𝑐𝜆

(Eq A.81 e A.82)

Calcular 𝑓𝐿,𝑐𝜆

e 𝑓𝑉,𝑐𝜆

(Eq. A.70)

𝑐

1 −𝑓𝐿,𝑐

𝜆

𝑓𝑉,𝑐𝜆

2

< 𝜖

𝜆 = 𝜆 + 1

SimNão

𝑥𝑝,𝑐𝜆=0

= 𝑧𝑐

𝑥𝐿,𝑐 , 𝑥𝑉,𝑐

𝑃, 𝑇, 𝑧𝑐

Flash Termodinâmico

𝐾𝑐𝜆+1

= 𝐾𝑐𝜆 𝑓𝐿,𝑐

(𝜆)

𝑓𝑉,𝑐(𝜆)

Figura 61: Fluxograma para o cálculo do flash termodinâmico.

177

APÊNDICE B -- Modelagem Computacional

Neste apêndice, será introduzida a modelagem computacional utilizada para o de-

senvolvimento do simulador e apresentados os diagramas de pacotes e de classes.

B.1 Diagrama de Pacotes

O diagrama de pacotes resume todo o código em um único diagrama, ilustrando

os pacotes implementados no simulador e suas relações, conforme a Fig. 62. A fi-

gura possui seis pacotes: Fluid, Well, Discretization, Cell Data, NR System e Main.

O pacote de fluido (Fluid) engloba toda a termodinâmica necessária para determinar

as propriedades do fluido, enquanto que o pacote de poço (Well) representa um poço

de petróleo e o pacote de discretização (Discretization) resume todas as equações na

sua forma residual discretizada. Cell Data Package gerencia os dados das células,

enquanto que NR System Package armazena as instruções para a construção e reso-

lução do sistema linear. O pacote principal (Main) possui a principal classe do código

que funciona como uma interface entre o usuário e o simulador.

B.2 Diagrama de Classes

Em programação, um diagrama de classes é uma representação da estrutura e

das relações entre as classes e informa os atributos e métodos de cada uma delas.

Cada classe é composta por três seções: a primeira com seu nome; a segunda com

seus atributos; e a terceira com seus métodos. Porém, para simplificar a vizualização

serão apresentados apenas os atributos e métodos mais significativos de cada classe.

O relacionamento entre as classes pode ocorrer basicamente de duas maneiras:

herança e associação. A herança representa uma classe derivada de uma classe

base, onde aquela recebe todos os atributos e métodos dessa. Esta relação é repre-

sentada, no diagrama de classes, por uma linha conectando duas classes, com uma

178

seta no lado da classe base. As associações são mecanismos que permitem objetos

comunicarem-se entre si e são representadas por linhas conectando as classes en-

volvidas no relacionamento podendo também exibir a regra e a multiplicidade de cada

um dos participantes.

Existem dois tipos de associação: a agregação e a composição. Na agregação

uma das classes têm uma referência direta a outra, sendo representada por um rom-

bóide na lado da classe agregadora. A composição é um tipo mais forte de agregação,

onde a classe agregada é armazenada dentro da classe agregadora. Este relaciona-

mento é representado por um rombóide sólido no lado da classe agregadora.

A seguir serão apresentados os diagramas de classe de cada um dos seis pacotes

apresentados na Fig. 62 utilizando-se esses conceitos de relacionamento.

B.2.1 Pacote de Fluido (Fluid Package)

O pacote de fluido possui todos os cálculos termodinâmicos necessários para ob-

ter as propriedades físicas de um fluido a partir de uma equação de estado. O dia-

grama de classes desse pacote está apresentado na Fig. 63, onde a classe Fluid é

utilizada como uma interface para acessar as propriedades termodinâmicas do fluido.

Esta classe é composta por duas outras: a PhaseEquilibria responsável por calcu-

lar o equilíbrio termodinâmico, tendo como principal herdeira a classe PhaseEquili-

bria_SS que realiza esse cálculo utilizando o método de substituição sucessiva; e a

PhaseMixture capaz de calcular o coeficiente de tensão interfacial, utilizando a classe

SuperficialTension, e possuindo um conjunto de classes Phase, que representa uma

fase.

A classe Phase calcula a viscosidade da fase utilizando-se a classe Viscosity e

o coeficiente de condução térmica utilizando-se a classe ThermalConductivity. Es-

tas duas propriedades podem ser calculadas utilizando-se um modelo constante ou

o modelo JST, conforme as Seções A.3.5 e A.3.7. Para a fase água será utilizada a

classe Phase_H2O; e para as demais a classe Phase_EOS que utiliza uma equação

de estado, podendo ser a do gás ideal (Phase_IG) ou a de Peng e Robinson (1978)

(Phase_PR). Cada fase é composta por um conjunto de componentes dependentes

da equação de estado adotada.

O cálculo do número de Parachor necessário para calcular a tensão superficial

entre as fases e a entalpia do gás ideal estão armazenadas nas classes Parachor e

EnthalpyIG, respectivamente, conforme a Fig. 63.

179

B.2.2 Pacote de Poço (Well Package)

Um poço de petróleo é representado, no diagrama de classes da Fig. 64, pela

classe GridWell, sendo composta por um gerenciador das condições de contorno

(BoundaryManager ), por um conjunto de segmentos (SegmentWell) e por um con-

junto de células (CellWell). Existem vários tipos de células, cada uma delas utilizadas

dependendo da simulação escolhida. A classe CellWell_PTVX é utilizada para uma

simulação composicional e a célula CellWell_PTVXA é utilizada par um simulação

multifásica. Cada célula possui um apontador para a classe Fluid, que calcula as

propriedades do fluido.

O segmento representa fisicamente um tubo rígido e armazena algumas propri-

edades que as células compartilham como área, diâmetro, inclinação, entre outros.

Cada segmento possui uma classe para o cálculo do fator de atrito (FrictionFactor ) e

outra para o cálculo do fluxo de calor entre o tubo e o meio externo (HeatTransfer ).

B.2.3 Pacote de Discretização (Discretization Package)

O pacote de discretização é responsável por calcular as equações de resíduos, na

forma discreta, que serão utilizadas para construir o sistema linear descrito na Seção

5.2. A Fig. 65 representa o diagrama de classes desse pacote, onde a classe base

(Discretization) é composta por métodos que calculam o resíduo e as derivadas de

uma equação com relação as variáveis do problema. Esta classe possui uma classe

DiffusiveTerm que representa um termo difusivo da equação.

Para cada equação a ser discretizada será criada uma classe herdeira, conforme

a Fig. 65. Dessa forma existem cinco tipos básicos de discretização: da equa-

ção da conservação da massa (Discretization_Mass); da conservação da quantidade

de movimento (Discretization_Momentum); da conservação da energia (Discretiza-

tion_Energy ); do equilíbrio das fases (Discretization_PhaseEquilibrium); e da relação

cinemática (Discretization_Kinematic).

A discretização da conservação da massa pode ser realizada de três formas: para

o componente, para a fase e para a mistura. A discretização da quantidade de movi-

mento e da energia são realizadas para a mistura, sendo a última baseada na entalpia.

Foram implementados dois modelos para a relação cinemática: o homogêneo e o drift-

flux.

180

B.2.4 Pacote de Gerenciamento de Dados da Célula (Cell DataPackage)

Esse pacote foi criado com o intuito de evitar o armazenado excessivo de informa-

ções na célula. Para calcular os resíduos e suas derivadas de uma célula é necessário

apenas a classe CellData, pois essa possui todas as propriedades necessárias para

os cálculos. Isso porque essa classe possui várias funções que atualizam cada con-

junto de propriedades como, por exemplo, dados do fluido, cinemáticos ou térmicos.

A classe CellData tem acesso as propriedades da célula através da classe GridWell e

obtém as propriedades do fluido através da classe Fluid.

Existem vários tipos de CellData, cada uma delas específicas para o conjunto de

equações discretizadas. A letra “M” representa a conservação da massa; a “P”, a

conservação da quantidade de movimento; a “E”, a conservação da energia; a “X”, a

conservação da massa do componente; e a “A”, as equações de equilíbrio termodinâ-

mico e relações cinemáticas entre as fases.

B.2.5 Pacote de Solver (NR System Package)

O pacote de Solver é responsável por resolver o sistema linear gerado pelo mé-

todo de Newton-Raphson. A principal classe desse pacote é NR_System composta

por um conjunto de discretizações (classes Discretization) e por uma classe externa

(SparseSolver ) capaz de inverter uma matriz esparça utilizando o conjunto de rotinas

do pacote UMFPACK.

Os principais métodos da classe NR_System são as funções que constroem e

resolvem o sistema linear e as que atualizam as variáveis armazenadas nas células.

A fim de otimizar esses métodos, foram criadas uma classe para cada tipo de escoa-

mento, onde Single_Phase representa um escomento monofásico; SP_Compositional,

um monfásico composiconal; MP_Imiscible, um multifásico imiscível; e MP_Miscible,

um multifásico miscível.

B.2.6 Pacote Principal (Main Package)

O pacote principal do código é composto pelas classes WellSimulator e PlotData.

Este último é responsável por gerar e atualizar os gráficos da simulação durante a

execução do programa. A classe WellSimulator é a principal interface do programa

com o usuário, sendo capaz de importar, executar e exportar os dados da simulação.

181

Fluid_Package

Co

mp

on

ent

Co

mp

on

entM

ixtu

re

Ph

ase

En

thal

pyI

G

Par

ach

or

Ph

aseM

ixtu

re

Su

rfac

eTen

sio

nT

her

mal

Co

nd

uct

ivit

y

Vis

cosi

ty

Ph

aseE

qu

ilib

ria

NR_Sytem_Package

Flu

id

NR

_Sys

tem

Discretization_Package

Dis

cret

izat

ion

_Ph

aseE

qu

ilib

riu

m

Well_Package

Hea

tTra

nsf

er

Seg

men

tWel

l

Fri

ctio

nF

acto

r

Cell_Data_Package

Cel

l_D

ata

Main_Package

Wel

lSim

ula

tor

Plo

tDat

a

Dis

cret

izat

ion

_Mas

sD

iscr

etiz

atio

n_M

om

entu

m

Dis

cret

izat

ion

_En

erg

y

Gri

dW

ell

Cel

lWel

l

Bo

un

dar

yMan

ager

Dis

cret

izat

ion

_Kin

emat

ic

Figura 62: Diagrama de pacotes do simulador.

182

Ph

aseM

ixtu

re

1-1

Co

mp

on

ent

Vis

cosi

ty

+mu(p,T,X=[[1]],ap=[1])

Ph

ase_

PR

-state

+A(p,T,Xp)

+B(p,T,Xp)

Co

mp

on

ent_

PR

1976

+a(T)

+b()

Co

mp

on

entM

ixtu

re-Nc

Th

erm

alC

on

du

ctiv

ity

+k(p,T,X=[[1]],ap=[1])

Co

mp

on

entM

ixtu

re_V

W-delta_bin

+am(T,Xp)

+bm(Xp)

Ph

ase_

IG

Flu

id

+rho(p,T,X=[[1]],ap=[1])

+Xi(p,T,X=[[1]],ap=[1])

+h(p,T,X=[[1]],ap=[1])

+mu(p,T,X=[[1]],ap=[1])

+k(p,T,X=[[1]],ap=[1])

+vol2mol_fraction()

+mol2vol_fraction()

Ph

ase_

EO

S

+Mp(Xp)

+fug(p,T,Xp,comp_i)

Ph

aseE

qu

ilib

ria

+WilsonsCorrelation()

+Wilson_Init_Guess(p,T,X:*,ap_m:*,Z)

+Flash_2ph(p,T,X:*,ap_m:*)

+Stability_1ph(p,T,X:*,ap_m:*,ph_test)

Su

rfac

eTen

sio

n

+SFT(p,T,X=[[1]],ap=[1],fluid:*)

1-1

Co

mp

on

ent_

CE

OS

-Tc

-Pc

-vc

-omega

En

thal

pyI

G

+Cp(p,T)

+h0(p,T)

h_P

olin

om

ial

-h_coef = []

1-1

Par

ach

or

+Parachor()

1-1

Par

ach

or_

Fir

oo

zab

adi1

988

Par

ach

or_

Co

nst

Co

mp

on

ent_

PR

1978

Co

mp

on

entM

ixtu

re_C

EO

S

Ph

aseE

qu

ilib

ria_

SS

Vis

cosi

ty_J

ST

Vis

cosi

ty_C

on

st

Th

erm

alC

on

du

ctiv

ity_

Co

nst

Th

erm

alC

on

du

ctiv

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JST

Su

rfac

eTen

sio

n_M

acle

od

Ph

ase_

H2O

-p_ref

-T_ref

-Z_ref

-beta

-kappa

Ph

ase

+Z(p,T,Xp)

+rho(p,T,Xp)

+Xi(p,T,Xp)

+h(p,T,Xp)

1-*

Su

rfac

eTen

sio

n_C

on

st

1-*

1-*

Figura 63: Diagrama de classes do pacode Fluido.

183

Cel

lWel

l-dx

Seg

men

tWel

l-A

-D

-rotation

-roughness

1-*

Cel

lWel

l_P

TV

-p

-T

-v

+phase_indexes()

Cel

lWel

l_P

TV

X-X: [Np,Nc]

1-1

Gri

dW

ell

Cel

lWel

l_P

TV

XA

-ap: [Np]

+global_fraction(c)

+thermo_stability()

Flu

id

Fri

ctio

nF

acto

r

+f(Re)

+df_dRe(Re)

Fri

ctio

n_C

ole

bro

ok

Fri

ctio

n_C

on

stan

t

Fri

ctio

n_B

lasi

us

Hea

tTra

nsf

er

+Qw()

Hea

tTra

nsf

er_C

on

stan

t

1-1

Bo

un

dar

yMan

ager

Bo

un

dar

y_L

eft

Bo

un

dar

y_R

igh

t

Bo

un

dar

y_N

UL

L

Bo

un

dar

y_M

ass_

Flo

w

Bo

un

dar

y_V

elo

city

Bo

un

dar

y_V

olu

met

ric_

Flo

w

Bo

un

dar

y_P

ress

ure

Bo

un

dar

y_N

UL

L

1-1

1-1

1-*

1-*

Hea

tTra

nsf

er_C

om

ple

tio

n

Figura 64: Diagrama de classes do pacote Poço.

184

Dis

cret

izat

ion

_Mo

men

tum

Mas

s_M

ixtu

re

Mas

s_C

om

po

nen

t

Kin

emat

ic_H

om

og

eneo

us

En

erg

y_M

ixtu

re_E

nth

alp

y

Ph

aseE

qu

ilib

riu

m_F

ug

acit

y

Mo

men

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_Mix

ture

En

erg

y_M

ixtu

re

Kin

emat

ic_D

rift

-Flu

x

C0_

Co

effi

cien

tvD

_Co

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t

Dis

cret

izat

ion

_Mas

sD

iscr

etiz

atio

n_E

ner

gy

Dis

cret

izat

ion

_Ph

aseE

qu

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riu

m

Dis

cret

izat

ion

_Kin

emat

ic

Dis

cret

izat

ion

+Residual()

+dR_dp()

+dR_dT()

+dT_dv()

+dR_dX()

+dR_dap()

Dif

fusi

veT

erm

1-1

Mas

s_P

has

e

Figura 65: Diagrama de classes do pacote Discretização.

185

CellData

+Update_Segment_Properties(id_cell)

+Update_Natural_Properties(id_cell)

+Update_Fluid_Properties(id_cell)

+Update_Kinematic_Properties(id_cell)

+Update_Thermal_Properties(id_cell)

+Update_Heat_Exchange_Properties(id_cell)

CellData_MP

CellData_MPE

CellData_MPEX

CellData_MPEXA

GridWell Fluid

Figura 66: Diagrama de classes do pacote de gerenciamento de dados da célula.

SparseSolver

NR_System

+Iterate_t()

+Iterate_NR()

+Solve_System()

+Update_Jacobian()

+Update_Residual()

+Calculate_Error()

+Update_Variables()

+Update_Old_Variables()

1-*1-1

NR_System_Single_Phase

Discretization

+Residual()

+dR_dp()

+dR_dT()

+dT_dv()

+dR_dX()

+dR_dap()

NR_System_Multi_Phase

NR_System_MP_Imiscible NR_System_MP_MiscibleNR_System_SP_Compositional

Figura 67: Diagrama de classes do pacote de Solver.

WellSimulator

+Run()

+Import_Simulation()

+Export_Simulation()

PlotData

+Create_Figures()

+Update_Figures()

Figura 68: Diagrama de classes do pacote principal.

186

APÊNDICE C -- Soluções Analíticas

C.1 Tubo de Choque

As soluções analíticas do tubo de choque apresentadas nesta seção podem ser

encontradas nos trabalhos de Anderson (1982), Stadke (2006) e Kolev (2007). Serão

apresentadas as soluções analíticas para a pressão, a velocidade e a massa especí-

fica de um gás ideal em um tubo de choque, sendo a temperatura obtida através da

equação de estado do gás ideal.

As cinco regiões que surgem após o rompimento da membrana que separa os dois

lados do tubo de choque foram discutidas na Seção 6.1 e estão dispostas na Fig. 69. A

onda de choque se propaga em direção à região de menor pressão com velocidade w

e a sua posição em um instante qualquer é denotado por xA. A superfície de contato

situa-se na posição xB e separa as regiões 2 e 3. A região 4 representa zona de

rarefação ou expansão e está situada entre as posições xC e xD, conforme a Fig. 69.

As propriedades nas regiões 2, 3 e 4 são determinadas a partir das propriedades nas

regiões 1 e 5 e serão discutidas a seguir.


Zona deexpansão

Onda de choque

1 5 4 3 2

Figura 69: Regiões que surgem no comportamento físico de um tubo de choque.

C.1.1 Solução Analítica da Região 2

A pressão atrás da onda de choque, P2, é expressa de forma implícita pela equa-

ção:

187

P5

P1

=P2

P1

1−(γ − 1)

(a1

a5

)(P2

P1− 1)

√2γ[2γ + (γ + 1)

(P2

P1− 1)]− 2γγ−1

, (C.1)

onde γ e vs representam, respectivamente, o coeficiente de expansão adiabática e a

velocidade de propagação do som no fluido, definidos para o gás ideal como:

γ =cP

cP −R(C.2)

e

vs =

√γP

ρ. (C.3)

A massa específica atrás da onda de choque, ρ2, pode ser obtida pela relação:

ρ2

ρ1

=1 + γ+1

γ−1

(P2

P1

)γ+1γ−1

+ P2

P1

. (C.4)

A velocidade da onda de choque, w, é expressa em função da velocidade de pro-

pagação do som na região 1, vs1, como:

w = vs1

√γ + 1

2γ

(P2

P1

− 1

)+ 1, (C.5)

e a velocidade atrás da onda de choque, v2, pode ser escrita em função de w na forma:

v2 = w

(1− ρ1

ρ2

). (C.6)

A posição da frente de onda de choque, xA, é função da velocidade de propagação

da onda de choque, da posição inicial da membrana e do tempo, sendo expressa

como:

xA = x0 + wt. (C.7)

188

C.1.2 Solução Analítica na Região 3

A pressão e a velocidade tanto na frente da superfície de contato, quanto logo

atrás possuem os mesmo valores, ou seja, P3 = P2 e v3 = v2. Já a massa específica,

atrás do contato, pode ser obtida através de relações isentrópicas tal que:

ρ3

ρ5

=

(P3

P5

)1/γ

. (C.8)

A posição do contato, xB, é função da velocidade de propagação do gás atrás da

onda de choque, da posição inicial da membrana e do tempo, sendo expressa como:

xB = x0 + v3t. (C.9)

C.1.3 Solução Analítica na Região 4

A região 4 é a zona de expansão do gás. A velocidade do som nessa região, vs4,

pode ser expressa em função da velocidade do gás, v4, e da velocidade do som na

região 5, vs5, como:

vs4vs5

= 1− γ − 1

2

(v4

vs5

). (C.10)

A equação característica da variação das propriedades no centro da onda de ex-

pansão como função de x e t é dada por:

dx

dt= v4 − vs4. (C.11)

Assim, solucionando-se a equação diferencial ordinária, é possível obter a posição

na onda de expansão em função da velocidade, tal que:

x4 = x0 + (v4 − vs4)t. (C.12)

Substituindo-se a velocidade do som na zona de expansão, vs4, a velocidade do

gás pode ser expressa em função da posição x4 como:

v4(x4) =2

γ + 1

(vs4 +

x4

t

). (C.13)

189

A partir da velocidade do gás, v4, é possível calcular a pressão e a massa especí-

fica na zona de rarefação usando-se as seguintes equações:

P4

P5

=

[1− γ − 1

2

(v4

vs5

)] 2γγ−1

(C.14)

e

ρ4

ρ5

=

[1− γ − 1

2

(v4

vs5

)] 2γ−1

. (C.15)

Os limites da região de expansão são dados pelas posições xC e xD. A frente de

onda de rarefação se propaga na velocidade do som, a4, dessa forma a posição dessa

frente de onda é dada por:

xD = x0 − vs4t. (C.16)

No início da zona de rarefação, a velocidade do gás é igual a velocidade na região

3. Dessa forma, utilizando-se a Eq. (C.12), tem-se:

xC = x0 + (v3 − vs)t. (C.17)

C.2 Simulação Vertical Isotérmica

Pan et al. (2011) deduziram uma solução analítica para determinar a pressão,

velocidades e frações volumétricas de um escoamento vertical isotérmico ascendente

para cada posição do domínio em função do parâmetro de distribuição e da velocidade

de deslizamento, a partir da equação de conservação da quantidade de movimento da

mistura. A mesma solução será deduzida utilizando-se a Eq. (2.64), dada por:

∂

∂t

(∑p

αpρpvp

)+∇ ·

(∑p

αpρpvpvp

)= −∇P +∇ · τm +

∑p

αpρpg. (C.18)

Como hipótese simplificadora será adimitido o regime permanente e será utilizada

a modelagem de Darcy-Weisbach para a derivada do termo de tensão viscosa. Assim,

a equação da conservação da quantidade de movimento unidimensional pode ser

reescrita por:

190

∂

∂z

[∑p

(αpρpv

2p

)]= −∂P

∂z− 1

2

f

Dρmvm |vm| − ρmg sen(θ). (C.19)

Seja Y uma função definida por:

Y (P, T ) =∑p

(αpρpv

2p

), (C.20)

então a Eq. (C.18) pode ser reescrita por:

∂Y

∂z+∂P

∂z= −1

2

f

Dρmvm |vm| − ρmg sen(θ). (C.21)

Sabemos que, como a função Y depende tanto da pressão quanto da temperatura,

a derivada de Y com relação a profundidade é dada por:

∂Y

∂z=∂Y

∂P

∂P

∂z+∂Y

∂T

∂T

∂z. (C.22)

Assim, substituindo-se a Eq. (C.22) na Eq. (C.21), tem-se a seguinte relação:

∂z

∂P=

−(∂Y∂P

+ 1)

12fDρmvm |vm|+ ρmg sen(θ) + ∂Y

∂T∂T∂z

. (C.23)

Considerando-se que o perfil de temperatura não varia em todo o domínio da si-

mulação (processo isotérmico) e utilizando-se a definição da função Y , Eq. (C.20),

tem-se:

z(P ) = z0 −∫ P

P0

(∑p αp

∂ρp∂Pv2p + 1

)dP

12fDρmvm |vm|+ ρmg sen(θ)

, (C.24)

onde P0 representa a pressão na posição de referência, z0.

Seguindo-se a ideia do trabalho de Pan et al. (2011), o procedimento para obter as

soluções analíticas da pressão, velocidade e fração volumétrica em função da posição

é dado por:

1.A partir de um conjunto de valores de pressão, começando em P0, calcula-se as

respectivas massas específicas da fase líquida e gasosa, e a derivada destas

com relação a pressão, utilizando-se uma equação de estado;

2.Para obter a solução analítica é necessário informar a vazão mássica de cada

191

fase, mp. Com essa informação, calcula-se a velocidade volumétrica da mistura

pela seguinte equação:

j =∑p

αpvp =1

A

∑p

αpvpρpA

ρp=

1

A

∑p

mp

ρp; (C.25)

3.Calcula-se a velocidade de gás, utilizando-se o modelo drift-flux, conhecendo-se

o parâmetro de distribuição, C0, e a velocidade de deslizamento, vD:

vg = C0j + vD; (C.26)

4.Calcula-se a fração volumétrica de gás:

αg =qmgAρgvg

; (C.27)

5.Calcula-se a fração volumétrica de líquido:

αl = 1− αg; (C.28)

6.Calcula-se a velocidade de líquido:

vl =qmlAρlvl

; (C.29)

7.Calcula-se a massa específica da mistura, ρm, a velocidade da mistura, vm, e o

fator de atrito, f , conforme a Seção 5.1.3.3;

8.Calcula-se a posição z referente a cada pressão P , utilizando-se a Eq. (C.24).

C.3 Simulação Vertical com Troca de Calor

Alves et al. (1992) e Hasan e Kabir (1994) deduziram uma solução analítica para

determinar o perfil de temperatura de um poço vertical de petróleo produzindo uma

mistura de água, óleo e gás em regime permanente, utilizando o modelo black-oil.

Analogamente a estes trabalhos, a partir da equação de conservação da energia da

mistura, dada por:

192

∂

∂t

[∑p

(αpξphp +

1

2αpρpv

2p

)]+∇·

∑p

[αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)vp

]=∂P

∂t−∇·

(Qm + QT

m

)+∇ ·

[∑p

(αpτp · vp)

]+∑p

(αpρpvp · g)− qw (C.30)

A solução analítica será deduzida adimitindo-se com hipótese simplificadora o re-

gime permanente de um escoamento unidimensional sem deslizamento entre as fa-

ses, ou seja, todas as fases possuem a mesma velocidade, vm. Além disso será des-

prezado o trabalho realizado por condução, pelo tensor de tensões viscosas e pelas

flutuações da velocidade. Assim, a equação da conservação da energia unidimensio-

nal pode ser reescrita na forma:

d

dz

[vm∑p

(αpξphp)

]+

1

2

d

dz

[v3m

∑p

(αpρp)

]= −

∑p

(αpρp) vmg senθ − qw. (C.31)

Definindo-se a massa específica, a entalpia e a massa específica molar da mistura

por:

ρm =∑p

(αpρp) , (C.32)

hm =

∑p (αpξphp)

ξm(C.33)

e

ξm =∑p

(αpξp) =ρmMm

, (C.34)

e utilizando-se a definição de fluxo de calor por unidade de volume, qw, conforme a

Eq. (4.34),

qw =Qw

A∆z=

2πrtoUt(T − Te)A

, (C.35)

é possivel reescrever a equação de conservação da energia como:

193

1

Mm

d

dz[(ρmvmA)hm] +

1

2

d

dz

[(ρmvmA) v2

m

]= − (ρmvmA) g senθ − 2πrtoUt(T − Te).

(C.36)

Com o regime permanente já estabelecido, a vazão mássica, m = ρmvmA, não

depende da posição e a equação diferencial pode ser reescrita por:

1

Mm

dhmdz

+ vmdvmdz

= −g senθ − 2πrtoUt(T − Te)m

(C.37)

Para expressar a variação da entalpia na forma diferencial, será utilizada a defini-

ção que considera os efeitos da temperatura e da pressão separadamente. De acordo

com Sandler (2006), essa relação é dada por:

dhm =

(∂hm∂T

)P

dT +

(∂hm∂P

)T

dP

= CmdT − CmηmdP, (C.38)

onde Cm representa a capacidade calorífica molar da mistura e ηm representa um res-

friamento (ou aquecimento) isentálpico por expansão e é conhecido como coeficiente

de Joule-Thomson. O cálculo destas duas propriedades é discutido no Apêndice A.

Substituindo-se a definição de variação da entalpia molar na Eq. (C.37) e utilizando-

se a definção de capacidade calorífica mássica, cm, tem-se:

cm

(dT

dz− ηm

dP

dz

)= −vm

dvmdz− g senθ − 2πrtoUt(T − Te)

m. (C.39)

Assim, a solução analítica do problema resume-se ao seguinte problema de valor

inicial:

dTdz

= − 1Λ

(T − Te) + Φ

T (z0) = T0

, (C.40)

onde T0 representa a temperatura conhecida na posição z0 e Te representa a tempera-

tura da formação geológica e pode ser expressa em função do gradiente geotérmido,

194

gT , como:

Te = T0 − gT (z − z0) senθ. (C.41)

Os parâmetros Λ e Φ são definidos por:

Λ =cmm

2πrtoUt(C.42)

e

Φ = ηmdP

dz− 1

cm

(vmdvmdz

+ g senθ

). (C.43)

Caso não haja transferência de calor entre o fluido e as redondezas, ou seja,

Ut = 0, a temperatura é dada por:

T (z) = T0 + (z − z0)Φ. (C.44)

Quando Ut 6= 0, a equação diferencial pode ser reescrita por:

ΛdT

dz+ T = Az +B, (C.45)

tal que os coeficientes A e B são definidos, respectivamente, por:

A = −gT senθ (C.46)

B = T0 + gT z0 senθ + ΛΦ. (C.47)

Multiplicando-se a equação diferencial pelo fator integrante µ(z) = ez/Λ, tem-se:

d

dz

(Λez/ΛT

)= ez/Λ (Az +B) . (C.48)

Integrando-se a equação conhecendo-se a temperatura na profundidade de refe-

rência, T (z0) = T0, tem-se:

195

(ez/ΛT − ez0/ΛT0

)=

1

Λ

∫ z

z0

ez/Λ (Az +B) dz′. (C.49)

Resolvendo-se a integral do lado direito da equação, obtem-se:

T = −ΛA+ Az +B + (T0 + ΛA− Az0 −B) e(z0−z)/Λ. (C.50)

Assim a temperatura em função da profundidade, considerando a troca de calor

entre o fluido e as redondezas, em função da posição é dado por:

T (z) = [T0 + gT (z − z0) senθ] + Λ (gT senθ + Φ)(1− e−(z−z0)/Λ

), (C.51)

onde Φ é calculado conhecendo-se os gradientes de pressão e velocidade em cada

ponto do domínio. Estas informações são obtidas a partir dos resultados da simulação

numérica.

196

APÊNDICE D -- Condições de Contorno

A fim de utilizar as mesmas equações tanto para o interior do domínio quanto para

a região próxima às fronteiras, será utilizado o conceito de célula virtual ou fictícia.

Dessa forma, as células próximas aos contornos terão tantos vizinhos quanto as célu-

las no interior do domínio. Neste apêndice serão apresentadas as células virtuais e a

metodologia para especificar as propriedades nessas, de forma que as condições de

contorno sejam satisfeitas.

D.1 Células Virtuais à Esquerda

A condição de contorno de uma propriedade pode ser de dois tipos: conhecida ou

desconhecida na fronteira. Na primeira, utiliza-se a condição de contorno de Dirichlet,

na qual alguma informação da propriedade é especificada. Já na última, a proprie-

dade será estimada considerando-se uma condição de contorno numérica ou fictícia.

Neste trabalho, considerou-se a derivada segunda da propriedade com relação ao es-

paço nula. Dessa forma, a propriedade na célula fantasma varia de acordo com o

comportamento do escoamento no interior do domínio.

A Fig. 70 ilustra da direita pra esquerda a célula fantasma, cuja propriedade esca-

lar, armazenada no centro do volume, é denotada por φ0, e as duas primeiras células

do domínio (φ1 e φ2). Note que as dimensões da célula virtual são as mesmas da

primeira célula do domínio. Os parâmetros a e b representam a distância entre centros

da primeiras duas células e a fronteira à direita, tais que:

a = ∆z12

b = ∆z1 + ∆z22

. (D.1)

Denotando-se a propriedade escalar na fronteira por φ∗1/2, as propriedades avalia-

das no centro da célula fantasma, φ0, e nas duas primeiras células, φ1 e φ2, podem ser

197

Figura 70: Condição de contorno à esquerda para as propriedades escalares.

aproximadas realizando-se três expansões em séries de Taylor ao redor da fronteira,

tal que:

φ0 = φ∗1/2 − a

∂φ∂z

+ a2

2!∂2φ∂z2 − a3

3!∂3φ∂z3 + ...

φ1 = φ∗1/2 + a∂φ∂z

+ a2

2!∂2φ∂z2 + a3

3!∂3φ∂z3 + ...

φ2 = φ∗1/2 + b∂φ∂z

+ b2

2!∂2φ∂z2 + b3

3!∂3φ∂z3 + ...

. (D.2)

Assim, somando-se as duas primeiras equações do sistema (D.2), para uma con-

dição de contorno com valor especificado na fronteira à esquerda, a propriedade ava-

liada no centro da célula virtual é obtida por:

φ0 = 2φ∗1/2 − φ1. (D.3)

Manipulando-se as equações do sistema (D.2), obtém-se a seguinte relação:

φ0 =

(1 +

2a

b− a

)φ1 −

2a

(b− a)φ2 + a(b+ a)

∂2φ

∂z2+ ... . (D.4)

Assim, para uma condição de contorno com derivada segunda nula na fronteira,

utilizando-se a Eq. (D.1), o valor da propriedade φ avaliada no centro da célula virtual

é dado por:

φ0 =

(1 +

2∆z1

∆z1 + ∆z2

)φ1 −

2∆z1

∆z1 + ∆z2

φ2. (D.5)

Com relação as propriedades vetoriais, quando a velocidade na fronteira esquerda

é desconhecida, será utilizada uma condição de derivada segunda nula. Assim, de

forma análoga ao sistema (D.2), as velocidades nas faces direita das duas primeiras

células podem ser aproximadas em função de séries de Taylor como:

198

v3/2 = v1/2 + a∂v∂z

+ a2 ∂2v∂z2 + ...

v5/2 = v1/2 + b∂v∂z

+ b2 ∂2v∂z2 + ...

, (D.6)

onde as derivadas são avaliadas na fronteira e os parâmetros a e b, conforme a Fig.

71, são definidos por:

Figura 71: Condição de contorno à esquerda para as propriedades vetoriais.

a = ∆z1

b = ∆z1 + ∆z2

. (D.7)

Assim, a velocidade avaliada na fronteira da célula virtual é dada como:

v1/2 =b

(b− a)v3/2 −

a

(b− a)v5/2 + ab

∂2v

∂z2+ ... . (D.8)

Substituindo-se a Eq. (D.7), quando a segunda derivada é nula na fronteira, essa

velocidade pode ser aproximada por:

v1/2 =

(1 +

∆z1

∆z2

)v3/2 −

∆z1

∆z2

v5/2. (D.9)

Note que na fronteira à esquerda, Fig. 73, existem duas células virtuais que serão

admitidas idênticas, ou seja, v−1/2 = v1/2. Esta consideração é necessária devido a

discretização da conservação da energia na primeira célula que necessita da veloci-

dade avaliada no centro da primeira célula virtual. Dessa forma, o interpolação entre

as velocidades v−1/2 e v1/2 será igual a v1/2.

199

D.2 Células Virtuais à Direita

A célula virtual à direita e as duas últimas células do domínio estão ilustradas

na Fig. 72. As dimensões da célula fantasma são as mesmas da última célula do

domínio e os parâmetros a e b representam a distância entre os centros das últimas

duas células e a fronteira, tais que:

Figura 72: Condição de contorno à direita para as propriedades escalares.

a = −∆zn2

b = −∆zn − ∆zn−1

2

. (D.10)

Analogamente às Eqs. (D.3) e (D.4), a propriedade avaliada no centro da célula

fantasma pode ser determinada realizando-se algumas expansões em séries de Taylor

ao redor da fronteira, tal que:

φn+1 = 2φ∗n+1/2 − φn+2, (D.11)

φn+1 =

(1 +

2a

b− a

)φn −

2a

(b− a)φn−1 + a(b+ a)

∂2φ

∂z2. (D.12)

A Eq. (D.11) é utilizada para uma condição de contorno cuja propriedade escalar

é especificada a fronteira. Já a Eq. (D.13) pode ser reescrita, para uma condição de

contorno com derivada segunda nula na fronteira, utilizando-se a Eq. (D.10), por:

φn+1 =

(1 +

2∆zn∆zn + ∆zn−1

)φn −

(2∆zn

∆zn + ∆zn−1

)φn−1. (D.13)

Com relação as propriedades vetoriais, quando a velocidade na fronteira direita

é desconhecida, será utilizada uma condição de derivada segunda nula. Assim, de

200

forma análoga ao sistema (D.6), as velocidades nas faces direita da penúltima célula

e da célula fantasma podem ser aproximadas em função de séries de Taylor por:

vn+3/2 = vn+1/2 + a∂v∂z

+ a2

2!∂2v∂z2 + ...

vn−1/2 = vn+1/2 − a∂v∂z + a2

2!∂2v∂z2 − ...

, (D.14)

onde as derivadas são avaliadas na fronteira e o parâmetro a, conforme a Fig. 73, é

definido por:

Figura 73: Condição de contorno à direita para as propriedades vetoriais.

a = ∆zn. (D.15)

Note que a fronteira à direita, Fig. 73, possui duas células virtuais idênticas, ou

seja, φn+1 = φn+2 e vn+3/2 = vn+5/2. Isso ocorre porque a velocidade avaliada na

última célula, vn+1/2, é uma variável do sistema e, por isso, é necessário discretizar a

equação de conservação da quantidade de movimento na fronteira. Assim, como essa

discretização necessita do conhecimento das propriedades de duas células à frente,

surge a necessidade da utilização de duas células virtuais.

Manipulando-se as equações do sistema (D.14), tem-se

vn+3/2 = 2vn+1/2 − vn−1/2 + a2∂2v

∂z2. (D.16)

Porém, quando a segunda derivada é nula na fronteira, essa velocidade pode ser

aproximada por:

vn+3/2 = 2vn+1/2 − vn−1/2. (D.17)