Multivix - Mecânica dos fluidos parte2

1 2014 Prof. MSc, Wander Cardoso [email protected]

MECÂNICA DOS FLUÍDOS

A pressão aplicada num ponto de um fluído em repouso

transmite-se integralmente a todos os pontos do fluído.

LEI DE PASCAL



Na “figura a” o fluido apresenta uma superficie livre à atmosfera e

as pressões hipotéticas são:

P1 = 1N/cm2 // P2 = 2N/cm2

P3 = 3N/cm2 // P4 = 4N/cm2

LEI DE PASCAL



Na “figura b” ao aplicar uma força de 100N, tem-se um acréscimo de

pressão igual a:

[A]

[F][P]

25

100[P]

cm

N 2/20 cmNP

LEI DE PASCAL



LEI DE PASCAL

Na “figura b” as pressões nos pontos indicados deverão ter portanto:

P1 = 21N/cm2 // P2 = 22N/cm2

P3 = 23N/cm2 // P4 = 24N/cm2



LEI DE PASCAL

Torna-se evidente, então, o significado da lei de pascal que apresenta a

sua maior importancia em problemas de dispositivos que transmitam e

ampliam uma força atráves da pressão aplicada num fluído.



Calcule a força de pressão no ponto 2 da prensa hidráulica esquematica

que possua 2 embolos com áreas A1 = 10cm2 e A2 = 100 cm2 ao ser

aplicado uma força de 200N no ponto.

LEI DE PASCAL Exercicio



Sabemos que a pressão transmitida pelo embolo (1) é

LEI DE PASCAL Exercicio

1

1

1

A

FP

Mas pela lei de pascal ela será transmitida integralmente

ao embolo (2), então: P1 = P2

Logo: P2A2 = P1A2 = F2 Como: P1 = 20N/cm2

Então: F2 = 20 x 100 = 2.000 N

P1 = 20N/cm2



Podemos notar que por meio deste dispositivo, não só é possivel transmitir

uma força, como também ampliá-la. Este é o principio das prensa

hidráulicas, dispositivos de controle e freios.

LEI DE PASCAL

P1 = 20N/cm2



É a expressão que por meio de um manometro determinar a pressão de

um reservatório ou a diferença de pressão entre eles.

Pela lei de pascal a pressão de transmite integralmente a todos os pontos

do fluído e pelo teorema de Stevin temos:

EQUAÇÃO MANOMÉTRICA



Pressão no fundo esquerdo:

221 .hγ)h(hγPP maafe


Pressão no fundo direito:

334 .hγ)h(hγPP mbbfd



Pressão no fundo esquerdo:

221 .hγ)h(hγPP maafe


Pressão no fundo direito:

334 .hγ)h(hγPP mbbfd

Então:

334221 .hγ)h(hγP.hγ)h(hγP mbbmaa

Logo:

221334 .hγ)h(hγ.hγ)h(hγPP mambba



ba PhγhγhγhγhγhγP 665544332211 ......

Calcule a pressão no ponto b:



Calcule a pressão manométrica na escala efetiva

Pressão efetiva = 0 atm

Calcule a força de pressão no topo do reservatório



Calculando a pressão manométrica na escala efetiva

Dado: 1 atm = 1,01325 × 105 Pa

Peso especifico do ar = 12,7 N/m3

Na escala efetiva Patm = 0. Então temos:

030.... 222 LsenγhγhγhγP OHOHOHóleoóleoararm

0306,0100002,0100001,0800008,07,12 xsenxxxxPm

030002000800016,1 mP

2N/m 199mP



Calculando a força de pressão no topo do reservatório

AxPF mm 01 199 xFm NFm 1990



Na figura são mostrados dois cilindros mostrados em série. qual a força de

pressão F1 necessária para manter o equilíbrio se P1 = 70Kgf/cm2?

A1 = 60 cm2; A2 = 20 cm2; A3 = 40cm2 ; F2 = 1400kgf,

0F 0121 PFF

Calculando a força de pressão exercicida no cilindro superior pelo cilindro

inferior

1

2

1'P

A

F

1400'

2070'

1

1

F

xF

14001400

'

1

211

F

FFF



Se um fluído está em repouso, por definição, não podem existir forças

tangenciais agindo nele, portanto, todas as forças serão normais a

superficie submersa.

FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA



O fluido exerce uma força perpendicular nas superfícies submersas

quando está em repouso, devido a ausência de tensões de

cisalhamento, e a pressão varia linearmente com a profundidade se o

fluido for incompressível.


O módulo da força resultante sobre

a superfície inferior do tanque do

líquido é:



O fluido exerce uma força perpendicular nas superfícies submersas

quando está em repouso, devido a ausência de tensões de

cisalhamento, e a pressão varia linearmente com a profundidade se o

fluido for incompressível.


O módulo da força resultante sobre

a superfície inferior do tanque do

líquido é:

p = pressão da superfície inferior

A = área da superfície



Se a pressão atmosférica atuar na superfície livre do fluido e na superfície

inferior do tanque a força resultante na superfície inferior é devido

somente ao líquido contido no tanque, porque as pressão atmosférica se

anulam, já que são iguais mais sentidos inversos.


A força resultante atua no

centróide da área da superfície

inferior porque a pressão é

constante e está distribuída

uniformemente nesta superfície.



A força que atua em dA (área diferencial localizada a uma profundidade

h) é:


dAhdF ..

γ = peso especifico do fluido // h = altura

CP = Centro de pressão // CG = Centro de gravidade

dA = Área diferencial // dF = Força diferencial



Segundo a lei de Stevin, neste caso, a pressão varia de ponto a ponto,

portanto não é possivel obter diretamente a força através da expressão.

F = pxA


Portanto a força de pressão será a somatória dos produtos de áreas pelas

pressões elementares, ou seja, no elemento de área dA no qual a pressão

é constante, temos:

Portanto a força de pressão será a somatória dos produtos de áreas pelas

pressões elementares, ou seja:

dA = x.dy // P = y.h // h = Y.senθ




Como: P = Y.h // h = Y.senθ Temos então:

dApdF .

dAhdF ..

dAsenYdF )...(

dAsenYdF )...(

dAYsenF ..




dAYsenF ..

dAY .Momento de primeira ordem área em relação

ao eixo X. Portanto, pode-se escrever:

AYdAY c ..

y é a coordenada y do centróide medido a

partir do eixo X que passa através de O.




dAYsenF ..

A.YdA.γ

.AYγ.senθ.F

Logo:

AhAYsenF .....




dAYsenF ..

.AYγ.dA

AsenF .Y..

Logo:

AhAYsenF .....




Como todas forças diferenciais que compõem Fr são perpendiculares a

superfície, a resultante destas forças também será perpendicular a

superfície.

Apesar de nossa intuição sugerir que a linha de ação da força resultante

deveria passar através do centróide da área (centro de gravidade) este

não é o caso.




O centro de pressão (CP) é o ponto de aplicação da força resultante

das pressões sobre uma área (dA).

Analisando a figura a partir o eixo (Ox) a força de pressão elementar é

na superficie submersa é dada por:




dApdF .

dAsenYdF )...( Já desenvolvemos essa relação

O momento da força de pressão é o produto da força pela distancia do

eixo do centro de pressão

YdAsenYdFY ).)...((.

dAsenYdFY .... 2




Admitindo que a resultante das forças de pressão for F e a distancia do

ponto de aplicação ao eixo Ox for Ycp tem-se, integrando a equação:

YdAsenYdFY ).)...((.

dAsenYdFY .... 2

dAsenYdFYcp .... 2

.dAY.. 2 senFYcp



FORÇAS EM UMA SUPERFICIE PLANA SUBMERSA Momento de inércia de área

Relembrando:

dAY .Momento de primeira ordem área em relação

ao eixo X. Portanto, pode-se escrever:

Então:

.dAY.. 2 senFYcp

.dAY2Momento de segunda ordem área em relação

ao eixo X.




Então:

.dAY2 Momento de segunda ordem área em relação

ao eixo X.

O momento de inércia de segunda ordem área é uma propriedade

geométrica da seção transversal de elementos estruturais. Esta expressão

está os associada a forças aplicadas na área que variam linearmente

com a distância.

Normalmente aparece nas tabelas de seções em mm2 ou cm2




Como:

.dAY2 Momento de segunda ordem área em relação

ao eixo X.

Então:

.dAY2I




Então:

.dAY.. 2 senFYcp

IsenFYcp ...

Como:

.dAY2I

Teremos:




IsenFYcp ...

Teremos:

Relembrando: Para que serve esta equação?

AhAYsenF .....

Resposta: Calcular a força exercida no centro de gravida da superficie

plana submersa




IsenFYcp ...

Teremos:

Relembrando: Para que serve esta equação?

AhAYsenF .....

Resposta: Calcular a força exercida no centro de gravida da superficie

plana submersa




IsenFYcp ...

Porém a força resultante não está localizada no centro de gravidade e

sim no centro de pressão

Dividindo uma equação pela outra temos então:

AYsenF ...

Força exercida no centro de gravidade

Força exercida no centro de pressão

AYsen

Isen

F

FYcp

...

...




Dividindo uma equação pela outra temos então:

AYsen

Isen

F

FYcp

...

...

AY

IYcp

.




Pelo teorema de eixos paralelos (Propriedade do momento de inércia)

AY

IYcp

.

AYII CG .2

Substituindo as equações teremos:

AY

YIY

CG

cp

.

2

AY

AY

AY

IY

CG

cp

..

2

AY

IYY

CG

cp

.




AY

YIY

CG

cp

.

2

AY

AY

AY

IY

CG

cp

..

2

AY

IYY

CG

cp

.




AY

IYY

CG

cp

.

Até que enfim conseguimos deduzir a

equação para calcular a cota Ycp do

momento de inércia em Y

E qual seria o valor deste momento de inercia em X? como calcular

a cota Xcp?

dApxXcp ..



PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

EMPUXO

Um corpo, quando imerso em água, perde “aparentemente” um pouco

de seu peso, ou seja, é mais fácil levantar um corpo dentro da água do

que fora dela.

Podemos presumir, portanto, que a água exerce uma força sobre o corpo,

de modo a equilibrar o peso resultante. Esta força exercida pelo fluido

sobre o corpo é chamada de empuxo.



Arquimedes enunciou, então, o seguinte princípio:

“Todo corpo imerso em um fluido, está sujeito à ação de uma força

vertical de baixo para cima (empuxo), cujo módulo é igual ao peso da

quantidade de fluido deslocada”.



Analisemos, agora, a influência do peso nas diversas situações:



m = ρV

P = ρc.Vc.g

O líquido deslocado tem um certo peso e o empuxo representa o peso do

líquido deslocado, quando da imersão do corpo.

E = peso líquido deslocado

E = ρLVs .g



Um cilindro de 40 cm de altura está parcialmente imerso em óleo (0,90

g/cm3). A parte do cilindro que está fora do óleo, tem 10 cm de altura.

Calcule a massa específica do cilindro.

Se o corpo flutua, significa que ele está em equilíbrio. Portanto, é válido

escrever que:

E = P

P = ρc.Vc.g

E = ρLVs . g

ρLVs . g = ρc.Vc.g






ρL.Vd = ρc.Vc

Não sabemos o valor de Vc e tampouco

Vd. Todavia, sabemos calcular o volume

de um cilindro que é igual à área da

base, vezes a altura.






Vc = A x H ρL.Vs = μc.Vc

Vs = A x h

ρc = [0,90 x (30/40)]

ρc = ρL x h/H

ρc = 0,675 g/cm3



Um pequeno bloco de alumínio foi erguido por um fio e mergulhado completamente

num reservatório com água, Através de uma balança, a massa medida para o bloco

de alumínio foi de 800g. Determine o valor da tensão no fio de sustentação do bloco

de alumínio antes e após o mesmo ser mergulhado. 33 /107,2 mkgxAl



800 g

De acordo com a figura, ao ser suspenso,

podemos utilizar a segunda lei de Newton, a

qual nos diz que a tensão no fio, chamada de

T1 será igual ao peso (m.g) do bloco de

alumínio.

A tensão no fio antes do bloco de alumínio ser submerso no reservatório de água vale

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1



800 g

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1

Após o bloco ser completamente mergulhado no reservatório com água o bloco de

alumínio sofrerá um empuxo (Fe) para cima exercido pela água, o que acarretará

em uma redução na tensão suportada pelo fio.



800 g

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1

Para calcularmos o empuxo sofrido pelo bloco, precisamos calcular primeiramente o

volume do bloco de alumínio. Assim, temos que:

33 /107,2 mkgxAl

Al

Al

Al

mV



800 g

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1

Para calcularmos o empuxo sofrido pelo bloco, precisamos calcular primeiramente o

volume do bloco de alumínio. Assim, temos que:

33 /107,2 mkgxAl

341096,2 mxVAl



800 g

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1

Agora podemos calcular a força de empuxo (Fe):

33 /107,2 mkgxAl

341096,2 mxVAl

Fe = ρL . Vs . g Fe = 1 x 103 kg/m3. x 2,96x10-4 m3 x 9,81 m/s2



800 g

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1

Agora podemos calcular a força de empuxo (Fe):

33 /107,2 mkgxAl

341096,2 mxVAl

Fe = ρL . Vs . g Fe = 2,9N



800 g

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1

Agora podemos aplicar novamente a segunda lei de Newton para calcular a tensão

no fio após o bloco de alumínio ser completamente submerso.

33 /107,2 mkgxAl

341096,2 mxVAl

Fe = 2,9N



800 g

NT

kgT

mgT

848,7

9,81 8,0

1

x 1

1

T1’ + Fe = mg

33 /107,2 mkgxAl

341096,2 mxVAl

Fe = 2,9N

T1’ + 2,9N = 7,848N

T1’ = 7,848N - 2,9N T1’ = 4,948N



Um cilindro de alumínio com 9 cm de altura e com uma área de base igual a 18

cm2, totalmente submerso em álcool etílico. Calcule o empuxo sofrido por este

cilindro em virtude do fluido existente.

Vcilindro = 18 x 9

Calculo do volume do cilindro

Vcilindro = 162 cm3

Vcilindro = 162 x 10-6 m3

33 /1081,0 mkgxAlcool



Um cilindro de alumínio com 9 cm de altura e com uma área de base igual a 18

cm2, totalmente submerso em álcool etílico. Calcule o empuxo sofrido por este

cilindro em virtude do fluido existente.

Calculo da força de empuxo

33 /1081,0 mkgxAlcool

Fe = ρL . Vs . g

Fe = 0,81 x 103 x 162 x 10-6 x 9,81

Fe = 1,29N



TIPOS DE ESCOAMENTO DE UM FLUIDO

Os escoamentos dos fluidos estão sujeitos a determinadas condições

gerais, princípios e leis da dinâmica e à teoria da turbulência. O

escoamento de um fluido será “não viscoso”, “incompressível”,

“irrotacional”, “estacionário”, “laminar” ou “turbulento”.

Ex.: O movimento da água num rio, a fumaça de uma chaminé, os ventos

são escoamentos de fluidos.



ESCOAMENTO NÃO VISCOSO

A viscosidade é uma espécie de atrito interno ao fluido; há uma resistência ao

deslizamento de uma parte do fluido sobre a outra, que provoca perda de energia

mecânica, a qual é transformada em térmica.

Em certos casos a viscosidade é desejável, como nos óleos lubrificantes. O fluido

ideal tem viscosidade nula.



ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL

O escoamento é dito incompressível quando a massa especifica do fluido não varia

ao longo do percurso e também não varia em relação ao tempo. Com os líquidos,

que são pouco compressíveis, isso é fácil de conseguir, mas os gases é mais difícil,

pois eles são facilmente compressíveis.



ESCOAMENTO IRROTACIONAL

O escoamento é irrotacional quando nenhuma porção do fluido efetua movimento

de rotação em torno do seu centro de massa.



ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO

A velocidade do fluido em qualquer ponto fixo não muda com o tempo. Neste tipo

de escoamento a velocidade de um elemento de volume do fluido pode variar

enquanto ele muda de posição, mas a velocidade do fluido em cada ponto do

espaço permanece constante ao longo do tempo.



ESCOAMENTO LAMINAR

Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de

trajetórias bem definidas. Este escoamento ocorre geralmente a baixas

velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade.



ESCOAMENTO TURBULENTO

Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de trajetórias

bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares, com

movimento aleatório.



NÚMERO DE REYNOLDS

O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado

em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de

determinado fluido sobre uma superfície.

DRe

D

ReNúmero de Reynolds

Massa especifica do fluído

Viscosidade dinamica do fluído

Velocidade do fluído

Diametro para o fluxo no tubo

Costuma-se caracterizar um

fluido com escoamento laminar

com Re < 2100 e escoamento

turbulento com Re > 4000.

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_adimensional



http://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos





http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido



VAZÃO

A vazão de um fluido é a razão entre o volume de fluido escoado em um tempo

e o intervalo de tempo considerado.



VAZÃO



t

VQ

V = volume // t = tempo //Q é a vazão.



A vazão também poderá ser calculada multiplicando-se a velocidade (v) do fluido,

em dada seção do condutor, pela área (A) da seção considerada.

t

VQ A

t

sQ x

t

sv

VELOCIDADE

AvQ x



VAZÃO



t

VQ

É lógico que a equação acima não é verdadeira, pois a velocidade do fluido não é

uniforme ao longo da seção transversal, ou seja, esta equação somente é valida

quando sabemos a velocidade média de escoamento do fluido na seção

transversal.

V = volume // t = tempo //Q é a vazão.

AvQ x

AvQ xm



VAZÃO Adotando um dA no entorno de um ponto

que tenha uma velocidade genérica v,

temos:

dAvdQ .

A

dAvdQ .

AvdAv m

A

..

A

dAvvm .A

1



A

dAvvm .A

1



Uma tubulação de 20 cm2 de área de secção despeja água num reservatório. A

velocidade de saída da água é de 60 cm3/s. Qual a vazão do fluido escoado?

v = 60 cm3/s

A = 20 cm2

Q = Av

Q = 20 x 60

Q = 1.200 cm3/s



VAZÃO EM MASSA

Vazão em Massa é a massa de fluido que escoa através de uma certa seção em um

intervalo de tempo.

t

VQ

A

dAvvm .A

1

Vazão em volume

AvQ xm AvQ xx m

Vazão em massa

AvQ xx m

Vazão em massa



EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE NO REGIME PERMANENTE

Um fluido encontra-se escoando em regime permanente quando a velocidade,

num dado ponto, não varia com o tempo.

Suponhamos, agora, um fluido qualquer escoando em regime permanente no

interior de um tubo de seção variável.



EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE NO REGIME PERMANENTE

A velocidade do fluido no ponto A1 é V1, e

no ponto A2 é V2 .

Vamos admitir que a massa específica do

fluido não varia ponto a ponto no interior

do tubo. Portanto, podemos escrever:

2)2(1)1( AvAv xxxx mm

Admitindo que a massa específica do

fluido varia ponto a ponto no interior do

tubo. podemos escrever:

2)2(21)1(1 AvAv xxxx mm



Um gás escoa em regime permanente em uma tubulação industrial, conforme

dados abaixo. Qual a velocidade do fluido na seção (2)?

A1 = 20 cm2

A2 = 10 cm2

3

1/ 4 mkg

3

2/ 12 mkg

V1 = 30 m/s




dados abaixo. Qual a velocidade média do fluido na seção (2)? A1 = 20 cm2

A2 = 10 cm2

3

1/ 4 mkg

3

2/ 12 mkg

10 1220 30 4 )2( xxxx mv

V1 = 30 m/s

2)2(21)1(1 AvAv xxxx mm





A2 = 10 cm2

3

1/ 4 mkg

3

2/ 12 mkg

10 1220 30 4 )2( xxxx mv

V1 = 30 m/s

30 1020

12

4 )2( xxmv





A2 = 10 cm2

3

1/ 4 mkg

3

2/ 12 mkg

V1 = 30 m/s

m/s20v m(2)10 1220 30 4 )2( xxxx mv



O tubo de Venturi é um dispositivo para medir a velocidade do escoamento e

a vazão de um líquido incompressível através da variação da pressão durante a

passagem deste líquido por um tubo de seção mais larga e depois por outro de

seção mais estreita.

TUBO VENTURI

http://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade

http://pt.wikipedia.org/wiki/Vaz%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido

http://pt.wikipedia.org/wiki/Press%C3%A3o



Determinar a velocidade de um fluido incompressivel se na garganta a área é

5cm2 e na seção de entrada a área é 20cm2 e velocidade de 2 m/s

Area de 5cm2

velocidade de 2 m/s

Area de 20cm2

velocidade ???

Pela equação de continuidade temos:

GGmeem AvAv xx )()( 5 02 2 )( xx Gmv



Determinar a velocidade de um fluido incompressivel se na garganta a área é

5cm2 e na seção de entrada a área é 20cm2 e velocidade de 2 m/s

Area de 5cm2

velocidade de 2 m/s

Area de 20cm2

velocidade ???

Pela equação de continuidade temos:

GGmeem AvAv xx )()( 5

02 2 )( xGmv / 8 )( smv Gm



EQUAÇÃO DE ENERGIA NO REGIME PERMANENTE

ENERGIA POTENCIAL

Trabalho = Força x Deslocamento

W = G.z W = m.g.z W = Ep

Plano Horizontal de referencia




ENERGIA POTENCIAL

Toda particula em moviemnto possui energia potencial

mgzE p




ENERGIA CINÉTICA

2

2mvE C

Toda particula em moviemnto possui energia cinética




ENERGIA DE PRESSÃO

A energia de pressão corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que

atuam no escoamento do fluido

Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo

fluido F=p/A




ENERGIA DE PRESSÃO

A energia de pressão corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que

atuam no escoamento do fluido

Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo

fluido F=p/A

Vprpr

pr

pdVEpdVdE

dEdw

pdVpAdsFdsdw




ENERGIA MECÂNICA TOTAL DE UM FLUÍDO

V

prcp

pdVmv

mgzE

EEEE

2

2



EQUAÇÃO DE BERNOULLI

As hipóteses simplificadas são:

Regime permanente

Sem maquinas no trecho escoado em estudo

Sem perdas por atrito (Fluido ideial)

Seção uniforme

Fluido incompressivel

Sem trocas de calor




a equação de Bernoulli, atribuída a Daniel Bernoulli, descreve o comportamento

de um fluido que se move ao longo de um tubo

Há basicamente duas formulações, uma para fluidos incompressíveis e outra para

fluidos compressíveis.

As hipóteses simplificadas são:

Regime permanente

Sem maquinas no trecho escoado em estudo

Sem perdas por atrito (Fluido ideial)

Seção uniforme

http://pt.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli







Vamos considerar um fluido com densidade ρ constante, em escoamento

estacionário em uma tubulação sem derivações



Sejam duas porções de fluido, ambas com volume V e massa ρV, uma na posição

1 e outra na posição 2. Num referencial fixo na tubulação, as energias dessas duas

porções de fluido são dadas por:

dVpvdm

zgdmE

EEEEprcp

.2

...

2



11

2

11

1112

... dVp

vdmzgdmdE

A energia no ponto 1 é dado por:



22

2

22

2222

... dVp

vdmzgdmdE

A energia no ponto 2 é dado por:



21dEdE

Como a energia no ponto 1 é igual a energia no ponto 2, temos então:



22

2

22

2211

2

11

112

...

2

... dVp

vdmzgdmdVp

vdmzgdm

Como a energia no ponto 1 é igual a energia no ponto 2, temos então:



Como a energia no ponto 1 é

igual a energia no ponto 2,

temos então:

22

2

22

2211

2

11

112

...

2

... dVp

vdmzgdmdVp

vdmzgdm

dmdV

dV

dm



2

2

2

2

22

22

1

1

1

2

11

112

....

2

...

dmp

vdmzgdm

dmp

vdmzgdm

dmdV

dV

dm



2

2

2

2

22

22

1

1

1

2

11

112

....

2

...

dmp

vdmzgdm

dmp

vdmzgdm

Como o fluido é incompressivel ρ1 = ρ2

Como o regime de escoamento é permanente dm1 = dm2



2

2

2

2

22

1

1

2

1

112

...

2..

pvzgdm

pvzgdm

Como o regime de escoamento é

permanente dm1 = dm2

2

2

2

2

22

22

1

1

1

2

11

112

....

2

...

dmp

vdmzgdm

dmp

vdmzgdm



2

2

2

2

2

1

1

2

1

12

..

2.

pvzg

pvzg

Como o regime de escoamento é

permanente dm1 = dm2



2

2

2

2

2

1

1

2

1

12

..

2.

pvzg

pvzg

Para fluidos incompressiveis temos

ρ1 = ρ2, então:

2

2

2

2

1

2

1

12

..

2.

pvzg

pvzg



Para fluidos incompressiveis temos

ρ1 = ρ2, então:

2

2

2

2

1

2

1

12

..

2.

pvzg

pvzg




Dividindo a equação por g, temos:

2

2

2

2

1

2

1

12

..

2.

pvzg

pvzg

g

p

g

v

g

zg

g

p

g

v

g

zg

2

2

221

2

11

2

..

2

.



Dividindo a equação por g, temos:

2

2

2

2

1

2

1

12

..

2.

pvzg

pvzg

g

p

g

vz

g

p

g

vz

2

2

2

2

1

2

1

12

.

2



Já sabemos que:

g

p

g

vz

g

p

g

vz

2

2

2

2

1

2

1

12

.

2

g

2

2

2

2

1

2

1

12

.

2

p

g

vz

p

g

vz



2

2

2

2

1

2

1

12

.

2

p

g

vz

p

g

vz

2

2

2

2

1

2

1

12

..

2.

pvzg

pvzg

EQUAÇÃO DE BERNOULLI (Massa especifica)

EQUAÇÃO DE BERNOULLI (Peso especifico)

EQUAÇÃO DE BERNOULLI Resumo das equações




Vamos analisar o escoamento de um líquido por um orifício na parede do

recipiente conforme mostrado na figura:

Pela lei de Stevin e utilizando os

conceitos da equação de Bernoulli

temos:

2 +

2 + P =

2 + gH + P

2

2

2

2

1

1

ρv + z )

Hg(

ρv






Como o recipente está aberto temos

a pressão atmosférica atuando em

P1 = P2 = Patm

2 +

2 + P =

2 + gH + P

2

2

2

2

1

1

ρv + z )

Hg(

ρv






Como o recipente está aberto temos

a pressão atmosférica atuando em

P1 = P2 = Patm

2 +

2 =

2 + gH

2

2

2

1ρv

+ z )H

g( ρv






Re-escrevendo a equação temos:

22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +






Re-escrevendo a equação temos:

22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +

22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +






Vamos considerar o volume de líquido

dentro do recipiente como sendo muito

grande.

22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +






Assim, o módulo da velocidade com que

a superfície livre do líquido se move para

baixo é muito menor do que o módulo da

velocidade com que o líquido escoa pelo

orifício na parede do recipiente.

22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +






Matematicamente, v1 << v2. Podemos,

então, desprezar v1, ou seja, v1=0

22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +








22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +

22 =

2

2v

+ z ) + H

g( gH Desse modo, a expressão acima fica:








22 =

2

2

2

2

1v

+ z ) + H

g( v

gH +

22 =

2

2v

+ z ) + H

g( gH Desse modo, a expressão acima fica:






Vamos reescrever a equação para encontrar

a velocidade de escoamento no ponto 2

22 =

2

2v

+ z ) + H

g( gH

gH + z ) H

+ g( v

=22

2

2gH+gz

gH+

v =

22

2

2








gH+gz gH

+ v

=22

2

2

gHgz+gHv 222

2 gzgHgHv 22

2

2








gzgHgHv 222

2

gzgHv 22

2

zHgv 22

2 zHgv 2

2






E qual o tempo de escoamento?

2

2

00

gttVSS

Sabemos que o escoamento vertical é MRUV

2

2gtS z

HS

2 22

2gtz

H






22

2gtz

H zHgt 22

zHgt 22 g

zHt

2

em que t representa o intervalo de tempo

que o líquido leva para alcançar o solo. Esse

intervalo de tempo fica dado, então, por:






Qual o valor da cota x?

O movimento do líquido ao longo da

horizontal é um MRU.

tvSS 0

tvS

xS

tvx2

zHgv 2

2

g

zHt

2







zHgv 22

g

zHt

2

tvx2

g

zHxzHgx

2 2

22

g

zHzHgx







2

2

g

zHzHgx

zHzHx 22 22 4zHx



TUBO VENTURI

Vamos considerar que um líquido de massa especifica ρ constante, escoa pela

tubulação em regime estacionário.

Considerando a tubulação na horizontal, a equação de Bernoulli permite

escrever:

22

2

2

2

2

1

1

vP

vP

22

2

1

2

2

21

vvPP

2

1

2

22

vvP



TUBO VENTURI




escrever:

2

1

2

22

vvP

Por outro lado, a equação da continuidade fornece:

2211AVAV

2

1

12A

AVV



TUBO VENTURI




escrever:

2

1

2

22

vvP

2

1

12A

Avv

1

2

2

1

12

vA

AvP

2

1

2

2

12

12

vA

AvP

1

2

2

2

12

1A

AvP



TUBO VENTURI




escrever:

1

2

2

2

12

1A

AvP

1

2

.2

2

1

2

1

A

AvP



TUBO VENTURI



Finalmente a velocidade no ponto 1 é escrita por:

1

2

.2

2

1

2

1

A

AvP

1

22

2

1

2

1

A

A

Pv

1

22

2

1

1

A

A

Pv



ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO.

CÁLCULO DO NÚMERO DE REYNOLDS.



ESCOAMENTO LAMINAR

Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de

trajetórias bem definidas. Este escoamento ocorre geralmente a baixas

velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade.



ESCOAMENTO TURBULENTO

Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de

trajetórias bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias

irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de

quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este

escoamento é comum na água, cuja a viscosidade e relativamente baixa.



VISUALIZAÇÃO DE ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO

EM TUBOS FECHADOS



NÚMERO DE REYNOLDS

O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional

usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento

de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície.

É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de

aviões.



NÚMERO DE REYNOLDS

O seu nome vem de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro irlandês.

O seu significado físico é um quociente entre as forças de inércia e as

forças de viscosidade.



NÚMERO DE REYNOLDS

O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado

em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de

determinado fluido sobre uma superfície.

DRe

D

ReNúmero de Reynolds




Diametro para o fluxo no tubo

Costuma-se caracterizar um

fluido com escoamento laminar

com Re < 2100 e escoamento

turbulento com Re > 4000.












Tabelas de Viscosidade Dinâmica



IMPORTANCIA DO NÚMERO DE REYNOLDS

A importância fundamental do número de Reynolds é a possibilidade de se

avaliar a estabilidade do fluxo podendo obter uma indicação se o escoamento

flui de forma laminar ou turbulenta.

O número de Reynolds constitui a base do comportamento de sistemas reais, pelo

uso de modelos reduzidos.



IMPORTANCIA DO NÚMERO DE REYNOLDS

Um exemplo comum é o túnel aerodinâmico onde se medem forças desta

natureza em modelos de asas de aviões.

Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número

de Reynolds, for o mesmo para ambos.



EXEMPLO DE ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO

EM UM ENSAIO DE TÚNEL DE VENTO

Laminar Turbulento



NÚMERO DE REYNOLDS EM PERFIS AERODINÂMICOS

Para aplicações em perfis aerodinâmicos, o número de Reynolds

pode ser expresso em função da corda média aerodinâmica do

perfil da seguinte forma.

cR

e

..




Para aplicações em perfis aerodinâmicos, o número de Reynolds

pode ser expresso em função da corda média aerodinâmica do

perfil da seguinte forma.

cR

e

..

c

Re

Número de Reynolds




Corda média aerodinâmica



Geralmente no estudo do escoamento sobre asas de aviões o fluxo se torna

turbulento para números de Reynolds da ordem de 1x107, sendo que abaixo

desse valor geralmente o fluxo é laminar.




EXERCICIOS

Calcule o numero de Reynolds e identifique se o escoamento é laminar ou

turbulento sabendo que em uma tubulação com diametro de 4cm a água escoa

com uma velocidade de 0,05 m/s



Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida

sabendo-se que a velocidade de deslocamento é v = 16 m/s para um vôo

realizado em condições de atmosfera padrão ao nível do mar (ρ = 1,225 kg/m³).

Considere c = 0,35 m e μ = 1,7894x10-5 kg/ms.

EXERCICIOS







ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO.

CÁLCULO DO NÚMERO DE REYNOLDS.



Na engenharia trabalhamos com energia dos

fluidos por unidade de peso, a qual

denominamos “carga”;



Sabe-se que no escoamento de fluidos reais,

parte de sua energia dissipa-se em forma de

calor e nos turbilhões que se formam na corrente

fluida;



Essa energia é dissipada para o fluido vencer a

resistência causada pela sua viscosidade e a

resistência provocada pelo contato do fluido com

a parede interna do conduto, e também para

vencer as resistências causadas por peças de

adaptação ou conexões (curvas, válvulas).



Chama-se esta energia dissipada pelo

fluido de PERDA DE CARGA (hp), que

tem dimensão linear, e representa a

energia perdida pelo líquido por

unidade de peso, entre dois pontos do

escoamento.



A perda de carga é uma função complexa

de diversos elementos tais como:

Rugosidade do conduto;

Viscosidade e densidade do líquido;

Velocidade de escoamento;

Grau de turbulência do movimento;

Comprimento percorrido.



Perda de Carga

Com o objetivo de possibilitar a obtenção de

expressões matemáticas que permitam prever

as perdas de carga nos condutos, elas são

classificadas em: Contínuas ou distribuídas

Localizadas



Perda de Carga Distribuída

Ocorrem em trechos retilíneos dos

condutos;

A pressão total imposta pela parede dos

dutos diminui gradativamente ao longo

do comprimento;



Perda de Carga Distribuída

Permanece constante a geometria de

suas áreas molhadas;

Essa perda é considerável se tivermos

trechos relativamente compridos dos

dutos.



Perda de Carga Localizada

Ocorrem em trechos singulares dos

condutos tais como: junções, derivações,

curvas, válvulas, entradas, saídas, etc;



Perda de Carga Localizada

As diversas peças necessárias para a

montagem da tubulação e para o controle

do fluxo do escoamento, provocam uma

variação brusca da velocidade (em

módulo ou direção), intensificando a

perda de energia;



A equação de Bernoulli, stricto sensu, foi deduzida, para uma linha de corrente,

no caso em que os efeitos viscosos sao irrelevantes e o escoamento

incompressivel.

Veremos agora que a sua aplicação pode ser estendida razoavelmente a certos

tipos de tubos de corrente em que os efeitos viscosos são importantes.

PERDA DE CARGA.



Na prática esse caso em que não ha variação da pressão dinâmica, a ultima

parcela das equações 1 e igual à variação da pressão piezométrica entre os

pontos s1 e s2. Por isso, em tubos, essa parcela e referida como perda de carga,

o que significa redução de pressão piezométrica. Para simplificar a notação,

designaremos a partir de agora o termo da perda de carga por p:



ESCOAMENTOS EM CONDUTOS

Nos casos em que não há variação da pressão dinâmica, a última parcela das

equacções são iguais à variacao da pressao piezometrica entre os pontos s1 e s2.

Por isso, em tubos, essa parcela é referida como perda de carga, o que significa

redução de pressão piezométrica.



ESCOAMENTOS EM CONDUTOS

Para simplificar a notação, designaremos a partir de agora o termo da perda de

carga por p:





Este resultado pode ser escrito de uma forma mais prática:

O número adimensional f se denomina coeficiente de atrito.



Se houver informação teórica ou experimental sobre f, consegue-se estimar ∆p a

partir da definição



A equação de Bernoulli pode aplicar-se a escoamentos com perda de carga da

seguinte forma:



Para fluidos reais tem-se:

cteg

vpz

g

vpz

22

2

222

2

111

+ hp

Equação de Bernoulli

para fluidos reais



Quando a equação de Bernoulli é aplicada a dois pontos

de um conduto com velocidade constante e mesma

cota, tem-se a perda de carga dada por:

Equação de Bernoulli

para fluidos reais



Fórmula universal da Perda de Carga distribuída

A fórmula de Darcy-Weissbach, permite calcular a

perda de carga ao longo de um determinado

comprimento do condutor, quando é conhecido o

parâmetro f, denominado “coeficiente de atrito”:



CORRELAÇÕES TEÓRICAS E EXPERIMENTAIS PARA O FATOR

DE ATRITO “F”

Para a região de números de Reynolds inferiores a 2000 (regime

laminar desenvolvido) o comportamento do fator de atrito pode

ser obtido analiticamente por intermédio da equação de Hagen-

Poiseuille conduzindo à função:



O coeficiente de atrito de um escoamento turbulento desenvolvido é dado pela

expressão implícita de Colebrook-White:

ou



Fórmula universal da Perda de Carga distribuída

Darcy-Weissbach:

O coeficiente de atrito, pode ser determinado

utilizando-se o diagrama de Moody, partindo-se da

relação entre:

Rugosidade e Diâmetro do tubo (ε/D)

Número de Reynolds (Re)







Cálculo das perdas de Carga localizadas

As perdas de carga localizadas podem ser

expressas em termos de energia cinética (v2/2g) do escoamento. Assim a expressão geral:

hp = k v2/2g Onde:

v=velocidade média do conduto em que se encontra inserida a singularidade em questão;

k=coeficiente cujo valor pode ser determinado experimentalmente





FÓRMULAS EXPLÍCITAS DO FATOR DE ATRITO EM REGIME TURBULENTO



Sousa-Cunha-Marques

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Engineering

Multivix - Mecânica dos fluidos parte2