Marcio Varela

� M0 = F.d� M0 = F.d

� M = F.d� M = F.d

� MR = ∑F.d

� Exemplo: Determine o momento da força em relação ao ponto 0 em cada caso ilustrado abaixo.

� Determine os momentos da força 800 N que atua sobre a estrutura na figura abaixo em relação aos pontos A, B, C e D.

� Determine o momento resultante, das quatro forças que atuam no haste abaixo, em relação ao ponto 0.

� O produto vetorial de dois vetores A e B produz um vetor C.

� C = A x B

� A Intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo θ entre os dois vetores, prolongando-os, se necessário de modo que suas origens se localizem no mesmo ponto (0 ≤ θ ≤ 180º).

� C = A x B = (A . B x sen θθθθ)

� Direção e Sentido: O vetor C tem direção perpendicular ao plano contendo A e B, de modo que seu sentido é determinado pela regra da mão direita. Conhecendo a intensidade, direção e o sentido de C, podemos escrever:

� C = A x B = (A . B x sen θθθθ).uc

� Onde o escalar A.B.senθθθθ define a intensidade de C e o vetor unitário uc define sua direção e seu sentido.

� Leis de Operação :� 1 . O produto vetorial é não-comutativo, isto é:

� A x B ≠ B x A,� Ou seja:

� A x B = -B x A.

� 2. Multiplicação por escalar:

� a.(A x B) = (a.A) x B = A x (a.B) = (A x B).a

� 3. Lei distributiva:

� A x (B + D) = (A x B) + (A x D)

� Formulação vetorial cartesiana:

� i x j = k i x k = -j i x i = 0� j x k = i j x i = -k j x j = 0� k x i = j k x j = -i k x k = 0

� A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)

� A x B = (AyBz - AzBy)i – (AxBz - AzBx)j + (AxBy - AyBx)k

� Exercício: Prove a afirmativa acima.

� A equação anterior pode ser representada pela matriz abaixo:

� Para determinarmos os elementos i, j, k basta calcularmos os determinantes para esses termos:

� Para o elemento i:

BzBy

AzAy

k j

Bx

Ax

i

AxB =

iBABA

B

A

i

yzzy

x

x )(

B B

A A

k j

zy

zy −=

� Para o elemento j:

� Para o elemento k:

jBABA

B

A

i

xzzx

x

x )(

B B

A A

k j

zy

zy −−=

kBABA

B

A

i

xyyx

x

x )(

B B

A A

k j

zy

zy −=

� Formulação Vetorial� M0 = r x F� Sendo r um vetor posição traçado de 0 até qualquer ponto sobre a linha de

ação de F.

� A Intensidade do produto vetorial é definida por:

� M0 = r x F. senθθθθ

� O ângulo θ é medido entre as direções de r e F.

� Uma vez que o braço de momento d = r.senθθθθ, então:

� M0 = r x F senθθθθ = (r.senθθθθ). F= d . F

� Direção e sentido : São determinados pela regra da mão direita, com aplicação do produto vetorial.

� Princípios da Transmissibilidade: O vetor F pode agir sobre qualquer ponto

da sua linha de ação; e o vetor posição r, pode ser aplicado em qualquer ponto

pertencente a linha de ação de F, dessa forma:

� M0 = rb x F = rc x F

� Desenvolvendo a equação,

� M0 = rb x F = rc x F , teremos:

� rx, ry rz são os componentes x, y, z dos vetores posição traçado do ponto 0 até

qualquer ponto sobre a linha de ação da força.

� Fx, Fy Fz representam os componentes x, y, z do vetor força.

� M0 = (ry Fz - rzFy)i – (r xFz - rzFx)j + (r xFy - ryFx)k

zy

zy0

F F

r r

k j

x

x

x

F

r

i

FrM ==

� Momento resultante de um sistema de forças :

� Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças, o

momento resultante das forças em relação ao ponto 0 pode ser

determinado pela soma vetorial dos momentos gerados por esse

sistema.

� O poste está sujeito a uma força de 60 N na direção C para B. Determine a

intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

Solu ção

� Pelo princípio da transmissibilidade:

� Os vetores posição são representados como:

� A direção e o sentido da intensidade da força são especificados pelo vetor unitário uF de C para B:

FrM

ou

FrM

CA

BA

×=

×=

{ }

{ }mjir

e

mkjir

C

B

43

231

+=

++=

( ) ( ) ( )

{ }kjiF

kjiuNF F

402040

)2()1()2(

02433160)60(

222

+−−=

+−+−−+−+−⋅=⋅=

Solu ção

� Convertendo para a forma matricial:

{ }kjiM

Em

i

FrM

ou

i

FrM

A

CA

BA

100120160

:casos os ambos

40 20- 40

0 4 3

k j

40 20- 40

2 3 1

k j

+−=

−=×=

−=×=

:

224

)100()120()160(

:222

diretoresângulososCalcule

mNM

M

eIntensidad

A

A

⋅=+−+=

� Três forças atuam na Barra mostrada, determine o momento resultante

criado pelas forças em relação à flange em 0 e os ângulos diretores

coordenados para o eixo do momento.

� Solução:

� Vetores Posição direcionados do ponto O para cada força:

� Como conseqüência, o momento resultante em relação a O é:

{ }

{ }péskjir

e

pésjr

B

A

254

5

−+=

=

( )

30- 40 80

2- 5 4

k j

0 50 0

0 5 0

k j

20 40 60

0 5 0

k j

0

3210

0

iii

M

FrFrFrM

FrM

R

BAAR

R

++−

=

×+×+×=

×=∑

� Solução:

� Intensidade do momento:

� Vetor unitário:

� Ângulos diretores coordenados:

{ } pélbkjiM R ⋅+−= 6040300

( ) ( ) ( )péslbM

M

R

R

⋅=+−+=

10,78

604030

0

2220

kjiu

kji

M

Mu

R

R

7682,05121,03841,0

10,78

604030

0

0

+−=

+−==

7682,0cos

5121,0cos

3841,0cos

=−=

=

γβα

� Teorema de Varignon: O momento de uma força em relação a um

ponto é igual a soma dos momentos dos componentes das forças em

relação ao mesmo ponto.

� Uma força de 200 N atua sobre o suporte abaixo. Determine o

momento da força em relação ao ponto A.

� Solução 1.

� Solução 2

� A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo

mostrado na figura. Determine o momento da força em relação ao

ponto 0.

� Solução 1 (Análise Escalar).

� Solução 2 (Análise Vetorial).

Sistemas de For ças e Momentos

Marcio Varela

Análise do Sistema Força� Somatório dos Momentos

� O momento da força resultante em relação ao ponto O é igual à soma

de todos os momentos no sistema.

Análise do Sistema Força

� Formulação

zMyMxMRoM

yFFRy

xFFRx

Σ+Σ+Σ=

Σ=

Σ=

Análise do Sistema Força

� Exercícios

� Determine o momento de binário que age no elemento mostrado

na figura abaixo (análise escalar).

Análise do Sistema Força

� Exercícios

� Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura de

tubos mostrada na figura abaixo.

Análise do Sistema Força

� Análise Vetorial

{ } pollbjM

ijiM

kksenjikjM

krkrM BA

⋅−=+−−=

×⋅−+⋅+−×=

×+−×=

9,129

2009,129200

)25()306830cos6()25()8(

)25()25(00

Análise do Sistema Força

� Análise Escalar

pollbM

M

M

dFM

⋅−=⋅=

⋅⋅=⋅=

9,129

20,525

30cos625 0

Análise do Sistema Força

� Exercícios

� Determine o momento em relação ao ponto B de cada uma das três

forças agindo sobre a viga e o momento resultante (análise escalar).

Análise do Sistema Força

� Exercícios

� Usando a análise vetorial cartesiana determine a força resultante e o momento

resultante das três forças em relação à base da coluna em A. Dado F1 = {400i +

300j + 120K}N.

( ) ( ) ( ){ }

{ }NkjiF

kjiF

FF

R

R

iR

440200500

50060120100300100400

−+=

−−++−++=

=∑

( )

500- 0 0

8 1- 0

k j

60- 100- 100

12 0 0

k j

120 300 400

12 0 0

k j

0

321

iii

M

FrFrFrM

FrM

R

AEABABRA

RA

++=

×+×+×=

×=∑

Análise do Sistema Força

� 1 – A laje da figura está submetida a quatro colunas paralelas com cargas. Determine a força

resultante equivalente e especifique a sua posição (x, y) sobre a laje. Considere F1 = 30 kN e F2 =

40 kN.

my

x

MM

my

y

MM

kNF

kN

FF

yyR

xxR

R

yR

71,5

10401020450140

)(

14,7

13401130350140

)(

140

14020405030

;)(

=⋅+⋅+⋅=⋅

Σ=

=⋅−⋅−⋅−=⋅−

Σ=

↓=

−=−−−−

Σ=↑+

Análise do Sistema Força� 2 – Substitua as forças e todos os momentos por uma força e um momento

equivalentes no ponto O. Levar, também, em consideração os momentos causados

pelas forças no ponto em questão. Usar notação vetorial cartesiana .

{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }

{ } mNkiM

mNkiM

mNkM

NjF

NkiF

NkiF

NkF

⋅−=⋅−=

⋅=

=−=

−==

28,12728,127

º45sinº45cos180

100

100

42,14142,141

º45sinº45cos200

300

2

2

1

3

2

2

1

{ }NkjiF

kkjiF

FFFF

FF

R

R

R

R

15910042,141

)42,141300(10042,141

;

321

++=−++=

++=Σ=

{ } mNkiM

kik

ii

MMFrFrM

MM

RO

RO

ORO

⋅−=

−+++=

++×+×=Σ=

183122

28,12728,127100

141,42- 0 42,141

0 1,1 0

k j

300 0 0

0 5,0 0

k j

212211

IFRN – Campus Natal Central – www.ifrn.edu.br

Física Aplicada – Curso Superior

IntroduIntroduçção a Isostão a Isostááticatica

Tipos de carregamentos e de Tipos de carregamentos e de apoioapoio

Uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas

segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da

estrutura). São representadas por cargas aplicadas pontualmente.

Uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas

segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da

estrutura). São representadas por cargas aplicadas pontualmente.

Carga uniformemente distribuída

Carga trapezoidal

Carga triangular

q

São cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um

ponto qualquer da estrutura.

São cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um

ponto qualquer da estrutura.

� Restringe o grau de liberdade das estruturas;

� Provoca reações nas direções dos movimentos;

� Liga elementos que compões a estrutura;

� Função estática de transmitir as cargas ou forças.

Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de

movimentos impedidos.

Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de

movimentos impedidos.

� Apoio do 1º gênero (apoio simples);

� Apoio do 2º gênero (rótula);

� Apoio do 3º gênero (engaste).

São aqueles que impedem deslocamento somente em uma

direção.

São aqueles que impedem deslocamento somente em uma

direção.

SIMBOLOGIA:SIMBOLOGIA:

Ponte rainha d. AméliaPonte rainha d. Amélia

São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em

todas as direções.

São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em

todas as direções.

SIMBOLOGIA:SIMBOLOGIA:

Estação ferroviária em LondresEstação ferroviária em Londres

São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre,

imobilizando-o completamente.

São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre,

imobilizando-o completamente.

SIMBOLOGIA:SIMBOLOGIA: H

M

Tipos de Estruturas

Vigas

Tipos de Estruturas

Pórticos

Tipos de Estruturas

Treliça

3,0 m2,0 m

6 N

� De acordo com o que foi visto anteriormente, calcule as

reações de apoio das vigas abaixo: