Cap. 6 – Multiplicação e associatividade multiplicativa

Andréa B. Gallego

Liseane S. Camargo

Objetivo Como a multiplicação comporta quantificações mais

numerosas (que a adição), há interesse em estudar as etapas de sua formação no curso de suas diferenciações da adição.

Compreensão da relação entre multiplicando, multiplicador e produto.

Material Dois bonecos de pano, um vestido de verde e

um de cinza.

Um punhado de grãos de feijão

Prova clínica Situações experimentais:

1 – Multiplicação (4x3= ?=?) (1) O experimentador prepara para o boneco Cinza pacotes de 3 grãos. Problema: preparar para o boneco verde a quantidade de grãos, respeitando o dado base: o verde come 2 grãos de uma vez

2 – Associatividade (2x (4x3) = (2x4) x 3) O experimentador prepara para o boneco Cinza duas refeições de 4 pacotes. Problema: preparar para o boneco verde a quantidade necessária para comer, mas numa só refeição.

3 – Associatividade comutativa

(2 x 4 x 3) = (3 x ? x 2)

O experimentador prepara para o boneco cinza duas refeições de 4 pacotes com 3 grãos cada. Problema: preparar para o boneco verde a outro tanto de grãos, mas pra 3 refeições e respeitando o dado base inicial, ou seja, 3 grãos = 1 pacote Cinza e 2 grãos = 1 pacote verde.

4 – Repetição de correspondências injetivas.

O experimentador e a criança pegam simultaneamente um pacote Cinza (= 3 grãos), o outro um pacote Verde (= 2 grãos), isso 6 vezes repetidas. As duas coleções são a seguir escondidas. Problema: julgar se as duas coleções contêm um número igual de grãos. Avaliar numericamente a diferença entre as duas coleções. Generalizar esse julgamento a um número n (muito grande) não realizado de repetições da mesa ação.

As situações fazem intervir as variáveis de classes diferentes típicas da multiplicação

Elementos = número de grãos por pacote. Partes ou continentes = número de pacotes. O todo = número de grãos em sua totalidade.

Nível I IA: Sujeito capaz de centrar-se nas diferentes

variáveis distinguidas, mas manipula somente uma de cada vez e negligencia-a se passa a uma outra. Falta das coordenações que conduziriam as relações continente/contido. Pouca coerência e o grande número de contradições que o sujeito não é sensível.

I B:Tentativas de relacionamentos entre as variáveis e especialmente num início de relação de continente a conteúdo. Obtém soluções exatas mesmo que o problema desta compensação não esteja inteiramente resolvido.

Nível II Nível II A: Ao redor de 7/8 anos. Estabilização das

relações entre os 3 sistemas hierárquicos do todo, das partes e dos elementos. Todo não é mais somente dado pela soma total de grãos

mas aparece como conservado quando das modificações da relação conteúdo continente

Os continentes são modificáveis e decompostos, seus conteúdos podem ser distribuídos em novos continentes

Por serem quantitativas as vicarianças implicam compensações

Nível II B: 9 a 10 anos

O sujeito tende a antecipações

Inicio das influências escolares, no entanto o domínio do cálculo não altera a dificuldade em cada situação concreta particular.

Nível III Nível III A: Domínio dos problemas de multiplicação

numérica elementar, mas com dificuldades na dupla qualidade dos pacotes de ser ao mesmo tempo conteúdo e continente.

Nível III B: Tal dificuldade é quase imediatamente superada.

Necessidade Pseudonecessidade: erro a corrigir Pré-necessidade: fato retido e a ser completado Necessidade: não são antecipadas, se impõem na medida em

que o sujeito compreende as razões de suas manipulações e consequências. A causalidade é condição para a necessidade? 1ª Necessidade: todo = n° de partes/ pacotes (IA) – Pensamento

Figurativo 2ª Necessidade: há preocupação com o n° de grãos (IB) –

Pensamento Intuitivo 3ª Necessidade: relação conteúdo/ continente – relações

multiplicativas (IIA) – Pensamento Operatório 4ª Necessidade: todo = reunião das partes contidas (IIIB)

Conclusão “De modo geral uma multiplicação é uma adição das adições,

mas segundo a segunda de suas maneiras bem distintas: ou o sujeito adiciona os resultados da adição e há aí uma conduta aditiva, ou ele toma consciência do numero n dessas adições de adições, enquanto número de operações e esse número torna-se um multiplicador, independentemente dos cálculos numéricos n x n` que intervém desde o nível IIB e que satisfaz a título de procedimento tematizado nos níveis IIB e sobretudo III” (p.88).