Cap3 cinematica

CINEMÁTICA

Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC

38

CCAAPPÍÍTTUULLOO 33

CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA

3.1 MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO

O movimento dos corpos é estudado pela Cinemática. Esta área da Física estuda os corpos considerando-os como pontos materiais. Qualquer corpo pode ser considerado como um ponto material, desde que tenha suas dimensões desprezíveis em relação às dimensões do movimento consideradas.

3.1.1 Deslocamento

A figura 3.1 mostra um carro na posição x1 no instante t1 e a posição do mesmo carro em x2 no instante t2. A modificação da posição do carro, o deslocamento, é dada pela diferença x2 – x1. A letra grega ∆ (delta maiúsculo) indica a variação de uma grandeza. Então a variação de x se escreve

x∆ :

∆x = x2 – x1 3.1

Unidade no SI: metro (m)

Figura 3.1: Um carro desloca-se sobre uma reta que tem um ponto como origem, O. Os outros pontos são identificados pela distância x a O. Os pontos à direita de O têm coordenadas positivas e os pontos à esquerda, negativas. Quando o carro passa do ponto x1 para o ponto x2, o seu deslocamento é ∆x = x2 – x1.

3.1.2 Velocidade Média

Se define como a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1.

12

12méd tt

xxtxv

−−

=∆∆

= 3.2

Unidade no SI metro/segundo (m/s), mas é também bastante usado a unidade de quilômetro por hora (km/h).

O deslocamento e a velocidade podem ser positivos ou negativos. Um valor positivo mostra que o movimento ocorre no sentido do x positivo.

Na linguagem corrente, a velocidade média (velocidade escalar média) de um móvel é a razão entre a distância total percorrida pelo móvel e o intervalo de tempo entre a partida e a chegada.

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39

positiva) (sempre total tempo

total distância médiaescalar velocidade →=

3.3

Exemplos 3-1: Numa corrida de 100m, os primeiros 50m são cobertos com a velocidade média de 10m/s e os 50m restantes com a velocidade média de 8m/s. Qual a velocidade média do corredor sobre os 100m ?

Solução:

m/s 89,8txv

s 25,11ttt

s 25,6850

vxt

s 51050

vxt

txv

méd

21

2

22

1

11méd

=∆∆

=

=∆+∆=∆

==∆

=∆

==∆

=∆∆∆

=

Exemplo 3-2: Imagine que você corra 100m em 12s e depois retorne ao ponto de partida caminhando 50m durante 30s. Calcule:

a) A velocidade escalar média (sentido trivial); b) A velocidade média definida pelo deslocamento.

Figura 3.2

Solução:

( )

m/s 19,14250

tx vb)

m/s 57,342

150t

totalx va)

méd

méd

==∆∆

=

==∆

∆=

3.1.3 Velocidade Média (Interpretação Geométrica)

A velocidade média é o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa pelos pontos (t1,x1) e (t2,x2), como ilustrado na figura 3.3.

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40

Figura 3.3: Gráfico de x contra t do movimento de uma partícula em uma dimensão. Cada ponto da curva corresponde à posição x num instante t. Entre as posições P1 e P2 traçamos um segmento de reta. O deslocamento ∆x = x2 – x1 e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1, entre os dois pontos, ficam bem identificados. O segmento de reta de P1 até P2 é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são ∆x e ∆t. A razão ∆x/∆t é o coeficiente angular (inclinação) do segmento de reta. Em termos geométricos, o coeficiente angular é a medida da inclinação da reta.

médvinclinaçãotx

==∆∆ 3.4

3.1.4 Velocidade Instantânea

É a velocidade da partícula num certo ponto. Se a partícula está num certo ponto, como pode ter uma velocidade?

Para definir um movimento é preciso ter a posição de um corpo em dois ou mais instantes.

Se considerarmos intervalos de tempo cada vez mais curtos, entre um ponto e outro, do movimento, a velocidade média em cada um desses intervalos se aproximam do coeficiente angular da tangente à curva no ponto P0. A inclinação desta tangente é a velocidade instantânea em t0.

A velocidade instantânea é a derivada da posição quando ∆t tende a zero.

dtdxv = 3.5

O movimento que possui velocidade constante é chamado de Movimento Uniforme.

A inclinação de uma reta pode ser positiva, negativa ou nula. Por isso, a velocidade instantânea (no movimento unidimensional) pode ser positiva (x cresce com o tempo), ou negativa (x decresce com o tempo). O módulo (valor absoluto) da velocidade instantânea é a velocidade escalar instantânea.

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41

Figura 3.4: Gráfico de x contra t. Veja a seqüência de intervalos de tempo t1 t2, t3, ..., cada vez menores. A velocidade média, em cada intervalo, é a inclinação do segmento de reta correspondente ao intervalo. Quando os intervalos de tempo tendem a zero, esta inclinação tende para a inclinação da reta tangente à curva no ponto t1. A inclinação (o coeficiente angular) corresponde à velocidade instantânea no instante t1.

Exemplo 3-3: A posição de uma pedra que cai de um rochedo pode ser descrita, aproximadamente, por x = 5t2, em que x, em metros, é medida para baixo, a partir da posição inicial da pedra em t = 0, e t está em segundos. Achar a velocidade em qualquer instante de tempo t. Solução:

Queremos calcular a velocidade da pedra num instante qualquer t. Para isso, devemos saber como derivar a equação da posição em relação ao tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

50

100

150

200

250

300

350

t1

t3

t2posi

ção

(m)

tempo (s)

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42

( )12

2

t25)t(v

t5dtd

dtdx)t(v

−⋅=

==

t10)t(v =

As derivadas, como se sabe, são calculadas facilmente mediante regras simples. Uma regra especialmente útil é

Se x = C tn, então

1ntnCdtdx −= 3.6

3.1.5 Aceleração Média

A aceleração média é a taxa temporal de variação da velocidade.

tva∆∆

= 3.7

3.1.6 Aceleração Instantânea

A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, quando ∆t tende a zero.

dtdv)t(a = 3.8

O movimento que possui aceleração constante é chamado de Movimento Uniformemente Acelerado (ou variado).

Exemplo 3-4: O carro esportivo BMW M3 pode acelerar, na terceira marcha, de 48,3 km/h até 80,5 km/h em apenas 3,7s.

a) Qual a aceleração média deste carro em m/s2? b) Se o carro mantiver esta aceleração durante outro segundo, que velocidade atingirá?

Solução:

a) b)

m/s 4,23,7

13,4-22,4a

m/s 22,4 km/h 80,5m/s 13,4 km/h 3,48

m ==

→→ m/s 24,812,422,4tavv 0 =⋅+=⋅+=

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43Exemplo 3-5: Para o gráfico abaixo responda as seguintes perguntas:

a) Em que instantes as acelerações dos corpos são positivas, negativas ou nulas? b) Em que instantes as acelerações são constantes? c) Em que instantes as velocidades instantâneas são nulas?

Solução:

a) Positiva (a>0): de 0s a 3s; de 6s a 8s

Negativa (a<0): de 3s a 6s; de 8s a 9s

Nula(a=0): 3s; 6s; 8s.

b) A aceleração depende do tempo.

c) Velocidade nula (v = 0) : 3s; 6s; 8s.

Se o movimento for uniformemente acelerado, ou seja, a aceleração for constante, vale a seguinte relação para a velocidade média:

( )vv21v 0méd += 3.9

A velocidade em função da posição pode ser obtida através da expressão:

xa2vv 20

2 ∆⋅⋅+= 3.10

Graficamente podemos resumir os dois tipos de movimento estudados da seguinte maneira:

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

M ovim en to Am ortecido

pos

ição

(m

)

t em po (s)

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44 Movimento Uniforme:

x v a x0 x = x0 + vt t v = v0 t a = 0 t

Movimento Uniformemente Acelerado:

x v a t t t

x = x0 + vt + 21 at2 v = v0 + a t a(t) = a

Exemplo 3-6: Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado do repouso, com uma aceleração de 5,33 . 1012 m/s2, durante 0,15 µs (1 µs = 10-6s ). O elétron, então se desloca, com velocidade constante, durante 0,2 µs. Finalmente chega ao repouso com uma aceleração de -2,67.1013 m/s2. Que distância o elétron percorre?

Solução:

∆x1 ∆x2 ∆x3

v0 = 0 v1 v2 v3 = 0

t0 = 0 t1 = 0,15µs t2 = 0,45µs t3

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45Primeiro intervalo de tempo:

s1015,0ttt 6011

−×=−=∆ 212

1 s/m1033,5a ×= v0 = 0 (o elétron parte do repouso)

Cálculo de v1:

( ) ( )s/m1000,8v

s1015,0s/m1033,5v

tavv

51

62121

1101

×=

×⋅×=

∆⋅+=−

Cálculo de ∆x1:

( )

( )cm00,6xoum1000,6x

s1015,02

s/m1033,5x

t2atvx

12

1

26212

1

21101

=∆×=∆

×⋅×

=∆

∆⋅+∆⋅=∆

−

−

Segundo intervalo de tempo:

s/m1000,8v

0atetanconsévelocidadeaSes102,0ttt

51

2

6122

×=

=⇒×=−=∆ −

Cálculo de ∆x2:

( )

( ) ( )cm16xoum1060,1x

s102,0s/m1000,8x

t2

atvx

21

2

652

22

212

=∆×=∆

×⋅×=∆

∆⋅+⋅=∆

−

−

Terceiro intervalo de tempo:

( )213

3

3

512

s/m1067,2a

repousoaoretornaelétron0vs/m1000,8vv

×−=

=×==

Cálculo de ∆t3:

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46

s1003,0ts/m1067,2s/m1000,8t

avt

tavv

63

213

5

33

23

3323

−×=∆

×−×−

=∆⇒−

=∆

∆⋅+=

Cálculo de ∆x3:

( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )cm20,1xoum1020,1x

s10003,02

s/m1067,2s1003,0s/m1000,8x

t2a

tvx

32

m3

26213

623

23

3323

=∆×=∆

×⋅×−

+×⋅×=∆

∆⋅+∆⋅=∆

−

−−

Distância total percorrida pelo elétron:

cm2,23xxxxx

total

321total

=∆∆+∆+∆=∆

Exemplo 3-7: A posição de uma partícula é dada por x = Ct3, onde C é uma constante com as unidades de m/s3. Achar a velocidade e a aceleração em função do tempo.

Solução:

6Ctdtdv

dtxda 3Ct

dtdxv 2

22 =====

3.2 Movimento em Duas e Três Dimensões

3.2.1 Vetor Posição O vetor posição de uma partícula é um vetor com a origem na origem do sistema de

coordenadas xy e a extremidade no ponto da posição xy da partícula. Então, se a posição for no ponto (x,y), o vetor posição r é

jyixr += 3.11

A figura 3.5 mostra a trajetória da partícula. (Não confundir a trajetória com o gráfico de x contra t que vimos anteriormente). No instante t1 a partícula está em P1, com o vetor posição 1r . Em t2, a partícula chegou a P2 e o seu vetor posição é 2r . A variação de posição da partícula é o vetor deslocamento r∆

12 rrr −=∆ 3.12

Do movimento em uma dimensão sabemos que x = x0 + v0xt + (1/2)axt2 e que y = y0 + v0yt + (1/2) ayt2. Logo, a equação 3.11 pode ser reescrita como

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47

( ) ( ) ( ) 2yxy0x000

2yy00

2xx00

tjaia21tjvivjyix)t(r

jta21tvyita

21tvx)t(r

+++++=

+++

++=

onde,

jaiaa

jvivv

jyixr

yx

y0x00

000

+=

+=

+=

3.13

e finalmente,

200 ta

21tvr)t(r ++= 3.14

Figura 3.5: O vetor deslocamento r∆ é a diferença entre os vetores posição, 12 rrr −=∆ . Ou então, r∆ é o vetor que somado a 1r leva ao vetor posição .r2

3.2.2 Vetores Velocidade Média e Instantânea

A razão entre o vetor deslocamento e o intervalo de tempo ∆t = t2 – t1é o vetor velocidade média

trvmedia ∆

∆= 3.15

Esse vetor tem direção coincidente com a do deslocamento.

O módulo do vetor deslocamento é menor do que a distância percorrida sobre a trajetória, a menos que a partícula se desloque em linha reta. Porém, se considerarmos intervalos cada vez menores, o módulo do deslocamento se aproxima cada vez mais da distância percorrida sobre a curva e a direção de r∆ se aproxima da direção da reta tangente à curva no ponto inicial do intervalo (figura 3.6).

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48

Figura 3.6: À medida que os intervalos de tempo ficam menores, o vetor deslocamento se aproxima da tangente à curva.

O vetor velocidade instantânea é a derivada temporal do vetor posição.

tav)t(v

ta21tvr

dtd

dtrd)t(v

0

200

+=

++==

3.16

Exemplo 3-8: Um barco a vela tem coordenadas (x1, y1) = (110 m, 218 m) no instante t1 = 60 s. Dois minutos depois, no instante t2, as suas coordenadas são (x2, y2_ = (130 m, 205 m). (a) Achar a velocidade média sobre este intervalo de dois minutos. Dar vmed em termos das componentes cartesianas. (b) Determinar o módulo e a direção desta velocidade média. (c) Quando t ≥ 20 s, a posição do barco, em função do tempo, é x(t) = 100m + [(1/6) m/s]t e y(t) = 200 m + (1080 m .s)t-1. Determinar a velocidade instantânea num instante qualquer t além de 20 s.

Solução: As posições inicial e final do barco a vela aparecem na figura acima. (a) O vetor velocidade média aponta da posição inicial para a final. (b) As componentes da velocidade instantânea se calculam pela equação 3.14.

(a) As componentes x e y do vetor velocidade média se calculam diretamente a partir das respectivas definições:

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s/m167,0s120

m110m130txxv 12

med,x =−

=∆−

=

s/m108,0s120

m218m205tyy

v 12med,y −=

−=

∆−

=

( ) ( ) js/m108,0is/m167,0vmed −=

(b) 1. O módulo de vmed se calcula pelo teorema de Pitágoras

( ) ( ) s/m199,0vvv 2med,y

2med,xmed =+=

2. A direção é dada por

°−=

−=θ 33

s/m167,0s/m108,0arctg

Como o vetor velocidade encontra-se no quarto quadrante, temos

θ´=360°-33° = 327°

(c) Determina-se a velocidade instantânea pelo cálculo das derivadas de x e y em relação ao tempo:

jdtdyi

dtdxv +=

( ) jtsm1080is/m61)t(v 2−⋅−

=

3.2.3 O Vetor Aceleração

O vetor aceleração média é a razão entre a variação do vetor velocidade instantânea v∆ e o intervalo de tempo ∆t

tva méd ∆

∆= 3.17

O vetor aceleração instantânea é o limite dessa razão quando ∆t tende a zero. Em outras palavras, é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

dtvd

tvlima

0t=

∆∆

=→∆

3.18

Para calcular a aceleração instantânea é conveniente exprimir v em função da derivada da posição em relação ao tempo:

2

2

0t dtxd

dtvd

tvlima ==∆∆

=→∆

3.19

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50 Exemplo 3-9: A posição de uma bola arremessada é dada por

( ) 22 tjs/m9,4tjs/m16is/m12im5,1)t(r −++= . Determinar a velocidade e a aceleração.

Solução: As componentes x e y da velocidade são determinadas por simples derivação

( )[ ] s/m12ts/m12m5,1dtd

dtdxvx =+==

Assim, na notação vetorial

( ) ( )[ ] jts/m8,9s/m16is/m12)t(v 2−+=

Se derivarmos as equações acima outra vez, chegamos à aceleração

( )

( )[ ] 22yy

xx

s/m8,9ts/m8,9s/m16dtd

dtdv

a

0s/m12dtd

dtdva

−=−==

===

Assim, na notação vetorial js/m8,9)t(a 2−=

3.3 Leis de Newton 3.3.1 Primeira Lei de Newton

“Um corpo em repouso permanece em repouso a menos que sobre ele atue uma força externa. Um corpo em movimento desloca-se com velocidade constante a menos que sobre ele atue uma força externa.”

3.3.2 Segunda Lei de Newton

“A aceleração de um corpo tem a direção da força externa resultante que atua sobre ele. É proporcional ao módulo da força externa resultante e inversamente proporcional à massa do corpo.”

amFmFa res

res =⇒= 3.20

A força externa resultante é a soma de todas as forças que atuam sobre o corpo ∑ = resFF , logo

∑ == amFF res 3.21

3.3.3 Terceira Lei de Newton

“As forças sempre atuam aos pares de forças iguais porém opostas. Se um corpo A exerce uma força sobre outro B, este exerce sobre A uma força de mesmo módulo da primeira, porém com sentido oposto.”

( ) ( )[ ]( ) ts/m8,9s/m16v

ts/m9,4ts/m16dtd

dtdyv

2y

22y

−=

−==

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51

3.3.4 A Força da Gravidade: O Peso

Quando um corpo cai nas proximidades da Terra, ele é acelerado para baixo. Desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos tem a mesma aceleração de queda que é a aceleração da gravidade g (nas proximidades da Terra). A força que provoca essa aceleração é a força peso PF . Sendo m a massa do corpo, a segunda lei de Newton define a força peso como:

gmFP = 3.22

Unidades de força: 1 N = (1 kg) (1m/s2) = 1 kg . m/s2

3.3.5 Diagrama de Forças

O diagrama que mostra esquematicamente as forças que atuam sobre um sistema é um diagrama de forças.

Exemplo 3-10: Um caminhão descarrega volumes por uma rampa de roletes (um plano inclinado sem atrito). O ângulo da rampa é de θ em relação ao plano horizontal. Determinar a aceleração de um volume de carga m, que escorrega pela rampa, e calcular a força normal da rampa sobre ele.

Solução: a) Diagrama de Forças

b) Soma das forças em x e y

∑ ⇒=θ= masenFF Px θsenga =

∑ ⇒=+θ−= 0NcosFF Py θcosmgN =

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52

Exemplo 3-11: Um quadro, pesando 8 N, está suspenso por dois fios com as tensões 1T e 2T , como mostra a figura. Calcular o valor de cada tensão.

Solução: a) Diagrama de Forças

11y1

11x1

T2130senTT

T2330cosTT

=°=

=°=

22y2

22x2

T2360senTT

T2160cosTT

=°=

=°=

b) Soma das forças em x e y

∑ =⇒=−= 12x2x1x T3T0TTF (I)

∑ =+⇒=−+= N8T23T

210mgTTF 21y2y1y (II)

Substituindo (I) em (II), temos que:

T1 = 4 N T2 = 6,9 N

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53

3.4 Atrito

3.4.1 Atrito Estático

Quando se aplica uma pequena força horizontal a uma grande caixa em forma de paralelepípedo que está sobre um piso, a caixa pode não se mover em virtude da ação de uma força de atrito estático, sf , exercida pelo piso, que equilibra a força aplicada

A força de atrito estático, que sempre se opõe à força aplicada, pode variar entre zero até um certo valor máximo, fs,max. A força de atrito máximo independe da área de contato e é proporcional à força normal exercida por uma das superfícies sobre a outra. Em geral,

Nf smaxs µ= 3.23

onde µs é o coeficiente de atrito estático, que depende da natureza das superfícies em contato.

Se a força horizontal exercida sobre a caixa for menor que fs,max, a força de atrito equilibra esta força horizontal

Nf smaxs µ≤ 3.24

Seja um corpo, inicialmente em repouso, apoiado em uma superfície não lisa sob a ação de uma única força F, paralela à superfície, e do atrito entre as superfícies.

Aumentando o módulo da força F o módulo da força de atrito também aumenta até um certo limite, conhecido como força de atrito estático, quando, então, o corpo inicia o movimento. Após o corpo iniciar seu movimento, passa a existir uma nova força de atrito atuante, a força de atrito dinâmico ou cinético, com intensidade menor. A razão entre a força de atrito e a reação normal da superfície de apoio é uma constante denominada coeficiente de atrito (µ). Os coeficientes de atrito estático e dinâmico dependem dos tipos de superfícies em contato.

3.4.2 Atrito Cinético

Se a caixa for empurrada com bastante força, ela escorrega sobre o piso. Ligações entre as moléculas formam-se e rompem-se continuamente, e pequeninos fragmentos das superfícies são arrancados, conforme mostra a figura 3.7.

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54

Caixa

Superfície

Figura 3.7

Este complicado efeito decorre do atrito cinético, cf , que se opõe ao movimento. Para manter a caixa deslizando com velocidade constante, é preciso exercer sobre ela uma força de módulo igual ao da força de atrito cinético, mas de direção oposta. Por definição,

Nf cc µ= 3.25

onde µc é o coeficiente de atrito cinético, e depende da natureza das superfícies em contato.

Exemplo 3-12: Plano Horizontal

Vamos considerar que o bloco 1 está em repouso sobre o plano horizontal (figura 3.8), e conseqüentemente, em equilíbrio com o bloco 2.

N T atF 1 T P1 2 P2

Figura 3.8: Forças que atuam num sistema formado por dois blocos conectados por um fio inextensível.

Atrito Estático: Para que não exista movimento, a resultante das forças que atua nos blocos deve ser nula, e o atrito entre o bloco 1 e o plano deve ser máximo. Temos a seguinte distribuição de forças:

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55Bloco 1

=⇒=−=⇒=−

11

atat

PN0PNFT0FT

(1)

Bloco 2

22 PT0PT =⇒=− (2)

Igualando as equações 1 e 2, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático

2sat PN.F =µ=

gmgm 21s /=/⋅µ

1

2s m

m=µ

Atrito Cinético: Aumentando-se a massa do bloco 2, o bloco 1 entrará em movimento. Consideremos então, m2´ > m2, de forma que o bloco 1 entre em MRUV. Consideremos que o movimento apresenta aceleração constante a.

A força resultante que atua no sistema pode ser escrita, para cada bloco, como:

Bloco 1

=⇒=−+=⇒=−

gmN0PNFamTamFT

11

at11at (3)

Bloco 2

amTP ´2

´2 =− (4)

Igualando as equações 3 e 4, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético

amgmgmam ´2

´21c1 −=µ+

gmam)ag(m

1

1´2

c−−

=µ

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56 Exemplo 3-13: Plano Inclinado

Vamos considerar que o bloco 1 está em repouso sobre o plano inclinado (figura 3.9), e em equilíbrio com o bloco 2.

T T N 2 1 atF P′2 P1 θ

Figura 3.9: Forças atuantes num sistema de dois blocos unidos por um fio inextensível, num plano inclinado.

Atrito Estático: Quando o sistema estiver parado, mas com tendência de que o bloco 2 (com massa m2) se mova para baixo, o bloco 1 tenderá a se mover no sentido ascendente, teremos as seguintes equações de movimento:

Bloco 1

θ=⇒=−θ+µ=⇒=θ−−

cosgmN0PNsengmNT0senPFT

1y1

1s1at (1)

Bloco 2

gmT0PT 22 =⇒=− (2)

Igualando as equações 1 e 2, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito estático

gmsengmcosgm. 211s =θ+θµ

θθ−

=µcosgm

sengmgm

1

12s

O mesmo vale se o bloco 2 estiver com tendência para se mover para cima.

Atrito Cinético: Se considerarmos que o plano está inclinado de um certo ângulo θ, devido a atuação da força da gravidade, o corpo é acelerado com uma aceleração gsenθ na direção do plano, onde g é a aceleração da gravidade e θ a inclinação do plano. Se não desprezarmos a ação da força de atrito entre as superfícies de contato do corpo e o plano, e usando a segunda lei de Newton, teremos as seguintes possibilidades que são apresentadas a seguir.

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57

Considerando-se o movimento do bloco 1 no sentido ascendente (figura 3.9), ao longo do plano inclinado, devemos levar em consideração que agora a massa do bloco 2 ( ´

2m ) é maior do que aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m2). Podemos escrever:

Bloco 1

θ=⇒=θ−+θ+µ=⇒=θ−−

cosgmN0cosPNamsengmNTamsenPFT

11

11c11at (3)

Bloco 2

amgmTamTP ´2

´2

´2

´2 −=⇒=− (4)

Igualando as equações 3 e 4, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético no movimento ascendente

( )agmamsengmcosgm ´2111c −=+θ+θµ

( )θ

−θ−−=µ

cosgmamsengmagm

1

11´2

c

Ao analisarmos a situação na qual o mesmo corpo movimenta-se no sentido descendente (figura 3.9), ao longo do plano inclinado, devemos levar em consideração que agora a massa do bloco 2 ( "

2m ) é menor do que aquela necessária para manter o equilíbrio do sistema (m2), e que a aceleração do sistema é a´. Neste caso teremos as seguintes equações:

Bloco 1

θ=⇒=θ−−µ−θ=⇒=−−θ

cosgmN0cosPNámNsengmTámFTsenP

11

1c11at1 (5)

Bloco 2

( )gamTamPT 222 +′′′=⇒′′′=′′− (6)

Igualando as equações 5 e 6, encontramos uma expressão para o coeficiente de atrito cinético no movimento descendente

( )gamámcosgmsengm 211c1 +′′′=−θµ−θ

( )θ

+′′′−′−θ=µ

cosgmgamamsengm

1

211c

CINEMÁTICA


58

Exemplo 3-14: Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado, conforme mostra a figura 3.10. O ângulo de inclinação é lentamente aumentado até atingir um valor crítico, θc, no qual o bloco principia a escorregar. Calcular o coeficiente de atrito estático µs.

Figura 3.10

a) Diagrama de Forças:

b) Soma das forças em x e em y:

Nsenmg0fsenmgF scscx µ=θ⇒=−θ=∑ (I)

ccy cosmgNcosmgNF θθ =⇒−=∑ (II)

Substituindo (II) em (I), temos

cc

cs tg

cossen

θ=θθ

=µ

CINEMÁTICA


59

Exemplo 3-15: A massa m2 da figura 3.11 foi escolhida de tal modo que o bloco de massa m1 está prestes a escorregar. (a) Se m1 = 7 kg e m2 = 5 kg, qual o coeficiente de atrito estático entre a superfície da prateleira e o bloco? (b) Com um pequeno empurrão, os dois blocos movimentam-se com aceleração a. Calcular a aceleração a se o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície for µc = 0,54.

Figura 3.11

a) Diagrama de Forças:

Soma das forças em x e em y para o sistema em equilíbrio estático:

Bloco 1

gmN0gmNF

NT0fTF

11y

s1s1x

=⇒=−=

=⇒=−=

∑∑ µ

Logo, combinando as duas equações gmT 1s1 µ=

Bloco 2

gmT0gmTF

0F

2222y

x

=⇒=−=

=

∑∑

Logo, gmT 22 =

CINEMÁTICA


60 Como a tensão nos dois blocos é a mesma, devemos ter: T1 = T2. Dessa forma, o

coeficiente de atrito estático será

71,075

mmgmgm

1

2s21s ===⇒= µµ

71,0s =µ

b) Sistema em movimento: Bloco 1

gmN0gmNF

amNTamfTF

11y

1s11c1x

=⇒=−=

+=⇒=−=

∑∑ µ

Logo, combinado as duas equações amgmT 11s1 += µ

Bloco 2

amgmTamgmTF

0F

222222y

x

−=⇒−=−=

=

∑∑

Logo, amgmT 222 −=

Como a tensão nos dois blocos é a mesma, devemos ter: T1 = T2. Dessa forma, a aceleração

do sistema será

( ) gmgmmma0amgmgmam

1c212

11c22

µµ

−=−=−−+−

( )( )21

1c2

mmmmga

+−

=µ

2s/m996,0a =

CINEMÁTICA


613ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Um carro faz uma viagem de 200 km a uma velocidade média de 40 km/h. Um segundo carro, partindo 1,0 hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a velocidade média do segundo carro no intervalo de tempo em que esteve em movimento? R: v = 50 km/h

2. Uma partícula se move sobre o eixo dos x de acordo com a equação x=2 + 3t - t2, onde x está em

metros e t em segundos. Em t=3,0 s, achar (a) a posição da partícula, (b) a velocidade da partícula e (c) sua aceleração.

R: (a) 2,0 m ; (b)-3,0 m/s ; (c) –2,0 m/s2

3. Um avião a jato aterrissa com velocidade de 100 m/s e pode desacelerar à taxa máxima de -5,0 m/s2 até ficar em repouso. (a) A partir do instante em que toca na pista, qual é o intervalo de tempo mínimo necessário para que atinja o repouso? (b) Esse jato poderia aterrissar no aeroporto de uma pequena ilha, com uma pista de 0,80 km? Justifique.

R: (a) 20 s ; (b) não 4. O gráfico abaixo apresenta duas retas, às quais correspondem ao movimento de dois

automóveis. O que acontece no ponto em que estas duas retas se interceptam? Calcule a velocidade dos dois automóveis. R: vA = 8,3 m/s ; vB = 16,7 m/s

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

B

A

pos

ição

(km

)

t em po (m in )

5. Este gráfico representa o movimento de dois ciclistas. O ciclista A parte de Lages rumo a São

Joaquim às 10h. No mesmo instante, o ciclista B parte de São Joaquim para Lages. Calcule a velocidade de cada um deles e o instante em que se encontram. R: vA = 13,3 km/h ; vB = 20,0 km/h ; encontro em t = 1,5 horas.

0 2 40

10

20

30

40

50

B

A

M ovim en to Un iform e

x (k

m)

t (h )

CINEMÁTICA


62 6. Este gráfico mostra o espaço percorrido por um objeto em função do tempo. Calcule as

diferentes velocidades (em metros por minuto) que o objeto apresenta ao longo do seu movimento. Calcule também sua velocidade média. R: 0 < t < 1min: v1 = 200 m/min

1min < t < 2,5 min: v2 = 33,3 m/min 2,5 min < t < 3,3 min: v3 = 125 m/min 3,3 min < t < 4 min: v4 = 71,4 m/min

vmed = 100 m/min

7. Um trem parte do repouso e se move com aceleração constante. Em um determinado instante, ele viaja a 30 m/s, e 160 m adiante, trafega a 50 m/s. Calcule (a) a aceleração, (b) o tempo necessário para percorrer os 160 m mencionados, (c) o tempo necessário para atingir a velocidade de 30 m/s e (d) a distância percorrida desde o repouso até o instante em que sua velocidade era de 30 m/s. R: (a) 5,0 m/s2 ; (b) 4,0 s ; (c) 6,0 s ; (d) 90 m

8. Um carro se movendo com aceleração constante percorre, em 6,0 s, a distância entre dois

pontos separados de 60,0 m. Quando passa pelo segundo ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s. (a) Qual é a velocidade no primeiro ponto? (b) Qual é a aceleração? (c) A que distância do primeiro ponto o carro estava em repouso? R: (a) 5,0 m/s ; (b) 1,7 m/s2 ; (c) 7,5 m

9. Uma partícula move-se com a velocidade v = 8t – 7, com v em m/s e t em segundos. (a)

Calcular a aceleração média sobre intervalos de um segundo, principiando em t = 3s e em t = 4s. (b) Traçar v contra t. (c) Qual a aceleração instantânea em qualquer instante? R: a) a = 8 m/s2; c) a = 8 m/s2

em cada instante. 10. Um avião, para aterrissar num navio aeródromo, dispõe de 70m de pista. Se a velocidade

inicial for de 60 m/s. (a) Qual deve ser a aceleração na aterrissagem, admitindo-se seja constante? (b) Quanto tempo leva o avião até parar? R: a) –25,7 m/s2; b) 2,33 s

11. As coordenadas da posição de uma partícula, (x,y), são (2m, 3m) no instante t = 0s; (6m, 7m)

em t = 2s; e (13m, 14m) em t = 5s. (a) Calcular a velocidade média vméd entre t = 0s e t = 2s. (b) Calcular a vméd entre t = 0s e t = 5s. R: a) vm = 2,83 m/s; b) vm = 3,11 m/s

12. Uma partícula desloca-se no plano xy com aceleração constante. No instante inicial (t = 0s) a

partícula está em x = 4m, y = 3m e tem a velocidade ( ) ( ) js/m9is/m2v −= . A aceleração é dada por ( ) ( ) js/m3is/m4a += . (a) Calcular o vetor velocidade no instante t = 2s. (b) Calcular o vetor posição no instante t = 4s. (c) Dar o módulo e a direção do vetor posição.

0 1 2 3 40

50

100

150

200

250

300

350

400

x (m

)

t (m in )

CINEMÁTICA


63

R: a) ( ) ( ) js/m3is/m10)s2(v −= ; b) ( ) ( ) jm9im44)s4(r −= ; c) °−=θ≅ 56,11em9,44r

13. Uma partícula tem o vetor posição ( ) jt5t40it30r 2−+= , com r em metros e t em segundos. Determinar, em função de t, os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea. R: ( ) j10)t(aejt1040i30)t(v −=−+=

14. A aceleração constante de uma partícula é dada por ( ) 2s/mj4i6a += . No instante t = 0, a

velocidade é nula e o vetor posição é ( )im10r0 = . (a) Determinar os vetores velocidade e posição em qualquer instante t. (b) Determinar a equação da trajetória da partícula no plano xy e desenhar esta trajetória.

R: a) ( ) ( ) ( ) tj4i6)t(vetj2i3im10)t(r 2 ⋅+=⋅++= b) 3

20x32y −⋅=

15. A posição r de uma partícula em movimento, num plano xy é dada por

( ) ( ) jt76it5t2r 43 −+−= . Com r em metros e t em segundos. (a) Encontre ( )tv e ( )ta . (b) Quando t = 2s, calcule ( )tr , ( )tv e ( )ta . R: a) ( )tv = (6,00 t2 – 5,00) i –28,00 t3 j ; ( )ta = 12,00 t i –84,00 t2 j ; b) ( )s2r = 6,00 i – 106,00 j ; ( )s2v = 19,00 i – 224,00 j ; ( )s2a = 24,00 i – 336,00 j .

16. Um barco à vela desliza na superfície gelada de um lago, com aceleração constante produzida

pelo vento. Em um determinado instante, sua velocidade é de 6,30 i – 8,42 j , em metros por segundo. Três segundos depois, devido à mudança do vento, o barco para de imediato. Qual a sua aceleração média, durante este intervalo de 3 s? R: ( )ta = - (2,10 m/s2) i + (2,81 m/s2) j .

17. Em t = 0, uma partícula que se move no plano xy tem a velocidade ( ) s/mj2i3v0 −= na

origem. Em t = 3s, sua velocidade é ( ) s/mj7i9v += . Achar (a) a aceleração da partícula e (b) sua coordenada em qualquer instante t. R: a) (2 i + 3 j ) m/s2; b) (3t + t2) i + (-2t + 1,5t2) j .

18. Ao aumentar a altitude em relação ao nível do mar, o valor da aceleração da gravidade diminui

de 3 x 10-3 m/s2 para cada 1000m de elevação. Calcule qual é seu peso (em newtons) ao nível do mar (g = 9,806 m/s2) e sobre uma montanha de 4810m. Considere uma massa de 70 kg. R: Ao nível do mar:686,42 N Na montanha: 685,41 N

19. Em Marte, onde a aceleração da gravidade é de aproximadamente 4 m/s2, um objeto pesa

400N. Calcule seu peso na Terra. R: 980 N 20. A massa de um objeto é de 70 kg na Terra. Calcule o peso (em newtons) quando ele se

encontra numa astronave situada a uma distância do centro da Terra igual ao dobro do raio terrestre. Nesse local, a aceleração da gravidade é de 2,45 m/s2. R: 171,5 N

21. Um homem empurra um trenó, carregado com massa m = 240 kg, por uma distância d = 2,3 m,

sobre a superfície sem atrito de um lago gelado. Ele exerce sobre o trenó uma força horizontal constante, com módulo F = 130 N. Se o trenó parte do repouso, qual a sua velocidade final? R: 1,58 m/s

CINEMÁTICA


64

22. Um caixote de massa m = 360 kg está parado sobre a carroceria de um caminhão que se move com uma velocidade v0 = 120 km/h. O motorista freia e diminui a velocidade para v = 62 km/h em 17 s. Qual a força (suposta constante) sobre o caixote, durante esse intervalo de tempo? Suponha que o caixote não deslize sobre a carroceria do caminhão. R:-342 N

23. Se um corpo de 1 kg tem uma aceleração de 2,00 m/s2, fazendo um ângulo de 20° com o semi-

eixo positivo x, então, a) quais são as componentes x e y da força resultante sobre o corpo e b) qual a força resultante, em notação de vetores unitários? R: 1,88 N; 0,68 N; 1,9 j 0,7 i +

24. Se o corpo de 1 kg é acelerado por jN) (4,0 iN) (3,0 F1 += e jN) (-6,0 iN) (-2,0 F2 += , então,

a) qual a força resultante, em notação de vetores unitários, e b) qual o módulo e o sentido da força resultante? R: j2,0 - i1,0 ; 2,2 N; - 63°

25. Suponha que o corpo de 1 kg é acelerado a 4,00 m/s2, fazendo um ângulo de 160° com o semi-

eixo positivo x, devido a duas forças, sendo uma delas jN) (4,60 iN) (2,50 F1 += . Qual é a outra força em a) notação de vetores unitários e b) módulo e sentido? R: j3,23 - i6,26 - ; 7,04 N; 207°

26. Na caixa de 2,0 kg, da figura, são aplicadas duas forças, mas

somente uma é mostrada. A aceleração da caixa também é mostrada na figura. Determine a segunda força a) em notação de vetores unitários e b) em módulo e sentido. R: j 21 - i 32 - ; 38,3 N; 213°

35. Um armário de quarto com massa de 45 kg, incluindo gavetas e roupas, está em repouso sobre

o assoalho.(a) Se o coeficiente de atrito estático entre o móvel e o chão for 0,45, qual a menor força horizontal que uma pessoa deverá aplicar sobre o armário para colocá-lo em movimento? (b) Se as gavetas e as roupas, que têm 17 kg de massa, forem removidas antes do armário ser empurrado, qual a nova força mínima? R: a) 198 N; b) 123 N

36. Um disco de hóquei de 110 g desliza cerca de 15 m sobre o gelo antes de parar. (a) Para uma

velocidade escalar inicial de 6,0 m/s, qual é o módulo da força de atrito sobre o disco durante o deslizamento? (b) Qual o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo? R: a) 0,13 N; b) 0,12

37. Um vagão aberto de trem está carregado com caixas que têm um coeficiente de atrito estático de 0,25 com o assoalho do vagão. Se o trem se move a 48 km/h, qual a menor distância em que pode ser parado, com uma desaceleração constante, sem provocar o deslizamento das caixas? R: 36,3 m

CINEMÁTICA


65 38. Dois blocos são ligados através de uma polia, conforme

mostrado na figura. A massa do bloco A é de 10 kg e o coeficiente de atrito cinético é 0,20. O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante. Qual a massa de B? R: 3,27 kg

39. O bloco m1 na figura tem massa de 4,0 kg e m2 de 2,0

kg. O coeficiente de atrito entre m2 e o plano horizontal é 0,50. No plano inclinado não há atrito. Determine: (a) a tensão na corda e (b) a aceleração dos blocos. R: a) 13 N; b) 1,6 m/s2

40. Um aluno deseja determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre uma caixa e uma

prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e lentamente vai levantando uma das extremidades. Quando o ângulo de inclinação faz 30° com a horizontal, ela começa a deslizar, descendo a prancha cerca de 2,5 m em 4,0 s. Quais os coeficientes de atrito que o aluno deseja determinar? R: a) 0,58; b) 0,5

41. Um bloco de 2 kg está sobre um outro de 5 kg, como mostra a figura ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de 5 kg e a superfície onde repousa é 0,2. Uma força horizontal F é aplicada ao bloco de 5 kg. (a) Traçar o diagrama de forças de cada bloco. (b) Qual a força necessária para empurrar os dois blocos para a direita, com uma aceleração de 3 m/s2. (c) Achar o coeficiente de atrito estático mínimo entre os dois blocos, a fim de que o bloco de 2 kg não escorregue com a aceleração de 3 m/s2. R: b) 34,7 N ; c) 0,306

42. Os blocos A e B da figura ao lado pesam 44 N e 22 N, respectivamente. (a) Determine o peso mínimo do bloco C para impedir que o bloco A deslize se µc entre o bloco A e a mesa for de 0,20. (b) O bloco C é removido subitamente de cima do bloco A. Qual será a aceleração do bloco A se µc entre A e a mesa for de 0,15? R: a) 66 N; b) 2,3 m/s2

Polia sem massa e sem atrito

AB

30o)

Polia sem massa e sem atrito

µ = 0,50

30o)

m1

m2

CINEMÁTICA


66

43. Os três blocos da figura abaixo estão ligados por fios leves e flexíveis que passam por polias sem atrito, e possuem massas m1 = 10 kg, m2 = 5 kg e m3 = 3 kg. A aceleração do sistema se direciona para a esquerda em 2 m/s2 e as superfícies têm atrito. Achar (a) as tensões nos fios e (b) o coeficiente de atrito cinético entre os blocos e as superfícies (Admitir o mesmo µ para os dois blocos que escorregam.) R: a) 78,0 N e 35,9 N; b) 0,655

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