FOGÃO SOLARSua ligação com a função de 2º grau

Tempo do Projeto – 6 aulas

•2 aulas ( Explicação).

•2 aulas (exercícios e gráficos na

sala de informática).

•2 aulas ( exercícios e gráficos no

caderno em sala de aula).

Vamos iniciar esse trabalho voltando

ao passado,pois a Ciência (Física,

Matemática) são estudadas como se

fossem um relógio andando ao contrário.

Procuram-se fatos no passado para

melhorar nossa vida no futuro.

Existe um livro chamado LILAVATI cujo autor, acredita-se que vivia no século XII e era um matemático famoso chamado Bháskara. Ele tinha uma filha que se chamava Lilavati que era sua única filha e ele a amava muito. Sendo ela solteira, contou para seu pai seu anseio de se casar, mas este antes dela nascer consultara vários astrólogos, pois cria muito em suas previsões e foi predito que sua filha viveria muito , mas jamais se casaria.

Como o pai não se conformou com isso fez muitos cálculos e descobriu que as estrelas permitiriam seu casamento somente se fosse em determinado dia e horário. Então Bháskara organizou uma festa e também preparou um tipo de vaso com uma abertura no fundo por onde escoasse a água como se fosse um relógio. Assim que a última gota caísse seria o horário ideal para o casamento.

Lilavati era muito bonita e se enfeitou para o casamento ficando ainda mais bonita , mas era muito curiosa. Enquanto acontecia a festa se curvou sobre o vaso para observá-lo , mas quando se abaixou , seu colar de pérolas arrebentou e uma das pérolas caiu , sobre o orifício, tampando-o e com isso a água parou de escoar, o tempo parou de ser contado e conseqüentemente Lilavati nunca se casou .

Com toda a tristeza, pois não conseguiu satisfazer o desejo da filha, o pai prometeu que iria escrever um tratado de matemática para imortalizá-la. Báskara aproveitou estudos anteriores para se aproximar ainda mais da resolução de equações quadráticas ou 2º grau. E o colocou em um livro chamado Lilavati, que quer dizer graciosa em homenagem a beleza da filha. Por isso a relação de Báskara com a equação do 2º grau.

No nosso tema a equação do 2º grau entra no contexto com algoritmos ,ao resolvê-los podemos fazer medições em forma de parábolas. A equação do 2º grau trabalha em sua maioria com geometria.

Exemplo de problemas de Equação do 2º grau em Física.

Um canhão atira um projétil, descrevendo a função s= - 9 t 2 + 120.t , sendo s em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil?

Devemos  calcular o ponto mínimo da parábola, dado por:

Fonte: Mundo da Educação

A função do movimento do projétil descreve uma parábola decrescente ( a < 0 ), o ponto máximo da parábola será a altura máxima atingida pelo projétil.

Fonte: Mundo da Educação

Fonte: Mundo da Educação

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei

de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c,

onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua

representação no plano cartesiano é uma parábola que,

de acordo com o valor do coeficiente a, possui

concavidade voltada para cima ou para baixo.

A função do 2º grau assume três

possibilidades de resultados ou raízes, que

são determinadas quando fazemos f(x) ou

y igual a zero, transformando a função

numa equação do 2º grau, que pode ser

resolvida por Bháskara.

Gráfico da função

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

∆ > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

∆ = 0 A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

∆ < 0 A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:............................................

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

 

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta. (Noé,M.)

 

Exemplos de problemas de equação de 2º grau ou função de 2º grau

1- Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:  

Resolvendo-a:

  

Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.

2- Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque. Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente

                      

Resolvendo-a, temos:

                      6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )                      6x + 30 + 6x = x2 + 5x                       x2 - 7x - 30 = 0                       x'= - 3      e   x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas

Fonte: Só Matemática

Exemplos de gráficos de equação de 2º grau

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações na

Matemática e auxiliam a Física em diversas situações nos

movimentos de corpos na área da Cinemática e Dinâmica.

A sua lei de formação, onde f(x) = ax² + bx + c, descreve

uma trajetória parabólica de concavidade voltada para cima

(decrescente - ponto mínimo) ou concavidade voltada para

baixo (crescente – ponto máximo).

Observe a resolução de situações problemas a seguir:

Exemplo

O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação:

y = – 40x² + 200x Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar correspondem, respectivamente,a: ...................

Veja o gráfico do movimento:

Na expressão y = –40x² + 200x , os coeficientes são a = –40, b = 200 e c = 0.

Utilizaremos a expressão Yv para obter a altura máxima atingida pelo objeto:

Utilizaremos a expressão Yv para obter a altura máxima atingida pelo objeto:

O objeto atingiu a altura máxima de 250 metros. Utilizaremos a expressão Xv para obter o tempo de subida do objeto:

O projétil levou 2,5s para atingir altura máxima, levando mais 2,5s para retornar ao solo, pois no movimento vertical o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Portanto, o projétil permaneceu por 5 s no ar...........................................................................

Fonte: Brasil Escola

Conforme todas estas informações chegamos a tecnologia do uso da energia solar.

Energia solar é a designação dada a qualquer tipo de

captação de energia luminosa (e, em certo sentido, da energia

térmica) proveniente do sol, e posterior transformação dessa

energia captada em alguma forma utilizável pelo homem, seja

diretamente para aquecimento de água ou ainda como energia

elétrica ou mecânica.

Fonte: Wikipédia

O homem começou o caminho da energia e da tecnologia no passado quando usava os animais, para produzir trabalho (moinho).

Muito tempo depois descobriu que poderia produzir energia se pedalasse uma bicicleta,a partir dessas e de outras descobertas o homem viu surgir em seu mundo várias maneiras de se conseguir energia.

•Energia animal - cavalo, égua, etc.

•Energia do carvão - trem, barcos, etc.

•Energia eólica - do vento.

•Energia da água – hidroelétrica.

•Biocombustíveis - energia do álcool (cana de

açúcar).

Todas essas energias são renováveis.Temos também

aquelas que não são renováveis como o petróleo, e ainda a

Energia Nuclear.

A Energia Nuclear é o beneficiamento do Urânio (um

elemento químico encontrado na natureza).

Por fim chegamos à Energia Solar que antes de qualquer

coisa é usada na fotossíntese.

Os cientistas através de estudos descobriram mais

uma utilidade para esse calor que emana do sol e

mesmo ainda sob estudos descobriram que um

automóvel, ou barco pode se movimentar através dela.

Uma casa pode obter água quente e calor através do

aquecimento solar.

E atualmente também sabemos que o Fogão Solar,

começa a ser utilizado em várias regiões .

Fonte: www. deltateta.com.br

Fonte: www.solarcooking.org

O fogão solar teve como idéia aproveitar o sol muito forte na região Norte/Nordeste do país, o que faz com que plantações nessas regiões sejam muito difíceis e as pessoas chegam a passar fome.

O fogão funciona como se fosse uma lupa, colocada ao sol ela vai irradiar a luz e concentrar em um ponto apenas. Esse é o princípio do fogão, sendo formado com parabólas que refletem a luz, e isso faz com que se aqueça o alimento.

A temperatura dependerá do material utilizado para fabricação.

Pode ser fabricado com espelhos.

"Hoje o fogão solar já se encontra em quase todo o

Brasil. É altamente ecológico, tecnológico e econômico.

Preserva o meio ambiente, combate o êxodo rural e

educa as novas gerações para a vida plena. Resiste até a

chuvas" ( Pe. Domingos Cleides Claudino)

Foi o grego Aristóteles quem teve essa idéia na antiguidade. Ele projetou um sistema de espelhos (aquela época feita com material polido) para proteção de uma cidade portuária da Grécia.

Vários soldados, portavam espelhos e focavam as velas dos navios inimigos para atear fogo neles.

As vantagens e desvantagens do fogão solar

Para uma população pobre é o ideal, ainda mais em lugar onde o sol é muito forte, tem que se aproveitar essa fonte de energia. Mas em compensação nos dias de chuva não tem como usá-lo, a não ser que tenha um acondicionamento de energia, mas o fogão é feito no quintal, e onde chove, por isso existe a desvantagem.

Qual semelhança existe entre a função do 2º grau e o fogão solar?

Quando um professor começa a ensinar aos seus alunos sobre o gráfico da equação do 2º grau, ele verifica que as suas linhas são em formas de parábolas. Para o aluno este termo não é desconhecido por causa das antenas que existem hoje em dia, parabólicas. O professor faz uma ponte entre o gráfico de parábola e a construção do fogão solar. E em Física ele explica porque são feitos de espelhos em formato côncavo: para que a refração da luz incida em um ponto somente e quando volte bata na panela e aqueça o alimento.

BIBLIOGRAFIA

•Mundo da Educaçãohttp://www.mundoeducacao.com.br/matematica/aplicacoes-funcao-2-grau-na-fisica.htm ( acesso em 03/12/2010- 11h05)

•Só Matemática http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_17.php ( acesso em 03/12/2010 às 17 h)

•Brasil Escolahttp://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htm ( acesso em 03/12/2010 às 17h30)http://www.brasilescola.com/geografia/biocombustivel.htm ( acesso em 03/12/2010- 19 h)Noé, M . http://www.brasilescola.com/matematica/grafico-funcao.html ( acesso em 03/12/2010- 13h40)

•Solar Cookinghttp://www.solarcooking.org ( acesso em 03/12/2010 às 19 h)

•Wikipédia . A Enciclopédia livrehttp://pt.wikipedia.org ( acesso em 03/12/2010 às 14h30 )

•Delta Tetahttp://www.deltateta.com.br ( acesso em 03/12/2010 às 18 h)

•Pe.Domingos . http://www.pimenet.org.br/mundoemissao/ecologiasolar.htm ( acesso em 03/12/2010- 19 h20)

•http://zeca.astronomos.com.br/sci/fogao/fogao_solar.htm ( acesso em 03/12/2010 – 19 h)

•http://www.ieham.org/html/docs/O_Forno_Solar_e_pobreza.pdf ( acesso em 03/12/2010-20 h)

•Software livre - www.geogebra.com.br

•Aluno Reni Bagolan de Abreu (ANvot210)