MATERIAL DE Probabilidade

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Text of MATERIAL DE Probabilidade

  • UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSECENTRO DE ESTUDOS GERAISINSTITUTO DE MATEMTICA

    DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA

    PROBABILIDADE

    Ana Maria Lima de FariasLuiz da Costa Laurencel

    Abril de 2006

  • Contedo

    1 Probabilidade - Conceitos Bsicos 11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Experimento aleatrio, espao amostral e evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2.1 Experimento aleatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Espao amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Eventos aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Operaes com eventos aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4.1 Interseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Excluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.3 Unio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.4 Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.5 Diferena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.6 Partio de um espao amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.7 Propriedades das operaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Probabilidade - Definio Clssica 172.1 Definio clssica de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.1.1 Propriedades da definio clssica de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Resumo das propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.2 Reviso de anlise combinatria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Princpio fundamental da adio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Princpio fundamental da multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4 Permutaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.6 Permutaes de k objetos dentre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.8 Combinaes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.3 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    ii

  • CONTEDO iii

    3 Axiomas, Probabilidade Condicional e Independncia 393.1 Definio axiomtica de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.2 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.3 Probabilidade condicional como lei de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Regra da multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Regra geral da multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    3.5.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Independncia de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.7 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 604.1 Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5 Soluo dos Exerccios 765.1 Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2 Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4 Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

  • Captulo 1

    Probabilidade - Conceitos Bsicos

    1.1 Introduo

    No nosso cotidiano, lidamos sempre com situaes onde est presente a incerteza do resultado,embora, muitas vezes, os resultados possveis sejam conhecidos. Por exemplo: o sexo de umembrio pode ser masculino ou feminino, mas s saberemos o resultado quando o experimentose concretizar, ou seja, quando o beb nascer. Se estamos interessados na face voltada para cimaquando jogamos um dado, os resultados possveis so 1, 2, 3, 4, 5, 6, mas s saberemos o resultadoquando o experimento se completar, ou seja, quando o dado atingir a superfcie sobre a qual foilanado. conveniente, ento, dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente emcada um destes acontecimentos. Tal medida a probabilidade.No estudo das distribuies de freqncias, vimos como essas so importantes para entendermos

    a variabilidade de um fenmeno aleatrio. Por exemplo, se sorteamos uma amostra de empresas eanalisamos a distribuio do nmero de empregados, sabemos que uma outra amostra forneceriaresultados diferentes. No entanto, se sorteamos um grande nmero de amostras, esperamos que surjaum determinado padro que reflita a verdadeira distribuio da populao de todas as empresas.Atravs de um modelo terico, construdo com base em suposies adequadas, podemos reproduzira distribuio de freqncias quando o fenmeno observado diretamente. Esses modelos sochamados modelos probabilsticos e eles sero estudados na segunda parte do curso de Estatstica.A probabilidade a ferramenta bsica na construo de tais modelos e ser estudada nesta primeiraparte.

    1.2 Experimento aleatrio, espao amostral e evento

    Consideremos o lanamento de um dado. Queremos estudar a proporo de ocorrncias das facesdesse dado. O primeiro fato a observar que existem apenas 6 resultados possveis, as faces 1, 2,3, 4, 5, 6. O segundo fato uma suposio sobre o dado: em geral, razovel supor que este sejaequilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo nmero de vezes e, portanto, essa proporodeve ser 1

    6. Nessas condies, nosso modelo probabilstico para o lanamento de um dado pode ser

    expresso da seguinte forma:

    Face 1 2 3 4 5 6 TotalFreqncia terica 1

    616

    16

    16

    16

    16

    1

    1

  • CAPTULO 1. PROBABILIDADE - CONCEITOS BSICOS 2

    Suponhamos que uma mulher esteja grvida de trigmeos. Sabemos que cada beb pode serdo sexo masculino (M) ou feminino (F). Ento, as possibilidades para o sexo das trs crianas so:MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposio razovel que todos essesresultados sejam igualmente provveis, o que equivale dizer que cada beb tem igual chance de serdo sexo masculino ou feminino. Ento cada resultado tem uma chance de 1

    8de acontecer e o modelo

    probabilstico para esse experimento seria

    Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF TotalFreq. terica 1

    818

    18

    18

    18

    18

    18

    18

    1

    Por outro lado, se s estamos interessados no nmero de meninas, esse mesmo experimento leva aoseguinte modelo probabilstico:

    Meninas 0 1 2 3 TotalFreq. terica 1

    838

    38

    18

    1

    Nesses exemplos, vemos que a especificao de um modelo probabilstico para um fenmenocasual depende da especificao dos resultados possveis e das respectivas probabilidades. Vamos,ento, estabelecer algumas definies antes de passarmos definio propriamente dita de proba-bilidade.

    1.2.1 Experimento aleatrio

    Um experimento aleatrio um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto , repetindo-se o experimento sob as mesmas condies, os resultados sero diferentes. Contrapondo aos experi-mentos aleatrios, temos os experimentos determinsticos, que so experimentos que, repetidos sobas mesmas condies, conduzem a resultados idnticos. Neste curso, estaremos interessados apenasnos experimentos aleatrios.

    1.2.2 Espao amostral

    O espao amostral de um experimento aleatrio o conjunto de todos os resultados possveis desseexperimento. Vamos denotar tal conjunto pela letra grega mega maiscula, . Quando o espaoamostral finito ou infinito enumervel, chamado espao amostral discreto. Caso contrrio, isto, quando no enumervel, vamos cham-lo de espao amostral contnuo.

    1.2.3 Eventos aleatrios

    Os subconjuntos de so chamados eventos aleatrios; j os elementos de so chamados eventoselementares. A classe dos eventos aleatrios de um espao amostral , que denotaremos por F () , o conjunto